GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Primera Edición
Geometría
Descriptiva
CAPÍTULO
IntersecciónAutor:
Víctor Vidal Barrena
Universidad
Nacional de Ingeniería
© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
Intersección
Recta
Poliedro
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
INTERSECCIÓN DE RECTA CON
INTERSECCIÓN DE RECTA CON POLIEDRO.
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 1 - 2
DE RECTA CONPOLIEDRO
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCECOMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALESINTERSECCIONES SON COMUNES EN LASCONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA,CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIERCAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOSLIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA
7.1 INTRODUCCIÓN.-
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 3
CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOSLIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LAINTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOSDE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LASUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DEINTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DERECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONOIRREGULAR.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DEESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NOCOPLANARES.
AC
D
VERTICE
DIAGONAL
7.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIÓN.
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H
EG
F
B
ARISTA
CARA
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
a).- LAS CARAS: formadas por polígonos que limitan el poliedro.
b).- LAS ARISTAS: que son los lados del polígono.
c).- LOS VÉRTICES: que son los extremos de las aristas.
7.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 5
d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vértices opuestos.
e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas.
f).- ANGULOS POLIEDRICOS: formados por aristas que concurren enun vértice.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras y ángulos iguales. Ejemplo:
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
D
A
D
B
C C
F
D B
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C
TETRAEDRO
A
BH
E
FHEXAEDRO
B
G
OCTAEDRO
E
A
D B
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo:
L
K
J I
HI
H
KM
C
H
IJ
K
LM
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
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D
F
E
A
C
B
E
B
F
D
C A
PRISMA TRIANGULAR TRUNCADO
PRISMA HEXAGONAL OBLICUO
A
B
C
D
E
F
PRISMA HEXAGONAL RECTO
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
1) PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una superficieengendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una líneapoligonal o directriz
C
A
BK
L G
J
H
I
CA
D
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
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PRISMA HEXAGONAL
D
F
EF
E
D
A
B
C H
PRISMA CUADRADO
E
F
G
CA
B
PRISMA TRIANGULAR
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz.
VV
V
7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
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PIRAMIDE TRIANGULAR
B
CA
PIRAMIDE DE BASE CUADRADA
A
D
B
CE
PIRAMIDE HEXAGONAL
B
F A
D C
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Hallar la intersección de la rectaMN con el prisma ABCD-EFGH.Mostrar la visibilidad de laintersección.
PROBLEMA Nº 7.1:
M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) ,
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 10
M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) , A(10, 9, 17) , B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20), E(3,5,12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),H(2, 3, 15).
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION 7.1:
HG
EH
M
HH
H
DH
NH
AH
CH
HB
14
13
12
11
15
19
17
20
16
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 11
HH
EF
G
F
F
F
FM
FH
F
DF
A
FC
FN
BF
grafico de los puntos
32 5 64 9 1310 12
3
4
1
5
7
11
9
8
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION 7.1.
HA
HB
HC
DH
HE
GH
HH
HM
HN
a
b
c
d1
2
16
11
20
17
19
12
14
15
13
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 12
FA
FB
CF
DF
EF
FH
FF
GF
HH
FM
FN
a
b
c
d
1
2 solucion final
4 9 12 133 10652
11
1
4
3
7
9
5
8
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Hallar la intersección de la rectaMN con la pirámide V – ABCD.Mostrar la visibilidad de laintersección.
PROBLEMA Nº 7.2:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 13
M(7.5, 9, 19), N(7.5, 2, 11) , A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15); V(1, 4.5, 13)
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PASO 1: GRAFICAR LAS COORDENADAS.
VH
NH
HC
A
HD
H
HM
HB GRAFICO DE LAS COORDENADAS
11
12
13
15
18
19
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 14
D
VF
FB
MFF
NH
FC
NF
FA
4.5
2
3
1
9
7
5
7.55 6.5 119.5
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 2: SOLUCION.
HV
A H
BH
CH
DH
H
HN
2
1
1BVCMN - ++-+ +
FHRECTA FHPLANO HF INT
13
18
15
12
19
11
PC-1
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 15
VF
AF
BF
CF
DF FM
NF
2
1
1BVCMN - ++-+ +
+MN + -ABCD + 2- +
9.5 11
3
7
4.5
1 6.5
5
5
9
7.5
2
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION SOMBREADA:
DH
CN
H
HB
HA
2
1
SOLUCION SOMBREADA
HV
H
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D F
FA
BF
C
MF
NH
F
2
1
SOMBREADA
VF
NF
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
ABCD y EFGH, son las bases de un prisma debase cuadrada determinar la intersección ymostrar la visibilidad de la recta MN con elprisma dado Hallar la tabla de visibilidad.
PROBLEMA Nº 7.3:
A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 17
A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),D(9, 7, 20); E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),H(2, 3, 15)M(8, 9, 20) N(8, 1, 11).
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 7.3: Solución
EH
NF
H
HH
G
A
HM DH
H
HB
CH
14
11
12
16
15
17
19
20
GRAFICO DE LAS COORDENADAS
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 18
FH
GF
EF
FC
FF
NF
FMF
FD
NFH H
A
BF
1
3
2 53
9
7
5
11
86 109 1312
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION:
HA
HB
HC
DH
HE
F
GH
HH
HM
N
1
2
19
12
14
15
16
11
20
17
RECTA PLANO INTH F FH H F
TABLA DE VIS
PC-1
PC-2
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 19
FA
FB
CF
DF
EF
FH
FF
GF
HF
FM
FN
b
HN
1
2
+ +
++
+ -
- +
-+
- +9
10
5
652 8
11
1
9 12 13
3
3
7
MN
AEDH
BFCG
1
2
MN
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION SOMBREADA
HH
E
GH 2
C
M D
1
H H
HAHB
H
SOLUCION SOMBREADA
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 20
HF
C
1
GF
EF
FF
NF
2
M
HE
HF
AF
DF
HN
F
FB
F
SOMBREADA
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 7.4
Si el poliedro tiene
sección transversal
convexa, la recta lo
interseca en dos
puntos; en cambio, si
es cóncava, es posible
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
es cóncava, es posible
que la recta interseque
en más de dos puntos.
7 - 21
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Hallar la intersección de la rectaMN con el prisma ABCD-EFGH.Mostrar la visibilidad de laintersección.
PROBLEMA Nº 7.5:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 22
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
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dició
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Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 7.5
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 23
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Hallar la intersección de la rectaMN con la Pirámide V-ABCD.Mostrar la visibilidad de laintersección.
PROBLEMA Nº 7.6:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 24
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
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dició
n
Víctor Vidal Barrena
PROBLEMA Nº 7.6
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 25
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
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dició
n
Víctor Vidal Barrena
INTERSECCION DE RECTA CON
INTERSECCIÓN DE RECTA CON SUPERFICIE.
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 7 - 26
DE RECTA CON SUPERFICIE
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
7.6 Superficies: Cono Cilindro.
� CONO.-Es una superficie generada por una recta llamadageneratriz, que se desplaza apoyada sobre una curva(directriz) ypasando siempre por un punto (vértice).
� CILINDRO.-Es una superficie generada por una recta (generatriz)al desplazarse paralelamente a sí misma y apoyada sobre unacurva(directriz).
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 11 - 27
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
7.7 REGLAS DE VISIBILIDAD
1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de
intersección es visible.
2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas están ocultas, el
punto de intersección es invisible.
3. Si dos círculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto
de intersección es visible.
4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están
ocultas, el punto de intersección es invisible.
Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las
generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:
1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible.
2. No se plica la regla de los signos.
11- 28
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
7.8 Representación de Superficies.
El cono está engendrado por el movimiento de una línea recta
llamada generatriz, que se desplaza sobre una curva directriz y que
pasa siempre por un punto fijo llamado vértice; véase la figura 11.2.
7.8.1 REPRESENTACIÓN DE CONOS
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 11 - 29
Fig. 10.2 Representación de conos.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
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dició
n
Víctor Vidal Barrena
7.9 Representación de Superficies.
El cilindro es engendrado por el movimiento de una línea recta (generatriz)
que se desplaza sobre una línea curva plana (directriz) permaneciendo siempre en
todas sus posiciones paralela a su posición; véase la figura 11.3.
7.9.1 Representación de Cilindros.
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 11 - 30
Fig. 10.3 Representación de cilindros.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Hallar la intersección de la recta MNcon un cono oblicuo de basehorizontal de 6 cm de diámetro;siendo O el centro de su base y V elvértice. Mostrar la visibilidad.
Problema 7.5:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
vértice. Mostrar la visibilidad.
11- 31
M(5, 6, 16), N(13, 3, 12) , V(13.5, 7, 17) , O(8, 1.5, 13).
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
12
13HO
HN
16
17 HMH
V
grafico de los puntos
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
1.5
3
6
7
13.5
V
5
MF
8
OF
13
N F
F
puntos
11- 32
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
13
12
17
16HM
NH
O H
HV
A
1 2
M'H
MN + + FV -+- 2 +
GENER
MN
RECTA
+ +
H F
EV +
H
++
H F
1
INT
+
F
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
FN
1.5
5 13
OF
8 13.5
3
6
7M F
V F
solucion finalE H F H
A H
HB
FBA F E F FF
12
M'F
11- 33
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
AB es el eje de un cilindro de baseshorizontales de 5cm de diámetro.Determinar la intersección y mostrarla visibilidad de la recta MN con elcilindro dado. Cortar al cilindro por
PROBLEMA 7.6:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
cilindro dado. Cortar al cilindro porel extremo B.
11- 34
A(7, 2.5, 15), B(12, 8.5, 19.5) , M(8.5, 1, 21) , N(8.5, 10, 12).
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
12 N H
21
19.5
15HA
MH
BH
GRAFICO DE LOS PUNTOS
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
2.5
1
10
8.5
A
4 8.57
F
MF
N
N
F
H
12
FB
11- 35
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION
15AH
19.5B
H
21H
M
HM'
HY 1
2
Z
GENERHRECTA
MN
MN ++
Z1
F
++
S2 +-
H F
-+
INT
21
FH
-+
-+
H
solucion final
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
12
7
2.5
FA
8.5 FB
12
10
1M
F
NH
NF
FX
XH
FM'
YF
S
S Z
2
1
8.5
H
F F
solucion final
11- 36
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
Problema 11.3:PROBLEMA 7.7:
HALLAR LA INTERSECCION DE LARECTA AB CON EL CONO DEVERTICE V. VISIBILIDAD.
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Prim
eraE
dició
n
Víctor Vidal Barrena
SOLUCION:
©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada