Download ppt - 1 Vorlesung vom 18. Januar 2007 Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II Torsten Mayer-Gürr Vorlesung vom 18. Januar 2007 Astronomisch,

1

Vorlesung vom 18. Januar 2007Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Vorlesung vom 18. Januar 2007Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

TransformationenTransformationen

2

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch

Koordinatensysteme und Transformationen

SK Konventionell (global),

Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)

T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)

η, ξ, ψ(Lotabweichungen)

εx, εy, εz

Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas

…

3

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

4

Konventionelles und lokales System

Transformation von SK nach SL:Transformation von SK nach SL:

z

Ky

Kx

K

z

Ly

Lx

L

BL

e

e

e

T

e

e

e

),(

5


1Le

3Le

2Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

z

Ky

Kx

K

e

e

e

6


1Le

3Le

2Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

3Le

1Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

2Le

z

Ky

Kx

K

L

e

e

e

D )(3

7


1Le

3Le

2Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

3Le

1Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

2Le

1Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

3Le

2Le

z

Ky

Kx

K

LB

e

e

e

DD )()90( 32

8


1Le

3Le

2Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

3Le

1Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

2Le

1Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

3Le

2Le

1Le

1Ke

2Ke

3Ke

LB

3Le

2Le

z

Ky

Kx

K

z

Ly

Lx

L

LB

e

e

e

DDP

e

e

e

)()90( 321

9


Transformation von SK nach SL:

mit

Transformation von SK nach SL:

mit

BLBLB

LL

BLBLB

BL

sinsincoscoscos

0cossin

cossinsincossin

),(T

z

Ky

Kx

K

z

Ly

Lx

L

BL

e

e

e

T

e

e

e

),(

)()90(),( 321 LBBL DDPT

10

Transformation von SG nach ST:

mit


mit

Geozentrisches und topozentrisches System

sinsincoscoscos

0cossin

cossinsincossin

),(T

z

Gy

Gx

G

z

Ty

Tx

T

e

e

e

T

e

e

e

),(

)()90(),( 321 DDPT

11


mit


mit

Geozentrisches und topozentrisches System

sinsincoscoscos

0cossin

cossinsincossin

),(T

z

Gy

Gx

G

z

Ty

Tx

T

e

e

e

T

e

e

e

),(

)()90(),( 321 DDPT

x

G

x

T

eTe ),(

y

G

y

T

eTe ),(

z

G

z

T

eTe ),(

12

Transformation von Basisvektoren und Koordinaten

Bisher: Transformation der BasisvektorenBisher: Transformation der Basisvektoren

Darstellung eines Vektors in KoordinatenDarstellung eines Vektors in Koordinaten

T

T

T

z

y

x

x

z

GG

y

GG

x

GG

G

G

G

zyx

z

y

x

eeex

z

TT

z

G

eTe ),(

Vektoren sind koordinatenunabhängig,dass heißt derselbe Vektor kann in unterschiedlichen Koordinaten ausgedrückt werden

z

TT

y

TT

x

TT

zyx eee

13

Transformation der KoordinatenTransformation der Koordinaten


Bisher: Transformation der BasisvektorenBisher: Transformation der Basisvektoren

z

TT

z

G

eTe ),(

Vektoren und Koordinatentransformieren sich entsprechend

T

T

T

T

G

G

G

z

y

x

z

y

x

),( T

T

T

T

z

y

x

x

x

14

Beispiel: ZenitrichtungBeispiel: Zenitrichtung


T

z

T

1

0

0

e

T

T

1

0

0

),( T

sinsincoscoscos

0cossin

cossinsincossin

),(T

z

T

e

G

sin

cossin

coscos

G

sin

cossin

coscos

15

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

16

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

17

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

18

Mit der Drehmatrix:Mit der Drehmatrix:

Globales geozentrisches und konventionelles System

Transformation von SK nach SG:

mit kleinen Klaffungswinkeln

Transformation von SK nach SG:

mit kleinen Klaffungswinkeln

z

Ky

Kx

K

zyx

z

Gy

Gx

G

e

e

e

D

e

e

e

),,(

)()()(),,( 123 xyzzyx DDDD

1

1

1

xy

xz

yz

x

G

e

y

G

e

z

G

e

x

K

e

y

K

e

z

K

e

19


x

G

e

y

G

e

z

G

e

x

K

e

y

K

e

z

K

e

20


R

x

X

x

G

e

y

G

e

z

G

e

x

K

ey

K

e

z

K

eKoordinatenunabhängig:Koordinatenunabhängig:

xRX


z

Ky

Kx

K

zyx

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

x

x

x

R

R

R

X

X

X

),,( D

21

Transformation der Koordinaten

Mit dem Maßstab M=1+m

Transformation der Koordinaten

Mit dem Maßstab M=1+m


Koordinatenunabhängig:Koordinatenunabhängig:

R

x

X

x

G

e

y

G

e

z

G

e

x

K

ey

K

e

z

K

exRX

z

Ky

Kx

K

zyx

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

x

x

x

M

R

R

R

X

X

X

),,( D

Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)

- 3 Translationsparameter- 3 Rotationsparameter- 1 Maßstab

Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)

- 3 Translationsparameter- 3 Rotationsparameter- 1 Maßstab

22


Bisher: Drehung um den Ursprung von SK

Neu: Drehung um beliebigen Punkt x0

Bisher: Drehung um den Ursprung von SK

Neu: Drehung um beliebigen Punkt x0

R

x

X

x

G

e

y

G

e

z

G

e

x

K

ey

K

e

z

K

e

xRX Koordinatenunabhängig:Koordinatenunabhängig:

)( 00 xxxRX


z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

zyx

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

0xx 0x

23

z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

zyx

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

24

z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

zyx

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

25

z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

zyx

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

26

Spezielle Transformationen

Modell von Bursa-Wolf

- Drehpunkt ist der Ursprung des Systems SK

- Drehachsen sind Achsen des Systems SK

Modell von Bursa-Wolf

- Drehpunkt ist der Ursprung des Systems SK

- Drehachsen sind Achsen des Systems SK

z

Ky

Kx

K

zyx

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

x

x

x

M

R

R

R

X

X

X

),,( D

Modell von Molodensky-Badekas

- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des Systems SK

Modell von Molodensky-Badekas

- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des Systems SK

z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

zyx

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

Modell von Veis

- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems SL

Modell von Veis


z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

V

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

27

Spezielle Transformationen

Modell von Veis


Modell von Veis


z

K

z

Ky

K

y

Kx

K

x

K

V

z

Ky

Kx

K

z

Gy

Gx

G

z

Gy

Gx

G

xx

xx

xx

M

x

x

x

R

R

R

X

X

X

0

0

0

0

0

0

),,( D

DrehmatrixDrehmatrix

),()()()(),(),,( 0032100 BLBLTV TDDDTD

DrehmatrixDrehmatrix

( , , ) ( , , )x y z V D D

)()90()()()()90()( 321321123 LBBL DDPDDDPDD 3 2 1( ) ( ) ( )z y x D D D

28

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

29

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

30

Lotabweichungen

31

Lotabweichungen

Transformation SL nach ST

(vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)



2 3 2 1 2

1

( , , ) ( ) ( ) ( ) 1

1

T P D D D P

32

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

33

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

34

Transformation SL nach ST über SK und SGTransformation SL nach ST über SK und SG

Lotabweichungen





123123321 )90()()()()()()90(),,( PDDDDDDDPT BL TTxyz

2 3 2 1 2

1

( , , ) ( ) ( ) ( ) 1

1

T P D D D P

35

Lotabweichungen

Gleichsetzen:Gleichsetzen:

21232 )()()(),,( PDDDPT 123123321 )90()()()()()()90(),,( PDDDDDDDPT BL TT

xyz

36

Linearisierung bei kleinen Winkeln

LinearisierungLinearisierung

Taylorentwicklung:Taylorentwicklung:

...)()()( 00

0

xxx

fxfxf

x

...)(sincoscos 000 xxxxx

...)(cossinsin 000 xxxxx

)(cossinsin LLL

)(sincoscos LLL

37

Lotabweichungen

Gleichsetzen:Gleichsetzen:

21232 )()()(),,( PDDDPT 123123321 )90()()()()()()90(),,( PDDDDDDDPT BL TT

xyz

38

Lotabweichungen

Lotabweichungskomponenten

- Ostkomponente

- Nordkomponente

- Azimutkomponente


- Ostkomponente

- Nordkomponente

- Azimutkomponente BBLLBL zyx sincos)sincos(sin)(

LLB yx cossin)(

BBLLBL zyx cossin)sincos(cos)(

Orientierung des ReferenzellipsoidsOrientierung des Referenzellipsoids

LBLBBx sin))((cos)sincos(

LBLBBy cos))((sin)sincos(

)(cossin LBBz

39

Lotabweichungen


- Ostkomponente

- Nordkomponente

- Azimutkomponente


- Ostkomponente

- Nordkomponente

- Azimutkomponente BBLLBL zyx sincos)sincos(sin)(

LLB yx cossin)(

BBLLBL zyx cossin)sincos(cos)(

Bei Parallelität der globalen Systeme:

- Ostkomponente

- Nordkomponente

- Azimutkomponente

Bei Parallelität der globalen Systeme:

- Ostkomponente

- Nordkomponente

- Azimutkomponente BBL tansin)(

)( B

BL cos)(

40

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

41

SG

Global Geozentrisch

SG

Global Geozentrisch



Geodätisch


Geodätisch

SL

Lokal ellipsoidisch

SL

Lokal ellipsoidisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch

ST Topozentrisch,

lokal astronomisch




εx, εy, εz


…

42

Lokales ellipsoidisches System

43


44


z

L

y

L

x

L

L

ddd

d

d

d

eeex

cossinsinsincos

cos

sinsin

sincos

45


46

Lokales und Topzentrisches System

47


48


z

T

y

T

x

T

T

zdzadzad

zd

zad

zad

eeeX

cossinsinsincos

cos

sinsin

sincos

49


a

P

a

Lot

astronomischer Zenit

geodätischer Zenit

astronomisch Nord

geodätisch Nord

astronomisch Ost

geodätisch Ost

z

Q

geodätischer Meridian

geodätischer Parallelkreis

d

x X1

T

e

2

T

e

3

T

e1

L

e

3

L

e

2

L

e

50

Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d

Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System




Erste Möglichkeit:1. Umrechnung polar kartesisch

2. Transformation in lokal ellipsoidisch

Erste Möglichkeit:1. Umrechnung polar kartesisch

2. Transformation in lokal ellipsoidisch

cos sin

sin sin cos sin sin sin cos

cos

T

T T T T

x y z

TT

xd a z

y d a z d a z d a z d z

d zz

X e e e

( , , )

L T

L TT

L T

x x

y y

z z

Δx T

1

( , , ) 1

1

Tmit

51






Zweite Möglichkeit:Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen


cot ( sin cos )a

( cos sin )z

Größen im lokal astronomischen System (gemessen)Größen im lokal ellipsoidischen System

Azimutdifferenz:

Zenitdistanzdifferenz:

52

Einsetzen der Polarkoordinaten liefert:Einsetzen der Polarkoordinaten liefert:


cos sin


cos

T T T

x y z

T

d a z

d a z d a z d a z d z

d z

X e e e

( , , )

T L

x x

T L

y y

T L

z z

X x

X x

X x

T

cos sin


cos

L L L

x y z

L

d

d d d d

d

x e e e

sin cos sin cos sin sin cosz a

sin sin sin sin sin cos cosz a cos cos sin cos sin sinz

1

( , , ) 1

1

Tmit

53


Nach Taylorentwicklung und Abbruch nach dem linearen Term:Nach Taylorentwicklung und Abbruch nach dem linearen Term:

cot ( sin cos )a

( cos sin )z

sin cos sin cos sin sin cosz a

sin sin sin sin sin cos cosz a cos cos sin cos sin sinz

54








cot ( sin cos )a

( cos sin )z

Größen im lokal astronomischen System (gemessen)Größen im lokal ellipsoidischen System

Azimutdifferenz:

Zenitdistanzdifferenz: