Bab I
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
A. Bilangan Berpangkat Bulat
1. Pengertian Bilangan Berpangkat Bulat
Jika n bilangan asli, n > 1 dan a bilangan real bukan nol, maka :
an
= a x a x a x . . . x a → sebanyak n faktor
di mana : a : bilangan pokok/ basis
n : pangkat/ eksponen
a0
= 1
a−n
=
1
an ⇔ a
n =
1
a−n
a1
= 1
Contoh :
a. Hitunglah nilai berikut ini :
1. 22×244. (2×4 )2
2.
35
335.
( 25 )
2
3. (22 )36. 3
−3
Jawab :
1. 22×24=2×2×2×2×2×2
= 64
2.
35
33=3×3×3×3×3
3×3×3=32=9
3. (22 )3=43
= 4 x 4 x 4
= 64
4. (2 x 4)2=82
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 1
= 64
5.( 2
5 )2
=25×2
5= 4
25
6.3−3= 1
33= 1
81
b. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif !
1. 2−5
2. n−3m2
Jawab :
1.2−5= 1
25
2.n−3 m2= 1
n3m2=m2
n3
c. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat negatif
1.
1
322. 72
Jawab :
1.
1
32=3−2
2.72= 1
7−2
2. Sifat – Sifat Bilangan Berpangkat Bulat
Jika a dan b adalah bilangan real, sedangkan m dan n adalah bilangan bulat, maka
berlaku :
a. am×an=am+n
b.
am
an=am−n ,
untuk a≠0
c. ( am )n=am×n
d. (a×b )n=an×bn, untuk a≠0
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 2
e.( a
b )n
=an
bn, untuk b≠0
Contoh :
a. Sederhanakan dan hitung nilainya
1. 22×24
2.
25
23
3. (22 )3
Jawab :
1. 22×24=22+ 4=26=64
2.
25
23=25−3=22=4
3. (22 )3=22×3=26
b. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam pangkat bulat positif
1. 25×2−4×22
2.
x3 y−2
x5 y−4
Jawab :
1. 25×2−4×22=25−4+2=23
2.
x3 y−2
x5 y−4=x3−5 y−2−(−4 )=x−2 y2= y2
x2=( y
x )2
Tugas Kompetensi 1
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat !
1. Nyatakan dalam pangkat !
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 3
a. 5 x 5 x 5 = . . .
b. a x a x a x a = . . .
2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut ini
a. 53×54=5. .. .+ . . ..=5 .. . . ..
b.(b3)−2
=b . .. .×.. . . .=b. . .. .= 1
b. . . ..
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut
a. x4=16
b.2( 3 x+4 )=1
4
4. Sederhanakan dan nyatakanlah hasilnya dengan pangkat positif
a.
a3 ba2 b2
b. (e x−e−x )2
c.
(a4b−3)−2
(ab )
5. a. Diketahui T = 4 p2 q−1 r3. Hitunglah T jika p = 2, q = 3, dan r = -1
b. Terdapat A=( 2 p2 q
r 3 ). Hitung A jika p = -8, q = 27, dan r = -24
B. Bentuk Akar
1. Pengertian Bentuk Akar
a. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
ab dengan
a. b bilangan bulat dan b¿0
Contoh :
1. Bilangan bulat, asli, dan pecahan
2. Bilangan desimal berulang
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 4
0.33333. . .=
39=1
3
0,121212. . . .=
1299
= 433
3. Bilangan desimal terbatas
0.5 =
12 2,75 =
114
b. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
ab
dengan a,b bilangan bulat dan b¿0
Contoh :
1. √2=1,41423562…
2. √7=1,64575131…
c. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bukan
merupakan bilangan rasional.
Contoh :
1. √16 , 3√64 ,√25 , . .. ( bukan bentuk akar )
2. √3 , 3√15 ,√8 ,. . .( bentuk akar )
d. Menyederhanakan bentuk akar
√ p×q=√ p×√q
Contoh :
1. √18=√9 . 2=√9 .√2=3√2
2. √125=√25 . 5=√125 .√5=5√5
2. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 5
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
a√c+b√c=( a+b ) √c
a√c−b √c=(a−b ) √c
Contoh :
1. 4 √2+3 √2−2√2=( 4+3−2 ) √2=5√2
2. √108−√48+√75=6√3−4√3+5√3=7√3
b. Perkalian bentuk akar
a√c×b √d=ab×√cd
Contoh :
1. 2√3×5√5=2 .5√3 .5=10√15
2. √75×(√54×√216 )=5√3×(3√6×6 √6 )=5√3×108=540√3
c. Menarik akar kuadrat
√ (a+b )+2√ab=√a+√b
√ (a+b )−2√ab=√a−√b , a>b
Contoh :
1. √8+2√15=√ (5+3 )+2√5.3=√5+√3
2. √12−√140=√12−√4×35=√12−2√35=√(7+5)−2√7 .5=√7−√5
3. Merasionalkan Penyebut
a. Bentuk Sekawan
( x+ y ) (x− y )=x2− y2
( x+ y ) ( x2−xy− y2)=x3+ y3
b. Jika terdapat
2√3
,3
2√5,
42−√3
,5−√2
3√2+2√2 dengan penyebut bentuk akar maka
bentuk penyebut pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional. Proses
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 6
mengubah penyebut bentuk akar menjadi bilangan rasional disebut merasionalkan
penyebut.
Contoh :
42−√3
= 42−√3
×2+√32+√3
=4 (2+√3 )22−(√3 )2
=8+4√34−3
=8+4√3
Tugas kompetensi 2
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat !
1. Ubahlah bilangan desimal berikut menjadi bilangan rasional
ab
a. 3,12 b. 0,55555….
2. Sederhanakanlah !
a. √98 d. 3√27
b. √50 e. 3√36
c. √121
3. Tentukan hasil operasi aljabar berikut !
a. (√3−√2 )2
b. (3√5−√2 ) (√5+3√2 )4. Sederhanakanlah !
a. √3 x3 y√27 xy 3
b.(√5−1
2 )2
5. Rasionalkanlah !
a.
√32−√3
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 7
b.
3√2−2√33√2+2√3
C. Pangkat Rasional
1. Pengertian Pangkat Rasional
Untuk a∈R ,m dan n∈R dan n≥2 maka :
a1n =n√a
amn =
n√am
2. Sifat-Sifat Bilangan dan Pangkat Rasional
Jika a dan b ∈R {a≠0 , b≠0 }, p dan q bilangan rasional maka berlaku berikut ini
*a p×aq=ap+q
*a p :aq=ap−q
¿ (a p )q=a p×q
¿ (a×b )p=ap×b p
¿(ab )
p
=a p
b p
Contoh :
Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bentuk akar
1. 234
2. 16−1
3
Jawab :
1. 234 =
4√23=4√8 2.
16−1
3= 1
1613
= 13√16
Tugas kompetensi 3
Kerjakan soal-soal da bawah ini dengan tepat !
1. Ubahlah ke dalam bentuk akar
a. 323
b. 425
2. Ubah ke bentuk bilangan berpangkat
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 8
a. √5 b.
34√33
3. Diketahui
f ( x )= x32+x
−16
x12−x
−13
. Carilah harga f(64)
4. Sederhanakanlah !
(1+( xy )
2)−12 (1−( y
x )−12 )
(( xy )
2
−1)−12 (( y
x )2
+1)5. Tentukan nilai x yang memenuhi hubungan
52×(( 125 )
2 x+6)16= 1
25
D. Notasi Baku atau Notasi Ilmiah
Bilangan-bilangan yang besar sekali atau kecil sekali lebih praktis jika disajikan
dengan menggunakan notasi baku atau notasi ilmiah (scientific notation). Notasi baku
suatu bilangan ditulis dalam bentuk eksponen
α×10n
dengan a bilangan rasional (1≤α<10 )dan n bilangan bulat (positif atau negatif)
Langkah-langkah penulisan suatu bilangan dalam notasi baku atau notasi ilmiah :
1. Geser tanda desimal (tanda koma) ke kiri atau ke kanan sehingga tersisa satu angka.
Pergeseran tanda desimal ini menghasilkan bilangan rasional a dengan
1≤α<10
2. * Jika arah pergeseran tanda desimal ke kiri, maka nilai n bulat positif.
* Jika arah pergeseran tanda desimal ke kanan, maka nilai n bulat negatif.
3. Nilai n ditentukan oleh banyak angka yang dilalui ketika menggeser tanda koma
pada langkah1 di atas.
Contoh :
Tulislah bilangan-bilangan berikut dalam notasi ilmiah !
1. 3.200.000.000 2. 0,000000035
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 9
Jawab :
1. 3,2 x 109 2. 3,5 x 10-8
E. Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Untuk a > 0 dan a ¿0 maka berlaku berikut
Dimana : a = bilangan pokok
b = bilangan yang ditarik logaritma (numerus)
x = hasil logaritma (nilai pangkat)
Syarat a log b ada atau terdefinisi bila :
a > 0 dan a ¿ 1 dan b > 0
Contoh :
Ubahlah menjadi bentuk logaritma
1. 26=64
2.3−1=1
3
Jawab :
1. 26=64→2 log64=6
2.3−1=1
3→3 log
13=−1
2. Sifat – Sifat Logaritma
Untuk a > 0, a¿ 0, dan x,y > 0 maka berlaku berikut ini
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 10
Jika ax = b maka alog b = x , a > 0, a ≠ 1, b > 0
a . a log a=1b . a log xy=a log x + a log y
c .a log xy=a log x −a log y
d . a log xn=n a log x
e . an
log xm =mn
a log x
f . a log x=p log xp log a
g . a logb. b log c=a log c
h .aa logx =x
Contoh:
a. Hitunglah nilai berikut ini.
1) log 2 + log 5
2) 2 log 3 .
9 log 64
Jawab:
1) log 2 + log 5 = log(2¿5 )=log 10=1
2)2 log 3. 9 log 64=2 log 3 .32
log 26 =2 log3 .62
.3 log 2=3 .2 log3 .3 log 2=3
Tugas Kompetensi 4
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat!
1. Nyatakan tiap bentuk pangkat berikut dalam bentuk logaritma.
a.53
= 125 c.4
3
2
b.30
= 1 d.( 1
3)−3
= 27
2. Isilah titik-titik berikut ini !
Jikaa log X=n maka X= an. Dengan sifat tersebut maka,
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 11
a. 3 log 9=n ⇔9=3n
b. 2 log 1
8=n⇔ 1
8=2n
3. .. =3n
2… =2n
n = … n = …
Jadi,3 log 9=3 log3 ..=. . . Jadi,
2 log 18=2 log 2=.. .
c log√10=n⇔√10=10nd.
a log 1=n⇔1=an
10. . .=10n
an=a .. .
n =… n =…
Jadi,log√10=. . . log 10. .=… Jadi,
a log 1=. . ..
3. Ubahlah ke dalam bentuk pangkat.
a. 2 log 16=4
b. log 1 = 0
c.
12 log
18
=3
Jawab…
4 Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menentukaan nilai berikut.
a. log 25 + log 4
b.2 log 12−2 log 3
c. 2.2 log 10+4 log2−2. 4 log5
Jawab …
5 Jika a = 0,666…dan b= 0.444 … , maka tentukan berikut ini :
a. a log b
b. b log a
Jawab …
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 12
Do You Know ?! Salah satu ilmuwan Muslim yang memberikan sumbangan besar dalam pengembangan matematika adalah Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Pakar matematika yang lebih dikenal dengan sebutan Al-Khawarizmi ini hidup pada tahun 780 hingga 850 Masehi. Di kalangan masyarakat Barat, Al-Khawarizmi lebih dikenal dengan nama Algorisme atau Algoritme. Ia telah
banyak menemukan teori-teori dalam matematika.Al-Khawarizmi juga populer dengan sebutan Bapak Aljabar. Aljabar diambil dari namanya. Teori-teori Aljabar ia tulis dalam kitabnya yang bertajuk “Hisab Al-Jabr wal Muqabalah” atau buku tentang penghitungan, restorasi dan pengurangan. Teori 'algoritme' dalam matematika modern diambil dari namanya, karena dialah yang pertama kali mengembangkannya.Selain Aljabar dan algoritma, karya Al-Khawarizmi lainnya misalnya persamaan kuadrat dan fungsi sinus.
UJI KOMPETENSI
I. Berilah tanda silang (X) pada huruf a,b.c,d,atau e pada jawaban yang tepat!
1. Pernyataan yang benar pada kalimat matematika berikut adalah…
a. 74+73=77
d. 23+32=64
b. 52×53=256
e. 208−204=204
c. (53 )5=515
2. Diketahui a = 4 dan b = 9 maka
a
14
..b−1
a−14 .b
−2
…
a. 12 b. 18 c. 24 d. 36 e. 42
3. Bentuk sederhana dari
15 p5 q−3
3 p2 q( q2)3
adalah …a. 5p3q b. 5p3q2 c. 5p7q d. 5p7q2 e. 5p7q5
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 13
4. Hasil dari (√3+√27 ) (√27+√3 )=.. .
a. √30b.
2√30c. 48 d. √60
e. 900
5. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari
73+√2 adalah …
a. 3+√2 b. 9−2√2 c. 3−√2 d. 7+√2 e. 9+3√2
6. Nilai X dari (13)X
= 27 adalah….
a. -9 b -3 c.3 d. 4 e. 9
7. Hasil dari (27 )13× (32 )
25
= …
a.
13 b. 3 c. 12 d. 25 e. 30
8. Jika 2log 3 = p dan 2log 5 = q maka 2log 45 = …a. p2 + q b. 2p + q c. 2(p + q) d.p2 + q2 e. p + 2q
9.3
log 81 + 3
log 243 - 3
log27 adalah…
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 12
10. Nilai dari 4 log25×5 log 16adalah . . .
a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8
II. Isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang tepat !
1. Bentuk sederhana dari
36 x2 y2
15 ab.5 b (ab )2
24 x3 y2 adalah …
2. Nilai x yang memenuhi pada 3x – 1 = ( 1
9 )x−10
…
3. Bentuk sederhana dari
3
√3−√2 adalah …
4. Nilai dari 3log 15 -
150 log3 +
130 log3
. . .
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log √12 x+4= 3 adalah …
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 14
III. Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut ini dengan benar !
1. Sedarhanakan bentuk berikut.
a.
a−1 b−ab−1
a−1+b
−1
b. (√2+√3−√2)2−(√2−√3+√6 )2
Jawab …
2. Sederhanakan bentuk logaritma berikut !
alog
1b . blog
1
c2 . clog
1
d3 . dlog
1
e4 . elog
1
a5 !
Jawab : …
3. Jika 4x+4− x=7 maka tentukan nilai 8
x+8−x
Jawab : …
4. Jika 3log 5 = p. Tentukan nilai 25log 81 !
Jawab : …
5. Tentukan hasil dari
(3 log 36)2−(3 log 4 )2
3 log √12 ! Jawab : …
~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 15