LEZIONE 5

5.1. Vettori geometrici.

In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti,segmenti (orientati), rette, piani nel piano A2 e nello spazio A3 affini (cioe in cuivalgono gli assiomi della geometria euclidea). A tale scopo il nostro primo passoe quello di “algebrizzare” la descrizione di tali enti, associando ad essi particolarimatrici.

Per fare questo inizieremo in questo paragrafo ad introdurre la nozione di vettoreapplicato nel piano affine A2 e nello spazio affine A3.

Innanzi tutto ricordiamo cosa si intende per segmento. Siano A e B due puntidi An (se n = 2 sono punti del piano A2, se n = 3 dello spazio A3). Se A 6= Besiste un’unica retta r passante per A e B e tali punti dividono r in tre parti: unasemiretta di origine A, una semiretta di origine B, ed una parte limitata di rettaindividuata dai due punti A e B che verra detto segmento di estremi A e B.

Se, invece, A = B la retta r non e piu univocamente individuata e, quindi, nonabbiamo piu due semirette di origine A e B univocamente determinate, mentrepotremo continuare a parlare del segmento di estremi A e B intendendo con ciol’unico punto A = B che, invece, continua ad essere univocamente determinato:in questo caso parleremo spesso di segmento degenere, o nullo, di estremi A e B.

In entrambi i casi indicheremo il segmento di estremi A e B con il simbolo AB.Passiamo ora a definire la nozione di vettore.

Definizione 5.1.1. Sia O un punto in An. Un vettore ~v applicato in O e unsegmento, eventualmente degenere, avente un estremo in O, detto estremo vinco-lato. Se P e l’altro estremo, detto estremo libero, spesso indicheremo ~v con ilsimbolo ~OP . Se O = P scriveremo ~0 invece di ~OO.

L’insieme di tutti i vettori di An applicati in O verra indicato con il simboloVn(O).

Le scritture ~v o ~OP ricordano che il segmento e “orientato”, ovvero va percorsoin un ben preciso verso ed ha un punto di applicazione, O, ed un estremo libero, P .In questo senso le due scritture ~OP e ~PO, pur rappresentando lo stesso segmento,rappresentano vettori applicati diversi.

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1

2 5.1. VETTORI GEOMETRICI

O

Figura 5.1

Ad ogni vettore geometrico rimangono associate alcuni dati importanti.

Definizione 5.1.2. Sia ~OP ∈ Vn(O), ~OP 6= ~0. Definiamo direzione di ~v la rettapassante per i punti O e P . Definiamo verso di ~v la semiretta di origine O econtenente il punto P .

Spesso e comodo estendere la nozione di direzione e verso anche al vettore nullo,dicendo che il vettore nullo ha direzione e verso indeterminati.

Definizione 5.1.3. Siano ~OP , ~OQ ∈ Vn(O). Diciamo che ~OP e ~OQ sono parallelio linearmente dipendenti se i punti O, P e Q sono allineati. In caso contrariodiremo che i vettori dati non sono paralleli o che sono linearmente indipendenti.

Se ~OP e ~OQ sono paralleli si scrive ~OP ‖ ~OQ. Se ~OP ‖ ~OQ sono non nulli,diciamo che i due vettori sono concordi se hanno lo stesso verso, discordi se hannoversi distinti.

Siano ~OP , ~OQ, ~OR ∈ Vn(O). Diciamo che i tre vettori ~OP , ~OQ e ~OR sonocomplanari o linearmente dipendenti se i punti O, P , Q e R sono complanari. Incaso contrario diremo che i vettori dati non sono complanari o che sono linearmenteindipendenti.

Si noti che la proprieta che tre punti A, B, C non sono allineati o che quattropunti A, B, C, D non sono complanari spesso si riassume dicendo che i punti datisono in posizione generale.

Si noti che se ~OP , ~OQ ∈ Vn(O) sono non nulli essi sono paralleli se e solo sehanno la stessa direzione. La nostra definizione si estende anche al caso in cui unodei due sia nullo. Per fissare le idee sia ~OP = ~0: cio significa che P = O, dunquei tre punti O, P e Q risultano ovviamente essere allineati. In particolare, in basealla definizione sopra, ~0 e parallelo ad ogni vettore in Vn(O). Un discorso analogopuo essere fatto per la nozione di complanarita.

E chiaro che di vettori aventi la stessa direzione e verso ne esistono infiniti.Se, pero, introduciamo la nozione di modulo o lunghezza del vettore questa,unitamente a direzione e verso, individua completamente il vettore.

LEZIONE 5 3

Definizione 5.1.4. Sia u un’unita di misura fissata in An. Se ~OP ∈ Vn(O),indicheremo con | ~OP | (o |OP |) la lunghezza di ~OP (o di OP ) rispetto all’unita dimisura u. Tale numero verra anche detto modulo di ~OP (o di OP ). I vettori diVn(O) di lunghezza 1 vengono detti versori.

Si ha che |~v| ≥ 0 e risulta |~v| = 0 se e solo se ~v = ~0.Con la convenzione su direzione e verso del vettore nullo, e chiaro che ogni

vettore applicato rimane completamente individuato da direzione, verso e modulo:in particolare due vettori coincidono se e solo se hanno stessa direzione, stessoverso e stessa lunghezza.

Si noti che ogni vettore non nullo ~v ∈ Vn(O) ha esattamente due versori ad essoparalleli, uno concorde ed uno discorde. Infatti si considerino sulla retta per O eP i due unici punti U1 e U2 tali che |OU1| = |OU2| = 1: allora ~OU1 e ~OU2 sono iversori cercati.

5.2. Sistemi di coordinate.Passiamo ora ad introdurre la nozione di sistema di riferimento cartesiano

ortogonale nel piano affine A2 e nello spazio affine A3. A tale scopo fissiamouna volta per tutte un’unita di misura u in An

Definizione 5.2.1. Un sistema di riferimento (cartesiano ortogonale) O~ı~ in A2

e definito dai seguenti enti.(SRP1) Un punto O ∈ A2 detta origine del sistema di riferimento.(SRP2) Un versore ~ı applicato in O.(SRP3) Un versore ~ applicato in O tale che il versore ~ı si sovrappone al versore ~

con una rotazione di π/2 radianti intorno ad O in senso antiorario.

In figura 5.2 e riportato un esempio di sistema di riferimento nel senso delladefinizione sopra.

O

j

i

Figura 5.2

Le direzioni di ~ı e di ~ vengono dette rispettivamente asse delle ascisse (o dellex) e delle ordinate (o delle y). I versi di ~ı e di ~ vengono detti rispettivamentesemiasse positivo delle ascisse (o delle x) e delle ordinate (o delle y). I versi oppostia quelli di ~ı e di ~ vengono detti rispettivamente semiasse negativo delle ascisse (odelle x) e delle ordinate (o delle y).

4 5.2. SISTEMI DI COORDINATE

Si noti che un sistema di riferimento puo anche essere descritto partendo dagliassi e fissando poi i versori: per questo motivo spesso parleremo di sistema diriferimento Oxy anche se, in questo caso, la notazione e ambigua in quanto non fariferimento all’unita di misura u.

Sui due semiassi positivi delle ascisse e delle ordinate abbiamo due punti,rispettivamente Ux ed Uy, a distanza 1 dall’origine O, gli estremi liberi di ~ı edi ~ rispettivamente. In questo modo abbiamo una biiezione fra i punti dei dueassi ed i numeri reali, come spiegato nel corso di Analisi I: per esempio i punti adistanza d > 0 sull’asse delle ascisse (ne esistono due) corrisponderanno ai numerireali +d (quello che si trova nel semiasse positivo delle ascisse) e −d (quello che sitrova nel semiasse negativo delle ascisse), mentre l’origine corrisponde allo 0.

Se ora P ∈ A2 e un qualsiasi punto del piano (eventualmente appartenenete agliassi), ad esso si puo associare una coppia ordinata di numeri reali come segue. Siconsiderino le rette rx ed ry passanti per P e parallele rispettivamente all’asse delleascisse ed all’asse delle ordinate: allora la retta rx intersechera l’asse delle ordinatein un punto corrispondente al numero reale yP (detto ordinata di P ), mentre laretta ry intersechera l’asse delle ascisse in un punto corrispondente al numero xP

(detto ascissa di P ). Assoceremo al punto P la coppia ordinata (xP , yP ).Tale corrispondenza fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali e

biunivoca. Per questo motivo, da adesso in poi, identificheremo A2 con l’insiemeR2 e utilizzeremo quest’ultimo simbolo per indicare il piano con un fissato sistemadi riferimento cartesiano ortogonale O~ı~ . Si noti che tale l’identificazione fra A2 eR2 da noi fatta dipende dalla scelta del sistema di riferimento O~ı~ e dalla sceltadell’unita di misura u: lo stesso punto P puo corrispondere a coppie numerichemolto diverse in sistemi di riferimento diversi. Percio la scrittura P = (xP , yP )significa: il punto P ∈ A2 che rispetto al sistema di riferimento fissato O~ı~ haascissa xP ed ordinata yP .

Riportiamo sotto gli assi delle ascisse, delle ordinate ed i punti Ux ed Uy associatial sistema di riferimento introdotto nella Figura 5.2 e le coordinate di un punto P

x

O

y

U

U

x

y

P

xPyP

j

i

Figura 5.3

LEZIONE 5 5

Avere un sistema di coordinate nel piano permette di fare alcuni conti veloce-mente. Per esempio e possibile calcolare la lunghezza |AB| del segmento ABdi estremi A e B in termini di tali coordinate. Infatti siano A = (xA, yA) eB = (xB , yB).

A

B

xx

y

y

A

A

B

B

x

y

C

Figura 5.4

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo ABC, che e rettangolo in C, sideduce che

(5.2.1) |AB| =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2.

Passiamo ora a descrivere il caso dello spazio affine A3.

Definizione 5.2.2. Un sistema di riferimento (cartesiano ortogonale) O~ı~~k inA3 e definito dai seguenti enti.

(SRS1) Un punto O ∈ A3 detta origine del sistema di riferimento.(SRS2) Due versori ~ı e ~ applicati in O e fra loro perpendicolari.(SRS3) Un versore ~k applicato in O, perpendicolare al piano contenente ~ı e ~ e

tale che la terna~ı ,~ ,~k sia orientata come l’indice, il medio e il pollice dellamano destra (regola della mano destra).

La regola di orientazione della terna~ı ,~ ,~k viene detta regola della mano destra.Ci sono molte altre regole equivalenti (per esempio i fisici spesso parlano dellaregola della vite).

Le direzioni di ~ı , ~ e ~k vengono dette rispettivamente asse delle ascisse (o dellex), delle ordinate (o delle y) e delle quote (o delle z). I versi di ~ı , ~ e ~k vengonodetti rispettivamente semiasse positivo delle ascisse (o delle x), delle ordinate (odelle y) e delle quote (o delle z). I versi opposti a quelli di ~ı , ~ e ~k vengono dettirispettivamente semiasse negativo delle ascisse (o delle x), delle ordinate (o delley) e delle quote (o delle z).

6 5.3. PRIME OPERAZIONI SUI VETTORI

Anche in questo caso un sistema di riferimento puo anche essere descrittopartendo dagli assi e fissando poi i versori e, quindi, spesso parleremo di sistemadi riferimento Oxyz.

Possiamo scegliere sui tre semiassi positivi delle ascisse, ordinate e quote trepunti, rispettivamente Ux, Uy e Uz a distanza 1 dall’origine O, gli estremi liberidei versori ~ı , ~ e ~k . In questo modo e possibile mettere in biiezione i punti dei treassi con i numeri reali.

Se ora P ∈ A3 e un qualsiasi punto del piano (eventualmente apparteneneteagli assi), ad esso si puo associare una terna ordinata di numeri reali come segue.Si considerino i piani πx, πy e πz passanti per P e paralleli rispettivamente alpiano yz (contenente gli assi delle ordinate e delle quote), xz (contenennte gli assidelle ascisse e delle quote) e xy (contenennte gli assi delle ascisse e delle ordinate):allora i piani πx, πy e πz intersecheranno gli assi in punti corrispondenti a numerireali xP , yP e zP (detti ascissa, ordinata e quota di P ). Assoceremo al punto Pla terna ordinata (xP , yP , zP ).

Tale corrispondenza fra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri realie biunivoca. Per questo motivo d’ora innanzi identificheremo il piano A3 con ilprodotto cartesiano R3 e utilizzeremo quest’ultimo simbolo per indicare il pianocon un fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~ı~~k .

x

y

z

O

i

j

k

U

U

U

x

y

z

P

Figura 5.5

Come visto per segmenti nel piano, dato un segmento AB ⊆ A3, se A =(xA, yA, zA), B = (xB , yB , zB), la sua lunghezza e

(5.2.3) |AB| =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2.

5.3. Prime operazioni sui vettori.D’ora innanzi ci limiteremo a considerare lo spazio R3 (cioe lo spazio affine A3

con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~ı~~k ) e vettori applicatiin esso. I risultati e le definizioni per vettori in R2 sono analoghi. Per questioni disemplicita i disegni saranno quasi sempre fatti in R2.

LEZIONE 5 7

Ogni vettore ~OP rimane individuato dal suo estremo libero: viceversa ognipunto P e individuato dal suo vettore posizione ~OP . Pertanto se P = (xP , yP , zP )spesso identificheremo ~OP con tale terna (che, ricordiamo, per noi non e altro cheuna matrice colonna!), cioe scriveremo

~OP = (xP , yP , zP )

sottintendendo che tale identificazione dipende dal sistema di riferimento fissato,come nel caso dei punti.Si ha

(5.3.1) | ~OP | = |OP | =√x2

P + y2P + z2

P .

Introduciamo in Vn(O) le due operazioni di prodotto di vettori applicati peruno scalare e di somma di vettori applicati.

Iniziamo a definire la nozione di prodotto di un vettore applicato per uno scalare,cioe per un numero reale. Siano α ∈ R e ~v = (vx, vy, vz). Definiamo prodotto di αper ~v il vettore

~u = α~v = α(vx, vy, vz) = (αvx, αvy, αvz).

Questa definizione non dipende dalla scelta di O~ı~~k . Se α 6= 0, per esempioα > 1, e ~v 6= ~0 dalla Figura 5.6, si deduce facilmente che la seguente interpretazionegeometrica se ~v 6= ~0 ed α 6= 0 la direzione di α~v coincide con la direzione di ~v, α~ve concorde con ~v se α > 0 e discorde se α < 0 e |α~v| = |α||~v|.

x

y

v αv

αv

v

x

y

x

y

v

αv

O

A

B

Figura 5.6

Passiamo ora a definire la nozione di somma di vettori applicati. Siano ~v =t ( vx vy vz ) e ~w = t (wx wy wz ). Definiamo somma di ~v e ~w il vettore

~u = ~v + ~w = (vx, vy, vz, ) + (wx, wy, wz) = (vx + wx, vy + wy, vz + wz).

8 5.3. PRIME OPERAZIONI SUI VETTORI

Notiamo che questa definizione non dipende dalla scelta O~ı~~k . Se ~v e ~wsono due vettori generali, per esempio non paralleli, dalla Figura 5.7, si deducefacilmente che la seguente interpretazione geometrica detta regola del paralle-logramma: se si considera il parallelogramma avente i due lati con vertice Ocoincidenti con i vettori applicati ~v e ~w, il vettore ~v + ~w viene a coincidere con ladiagonale uscente da O.

Si verifica facilmente che tale osservazione puo essere estesa anche al caso dicoppie di vettori non generali (per esempio, vettori paralleli o tali che uno deidue sia nullo), quindi la nostra definizione di somma non dipende, in realta, dalsistema di riferimento scelto ma solo dai vettori.

x

y

v w v +w

w

v

v +w

x

y

x

y

x x

y y

v

w

v+w

O

A

B

CE

F

Figura 5.7

Da quanto visto sopra e dalle Proposizioni 1.3.3 ed 1.3.6 segue

Proposizione 5.3.2. Valgono le seguenti proprieta:(S1) per ogni ~v, ~w ∈ Vn(O) si ha ~v + ~w = ~w + ~v (la somma e commutativa);(S2) per ogni ~u,~v, ~w ∈ Vn(O) si ha ~u + (~v + ~w) = (~u + ~v) + ~w (la somma e

associativa);(S3) il vettore nullo e l’unico elemento neutro per la somma, cioe e l’unico

vettore tale che ~0 + ~v = ~v, per ogni ~v ∈ Vn(O);(S4) per ogni ~v ∈ Vn(O), −~v e l’unico elemento opposto di ~v, cioe e l’unico

vettore tale che ~v + (−~v) = ~0;(P1) per ogni ~v ∈ Vn(O) si ha 1~v = ~v;(P2) per ogni α1, α2 ∈ R e ~v ∈ Vn(O) si ha α1(α2~v) = (α1α2)~v;

(SP1) per ogni α1, α2 ∈ R e ~v ∈ Vn(O) si ha (α1 + α2)~v = α1~v + α2~v;(SP2) per ogni α ∈ R e ~v, ~w ∈ Vn(O) si ha α(~v + ~w) = α~v + α~w. �

Poiche~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1)

si ha (si veda la Figura 5.8)

LEZIONE 5 9

Proposizione 5.3.3. Per ogni ~v ∈ V3(O) esistono unici vx, vy, vz ∈ R tali che~v = vx~ı + vy~ + vz

~k . �

x

y

i

j

vx

vy

i

j

vx

vyv

Figura 5.8

Nella scrittura sopra, si seguono le usuali convenzioni algebriche. In base alledefinizioni di prodotto di uno scalare per un vettore applicato e di somma di vettoriapplicati, si ha

α(vx~ı + vy~ + vz~k ) = (αvx)~ı + (αvy)~ + (αvz)~k ,

(vx~ı + vy~ + vz~k ) + (wx~ı + wy~ + wz

~k ) = (vx + wx)~ı+

+ (vy + wy)~ + (vz + wz)~k .

La decomposizione di un vettore geometrico secondo i tre versori e ci permette dilavorare con i vettori trattandoli come dei polinomi lineari in ~ı , ~ , ~k . Per esempiose ~v =~ı + 3~ − ~k e ~w = −2~ı − ~ + ~k in R3 allora

~v + ~w = (~ı + 3~ − ~k ) + (−2~ı − ~ + ~k ) =

= (1− 2)~ı + (3− 1)~ + (−1 + 1)~k = −~ı + 2~ ,

~v − 2~w = (~ı + 3~ − ~k )− 2(−2~ı − ~ + ~k ) =

= (1 + 4)~ı + (3 + 2)~ + (−1− 2)~k = 5~ı + 5~ − 3~k .

Ricordando quanto detto per le matrici risulta −~v = (−1)~v. E utile avere ancheuna nozione di differenza di vettori applicati ed una sua interpretazione geometrica.Come d’uso corrente, se ~v e ~w ∈ V3(O), scriveremo ~v − ~w in luogo di ~v + (−~w).Si ricordi che ~v+ ~w e la diagonale uscente da O del parallelogramma avente lati ~ve ~w. Anche per la differenza ~v − ~w c’e un’interpretazione geometrica: ovviamente

10 5.3. PRIME OPERAZIONI SUI VETTORI

e la diagonale uscente da O del parallelogramma avente lati ~v e −~w (si veda laFigura 5.9)

Poiche i parallelogrammi OACB e OBED sono congruenti, segue che ~v − ~w =~OB − ~OA e, come segmento, e parallelo e congruente alla diagonale AB orientata

da A a B.

x

y

v

w

v+w

O

v-w

-w

A

B

C

O

B

D

E

Figura 5.9

Nel seguito scriveremoB−A in luogo di ~OB− ~OA: si noti che non stiamo facendouna differenza di punti (che non ha senso), ma stiamo semplicemente definendoun nuovo simbolo per indicare un particolare vettore di V3(O). Il simbolo B − Ae utile per ricordare che se A = (xA, yA, zA) e B = (xB , yB , zB) allora

B −A = ~OB − ~OA = (xB − xA)~ı + (yB − yA)~ + (zB − zA)~k .

Concludiamo questa lezione chiarendo il rapporto fra le operazioni sopra definitee le nozioni di parallelismo e complanarita di vettori.

L’ interpretazione algebrica della nozione geometrica di parallelismo e data dalla

Proposizione 5.3.4. Siano ~v, ~w ∈ V3(O) con ~v 6= ~0. Allora ~v e ~w sono linear-mente dipendenti (cioe ~v ‖ ~w) se e solo se esiste α ∈ R tale che ~w = α~v.

Dimostrazione. Supponiamo sia ~w = α~v: se ~w = ~0 per definizione ~w ‖ ~v. Se~w 6= ~0, dall’interpretazione geometrica del prodotto per scalari, segue ~w ‖ ~v.

Viceversa supponiamo che ~w ‖ ~v. Se ~w = ~0 allora ~w = 0~v. Sia ~w 6= ~0. Se ~v, ~wsono concordi definiamo α = |~w|/|~v|, se sono discordi α = −|~w|/|~v|. Allora α~v eun vettore avente stessa direzione di ~v (e di ~w), verso coincidente con quello di ~vse ~v, ~w sono concordi, opposto se ~v, ~w sono discordi (quindi ha verso coincidentecon quello di ~w) e modulo pari a |α| |~v| = (|~w|/|~v|)|~v| = |~w|. Quindi ~w = α~v. �

Sia ~v ∈ V3(O) e sia vers~v il versore ad esso parallelo e concorde: allora si deveavere vers~v = α~v con α > 0: calcolando i moduli si ottiene 1 = | vers~v| = α|~v| da

LEZIONE 5 11

cui si deduce che vers~v = ~v/|~v|. Ovviamente −~v = (−1) vers~v e il versore ad essoparallelo e discorde.

Proposizione 5.3.5. Siano ~u,~v, ~w ∈ V3(O) con ~v 6‖ ~w. Allora ~u,~v, ~w sonolinearmente dipendenti (cioe sono complanari) se e solo se esistono α, β ∈ Rtali che ~u = α~v + β ~w.

Dimostrazione. Supponiamo sia ~u = α~v + β ~w: in base all’interpretazione geome-trica della somma abbiamo che ~u,~v, ~w giacciono in uno stesso piano.

v

w

αv+βw

O

S

R P

s

r

Figura 5.10

Viceversa supponiamo che ~u,~v, ~w giacciano in uno stesso piano: supponiamoche P sia l’estremo libero di ~u. Le rette per P parallele alle direzioni r ed s di ~v e~w rispettivamente, intersecano s ed r rispettivamente in due punti S e R tali cheil quadrilatero OSPR e un parallelogramma.

Per costruzione ~OS ‖ ~w e ~OR ‖ ~v, quindi esistono α, β ∈ R tali che ~OS = β ~w e~OR = α~v: allora il significato geometrico di somma di vettori applicati ci permette

di scrivere ~OP = α~v + β ~w. �

Dalle Proposizioni 5.3.4 e 5.3.5 segue

Proposizione 5.3.6. Siano dati i punti A = (xA, yA, zA), B = (xB , yB , zB),C = (xC , yC , zC), D = (xD, yD, zD) di R3.i) A, B, C non sono in posizione generale (cioe sono allineati) se e solo se

rk(xB − xA yB − yA zB − zA

xC − xA yC − yA zC − zA

)≤ 1.

ii) A, B, C, D non sono in posizione generale (cioe sono complanari) se e solo se

rk

xB − xA yB − yA zB − zA

xC − xA yC − yA zC − zA

xD − xA yD − yA zD − zA

≤ 2.

12 5.3. PRIME OPERAZIONI SUI VETTORI

Proof. Se A = B = C non c’e nulla da verificare: supponiamo percio B − A 6= ~0.I punti A, B, C sono allineati se e solo se esiste t ∈ R tale che (xC − xA)~ı +(yC −yA)~ + (zC − zA)~k = t((xB−xA)~ı + (yB−yA)~ + (zB− zA))~k (Proposizione5.3.9), cioe se e solo se con l’operazione elementare R2 → R2 − tR1 la matricesopra indicata si trasforma in(

xB − xA yB − yA zB − zA

0 0 0

),

cioe se e solo se ha rango al piu 1.Se i punti A, B, C, D sono allineati non c’e nulla da verificare: supponiamo

percio B − A 6‖ C − A. I punti A, B, C, D sono complanari se e solo se esistonot, u ∈ R tale che (xD − xA)~ı + (yD − yA)~ + (zD − zA)~k = t((xB − xA)~ı + (yB −yA)~ + (zB − zA))~k + u((xC − xA)~ı + (yC − yA)~ + (zC − zA))~k (Proposizione5.3.10), cioe se e solo se con l’operazione elementare R3 → R3 − tR1 − uR2 lamatrice sopra indicata si trasforma inxB − xA yB − yA zB − zA

xC − xA yC − yA zC − zA

0 0 0

,

cioe se e solo se ha rango al piu 2. �