Download pdf - Automata C8

L thuyt tmt & NNHT - Khoa Cng Ngh Thng Tin

Chng 8 Cc tnh cht ca NNPNC H NNPNC chim mt v tr trung tm trong h thng phn cp

cc ngn ng hnh thc. Mt mt, NNPNC bao gm cc h ngn ng quan trng nhng

b gii hn chng hn nh cc NNPNC v PNC. Mt khc, c cc h ngn ng khc rng ln hn m NNPNC

ch l mt trng hp c bit. nghin cu mi quan h gia cc h ngn ng v trnh by

nhng ci ging nhau v khc nhau ca chng, chng ta nghin cu cc tnh cht c trng ca cc h khc nhau.

Nh trong Chng 4, chng ta xem xt tnh ng di nhiu php ton khc nhau, cc gii thut xc nh tnh thnh vin, v cui cng l b bm.


Chng 8 Cc tnh cht ca NNPNC

8.1 Hai b bm8.2 Tnh ng v cc gii thut quyt nh cho NNPNC


B bm cho NNPNC nh l 8.1

Cho L l mt NNPNC v hn, tn ti mt s nguyn dng msao cho bt k chui w no L vi |w| m, w c th c phn hoch thnh

w = uvxyz (8.1) vi|vxy| m (8.2) v|vy| 1 (8.3) sao chouvixyiz L (8.4) i = 0, 1, 2, ...

nh l ny c gi l b bm cho NNPNC. Chng minh

Xt ngn ng L {}. y l NNPNC vn phm c dng chun Chomsky G chp nhn n.


Chng minh B

Nu cy dn xut ca mt chui w c sinh ra bi mt vn phm Chomsky m c chiu di mi con ng i t gc ti lnh hn hay bng h th |w| 2h-1.

B ny c th chng minh bng qui np da trn h.

Tr li chng minh ca nh l. Gi s G c k bin (|V| = k). Chn m = 2k. Ly w bt k L sao cho |w| m. Xt cy dn xut T ca w.

Theo b trn suy ra T phi c t nht mt con ng i tgc ti l c chiu di k+1.

S

a B

S

AT1 T2


Chng minh (tt) Xt mt ng nh vy. Trn ng ny c k+2 phn t. Nu

khng tnh nt l l k hiu kt thc th c k+1 nt l bin. V tp bin ch c k bin hai nt trng vo mt bin. Gi

s l bin A (hai ln xut hin k hiu l A1 v A2)

u

v xy

zA2

S

A1

Cy dn xut T ca w


Chng minh (tt) Trong cy trn, gi u, v, x, y, z l cc chui c tnh cht sau:

S uA1z (1)A1 vA2y (2)A2 x (3)

V w = uvxyz. vxy l kt qu ca cy c gc l A1 m mi con ng ca cy

ny c chiu di (k +1) theo b trn |vxy| 2k = m.Mt khc v vn phm c dng chun Chomsky tc l khng clut sinh-n v v lut sinh- nn t (2) suy ra |vy| 1.

T (1), (2), (3) chng ta c: S uAz uvAyz uviAyiz uvixyiz

hay uvixyiz L i = 0, 1, 2, . . . iu ny kt thc chng minh.

***

* * * *


V d B bm ny c dng chng minh mt ngn ng l

khng PNC tng t nh Chng 4.

V d Chng minh ngn ng L = {anbncn : n 0} l khng PNC.

Chng minh Gi s L l PNC s nguyn dng m.

Chn w = ambmcm L. mt phn hoch ca w thnh b 5w = uvxyz

V |vxy| m nn vxy khng cha ng thi c 3 k hiu a, b, c.Chn i = 2 w2 = uv2xy2z s cha a, b, c vi s lng khng bng nhau w2 L (>


Bi tp

Ngn ng no sau y PNC? Chng minh. L1 = {anbjck: k = jn} L2 = {anbjck: k > n, k > j} L3 = {anbjck: n < j, n k j} L5 = { anbjanbj: n 0, j 0} L4 = {w: na(w) < nb(w) < nc(w)} L6 = { anbjakbl: n + j k + l} L7 = { anbjakbl: n k, j l} L8 = {anbncj: n j}


B bm cho ngn ng tuyn tnh

nh ngha 8.1 Mt NNPNC L c gi l tuyn tnh nu mt VPPNC tuyn

tnh G sao cho L = L(G). nh l 8.2

Cho L l mt NN tuyn tnh v hn, tn ti mt s nguyn dng m sao cho bt k chui w no L vi |w| m, w c th c phn hoch thnh w = uvxyz vi

|uvyz| m (8.7) v|vy| 1 (8.8) sao chouvixyiz L (8.9) i = 0, 1, 2, ...


Chng minh Gi G l vn phm tuyn tnh m khng cha lut sinh-n v

v lut sinh-. Gi k = max {cc chiu di v phi} mi bc dn xut

chiu di dng cu tng ti a (k-1) k hiu mt chui w dn xut di p bc th |w| 1 + p(k-1) (1).

t |V|= n. Chn m = 2 + n(k-1). Xt w bt k L, |w| m. (1) dn xut ca w c (n+1) bc dn xut c (n+1) dng cu m khng phi l cu. Ch mi dng cu c ng mt bin.

Xt (n+1) dng cu u tin ca dn xut trn hai bin ca hai dng cu no trng nhau, gi s l bin A. Nh vy dn xut ca w phi c dng:

S uAz uvAyz uvxyz, (2)vi u, v, x, y, z T*.

* * *


Chng minh (tt) Xt dn xut ring phn

S uAz uvAyzv A c lp li trong (n + 1) dng cu u tin nn dy ny c n bc dn xut |uvAyz| 1 + n(k-1), |uvyz| n(k-1) < m. Mt khc v G khng c lut sinh-n v v lut sinh- nn ta c |vy|1.

T (2) cng suy ra:S uAz uvAyz uviAyiz uvixyiz

uvixyiz L i = 0, 1, 2, ... Chng minh hon tt.

**

* * * *


V d Chng minh ngn ng L = {w: na(w) = nb(w)} l khng tuyn

tnh. Chng minh

Gi s L l tuyn tnh. Chn w = amb2mam.T (8.7) u, v, y, z phi cha ton a. Nu bm chui ny ln, chng ta nhn c chui am+kb2mam+l, vi k 1 hoc l 1, mchui ny L (>


Bi tp

Ngn ng no sau y PNC tuyn tnh? Chng minh. L1 = {anbnambm: n, m 0} L2 = { w: na(w) nb(w)} L3 = {anbj: j n 2j - 1} L4 = L(G) vi G c cho nh sau:

E T | E + TT F | T * FF I | (E)I a | b | c


Tnh ng ca NNPNC

nh l 8.3 H NNPNC l ng di php hi, kt ni, v bao ng sao.

Chng minh Gi s G1 = (V1, T1, S1, P1), G2 = (V2, T2, S2, P2) l hai VPPNC.

Vn phm G3 = (V1 V2 {S3}, T1 T2, S3, P1 P2 {S3 S1 | S2}) s c L(G3) = L(G1) L(G2).Vn phm G4 = (V1 V2 {S4}, T1 T2, S4, P1 P2 {S4 S1S2}) s c L(G4) = L(G1)L(G2).Vn phm G5 = (V1 {S5}, T1, S5, P1 {S5 S1S5 | }) s cL(G5) = L(G1)*.


Tnh ng ca NNPNC (tt)

nh l 8.4 H NNPNC khng ng di php giao v b.

Chng minh Hai ngn ng {anbncm: n, m 0} v {anbmcm: n, m 0} l phi

ng cnh, tuy nhin giao ca chng l ngn ng {anbncn: n 0} li khng phi ng cnh, nn h NNPNC khng ng di php giao.

Da vo lut Morgan suy ra h NNPNC cng khng ng di php b. V nu ng i vi php b th da vo tnh ng i vi php hi suy ra tnh ng di php giao theo lut Morgan.


Tnh ng ca NNPNC (tt) nh l 8.5

Cho L1 l mt NNPNC v L2 l mt NNCQ, th L1 L2 l phi ng cnh. Chng ta ni rng h NNPNC l ng di php giao chnh qui.

Chng minh Cho M1 = (Q, , , 1, q0, z, F1) l npda chp nhn L1 v M2 =

(P, , 2, p0, F2) l dfa chp nhn L2. Xy dng mt npda M= (Q, , , , q0, z, F) m phng

hot ng song song ca M1 v M2Q = Q P, q0 = (q0, p0), F = F1 F2,((qk, pl), x) ((qi, pj), a, b), (qk, x) 1(qi, a, b), v 2(pj, a) = pl,


Tnh ng ca NNPNC (tt) Nu a = , th pj = pl. Bng qui np chng minh rng*((q0, p0), w, z) |-*M ((qr, ps), x), vi qr F1 v ps F2 1*(q0, w, z) |-*M1 (qr, x), cn 2*(p0, w) = ps.

V vy L(M) = L(M1) L(M2) (iu phi chng minh)


Mt vi tnh cht kh quyt nh ca NNPNC

nh l 8.6 Cho mt VPPNC G = (V, T, S, P), th tn ti mt gii thut

quyt nh L(G) c trng hay khng. nh l 8.7

Cho mt VPPNC G = (V, T, S, P), th tn ti mt gii thut quyt nh L(G) c v hn hay khng.