Download pdf - Bentuk Pangkat, Akar, Dan Logaritma 2

7/27/2019 Bentuk Pangkat, Akar, Dan Logaritma 2

http://slidepdf.com/reader/full/bentuk-pangkat-akar-dan-logaritma-2 1/25

Modul Matematika SMA Kelas 10

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)

A. Pendahuluan

Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar I, membahas tentang bentuk

pangkat bilangan negatif. Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk akar dan

pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk akar dan

pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi aljabar pada

bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Pada kegiatan belajar III membahas tentang

logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma. Dalam mempelajari modul ini

siapkan buku penunjang:

a. Osdirwan Osman, Drs.,M.Si. 2007. Matematika SMA 1A,cetakan pertama.Penerbit Arya

Duta.

b. Tim penyusun. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit IntanPariwara.

B. Pokok Bahasan

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.

C. Standar Kompetensi

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

D. Kompetensi Dasar

1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma

2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan

logaritma.

E. Waktu

Untuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x 45”.

F. Jumlah Kegiatan



Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar I, kegiatan belajar II dan

kegiatan belajar III .

G. Petunjuk Belajar1. Siapkan buku penunjang seperti disebut di atas.

2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu siapkan alat tulis untuk membuat catatan

tersendiri (bila diperlukan).

3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan baik, kerjakan latihan beserta tugasnya.

4. Jika anada menemukan kesulitan dalam mempelajari modul ini, tanyakan pada teman dan

diskusikan atau tanyakan pada Bapak/Ibu guru.

H. Indikator Pencapaian hasil belajar

1. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

2. Siswa dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.

3. Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar.

4. Siswa dapat merasionalkan bentuk akar.

5. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

6. Siswa dapat melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.

7. Siswa dapat menentukan syarat perpangkatan, penarikan akar dan logaritma

8. Siswa dapat membuktikan sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan

logaritma.

KEGIATAN BELAJAR I

PANGKAT BILANGAN NEGATIF

Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya akan

diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan

pangkat negatif.



Bagaimana arti pangkat bulat positif ?

Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an

yaitu:

An = a x a x a x ....x a, n buah faktor

A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka a1 =

a

Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n € A dan a € R, maka:

a. am x an = a m+n

b. am : an = am-n, m>n

c. (am)n = amxn

d. (a x b)n = an x bn

e. (a : b)n = an : bn

Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif

No. Sifat-sifat Bukti Contoh

1. am x an = a m+n am x an = (a x a x a x…x a) x (a x a x a

x…x a)

m faktor n

factor

= a x a x a x a x a ……x a

(m + n) faktor

= am+n

a. 23 x 25 = 23+5=28

b. a4 x a5 = a4+5 = a9

c. (2x + 3)2 (2x + 3)3

= (2x + 3)2+3

= (2x + 3)5

2. am : an = am-n,

m>n

am am-n+n am-n . an an

an = an = an = am-n . an = am-

n . 1

= am-n

a. 36 – 34 = 36-4 = 32

b. (a-1)5

(a-1)2 = (a-1)3

3. (am)n = amxn (am)n = am x am x am x …(am)

n faktor

a. (23)4 = (2)3x4= 212



= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x

…)

m faktor m

faktor

n faktor

= a x a x a x a x a = ... ... ... x a

(m x n ) faktor

= (a)mn

b. (x2)3 = (x)2x3 = x6

4. (a x b)n = an x

bn

(a x b)n = (a x b) x (a x b) x….x (axb)

n factor

= (a x a x …x a) x (b x b x … x

b)

n faktor n faktor

= an x bn

a. (2 x 3)4 = 24 x 34

b.(a2 x b3)4 =a8 x b12

5. ( a )n = an b bn

( a )n = a/b x a/b x a/b x …x a/b b n faktor

= a x a x a x … x a , n faktor

b x b x b x … x b , n factor = an bn

a. ( 2/3)2 = 22/32

b. (a/b)

3

= a

3

/b

3

c. (a2/b3)4=a8/b12

Bagaimana Arti Pangkat Nol dan Bulat negatif ?

Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan

mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .

Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.

Pengertian Pangkat Nol

Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)

Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.

ao . an = ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an sehingga diperoleh: ao+n = an an an

ao . an = an



an an

ao (1) = 1ao = 1

Pengertian pangkat bulat negatif

Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 = 1 dan a-n = 1a-n an

dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat

positif dan nol yaitu sebagai berikut:

an . a-n = an+(-n)

an . a-n = ao

an . a-n = 1

bagilah kedua ruas dengan an , sehingga diperoleh:an . a-n = 1 → an . a-n = 1 → 1 . a-n = 1 → a-n = 1

an an an an an an

Contoh1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !

a. 3-2

b. (0,2)-3

c. (x + y)-3

d. (2a – 5b)-4

Jawab:a. 3-2 = 1 b. (0,2) -3 = 1 c. (x + y)-3 = 1

32 (0,2)3 (x + y)3

d. (2a – 5b)-4 = 1

(2a – 5b)4

1. Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !ab-n = 1 b. 1 = a-1 + b-1

abn a + b

Jawab:a. 2 . 3-2 = 2 dan 1 = 1 = 1

32 2.32 2. 9 18

= 29

Jadi 2 . 3-2 ≠ 1



2.32

b. 1 = 1 2-1 + 4-1 = ½ + ¼2 + 4 6 dan = ¾

Jadi . 1 ≠ 2-1 + 4-1 2 + 4

RANGKUMAN

1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n dari

a ditulis an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.

a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.

2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n € A dan a € R, maka:

am x an = a m+n

am : an = am-n, m>n

(am)n = amxn

(a x b)n = an x bn

(a : b)n = an : bn

3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0 = 1

00 tidak didefinisikan

4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka

a-n. 1 = 1 dan a-n = 1a-n an

TES KEGIATAN BELAJAR 1

Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal

di bawah ini !

1. Dengan menggunakan sifat a

m

. a

n

= a

m+ n

, sederhanakanlah bentuk berikut !a. (0,25)3 (0,25)4 b. 3x y4 x2 y6 c. (2x2) (3x3) (4x4)



2. Dengan menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡

a. (23)4 b. z3 (z2)3 c. 3x2 (x2)2 (x3)3

3. Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn, sederhanakanlah bentuk-bentuk

berikut !

a. (2 . 5)4 b. (4 a2)3 c. (m3 . n4)5

4. Dengan menggunakan sifat ( a )n = an

b bn

Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !

a. ( 3/2)4 b. (x2/y3)2 c. (ab2/c3d3)2

5. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut

salah !a. am x an = a m+n

b. (am)n = amxn

( a )n = an c. b bn

6. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !

a. (x . y-5)(x . y)-5 b. (2ab2)-3 (3a2 b)-2

7. Dengan menggunakan sifat am : an = am-n sederhanakanlah bentuk berikut:

a. a-3 b. 4p-2 q-5

a-5 2p-7 q-2

KUNCI JAWABAN

1. a. (0,25)7 b. 3x3y10 c. 12x9

2. a. 212

b. z9

c. 3x15

3. a. 24.54 b. 64a6 c. m15 n20

4. a. 81/16 b. x4 c. a2 . b4 Y6 c6 d6

5. Kebijakan guru

6. a. ___1___ b. 1X4 . y10 72 a6 b8



7. a. a2 b. 2p5

Q3

KEGIATAN BELAJAR 2

BENTUK AKAR

Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta

operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan

berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.

Pengertian bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b,

perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk desimal

yang berakhir/berulang secara periodik.

Contoh:

Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !

a. 6 b. -30 c. 25% d. 0,4 e. √4

Jawab:

a. 6 = 12 b. -90 .

2 3

c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4

100 10

e. √4 = 2 = 2/1

A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut !

22 = 4 maka 2 = √4

23 = 8 maka 2 = 3√8

24 = 16 maka 2 = 4√16

25 = 32 maka 2 = 5√32



Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a1/n = n√a

Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat. Mengakibatkan

sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar.

Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama

dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:

Bentuk Pangkat Pecahan Bentuk Akar

1. a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m ↔ m√a x n√a = mn√an + m

mn

2. a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m ↔ m√a : n√a = mn√an - m

mn

3. (a1/m)1/n = a1/m x 1/n = a1/mn ↔ n√a . m√a = mn√a

4. (ab)1/n = a1/n x b1/n ↔ n√ab = n√a x n√b

5. (a/b)1/n = a1/n

b1/n ↔ n√a/b = n√an√b

___________________________________________________________________________

_______

Sifat-sifat yang lain:

6. a-1/n = ( a1/n)-1 = 1 = 1

a1/n n√a

7. am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau

am/n = (am)1/n = n√am

8. ( √x )2 = x

9. √x y = √x . √y

10. √x/y = √x/√y



Contoh;

1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian nyatakan

ke dalam bentuk akar ¡

a. a½ x a⅓ b. ( a ⅔)¾

\Jawab: Jawab:

a½ x a⅓ = a½+⅓ = a7/12 = 12√a7 ( a ⅔)¾ = a⅔ x ¾ = a½ = √a

c a¾ a⅔

Jawab:

a¾ a⅔ = a¾ - ⅔ = a1/12 = 12√a

2. Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡

¼

a3 b-2

__________

a-1 b2

Jawab

¼

a3 b-2

__________ = (a3 – (-1) b-2-2)¼ = (a4 b-4)¼ = ab-1 = a/b

a-1 b2

B. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat



Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat

bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar

kuadrat.

Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

NO. Sifat-sifat Bukti Contoh

1. (√x)2 = x √x = a ↔ x = a2

Maka (√x)2 = (a)2 = x

a. (√5)2 = 5

b. (√2a)2 = 2a

c. (√x + 1)2 = x + 2√x +

1

2. √xy = √x . √y √x = a ↔ x = a2

dan

√y = b ↔ y = b2, maka

√xy = √a2 . b2

= √(ab)2 = a b = √x . √y

√48 = √16 x3 =

√16 x √3

= 4√3

4√150 = 4√25 x 6

= 4 √25 x √6

= 4 (5) x √6

= 20√6

3. √x/y = √x√y

√x = a Jika dan hanya jika x =a2

√y = b Jika dan hanya jika y =

b2

Maka,

√x/y = √a2/b2 = √(a/b)2

= a = √xb √y

√64/49 = √64 = 8√49 7

4.n√an = (an)1/n = a ,

a ≥0

Silahkan buktikan

Sebagai latihan!

3√8 = (8)⅓

= (23)⅓

= 23/3 = 15.

n√an b = n√an x n√b

= a n√b,

A dan b ≥0

Silahkan buktikan

Sebagai latihan! √72 = √36 x 2 = √36 x √2

= (62)1/2 x

√2

= 6 √2



C. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat

Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya

maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud

adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c

dan

a√c - b√c = (a-b)√cPembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan

menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.

Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu termasuk

bilangan real.

a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:

1. a√c + b√c = (a+b)√c

2. a√c - b√c = (a-b)√c

3. b n√ a x d n√ c = bd n √ac

4. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/cn√ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.

Contoh

Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡

1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3

2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18

3. p √a - q √a + r √a

4. 2 √4 x 6 √3

5. 10 √32 : 2 √2

Jawab

1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3 = (10+2+5)√3 = 17 √3



2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 = 4 √36 x 2 + 3 √25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 + 3(5) √2 -

2(3)√2

= 24√2 + 15√2 - 6 √2

= (24+15-6) √2 = 33 √2

3. p √a - q √a + r √a = (p – q + r) √a

4. 2 √4 x 6 √3 = (2 x 6)√12 = 12 √4 x 3 = (12 x 2) √3 = 24 √3

5. 10 √32 : 2 √2 = (10/2) √32/2 = 5 √16 = 5(4) = 20

2. Perkalian Bentuk Akar

Operasi Perkalian bentuk akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:

√ x . √y = √xy

Contoh

Sederhanakanlah !

1. √50 x √2 2. √32 x √12,5 3. √½ x √50 4. √2 x √5 x √10

Jawab

1. √50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10 2. √32 x √12,5 = √(32 x 12,5) =

√400 = 20

3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5 4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10) =

√100 = 10

3. Pembagian Bentuk Akar

Operasi Pembagian Bentuk Akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y = √x√y

Contoh

Sederhanakanlah !

1. √108 2. √112,5 3. √12a2 4. √xy4

√27 √12,5 √3a2 √x3y2

Jawab1. √108 2. √112,5 3. √12a2 4. √xy4



√27 √12,5 √3a2 √x3y2

= √108/27 = √(112,5/12,5) = √12/3 a2 = √y2/x2

= √4 = √9 = √4 a2 = √y2 = y

= 2 = 3 = 2ª √x2 x

D. Merasionalkan Penyebut

Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk

menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar

penyebutnya. Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan

penyebut.

Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan

pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan

bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:

1. √a x √a akan menghasilkan bilangan rasional a

2. ( a + √b) x ( a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a2 - b

3. (√a + √b) x (√a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a - b

Pembuktian:

1. √a x √a = √a2 = a

2. ( a + √b) x ( a - √b) = a2 – a √b + a √b - (√b)2 = a2 - b

3 (√a + √b) x (√a - √b) = (√a )2 - √a . √b + √a . √b - (√b)2 = a – b

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!

1. √5 . √5 2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) 3. (2 + √3) (2 - √3)

4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)

Jawab:

1. √5 . √5 = 5 2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) = 8 – 2 = 6

3. (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1 4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33

Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?



1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).

2. Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang

dapat merasionalkan penyebut.

Perhatikan bentuk-bentuk berikut!

1. a = a . 1 2. √a . √b = 1 √ab√b √b √b √b b

= a . √b = a √b√b √b b

3. ____a___ = ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___ . 1√b - √c √b - √c

√b + √c √b + √c= ____a___ . √b

+ √c

= ____a___ . √b - √c √b - √c √b+ √c

√b + √c √b - √c = ____a___ ( √b+ √c )

b - c= ____a___ (√b - √c )

b - c

5. √a - √b = √a - √b . 1√a + √b √a + √b

= √a - √b . √a - √b√a + √b √a - √b

= a + b - 2√aba - b

Contoh 1

Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !

a. √3 b 5 c 6 d . 5 e. 6√4 √7 6 + √6 5 - √5 √5 + √2f. 6 g. √8 - √2 h. √6 + √2

√6 - √2 √8 + √2 √6 - √2

Jawab

a. √3 . √4 = √12 = 2 √3 = 1 √3√4 √4 4 4 2

b 5 . √7 = 5 √7

√7 √7 7



c. 6 . 6 - √6 = 6 ( 6 - √6 ) = 6 ( 6 - √6 ) = 1 ( 6 - √6 )6 + √6 6 - √6 36 - 6 30 5

d . 5 . 5 + √5 = 5 (5 + √5) = 5 (5 + √5) = 1 (5 + √5)5 - √5 5 + √5 25 - 5 20 4

e. 6 . √5 - √2 = 6 ( √5 - √2 ) = 6 ( √5 - √2 ) = 2 ( √5 - √2 )√5 + √2 √5 - √2 5 - 2 3

f. 6 . √6 + √2 = 6 (√6 + √2) = 6 (√6 + √2) = 2 (√6 + √2)√6 - √2 √6 + √2 6 - 2 3

g. √8 - √2 . √8 - √2 = 8 -4-4+2 = 2 = 1√8 + √2 √8 - √2 8 - 2 6 3

h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5

√6 - √2 √6 + √2 6 - 2 4 2

Contoh 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah iniH G

E F Hitung panjang AG ¡

D C

A B(√7 - √2) cm

Jawab

AG adalah panjang diagonal ruang

AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm

RANGKUMAN



1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnyatidak dapat menghasilkan bilangan rasional.Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.

2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar

a. a√c + b√c = (a+b)√c

b. a√c - b√c = (a-b)√c

c. b n√ a x d n√ c = bd n √ac

d. b n√ a : d n√ c = b/d n √a/c

e. √ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan

dua.

3. Merasionalkan Penyebut

1. a = 1 2. √a . √b = 1 √ab√b √b √b b

= a . √b = a √b√b √b b

3. ____a___ = ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___ . 1√b - √c √b - √c

√b + √c √b + √c= ____a___ . √b

+ √c= ____a___ . √b - √c √b - √c √b

+ √c√b + √c √b - √c = ____a___ ( √b

+ √c ) b - c

= ____a___ (√b - √c ) b - c

5. √a - √b = √a - √b . 1√a + √b √a + √b

= √a - √b . √a - √b√a + √b √a - √b

= a + b - 2√aba - b




Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !

1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !

a. √48 b. √1/75

2. Sederhanakan bentuk berikut !

a. 5√3 + √12 - 2√27 b. 4√3 x 3√6

3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!

a. 3 b. √6 c 5 d. √3 + √2

2 - √3 2√3 + 3√2 √7 + √2 √3 - √2e. 2√3 + 3

2√3 - 3

4. Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan luas

segitiga tersebut adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya!

5. Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan panjang

diagonal ruang balok tersebut!

Kunci

1. a. 4√3 b. 1 √35

2. a. √3 b. 36√2

3. a. 9 b. √3 - √2 c. √7 - √2 d. 7 + 2√6

e. 7 + 4√3

4. (√5 - √3) cm 5. 3√14 cm.

KEGIATAN BELAJAR 3

LOGARITMA

1. Pengertian Logaritma



Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan. Bentuk an

dikenal sebagai bilangan berpangkat. a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen.

Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an dapat dihitung dan b disebut numerus.

Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan

anda pahami bentuk kesamaan

24 = 16, didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2n =

16.

4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.

Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:alog b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap

bilangan pokoknya adalah 10.

Contoh:10log 10 = log 10 = 1 dan 10log 100 = log 100 = 2

Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan

dari tabel dibawah ini!

NO. Bentuk Logaritma Bentuk Pecahan Hasil

1 4log 8 = a 4a = 8 a = 3/22 3log 27 = b 3 b = 27 a = 33 2log 1 = c

642c = 1/64 c = -6

4 3log 3√3 = d 3d = 3 3 d = 3/2

55

log 3√ 5 = e 5e

= 3 5 e = 1/56 ⅓ Log 81 = f (⅓)f = 81 f = -47 1000log √10 = g 1000g = 10 g = 1/68 1/49 log 1/ 7 = h (1/49)h = 1/7 H = ¼

2. Sifat-sifat Logaritma

Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari sifat-

sifat yang berlaku pada logaritma. Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat

dasar logaritma.



2.1 Logaritma dari perkalian

Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari

masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:alog MN = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = an ↔ alog M = p dan N = aq ↔ alog N = q sehingga MN = ar ↔alog MN = r

Karena ar = MN, maka alog MN = r = p + q = alog M + alog N ( terbukti )

2.2 Logaritma dari pembagian

Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang

dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

alog(M : N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = an ↔ alog M = p dan N = aq ↔ alog N = q sehingga M:N = ar ↔ alog

M : N = r

Karena ar = M : N, maka alog ( M : N ) = r = p - q = alog M - alog N ( terbukti )

2.3 Logaritma dari perpangkatan

Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat

dengan logaritma bilangan pokok.alog M p = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0

2.4 Mengubah basis logaritma

Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi denganlogaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:

Mlog N = aLog NaLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = a p ↔ alog M = p

N = aq ↔ alog N = q



Maka MLOG N = aP log aq = q .aP log a = q .aP log (a p)1/p = q/p = alog Nalog M (terbukti)

2.5. Perpangkatan dengan logaritma

Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis samadengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:

alog Ma = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0

Pembuktian:Misal alog M = p ↔ a p = M

Maka = alog M

a = a p = M (terbukti)

Contoh:

1. Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar:

a. log 40 + log 25 b. 2log 4 + 2log 8 c. Jika log 4 = a dan log 3

= b

tentukan log 48

Jawab.

a. log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2

b. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 x 8) = 2log 32 = 5

c. log 48 = log (4 x 4 x 3) = log 4 + log 4 + log 3 = a + a + b = 2a + b

2. a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, dengan menggunakan sifat logaritma

pembagianTentukanlah nilai dari log 1,5

Jawab

log 1,5 = log 3/2 = log 3 – log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761

b. Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai 2log 14 – 2log 7

Jawab2

log 14 – 2

log 7 =2

log (14/7) =2

log 2 = 1



3. a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48

Jawab.

a. log 48 = log (24 x 3) = log 24 + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771

= 1,2040 + 0,4771

= 1,6811

4. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai6log 15!

Jawab.6log 15 = log 15 = log (3 x 5) = 3log 3 + 3log 5 = 1 + b = a ( 1 + b)

log 6 log (3 x 2) 3log 3 + 3log 2 1 + 1/a 1 + a

5. Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari

4 log 644

Jawab.

4 log 644 = 64

RANGKUMAN

Definisi logaritma:alog b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Sifat-sifat logaritma:

1. alog M.N = alog m + alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0

2.a

log(M : N) =a

log m – a

log n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 03. alog M p = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0

4. Mlog N = aLog NaLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0

alog M5. a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0

6. alog b . b log c . c log d = alog d

7. an

Log bm = m alog bn



8. alog 1 = 0

9. alog an = n

10. alog b = 1 blog a


Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b, c , d , atau e pada jawaban yang paling

benar!

1. 4log 64 + 3log 81 – ½log 8 = ....a. 10 b. 9 c. 7 d. 6 e. 4

2. Jika log 2 = a , maka log 5 = ....

a. a b. 1 + a c. 1 – a d. 3a e. -1

3. Jika log 2 = a , maka log 50 = ....

a. -1 b. 2a c. 3a d. 2a – 1 e. 2 – a

4. 2log 54 =....a. 0,4 b. 0,2 c. 1 d. 5 e. 25

5. Jika log (2x + 6) = 2, maka x = ....

a. 46 b. 47 c. 48 d. 49 e. 50

6. alog (1/b) . blog (1/c) . clog(1/a) =....

a. -1 b. 1 c. 1 d. 1 + abc e. 1 – abcabc

7. Bentuk sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah….

a. 100 b. 10 c. 3 d. 2 e. 1

8. Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log √3 adalah….



a. 4/p b. 2/p c. 1/p d. ½p e. ¼p

9. Nilai dari 3log 1 . 5log 8 . 2log √325

a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3

10. Jika 2a = 3 , maka 3log 12 = ....

a. 2 + a b. 2 + a c. 2 + a d. 1 + 1 e. 2 + 12 a 1 + a a a

11. Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log 3 = ....

a. ¼p b. ½p c. 1/p d. 2/p e. 4/p

12. Nilai x yang memenuhi dari 5log (0,2) = x adalah....

a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4

13. Nilai x dari 2log 5√8 = x adalah....

a. -5/3 b. -3/5 c. 3/5 d. 5/3 e. 5/2

14. Nilai dari 5log 150 – 5log 24 + 5log 4 = ....

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

15. Jika 7log 2 = a dan 2log 3 = b, maka nilai 6log 98 =….

a. a + 2 b. a + 2 c. a - 2 d. a + 1 e. a + 2a(1+ b) 1 + ab a(1+b) a(1+b) a(1-b)

KUNCI JAWABAN

1. a 6. a 11. b

2. c 7. e 12. b

3. e 8. d 13. c

4. e 9. b 14. d

5. b 10. b 15. a



UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes kegiatan belajar 3 ini. Kemudiangunakan humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi

kegiatan relajar 3.

Rumus:

Tingkat Penguasaan = Jumlah Jawaban Anda yang benar x 100

15

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

96 - 100 = Tuntas istimewa

86 - 95 = Tuntas baik sekali

81 - 85 = Tuntas baik

75 - 80 = Tuntas cukup

65 - 74 = Tuntas kurang

0 - 64 = Belum tuntas Sangat kurang

Bila tingkat penguasaan Anda mencapai ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan memahami

materi pada kegiatan belajar 3. Hebat!. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda < 75, maka

Anda harus mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.