Download doc - Bab 1 - Bentuk Pangkat, Akar, Dan Logaritma (Final)

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

1. Bilangan dengan Pangkat Bilangan Bulat positif

Jika Anda mengalikan bilangan 3 dengan 3 sebanyak 4 kali, Anda dapat menuliskannya dengan cara atau dengan mengunakan bentuk pangkat, yaitu . Pada bentuk pangkat , 3 disebut bilangan pokok atau basis, sedangkan 4 disebut pangkat atau eksponen. Sedangkan 81 merupakan hasil perpangkatan tersebut.

Penulisan dalam pangkat tentu lebih praktis dan memudahkan dibandingkan dengan penulisan perkalian secara berulang. Misalnya Anda akan lebih mudah menuliskan daripada menuliskan . Demikian juga dalam perhitungan yang melibatkan operasi untuk bilangan berpangkat, penulisan bentuk pangkat jauh lebih praktis.

Secara umum, dapat Anda simpulkan:

Hitunglah hasil perpangkatan berikut:

1.

2.

3.

Penyelesaian:1.

3.

2.

2. Bilangan dengan Pangkat Nol

Anda telah mempelajari pangkat bilangan bulat positif. Nah, sekarang bagaimana jika sebuah bilangan dipangkatkan 0? Berapa hasilnya? Untuk memahaminya, perhatikan uraian berikut.

Jika diteruskan, maka akan Anda dapatkan bahwa . Dan ternyata, ini berlaku untuk semua bilangan selain 0. Dengan demikian, dapat Anda simpulkan:

Kesimpulan itu dapat Anda ingat sebagai berikut: Bilangan berapapun selain nol jika dipangkatkan nol hasilnya adalah 1.

Nah, dapatkah Anda menunjukkan mengapa pada kesimpulan di atas disyaratkan ?

Ya, bilangan 0 jika dipangkatkan n, dengan n bilangan bulat positif, hasilnya selalu 0. Ini disebabkan oleh adanya perkalian dengan 0. Misalnya , dan seterusnya. Sekarang tentu tidak mungkin Anda nyatakan bahwa , karena 0 dikalikan dengan berapapun hasilnya tidak mungkin 1. Oleh sebab itu, bentuk merupakan bentuk tak tentu.

Uraian tersebut menyimpulkan hal-hal berikut:

3. Bilangan dengan Pangkat Bilangan Bulat Negatif

Untuk mengetahui pangkat bilangan bulat negatif, perhatikan kembali uraian berikut.

Jika pangkat dari 2 terus berkurang satu-satu, maka akan didapat bahwa

dan seterusnya, sehingga dapat Anda simpulkan:

Hitunglah perpangkatan berikut. 1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

4. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Pada bagian ini, Anda akan mempelajari sifat-sifat operasi dari bilangan berpangkat. Sifat-sifat ini diturunkan berdasarkan sifat-sifat operasi yang telah Anda pelajari sebelumnya di bangku SMP, yaitu:

Sifat komutatif perkalian:

Sifat asosiatif perkalian

:

Sifat pembagian

:

Ketiga sifat di atas akan membantu dalam menurunkan sifat-sifat berikut.

a. Sifat 1.1

Berdasarkan definisi perpangkatan, maka

,

sehingga

Dengan demikian, dapat Anda simpulkan sifat berikut

b. Sifat 1.2

Dengan demikian, dapat pula Anda simpulkan sifat berikut

Selain dua sifat di atas, masih ada sifat-sifat yang lain, yaitu :

c. Sifat 1.3

d. Sifat 1.4

, dane. Sifat 1.5

Hitunglah bentuk-bentuk berikut dengan menyederhanakannya terlebih dahulu.

1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

5. Notasi Ilmiah

Setiap bilangan p dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi ilmiah. Adapun bentuk notasi ilmiah adalah sebagai berikut,

Untuk menentukan bilangan , seringkali digunakan aturan pembulatan, yaitu sebagai berikut.

Jika Aturan suatu pembulatan adalah sebagai berikut:

Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari 5, maka angka di depannya bertambah satu.

Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, maka angka di depannya tetap.

Jika angka yang mengalami pembulatan adalah 5, maka aturanya sebagai berikut:

Jika angka di depannya merupakan bilangan ganjil, maka angka itu bertambah satu, dan

Jika angka di depannya merupakan bilangan genap, maka angka itu tetap.

Ubah bilangan-bilangan berikut ke dalam notasi ilmiah dengan pembulatan dua angka di belakang koma.

1. 25.670.000

2. 0,063453

Penyelesaian:1.

2.

B. Bentuk Akar

1. Bilangan Rasional dan Bentuk Akar

a. Pengertian Bilangan Rasional

Sebelum membahas bentuk akar, di sini akan dibahas terlebih dahulu pengertian dari bilangan rasional. Untuk itu perhatikan bilangan-bilangan berikut.

1. 7

4.

7.

2.

5.

3.

6.

Bilangan-bilangan di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat yang saling prima, yaitu sebagai berikut:

1.

4.

7.

2.

5.

3.

6.

Karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat yang saling prima, maka bilangan-bilangan tersebut termasuk ke dalam bilangan rasional.

Sekarang perhatikan bilangan dengan desimal berulang berikut.1. 0,333333....

2. 2,125125125...

Untuk memudahkan penulisan, desimal berulang dari dua bilangan itu dapat dinyatakan dengan menuliskan tanda di atas angka desimal yang berulang itu. Dengan cara ini, kedua bilangan tersebut dapat ditulis sebagai .

Kedua bilangan di atas termasuk ke dalam bilangan rasional, karena kedua bilangan itu dapat dinyatakan ke dalam bentuk , yaitu dan . Dengan demikian, dan juga termasuk bilangan rasional. Secara umum, bilangan yang memiliki jumlah desimal berhingga atau berulang merupakan bilangan rasional.

Sekarang perhatikan bilangan-bilangan berikut.

1.

2. 2,356783987683...

Kedua bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk , karena memiliki desimal yang tak hingga dan tidak berulang. Demikian pula dengan 2,356783987683... Bilangan-bilangan yang bukan merupakan bilangan rasional disebut bilangan irasional. Termasuk ke dalam bilangan irasional di antaranya adalah , , , dan .

Dari uraian di atas, pengertian bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai berikut:

Ubahlah menjadi bentuk .Penyelesaian:

Misalkan

Jadi,

Buktikan bahwa merupakan bilangan irasional.

Penyelesaian:Andaikan maka terdapat sehingga Pilih pasangan p dan q sehingga merupakan pecahan yang paling sederhana, yaitu jika p dan q saling prima.

Karena p dan q bilangan genap, maka 3 merupakan faktor p dan q. Kontradiksi dengan pemilihan p dan q yang saling prima.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

(Terbukti)

b. Bilangan Bentuk Akar sebagai Bilangan Rasional

Setelah mempelajari pengertian bilangan irasional, sekarang Anda akan mempelajari pengertian dari bilangan bentuk akar.

Bila Anda menarik akar dari suatu bilangan, maka ada tiga kemungkinan dari hasil yang Anda peroleh, yaitu:

Hasilnya berupa bilangan rasional, misalnya dan .

Hasilnya berupa bilangan irasional, misalnya dan , atau

Hasilnya bukan berupa bilangan real, misalnya , dan . Jika Anda menghitung penarikan akar dari kedua bilangan itu dengan menggunakan kalkulator, akan tampil tulisan error pada layar.

Nah, yang dimaksud dengan bilangan bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang menghasilkan bilangan irasional. Dengan demikian, adalah beberapa contoh dari bilangan bentuk akar. Sementara itu, bukan merupakan bilangan bentuk akar.

Dengan demikian, pengertian dari bilangan bentuk akar dapat dinyatakan sebagai berikut:

Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bilangan bentuk akar.

a.

b.

c.

d.

Penyelesaian:a. . Karena , maka bukan merupakan bilangan bentuk akar.

b. . Karena , maka 0 juga bukan merupakan bilangan bentuk akar.

c. . Karena , maka . Oleh sebab itu, merupakan bilangan bentuk akar.

d. . Karena , maka bukan merupakan bilangan bentuk akar.

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Berapakah ? Hasilnya dapat Anda hitung dengan mudah, yaitu . Namun, selain dengan cara tersebut, ada cara lain yang tampak serupa tapi tak sama. Cara itu adalah sebagai berikut:

.

Sepintas, cara kedua tampak tidak praktis. Namun coba bandingkan kedua cara tersebut jika Anda harus menghitung nilai dari . Dengan cara pertama, akan Anda dapatkan bahwa masing-masing akar menghasilkan bilangan irasional, dan tentunya lebih merepotkan. Namun dengan cara kedua, Anda akan mendapatkan bahwa . Perhatikan bahwa dengan cara kedua hasilnya merupakan bilangan rasional.

Uraian di atas sebenarnya bermaksud untuk menunjukkan sifat bahwa . Lebih dari itu, sifat ini dapat diperluas menjadi sifat berikut.

Selain itu, bantuan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan akan membantu dalam menunjukkan sifat berikut:

Kedua sifat tersebut akan banyak kita gunakan dalam menyederhanakan suatu bentuk akar.

Sederhanakan bentuk akar berikut.

a.

c.

b.

Penyelesaian:a.

b.

c.

3. Menyederhanakan bentuk akar di dalam akar

Bagaimana bila Anda diminta untuk menyederhanakan bentuk ? Ternyata, bentuk tersebut dapat Anda sederhanakan menjadi bentuk , dengan . Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

dapat dipandang juga dalam bentuk . Dari sini dapat diperoleh bahwa

Jika , maka.

Ubahlah bentuk-bentuk akar berikut menjadi bentuk atau .

1.

2.

Penyelesaian:1. . Karena bentuk sudah menjadi bentuk , maka Anda hanya perlu mencari bilangan a dan b yang memenuhi dan . Dan nilai a dan b yang memenuhi adalah . Sehingga

2. Karena bentuk sudah menjadi bentuk , maka Anda hanya perlu mencari bilangan a dan b yang memenuhi dan . Dan nilai a dan b yang memenuhi adalah dan . Sehingga .

4. Perkalian Bilangan Bentuk Akar

Sifat 1.6 dan sifat 1.7 juga dapat membantu Anda dalam melakukan perkalian bentuk bilangan bentuk akar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Sederhanakanlah perkalian bilangan-bilangan berikut.

a.

c.

b.

d.

Penyelesaian:a.

b. c.

d.

5. Bentuk Akar Sekawan

Perhatikan contoh berikut.

Kalikanlah bentuk-bentuk berikut. a.

b.

Penyelesaian:a.

b.

Bila Anda perhatikan contoh di atas, hasil perkalian tersebut semuanya dapat menghilangkan bentuk akar. Nah, suatu bentuk akar yang apabila dikalikan dengan bentuk akar yang lain dapat menghilangkan tanda akar disebut bentuk akar sekawan dari bentuk akar tersebut.

Dari Contoh 1.11, bentuk akar sekawan dari . Sementara itu, bentuk akar sekawan dari . Demikian pula sebaliknya, bentuk akar sekawan dari . Dengan demikian, dapat Anda simpulkan sifat berikut:

Bentuk akar sekawan seperti ini seharusnya tidak terlalu mengejutkan Anda. Ini karena Anda telah mempelajari dan mengetahui dengan baik bahwa .

6. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan

Dapatkah Anda memaknai bentuk satuan? Ini artinya 1 satuan dibagi . Dan ini cukup sulit dipahami dan dimaknai, baik secara geometris maupun secara numerik.

Sekarang bandingkan dengan bentuk satuan. Ini artinya setengah dari satuan. Bentuk ini dapat diilustrasikan seperti pada gambar di samping. (Gambar 1.1).Sebenarnya bentuk sama dengan bentuk . Namun secara makna, bentuk yang kedua lebih mudah dipahami dan digambarkan, baik secara geometris maupun secara numerik, daripada bentuk pertama. Adapun bentuk yang kedua merupakan hasil dari merasionalkan penyebut dari bentuk pertama.

Dari uraian di atas, bila ada suatu bilangan yang penyebutnya mengandung bilangan irasional, maka sebaiknya bilangan tersebut diubah sedemikian sehingga penyebutnya adalah bilangan rasional, tanpa mengubah nilai dari bilangan tersebut. Proses untuk mengubah penyebut suatu bilangan sehingga penyebutnya menjadi bilangan rasional disebut proses merasionalkan penyebut suatu pecahan.

Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan adalah dengan mengalikan penyebut tersebut dengan bentuk akar sekawannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut

Rasionalkan penyebut dari bentuk-bentuk pecahan berikut:

a.

b.

c.

Penyelesaian:a.

b.

Catatan : . Ingat bentuk

c.

7. Bilangan dengan Pangkat Bilangan Rasional

a. Pangkat Bilangan Rasional

Anda telah mengetahui bentuk bentuk berikut..

karena .

, karena .

Selain dengan menggunakan notasi akar (), penarikan akar suatu bilangan juga dapat dinyatakan dengan menggunakan pangkat.

dapat dinyatakan pula sebagai , dan dapat dinyatakan dengan . Dengan demikian, dan .

Secara umum, dapat Anda tuliskan bahwa .

1. Tunjukkan bahwa

2. Hitunglah nilai dari dan .

Penyelesaian:1.

2. . Karena

Catatan :

C. Perpangkatan Bentuk Aljabar

1. Sifat-sifat Perpangkatan Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah bentuk yang memuat variabel. Yang dimaksud dengan variabel adalah suatu bentuk yang tidak ditentukan secara pasti nilainya. Kebalikan dari istilah variabel adalah konstanta, yaitu suatu nilai yang telah diketahui secara pasti. Variabel dalam aljabar biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya dan sebagainya.

Meskipun suatu variabel dapat mewakili nilai berapapun, namun perlu diingat dan diperhatikan dua hal berikut ini, yaitu:

1. penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol, dan

2. nilai di dalam tanda akar pangkat genap (akar pangkat 2, akar pangkat 4, dan seterusnya) selalu bernilai lebih dari atau sama dengan nol .

Kedua rambu tersebut selalu menjadi patokan operasi-operasi dalam bentuk aljabar.

Berbicara mengenai sifat-sifat perpangkatan bentuk aljabar pada dasarnya sama dengan sifat-sifat perpangkatan pada bilangan yang telah kita bahas sebelumnya. Sifat-sifat tersebut adalah:

Selain dari itu, apabila dalam penyederhanaan diharuskan melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan antar bentuk aljabar, maka hanya suku yang sejenis yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Sederhanakan bentuk-bentuk ajabar berikut.

1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

2. Persamaan Pangkat Bentuk Aljabar

Selain penyerderhanaan, seringkali masalah suatu bentuk aljabar disajikan dalam bentuk persamaan. Menyelesaikan suatu persamaan artinya Anda diminta untuk menentukan nilai-nilai dari variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai itu bisa hanya satu, bisa juga lebih dari satu. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan-persamaan berikut.

1.

3.

2.

Penyelesaian:1. . Karena , maka

2.

3.

Ingat :

Karena , maka , sehingga didapat

D. Logaritma

1. Logaritma Sebagai Invers Perpangkatan

Jika Anda memakai kemeja dengan suatu proses tertentu (misalnya dengan dimulai dari memasukkan tangan ke lengan baju, mengancingkan kancing baju, dan sebagainya), maka dengan proses sebaliknya, Anda dapat juga melepas kemeja itu. Demikian pula dengan sebuah fungsi. Jika menyatakan fungsi f dengan domain x yang menghasilkan y, maka Anda juga dapat menentukan nilai x jika nilai y dari fungsi itu diketahui.

Misalnya suatu fungsi memetakan setiap himpunan X ke himpunan Y, dengan aturan fungsi . Jika diketahui maka Anda dapat menentukan nilai x yang berpasangan dengan 32. Nilai tersebut adalah , karena .

Menentukan nilai x dari nilai y yang diketahui disebut operasi invers dari suatu fungsi. Singkat kata, jika memakai kemeja merupakan suatu fungsi, maka melepas kemeja merupakan invers dari fungsi tersebut.

Demikian pula dengan operasi perpangkatan. Invers dari perpangkatan disebut dengan istilah logaritma.

Pada bahasan mengenai bilangan berpangkat, jika , maka Anda dapat menentukan nilai jika diketahui dan . Nah, sekarang bagaimana bila Anda diminta menentukan nilai jika dan diketahui? Untuk menentukan nilai n, maka diperkenalkanlah istilah logaritma dari suatu bilangan.

Dari uraian dan definisi tersebut, tampak jelas bahwa logaritma merupakan invers dari bentuk perpangkatan.

2. Sifat-sifat Logaritma

Karena logaritma merupakan invers dari perpangkatan, maka sifat-sifat logaritma pada dasarnya diturunkan dari sifat-sifat perpangkatan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.

Berikut ini akan dibuktikan beberapa sifat logaritma tersebut.

1. Bukti Sifat 1:

Sifat ini sudah cukup jelas, coba Anda buktikan sendiri.

2. Bukti Sifat 2:

Bukti sifat ini juga cukup jelas. Coba Anda buktikan sendiri.

3. Bukti Sifat 3:

Jika , maka . Dan jika , maka .

Jika x dan y dikalikan, maka diperoleh . Dari persamaan , jika ditulis dalam bentuk logaritma, maka didapat .

Karena , maka (terbukti)

4. Bukti Sifat 4:

Pembuktian sifat ini hampir sama dengan pembuktian sifat 3. Dengan menggunakan sifat , silakan Anda buktikan sifat ini sendiri.

5. Bukti Sifat 5:

Untuk membuktikan sifat ini, silakan Anda coba dengan mengisi titik-titik di bawah ini.

6. Bukti Sifat 6:

Misalkan , maka

Jika kedua ruas diambil logaritma dengan basis p, maka

karena , maka .... (terbukti)

Jika dipilih , maka

dengan demikian terbukti bahwa .

7. Bukti Sifat 7:

Dengan menggunakan sifat 6, silakan Anda buktikan sifat ini.

8. Bukti Sifat 8:

Coba Anda buktikan sifat ini. Sebagai bantuan, gunakan sifat 6.

9. Bukti Sifat 9:

Jika , maka . Karena , maka

Dengan demikian, maka ...(terbukti)

Tentukan nilai logaritma berikut.

1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

Jika , tentukan .

Penyelesaian:Diketahui :

Ditanyakan: ...?

Jawab

:

3. Menentukan Nilai Logaritma Suatu Bilangan

Untuk menentukan nilai logaritma suatu bilangan, Anda dapat menggunakan tabel logaritma. Tabel tersebut selengkapnya disajikan sebagai lampiran di buku ini. Yang disajikan dalam tabel logaritma hanyalah nolai logaritma dengan basis 10, dan dengan numerus . Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, Anda dapat menghitung nilai logaritma dari banyak bilangan.

Cara menggunakan tabel logaritma dijelaskan dalam contoh berikut.

Hitunglah nilai dari .

Penyelesaian:

0123456789

1.0

1.1

1.2.0899

1.3

1.4

Bilangan 1,23 didapat dengan mencari angka 1,2 pada kolom x. Setelah itu, untuk mendapatkan bilangan 1,23, tarik garis dari baris 1,2 sampai kolom 3. Angka yang didapat adalah .0899, yang maksudnya 0.0899. Dengan demikian, .

Selain dengan menggunakan tabel, penghitungan nilail logaritma juga dapat menggunakan kalkulator ilmiah (scientific calculator).

Dengan menggunakan bantuan tabel logaritma, tentukan nilai dari:

1.

2.

Penyelesaian:1.

Dengan menggunakan tabel, didapat , sehingga

2.

Berdasarkan tabel, dan , sehingga

Kata Kunci : Bentuk Pangkat, Notasi Ilmiah, Bentuk Akar, Logaritma

Jarak dari bumi ke matahari diperkirakan sekitar 150 juta kilometer. Jika diukur dalam satuan meter, jarak itu setara dengan 150.000.000.000 meter. Melalui bentuk pangkat bilangan, kamu dapat menuliskan angka itu cukup dengan EMBED Equation.DSMT4meter. Selain lebih singkat, penulisan seperti itu juga dapat membantumu mengoperasikan angka tersebut dengan bilangan lain secara praktis dan sederhana.

Jika kamu diminta menghitung EMBED Equation.DSMT4 sama dengan berapa, maka melalui pengetahuan logaritma kamu dapat pula menghitung 2 pangkat berapa yang hasilnya 10. Pengetahuan mengenai bentuk pangkat, akar, dan logaritma akan kamu pelajari pada bab ini.

Sumber : www.clipart.co.id

Akar & Logaritma

entuk Pangkat,

Sebelum mempelajari bab ini, ukurlah kemampuan Anda dengan menjawab soal-soal berikut.

EMBED Equation.DSMT44. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4, maka n = ... 5. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari materi bab ini, berikut disajikan diagram alurnya




Bilangan bulat = integer.

Basis = Base.

Bentuk Pangkat = index form

Pangkat = indesx/power/ exponent

Jika sebuah bilangan a dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali, perkalian itu dapat kamu nyatakan dalam bentuk EMBED Equation.DSMT4, dengan EMBED Equation.DSMT4.

Dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat positif atau bilangan asli.

Pangkat bulat positif = negative exponent

Jika a sebarang bilangan bukan nol (EMBED Equation.DSMT4), maka berlaku EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4

Dalam aljabar, penulisan EMBED Equation.DSMT4 dapat disederhanakan menjadi EMBED Equation.DSMT4

Sifat 1.1EMBED Equation.DSMT4


Bilangan yang saling prima adalah bilangan yang FPB-nya adalah 1. Misalnya 2 dan 5, 11 dan 12, dan sebagainya. Sementara 2 dan 4 bukan bilangan yang saling prima, karena FPB dari 2 dan 4 adalah 2.

Diskusikan dengan teman-teman sekelasmu tentang sifat-sifat bilangan berpangkat yang baru saja kamu pelajari. Setelah itu, dengan cara yang hampir sama, buktikanlah sifat 1.3, sifat 1.4, dan sifat 1.5.

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.aaaknow.com/ g8_71fx1.htm" http://www.aaaknow.com/ g8_71fx1.htm atau HYPERLINK "http://www.aaaknow.com/" http://www.aaaknow.com/ g8_71gx1.htm . Pada situs ini, Anda dapat berlatih mengkonversikan bilangan ke notasi ilmiah dan sebaliknya.

EMBED Equation.DSMT4 , dengan EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4bilangan bulat

EMBED Equation.DSMT4d. EMBED Equation.DSMT4

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif.

EMBED Equation.DSMT4c. EMBED Equation.DSMT4


Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator dan tuliskan ke dalam notasi ilmiah dengan pembulatan dua angka di belakang koma.



Kakek buyut Gita menghabiskan seluruh masa hidupnya pada tahun 1700-an . Beliau meninggal pada usia 62 tahun. 2 tahun sebelum beliau meninggal, beliau pernah berkata : Dulu aku berusia EMBED Equation.DSMT4 pada tahun EMBED Equation.DSMT4. Pada tahun berapa beliau mengatakan hal tersebut?

Hitunglah hasil perpangkatan berikut:



Tunjukkan bahwa :

Setiap bilangan negatif jika di pangkat-kan bilangan genap hasilnya selalu positif.

Setiap bilangan negatif jika di pangkat-kan bilangan ganjil hasilnya selalu negatif.

Setiap bilangan genap jika di pangkat-kan bilangan asli hasilnya selalu bilangan genap.

Hitunglah hasil perpangkatan berikut :


EMBED Equation.DSMT4e. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4f. EMBED Equation.DSMT4

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif.

EMBED Equation.DSMT4b. EMBED Equation.DSMT4


Berapakah ketinggian bola dari tanah setelah 3 kali memantul?

Hitung panjang lintasan yang ditempuh bola selama 3 kali memantul. Tuliskan hasilnya dalam pecahan sederhana.

Satu atomic mass unit (amu) sama dengan EMBED Equation.DSMT4kg. Jika massa 1 atom oksigen sama dengan 16,0 amu, berapakah massa 7.750.000 atom karbon dalam kg? Tuliskan hasilnya dalam notasi ilmiah dengan pembulatan 2 angka dibelakang koma.

Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh persamaan


Tentukan R jika R1 = EMBED Equation.DSMT4, R2 = EMBED Equation.DSMT4, R3 = EMBED Equation.DSMT4, R4 = EMBED Equation.DSMT4, dan R5 = EMBED Equation.DSMT4

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian h meter dari atas tanah. Ketika bola menyentuh tanah, bola memantul hingga mencapai ketinggian 75% dari tinggi sebelumnya. Ketinggian maksimum bola setelah n kali dijatuhkan dirumuskan sebagai berikut:

Lambang akar EMBED Equation.DSMT4 diturunkan dari huruf r yang berasal dari bahasa Latin, yaitu radix yang berarti akar.

Seringkali ada yang menuliskan bahwa EMBED Equation.DSMT4. Mulai saat ini harus kamu pahami bahwa kedua nilai tersebut hanyalah nilai pendekatan dari nilai EMBED Equation.DSMT4 yang sebenarnya, karena EMBED Equation.DSMT4 sendiri merupakan bilangan irasional.

Definisi

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk EMBED Equation.DSMT4 dengan a dan b bilangan bulat yang saling prima dan EMBED Equation.DSMT4

Tunjukkan bahwa EMBED Equation.DSMT4 merupakan bilangan irasional. Setelah itu, secara umum apa yang dapat kamu simpulkan dari bentuk bilangan irasional yang dioperasikan dengan bilangan rasional?

Bilangan rasional = Rational number.

Bilangan irrasional = irrational number.

EMBED Equation.DSMT4, dibaca: akar pangkat dua dari a atau akar a, sementara EMBED Equation.DSMT4 dibaca: akar pangkat n dari a. EMBED Equation.DSMT4. Tanda EMBED Equation.DSMT4 dibaca: jika dan hanya jika atau ekuivalen dengan

Definisi

EMBED Equation.DSMT4 merupakan bilangan bentuk akar jika EMBED Equation.DSMT4merupakan bilangan irasional.

EMBED Equation.DSMT4 artinya EMBED Equation.DSMT4, sehingga EMBED Equation.DSMT4

Sifat distributif operasi kali terhadap jumlah dapat dinyatakan sebagai berikut: EMBED Equation.DSMT4.

Sifat 1.6Jika EMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4

Sifat 1.7EMBED Equation.DSMT4, dengan EMBED Equation.DSMT4

Dengan cara yang sama, buktikan bahwa EMBED Equation.DSMT4

Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan EMBED Equation.DSMT4

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.syvum.com/cgi/ online/serve.cgi/ gmat/math_review/ arithmetic_7.tdf?0" http://www.syvum.com/cgi/ online/serve.cgi/ gmat/math_review/ arithmetic_7.tdf?0. Pada situs ini, Anda akan memperoleh penjelasan dan latihan interaktif mengenai perkalian bentuk akar.

Sifat 1.8

Jika a dan b adalah bilangan real positif, maka

Bentuk akar sekawan dari EMBED Equation.DSMT4adalah EMBED Equation.DSMT4. Hasil perkalian keduanya adalah a.

Bentuk akar sekawan dari EMBED Equation.DSMT4, demikian juga sebaliknya. Hasil perkalian keduanya adalah EMBED Equation.DSMT4.


1 satuan

1 satuan

D

C

A

B

Gambar 1.1

Pangkat rasional = Rational indices.

Catatan : EMBED Equation.DSMT4. Suatu bilangan jika dikali 1,

tidak mengubah nilai bilangan tersebut

Pengunaan huruf untuk menyatakan suatu variabel tentu tidak sembarangan. Variabel x, y, dan z biasa digunakan untuk menyatakan variabel dengan domain bilangan real, sementara variabel a, b, dan c menyatakan bilangan bulat. Variabel m, n, dan i biasa digunakan untuk menyatakan bilangan asli. Penggunaan huruf-huruf tersebut disesuaikan dengan kebutuhan.

e. EMBED Equation.DSMT4f. EMBED Equation.DSMT4

Hitunglah EMBED Equation.DSMT4danEMBED Equation.DSMT4 jika :

EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4



Rasionalkan penyebut dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.


Diketahui EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4. Tentukan nilai EMBED Equation.DSMT4!

Segitiga ABC siku-siku di B. Panjang sisi EMBED Equation.DSMT4 cm dan EMBED Equation.DSMT4 cm.

Hitunglah panjang sisi b dalam bentuk akar yang paling sederhana.

Hitunglah luasnya.

Sebuah bola memiliki volume 14.130 cm3. Tentukan luas permukaan bola (ambil EMBED Equation.DSMT4).

(Petunjuk : Volume bola,EMBED Equation.DSMT4dan luas permukaan bola, EMBED Equation.DSMT4)

Sederhanakan bentuk akar berikut untuk EMBED Equation.DSMT4.





Ubahlah bentuk-bentuk akar berikut menjadi bentuk EMBED Equation.DSMT4 atau EMBED Equation.DSMT4.


EMBED Equation.DSMT4 e. EMBED Equation.DSMT4


Rasionalkan penyebut dan nyatakan dalam bentuk paling sederhana.




Hitunglah.





Nyatakan dalam bentuk akar paling sederhana.

EMBED Equation.DSMT4b. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT44. EMBED Equation.DSMT47. EMBED Equation.DSMT4



Logaritma = Logarithm.

Perhitungan perpangkatan dapat kamu lakukan dengan mudah dengan memanfaatkan software maple 9.5. Dengan program ini, selain perhitungan numerik, kamu juga dapat melakukan penyederhanaan perpangkatan bentuk aljabar. Software ini dapat diakses melalui situs: HYPERLINK "http://www.maple.com" www.maplesoft.com

Penerapan konsep perpangkatan dan logaritma sangat banyak di kehidupan sehari-hari, seperti dalam peluruhan Zat Radioaktif, penentuan PH larutan, menghitung bunga majemuk, dan sebagainya. Tugas Anda sekarang, carilah penerapan-penerapan konsep perpangkatan dan logaritma pada permasalahan-permasalahan selain yang telah diuraikan di atas. Informasinya dapat Anda cari dari buku-buku sumber maupun intenet.


Diketahui EMBED Equation.DSMT4dan EMBED Equation.DSMT4. Hitunglah EMBED Equation.DSMT4!

Tentukan nilai x dalam persamaan berikut :



Jika EMBED Equation.DSMT4, hitunglah EMBED Equation.DSMT4!


Tentukan nilai x dalam persamaan berikut !




Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif untuk EMBED Equation.DSMT4



Hitunglah operasi aljabar berikut ini.






Diketahui EMBED Equation.DSMT4dan EMBED Equation.DSMT4. Hitunglah :


Bukalah situs HYPERLINK "http://www.thocp.net/" http://www.thocp.net/ reference/sciences/ mathematics/ logarithm_hist.htm. Pada situs ini, Anda dapat mengetahui sejarah dan perkembangan logaritma sejak ditemukan oleh John Napier

Definisi


Dari bentuk EMBED Equation.DSMT4, didefinisikan hal-hal berikut.

a disebut bilangan pokok atau basis. Untuk logaritma, didefinisikan bahwa EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 .

x disebut numerus. Karena EMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4. Dengan demikian, maka EMBED Equation.DSMT4.

Logaritma dengan basis 10 cukup ditulis EMBED Equation.DSMT4, tanpa menuliskan basisnya. Dengan demikian jikaEMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4.

B

Bukalah situs HYPERLINK "http://www.edhelper.com" http://www.edhelper.com /logarithms.htm. Pada situs ini, Anda dapat berlatih soal-soal mengenai pangkat dan logaritma dengan worksheet yang tersedia dengan lengkap.

Sifat-sifat logaritma:




Hasil yang harus Anda capai

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Setelah mempelajari bab ini Anda harus mampu

Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma

Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan dapat

Memahami bentuk dan sifat perpangkatan suatu bilangan

Memahami pengertian, sifat operasi, dan penyederhanaan suatu bilangan bentuk akar

Memahami sifat dan operasi perpangkatan bentuk aljabar

Memahami konsep logaritma sebagai invers dari perpangkatan

Memahami dan menggunakan logaritma dalam menyelesaikan masalah

BAB

1

Dengan merasionalkan penyebutnya, sederhanakan EMBED Equation.DSMT4!

Hitunglah EMBED Equation.DSMT4

Diketahui EMBED Equation.DSMT4 Hitunglah :



(Tuliskan jawabanmu sampai empat tempat desimal)

Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4, buktikan bahwa :



Hitunglah!



Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat

EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4 Nilai EMBED Equation.DSMT4




(Soal Kompetisi Matematika SMU DKI Jakarta 2002)

Nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 adalah

EMBED Equation.DSMT4d. 2

EMBED Equation.DSMT4e. 4


Diketahui EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4. Nilai EMBED Equation.DSMT4 adalah

6d. 12

8e. 14

10

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka






EMBED Equation.DSMT4 menyatakan suku ke n dari suatu barisan. Jika EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4. Maka rumus untuk EMBED Equation.DSMT4 sama dengan ...





Diketahui EMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 d. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 e. EMBED Equation.DSMT4


Hitunglah x jika


Aam memiliki gitar dengan panjang dawai 60 cm dan massa EMBED Equation.DSMT4kg. Saat getar dipetik, diketahui cepat rambat gelombang transversal dalam dawai sebesar 80 m/s. Berapakah tegangan tali dawai gitar Aam?

Tentukan nilai x dari EMBED Equation.DSMT4

Sebuah pesawat yang akan lepas landas menimbulkan bunyi 125 dB pada jarak 50 m dari pengamat. Pada jarak berapa meter si pengamat dapat menangkap bunyi pesawat tersebut dengan intensitas 85 dB?

Sebuah elektron bergerak pada bidang XY dengan kecepatan gerak EMBED Equation.DSMT4 Elektron tersebut berada pada daerah medan magnetik dengan induksi magnetik EMBED Equation.DSMT4 .

Tentukan besar gaya yang dialami elektron

(muatan elektron = EMBED Equation.DSMT4)

Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas

Nilai x dari persamaan EMBED Equation.DSMT4

2 d. 6

3e. 8

4

Jika EMBED Equation.DSMT4, maka nilai EMBED Equation.DSMT4 adalah

-5d. 4

-4e. 5


Diketahui EMBED Equation.DSMT4. Berapakah nilai dari EMBED Equation.DSMT4 ?

-4,3752d. 3,3752

-3,3752e. 4,6248

-3,6248

Diketahui EMBED Equation.DSMT4, dan EMBED Equation.DSMT4. Nyatakanlah EMBED Equation.DSMT4 dalam p dan q!


EMBED Equation.DSMT4e.EMBED Equation.DSMT4


Nilai a yang memenuhi persamaan EMBED Equation.DSMT4 adalah.

-2d. 1


0

Diketahui EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4, dan p, q, r bilangan positif , EMBED Equation.DSMT4. Nilai dari EMBED Equation.DSMT4adalah




Jika EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4, dan EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4 dalam x adalah




Penyelesaian persamaan EMBED Equation.DSMT4 adalah



2

DiketahuiEMBED Equation.DSMT4. Nilai EMBED Equation.DSMT4=




Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4 =




Bentuk sederhana dari EMBED Equation.DSMT4 adalah




EMBED Equation.DSMT4 =




Nilai x yang memenuhi EMBED Equation.DSMT4 adalah

-2 d. 2

-1e. 4

1





Nilai dari EMBED Equation.DSMT4 adalah




EMBED Equation.DSMT4 =

0,6725d. 4,4225

0,8625e. 4,6625

0,9125

Nilai dari bentuk EMBED Equation.DSMT4 adalah

EMBED Equation.DSMT4d. 5



Diketahui EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4. Nilai dari EMBED Equation.DSMT4 adalah

EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4d. 81


27






Untuk materi yang belum Anda pahami, coba diskusikan dengan teman Anda, kemudian konsultasikan hasilnya dengan guru Anda.

Buat rangkuman dari materi yang telah Anda pelajari pada bab ini. Kemudian hasilnya bandingkan dengan rangkuman berikut.

Tuliskan materi pada bab ini yang sudah Anda pahami.

Tuliskan materi pada bab ini yang belum Anda pahami.



Jika EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4, nyatakanlah logaritma berikut dalam a dan b.

EMBED Equation.DSMT4b. EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4

Diketahui persamaan sebagai berikut.


Tentukanlah nilai EMBED Equation.DSMT4!

Nyatakanlah EMBED Equation.DSMT4 dalam a jika diketahui EMBED Equation.DSMT4!

Bakteri amoeba akan membelah secara biner setiap 20 menit sekali. Jika terdapat suatu koloni dengan 25000 bakteri, maka setelah x jam jumlah tersebut akan berkembang biak menjadi EMBED Equation.DSMT4 bakteri. Berapa lama waktu yang diperlukan koloni bakteri tersebut untuk berkembang biak menjadi 3,2 juta bakteri?

Ikmayanti menabung pada sebuah bank yang memberi bunga 6% per tahun. Uang yang ia tabung sebesar Rp. 2.750.000,00. Berapa tahun ia harus menabung supaya nilainya menjadi Rp. 3.272.500,00 ?

Jika Sn = jumlah tabungan setelah n tahun, p = nilai tabungan awal, dan r = suku bungan per tahun; maka :


Tentukan nilai logaritma berikut.






Hitunglah nilai EMBED Equation.DSMT4 yang memenuhi persamaan berikut.





Dengan menggunakan tabel logaritma tentu-kan nilai dari logaritma berikut.



EMBED Equation.DSMT4 f. EMBED Equation.DSMT4

Diketahui EMBED Equation.DSMT4 dan EMBED Equation.DSMT4. Hitunglah logaritma berikut.



Tentukan nilai EMBED Equation.DSMT4 pada persamaan berikut.



Jika sebuah bilangan a dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali, perkalian itu dapat kamu nyatakan dalam bentuk EMBED Equation.DSMT4, dengan EMBED Equation.DSMT4.

Dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat positif atau bilangan asli.

Jika a sebarang bilangan bukan nol (EMBED Equation.DSMT4), maka berlaku EMBED Equation.DSMT4

Jika EMBED Equation.DSMT4 maka EMBED Equation.DSMT4

Sifat-sifat Perpangkatan

Sifat 1.1EMBED Equation.DSMT4 Sifat 1.5EMBED Equation.DSMT4

Sifat 1.2EMBED Equation.DSMT4 Sifat 1.6Jika EMBED Equation.DSMT4, maka EMBED Equation.DSMT4

Sifat 1.3EMBED Equation.DSMT4 Sifat 1.7EMBED Equation.DSMT4, dengan EMBED Equation.DSMT4


Sifat 1.8

Jika a dan b adalah bilangan real positif, maka

Bentuk akar sekawan dari EMBED Equation.DSMT4adalah EMBED Equation.DSMT4. Hasil perkalian keduanya adalah a.



Sifat-sifat logaritma:






EMBED Equation.DSMT4 melambangkan bilangan rasional, dan EMBED Equation.DSMT4 melambangkan bilangan bulat.

_1269283310.unknown

_1269697390.unknown

_1269703043.unknown

_1269793836.unknown

_1271227578.unknown

_1271594356.unknown

_1271594676.unknown

_1271782269.unknown

_1271782297.unknown

_1271783112.unknown

_1271858757.unknown

_1271783078.unknown

_1271782287.unknown

_1271594856.unknown

_1271595166.unknown

_1271595167.unknown

_1271594887.unknown

_1271595123.unknown

_1271594693.unknown

_1271594765.unknown

_1271594684.unknown

_1271594655.unknown

_1271594667.unknown

_1271594456.unknown

_1271229754.unknown

_1271334525.unknown

_1271336298.unknown

_1271594163.unknown

_1271594170.unknown

_1271336308.unknown

_1271336270.unknown

_1271336279.unknown

_1271334535.unknown

_1271229767.unknown

_1271229773.unknown

_1271229761.unknown

_1271229721.unknown

_1271229736.unknown

_1271229748.unknown

_1271229743.unknown

_1271229730.unknown

_1271228174.unknown

_1271228184.unknown

_1271227705.unknown

_1271226909.unknown

_1271227418.unknown

_1271227497.unknown

_1271227518.unknown

_1271227458.unknown

_1271226946.unknown

_1271227188.unknown

_1271226928.unknown

_1269810021.unknown

_1269810127.unknown

_1269810216.unknown

_1269810232.unknown

_1269810273.unknown

_1269810348.unknown

_1269810223.unknown

_1269810148.unknown

_1269810159.unknown

_1269810139.unknown

_1269810043.unknown

_1269810086.unknown

_1269810033.unknown

_1269809904.unknown

_1269810009.unknown

_1269793857.unknown

_1269809902.unknown

_1269703379.unknown

_1269708002.unknown

_1269708119.unknown

_1269708211.unknown

_1269759707.unknown

_1269793813.unknown

_1269793824.unknown

_1269793796.unknown

_1269708879.unknown

_1269759706.unknown

_1269708538.unknown

_1269708550.unknown

_1269708524.unknown

_1269708145.unknown

_1269708177.unknown

_1269708131.unknown

_1269708063.unknown

_1269708084.unknown

_1269708014.unknown

_1269706710.unknown

_1269707965.unknown

_1269707990.unknown

_1269707942.unknown

_1269703557.unknown

_1269703585.unknown

_1269703667.unknown

_1269706689.unknown

_1269703666.unknown

_1269703571.unknown

_1269703496.unknown

_1269703512.unknown

_1269703443.unknown

_1269703212.unknown

_1269703270.unknown

_1269703315.unknown

_1269703337.unknown

_1269703295.unknown

_1269703236.unknown

_1269703246.unknown

_1269703226.unknown

_1269703090.unknown

_1269703187.unknown

_1269703200.unknown

_1269703143.unknown

_1269703069.unknown

_1269703080.unknown

_1269703057.unknown

_1269701014.unknown

_1269701799.unknown

_1269702423.unknown

_1269702748.unknown

_1269702844.unknown

_1269702918.unknown

_1269703018.unknown

_1269703031.unknown

_1269702959.unknown

_1269703005.unknown

_1269702944.unknown

_1269702952.unknown

_1269702938.unknown

_1269702877.unknown

_1269702889.unknown

_1269702863.unknown

_1269702788.unknown

_1269702801.unknown

_1269702771.unknown

_1269702616.unknown

_1269702674.unknown

_1269702724.unknown

_1269702644.unknown

_1269702540.unknown

_1269702602.unknown

_1269702460.unknown

_1269702228.unknown

_1269702273.unknown

_1269702314.unknown

_1269702421.unknown

_1269702305.unknown

_1269702251.unknown

_1269701911.unknown

_1269702218.unknown

_1269701910.unknown

_1269701132.unknown

_1269701280.unknown

_1269701601.unknown

_1269701694.unknown

_1269701709.unknown

_1269701664.unknown

_1269701343.unknown

_1269701368.unknown

_1269701400.unknown

_1269701411.unknown

_1269701440.unknown

_1269701386.unknown

_1269701357.unknown

_1269701317.unknown

_1269701328.unknown

_1269701293.unknown

_1269701304.unknown

_1269701206.unknown

_1269701240.unknown

_1269701257.unknown

_1269701225.unknown

_1269701177.unknown

_1269701194.unknown

_1269701144.unknown

_1269701087.unknown

_1269701110.unknown

_1269701121.unknown

_1269701098.unknown

_1269701065.unknown

_1269701077.unknown

_1269701039.unknown

_1269700411.unknown

_1269700670.unknown

_1269700767.unknown

_1269700894.unknown

_1269700990.unknown

_1269701005.unknown

_1269700918.unknown

_1269700941.unknown

_1269700961.unknown

_1269700931.unknown

_1269700906.unknown

_1269700814.unknown

_1269700829.unknown

_1269700799.unknown

_1269700739.unknown

_1269700751.unknown

_1269700726.unknown

_1269700477.unknown

_1269700500.unknown

_1269700525.unknown

_1269700541.unknown

_1269700575.unknown

_1269700539.unknown

_1269700511.unknown

_1269700490.unknown

_1269700439.unknown

_1269700464.unknown

_1269700423.unknown

_1269699007.unknown

_1269699719.unknown

_1269699795.unknown

_1269699828.unknown

_1269699862.unknown

_1269700383.unknown

_1269700399.unknown

_1269700410.unknown

_1269699881.unknown

_1269700347.unknown

_1269699890.unknown

_1269699872.unknown

_1269699846.unknown

_1269699855.unknown

_1269699839.unknown

_1269699812.unknown

_1269699820.unknown

_1269699804.unknown

_1269699758.unknown

_1269699780.unknown

_1269699787.unknown

_1269699769.unknown

_1269699739.unknown

_1269699748.unknown

_1269699728.unknown

_1269699641.unknown

_1269699667.unknown

_1269699687.unknown

_1269699697.unknown

_1269699709.unknown

_1269699678.unknown

_1269699654.unknown

_1269699597.unknown

_1269699612.unknown

_1269699587.unknown

_1269697670.unknown

_1269697711.unknown

_1269697733.unknown

_1269698963.unknown

_1269698966.unknown

_1269698979.unknown

_1269698054.unknown

_1269697723.unknown

_1269697690.unknown

_1269697701.unknown

_1269697679.unknown

_1269697521.unknown

_1269697575.unknown

_1269697635.unknown

_1269697657.unknown

_1269697624.unknown

_1269697587.unknown

_1269697546.unknown

_1269697559.unknown

_1269697567.unknown

_1269697535.unknown

_1269697452.unknown

_1269697501.unknown

_1269697511.unknown

_1269697474.unknown

_1269697484.unknown

_1269697464.unknown

_1269697419.unknown

_1269697431.unknown

_1269697441.unknown

_1269697403.unknown

_1269671217.unknown

_1269672670.unknown

_1269696619.unknown

_1269697096.unknown

_1269697133.unknown

_1269697351.unknown

_1269697376.unknown

_1269697270.unknown

_1269697118.unknown

_1269697126.unknown

_1269697104.unknown

_1269696980.unknown

_1269697048.unknown

_1269697088.unknown

_1269696995.unknown

_1269696753.unknown

_1269696971.unknown

_1269696684.unknown

_1269672765.unknown

_1269696429.unknown

_1269696493.unknown

_1269696509.unknown

_1269696437.unknown

_1269696414.unknown

_1269696422.unknown

_1269673377.unknown

_1269672698.unknown

_1269672750.unknown

_1269672757.unknown

_1269672704.unknown

_1269672683.unknown

_1269672690.unknown

_1269672676.unknown

_1269672276.unknown

_1269672498.unknown

_1269672625.unknown

_1269672654.unknown

_1269672662.unknown

_1269672638.unknown

_1269672523.unknown

_1269672531.unknown

_1269672515.unknown

_1269672306.unknown

_1269672482.unknown

_1269672489.unknown

_1269672473.unknown

_1269672292.unknown

_1269672298.unknown

_1269672284.unknown

_1269672191.unknown

_1269672222.unknown

_1269672254.unknown

_1269672268.unknown

_1269672246.unknown

_1269672231.unknown

_1269672208.unknown

_1269672215.unknown

_1269672200.unknown

_1269671549.unknown

_1269671601.unknown

_1269672035.unknown

_1269672172.unknown

_1269671618.unknown

_1269671626.unknown

_1269671609.unknown

_1269671587.unknown

_1269671594.unknown

_1269671565.unknown

_1269671273.unknown

_1269671326.unknown

_1269671504.unknown

_1269671289.unknown

_1269671255.unknown

_1269671266.unknown

_1269671247.unknown

_1269450558.unknown

_1269633992.unknown

_1269636855.unknown

_1269670321.unknown

_1269670699.unknown

_1269670819.unknown

_1269670856.unknown

_1269670881.unknown

_1269670901.unknown

_1269670868.unknown

_1269670842.unknown

_1269670777.unknown

_1269670793.unknown

_1269670712.unknown

_1269670643.unknown

_1269670671.unknown

_1269670684.unknown

_1269670657.unknown

_1269670603.unknown

_1269670618.unknown

_1269670586.unknown

_1269670130.unknown

_1269670174.unknown

_1269670197.unknown

_1269670289.unknown

_1269670309.unknown

_1269670218.unknown

_1269670186.unknown

_1269670152.unknown

_1269670164.unknown

_1269670141.unknown

_1269670108.unknown

_1269670119.unknown

_1269670094.unknown

_1269635840.unknown

_1269635900.unknown

_1269635925.unknown

_1269635933.unknown

_1269635915.unknown

_1269635880.unknown

_1269635892.unknown

_1269635848.unknown

_1269635766.unknown

_1269635822.unknown

_1269635832.unknown

_1269635774.unknown

_1269635497.unknown

_1269635755.unknown

_1269635461.unknown

_1269630697.unknown

_1269633847.unknown

_1269633935.unknown

_1269633976.unknown

_1269633984.unknown

_1269633961.unknown

_1269633969.unknown

_1269633950.unknown

_1269633917.unknown

_1269633927.unknown

_1269633857.unknown

_1269631916.unknown

_1269632556.unknown

_1269633803.unknown

_1269633808.unknown

_1269633771.unknown

_1269631949.unknown

_1269632528.unknown

_1269632543.unknown

_1269632514.unknown

_1269631929.unknown

_1269631741.unknown

_1269631756.unknown

_1269631730.unknown

_1269631713.unknown

_1269454645.unknown

_1269628920.unknown

_1269630336.unknown

_1269630373.unknown

_1269630307.unknown

_1269630273.unknown

_1269458805.unknown

_1269458851.unknown

_1269454688.unknown

_1269458788.unknown

_1269450622.unknown

_1269450636.unknown

_1269452929.unknown

_1269453055.unknown

_1269453096.unknown

_1269453054.unknown

_1269450643.unknown

_1269450629.unknown

_1269450605.unknown

_1269450614.unknown

_1269450571.unknown

_1269289999.unknown

_1269382282.unknown

_1269383180.unknown

_1269383490.unknown

_1269383558.unknown

_1269383611.unknown

_1269383625.unknown

_1269383586.unknown

_1269383599.unknown

_1269383570.unknown

_1269383542.unknown

_1269383251.unknown

_1269383383.unknown

_1269383466.unknown

_1269383276.unknown

_1269383189.unknown

_1269382354.unknown

_1269383123.unknown

_1269383156.unknown

_1269383166.unknown

_1269383145.unknown

_1269383133.unknown

_1269382454.unknown

_1269383085.unknown

_1269383112.unknown

_1269383061.unknown

_1269382392.unknown

_1269382417.unknown

_1269382389.unknown

_1269382315.unknown

_1269382337.unknown

_1269382305.unknown

_1269290184.unknown

_1269290236.unknown

_1269290277.unknown

_1269290403.unknown

_1269290404.unknown

_1269290323.unknown

_1269290402.unknown

_1269290256.unknown

_1269290266.unknown

_1269290246.unknown

_1269290210.unknown

_1269290220.unknown

_1269290199.unknown

_1269290197.unknown

_1269290148.unknown

_1269290165.unknown

_1269290175.unknown

_1269290156.unknown

_1269290044.unknown

_1269290137.unknown

_1269290013.unknown

_1269289772.unknown

_1269289825.unknown

_1269289944.unknown

_1269289952.unknown

_1269289934.unknown

_1269289793.unknown

_1269289804.unknown

_1269289783.unknown

_1269283418.unknown

_1269283447.unknown

_1269283803.unknown

_1269289690.unknown

_1269289701.unknown

_1269283454.unknown

_1269283438.unknown

_1269283328.unknown

_1269283409.unknown

_1269283312.unknown

_1269211489.unknown

_1269282610.unknown

_1269283136.unknown

_1269283213.unknown

_1269283266.unknown

_1269283290.unknown

_1269283299.unknown

_1269283274.unknown

_1269283232.unknown

_1269283250.unknown

_1269283222.unknown

_1269283171.unknown

_1269283191.unknown

_1269283202.unknown

_1269283182.unknown

_1269283154.unknown

_1269283162.unknown

_1269283145.unknown

_1269282921.unknown

_1269283014.unknown

_1269283077.unknown

_1269283086.unknown

_1269283023.unknown

_1269282994.unknown

_1269283004.unknown

_1269282983.unknown

_1269282798.unknown

_1269282861.unknown

_1269282882.unknown

_1269282807.unknown

_1269282771.unknown

_1269282782.unknown

_1269282639.unknown

_1269282689.unknown

_1269282699.unknown

_1269282650.unknown

_1269282621.unknown

_1269212456.unknown

_1269212793.unknown

_1269282566.unknown

_1269282589.unknown

_1269282600.unknown

_1269282578.unknown

_1269212888.unknown

_1269212890.unknown

_1269212884.unknown

_1269212885.unknown

_1269212882.unknown

_1269212554.unknown

_1269212569.unknown

_1269212776.unknown

_1269212561.unknown

_1269212474.unknown

_1269212496.unknown

_1269212538.unknown

_1269212483.unknown

_1269212467.unknown

_1269211620.unknown

_1269212384.unknown

_1269212430.unknown

_1269212446.unknown

_1269212412.unknown

_1269211671.unknown

_1269212349.unknown

_1269211639.unknown

_1269211576.unknown

_1269211604.unknown

_1269211611.unknown

_1269211596.unknown

_1269211519.unknown

_1269211533.unknown

_1269211497.unknown

_1269206395.unknown

_1269211165.unknown

_1269211253.unknown

_1269211396.unknown

_1269211411.unknown

_1269211418.unknown

_1269211403.unknown

_1269211301.unknown

_1269211383.unknown

_1269211269.unknown

_1269211196.unknown

_1269211221.unknown

_1269211244.unknown

_1269211246.unknown

_1269211205.unknown

_1269211179.unknown

_1269211187.unknown

_1269211171.unknown

_1269211066.unknown

_1269211130.unknown

_1269211145.unknown

_1269211152.unknown

_1269211138.unknown

_1269211091.unknown

_1269211104.unknown

_1269211075.unknown

_1269211084.unknown

_1269208361.unknown

_1269208825.unknown

_1269209748.unknown

_1269209885.unknown

_1269211057.unknown

_1269209887.unknown

_1269209768.unknown

_1269209781.unknown

_1269209753.unknown

_1269208859.unknown

_1269209722.unknown

_1269208845.unknown

_1269208702.unknown

_1269208789.unknown

_1269208802.unknown

_1269208814.unknown

_1269208765.unknown

_1269208761.unknown

_1269208564.unknown

_1269208606.unknown

_1269208701.unknown

_1269208617.unknown

_1269208594.unknown

_1269208509.unknown

_1269208547.unknown

_1269208370.unknown

_1269206742.unknown

_1269207885.unknown

_1269208330.unknown

_1269208337.unknown

_1269207159.unknown

_1269207180.unknown

_1269206757.unknown

_1269206541.unknown

_1269206600.unknown

_1269206404.unknown

_1269203810.unknown

_1269204604.unknown

_1269205150.unknown

_1269205389.unknown

_1269205462.unknown

_1269205820.unknown

_1269205233.unknown

_1269205359.unknown

_1269205092.unknown

_1269205100.unknown

_1269205082.unknown

_1269203845.unknown

_1269204590.unknown

_1269204597.unknown

_1269203913.unknown

_1269204581.unknown

_1269203901.unknown

_1269203827.unknown

_1269203835.unknown

_1269203817.unknown

_1269200365.unknown

_1269203086.unknown

_1269203436.unknown

_1269203793.unknown

_1269203802.unknown

_1269203503.unknown

_1269203784.unknown

_1269203502.unknown

_1269203501.unknown

_1269203419.unknown

_1269203427.unknown

_1269203264.unknown

_1269203399.unknown

_1269203254.unknown

_1269203042.unknown

_1269203059.unknown

_1269203067.unknown

_1269203051.unknown

_1269201974.unknown

_1269201981.unknown

_1269200543.unknown

_1269200671.unknown

_1269200407.unknown

_1269200453.unknown

_1269200177.unknown

_1269200275.unknown

_1269200277.unknown

_1269200278.unknown

_1269200276.unknown

_1269200273.unknown

_1269200274.unknown

_1269200179.unknown

_1269199752.unknown

_1269200173.unknown

_1269200175.unknown

_1269200176.unknown

_1269200174.unknown

_1269200171.unknown

_1269200172.unknown

_1269200169.unknown

_1269200170.unknown

_1269200159.unknown

_1269200168.unknown

_1269199669.unknown

_1269199670.unknown

_1269199749.unknown

_1269199668.unknown