Download pdf - Cinemática y Dinámica - sdfe32cf4086c83a6.jimcontent.com · 1. Movimiento Rectilíneo. Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico). Movimiento rectilíneo

Academia UniversitariaGui l lermo Soler

- Ingeniería e Idiomas -

Cinemática

y Dinámica

Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

8 609.478.523 609.478.523 1

1. Movimiento Rectilíneo.

Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).

Movimiento rectilíneo uniforme.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)

3. Método de Superposición (traslación más rotación).

a = dvdt

= d2xdt 2

= v dvdx

v = dxdt

x = x0 +vt

v = v0 + at

x = x0 +v0t +12at 2

v 2 = v02 + 2a(x − x0)

O P

x

a = at + an ⇒ at = α × r ⇒ at = αr

an =ω 2r

⎧⎨⎪

⎩⎪v =ω × r

ω = dθdt

α = d2θdt 2

= dωdt

=ω dωdθ

x

y

at

an

αωx

y

ω

r

v

vB = vA +vB/A aB = aA + aB/A

VA

VBA ω

VA

VBVB/A

AB

Posición de una partícula en mov. rectilíneo.

CinemáticaMomentos de inercia de masas.

Barra Ligera

Cilindro rectangular

Disco delgado

Esfera

Prisma rectangular

Cono circular

Placa rectangular

delgada

x

y

z

x

y

z

x

y

zL

x

y

z

L

x

y

za

b

c

x

y

z h

x

y

z

cb

Iy = Iz =112mL2

Ix =12mr 2

Iy = Iz =112m(3r 2 + L2)

Ix =12mr 2

Iy = Iz =14mr 2

Ix = Iy = Iz =25mr 2

Ix =112m(b2 + c2)

Iy =112m(c2 + a2)

Iz =112m(a2 + b2)

Ix =310mr 2

Iy = Iz =35m

14r 2 + h2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ix =112m(b2 + c2)

Iy =112mc2

Iz =112mb2






2 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 7

z’

r=rer

4. Centros Instantáneos de Rotación.

5. Movimiento Relativo.

Vabs= velocidad absoluta.

Varr = velocidad arrastre.

Vrel = velocidad relativa.

6. Coordenadas Polares.

ω =vAAC

ω =vBBC

VA

VA

VBVB

AA

B

C

C

B

v = ( !r ) er+ (r !θ) e

θ = (vr ) er + (rω ) e

θ = (vr ) er + (vθ ) e

θ

a = (!!r − r !θ 2) er+ (r !!θ + 2 !r !θ) e

θ= (at − rω

2) er+ (rα + 2vrω ) e

θ

Per

eθ

θO

vabs = varr +vrel

aabs = aarr + arel + acor ⇒ aarr = (aarr )n + (aarr )tarel = (arel )n + (arel )tacor = 2ωarr ×vrel

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Prabs(P ) = rarr (A) + rrel (P /A)

AO

rP

rA

rP/A

y

xz

x’

y’

z’

Apéndice1. Trigonometría.

- Razones Trigonométricas

- Teorema del Seno:

- Teorema del Coseno:

2. Álgebra Vectorial.

- Vector Unitario:

- Producto Vectorial:

- Producto Escalar:

λOE = OE! "!!

OE= cosθx i

!+ cosθy j

!+ cosθzk

!

V = P ×Q =i j kPx Py PzQx Qy Qz

P iQ = PQcosθ

i × i = 0 j × i = −k k × i = ji × j = k j × j = 0 k × j = −ii × k = − j j × k = i k × k = 0

i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0

Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ POE = P i λOE

sinα = ac

cosα = bc

tanα = ab

ca

bα

asinα

= bsinβ

= csinγ

c

a

bα

β γ

c2 = a2 + b2 − 2abcosγc

ab γ







CinéticaVibraciones

1. Segunda ley de Newton.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.

definiendo fuerza como

La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:

Fuerza de rozamiento:

Equilibrio dinámico se define como:

2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.

Intrínsecas.

Polares.

Cartesianas

3. Cantidad de movimiento.

La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.

Cantidad de movimiento angular:

4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.

F∑ =ma

Fr = µma

F =ma =mdvdt

F = !mv = dmdtv

F −ma = 0∑

Ft =mdvdt∑ Fn =m

v 2

r∑

Fθ =maθ∑Fr =mar∑

(Fx!i + Fy

!j + Fz

!k ) =m(ax

!i + ay

!j + az

!k )∑

∑Ft∑Fn

∑Fr∑Fθ

rθ

F =ma =mdvdt

= ddt

(mv)∑ ⇒ L =mv ⇒ F = !L∑

Ho = r ×mvH0

rmv

MG + [r × (−ma)]+ (−Iα ) = 0∑

F1 F2

F3

ma

IαG

1. Vibración Libre.

2. Vibración Forzada.

3. Vibración amortiguadas.

4. Vibraciones forzadas amortiguadas.

El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:

La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:

md 2xdt 2

+ c dxdt

+ kx = Pm sinω f t

xpart = xm sin(ω f t −ϕ)

Frecuencia Circular Forzada =ω f

Desplazamiento = δ = kδm sinω f t

Factor de Amplificación =xmPm / k

=xmδm

= 11− (ω f /ωn)

2

Ec. Diferencial⇒ md 2xdt 2

+ kx = Pm sinω f tEn función del desplazameinto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m

d 2xdt 2

+ kx = kδm sinω f t

Periodo = τ n =2πωn

Frecuencia = f = 1τ n


+ kx = 0 Siendo lafrecuencia Natural⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ωn =

km

Nos da⎯ →⎯⎯ d 2xdt 2

+ωn2x = 0

Desplazamiento ⇒ x = xm sin(ωnt +φ) ⇒φ = ángulo de desfasexm = amplitud

⎧⎨⎩⎪

Velocidad ⇒ vm = xmωn

Aceleración ⇒ am = xmωn2

x

-xm

xm

0Equilibrio

Coeficiente de amortiguamiento = c

Sobreamortiguamiento ⇒ c > ccAmortiguamiento crítico ⇒ c = ccSubamortiguamiento ⇒ c < cc

Coef. amortiguamiento crítico ⇒ cc = 2m k /m = 2mωn

Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

+ c dxdt

+ kx = 0

k c







5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.

El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.

También se puede expresar como promedio.

6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.

7.Impactos.

La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.

Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:

8.Impactos centrales.

- Central directo:

- Central oblicuo:

F dt∑ =mv2 −mv1t1

t2∫

(t1 − t2) Fmedia =mv2 −mv1∑

v =mAvA +mBvBmA +mB

mvA +mvB = cte.

A

BFAB

FBA

mAvA +mBvB =mAvA' +mBvB

'

e =vB' −vA

'

vA −vB

e =(vB

' )x − (vA' )x

(vA)x − (vB )x

mA(vA)x +mB(vB )x =mA(vA' )x +mB(vB

' )x

VA VB V’BV’A

A BImpacto

*(y,z no varían con el impacto) VA

V’BV’A

VB

9. Trabajo y potencia.

- Trabajo de una Fuerza:

- Trabajo de un momento par:

- Potencia:

- Potencia de un par:

- Rendimiento / Eficiencia:

10. Energía cinética.

- Energía cinética de una partícula:

- Energía cinética en movimiento plano:

11. Energía potencial.

- Energía potencial de una partícula:

- Energía potencial de un muelle:

12. Conservación de la Energía.

Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.

EC1 +EP1 = EC2 +Ep2

dU = F ds ⇒ U = F dss0

s1∫U = Mdθ

θ0

θ1∫Pot.= P = dU

dt= F·drdt

= Fv P = E / t

P = Mdθdt

=Mω

η = SalidaEntrada

EPm =V = 12k(x − xo )

2

EP =V =mg(hf − ho )h0hf

x0

x

EC =T = 12mv 2

EC =T = 12mv 2 + 1

2Iω 2

ω

v







5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.

El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.

También se puede expresar como promedio.

6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.

7.Impactos.

La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.

Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:

8.Impactos centrales.

- Central directo:

- Central oblicuo:

F dt∑ =mv2 −mv1t1

t2∫

(t1 − t2) Fmedia =mv2 −mv1∑

v =mAvA +mBvBmA +mB

mvA +mvB = cte.

A

BFAB

FBA

mAvA +mBvB =mAvA' +mBvB

'

e =vB' −vA

'

vA −vB

e =(vB

' )x − (vA' )x

(vA)x − (vB )x

mA(vA)x +mB(vB )x =mA(vA' )x +mB(vB

' )x

VA VB V’BV’A

A BImpacto

*(y,z no varían con el impacto) VA

V’BV’A

VB

9. Trabajo y potencia.

- Trabajo de una Fuerza:

- Trabajo de un momento par:

- Potencia:

- Potencia de un par:

- Rendimiento / Eficiencia:

10. Energía cinética.

- Energía cinética de una partícula:

- Energía cinética en movimiento plano:

11. Energía potencial.

- Energía potencial de una partícula:

- Energía potencial de un muelle:

12. Conservación de la Energía.

Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.

EC1 +EP1 = EC2 +Ep2

dU = F ds ⇒ U = F dss0

s1∫U = Mdθ

θ0

θ1∫Pot.= P = dU

dt= F·drdt

= Fv P = E / t

P = Mdθdt

=Mω

η = SalidaEntrada

EPm =V = 12k(x − xo )

2

EP =V =mg(hf − ho )h0hf

x0

x

EC =T = 12mv 2

EC =T = 12mv 2 + 1

2Iω 2

ω

v







CinéticaVibraciones

1. Segunda ley de Newton.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.

definiendo fuerza como

La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:

Fuerza de rozamiento:

Equilibrio dinámico se define como:

2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.

Intrínsecas.

Polares.

Cartesianas

3. Cantidad de movimiento.

La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.

Cantidad de movimiento angular:

4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.

F∑ =ma

Fr = µma

F =ma =mdvdt

F = !mv = dmdtv

F −ma = 0∑

Ft =mdvdt∑ Fn =m

v 2

r∑

Fθ =maθ∑Fr =mar∑

(Fx!i + Fy

!j + Fz

!k ) =m(ax

!i + ay

!j + az

!k )∑

∑Ft∑Fn

∑Fr∑Fθ

rθ

F =ma =mdvdt

= ddt

(mv)∑ ⇒ L =mv ⇒ F = !L∑

Ho = r ×mvH0

rmv

MG + [r × (−ma)]+ (−Iα ) = 0∑

F1 F2

F3

ma

IαG

1. Vibración Libre.

2. Vibración Forzada.

3. Vibración amortiguadas.

4. Vibraciones forzadas amortiguadas.

El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:

La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:

md 2xdt 2

+ c dxdt

+ kx = Pm sinω f t

xpart = xm sin(ω f t −ϕ)

Frecuencia Circular Forzada =ω f

Desplazamiento = δ = kδm sinω f t

Factor de Amplificación =xmPm / k

=xmδm

= 11− (ω f /ωn)

2


+ kx = Pm sinω f tEn función del desplazameinto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m

d 2xdt 2

+ kx = kδm sinω f t

Periodo = τ n =2πωn

Frecuencia = f = 1τ n


+ kx = 0 Siendo lafrecuencia Natural⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ωn =

km

Nos da⎯ →⎯⎯ d 2xdt 2

+ωn2x = 0

Desplazamiento ⇒ x = xm sin(ωnt +φ) ⇒φ = ángulo de desfasexm = amplitud

⎧⎨⎩⎪

Velocidad ⇒ vm = xmωn

Aceleración ⇒ am = xmωn2

x

-xm

xm

0Equilibrio

Coeficiente de amortiguamiento = c

Sobreamortiguamiento ⇒ c > ccAmortiguamiento crítico ⇒ c = ccSubamortiguamiento ⇒ c < cc

Coef. amortiguamiento crítico ⇒ cc = 2m k /m = 2mωn

Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

+ c dxdt

+ kx = 0

k c







z’

r=rer

4. Centros Instantáneos de Rotación.

5. Movimiento Relativo.

Vabs= velocidad absoluta.

Varr = velocidad arrastre.

Vrel = velocidad relativa.

6. Coordenadas Polares.

ω =vAAC

ω =vBBC

VA

VA

VBVB

AA

B

C

C

B

v = ( !r ) er+ (r !θ) e

θ = (vr ) er + (rω ) e

θ = (vr ) er + (vθ ) e

θ

a = (!!r − r !θ 2) er+ (r !!θ + 2 !r !θ) e

θ= (at − rω

2) er+ (rα + 2vrω ) e

θ

Per

eθ

θO

vabs = varr +vrel

aabs = aarr + arel + acor ⇒ aarr = (aarr )n + (aarr )tarel = (arel )n + (arel )tacor = 2ωarr ×vrel

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Prabs(P ) = rarr (A) + rrel (P /A)

AO

rP

rA

rP/A

y

xz

x’

y’

z’

Apéndice1. Trigonometría.

- Razones Trigonométricas

- Teorema del Seno:

- Teorema del Coseno:

2. Álgebra Vectorial.

- Vector Unitario:

- Producto Vectorial:

- Producto Escalar:

λOE = OE! "!!

OE= cosθx i

!+ cosθy j

!+ cosθzk

!

V = P ×Q =i j kPx Py PzQx Qy Qz

P iQ = PQcosθ

i × i = 0 j × i = −k k × i = ji × j = k j × j = 0 k × j = −ii × k = − j j × k = i k × k = 0

i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0

Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ POE = P i λOE

sinα = ac

cosα = bc

tanα = ab

ca

bα

asinα

= bsinβ

= csinγ

c

a

bα

β γ

c2 = a2 + b2 − 2abcosγc

ab γ






8 609.478.523 609.478.523 1

1. Movimiento Rectilíneo.

Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).

Movimiento rectilíneo uniforme.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)

3. Método de Superposición (traslación más rotación).

a = dvdt

= d2xdt 2

= v dvdx

v = dxdt

x = x0 +vt

v = v0 + at

x = x0 +v0t +12at 2

v 2 = v02 + 2a(x − x0)

O P

x

a = at + an ⇒ at = α × r ⇒ at = αr

an =ω2r

⎧⎨⎪

⎩⎪v =ω × r

ω = dθdt

α = d2θdt 2

= dωdt

=ω dωdθ

x

y

at

an

αωx

y

ω

r

v

vB = vA +vB/A aB = aA + aB/A

VA

VBA ω

VA

VBVB/A

AB

Posición de una partícula en mov. rectilíneo.

CinemáticaMomentos de inercia de masas.

Barra Ligera

Cilindro rectangular

Disco delgado

Esfera

Prisma rectangular

Cono circular

Placa rectangular

delgada

x

y

z

x

y

z

x

y

zL

x

y

z

L

x

y

za

b

c

x

y

z h

x

y

z

cb

Iy = Iz =112mL2

Ix =12mr 2

Iy = Iz =112m(3r 2 + L2)

Ix =12mr 2

Iy = Iz =14mr 2

Ix = Iy = Iz =25mr 2

Ix =112m(b2 + c2)

Iy =112m(c2 + a2)

Iz =112m(a2 + b2)

Ix =310mr 2

Iy = Iz =35m

14r 2 + h2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ix =112m(b2 + c2)

Iy =112mc2

Iz =112mb2





Cinemática

y Dinámica

G.Soler

C/ Hermanos Pinzón Núm. 1, 1º Izq - Jaén

Tel. 609 47 85 23

e-mail: [email protected] www.academiaguillermosoler.es

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