AKAR-AKAR AKAR-AKAR PERSAMAANPERSAMAAN Metode TertutupMetode Tertutup

Metode Bagi duaMetode Bagi dua Metode Metode Interpolasi LinearInterpolasi Linear

Metode Iterasi Titik TetapMetode Iterasi Titik Tetap Metode Newton – RaphsonMetode Newton – Raphson Metode SecantMetode Secant

Metode TerMetode Terbukabuka

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif. Secara umum dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu:

1. Metode Tertutup atau Pengurungan (bracketing method) Mencari akar di dalam selang [a,b] yang berisikan minimal satu akar, disebut juga metode konvergen.

2. Metode Terbuka Tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar. Hanya memerlukan tebakan awal akar. Metode ini tidak selalu berhasil, kadang-kadand konvergen, kadang kala divergen.

AKAR-AKAR PERSAMAANAKAR-AKAR PERSAMAAN

Metode TertutupMetode Tertutup

Metode Bagi DuaMetode Bagi Dua

akar persamaan

f(x)

x1 x3x4 x2

x

y

x5

x1 x2x3

x3

x3 x4

x4x5

x2

LangkaLangkahh-langkah yang dilakukan:-langkah yang dilakukan:

1.1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai

pada perubahan tanda dari fungsi f(xpada perubahan tanda dari fungsi f(xnn) dan f(x) dan f(xn+1n+1), yaitu ), yaitu

apabila f(xapabila f(xnn) . f(x) . f(xn+1n+1) < 0) < 0

2. Perkira2. Perkirakkan an awal awal dari akar xdari akar xtt dihitung dengan dihitung dengan

2

)( 1 nn

t

xxx

Metode TertutupMetode Tertutup

Metode Bagi DuaMetode Bagi Dua

33. Buat evaluasi berikut untuk menentukan didalam . Buat evaluasi berikut untuk menentukan didalam sub interval dan apakah f(xsub interval dan apakah f(xnn) dan f(x) dan f(xn+1n+1) yang ) yang berlawanan tanda dengan f(xberlawanan tanda dengan f(xtt).). Jika f(xn).f(xt)<0, akar persamaan berada pada sub interval pertama atau

bila f(xn) yang berlawanan tanda dengan f(xt), kemudian tetapkan xn+1=xt maka lanjutkan ke langkah 4

Jika f(xn).f(xt)>0, akar persamaan berada pada sub interval kedua atau bila f(xn+1) yang berlawanan tanda dengan f(xt), kemudian tetapkan xn=xt maka lanjutkan ke langkah 4

Jika f(xn).f(xt)=0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai

4. Hitung perkiraan baru dari akar xt dengan cara seperti langkah 2

2

)( 1 nn

t

xxx

5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan selesai, dan xt adalah persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.

f(xn+1)

xnx* xn+1

x

y

xn+1-xn

xn+1-x*

f(xn+1)-f(xn)

Metode TertutupMetode Tertutup

Metode Interpolasi Linier Metode Interpolasi Linier (False Position Method)(False Position Method)

1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada

perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), f(xn) dan f(xn+1)

berlawanan tanda.

2. Perkiraan dari akar xt dihitung dengan:

3. Hitung nilai f(xt)

)()(

))((

1

111

nn

nnnnt xfxf

xxxfxx

Metode TertutupMetode Tertutup

Metode Interpolasi Linier Metode Interpolasi Linier (False Position Method)(False Position Method)

Langkah-langkah perhitungan:

4. Buat evaluasi: apakah f(xn) dan f(xn+1) yang berlawanan tanda

dengan f(xt).

Bila f(xn) yang berlawanan tanda dengan f(xt), tetapkan xt

= xn+1 dan kembali ke langkah 2 Bila f(xn+1) yang berlawanan tanda dengan f(xt), tetapkan

xt = xn dan kembali ke langkah 2 Bila f(xt) = 0, perhitungan selesai, dam xt adalah akar

persamaan yang dicari.

Metode TerbukaMetode Terbuka Metode Iterasi Titik-TetapLangkah-langkah perhitungan:1. Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi x = g(x)2. Bentuk menjadi prosedur iterasi xr+1 = g(x)3. Perkirakan sebuah nilai awal x0

4. Kondisi berhenti iterasi dinyatakan bila | xr+1 – xr | < E atau bila

menggunakan galat hampiran | xr+1 – xr | < δ, nilai E dan δ ditetapkan sebelumnya.

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu:

Metode Newton-Raphson

1. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri

2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret

Taylor

1. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri

Gradien garis singgung di xi adalah

atau

Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah

,

1

0)()('

rr

rr xx

xf

x

yxfm

1

)()('

rr

rr xx

xfxf

)('

)(1

r

rrr xf

xfxx 0)(' xf

2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deretTaylor

Iterasi Newton-Raphson berhenti jika | xr+1 – xr | < E

bila menggunakan galat relative hampiran

< δ

Dengan E dan δ adalah toleransi galat yang diinginkan.

Ingat ya.............1. Jika terjadi f’(x) = 0, ulang kembali perhitungan iterasi dengan

x0 yang lain.2. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan

x0 yang berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain.

rr

r xx

x

1

1

Langkah-langkah perhitungan:1. Pilih nilai awal xr sembarang2. Hitung nilai f’(xr), kemudian xr+1 dan f(xr+1)3. Tetapkan nilai xr = xr+1, kembali ke langkah 2, bila

f(xr+1) mendekati nol perhitungan selesai.

Metode SecantMerupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson

Berdasarkan gambar, dapat kita hitung gradientnya

Sulihkan dengan metode Newton-Raphson

Dalam hal ini diperlukan dua buah tebakan awal akar, x0 dan x1

Iterasi dihentikan jika telah berada pada kondisi | xr+1 – xr | < E

Jika menggunakan galat relative hampiran

1

1 )()()('

rr

rrr xx

xfxf

BC

AC

x

yxfm

)('

)(1

r

rrr xf

xfxx )()(

))((

1

11

rr

rrrrr xfxf

xxxfxx

1

1

r

rr

x

xx< δ

Dengan E dan δ adalah toleransi galat yang diinginkan

Langkah-langkah perhitungan

1. Perkirakan dua buah nilai awal xr-1 dan xr

2. Hitung nilai f(x) untuk masing-masing nilai3. Perkirakan

4. Tetapkan kembali xr-1 dan xr

5. Hitung kembali nilai xr+1 dan f(xr+1), perhitungan dihentikan sampai f(xr+1) mendekati nol.

)()(

))((

1

11

rr

rrrrr xfxf

xxxfxx