Econometrie Financiara
Capitol extras din cartea Introducere n economia aplicat, 2004
autor Constantin Dugulean
1.14. Valorile aberante n analiza de regresie (outliers)
Valorile extreme ale variabilelor observate pot influena esenial valoarea estimatorilor. Aceste valori aberante, numite n limba englez outliers sunt generate de factori neobinuii, deosebii, producnd modificri majore asupra variabilelor, care apar n cazurile respective, ca fiind rupte de contextul celorlalte observri.
Metoda grafic este calea cea mai simpl de a pune n eviden existena valorilor aberante. Dar aceast metod se poate aplica n cazul regresiei liniare simple. n cazul regresiei multiple, este dificil identificarea acestor valori extreme.
Analiza reziduurilor, care ar trebui s nsoeasc estimarea oricrei ecuaii de regresie, poate contribui la detectarea lor. Valorile mari pozitive sau negative ale reziduurilor arat c respectivele observri constituie valori extreme.
n exemplul de mai jos, este rezolvat un exerciiu, n care se cunosc despre economitii de la Universitatea din Michigan, date referitoare la salariul i experiena dobndit, n anul 1983-1984. Se cere s se stabileasc dac salariul este influenat semnificativ de anii de experien.
n Tabelul 1.14, variabila yi reprezint salariul, exprimat n mii $/an, iar variabila xi reprezint anii de experien, ca numr de ani trecui de la acordarea titlului de doctor.
yixi
63.043
54.332
51.032
39.030
52.026
55.025
41.223
47.722
44.522
43.021
46.820
42.420
56.519
55.019
53.019
55.018
54.018
50.717
37.517
61.016
48.116
30.016
51.515
40.613
51.312
50.312
62.410
39.310
43.29
40.47
37.76
27.73
Exerciiu propus spre rezolvare de G.S. Maddala, n Introduction to Econometrics, 2nd Edition, Ed. Macmillan, New York, 1992, p. 108, sursa: R.H. Frank, Are Workers Paid Their Marginal Products?, The American Economic Review, September 1984, p. 560Tabelul 1.14. Datele despre salariul i experiena economitilor, n 1983-1984
Graficul din Figura 1.15 are un punct aberant (ncercuit), care este deprtat de restul punctelor ce formeaz norul de puncte. Acest punct pare s atrag drepta de regresie spre el.
Figura 1.15. Corelaia dintre salariul i vechimea angajailor n 1983-1984
Tabela de regresie obinut cu Microsoft Excel este prezentat n Tabelul 1.15.
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R0.4198
R Square0.1762
Adjusted R Sq.0.1487
Standard Error8.0149
Observations32
ANOVAdfSSMSFSignific.F
Regression1412.20412.206.420.01677
Residual301927.1864.24
Total312339.38
Coeff.Std.Err.t StatP-valueLower 95%Upper 95%
Intercept39.6433.46711.4330.00032.56146.724
X Variable 10.4360.1722.5330.0170.0850.788
Tabelul 1.15. Tabela de regresie a salariului n funcie de anii de experien
Modelul liniar identificat este . Coeficient de determinaie mic, de 0.17, arat c modelul liniar explic variaia salariului n proporie de numai 17%.
Coeficientul de corelaie liniar ntre salariul i experiena exprimat n ani, de 0.42, arat o intensitate slab ntre cei doi indicatori. Cei doi coeficieni ai modelului sunt semnificativ diferii de 0 (P-value), testul Fisher arat c regresia este semnificativ ncepnd de la un prag de semnificaie de 1.67%. Valorile teoretice calculate conform modelului liniar de regresie se afl reprezentate pe graficul din Figura 1.15. Valoarea mic a coeficientului de determinaie, indic posibilitatea existenei unui outlier, care a fost deja identificat pe grafic.
Se calculeaz reziuduurile , ca abateri ntre valorile observate i cele ajustate.
Se ordoneaz, de exemplu, descresctor dup variabila y i se observ care sunt abaterile mari, n ambele sensuri: pozitive i negative. n Tabelul 1.16 sunt prezentate valorile ordonate.
n urma studierii erorilor se observ c exist 2 puncte care genereaz erori pozitive mari i 3 puncte care genereaz erori negative mici, dar mari n valoare absolut. Se elimin punctele marcate accentuat n Tabelul 1.16 i se repet analiza de regresie, pentru cele 27 de observri rmase.
yixiei
62.41018.4
61.01614.4
56.5198.6
55.0187.5
55.0197.1
54.0186.5
51.3126.4
50.3125.4
51.5155.3
53.0195.1
63.0434.6
55.0254.5
50.7173.6
48.1161.5
52.0261.0
54.3320.7
yixiei
43.29-0.4
47.722-1.5
46.820-1.6
40.47-2.3
51.032-2.6
37.76-4.6
39.310-4.7
40.613-4.7
44.522-4.7
43.021-5.8
42.420-6.0
41.223-8.5
37.517-9.6
27.73-13.3
39.030-13.7
30.016-16.6
Tabelul 1.16. Analiza reziduurilor pentru detectarea punctelor aberanteTabela de regresie din Tabelul 1.17, conduce la modelul liniar , care indic un coeficient de corelaie ntre variabile, mai mare, de 0.60, artnd o legtur de intensitate medie; un coeficient de determinaie de 0.36, mai bun dect n regresia precedent; estimatorii sunt semnificativi diferii de 0 cu o probabilitate de 100%. Testul Fisher arat acelai lucru; valoarea sa fiind mai mare, iar pragul de semnificaie mai mic, dect la regresia iniial, indicnd cu o probabilitate de 99.9% faptul c noua regresie este global semnificativ.
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R0.6016
R Square0.3619
Adjusted R Sq.0.3364
Standard Error5.4099
Observations27
ANOVAdfSSMSFSignif.F
Regression1414.966414.96614.1790.000903
Residual25731.67429.267
Total261146.64
Coeff.Std.Err.t StatP-valueLower 95%Upper 95%
Intercept38.9522.70014.4250.00033.39044.513
X Variable 10.4940.1313.7650.0010.2240.764
Tabelul 1.17. Tabela de regresie dup eliminarea valorilor extreme
Valorile teoretice yt1 obinute cu noul model sunt reprezentate pe graficul din Figura 1.16.
Pe grafic se pot vedea punctele ncercuite, care au fost eliminate i nu au fost considerate n noua analiz de regresie. Printre punctele eliminate nu se afl i punctul considerat aberant la nceput, folosind metoda grafic. Se poate ncerca i varianta prin care s se elimine numai punctul aberant identificat prin metoda grafic.
Tabela de regresie din Tabelul 1.18 indic un model mult mai slab dect varianta a 2-a, cu un coeficient de determinaie de numai 0.09 fa de 0.36 ct era dup eliminarea celor 5 puncte.
Figura 1.16. Dreapta de regresie dup eliminarea valorilor extreme ale reziduurilor
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R0.3088
R Square0.0954
Adjusted R Sq0.0642
Standard Error8.0868
Observations31
ANOVAdfSSMSFSignif.F
Regression1199.95863199.95863.05760.0909
Residual291896.492365.39629
Total302096.451
Coeff.Std. Err.t StatP-valueLower 95%Upper 95%
Intercept40.8293.90410.4590.00032.84548.812
X Variable 10.3600.2061.7490.091-0.0610.782
Tabelul 1.18. Tabela de regresie dup eliminarea punctului iniial aberantSe observ o intensitate slab a corelaiei dintre variabila explicat i cea explicativ, de numai 0.31, o regresie care ncepe s devin semnificativ numai de la un prag ( de 9%, dup cum arat i raia Student a estimatorului , la P-value. Pentru un prag de semnificaie (=5%, se observ c intervalul de ncredere al coeficientului variabilei x poate conine valoarea 0, pentru c se schimb semnul din al limitei inferioare n semnul + al limitei superioare. n Figura 1.17 sunt prezentate valorile teoretice yt2 aflate pe dreapta de regresie.
Se observ c norul de puncte i dreapta de regresie sunt aproape paralele cu axa Ox, ceea ce arat exitena unei corelaii slabe ntre salariu i numrul de ani trecui de la obinerea doctoratului. Nu se poate renuna la acest punct, care la prima vedere prea a fi aberant.
Figura 1.17. Ajustarea salariului n funcie de vechime, dup eliminarea punctului aberant, prin metoda graficVarianta, n care se elimin cele cinci puncte i punctul iniial aberant, ofer tabela de regresie din Tabelul 1.19.
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R0.4704
R Square0.2213
Adj. R Sq.0.1888
Std. Error5.4733
Observations26
ANOVAdfSSMSFSignif.F
Regression1204.279204.2796.8190.0153
Residual24718.97529.957
Total25923.255
Coeff.Standard Errort StatP-valueLower 95%Upper 95%
Intercept39.99283.165512.63380.000033.45946.526
X Variable 10.43020.16472.61130.01530.09020.7702
Tabelul 1.19. Tabela de regresie dup eliminarea celor 6 puncte aberante
Se observ c nici aceast variant nu este mai bun dect cea n care s-au eliminat cele 5 puncte detectate prin analiza reziduurilor, varianta a 2-a. Modelul obinut este mai bun dect cel din varianta anterioar, dar nu mai bun dect cel din varianta a 2-a. Acest model este global semnificativ, dup cum arat testul Fisher, ncepnd de la un prag ( de 1.53%. Coeficientul de determinaie de numai 0.22 poate determina renunarea la aceast variant i pstrarea variantei, n care se elimin numai cele 5 valori extreme, ncercuite n Figura 1.16.
Modelul reinut ca fiind cel mai bun este: . Nu se poate renuna la punctual izolat, pentru c acesta se afl pe direcia norului de puncte, iar abaterea sa fa de linia de regresie din modelul iniial este mic.
1.15. Metode rezistente de regresie
Calitatea ajustrii folosind metoda regresiei, se apreciaz n funcie de coeficientul de determinaie, R2. Informaia coninut n date, nu este toat condensat n estimatorii: i , R2 i SSE, ci se poate gsi i n reziduuri, care conin partea de variaie neexplicat a variabilei dependente. Dac analiznd reziduurile, se constat prezena unei structuri, nseamn c acestea sunt nc purttoare de informaie, care s-ar putea modela. Modelul ales trebuie modificat corespunztor.
Statisticianul Anscombe, n 1973, a gsit patru seturi de date care au particularitatea de a furniza aceleai rezultate statistice. Pentru cele patru grupuri de date, se gsete aceeai dreapt de regresie , aceeai abatere rezidual 1.236 i acelai coeficient de determinaie 0.667, ceea ce nseamn c variabila x explic dou treimi din variana variabilei y.
Grupul AGrupul BGrupul CGrupul D
xy
xy
xy
xy
108.048109.148107.46886.587
149.9610148.110148.841085.767
55.685.554.745.555.735.587.717
86.95788.14786.77788.847
98.817.598.777.597.117.588.477
1210.849129.139128.15987.047
44.26543.1545.39585.257
74.826.577.266.576.426.51912.512.5
118.338.5119.268.5117.818.585.567
137.589.5138.749.51312.749.587.917
67.24666.13666.08686.897
Tabelul 1.19. Grupurile de date ale lui Anscombe
Totui aceste patru seturi de date corespund unor situaii foarte diferite, prezentate n Tabelul 1.20, i n Figurile 1.18, 1.19, 1.20 i 1.21. Graficele prezint datele empirice i dreapta de regresie ntr-o diagram XY (Scatter).
Numai n cazul A, Figura 1.18, se justific utilizarea regresiei liniare. Pentru celelalte trei cazuri, aplicarea metodei regresiei nu are sens.
Figura 1.18. Grupul A de date i dreapta de regresie
Figura 1.19. Grupul B de date i dreapta de regresie
Pentru datele din grupul B, modelul nu este corect specificat. Graficul din Figura 1.19 indic utilizarea unui model neliniar.
Pentru ansamblul C, datele sunt aliniate dup o dreapt, dar neansa de a conine o valoare aberant pentru x=13, face ca dreapta de regresie s nu treac prin nici unul din puncte.
Figura 1.20. Grupul C de date i dreapta de regresie
Pentru grupul D, dreapta de regresie pare atras de punctul aberant, n x=19 sau nu sunt suficiente date pentru a determina panta dreptei
Figura 1.21. Grupul D de date i dreapta de regresie
Metodele rezistente pentru rezolvarea situaiilor n care se manifest existena valorilor aberante, recurg la proceduri iterative i respect acelai criteriu, cel al minimizrii sumei ptratelor abaterilor valorilor observate de la dreapta de regresie (variana reziduurilor s fie minim), ca i metoda regresiei,
.
Aceste metode sunt:
1. metoda celor trei puncte i
2. metoda lui Theil.
Utilizarea medianei, n locul mediei, confer rezisten acestor metode, pentru c n stabilirea medianei nu se ine seama de valorile extreme ale variabilei.
1.15.1. Metoda celor trei puncte
Metoda celor trei puncte const n:
determinarea cuantilelor de ordinul 1/3 i 2/3 ale variabilei x, notate cu x1/3 i x2/3;
divizarea datelor n trei subansamble, astfel:
I : xi < x1/3,
II : x1/3 < xi < x2/3,
III : xi > x2/3;
determinarea a dou puncte (xI, yI) i (xIII, yIII) ca puncte mediane ale subansamblelor I i III, lund ca abscis mediana absciselor acestor puncte i ordonata, mediana ordonatelor lor;
calculul pantei dreptei care trece prin cele dou puncte:
= (yIII yI) / (xIII xI);
i se determin ca median a cantitilor yi xi.
Dei metoda se numete a celor trei puncte, n acest caz, sunt numai dou puncte; al treilea apare n studiul curbelor de cretere.
Se utilizeaz pentru exemplificare, grupul C de date al lui Anscombe i se parcurg etapele descrise n continuare.
Se ordoneaz cresctor cele 11 valori ale variabilei x, pentru a determina cuantilele de ordinul 1/3 i 2/3. Se stabilesc probabilitile cumulate cresctor sub forma unei scri cu pasul 1/11. Prin interpolare se stabilesc ce valori ale lui x, corespund probabilitilor 0.33 i 0.67. Cuantila de ordinul 1/3 este 6.66, iar cea de ordinul 2/3 este 10.33. n Tabelul 1.21 sunt prezentate calculele pentru determinarea cuantilelor.
Se mpart cele 11 observri n trei grupe, n funcie de cele dou cuantile determinate. n Tabelul 1.22 se disting aceste grupe.
Pentru primul punct (xI, yI), mediana valorilor x este 5, iar a valorilor y, 5.73, ca fiind valorile centrale. Pentru punctul (xIII, yIII), avnd un numr par de elemente, mediana valorilor x este media aritmetic simpl a valorilor 12 i 13, adic 12.5, iar mediana valorilor y, se obine dup ordonarea cresctoare a seriei acestora, ca medie aritmetic ntre valorile centrale 8.15 i 8.84, adic 8.495.
Se calculeaz panta dreptei ce unete cele dou puncte de coordonate (5, 5.73), i (12.50, 8.495). Aceast valoare este =0.3687.
Termenul constant , mediana cantitilor yi a1xi, se obine dup ordonarea cresctoare a acestora, ca fiind termenul lor central, 3.821.
xiProbabiliti cumulateOrdin cuantileCuantilele
x1/3 i x2/3
40.09
50.181818
60.2727276.66
70.3636360.33333
80.454545
90.545455
100.63636410.33
110.7272730.66667
120.818182
130.909091
141
Tabelul 1.21. Calculul valorilor x1/3 i x2/3
xiyixiyiyi a1xi
45.393.91533.9153
55.73Punctul 1(55.73)3.88663.8866
66.083.8683.868
76.423.83933.8393
86.77a1 =0.36863.82063.8206
97.11a0 =3.82063.7923.792
107.463.77333.7733
117.813.75463.7546
128.15Punctul 2(12.508.495)3.7263.726
1312.747.94733.6786
148.843.67867.9473
Tabelul 1.22. Calculul parametrilor de regresie
Cu modelul astfel determinat , se obin valorile teoretice, situate pe o dreapt aflat n imediata apropiere a datelor observate. Aceast dreapt de regresie nu mai este atras de punctul aberant, fiind astfel mult mai bun, pentru c trece foarte aproape de majoritatea valorilor observate ale grupului C de date.
Figura 1.22. Grupul de date C i noua dreapt de regresie
Pe graficul din Figura 1.22 se observ c noua dreapt de regresie trece prin aproape toate punctele, care sunt aliniate i nu mai este atras de punctul aberant.
1.15.2. Metoda lui Theil
Metoda lui Theil const n parcurgerea urmtorilor pai, pentru determinarea unui model liniar :
se dispune de n puncte (xi, yi); se consider cupluri de puncte;
se unete fiecare cuplu de puncte printr-o dreapt; se calculeaz panta fiecrei drepte;
valoarea reinut pentru parametrul este mediana acestor pante ale dreptelor;
se determin ca median a cantitilor ale dreptelor.
Cu parametrii astfel determinai se obine o dreapt care va fi mai bun dect dreapta de regresie iniial, atras de punctul aberant.
Aplicarea metodei lui Theil pentru grupul de date C al lui Anscombe, conduce la urmtoarele rezultate, prezentate n Tabelele 1.23, 1.24 i 1.25.
14589124711136
104-5-2-12-6-313-4
140-9-6-5-2-10-7-3-1-8
50347-12681
8014-4-135-2
903-5-224-3
120-8-5-11-6
403792
7046-1
1102-5
130-7
60
Tabelul 1.23. Calculul diferenelor
8.845.736.777.118.155.396.427.8112.746.08
7.461.38-1.73-0.69-0.350.69-2.07-1.040.355.28-1.38
8.840-3.11-2.07-1.73-0.69-3.45-2.42-1.033.9-2.76
5.7301.041.382.42-0.340.692.087.010.35
6.7700.341.38-1.38-0.351.045.97-0.69
7.1101.04-1.72-0.690.75.63-1.03
8.150-2.76-1.73-0.344.59-2.07
5.3901.032.427.350.69
6.4201.396.32-0.34
7.8104.93-1.73
12.740-6.66
6.080
Tabelul 1.24. Calculul diferenelor
Calculele pantelor celor 55 de drepte i mediana lor, folosind funcia MEDIAN(...) din Excel, precum i cantitile ce reprezint termenii liberi i mediana lor, sunt prezentate n Tabelul 1.25.
Dreapta de regresie este , iar n Tabelul 1.26 sunt prezentate valorile teoretice obinute prin metoda lui Theil, i cele obinute prin metoda celor trei puncte. Graficul din Figura 1.23 prezint cele dou drepte de regresie obinute prin metoda celor 3 puncte i prin metoda lui Theil.
141.380.34504.0044
2-5-1.730.34604.0022
3-2-0.690.34504.0022
4-1-0.350.35004.0056
520.690.34504
6-6-2.070.34504.0033
7-3-1.040.34674.0078
810.350.35004.0011
935.281.76004.0089
10-4-1.380.34508.2478
11-9-3.110.34564.0067
12-6-2.070.3450Me=b0
13-5-1.730.34604.0044
14-2-0.690.3450
15-10-3.450.3450
16-7-2.420.3457
17-3-1.030.3433
18-13.9-3.900
19-8-2.760.3450
2031.040.3467
2141.380.3450
2272.420.3457
23-1-0.340.3400
2420.690.3450
2562.080.3467
2687.010.8763
2710.350.3500
2810.340.3400
2941.380.3450
30-4-1.380.3450
31-1-0.350.3500
3231.040.3467
3355.971.1940
34-2-0.690.3450
3531.040.3467
36-5-1.720.3440
37-2-0.690.3450
3820.70.3500
3945.631.4075
40-3-1.030.3433
41-8-2.760.3450
42-5-1.730.3460
43-1-0.340.3400
4414.594.5900
45-6-2.070.3450
4631.030.3433
4772.420.3457
4897.350.8167
4920.690.3450
5041.390.3475
5166.321.0533
52-1-0.340.3400
5324.932.4650
54-5-1.730.3460
55-7-6.660.9514
Me=b10.3456
Tabelul 1.25. Calculul parametrilor noii drepte de regresie
Grupul CRegresia liniarMet. 3 puncteMetoda Theil
xy
107.4687.517.46
148.84108.988.84
55.735.55.665.73
86.7776.776.77
97.117.57.147.11
128.1598.248.15
45.3955.305.39
76.426.56.406.42
117.818.57.887.81
1312.749.58.618.50
66.0866.036.08
Tabelul 1.26. Prezentarea comparativ a rezultatelor
Se observ n Tabelul 1.26, c valorile teoretice prin metoda lui Theil coincid cu valorile yi, cu excepia punctului aberat de coordonate (13, 12.74).
Dei toate celelalte erori sunt 0, totui este mai mare dect n cazul metodei celor 3 puncte.
Figura 1.23. Compararea metodelor rezistente
Ambele metode sunt bune. Cu toate acestea faptul c regresia lui Theil trece prin toate punctele, cu excepia celui aberant, face ca aceasta din urm s fie preferat fa de celelate variante. O alt soluie ar fi s se elimine punctul aberant conform metodei grafice, care indic faptul c punctul izolat influeneaz panta dreptei de regresie. Atunci punctele sunt aliniate dup o dreapt a crei ecuaie este: , foarte apropiat de cea obinut prin metoda Theil.
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
_1143567765.unknown
_1143640638.unknown
_1143641363.unknown
_1155030371.unknown
_1155032931.unknown
_1143642997.unknown
_1143708009.unknown
_1148453028.unknown
_1143645808.xlsChart4
7.468
8.8410
5.735.5
6.777
7.117.5
8.159
5.395
6.426.5
7.818.5
12.749.5
6.086
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului C si dreapta de regresie
Sheet1
Grupul C
xyyt
107.468
148.8410
55.735.5
86.777
97.117.5
128.159
45.395
76.426.5
117.818.5
1312.749.5
66.086
Sheet1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului C i dreapta de regresie
Sheet2
Sheet3
_1143641453.unknown
_1143640686.unknown
_1143641248.unknown
_1143641256.unknown
_1143640695.unknown
_1143640659.unknown
_1143638991.unknown
_1143639418.unknown
_1143635288.unknown
_1143563244.unknown
_1143567085.unknown
_1082295382.unknown
_1082295723.unknown
_1082296724.unknown
_1143562519.unknown
_1082296709.unknown
_1082295709.unknown
_1082291189.unknown
_1082291681.unknown
_1082232801.xlsChart2
8.048
9.9610
5.685.5
6.957
8.817.5
10.849
4.265
4.826.5
8.338.5
7.589.5
7.246
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului A si dreapta de regresie
Sheet1
Grupul A
xyyt
108.048
149.9610
55.685.5
86.957
98.817.5
1210.849
44.265
74.826.5
118.338.5
137.589.5
67.246
Sheet1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului A i dreapta de regresie
Sheet2
Sheet3
_1082269254.xlsChart1
7.467.5073333333
8.848.982
5.735.664
6.776.77
7.117.1386666667
8.158.2446666667
5.395.2953333333
6.426.4013333333
7.817.876
12.748.6133333333
6.086.0326666667
datele observate
dreapta de regresie corecta
x
y
Datele grupului C si dreapta de regresie
Sheet1
Grupul C
xyytytt
107.4687.51
148.84108.98
55.735.55.66
86.7776.77
97.117.57.14
128.1598.24
45.3955.30
76.426.56.40
117.818.57.88
1312.749.58.61
66.0866.03
45.390.09
55.730.1818181818
66.080.27272727270.63
76.420.36363636366.63
86.770.4545454545
97.110.5454545455
107.460.636363636410.370.37
117.810.7272727273
128.150.8181818182
1312.740.9090909091
148.841
45.393.91533333333.91533333333.9153333333
55.73pct.155.733.88666666673.88666666673.8866666667
66.083.8683.8683.8683.6786666667
03.726
76.423.83933333333.83933333333.83933333333.7546666667
86.77panta dr. a1=0.36866666673.82066666673.82066666673.82066666673.7733333333
97.113.7923.7923.7923.792
107.463.77333333333.77333333333.77333333333.8206666667
03.8393333333
117.813.75466666673.75466666673.75466666673.868
128.15pct.212.508.4953.7263.7263.7263.8866666667
1312.747.94733333333.67866666673.67866666673.9153333333
148.843.67866666677.94733333337.94733333337.9473333333
Sheet1
datele observate
dreapta de regresie corecta
x
y
Datele grupului C si dreapta de regresie
Sheet2
Sheet3
_1082271767.unknown
_1082233152.xlsChart5
6.587
5.767
7.717
8.847
8.477
7.047
5.257
12.512.5
5.567
7.917
6.897
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului D si dreapta de regresie
Sheet1
Grupul C
xyyt
86.587
85.767
87.717
88.847
88.477
87.047
85.257
1912.512.5
85.567
87.917
86.897
Sheet1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului D i dreapta de regresie
Sheet2
Sheet3
_948481645.unknown
_1082232639.xlsChart3
9.148
8.110
4.745.5
8.147
8.777.5
9.139
3.15
7.266.5
9.268.5
8.749.5
6.136
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului B si dreapta de regresie
Sheet1
Grupul B
xyyt
109.148
148.110
54.745.5
88.147
98.777.5
129.139
43.15
77.266.5
119.268.5
138.749.5
66.136
Sheet1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Datele observate
dreapta de regresie
x
y
Datele grupului B i dreapta de regresie
Sheet2
Sheet3