Transcript
Page 1: bentuk pangkat, akar dan logaritma

Bab I

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

A. Bilangan Berpangkat Bulat

1. Pengertian Bilangan Berpangkat Bulat

Jika n bilangan asli, n > 1 dan a bilangan real bukan nol, maka :

an

= a x a x a x . . . x a → sebanyak n faktor

di mana : a : bilangan pokok/ basis

n : pangkat/ eksponen

a0

= 1

a−n

=

1

an ⇔ a

n =

1

a−n

a1

= 1

Contoh :

a. Hitunglah nilai berikut ini :

1. 22×244. (2×4 )2

2.

35

335.

( 25 )

2

3. (22 )36. 3

−3

Jawab :

1. 22×24=2×2×2×2×2×2

= 64

2.

35

33=3×3×3×3×3

3×3×3=32=9

3. (22 )3=43

= 4 x 4 x 4

= 64

4. (2 x 4)2=82

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 1

Page 2: bentuk pangkat, akar dan logaritma

= 64

5.( 2

5 )2

=25×2

5= 4

25

6.3−3= 1

33= 1

81

b. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif !

1. 2−5

2. n−3m2

Jawab :

1.2−5= 1

25

2.n−3 m2= 1

n3m2=m2

n3

c. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat negatif

1.

1

322. 72

Jawab :

1.

1

32=3−2

2.72= 1

7−2

2. Sifat – Sifat Bilangan Berpangkat Bulat

Jika a dan b adalah bilangan real, sedangkan m dan n adalah bilangan bulat, maka

berlaku :

a. am×an=am+n

b.

am

an=am−n ,

untuk a≠0

c. ( am )n=am×n

d. (a×b )n=an×bn, untuk a≠0

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 2

Page 3: bentuk pangkat, akar dan logaritma

e.( a

b )n

=an

bn, untuk b≠0

Contoh :

a. Sederhanakan dan hitung nilainya

1. 22×24

2.

25

23

3. (22 )3

Jawab :

1. 22×24=22+ 4=26=64

2.

25

23=25−3=22=4

3. (22 )3=22×3=26

b. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam pangkat bulat positif

1. 25×2−4×22

2.

x3 y−2

x5 y−4

Jawab :

1. 25×2−4×22=25−4+2=23

2.

x3 y−2

x5 y−4=x3−5 y−2−(−4 )=x−2 y2= y2

x2=( y

x )2

Tugas Kompetensi 1

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat !

1. Nyatakan dalam pangkat !

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 3

Page 4: bentuk pangkat, akar dan logaritma

a. 5 x 5 x 5 = . . .

b. a x a x a x a = . . .

2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut ini

a. 53×54=5. .. .+ . . ..=5 .. . . ..

b.(b3)−2

=b . .. .×.. . . .=b. . .. .= 1

b. . . ..

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a. x4=16

b.2( 3 x+4 )=1

4

4. Sederhanakan dan nyatakanlah hasilnya dengan pangkat positif

a.

a3 ba2 b2

b. (e x−e−x )2

c.

(a4b−3)−2

(ab )

5. a. Diketahui T = 4 p2 q−1 r3. Hitunglah T jika p = 2, q = 3, dan r = -1

b. Terdapat A=( 2 p2 q

r 3 ). Hitung A jika p = -8, q = 27, dan r = -24

B. Bentuk Akar

1. Pengertian Bentuk Akar

a. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

ab dengan

a. b bilangan bulat dan b¿0

Contoh :

1. Bilangan bulat, asli, dan pecahan

2. Bilangan desimal berulang

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 4

Page 5: bentuk pangkat, akar dan logaritma

0.33333. . .=

39=1

3

0,121212. . . .=

1299

= 433

3. Bilangan desimal terbatas

0.5 =

12 2,75 =

114

b. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

ab

dengan a,b bilangan bulat dan b¿0

Contoh :

1. √2=1,41423562…

2. √7=1,64575131…

c. Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bukan

merupakan bilangan rasional.

Contoh :

1. √16 , 3√64 ,√25 , . .. ( bukan bentuk akar )

2. √3 , 3√15 ,√8 ,. . .( bentuk akar )

d. Menyederhanakan bentuk akar

√ p×q=√ p×√q

Contoh :

1. √18=√9 . 2=√9 .√2=3√2

2. √125=√25 . 5=√125 .√5=5√5

2. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 5

Page 6: bentuk pangkat, akar dan logaritma

a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

a√c+b√c=( a+b ) √c

a√c−b √c=(a−b ) √c

Contoh :

1. 4 √2+3 √2−2√2=( 4+3−2 ) √2=5√2

2. √108−√48+√75=6√3−4√3+5√3=7√3

b. Perkalian bentuk akar

a√c×b √d=ab×√cd

Contoh :

1. 2√3×5√5=2 .5√3 .5=10√15

2. √75×(√54×√216 )=5√3×(3√6×6 √6 )=5√3×108=540√3

c. Menarik akar kuadrat

√ (a+b )+2√ab=√a+√b

√ (a+b )−2√ab=√a−√b , a>b

Contoh :

1. √8+2√15=√ (5+3 )+2√5.3=√5+√3

2. √12−√140=√12−√4×35=√12−2√35=√(7+5)−2√7 .5=√7−√5

3. Merasionalkan Penyebut

a. Bentuk Sekawan

( x+ y ) (x− y )=x2− y2

( x+ y ) ( x2−xy− y2)=x3+ y3

b. Jika terdapat

2√3

,3

2√5,

42−√3

,5−√2

3√2+2√2 dengan penyebut bentuk akar maka

bentuk penyebut pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional. Proses

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 6

Page 7: bentuk pangkat, akar dan logaritma

mengubah penyebut bentuk akar menjadi bilangan rasional disebut merasionalkan

penyebut.

Contoh :

42−√3

= 42−√3

×2+√32+√3

=4 (2+√3 )22−(√3 )2

=8+4√34−3

=8+4√3

Tugas kompetensi 2

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat !

1. Ubahlah bilangan desimal berikut menjadi bilangan rasional

ab

a. 3,12 b. 0,55555….

2. Sederhanakanlah !

a. √98 d. 3√27

b. √50 e. 3√36

c. √121

3. Tentukan hasil operasi aljabar berikut !

a. (√3−√2 )2

b. (3√5−√2 ) (√5+3√2 )4. Sederhanakanlah !

a. √3 x3 y√27 xy 3

b.(√5−1

2 )2

5. Rasionalkanlah !

a.

√32−√3

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 7

Page 8: bentuk pangkat, akar dan logaritma

b.

3√2−2√33√2+2√3

C. Pangkat Rasional

1. Pengertian Pangkat Rasional

Untuk a∈R ,m dan n∈R dan n≥2 maka :

a1n =n√a

amn =

n√am

2. Sifat-Sifat Bilangan dan Pangkat Rasional

Jika a dan b ∈R {a≠0 , b≠0 }, p dan q bilangan rasional maka berlaku berikut ini

*a p×aq=ap+q

*a p :aq=ap−q

¿ (a p )q=a p×q

¿ (a×b )p=ap×b p

¿(ab )

p

=a p

b p

Contoh :

Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bentuk akar

1. 234

2. 16−1

3

Jawab :

1. 234 =

4√23=4√8 2.

16−1

3= 1

1613

= 13√16

Tugas kompetensi 3

Kerjakan soal-soal da bawah ini dengan tepat !

1. Ubahlah ke dalam bentuk akar

a. 323

b. 425

2. Ubah ke bentuk bilangan berpangkat

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 8

Page 9: bentuk pangkat, akar dan logaritma

a. √5 b.

34√33

3. Diketahui

f ( x )= x32+x

−16

x12−x

−13

. Carilah harga f(64)

4. Sederhanakanlah !

(1+( xy )

2)−12 (1−( y

x )−12 )

(( xy )

2

−1)−12 (( y

x )2

+1)5. Tentukan nilai x yang memenuhi hubungan

52×(( 125 )

2 x+6)16= 1

25

D. Notasi Baku atau Notasi Ilmiah

Bilangan-bilangan yang besar sekali atau kecil sekali lebih praktis jika disajikan

dengan menggunakan notasi baku atau notasi ilmiah (scientific notation). Notasi baku

suatu bilangan ditulis dalam bentuk eksponen

α×10n

dengan a bilangan rasional (1≤α<10 )dan n bilangan bulat (positif atau negatif)

Langkah-langkah penulisan suatu bilangan dalam notasi baku atau notasi ilmiah :

1. Geser tanda desimal (tanda koma) ke kiri atau ke kanan sehingga tersisa satu angka.

Pergeseran tanda desimal ini menghasilkan bilangan rasional a dengan

1≤α<10

2. * Jika arah pergeseran tanda desimal ke kiri, maka nilai n bulat positif.

* Jika arah pergeseran tanda desimal ke kanan, maka nilai n bulat negatif.

3. Nilai n ditentukan oleh banyak angka yang dilalui ketika menggeser tanda koma

pada langkah1 di atas.

Contoh :

Tulislah bilangan-bilangan berikut dalam notasi ilmiah !

1. 3.200.000.000 2. 0,000000035

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 9

Page 10: bentuk pangkat, akar dan logaritma

Jawab :

1. 3,2 x 109 2. 3,5 x 10-8

E. Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Untuk a > 0 dan a ¿0 maka berlaku berikut

Dimana : a = bilangan pokok

b = bilangan yang ditarik logaritma (numerus)

x = hasil logaritma (nilai pangkat)

Syarat a log b ada atau terdefinisi bila :

a > 0 dan a ¿ 1 dan b > 0

Contoh :

Ubahlah menjadi bentuk logaritma

1. 26=64

2.3−1=1

3

Jawab :

1. 26=64→2 log64=6

2.3−1=1

3→3 log

13=−1

2. Sifat – Sifat Logaritma

Untuk a > 0, a¿ 0, dan x,y > 0 maka berlaku berikut ini

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 10

Jika ax = b maka alog b = x , a > 0, a ≠ 1, b > 0

Page 11: bentuk pangkat, akar dan logaritma

a . a log a=1b . a log xy=a log x + a log y

c .a log xy=a log x −a log y

d . a log xn=n a log x

e . an

log xm =mn

a log x

f . a log x=p log xp log a

g . a logb. b log c=a log c

h .aa logx =x

Contoh:

a. Hitunglah nilai berikut ini.

1) log 2 + log 5

2) 2 log 3 .

9 log 64

Jawab:

1) log 2 + log 5 = log(2¿5 )=log 10=1

2)2 log 3. 9 log 64=2 log 3 .32

log 26 =2 log3 .62

.3 log 2=3 .2 log3 .3 log 2=3

Tugas Kompetensi 4

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat!

1. Nyatakan tiap bentuk pangkat berikut dalam bentuk logaritma.

a.53

= 125 c.4

3

2

b.30

= 1 d.( 1

3)−3

= 27

2. Isilah titik-titik berikut ini !

Jikaa log X=n maka X= an. Dengan sifat tersebut maka,

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 11

Page 12: bentuk pangkat, akar dan logaritma

a. 3 log 9=n ⇔9=3n

b. 2 log 1

8=n⇔ 1

8=2n

3. .. =3n

2… =2n

n = … n = …

Jadi,3 log 9=3 log3 ..=. . . Jadi,

2 log 18=2 log 2=.. .

c log√10=n⇔√10=10nd.

a log 1=n⇔1=an

10. . .=10n

an=a .. .

n =… n =…

Jadi,log√10=. . . log 10. .=… Jadi,

a log 1=. . ..

3. Ubahlah ke dalam bentuk pangkat.

a. 2 log 16=4

b. log 1 = 0

c.

12 log

18

=3

Jawab…

4 Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menentukaan nilai berikut.

a. log 25 + log 4

b.2 log 12−2 log 3

c. 2.2 log 10+4 log2−2. 4 log5

Jawab …

5 Jika a = 0,666…dan b= 0.444 … , maka tentukan berikut ini :

a. a log b

b. b log a

Jawab …

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 12

Page 13: bentuk pangkat, akar dan logaritma

Do You Know ?! Salah satu ilmuwan Muslim yang memberikan sumbangan besar dalam pengembangan matematika adalah Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Pakar matematika yang lebih dikenal dengan sebutan Al-Khawarizmi ini hidup pada tahun 780 hingga 850 Masehi. Di kalangan masyarakat Barat, Al-Khawarizmi lebih dikenal dengan nama Algorisme atau Algoritme. Ia telah

banyak menemukan teori-teori dalam matematika.Al-Khawarizmi juga populer dengan sebutan Bapak Aljabar. Aljabar diambil dari namanya. Teori-teori Aljabar ia tulis dalam kitabnya yang bertajuk “Hisab Al-Jabr wal Muqabalah” atau buku tentang penghitungan, restorasi dan pengurangan. Teori 'algoritme' dalam matematika modern diambil dari namanya, karena dialah yang pertama kali mengembangkannya.Selain Aljabar dan algoritma, karya Al-Khawarizmi lainnya misalnya persamaan kuadrat dan fungsi sinus.

UJI KOMPETENSI

I. Berilah tanda silang (X) pada huruf a,b.c,d,atau e pada jawaban yang tepat!

1. Pernyataan yang benar pada kalimat matematika berikut adalah…

a. 74+73=77

d. 23+32=64

b. 52×53=256

e. 208−204=204

c. (53 )5=515

2. Diketahui a = 4 dan b = 9 maka

a

14

..b−1

a−14 .b

−2

a. 12 b. 18 c. 24 d. 36 e. 42

3. Bentuk sederhana dari

15 p5 q−3

3 p2 q( q2)3

adalah …a. 5p3q b. 5p3q2 c. 5p7q d. 5p7q2 e. 5p7q5

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 13

Page 14: bentuk pangkat, akar dan logaritma

4. Hasil dari (√3+√27 ) (√27+√3 )=.. .

a. √30b.

2√30c. 48 d. √60

e. 900

5. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari

73+√2 adalah …

a. 3+√2 b. 9−2√2 c. 3−√2 d. 7+√2 e. 9+3√2

6. Nilai X dari (13)X

= 27 adalah….

a. -9 b -3 c.3 d. 4 e. 9

7. Hasil dari (27 )13× (32 )

25

= …

a.

13 b. 3 c. 12 d. 25 e. 30

8. Jika 2log 3 = p dan 2log 5 = q maka 2log 45 = …a. p2 + q b. 2p + q c. 2(p + q) d.p2 + q2 e. p + 2q

9.3

log 81 + 3

log 243 - 3

log27 adalah…

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 12

10. Nilai dari 4 log25×5 log 16adalah . . .

a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8

II. Isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang tepat !

1. Bentuk sederhana dari

36 x2 y2

15 ab.5 b (ab )2

24 x3 y2 adalah …

2. Nilai x yang memenuhi pada 3x – 1 = ( 1

9 )x−10

3. Bentuk sederhana dari

3

√3−√2 adalah …

4. Nilai dari 3log 15 -

150 log3 +

130 log3

. . .

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log √12 x+4= 3 adalah …

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 14

Page 15: bentuk pangkat, akar dan logaritma

III. Jawablah pertanyaan – pertanyaan berikut ini dengan benar !

1. Sedarhanakan bentuk berikut.

a.

a−1 b−ab−1

a−1+b

−1

b. (√2+√3−√2)2−(√2−√3+√6 )2

Jawab …

2. Sederhanakan bentuk logaritma berikut !

alog

1b . blog

1

c2 . clog

1

d3 . dlog

1

e4 . elog

1

a5 !

Jawab : …

3. Jika 4x+4− x=7 maka tentukan nilai 8

x+8−x

Jawab : …

4. Jika 3log 5 = p. Tentukan nilai 25log 81 !

Jawab : …

5. Tentukan hasil dari

(3 log 36)2−(3 log 4 )2

3 log √12 ! Jawab : …

~Kereta sukses itu melewati semua stasiun, tetapi ia tak memaksa seseorang untuk naik~ 15