Indira Andreescu Ştefan Mocanu
Compendiu de
Rezistenţa Materialelor
Prefaţă Rezistenţa Materialelor este una din disciplinele de bază în pregătirea studenţilor de la facultăţile mecanice, ea constituind temelia cursurilor de specialitate, reflectând principiile şi metodele de calcul necesare acestora. În cartea de faţă sunt cuprinse cunoştinţele necesare profilului mecanic şi în special utilajelor pentru construcţii. În acest scop lucrarea prezintă noţiunile ştiinţifice, metodele concrete de calcul şi dimensionare ale structurilor sub o formă adecvată înţelegerii aspectelor fizice cât şi aplicării acestora în cazuri specifice reale din domeniul mecanic. Problemele rezolvate la sfârşitul fiecărui capitol constituie exemple concrete de calcul de proiectare optimă a unor elemente cu aplicabilitate în practica inginerească.
Autorii
2
Cuprins
Prefaţă ------------------------------------------------------------------------- 1 1. Problemele Rezistenţei Materialelor ----------------------------------- 9
1.1 Obiectul Rezistenţei Materialelor. Relaţii cu alte discipline -- 9 1.2 Rezistenţa Materialelor, probleme specifice ------------------- 10 1.3 Clasificarea corpurilor şi a forţelor care acţionează asupra
acestora ---------------------------------------------------------------------- 11 1.3.1 Clasificarea corpurilor ------------------------------------- 13 1.3.2 Clasificarea forţelor care acţionează asupra corpurilor-14
1.4 Ipoteze în Rezistenţa materialelor ------------------------------- 16 1.5 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă ---------------- 17 1.6 Metode de rezolvare ----------------------------------------------- 18 1.7 Condiţii de îndeplinit în soluţionarea problemelor din
Rezistenţa Materialelor --------------------------------------------------- 18 1.8 Aspecte ale Rezistenţei Materialelor ---------------------------- 19
2. Diagrame de eforturi ---------------------------------------------------- 20 2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte ------------------------------- 20
2.1.1 Determinarea eforturilor într-o secţiune ------------------ 22 2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice
ale eforturilo ---------------------------------------------------------------- 23 2.1.3 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări ------------- 25 2.1.4 Utilizarea relaţiilor diferenţiale la trasarea diagramelor de
eforturi ---------------------------------------------------------------------- 27 2.1.5 Relaţii de recurenţă la grinda dreaptă --------------------- 33 2.1.6 Grinzi cu încărcări complexe. Metoda suprapunerii
efectelor --------------------------------------------------------------------- 34 2.2 Grinzi cu console şi articulaţii ------------------------------------- 36 2.3 Diagrame de eforturi pe cadre ------------------------------------- 38
3. Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor ---------------------------------------------------------------------------------------- 48
3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate ------------ 48 3.2 Momente de inerţie (geometrice) --------------------------------- 49
3.2.1 Momente de inerţie pentru secţiuni simple -------------- 51 3.2.2 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă-52
3.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor ------------- 53 3.4 Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor ---------------- 55
3
3.4.1 Momente de inerţie principale şi direcţii principale ---- 57 3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de
inerţie principale I1, I2, ale unei figuri plane --------------------------- 58 3.5 Moment de inerţie centrifugal maxim ---------------------------- 59
4. Tensiuni şi deformaţii specifice ---------------------------------------- 64 4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor --------------------------------------- 64
4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangenţiale ------------------------- 67 4.1.2 Relaţii de echivalenţă între eforturi şi tensiuni în secţiunea
transversală a unei bare --------------------------------------------------- 68 4.2 Deformaţii specifice. Tensorul deformaţiilor -------------------- 69
4.2.1 Deformaţia specifică liniară ------------------------------- 69 4.2.2 Deformaţia specifică unghiulară -------------------------- 69
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor ------------------------- 70 4.4 Diagrame caracteristice schematizate ---------------------------- 75
5. Solicitarea axială centrică ---------------------------------------------- 78 5.1 Forţa axială. Tensiuni de întindere – compresiune ------------- 78 5.2 Deformaţii şi deplasări --------------------------------------------- 80 5.3 Dimensionarea, verificarea, forţa capabilă ----------------------- 80 5.4 Bare cu secţiune variabilă solicitate la întindere ---------------- 81 5.5 Calculul barelor întinse ţinând seama de greutatea proprie ---- 82 5.6 Sisteme static nedeterminate la forţe axiale --------------------- 84
5.6.1 Bare cu secţiuni neomogene ------------------------------- 85 5.6.2 Bară dublu articulată ---------------------------------------- 86 5.6.3 Sistem de bare paralele ------------------------------------- 87 5.6.4 Sistem de bare articulate concurente --------------------- 88
5.7 Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate ------------------------- 89 5.8 Efectul inexactităţii de execuţie şi montaj în sistemele articulate
static nedeterminate ------------------------------------------------------- 91 6. Forfecarea ----------------------------------------------------------------- 98
6.1 Generalităţi ----------------------------------------------------------- 98 6.2 Probleme de forfecare la îmbinările nituite ---------------------- 99
6.2.1 Forfecarea niturilor ---------------------------------------- 100 6.2.2 Strivirea niturilor ------------------------------------------- 101
6.3 Îmbinări cu şuruburi ----------------------------------------------- 102 6.4 Îmbinări sudate ----------------------------------------------------- 103
6..4.1Calculul sudurilor de colţ --------------------------------- 103 7. Încovoierea barelor drepte -------------------------------------------- 110
7.1 Generalităţi --------------------------------------------------------- 110 7.2 Încovoiere pură. Formula lui Navier ---------------------------- 110
4
7.3 Calculul modulului de rezistenţă axial Wz la secţiunile simple ---------------------------------------------------------------------------------- 115
7.4 Calculul grinzilor supuse la încovoiere ------------------------- 118 7.5 Alcătuirea raţională a secţiunilor solicitate la încovoiere ---- 118 7.6 Încovoiere simplă -------------------------------------------------- 120
7.6.1 Ipotezele lui Juravski -------------------------------------- 120 7.6.2 Formula lui Juravski --------------------------------------- 121 7.6.3 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunile simple -- 123 7.6.4 Centrul de lunecare ---------------------------------------- 127
7.7 Grinzi compuse supuse la încovoiere --------------------------- 129 7.7.1 Evaluarea forţei de lunecare ------------------------------ 130 7.7.2 Calculul grinzilor compuse nituite ---------------------- 132 7.7.3 Calculul grinzilor compuse sudate ---------------------- 133
8. Deformarea grinzilor drepte solicitate la încovoiere ------------ 142 8.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate ------------------ 142 8.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale --------------- 144 8.3 Metoda grinzii conjugate ----------------------------------------- 151
8.3.1Corespondenţa între reazemele grinzii reale şi conjugate --------------------------------------------------------------------------------- 153
8.4 Metoda parametrilor în origine ---------------------------------- 153 9. Variaţia tensiunilor în jurul unui punct în cazul stării plane de tensiuni --------------------------------------------------------------------------- 168
9.1 Expresiile tensiunilor pe o secţiune înclinată cu unghiul α -- 168 9.2 Tensiuni normale principale şi direcţii principale ------------- 170 9.3 Tensiuni tangenţiale maxime ------------------------------------- 171 9.4 Tensiuni pe o suprafaţă înclinată în cazurile solicitărilor simple -
------------------------------------------------------------------------------- 172 10. Torsiunea ----------------------------------------------------------------- 178
10.1 Generalităţi. Torsiunea barelor cu secţiune circulară -------- 178 10.2 Tensiuni în bara de secţiune circulară şi inelară ------------- 179
10.2.1 Condiţia geometrică -------------------------------------- 179 10.2.2 Condiţia de elasticitate ---------------------------------- 182 10.2.3 Condiţia statică ------------------------------------------- 182
10.3 Deformaţii --------------------------------------------------------- 184 10.4 Calculul arborilor de transmisie solicitaţi la torsiune ------- 184 10.5 Calculul modulului de rezistenţă polar Wp ------------------- 185 10.6 Sisteme static nedeterminate la torsiune ---------------------- 186 10.7 Torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară --------------- 188 10.8 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu
deplanări libere ----------------------------------------------------------- 189
5
10.9 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, profil închis, deplanări libere ----------------------------------------------------------------------- 192
10.10 Arcuri elicoidale cu pasul mic -------------------------------- 194 10.11 Moduri de montare a arcurilor -------------------------------- 196
10.11.1 Montaj în paralel ---------------------------------------- 196 10.11.2 Montaj în serie ------------------------------------------ 197
10.12 Sisteme static nedeterminate alcătuite din arcuri elicoidale ----------------------------------------------------------------------------------- 197
11. Studiul deplasărilor prin metode energetice ---------------------- 208 11.1 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor elastice ---
------------------------------------------------------------------------------- 208 11.2 Energia potenţială de deformaţie ------------------------------- 209 11.3 Lucrul mecanic exterior ----------------------------------------- 210 11.4 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (teorema lui Betti) -212 11.5 Expresiile lucrului mecanic funcţie de eforturi --------------- 213 11.6 Expresiile energiei potenţiale de deformaţie în funcţie de
eforturi --------------------------------------------------------------------- 214 11.7 Teorema reciprocităţii deplasărilor. Teorema lui Maxwell - 216 11.8 Studiul deplasărilor prin metoda Mohr – Maxwell ---------- 216 11.9 Metoda de integrare Veresceaghin ----------------------------- 218
12. Teorii de rezistenţă ----------------------------------------------------- 224 12.1 Legea lui Hooke generalizată ------------------------------------224 12.2 Deformaţia specifică volumică---------------------------------- 228 12.3 Legătura dintre constantele E, G, μ ---------------------------- 229 12.4 Energia potenţială de deformaţie în problema spaţială ------ 231
12.4.1 Energia specifică necesară variaţiei de volum şi schimbării formei --------------------------------------------------------- 231
12.5 Teorii de rezistenţă a materialelor ----------------------------- 232 12.5.1 Starea de tensiune limită într-un punct ---------------- 232 12.5.2 Tensiunea echivalentă ----------------------------------- 233 12.5.3 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I) -------- 234 12.5.4 Teoria tensiunilor tangenţiale maxime (teoria III) --- 236 12.5.5 Teoria energiei de deviaţie (teoria V sau IVa) -------- 238 12.5.6 Aplicarea teoriilor de rezistenţă în cazul barelor ----- 240
13. Solicitări compuse ------------------------------------------------------ 242 13.1 Încovoiere dublă sau oblică ------------------------------------- 243
13.1.1 Încovoierea dublă a barelor cu secţiunea transversală dreptunghiulară sau care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline ------------------------------------------------------------------------------- 246
13.2 Încovoiere simplă cu forţă axială ------------------------------ 249
6
13.2.1 Cazul secţiunii la care axa de încovoiere este axă de simetrie -------------------------------------------------------------------- 250
13.3 Încovoiere dublă cu forţă axială -------------------------------- 251 13.3.1 Încovoiere dublă cu forţă axială la secţiunea
dreptunghiulară sau o secţiune care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline --------------------------------------------------------------- 254
13.3.2 Sâmbure central ------------------------------------------ 256 13.3.3 Sâmburele central la secţiunea dreptunghiulară ------ 257 13.3.4 Sâmburele central la secţiunea circulară -------------- 257 13.3.5 Zona activă ------------------------------------------------ 258
13.4 Încovoiere cu torsiune ------------------------------------------- 259 13.4.1Bara de secţiune circulară -------------------------------- 259
13.4.1.1Arbori de transmisie -------------------------------- 261 13.4.2 Bara de secţiune dreptunghiulară ---------------------- 263
14. Sisteme static nedeterminate ----------------------------------------- 274 14.1 Metoda eforturilor în rezolvarea sistemelor o dată static nedeterminate ------------------------------------------------------------- 277
14.2 Structuri de n ori static nedeterminate ------------------------- 280 14.3Utilizarea simetriei în rezolvarea sistemelor static nedeterminate ------------------------------------------------------------------------------- 282
14.4 Calculul deplasărilor la sisteme static nedeterminate ------- 284 14.5 Grinzi continue --------------------------------------------------- 285
14.5.1 Expresia rotirilor de capăt la grinda simplu rezemată-286 14.5.2 Ecuaţia celor trei momente ------------------------------ 288
15. Bare curbe plane -------------------------------------------------------- 295 15.1 Tensiuni în secţiunea barei curbe ------------------------------ 295
15.1.1 Importanţa mărimii razei de curbură asupra domeniului de valabilitate a relaţiilor de calcul ------------------------------------ 299
16. Stabilitatea barelor drepte -------------------------------------------- 305 16.1 Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile clasice de
rezemare. Formula lui Euler -------------------------------------------- 307 16.1.1 Bara dublu articulată ------------------------------------- 307 16.1.2 Bara încastrată perfect la un capăt şi liberă la celălalt-309 16.1.3 Bara articulată la un capăt şi încastrată perfect la celălalt
------------------------------------------------------------------------------- 310 16.1.4 Bara dublu încastrată ------------------------------------- 312
16.2 Rezistenţa critică de flambaj. Coeficientul de zvelteţe ------ 313 16.3 Coeficientul de siguranţă la flambaj cf ------------------------ 315 16.4 Calculul practic la flambaj -------------------------------------- 315
7
16.5 Calculul la flambaj folosind metoda coeficientului de flambaj ϕ ------------------------------------------------------------------------------- 316
16.6 Bara cu rezemări diferite după axele principale de inerţie -- 317 16.7 Influenţa forţei tăietoare asupra sarcinii critice de flambaj - 318 16.8 Flambajul barelor cu secţiune compusă ----------------------- 320 16.9 Calculul barelor la flambaj cu încovoiere --------------------- 322
17. Solicitări dinamice ------------------------------------------------------ 327 17.1 Solicitări dinamice prin şoc ------------------------------------- 328
17.1.1 Coeficientul dinamic în cazul când se neglijează masa corpului supus la şoc ----------------------------------------------------- 329
17.1.2 Coeficientul dinamic în cazul în care se ţine seama de masa corpului supus la şoc ---------------------------------------------- 331
17.1.3 Solicitări prin şoc orizontal ----------------------------- 333 18. Solicitări variabile ------------------------------------------------------ 337
18.1 Cicluri de solicitări variabile ------------------------------------ 337 18.2 Diagrame de rezistenţă la oboseală ---------------------------- 339 18.3 Diagrame schematizate ------------------------------------------ 342 18.4 Factorii de care depinde rezistenţa la oboseală --------------- 344 18.5 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile simple
------------------------------------------------------------------------------- 345 18.5.1 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitări prin
cicluri alternant simetrice ----------------------------------------------- 346 18.5.2 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitările prin
cicluri asimetrice --------------------------------------------------------- 347 18.6 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări compuse,
produse de sarcini variabile ciclice ------------------------------------ 348 Bibliografie ---------------------------------------------------------------------- 353
8
Capitolul 1
PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR
1.1 Obiectul Rezistenţei Materialelor. Relaţii cu alte discipline
Observaţii asupra naturii înconjurătoare relevă faptul că majoritatea corpurilor solide sunt capabile să suporte, în anumite limite, acţiunile altor corpuri, fără să se rupă sau să-şi modifice sensibil forma şi dimensiunile. Această remarcă este esenţială în definirea obiectului disciplinei aici examinate. În practica inginerească se pune în permanenţă problema alegerii materialului celui mai potrivit pentru anumite utilizări, aceasta însemnând totodată stabilirea formei şi dimensiunilor sale optime. Se are în vadere ca materialul ales să reziste la eforturi determinate, adică să nu se rupă şi să nu-şi modifice geometria, astfel încât acesta să nu atingă stadiul de cedare sau modificare excesivă, bineînţeles în anumite limite de siguranţă şi economicitate. Principiile care stau la baza rezolvării raţionale tocmai a acestor probleme constituie obiectul Rezistenţei Materialelor. Rezistenţa Materialelor se ocupă cu studierea comportării, sub acţiunea forţelor exterioare, a pieselor din alcătuirea unor sisteme sau complexe tehnice anume configurate, a deformaţiilor şi deplasărilor care se produc în structurile examinate, precum şi cu determinarea dimensiunilor limită ale fiecărei piese. Rezistenţa Materialelor face parte din grupul de discipline denumit Mecanica corpului solid deformabil, care mai include: Teoria elasticităţii, Teoria plasticităţii şi alte specialităţi disciplinare. Dat fiind că interacţiunea dintre corpuri este reprezentată, în mod obişnuit, prin forţe, în rezolvarea problemelor de Rezistenţa Materialelor trimiterile de cea mai mare frecvenţă se fac la Mecanica teoretică. Numai că, spre deosebire de Mecanica teoretică, unde se admite modelul corpului rigid, indeformabil, Rezistenţa Materialelor, studiind efectul forţelor pe şi
9
mai ales în interiorul elementelor, ţine seama obligatoriu de proprietatea de deformabilitate a corpurilor. De aceea în Rezistenţa Materialelor se admite modelul corpului deformabil, a cărui configuraţie geometrică se modifică sub acţiuni exterioare, cu observaţia că modificările geometrice au drept consecinţă apariţia unor forţe interioare între particulele structurale ale corpului solicitat. Cunoaşterea relaţiilor dintre modificările geometrice, încărcări şi forţe interioare implică deopotrivă investigaţii teoretice şi experimentale, respectiv o dinamică a progresului disciplinei ca ştiinţă cu pronunţat caracter orientat, aplicativ. De altfel, experimentul are un rol deosebit în verificarea rezultatelor ce se obţin în urma cercetărilor teoretice (implicit în validarea acestora), aşa cum se întâmplă, de altfel, în toate ramurile ştiinţei. De menţionat că, faţă de Mecanica teoretică, unde toate forţele sunt considerate vectori alunecători, în Rezistenţa Materialelor forţele sunt vectori legaţi, cu reprezentarea intuitivă din fig.1.1
F F
R=2F
I
II
fig.1.1 în care cu I s-a reprezentat deformaţia reală a grinzii sub acţiunea celor două forţe F (forţe ca vectori legaţi), II fiind deformaţia grinzii sub acţiunea rezultantei celor două forţe F (forţe ca vectori alunecători). 1.2 Rezistenţa Materialelor, probleme specifice Să considerăm un corp de o formă dată şi confecţionat dintr-un anumit material, aşezat (rezemat) într-un anumit mod şi supus la încărcare exterioară. Rezistenţa Materialelor ne permite să determinăm la un asemenea corp:
- tensiunile produse de încărcări; - deformaţiile care rezultă.
10
Practic, în cazurile cele mai simple pot apare trei situaţii care reprezintă, în general, problemele Rezistenţei Materialelor, şi anume:
- probleme de dimensionare; - probleme de verificare; - probleme de determinare a efortului capabil,
cu următoarele precizări: Problemele de dimensionare. Forţele aplicate sunt cunoscute şi se alege materialul după anumite criterii; dimensiunile elementului de structură rezultă din condiţiile ca forţele interne (implicit tensiunile) şi deformaţiile să nu depăşească anumite valori limită. Problemele de verificare. Cunoscând forţele exterioare şi dimensiunile elementului se impune ca tensiunile şi deformaţiile să nu depăşească anumite valori limită prescrise. Problemele de determinare a efortului capabil. În acest caz sunt cunoscute dimensiunile şi proprietăţile mecanice ale elementului şi trebuie cunoscute/determinate forţa sau şi momentul limită suportabil în secţiunea critică.
1.3 Clasificarea corpurilor şi a forţelor care acţionează
asupra acestora
În studiul fenomenelor naturale, cărora le sunt proprii diversitatea şi complexitatea, sintetizarea observaţiilor şi a datelor experimentale şi definirea, pe această bază, a ceea ce este esenţial şi caracteristic fiecărui fenomen constituie modul fundamental, raţional, de abordare. Schematizând proprietăţile materiei, adoptând ipoteze referitoare la cauzele, desfăşurarea şi efectele unor fenomene reale, în cadrul investigaţiei teoretice cel mai adesea se procedează la vizualizarea modelului fizic real, respective la substituirea lui cu un model convenabil (şi acceptabil) pentru calcul, aceasta cu observaţia că pentru a fi eficiente şi a conduce la rezultate verificabile experimental, ipotezele care stau la baza adoptării modelului de calcul trebuie să surprindă ceea ce este specific laturii studiate a fenomenului şi, bineînţeles, să aibă cuvenita cuprindere. Ţinând seama de obiectul de studiu al Rezistenţei Materialelor, schematizările şi ipotezele necesare definirii modelului de calcul optimal/uzitat în cadrul acestei discipline se vor referi în principal la proprietăţile geometrice şi mecanice ale corpurilor precum şi la forţele care acţionează asupra şi în interiorul lor.
11
În continuare, se vor da două criterii de clasificare a solidelor referitoare la comportarea lor după descărcare şi la mărimea deformaţiilor care apar la anumite solicitări mecanice. Într-un accept profesional,ingineresc şi orientat, vom considera această disciplină de studiu şi aplicativă dedicată în principal analizei şi evaluării comportării materialelor/corpurilor componente ale sistemelor tehnice în interacţiune mecanică. Exprimarea matematică adecvată a interacţiunilor respective reprezintă desigur, o importantă asumare a disciplinei/ştiinţei considerate (Rezistenţa Materialelor). Se acceptă, pragmatic, că din punctual de vedere al comportării materialelor după descărcarea de anumite sarcini/eforturi mecanice se disting:
• Materiale elastice; • Materiale plastice; • Materiale elasto-plastice.
Materale elastice. Se consideră un corp solid încărcat cu forţe exterioare a căror intensitate creşte de la zero. Sub acţiunea acestor forţe, corpul se deformează, creându-se un echilibru continuu între forţele externe şi cele interne. Dacă după un anumit nivel de încărcare se descarcă corpul, în mod gradat până la zero, acesta va reveni la forma sa iniţială. Dacă deformaţiile dispar complet şi materialul îşi reia exact forma sa iniţială, atunci acesta îndreptăţeşte considerarea sa ca solid elastic. În mod corespunzător se defineşte elasticitatea ca proprietate a materialelor de a se deforma sub încărcare şi de a reveni la forma iniţială când încărcarea încetează.
Materiale plastice. Unele materiale se deformează foarte mult chiar sub încărcări reduse şi nu-şi reiau dimensiunile şi forma iniţială când încărcarea dispare. Acestea sunt solidele plastice.
Materialele elasto-plastice. Experienţa arată că nu există materiale/corpuri (solide) perfect elastice şi că deformaţiile produse de încărcări nu dispar complet după descărcare; în acest caz deformaţiile corpului sunt de două feluri: o deformare elastică care se diminuează odată cu reducerea încărcării şi o deformare remanentă (permanentă). Este cazul majorităţii materialelor folosite pentru obţinerea elementelor din domeniul construcţiilor de maşini.
Din punctul de vedere al mărimii defomaţiilor care conduc la rupere, se disting:
• Materiale ductile; • Materiale casante.
12
Materialele ductile: se caracterizează prin capacitatea de a suporta deformaţii importante înaintea apariţiei fenomenului de rupere şi au pronunţate proprietăţi plastice. Se spune că asemenea materiale posedă un grad înalt de avertizare la rupere (de ex. oţel, aluminiu, etc.). Materialele casante: sunt cele care se rup brusc la anumite încărcări, fără a prezenta înainte deformaţii mari (cum ar fi fonta, oţelurile de înaltă rezistenţă, betonul, piatra, sticla, etc.).
1.3.1 Clasificarea corpurilor O structură poate fi descompusă într-o serie de elemente simple. Acestea sunt corpuri având trei dimensiuni. În funcţie de raportul între cele trei dimensiuni, aceste corpuri pot fi grupate în trei mari categorii:
- bare; - plăci; - blocuri.
Barele sunt corpuri la care una din dimensiuni este mare în raport cu celelalte două. Elementele caracteristice ale unei bare sunt axa sa longitudinală precum şi forma şi dimensiunile secţiunii (normale) transversale.
Axa longitudinală a barei reprezintă curba dată de succesiunea centrelor de greutate ale secţiunilor (normale) transversale.
Secţiunea normală într-un punct din bară este secţiunea plană perpendiculară pe axa barei.
După forma axei longitudinale barele pot fi drepte, curbe plane şi curbe în spaţiu.
Forma secţiunii transversale poate fi (fig.1.2):
fig.1.2 O categorie specială de bare o constituie firele, la care secţiunea transversală a barei are dimensiuni neglijabile.
13
Plăcile sunt corpuri la care două dimensiuni sunt mari în raport cu a treia. Locul geometric al mijloacelor grosimilor plăcii se numeşte suprafaţă mediană, grosimea plăcii măsurându-se perpendicular pe suprafaţa mediană. Plăcile pot fi plane sau curbe. Blocurile sunt corpuri cu toate cele trei dimensiuni comparabile. De reţinut menţiunea că metodele de calcul din Rezistenţa Materialelor sunt valabile numai pentru elementele de tip bară (fir). Pentru solidele placă sau bloc trebuie apelat la teoria elasticităţii şi teoria plasticităţii.
1.3.2 Clasificarea forţelor care acţionează asupra corpurilor
Forţele exterioare care acţionează asupra unui corp sunt forţe active, care tind să imprime corpului o mişcare, aceste forţe fiind denumite sarcini sau încărcări respectiv forţe care se opun tendinţei de deplasare a corpului, numite reacţiuni. Criterii de clasificare:
• După dimensiunea suprafeţei pe care se aplică: Forţe concentrate: teoretic, se aplică într-un punct; Forţe distribuite: se caracterizează numeric prin intesitatea pe unitatea de lungime sau suprafaţă.
• După poziţia zonei unde se aplică forţele în raport cu corpul: Forţe de suprafaţă; Forţe masice şi de volum.
• După modul de variaţie în timp a intensităţii forţelor: Forţe statice – forţe care încarcă treptat construcţia, începând de la intensitate nulă, la intensitate finală, cu care acţionează continuu asupra construcţiei (ex. greutatea proprie);
Forţe dinamice – forţe a căror intensitate se modifică în timp atât de repede, încât provoacă acceleraţii sensibile punctelor materiale ale corpului. Sunt forţe care se aplică brusc şi produc şocuri precum şi forţe variabile în timp.
Forţele interioare; cu reprezentarea din figura 1.3 se consideră un corp supus la un grup de forţe exterioare în echilibru care se secţionează în două părţi.
Evident, pentru menţinerea echilibrului solidului astfel secţionat trebuie să acţioneze forţe interioare (interne) corespunzătoare. La echilibru, forţele interioare de pe cele două feţe ale secţiunii separatoare sunt egale şi
14
de sens contrar, reprezentând, în fapt, forţele de legătură care se opun separării corpului.
F1F1
F3F3
F4
F4
F2
F2
II
IIII
M
M
R
R
fig.1.3 Mărimile R şi M semnifică forţe interioare sau eforturi. De menţionat că eforturile trebuie introduse în centrul de greutate al secţiunii; atare eforturi pot avea direcţii oarecare în spaţiu. Fie cazul unei bare cu axa x axă longitudinală a barei respectiv y şi z axele secţiunii transversale. Se vor reprezenta eforturile R şi M în centrul de greutate al secţiunii, fiecare efort descompunându-se pe cele trei axe conform figurii 1.4:
x
z
y
Ty
Tz
T
N
R
Mx
Mz
My
Mi M
fig.1.4 - R are o componentă după axa barei (axa x), denumită forţă axială N
respectiv o componentă T denumită forţă tăietoare, pe o axă
15
perpendiculară pe axa x. Forţa tăietoare se descompune pe axele y şi z în componentele forţei tăietoare Ty şi Tz.
- M se descompune în momentul de torsiune Mx (după axa barei) şi un moment încovoietor Mi (după o axă perpendiculară pe axa x), ale cărui componente sunt My şi Mz. Mărimile N, Ty, Tz, Mx, My, Mz se numesc eforturi; fiecărui efort îi
corespunde o solicitare simplă: - Întindere – compresiune - solicitarea produsă de forţa axială N; - Tăiere sau forfecare – solicitarea produsă de componentele forţei
tăietoare Ty, Tz; - Torsiune sau răsucire – solicitare produsă de momentul de torsiune
Mx; - Încovoiere – solicitarea produsă de componentele momentului
încovoietor My, Mz. Solicitările compuse corespund cazului când apar simultan cel puţin
două eforturi în secţiune. 1.4 Ipoteze în Rezistenţa Materialelor În tratarea problemelor propuse Rezistenţa Materialelor operează cu o serie de ipoteze privitoare la structura materialelor şi comportarea solidului sub sarcini. Principalele ipoteze de acest fel sunt: - Ipoteza mediului continuu şi omogen: se consideră solidul ca mediu continuu şi omogen, ocupând întregul spaţiu corespunzător volumului său. - Ipoteza izotropiei materialelor: se consideră solidul ca având proprietăţi identice pe toate direcţiile. - Ipoteza stării naturale a corpurilor: se admite că mai înainte de intrarea în acţiune a forţelor care produc solicitarea, în corp nu există forţe interioare. - Corpurile studiate sunt în echilibru static sau dinamic: astfel, în primul caz, în ecuaţiile de echilibru intervin forţe statice reprezentând acţiuni şi reacţiuni, iar în cel de-al doilea, se adaugă efectul forţelor de inerţie. - Ipoteza elasticităţii perfecte: se consideră că deformaţiile dispar complet odată cu dispariţia sarcinilor care le-au produs. - Ipoteza deformaţiilor mici: deformaţiile se consideră mici în raport cu dimensiunile corpurilor. De aceea se pot scrie ecuaţiile de echilibru ca în statică; se neglijează în calcule, puterea a doua (sau superioară) a deformaţiilor, ca infinit mic de rang superior.
16
- Relaţia liniară între tensiuni şi deformaţii specifice; se adoptă curba caracteristică schematizată corespunzătoare modelului elasto-plastic. Rezultă că pentru valori ale deformaţiilor care nu depăşesc εc este valabilă legea lui Hooke: σ = Eε, adică tensiunile sunt proporţionale cu deformaţiile. - Principiul lui Saint-Venant: dacă se înlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafaţă al unui corp elastic printr-un alt sistem de forţe, echivalent cu primul din punct de vedere static, a doua distribuţie de forţe produce la locul de aplicare diferenţe apreciabile faţă de prima, dar rămâne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari faţă de locul de aplicare a forţelor. - Ipoteza lui Bernoulli (sau a secţiunilor plane); o secţiune plană, normală pe axa barei înainte de deformare rămâne plană şi normală pe axă şi după deformare.
1.5 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă Piesele de maşini trebuie astfel dimensionate, încât să fie exclus pericolul ruperii, al existenţei deformaţiilor mari sau al fenomenului de pierdere a stabilităţii. Tensiunile trebuie să fie sub limita de elasticitate dar, din raţiuni economice, cât mai aproape de aceasta, cerinţă sensibilă, deoarece pentru o bună siguranţă a integrităţii solidului, tensiunile trebuie să fie cât mai departe de limita de elasticitate pentru a nu se ajunge la deformaţii mari. Valoarea limită a tensiunii până la care poate fi solicitat un material poartă numele de rezistenţă admisibilă (σa). Rezistenţa admisibilă se consideră fie în raport cu limita de curgere σc (pentru materialele ductile), fie în raport cu limita de rupere σr (pentru materialele casante). Raportul între tensiunea limită şi rezistenţa admisibilă reprezintă coeficientul de siguranţă (c); astfel, se definesc:
;;a
rr
a
cc c
σc σ
σσ
==
în care: cc – coeficientul de siguranţă la curgere; cr – coeficientul de siguranţă la rupere. Pentru o funcţionare optimă a piesei trebuie îndeplinită condiţia: ;ac≥c
17
cu ca fiind notat coeficientul de siguranţă admisibil; acest coeficient se determină astfel încât să aibă cele mai mici valori pentru care se obţine o siguranţă deplină a funcţionării piesei pe o durată cât mai îndelungată de solicitare. 1.6 Metode de rezolvare Rezolvarea problemelor din Rezistenţa Materialelor se face prin metode generale şi proprii, dintre care sunt reprezentative:
• Metoda rezistenţelor admisibile (metodă deterministă), comportând exprimarea valorilor acestui parametru (σa) prin condiţia: ;max a
ef σ≤σ
unde simbolizează tensiunea efectivă maximă la nivelul elementului în discuţie. Metoda adoptă un coeficient de siguranţă unic, cu anumite rezerve sub raportul justificării/confirmării în practică.
efmaxσ
• Metoda stărilor limită (metodă semiprobabilistică); prin stare limită se înţelege un stadiu de solicitare a cărui atingere implică pierderea reversibilă sau ireversibilă a capacităţii solidului/corpului de a satisface condiţiile de utilizare.
Pentru materiale omogene (metale, ş.a.), expresia de calcul conformă metodelor uzuale este: ;max Rm ⋅≤σ
în care: σmax - valoarea maximă probabilă a tensiunii; R – rezistenţa de calcul (valoarea minimă probabilă a rezistenţei); m – coeficient ce ţine seama de reducerea sau majorarea rezistenţelor de calcul în cazuri specifice ale unor solicitări.
1.7 Condiţii de îndeplinit în soluţionarea problemelor din Rezistenţa Materialelor
Prevalent în Rezistenţa Materialelor este studiul tensiunilor şi deformaţiilor, dar la fel de importantă este şi determinarea sau/şi verificarea condiţiilor de stabilitate a elementelor structurale ale corpurilor în scopul dimensionării optime. Se convine ca elementele structurale să satisfacă următoarele cerinţe/condiţii:
18
- Condiţii de rezistenţă: tensiunile nu trebuie să depăşească anumite limite stabilite experimental pentru fiecare material, respectiv: .max a
ef σ≤σ
Δ
- Condiţii de rigiditate: funcţionarea organelor de maşini este condiţionată de deformaţiile acestora, deformaţii care nu trebuie să depăşească anumite limite, respectiv: .max a
ef Δ≤- Condiţii de stabilitate: peste anumite valori critice ale sarcinilor,
piesele îşi pierd echilibrul stabil, ceea ce poate duce la distrugerea acestora; valoarea maximă a unei sarcini se poate exprima:
;max cFcr=F
în care: Fcr – forţa critică la care poziţia de echilibru elastic a barei devine instabilă; c – un coeficient de siguranţă (la stabilitate). 1.8 Aspecte ale Rezistenţei Materialelor În abordarea şi dezvoltarea/tratarea problemelor de rezistenţă se disting trei aspecte:
• Aspectul static, care configurează problema astfel, încât solicitările de referinţă sunt reduse la forţele interne într-un punct sau într-o secţiune, cu utilizarea ecuaţiilor de echilibru static;
• Aspectul geometric, care se rezumă la examinarea deformaţiilor solidului încărcat;
• Aspectul fizic, care presupune un fundament experimental, permiţând stabilirea conexiunilor între forţele interne (tensiuni) şi deformaţii.
19
Capitolul 2
DIAGRAME DE EFORTURI
2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte Elementul de structură fundamental în majoritatea construcţiilor de clădiri, poduri, construcţii mecanice, îl reprezintă bara şi în special bara dreaptă. Propunându-se să se determine, în cadrul Rezistenţei Materialelor, stările de solicitare ale barei sub influenţa diverselor acţiuni, va trebui rezolvată următoarea problemă: cunoscându-se geometria barei, legăturile ei cu alte corpuri şi încărcările, să se determine starea de tensiune şi deformaţie. Principalele etape de rezolvare a problemei sunt următoarele: 1) mai întâi trebuie determinat complet sistemul de forţe exterioare care acţionează asupra barei, adică pe lângă încărcări trebuie determinate reacţiunile, ca valoare şi natură; 2) trebuie determinate eforturile în secţiunile transversale ale barei; 3) determinarea tensiunilor în oricare punct al barei. Primele două etape pot fi soluţionate pentru structuri static determinate folosindu-se principiile Mecanicii Teoretice. Noţiunile operatoare în această matrice de abordare includ tipurile de reazeme. Orice corp în mişcare plană are trei grade de libertate, încât pentru a-l reprezenta sunt necesare trei legături simple ale sale cu un anumit suport referenţial. Tipurile de reazeme cu care operează Mecanica sunt:
• Reazemul simplu, care are drept echivalent static o forţă verticală V;
V V
20
• Articulaţia plană, care are drept echivalent static două forţe: una verticală V, iar cealaltă orizontală H;
V V
H H
• Încastrarea, acest tip de reazem având drept echivalent static două
forţe şi un moment;
V
HM
Dintre posibilităţile de scriere a ecuaţiilor de echilibru cunoscute în Mecanica Teoretică, cele care convin şi la care se apelează în cazul determinării reacţiunilor sunt: I. ;;0,;0,;0 AAAA MMVYHX ⇒=⇒=⇒= ∑∑∑ expresii avantajoase în cazul evaluării consolelor (fig.2.1):
VA
HA
MA
x
y
fig.2.1
A
II. ;;0,;0,;0 ABBAA VMVMHX ⇒=⇒=⇒= ∑∑∑ expresii edificatoare pentru cazul barelor simplu rezemate (fig.2.2):
VA VB
HA x
y fig.2.2
A B
21
2.1.1 Determinarea eforturilor într-o secţiune Cunoscând forţele exterioare care acţionează asupra unei bare, se pot determina eforturile într-o secţiune a ei, în care scop se recurge la metoda secţiunilor. Fie o bară solicitată de forţele exterioare în echilibru P1, P2, ..., Pn, forţe care includ atât încărcările cât şi reacţiunile corespunzătoare. Pentru a determina eforturile într-o secţiune curentă „i” se secţionează bara după un plan normal pe axa sa longitudinală (fig.2.3).
N
T
TM M
P1
P2P3
PnPn
P3P2
P1
x
y
1i
fig.2.3 În secţiunea curentă „i” s-au introdus eforturile secţionale care trebuie să alcătuiască un sistem static echivalent cu sistemul de forţe de pe partea înlăturată. Dacă se îndepărtează partea din stânga, pentru echilibrul părţii din dreapta, pe faţa acesteia trebuie introdusă acţiunea părţii înlăturate, acţiune manifestată prin forţele interioare. Acest sistem de forţe se va reduce în centrul de masă al secţiunii, situat pe axa barei, astfel:
- o forţă tangentă la axă (N), forţa axială; - o forţă normală la axa barei (T), forţa tăietoare; - un cuplu (M), reprezentând momentul încovoietor.
Dacă în loc să se înlăture partea din stânga s-ar proceda la dislocarea părţii din dreapta, am avea acelaşi recurs cu excepţia inversării sensului eforturilor secţionale în raport cu prima situaţie discutată, dar egale ca valoare cu acestea. Această alternativă dă posibilitatea ca, în scopul reducerii calculelor numerice, să se aleagă, la determinarea eforturilor, partea pe care reducerea sistemului de forţe exterioare este cea mai facilă.
Forţa axială (N), reprezintă suma proiecţiilor pe axa barei din secţiunea considerată a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau din dreapta. Este considerată pozitivă atunci când pe faţa din dreapta are sens invers sensului axei x sau, ca sens fizic, este pozitivă când este de întindere (trage de secţiunea în care se aplică).
N N N N
Forţa tăietoare (T), este suma proiecţiilor pe normala la axa barei în
22
secţiunea considerată a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau a celor din dreapta. Se consideră pozitivă când pe faţa din dreapta are sens invers sensului axei y; ca sens fizic este pozitivă când roteşte solidul în sensul acelor de ceasornic.
T T T T
Momentul încovoietor (M), reprezintă suma momentelor, în raport cu centrul de greutate al secţiunii, a tuturor forţelor de la stânga secţiunii sau a celor de la dreapta. Se consideră pozitiv când, în secţiune, întinde fibra inferioară (de jos), respectiv negativ când întinde fibra superioară (de sus).
M MM M
Sunt denumite diagrame de eforturi reprezentările grafice ale valorilor eforturilor în secţiunile considerate. Reprezentarea acestor diagrame este strict necesară pentru stabilirea secţiunilor în care eforturile se situează în limite de atenţie. Se convine ca în atare grafice ordonatele pozitive să fie reprezentate astfel:
- pentru momentele încovoietoare, sub linia de referinţă (de partea întinsă a barei);
- pentru forţa axială sau forţa tăietoare, deasupra liniilor de referinţă corespunzătoare.
2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale eforturilor
O cale de a construi diagramele de eforturi constă în determinarea expresiilor analitice pentru secţiunea curentă x şi apoi reprezentarea grafică a funcţiilor N(x), T(x), M(x). Punctele caracteristice sunt punctele în care se modifică încărcările. Exemplu (fig.2.4):
.25.2;02254;0
;75.0;0224;0
;3;0
FVaFaFaVM
FVaFaFaVM
FHX
CCA
AAC
A
==⋅+⋅+⋅−=
==⋅+⋅−⋅=
==
∑∑∑
23
x1 x2
x 2F F3FHA A B C D
VA VC2a 2a a
N
3F
TF
1.25F
0.75F
Fa
1.5Fa
M
fig.2.4
+
-
++-
-
Verificare: .0325.275.0;0 =−+=∑ FFFY
Se stabileşte sensul de parcurgere de la stânga la dreapta; se alege o secţiune curentă x pe intervalul A-B, x ∈ [0; 2a]:
( )( )( )
.5.1;2;0;0;
;75.0;3
FaMaxMxxVxM
FVxTFxN
B
AA
A
=⇒==⇒=⋅=
==−=
Se alege apoi pe intervalul B-C o nouă secţiune curentă, x1 ∈ [2a; 4a]:
( )( ) ;25.1275.0
;3
1
1
FFFxTFxN
−=−=−=
24
( ) ( )
.;4;5.1;2;2275.0
1
1111
FaMaxFaMaxaxFxFxM
C
B
−=⇒==⇒=−−⋅=
Se observă că în punctul B, în expresia lui Tx1 intervine un salt (discontinuitate) egal cu valoarea forţei 2F şi în sensul acesteia. Pe consola (tronsonul) C-D se iau forţele de la dreapta în funcţie de noul parametru curent, x2 ∈ [0; a]:
( )( )( )
.;;0;0;
;;3
2
222
2
2
FaMaxMxxFxM
FxTFxN
C
D
−=⇒==⇒=⋅−=
=−=
2.1.3 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări Se consideră o bară solicitată de un sistem plan de forţe exterioare concentrate şi forţe distribuite continuu. Se detaşează un element de lungime dx separat prin două secţiuni transversale. Pe secţiunea din stânga se aplică eforturile N, T şi M, iar pe secţiunea din dreapta aceleaşi mărimi cu creşterile diferenţiale dN, dT şi dM corespunzătoare (fig.2.5).
x dx
NM
T pt
q
T+dT
N+dNM+dM
A Bx
y
dx
fig.2.5 Se exprimă astfel condiţiile de echilibru ale elementului diferenţial sub acţiunea forţelor exterioare şi a eforturilor secţionale:
( )
( )2;;0;0
1;;0;0
qdxdTdTTdxqTY
pdxdNdNNdxpNX tt
−=⇒=−−⋅−=
−=⇒=++⋅+−=
∑
∑
25
( )3.;02
;0dx
dMTdxTdMMdxdxqMM B =⇒=⋅+−−⋅⋅−=∑
Aceste relaţii au următoarele semnificaţii: - derivata forţei axiale într-un punct oarecare al unei bare drepte, în
raport cu axa x, este egală în modul cu intensitatea sarcinii uniform distribuite după tangenta la axa longitudunală a barei;
- derivata forţei tăietoare, în raport cu axa x, este egală în modul cu intensitatea după normala la axa barei a sarcinii uniform dstribuite;
- derivata momentului încovoietor într-un punct oarecare al barei drepte, în raport cu axa x, este egală cu forţa tăietoare.
Relaţiile (2) şi (3) au drept corolar:
( )4.2
2
qdxdT
dxMd
−==
Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) rezultă următoarele observaţii: - când sarcina tangenţială uniform distribuită pt este nulă, forţa axială
este constantă; - când sarcina normală uniform distribuită q este nulă, forţa tăietoare
este constantă iar momentul încovoietor variază liniar; - când sarcina normală uniform distribuită este constantă, forţa tăietoare
variază liniar iar momentul încovoietor variază parabolic; - dacă forţa tăietoare intersectează axa barei (linia de referinţă),
diagrama de moment încovoietor are un punct de extrem în dreptul secţiunii în care forţa tăietoare este nulă (fig.2.6 – curbura diagramei de moment ţine sarcina).
Mmax
T
M
fig.2.6
- în dreptul unei sarcini concentrate diagrama forţei tăietoare face un salt egal cu sarcina din punctul respectiv şi în sensul acesteia, pentru un sens de parcurgere de la stânga la dreapta, iar diagrama de moment încovoietor prezintă un vârf în sensul săgeţii sarcinii concentrate (fig.2.7).
26
F
T
M
fig.2.7
+
-
- în dreptul unui cuplu de pe bară diagrama de moment încovoietor prezintă un salt egal cu valoarea cuplului şi în sensul acestuia (fig.2.8).
T
M
fig.2.8
+
M
M
2.1.4 Utilizarea relaţiilor diferenţiale la trasarea diagramelor de
eforturi Pentru trasarea diagramelor de eforturi se determină eforturile în punctele caracteristice prin metoda reducerii: parcurgând bara de la stânga la dreapta se cumulează forţele longitudinale respective cele transversale întâlnite. Între punctele caracteristice se reprezintă diagrama de efort pe baza relaţiilor diferenţiale. Punctele caracteristice sunt cele în care încărcarea este discontinuă.
27
Vor fi tratate în continuare o serie de exemple tipice de construire a diagramelor de eforturi.
a) Grindă simplu rezemată la capete, încărcată cu o forţă concentrată (fig.2.9).
P
A C B H =0B
VBVAa b
l
Pb/l
Pa/l
T
M
Pab/l fig.2.9
+
+
-
.
;0
;
;
;
lPaba
lPbM
MM
Tl
PaPl
PbT
Tl
bPT
lbPV
C
BA
stB
drC
stCA
A
=⋅=
==
=−=−=
=⋅
=
⋅=
Caz particular: a = b = l/2, (fig.2.10).
b) Grindă simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform distribuită (fig.2.11).
28
P
A C B H =0B
VBVA
P/2
P/2
T
M
Pl/4 fig.2.10
+
+
-
l/2 l/2
A B H =0B
VBVA l
T
M
fig.2.11
x
ql/2
ql/2l/2
ql/82
+
+-
q
;2qlVV BA ==
;2
xqqlT variaţie liniară; x ⋅−=
29
;2
;0
;2
;
;2
;0
lx
qlTl
qlT
x
B
A
=⇒=
−==
==
T
x
x
;222
22
xqxqlqxxVM Ax ⋅−⋅=−⋅= variaţie parabolică;
.8
;02
maxqlMMM BA ===
c) Grindă simplu rezemată la capete încărcată cu un cuplu concentrat (fig.2.12)
A C B
VBVAa b
l
T
Mfig.2.12
+
H =0AM
M/l
Mb/l
Ma/l+
-
;0
;
;
==
==
==
BA
stBA
BA
M
Tl
M
M
lMVV
T
.;l
bMMl
aMMl
aMM drC
stC
⋅−=−
⋅=
⋅=
30
d) Grindă în consolă acţionată de o forţă concentrată (fig.2.13)
A B
VAl
T
Mfig.2.13
+
Pα
N
HA
MA
--
Pcosα
Psinα
Plsinα
.0;sin
;sin
;cos
;sin;0
;cos;0
;sin;0
=⋅−=
=⋅=
=⋅=
⋅==
⋅==
⋅==
∑∑∑
B
A
stBA
stBA
AA
A
A
MPlM
TP
NPN
PlMM
PHX
PVY
αα
α
α
α
α
T
e) Grindă în consolă acţionată de o sarcină uniform distribuită (fig.2.14)
.M;plM;pxxplplM
;T;plT;pxplT
;plM;M
;plV;Y
BAx
BAx
AA
A
0222
02
0
0
222
2
=−=⇒−⋅+−=
==⇒−=
==
==
∑
∑
31
A B
VAl
T
Mfig.2.14
MA
p
pl
pl/22
+
-
x
f) Grindă cu console acţionată de forţe concentrate (fig.2.15)
P P
AC B
VBVA
l
T
Mfig.2.15
a a
D
P
P
Pa Pa
+
-
-
(datorită simetriei); PVV BA ==
T ;stAC TP =−=
32
.0;;;
;0
==⋅−=⋅−=
==
==+−=
DC
B
A
stD
drB
stB
drA
MMaPMaPMTP
TPP
T
T
2.1.5 Relaţii de recurenţă la grinda dreaptă Relaţiile de recurenţă pot uşura mult rezolvarea problemelor de trasare a diagramelor de eforturi. Astfel, într-o secţiune oarecare “i”, efectul încărcărilor precum şi al forţelor de legătură din secţiune poate fi înlocuit prin rezultanta acestora, eforturile secţionale Ni, Ti, Mi. În secţiunea oarecare “j” nu mai este necesar să se reia în discuţie toate forţele de la stânga, eforturile din “j” putând fi exprimate în funcţie de eforturile din “i” şi încărcările de pe i-j (fig.2.16):
T
.dsinFdTMM
;sinFT
;cosFNN
jkkijiij
kkij
kkij
∑
∑
∑
−⋅+=
−=
−=
α
α
α
Fk
FkMi Mj
Ti
Tj
Ni Nj
djk
dij
1i
k
j
fig.2.16
α
Dacă pe o porţiune cu sarcină distribuită se consideră o secţiune curentă x (fig.2.17), eforturile vor fi:
33
x
Mi Mjp
x0
Ti Tj
Ti
Tj
Mi
Mj
Mx0
T
M
+
+
-
fig.2.17
.2
;;0
;2
;
max
2
00
2
0M
pTMM
pTxxpT
xpxTMM
xpTT
iix
ii
iix
ix
=+=
=⇒=⋅−
⋅−⋅+=
− ⋅=
Expresia lui Mx0 se poate scrie şi în funcţie de eforturile din “j”, obţinându-se aceeaşi valoare.
2.1.6 Grinzi cu încărcări complexe. Metoda suprapunerii efectelor
Uneori diagramele se pot determina fără calcule, prin suprapunerea efectelor, recurgându-se la ipoteza micilor deplasări. Ecuaţiile de echilibru se pot scrie pe forma nedeformată a sistemului, deci la calculul reacţiunilor şi al eforturilor se poate aplica principiul suprapunerii efectelor (principiul suprapunerii efectelor este o proprietate a funcţiilor liniare). Fie grinda simplu rezemată cu consolă încărcată ca în figura 2.18. Se consideră separat acţiunea fiecărei forţe exterioare şi se trasează diagramele de moment încovoietor corespunzătoare.
34
F2 F1
A D B C
la b c
F1
F ca/l1
F c1
M
F2
F ab/l2
M
F1
F2
M
F c1
A
B
D
D
/
/
//
fig.2.18
+
+
-
-
Diagrama finală se obţine prin adunarea în fiecare secţiune caracteristică a ordonatelor obţinute în cele două diagrame. Astfel, de la linia AB/ se scad ordonatele corespunzătoare diagramei MF2; din punctul D/ se trasează în jos ordonata până în D//, egală cu valoarea corespunzătoare din diagrama MF2:
.12 lcaF
labFM D −=
35
2.2 Grinzi cu console şi articulaţii Sunt sisteme de bare drepte fixate la teren printr-o articulaţie şi reazeme simple, bare legate între ele prin articulaţii intermediare. O primă problemă de clarificat este dacă sistemul este sau nu static determinat. Se numeşte grad de nedeterminare statică a unui sistem: n = L – 3C (pentru sisteme plane), cu C – numărul de corpuri libere deschise şi L – numărul de legături echivalente legăturilor simple ce trebuie suprimate pentru obţinerea a C corpuri. Pentru n = 0 sistemul este static determinat. Ecuaţiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul în ansamblu sau pentru fiecare corp în parte. Un astfel de sistem este alcătuit dintr-o parte independentă şi una sau mai multe părţi fundamentale, în următoarea accepţiune:
• Părţi independente sau corpuri de tip I sunt corpuri ale căror forţe de legătură pot fi determinate din ecuaţii de echilibru proprii. Forţele de legătură ale părţilor independente depind numai de încărcările exterioare ale acestora.
• Părţi fundamentale sau corpuri de tip II sunt corpuri care îşi transmit singure forţele la teren.
Forţele de legătură de pe părţile independente devin acţiuni pe părţile fundamentale.
Pentru exemplul din figura 2.19 gradul de nedeterminare statică se
calculează astfel: ;02363 =⋅−=−= CLn sistemul este static determinat. Partea independentă este ABCD, pentru care:
;33.134
aM
aMVV DA ===
pentru partea fundamentală DEF reacţiunea VD devine acţiune (forţă de încărcare). Trasarea diagramelor de efort se face ca şi în cazul grinzilor drepte, pentru fiecare tip de corp (tronson) în parte, diagramele finale fiind compuse din diagramele corespunzătoare fiecărui tronson reprezentate una în continuarea celeilalte (fig.2.19).
36
M 3M M/a2
A B C D E F
a a a 2a 4a
V =1.33M/aA
V =1.33M/aD
1.33M/a
V =4.5M/aEV =1.16M/aF
1.16M/a
3.33M/a
1.33M/a
T
M
4.66M
1.33M
1.67M0.33M1.33M
fig.2.19
+
+
-
--
37
2.3 Diagrame de eforturi pe cadre Intersecţia a două bare reprezintă un nod. Dacă unghiul făcut de cele două bare rămâne constant şi după deformare, nodul este rigid. Structurile din bare care au cel puţin un nod rigid poartă denumirea de cadre. Cadrele pot fi spaţiale sau plane. La un nod plan în care se intersectează numai două bare, momentele sunt egale şi întind aceeaşi fibră. Linia de referinţă pentru reprezentarea diagramelor este chiar schema cadrului. Pentru fiecare bară trebuie ales un sistem de axe proprii; axa x este întotdeauna axa barei (fig.2.20a). Dacă diagramele de efort sunt trasate corect, nodurile sistemului trebuie să fie în echilibru. Pentru verificarea corectitudinii trasării diagramelor se separă fiecare nod, prin secţionarea barelor concurente în nod şi se introduc pe feţele secţiunilor eforturile, ţinându-se seama de convenţia de semne şi de sensul de parcurgere (fig.2.20b).
4P PA B C D
V =3PA
H =PE E
2a
a a aV =PE
xy
xy
x
y
P
P
N
3P
P
PT
3Pa
2Pa
2Pa
M
+ +
+
-
-
-
-
fig.2.20a
38
.3;0
;;0
;;0
PVM
PVM
PHX
AE
EA
E
==
==
==
∑∑∑
nod C
P
2PaP
2Pa
P
P fig.2.20b Probleme Problema 2.a Să se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2.a.
1kN/m 2kNA B C D x
H =0A
V =3.5kNA V =2.5kND4m 2m 2m
3.5
0.5 2.5x0
6.125 65
T
M
[kN]
[kNm]
fig.2a
+
+
-
39
Calculul reacţiunilor:
.5.2,0124628;0
;5.3,0822641;0
;0;0
kNVVM
kNVVM
HX
DDA
AAD
A
==⋅⋅−⋅−⋅=
==⋅−⋅+⋅⋅=
==
∑∑∑
Verificarea reacţiunilor verticale: .0241;0 =−⋅−+=∑ DA VVY Calculul forţei tăietoare:
T .5.225.0
;5.0415.3
;0
stD
drC
stCB
drA
TkN
TkN
=−=−−=
=−=⋅−=
=
T
T
Calculul momentului încovoietor:
;125.625.3
2
;624145.3;0
22
max kNmq
TMM
kNmMMM
AA
C
DA
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=⋅⋅−⋅===
pentru determinarea secţiunii în care momentul este Mmax se egalează forţa tăietoare cu zero în această secţiune:
.525.2
;5.315.3;0 0000
kNmM
mxxTT
D
xx
=⋅=
=⇒⋅−==
Problema 2.b Să se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2b. Calculul reacţiunilor:
.;0275;0
;5
242;04225;0
;0;0
FVFaaFFaaFaVM
Fa
FaFaFaFaV
FaaFFaaFaVM
HX
B
BE
E
EB
B
=
=+⋅−+⋅−⋅=
=−++
=
=−⋅−−⋅+⋅=
==
∑
∑∑
40
F 2Fa F Fa
A B C D E G x
H =0B
V =FB V =FE
2a 2a 2a a a
F FT
2FaFa
M
fig.2b
-
--
-
Verificarea reacţiunilor verticale: .0;0 =−−+=∑ FFVVY EB
Calculul forţei tăietoare:
T
.0;
;0
;
=+−=
=−=
==+−=
=−=
FFTF
TFF
TF
drE
stE
drD
stD
drB
stB
drA
T
T
T
Calculul momentului încovoietor:
.;0246
;022
;224;22
;0
FaMMFaaFaFM
FaFaM
FaaFaFMFaaFM
M
GE
D
drC
stC
B
A
−===+⋅+⋅−=
=+−=
−=⋅+⋅−=
−=⋅−==
41
Problema 2.c Să se traseze diagramele de efort pentru grinda în consolă din figura 2c.
10kN 40kNm 20kN
A B C D
1m 1m 1m
30kN20kN
T
30kNm
20kNm
20kNm
M
+
+
- -
fig.2c Necalculându-se reacţiunile iniţial, se porneşte cu calculul eforturilor secţionale (forţă tăietoare şi moment încovoietor), din dreapta către stânga, luându-se mereu în considerare forţele dinspre capătul liber al consolei:
.3011040320;040220
;204020
;20120
;0;301020
;20
kNmMM
kNmM
kNmM
MTkN
TkN
A
B
stC
drC
D
drA
stB
drB
stD
−=⋅−+⋅−==+⋅−=
=+−=
−=⋅−=
===+=
==
T
T
42
Problema 2.d Să se traseze diagramele de efort pentru grinda cu articulaţie intermediară din figura 2d.
20kN 20kN/mA B C
DE
1m 2m 2m 6m
V =60kNE20kN
60kN
26.6746.67
60
60
T
26.67120
90
M
[kN]
[kNm]fig.2d
+
+-
- -
V =60kND
V =106.67kNC
V =26.67kNA
Se calculează gradul de nedeterminare statică: .02363 =⋅−=−= CLn Partea independentă este DE; reacţiunile sunt:
.602206 kNVV ED =
⋅==
Reacţiunea VD devine acţiune pe bara AD; reacţiunile pe bara AD sunt:
.67.26
3260202;0
;67.1063
605120;0
kNVM
kNVM
AACD
C
CACDA
=⋅+⋅−
==
=⋅+⋅
==
∑
∑
Calculul forţei tăietoare:
T ;
;67.26
drAstB
AdrA
T
kNV
=
T −=−=
43
;67.462067.26 stCdrB TkNT =−=−−=
.60
;6067.10667.46
kNT
TkNT
stE
DdrC
−=
==+−=
Calculul momentului încovoietor:
.908
6208
;120260;67.26167.26
;0
22
max kNmlqM
kNmMkNmM
MMM
C
B
EDA
=⋅
=⋅
=
−=⋅−=−=⋅−=
===
Problema 2.e Pentru cadrul din figura 2e să se traseze diagramele de efort.
40kN
10kN
A
BCD
3m
1m 2m
H =0A
M =90kNmA
V =30kNA
1 2
3
fig.2e
Calculul reacţiunilor:
.90240110;0
;30;0
;0;0
kNmMM
kNVY
HX
AA
A
A
=⋅+⋅==
==
==
∑∑∑
44
30
10
40
10
90
80
TN M
-
-
-
+
+
[kN] [kN] [kNm]
Nodul B 10kNm
10kN
40kN
80kNm
30kN
90kNm
1 2
3
Problema 2.f Pentru cadrul din figura 2f să se traseze diagramele de efort.
34kNm 52kNm V =28.67kNE
H =0A
V =28.67kNA
1m
1m 1m 1m
A
B C DE
fig.2f
45
Calculul reacţiunilor:
.kN.VV EA 67283
863
5234==
+==
28.67
28.67
28.67
5.34
23.33
28.67
N T M
+
++
-
- -
[kN] [kN] [kNm]
Problema 2.g Pentru cadrul din figura 2g să se traseze diagramele de efort.
1kN/m
3m
2m6m2m
450
AB
C
D
EHE
VE
1 23
F
4kN
fig.2g
NB-F
46
Calculul reacţiunilor:
( )
.6;0
;8;0;5.8
,0310643622
;0
kNHX
kNVYkNN
N
M
E
E
EB
EB
E
==
==
=
=⋅−⋅−+
=
∑∑
∑
−
−
Nodul C
20kNm
6kN
2kN
2kNm
8kN18kNm
1 2
3
8.5
6
8
26
2
6
2
20
218
6kN
6kN
N T
M
[kN] [kN]
[kNm]
+
- -- -
+
+
- -
-
47
Capitolul 3
CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR
3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate Dacă se consideră secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii elementare dA, atunci aria secţiunii va fi: .∫=
A
dAA
S
S
Se raportează consideraţiile următoare la o figură plană (secţiunea transversală a unei bare raportată la un sistem ortogonal de axe de coordonate Oy1z1) şi se apelează la expresiile:
∫
∫=
=
Az
Ay
dAy
dAz
,
;
11
11
reprezentând suma produselor ariilor elementare dA cu distanţa la axa corespunzătoare (y1 sau z1). Aceste expresii definesc momentele statice ale secţiunii faţă de axa y1 sau z1 (fig.3.1); unitatea de măsură pentru momentul static este: [ ] ., 333 mmcmL =
O
y1
z1
z
y
b zz1
a
yy1G
dA
fig.3.1
48
În situaţia în care axele z şi y trec prin centrul de greutate al secţiunii, momentele statice sunt nule: ;0== yz SS
S
y
cu: ∫ ∫==
A Ayz dAzSdAy .,
Se exprimă y şi z în forma: ;; 11 bzzay −=−= şi se introduc în relaţiile lui Sz şi Sy, astfel:
;0
;0
1
1
=−
=−
∫
∫
A
A
dAbdAz
dAadAy
∫
∫
A
A
rezultă coordonatele centrului de greutate:
.
;
11
1
11
1
∑∑∫
∑∑∫
===
===
ii
iii
G
ii
iii
G
A
Az
A
dAzz
A
Ay
A
dAyy
b
a
Orice sistem de axe cu originea în centrul de greutate al figurii geometrice reprezintă un sistem de axe centrale. 3.2 Momente de inerţie (geometrice) Se numeşte moment de inerţie axial al figurii plane (de arie A), în raport cu o axă din planul său, suma produselor elementelor de arie dA cu pătratul distanţei lor la axa considerată. În raport cu axele Oy şi Oz momentele de inerţie se exprimă: ∫ ∫==
A Azy dAyIdAz ,; 22I
întotdeauna pozitive. Suma produselor elementelor de arie dA cu distanţele lor la un sistem de axe rectangular Oyz :
49
;∫=A
yz dAyzI
I
sumă ce poate fi pozitivă sau negativă, poartă denumirea de moment de inerţie centrifugal al figurii plane în raport cu axele Oyz. Momentul de inerţie polar al unei figuri plane în raport cu un punct (pol) din planul figurii, este reprezentat de suma produselor elementelor de arie dA cu pătratele distanţelor lor în raport cu acel punct: ∫=
Ap dAr ;2
deoarece r2 = z2 + y2 (fig.3.2), rezultă:
O
y
z
y
zr
dA
fig.3.2
( ) .IIdAyzI zy
Ap +=+= ∫ 22
Momentul de inerţie polar este aşadar, egal cu suma momentelor de inerţie axiale Iy şi Iz pentru orice sistem de axe ortogonale Oy şi Oz care trec prin polul „O”. Din această relaţie rezultă că suma momentelor de inerţie axiale în raport cu un sistem de axe rectangulare cu aceeaşi origine, O, reprezintă un invariant la rotirea sistemului de axe. Momentele de inerţie (axiale, centrifugale, polare) se exprimă în unităţi de lungime la puterea a patra: [ ] ., 444 mmcmL = Dacă axele de referinţă sunt centrale, momentele de inerţie se numesc centrale. Uneori în calcule se utilizează razele de inerţie (giraţie), mărimi liniare, ce se definesc prin expresiile:
.;;AI
iAI
iAI p
py
yz
z ===i
50
3.2.1 Momente de inerţie pentru secţiuni simple Determinarea momentelor de inerţie, pentru figurile simple se poate realiza prin integrarea directă în formulele de definiţie.
a. Cazul unei secţiuni dreptunghiulare (fig.3.3) Să se evalueze momentele de inerţie în raport cu axele centrale Oy şi
Oz paralele cu laturile dreptunghiului. Pentru determinarea momentului de inerţie în raport cu axa Oz se
consideră o suprafaţă elementară dA, de forma unei fâşii paralele cu axa Oz, de lăţime b şi înălţime dy:
.123
;
32
2
32
2
22 bhbydybydAyI
dybdAh
h
h
hAz ====
⋅=
−−
∫∫
În mod analog se determină:
.12
32 hbdAzI
Ay == ∫
Momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe Oyz
este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie.
b
h/2
h/2y
dy
z
y
O
fig3.3
b. Cazul unei secţiuni circulare (fig.3.4) Avându-se în vedere simetria secţiunii în raport cu oricare axă
centrală, este indicat să se determine mai întâi momentul de inerţie polar şi apoi momentele de inerţie în raport cu axele centrale. Elementul de arie dA este cuprins între două raze care fac între ele unghiul dϕ şi două cercuri concentrice de rază r şi r+dr, astfel:
z
y
rdrR
R
fig3.4
dAϕ
dϕ.
642
;322
;
4
44
0
32
0
2
DIII
DRdrrddArI
ddrrdA
pyz
R
Ap
π
ππϕ
ϕπ
===
====
⋅⋅=
∫∫∫
51
3.2.2 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă
În problemele de calcul ale elementelor de construcţii apare adesea necesitatea determinării momentelor de inerţie pentru secţiuni de forme mai complicate, în raport cu diferite axe situate în planul acestor secţiuni. În acest caz, separând secţiunea în părţi componente simple, la care momentele de inerţie se pot evalua uşor, momentul de inerţie al întregii secţiuni în raport cu o axă se va determina ca suma momentelor de inerţie ale tuturor părţilor componente în raport cu acea axă. Fie, astfel, o secţiune de o formă oarecare descompusă în figuri elementare (fig.3.5):
1 2 34 5 6
O z
y
y dA
fig.3.5 relaţia de bază avută în vedere este: ....... 21
2
2
1
22 ++=++== ∫∫∫ zzAAA
z IIdAydAydAyI
Dacă secţiunea are goluri, atunci aria corespunzătoare acestora se va lua cu semnul minus; astfel: De
Di
z
y fig.3.6
( ).64
44ieyz DDII −==
π
52
b
h D z
y fig.3.7
.DbhI z4
3
6412π
−=
3.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor Se consideră o figură plană de arie A raportată la un sistem de axe ortogonale Oyz, pentru care sunt cunoscute momentele de inerţie raportate la axele Oy şi Oz. Să se determine momentele de inerţie în raport cu noile axe O1 y1 şi O1 z1 paralele cu primele (fig.3.8);
O1
y1
z1
z
y
b zz1
a
yy1O
dA
fig.3.8 astfel:
( )
( )( ) .
;2;2
;2
;;
11
11
1
22
22221
11
AabSbSaIdAbzayI
AbSbIIAaSaII
dAadAyadAydAaydAyI
ayybzz
zyyzA
yz
yyyzzz
AAAAAz
⋅+⋅+⋅+=++=
⋅+⋅+=⋅+⋅+=
++=+==
+=+=
∫
∫∫∫∫∫
53
Sz şi Sy reprezintă momentele statice ale figurii în raport cu axele Oy şi Oz. Dacă aceste axe sunt centrale, atunci momentele statice sunt nule, iar relaţiile pentru momentele de inerţie raportate la axele paralele cu cele centrale vor fi:
.
;
;
11
1
1
2
2
AabI
AaI
AbI
zyyz
zz
yy
⋅+=
⋅+=
⋅+=
I
I
I
Adunând primii doi termeni, se obţine: ( ) .AbaIII ppzy ⋅++==+ 22
111I
Momentele de inerţie axiale sunt minime în raport cu centrul de greutate al secţiunii; cu cât axele de referinţă sunt mai depărtate de centrul de greutate cu atât momentele de inerţie axiale cresc. Exemplu Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele z şi y care trec prin centrul de greutate al figurii compuse (fig.3.9):
b2
h2
h1
h2
b1
Gz
y fig.3.9 Rezolvare:
( )( )( );
;
;
2
2
∑
∑
∑
⋅+=
⋅+=
⋅+=
iiyyzzyzzy
iiyyyy
iizzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
I
I
I
;212
2012 22
221
322
311
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= hbhhhbhbIz
54
;12
212
322
311 bhbh
y +=I
în care s-au notat cu dz zi distanţa de la axa centrală z la axa zi a dreptunghiului “i” şi cu dy yi, distanţa de la axa centrală y la axa yi a dreptunghiului “i”. 3.4 Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor Dacă se cunosc momentele de inerţie Iz, Iy, Izy ale unei figuri plane în raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz din planul acesteia, să se determine momentele de inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit faţă de primul cu un unghi α (fig.3.10).
O E
B
C
y
y1
z
z1dA
z
z1
yy1
D
fig.3.10
α
Pentru elementul de arie dA, coordonatele faţă de sistemul respectiv sunt:
- faţă de Oyz: y şi z; - faţă de Oy1z1: y1şi z1.
Relaţiile între aceste coordonate sunt:
.cossin;sincos
1
1
αααα
zyOBCDzzyBECEBCy
+=+=−=−==
Momentele de inerţie faţă de noile axe sunt:
55
( )
ααα
αααα
αα
2sinsincos
cossin2sincos
sincos
22
2222
2211
zyyz
AAA
AAz
III
dAyzdAzdAy
dAzydAyI
−+=
=−+=
=−==
∫∫∫
∫∫
(1)
( )
.2sincossin
cossin2cossin
cossin
22
2222
2211
ααα
αααα
αα
zyyz
AAA
AAy
III
dAyzdAzdAy
dAzydAzI
++=
=++=
=+==
∫∫∫
∫∫
(2)
Momentul de inerţie centrifugal este:
( )( )
( )∫∫∫
∫∫−+−=
=+−==
AAA
AAyz
dAyzdAzdAy
dAzyzydAzyI
;sincoscossincossin
cossinsincos
2222
1111
αααααα
αααα
.2cos2sin211
αα zyyz
yz III
I +−
= (3)
Prin sumarea relaţiilor (1) şi (2), se obţine: ,
11 zyzy IIII +=+ adică suma momentelor de inerţie axiale în raport cu două axe ortogonale, cu aceeaşi origine, este un invariant. Înlocuind în relaţiile de mai sus:
,2
2cos1cos;2
2cos1sin 22 αααα +=
−= relaţiile (1), (2) şi (3) devin:
;2sin2cos
22
2sin2
2cos12
2cos11
αα
ααα
zyyzyz
zyyzz
IIIII
IIII
−−
++
=
=−−
++
=
;2sin2cos22
2sin2
2cos12
2cos11
αα
ααα
zyyzyz
zyyzy
IIIII
IIII
+−
−+
=
=++
+−
=
(4)
.2cos2sin211
αα zyyz
yz III
+I−
=
56
3.4.1 Momente de inerţie principale şi direcţii principale Din expresiile precedente ale momentelor de inerţie axiale rezultă că mărimea momentului de inerţie în raport cu o axă oarecare depinde de unghiul de înclinare a acestei axe în raport cu o axă de referinţă. În acest caz se poate determina o valoare α a unghiului, pentru care momentul de inerţie atinge o valoare extremă. Pentru evaluarea acestei limite se va anula prima derivată a expresiei lui Iz1 din grupul de relaţii (4):
( ) ,02cos2sin2
;02 11
1 =−=−−
−= yzzyyzz II
IId
Idαα
α
de unde:
.2
2zy
zy
III
tg−
=α (5)
Se poate trage concluzia că momentele de inerţie axiale sunt extreme pe direcţiile pe care momentele de inerţie centrifugale sunt nule. Aceste direcţii se numesc direcţii principale, iar valorile momentelor de inerţie respective sunt momente de inerţie principale. Relaţia (5) conduce la două valori pentru unghiul α: α/ şi α/ + π/2. Sunt deci două direcţii principale ortogonale; faţă de una din axe momentul de inerţie este maxim, faţă de cealaltă, minim. Se notează: .; 2min1max IIII == Pentru a calcula momentele de inerţie principale, se calculează din relaţia (5):
( )
( )( )
;421
12cos
;4
2
2122sin
222
222
zyzy
zy
zyzy
zy
III
II
tg
III
I
tgtg
+−
−±=
+±=
+−±=
+±=
αα
α
αα
substituind în (4), se obţine:
( ) ( );
4
2
422 22222,1
zyzy
zyzy
zyzy
zyyzyz
III
II
III
IIIIIII
+−+−
−⋅
−±
+= ∓
după simplificări, rezultă forma finală:
57
( ) .421
222
2,1 zyzyyz III
II+−±I
+= (6)
Măsurarea unghiului α se face în sens orar (pentru unghiuri pozitive), în raport cu axa z. Pentru stabilirea axelor principale de inerţie se calculează derivata a doua a expresiei lui Iz1, notându-se cu α1 unghiul făcut de direcţia principală corespunzătoare lui I1:
( );2sin2cos
22 112
21 αα
α zyyzz I
IId
Id+
−−=
prin efectuarea calculelor, rezultă expresia finală a derivatei:
.cos22
11
222
zyzy
yz
ItgI
II αα ⋅⋅⎥⎥⎦
⎤+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎢⎢⎣
⎡ (7)
Se observă că semnul expresiei (7) depinde numai de raportul:zyI
tg 1α;
pentru un maxim trebuie îndeplinită condiţia:
;01 <zyI
tg α
astfel, pentru:
.
200
;2
00
11
11
παα
παα
<⇒>→<
>⇒<→>
tg
tg
zy
zy
I
I
Axele principale de inerţie pot fi precizate în orice punct din planul figurii. Din punct de vedere practic, interesează în mod deosebit axele principale centrale de inerţie ale figurii şi momentele de inerţie principale centrale. Când figura are cel puţin o axă de simetrie, una din axele centrale principale de inerţie va corespunde cu axa de simetrie, trecând prin centrul de greutate al figurii. 3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de inerţie centrale principale I1, I2, ale unei figuri plane În practica inginerească, pentru calculul momentelor de inerţie centrale principale se procedează astfel:
58
1. Se determină centrul de greutate al secţiunii. Se stabilesc figurile geometrice elementare componente. Se stabileşte un sistem de axe pentru fiecare figură.
2. Se determină momentele de inerţie faţă de un sistem de axe centrale convenabil alese (să treacă prin centrul de greutate şi să fie paralele cu celelalte axe pentru fiecare figură):
( )( )( )∑
∑
∑
⋅+=
⋅+=
⋅+=
iiyyzzyzzy
iiyyyy
iizzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
.
;
;
2
2
I
I
I
3. Se calculează momentele de inerţie faţă de axele centrale principale cu relaţia:
( ) .421
222
2,1 zyzyyz III
II+−±I
+=
3.1 Se stabilesc axele I şi II, calculându-se α şi α + π/2 cu relaţia:
;2
2zy
zy
III−
=αtg
se fac precizări asupra axelor principale I şi II, punând condiţia:
.01 <zyI
tg α
3.5 Moment de inerţie centrifugal maxim Se consideră că axele principale de inerţie ale suprafeţei sunt axele Oy, Oz, astfel încât: .0;; 21 === zyyz IIIII Relaţiile (4) devin:
( ) ( )
( )cIII
bIIIIIaIIIII
yz
yz
α
αα
2sin2
;2cos22
;2cos22
21
21212121
11
11
−=
−−
+=
−+
+=
(8)
59
Din relaţia (c) rezultă că momentul de inerţie centrifugal are valoarea maximă pentru: ;4512sin 0=⇒= ααaceastă valoare fiind dată de relaţia:
( ) .2
21max11
IIyzI −
=
Deci, momentul de inerţie centrifugal al unei suprafeţe are valoarea maximă faţă de un sistem rectangular de axe, rotit cu 450 faţă de axele principale de inerţie ale suprafeţei. Înlocuind în (a) şi (b) valoarea cos 2α = 0 (α = 450), se obţin valorile momentelor de inerţie axiale în raport cu axele rotite cu 450 faţă de axele principale de ineţie:
.2
2111
III yzI +==
Să se calculeze momentele de inerţie centrale principale pentru secţiunile de mai jos: Problema 3.a
68.7541.25
20
200
G
10 100 10
y =y1
y2
z
z1
z2
fig.3.a
;75.68
;12020102002
102001102
1
1
mmy
A
Ayy
G
ii
iii
G
=
⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
=∑
∑
60
.10501.115013333
;12120205510200
12102002
;10156.331563300
;75.682012012
2012025.411020012
102002
4732
32
3
2
4741
23
23
1
mmmmII
II
mmmmII
II
y
y
z
z
⋅===
⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+
⋅==
⋅===
⋅⋅+⋅
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+
⋅==
Problema 3.b
250
12
600
15200
10G
306.375
z1
z2 z
z3
y fig.3.b
.y
z
G
mm.II
;mm..
..II
;mm..y
47
333
2
4823
23
23
1
1
1056821220015
1210600
1225012
104571253071520012
15200
375060010126001037530612250
1212250
375306152001060012250
56131520030610600
⋅=⋅
+⋅
+⋅
==
⋅=⋅⋅+⋅
+
+⋅⋅+⋅
+⋅⋅+⋅
==
=⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅=
61
Problema 3.c
90 12x
I 20
z1
z
z2
y
24.52
fig.3.c
G
( )
.109.11011712
9012;1096.252.24105.33102140
52.246.100129012
1290
;52.24105.3312906.1001290
4643
2
47224
23
1
22
mmII
mm
II
mmy
y
z
G
⋅=⋅+⋅
==
⋅=⋅⋅+⋅+
+−⋅+⋅
==
−=⋅+⋅
⋅⋅−=
Problema 3.d
10015 158
240
6 6
16.65
32
z1
z2 z
z3
y
y1 fig.3.d
G
U 10
62
( )
.1067.51020532624012
62402121008
;1098.465.165.1351350
103.2965.166240122406265.1408100
128100
;65.161350262408100
5.13513501248100
464233
2
472
423
23
1
2
mmII
mm
II
mmy
y
z
G
⋅=⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
⋅+
⋅==
⋅=−+
+⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
⋅+⋅⋅+
⋅==
=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
Problema 3.e
;20
10601090501060
;1010601090
251060
1
1
mmy
mmz
G
G
=⋅+⋅
⋅⋅=
=⋅+⋅
⋅⋅=
10
100 90 2030z2
10 15
z1
z
y1 y2
y
α1
fig.3.e
I
II60 10x
( )( ) ;105.46003015090010200
;1013.41560012
60101090012
1090
;1051.13060012
10602090012
9010
45
4523
23
4623
23
mmI
mmI
mmI
zy
y
z
⋅=⋅⋅++⋅−−+=
⋅=⋅+⋅
+⋅+⋅
=
⋅=⋅+⋅
+⋅+⋅
=
( )
.264419;2
0,0
;2415702
264419;264419
;1051.11013.4
105.422
;1052.2;1067.1
;105.42
1013.41051.12
1013.41051.1
///0111
///0///0/////0/
65
3
452
461
2525656
2,1
−=>⇒<>
=+−=−=
⋅−⋅⋅⋅
=
⋅=⋅=
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅±
⋅+⋅=
απαα
παα
α
tgI
tg
mmImmI
I
zy
63
Capitolul 4
TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor Se consideră un corp / solid, supus acţiunii unor forţe oarecare, în echilibru, ca in fig.4.1a.
III I I
NN
ΔPn
n
ΔA(S)
a) b) c)
-
- -
-- t
dA
p
στ
fig.4.1 După o prealabilă secţionare în două a corpului, se îndepărtează una din părţi; pe suprafaţa S, în jurul punctului N, se va stabili un element de suprafaţă de arie ΔA, definit de versorul normalei la suprafaţă, n (fig.4.1b). Forţa de legătură, care trebuie introdusă ca urmare a secţionării corpului şi îndepărtării uneia dintre părţi, forţă care revine ariei elementare ΔA, se notează cu PΔ . Expresia:
,lim0
pAP
=A Δ
Δ→Δ
se numeşte tensiune totală, p , în punctul N. Dacă prin acelaşi punct N se face o altă secţionare, se va obţine un alt versor al suprafeţei elementare, o altă forţă de legătură corespunzătoare ariei elementare şi, prin urmare, o altă tensiune totală. Deci, tensiunea totală într-un punct este întotdeauna asociată cu versorul planului tangent la secţiunea dusă prin acel punct.
64
Se descompune tensiunea totală p , după direcţia normalei la suprafaţa n şi după direcţia conţinută în planul secţiunii, t ; cele două componente notate cu σ şi τ, sunt tensiunea normală respectiv tensiunea tangenţială, acestea satisfăcând relaţia (fig.4.1c): , 222 τσ +=psau .tnp τσ += Unitatea de măsură pentru tensiuni este [ : N/mm2 în SI. ]2−FL Tensiunea tangenţială se poate descompune după două direcţii perpendiculare pe normala la secţiune şi perpendiculare între ele (fig.4.2). Dacă aceste direcţii sunt y şi z (axele secţiunii), axa x fiind normala la secţiune, atunci componentele respective sunt τyx şi τzx; rezultă:
x (i)
z (k)
y (j)
N
τyx
τzx
σx
-
-
- fig.4.2
px
_ .kjip zxyxxx ⋅+⋅+⋅= ττσ Referitor la notaţiile privind indicii tensiunilor, sunt necesare anumite precizări, astfel:
- pentru tensiunea σ se utilizează un singur indice, care se referă la normala la secţiune;
- pentru tensiunea τ se utilizează doi indici, primul se referă la axa cu care este paralelă tensiunea, iar al doilea, la normala la secţiunea în care este conţinută tensiunea.
Convenţia semnelor este următoarea: σ este considerată pozitivă când trage de secţiune (tensiunea σ este în acest caz de întindere), iar tensiunile τ se consideră pozitive când sunt orientate în sens contrar sensului pozitiv al axelor după care acţionează.
Printr-un punct P din interiorul unui corp se pot duce numai trei plane perpendiculare între ele (fig.4.3). Pe fiecare din aceste plane există o tensiune totală p, cu trei componente; starea de tensiune spaţială într-un punct este definită de nouă componente (este o mărime tensorială). Tabloul celor nouă componente, notat cu Tσ, se numeşte tensorul tensiunilor în punctul P:
65
x
y
z
pz
py
px
σz
σx
σy
τyzτxz
τzy
τxy
τzx
τyx
P
fig.4.3
.⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Tστττστττσ
σ
Fiecare coloană a acestui tensor conţine cele trei componente ale
tensiunii totale corespunzătoare unuia din cele trei plane duse prin punctul P, definite de versorii kji ,, , astfel:
.
;
;
kjip
kjip
kjip
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
σττ
τστ
ττσ
66
4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangenţiale
Dintr-un corp solicitat se detaşează un element de volum, considerat în jurul unui punct, având laturile dx, dy, dz. Pe fiecare din feţele acestui element trebuie introduse toate tensiunile existente (câte trei componente pe fiecare faţă), putându-se scrie, astfel, ecuaţiile de echilibru pentru elementul considerat. Deoarece interesează numai ecuaţia de moment faţă de una din axe (de exemplu faţă de Oy), pe element s-au figurat numai tensiunile care intervin în această ecuaţie, neglijându-se creşterile acestor tensiuni la trecerea de la o faţă la alta a elementului (aceste creşteri reprezentând, în ecuaţia de momente, variaţii mici de ordin superior). Sensul acestor tensiuni nu se cunoaşte; se presupune că este cel ales în desen (fig.4.4), urmând ca în ecuaţiile de momente să se confirme sau nu această ipoteză.
dxdy
dz
x
y
z
τxz
τzx
τxz
τzx
fig.4.4
O
Ecuaţia de momente faţă de Oy va avea forma: ( ) ( ) .;0 zxxzzxxz dxdzdydzdydx ττττ =→=− (1) În mod similar, scriind ecuaţii de momente faţă de axele Ox şi Oz (după ce în prealabil s-au reprezentat pe feţele elementului tensiunile care intervin în aceste ecuaţii), se obţin: ;yzzy ττ = (2) şi .xyyx ττ = (3) Relaţiile (1), (2) şi (3) reprezintă legea dualităţii tensiunilor tangenţiale, care se enunţă astfel:
67
„ Pe două plane care fac între ele un unghi de 900, componentele tensiunilor tangenţiale, perpendiculare pe linia comună a celor două plane, sunt egale între ele ca mărime şi au sensurile fie convergente, fie divergente faţă de această linie” (fig.4.5).
τ τ/
fig.4.5
900
4.1.2 Relaţii de echivalenţă între eforturi şi tensiuni în secţiunea transversală a unei bare
Se consideră partea din dreapta a unei bare secţionate şi se reprezintă
eforturile din secţiune şi tensiunile într-un punct (fig.4.6).
x
z
y
Ty
Tz
NMx
Mz
My
fig.4.6
σx
τzx
τyx
dA
Echivalenţa dintre eforturi şi tensiuni se exprimă prin relaţiile (ecuaţii de proiecţii, respective de moment):
( ) .dAyM;dAzM;dAyzM
;dAT;dAT;dAN
Axz
Axy
Azxyxx
Azxz
Ayxy
Ax
∫∫∫
∫∫∫⋅=⋅=⋅+⋅−=
===
σσττ
ττσ
Tensiunile şi eforturile sunt mărimi static echivalente, ele constituind două moduri de reprezentare a forţelor interioare de pe o secţiune transversală a barei.
68
4.2 Deformaţii specifice. Tensorul deformaţiilor
4.2.1 Deformaţia specifică liniară O bară având lungimea iniţială l, în urma solicitărilor mecanice îşi modifică această dimensiune cu cantitatea Δl = l1 – l, unde Δl este deformaţia liniară totală, putând fi vorba de alungire totală sau scurtare totală (fig.4.7).
l Δl
l1fig.4.7
Raportul:
,1
lll
ll −
=Δ
=ε
se numeşte deformaţie specifică liniară şi reprezintă deformaţia unui tronson de bară de lungime egală cu unitatea; poate exista o alungire specifică, caz ăn care deformaţia se consideră pozitivă sau o scurtare specifică, în care caz deformaţia se consideră negativă. Pentru un element de volum cu laturile dx, dy şi dz, deformaţiile liniare totale după cele trei direcţii sunt Δ(dx), Δ(dy), Δ(dz), iar deformaţiile specifice liniare:
( ) ( ) ( );,,
dzdz
dydy
dxdx
zyxΔ
=Δ
=Δ
= εεε
ε reprezintă o mărime adimensională. 4.2.2 Deformaţia specifică unghiulară În urma deformaţiei unghiurile drepte ale unui corp se modifică (fig.4.8), potrivit relaţiei:
;11
abbb
abbbarctg ≈=γ
69
în care γ este deformaţia specifică unghiulară sau lunecarea, ce indică cu cât se modifică unghiul drept în urma deformării.
b b1 d d1
a c
γ γ
fig.4.8 Convenţional, se consideră deformaţia specifică unghiulară pozitivă când unghiul drept se micşorează şi negativă, când unghiul drept se măreşte. Tabloul (matricea) componentelor deformaţiei specifice, notat cu Tε, pentru un element de volum considerat în vecinătatea unui punct, se numeşte tensorul deformaţiilor, scriindu-se prin analogie cu tensorul tensiunilor:
.
21
21
21
21
21
21
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
εγγ
γεγ
γγε
ε
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor Diagrama caracteristică a oţelului. Relaţia fizică între tensiuni şi deformaţii specifice pentru diverse materiale se stabileşte pe cale experimentală, prin încercarea la diverse solicitări a unor epruvete confecţionate din materialele respective. Bunăoară încercarea la întindere pentru oţel se face pe epruvete care au forma şi dimensiunile standardizate (fig.4.9).
d0
l0
P P
fig.4.9
70
Corpul cilindric al epruvetei este cotat cu d0 – diametrul şi l0 – lungimea, măsurată între două repere suficient de depărtate de capetele epruvetei. Cu ajutorul unei maşini de încercat, epruveta se supune la întindere, forţa P aplicându-se lent. În timpul încercării, la diverse trepte de încărcare P1, P2, ..., se măsoară deformaţia liniară totală a epruvetei, Δl1, Δl2, ...; reprezentând grafic perechile de valori (P, Δl) se obţin o serie de puncte prin care se trasează diagrama încercării la întindere, diagramă care, evident, depinde de dimensiunile epruvetei (fig.4.10).
P
Δlfig.4.10
Se poate trasa însă o diagramă independentă de dimensiunile epruvetei, prin succesiunea de puncte ale căror coordonate sunt σ şi ε, cu:
;,00 ll
AP Δ
== εσ
aici A0 este aria secţiunii transversale iniţiale a epruvetei, iar l0, lungimea iniţială a acesteia. Diagrama astfel obţinută este ceea ce specialiştii numesc diagrama caracteristică sau curba caracteristică a oţelului. Încercând până la rupere o epruvetă confecţionată dintr-un oţel de construcţii (cu conţinut redus de carbon – oţel moale), se înregistrează curba caracteristică din fig.4.11. Punctele caracteristice ale unei asemenea diagrame sunt:
(1) σp – limita de proporţionalitate, respectiv valoarea tensiunii σ până la care, încărcând şi descărcând epruveta, nu se obţine nici o deformaţie remanentă.
(2) σe – limita de elasticitate, respectiv valoarea tensiunii σ la care prin descărcare se provoacă în epruvetă o deformaţie remanentă de 0,01%. Această valoare stabilită convenţional, defineşte limita de elasticitate tehnică, σ = σ0,01.
71
12
3 4M
5
6
6
M0
fig.4.11
curba reala
curba conventionala
σp
σe
σc
σr
εp εeεM
εr
σ
ε
α
/
Ο
(3) σc – limita (rezistenţa) de curgere, respectiv valoarea tensiunii la care deformaţia barei creşte fără ca încărcarea să crească. La descărcare, se constată deformaţii remanente ale epruvetei.
(5) σr – limita (rezistenţa) de rupere, măsurată prin ordonata maximă a diagramei caracteristice.
În intervalul O÷2, tensiunea σ poate fi exprimată prin relaţia: ;, Etgtg =⋅= ααεσ în care E – modul de elasticitate longitudinal. Se reţine aici legea lui Hooke (σ = E ⋅ ε), conform căreia în zona de comportare elastică a materialului, tensiunile sunt proporţionale cu deformaţiile specifice. În punctul (3) începe zona de curgere, în material producându-se un dezechilibru, o reaşezare a moleculelor, zona 3÷4 definind un aşa numit palier de curgere. Din punctul (4) începe reconsolidarea materialului, deformaţia epruvetei crescând o dată cu creşterea încărcării. Zona 4÷5 defineşte ceea ce în metalurgie poartă numele de zonă de consolidare. În fine, ruperea efectivă a materialului se produce în punctul (6).
72
Se face precizarea că diagrama caracteristică a oţelului aici reprezentată este o diagramă convenţională, deoarece ordonatele de pe această diagramă s-au obţinut raportând valoarea forţei respective la aria secţiunii iniţiale a epruvetei. În realitate, pe măsură ce forţa aplicată creşte, epruveta se alungeşte, deci îşi micşorează dimensiunile secţiunii transversale. Această micşorare este, însă, nesemnificativă până în apropierea punctului (5), când începe ştrangularea epruvetei. Pe zona ştrangulată se observă, înainte de rupere, linii (striuri) orientate la 450 faţă de axa de rupere (fig.4.12).
fig.4.12
450
Ruperea se produce, astfel, în partea centrală a secţiunii transversale a epruvetei (zonă cu aspect rugos), datorată tensiunii normale σmax, pe când în partea marginală, având unghiul de înclinare de 450, ruperea este cauzată de tensiuni tangenţiale τmax. Punctul M de pe diagrama caracteristică, punct situat pe diagramă după limita de curgere a materialului, are drept abscisă εM = εp+ εe, εp fiind deformaţia specifică plastică sau remanentă, care este o deformaţie ireversibilă după descărcare, iar εe, deformaţia specifică elastică, care este o deformaţie reversibilă. Punctul (6) de pe curba caracteristică are drept abscisă deformaţia specifică liniară la rupere. Această deformaţie se măsoară după ruperea epruvetei, deci de fapt se măsoară numai deformaţia specifică remanentă. Pe diagramă, abscisa punctului (6) se obţine printr-o paralelă la dreapta O÷1; εr reprezintă deformaţia specifică liniară la rupere a materialului. Informativ, pentru epruvete din OL37, valorile caracteristice sunt:
%.2826%;/101.2
;/200
;/240210
;/450370
25
2
2
2
÷=⋅=
=≈
÷=
÷=
r
pe
c
r
mmN
mmN
mmN
mmN
σ
Eε
σ
σ
σ
73
Pentru materialele casante, a căror diagramă caracteristică este trasată în figura 4.13 (diagramă fără palier de curgere), se defineşte σ0,2 – limita tehnică de curgere, ce reprezintă, convenţional, valoarea tensiunii pentru care, la descărcare, deformaţia specifică este de 0,2%.
σ
ε
0.2%
σ0.2
fig.4.13 Încercarea la compresiune pentru oţel se realizează pe epruvete de formă cilindrică cu înălţimea egală cu diametrul, şi în acest caz datele fiind standardizate. Diagramele caracteristice la compresiune se trasează de obicei pe aceeaşi diagramă cu diagrama caracteristică la întindere. În zona de compresiune elastică cele două diagrame sunt identic antisimetrice (fig.4.14).
fig.4.14
σ
εΟ
−ε
−σ
74
Diagrama caracteristică la întindere este o diagramă convenţională, pe când diagrama caracteristică la compresiune este o diagramă reală. Ruperea oţelurilor solicitate la compresiune se realizează numai în cazul oţelurilor casante (epruvetele se sparg); în cazul oţelurilor ductile, epruvetele se turtesc, fără a se rupe. Încercarea la torsiune pentru oţel se efectuează pe epruvete tubulare cu grosimea peretelui mică. Diagrama caracteristică la torsiune este similară cu diagrama caracteristică la întindere, pe baza ei obţinându-se graficul funcţiei τ = f(γ) (fig.4.15).
fig.4.15Ο
β
γ
τ
τr
τc
τe
τp
Până la limita de proporţionalitate (τp), practic până la limita de elasticitate (τe), este valabilă legea lui Hooke - τ = γ⋅G; G = tgβ, reprezintă modulul de elasticitate transversal ( la OL37, G = 8,1⋅104 N/mm2).
4.4 Diagrame caracteristice schematizate Diagramele caracteristice obţinute pe cale experimentală pentru diverse materiale, nu se recomandă a fi utilizate în calculele de proiectare, aceasta impunând reevaluări pentru schematizarea lor. Astfel, pentru materialele casante se adoptă o diagramă corespunzătoare unui material având o comportare ideal elastică. Diagrama
75
este reprezentată până la limita de rupere printr-o dreaptă a cărei pantă este E = tgα (fig.4.16).
σ
σr
α
εrε
fig.4.16
Ο
Pentru materialele ductile se adoptă diagrama Prandtl corespunzătoare unui material ideal elasto-plastic, în care caz până la limita de curgere materialul are o comportare ideal elastică (dreapte 0÷1 de pantă E = tgα) iar apoi o comportare ideal plastică (dreapta 1÷2, paralelă cu axa Oε), ca în fig.4.17.
σ
σc
αε
fig.4.17
Ο
1 2
De menţionat că pentru materialele ductile se mai adoptă uneori o diagramă corespunzătoare unui material elasto-plastic cu consolidare, iar în
76
ceea ce priveşte cele două drepte prin care se prezintă cele două moduri de comportare a materialului (elastic, respectiv, plastic), acestea au pante diferite (E = tgα; E1 = tgβ; E1< E), vezi fig.4.18.
σ
σc
αε
fig.4.18
Ο
12
β
77
Capitolul 5
SOLICITAREA AXIALĂ CENTRICĂ
5.1 Forţa axială. Tensiuni de întindere – compresiune Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă supusă acţiunii unui sistem de două forţe P egale şi de sens contrar, aplicate la capetele barei, în lungul axei longitudinale a acesteia. Secţionând bara cu un plan normal pe axă, în secţiunea transversală apare o forţă axială N = P. Se spune că secţiunea transversală este solicitată axial.
P P
PP N N
x
x
fig.5.1 Solicitarea axială este de întindere dacă forţele trag de bară (fig.5.1) sau de compresiune când forţele converg spre bară (fig.5.2).
P P
fig.5.2 În vederea determinării mărimii şi legii de distribuţie a tensiunilor, problema comportă următoarele aspecte:
78
Aspectul geometric Dacă pe bară se marchează conturul unei secţiuni transversale, se constată că după încărcare, conturul se deplasează paralel cu el însuşi; alungirile şi, corespunzător alungirile specifice sunt constante pe contur (fig.5.3).
x
x ul Δl
NN
fig.5.3 Este normal ca să se admită că, în interiorul barei, deformaţiile sunt egale (este valabilă ipoteza secţiunilor plane). Aspectul fizic Dacă în secţiunea x, în toate punctele secţiunii transversale, u = ct. şi ε = ct., din legea lui Hooke rezultă că şi tensiunile normale sunt constante, deci se distribuie uniform pe secţiune, adică: .ctE =⋅= εσ Aspectul static Se ştie că (fig.5.4): ,AdAdAN
A A
⋅=== ∫ ∫ σσσ
ceea ce implică faptul că tensiunea normală se distribuie uniform pe secţiune cu intensitatea σ = Ν/Α.
A
N
dAσ
x
fig.5.4
79
5.2 Deformaţii şi deplasări Conform legii lui Hooke, alungirea sau scurtarea specifică se calculează cu relaţia:
.EAN
ANdar
E=⇒== εσσε
O bară având modulul de elasticitate longitudinal E = ct. şi aria A = ct., de lungime l, se va alungi sub acţiunea unei forţe de întindere N cu:
;EA
lNll =⋅= εΔ
produsul E⋅A se numeşte rigiditate la întindere sau compresiune. Dacă se pune problema determinării deplasării unui punct oarecare al barei solicitate axial, chestiunea se reduce la calculul unei alungiri sau scurtări (după cum forţa axială este de întindere sau compresiune). Fie cazul unei bare solicitate axial ca în figura 5.5:
H =NA NA C C B
x uC
l Δl
/
fig.5.5 Pentru punctul C, deplasarea CC/ va fi:
.EA
xNu ⋅= C
5.3 Dimensionarea, verificarea, forţa capabilă Se pleacă de la relaţia de calcul a tensiunii normale σ, în cazul solicitării axiale:
.AN
=σ
80
Verificarea Se dau secţiunea efectivă a barei Aef şi forţa axială suportată de aceasta; se cere verificarea barei cunoscând rezistenţa admisibilă σa sau rezistenţa de calcul R, astfel:
;maxmax a
ef
efef
AN σσ ≤= prin metoda rezistenţelor admisibile
sau
;maxmax R
AN
ef
efef ≤=σ prin metoda stărilor limită.
Dimensionarea Se cere să se dimensioneze secţiunea cunoscându-se forţa axială suportată de bară şi rezistenţa admisibilă (rezistenţa de calcul); se obţin relaţiile:
;max
a
ef
necNAσ
= prin metoda rezistenţelor admisibile,
respectiv,
;max
RN
Aef
nec = prin metoda stărilor limită.
Forţa capabilă Cunoscând secţiunea barei şi rezistenţa admisibilă (rezistenţa de calcul), se calculează forţa capabilă: ;aefcap AN σ⋅= prin metoda rezistenţelor admisibile şi ;RAN efcap ⋅= prin metoda stărilor limită. Uneori sunt impuse condiţii restrictive cu privire la deformaţii; relaţia de verificare în acest caz este de forma:
( ) ;max al Δ≤Δ cu Δa – deformaţia admisibilă a barei.
5.4 Bare cu secţiune variabilă solicitate la întindere Există cazuri când secţiunea barei este slăbită de găuri sau crestături practicate din motive de ordin funcţional sau constructive. Neglijând concentrările de tensiuni care apar datorită acestor slăbiri locale, se va lucra cu secţiunea efectivă a barei. Secţiunea întregă neslăbită (Abr) este denumită secţiune brută, secţiunea slăbită (Anet) secţiune netă, iar aria slăbirii ΔA.
81
Relaţia de legătură va fi, evident: .AAbrnetA Δ−= Se ilustrează în figura 5.6 situaţia în care secţiunea variază datorită prezenţei găurilor de nit în secţiune:
d
bN
NN
N
tt
fig.5.6 Secţiunea cea mai mică dintre secţiunile slăbite este secţiunea netă; aceasta fiind secţiunea periculoasă, în această secţiune vor fi făcute calculele de rezistenţă. În cazul ales, pentru o platbandă (fig.5.6): .2 dttbnetA ⋅−⋅=
5.5 Calculul barelor întinse ţinând seama de greutatea proprie În cazul barelor foarte lungi sau cu secţiune mare comparativ cu lungimea, trebuie luată în considerare şi greutatea proprie a barei. Fie o bară cu A aria secţiunii transversale şi γ greutatea specifică a materialului (fig.5.7); astfel, se calculează:
( )
;;.
;
max lqPNNctAq
xlqPN
B
x
⋅+===⋅=
−+=γ
.
;
;
lPA
lAPA
lAPNA
anec
necanec
a
nec
a
Bnec
⋅−=
⋅⋅+=⋅
⋅⋅+==
γσ
γσσ
γσ
82
N = P + AlB γ
N = PA
N
fig.5.7
l
x
q
P
A
B
Barele la care tensiunile maxime
fig.5.8P
sunt egale cu σa în toate secţiunile se numesc bare de egală rezistenţă, ele constituind şi cazul cel mai favorabil pentru opţiuni tehnologice,(fig.5.8), realizarea practică necesitând, însă, foarte multă manoperă. Soluţia este o bară cu secţiunea variind descrescă- tor, în trepte, fiecare porţiune având un anumit diametru (fig.5.9). O ase- menea figură compusă se întâlneşte, de exemplu, în construcţia braţului unor tipuri de macarale sau alte utilaje specifice domeniului de construcţii.
A3
A2
A1
l3
l2
l1
N = N + G3 2 3
N = N + G2 1 2
N = F + G1 1
F
N
F fig.5.9
83
Potrivit acestei configurări, se fac următoarele determinări:
( )( )
( )( )( ).
;
;
332211
2
33
23
221122
12
111
lllF
lNA
llF
lNA
lFA
aaa
a
a
aa
a
a
a
γσγσγσσ
γσ
γσγσσ
γσ
γσ
−−−=
−=
−−=
−=
−=
Deformaţii Alungirea specifică a elementului de lungime dx considerat, conform relaţiei de definiţie, este:
;dxdx
xΔ
=ε
din legea lui Hooke:
;dxE
dxdxdxE x
xσσ =Δ⇒
Δ=
dar .1 dxxAP
Edxx
AP
x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Δ⇒+= γγσ
Integrând pe lungimea l, se obţine alungirea totală a barei:
;
211
;2
11 2
00
lAlPEA
l
llAP
Edxx
AP
Edxl
ll
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Δ=Δ ∫∫
γ
γγ
cu notaţia .211 lGP
EAlAlG ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Δ⇒= γ
5.6 Sisteme static nedeterminate la forţe axiale Un sistem este static nedeterminat când numărul necunoscutelor depăşeşte numărul ecuaţiilor de echilibru. Pentru rezolvare se foloseşte metoda compatibilităţii geometrice a deplasărilor: se scriu ecuaţiile de echilibru static, care se completează cu numărul de condiţii de compatibilitate geometrică a deplasărilor, egal cu gradul de nedeterminare statică.
84
5.6.1 Bare cu secţiuni neomogene Dacă bara are secţiunea constantă şi omogenă atunci tensiunea este constantă în secţiune. În practică se folosesc însă, cel mai adesea, bare cu secţiuni neomogene, în sensul că secţiunea acestora este compusă din două sau mai multe materiale cu caracteristici mecanice diferite. Este cazul stâlpilor de beton cu armături de oţel sau al cablurilor de cupru cu inimă de oţel. Se pune problema determinării modului de repartizare a tensiunilor într-o astfel de secţiune dacă se cunoaşte forţa axială aplicată întregii secţiuni. Solicitarea produce în cele două materiale din secţiune tensiuni σ de valori diferite. Fie cazul barei din fig.5.10, cu secţiunea constantă, alcătuită din două materiale diferite (acestora corepunzându-le modulele de elasticitate E1 şi E2), cu ariile secţiunilor transversale A1 şi A2; bara este solicitată axial de forţa F.
F F
N1
N2
F
E , A1 1
E , A2 2
fig.5.10 Dacă N1 şi N2 sunt forţele axiale preluate de cele două materiale, din condiţia de echilibru static se poate scrie: .21 NNF += Întrucât cele două materiale sunt solidarizate între ele, deformaţia va fi aceeaşi pentru fiecare material; aceasta reprezintă condiţia de compatibilitate geometrică (de deformaţie), astfel: ;21 lll Δ=Δ=Δ
85
;;22
22
11
11 AE
lNlAElNl =Δ=Δ
sau
.22112211
21
22
2
11
1
AEAEF
AEAENN
AEN
AEN
+=
++
==
Tensiunile în cele două materiale vor fi:
.
;
2
1
2
2
22
2
1
1
1
11
a
iii
a
iii
AE
EFAN
AE
EFAN
σσ
σσ
≤==
≤==
∑
∑
=
=
5.6.2 Bară dublu articulată Se consideră o bară dreaptă, de rigiditate EA, articulată la ambele capete şi încărcată cu forţa P de-a lungul axei în punctul M (fig.5.11). Se pune problema determinării reacţiunilor HA şi HB din articulaţii.
HA A M P B HB
a b
lHA
HB
N
fig.5.11
+
-
Pentru aceasta, se pleacă de la ecuaţia de echilibru static. ,0=−+ PHBAH ecuaţie cu două necunoscute, căreia îi vom asocia ecuaţia suplimentară de
86
deformaţie: Δl = 0 (bara fiind articulată la ambele capete). Se obţine:
( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅
=⋅−
+⋅
.0
;0
bHaHEA
bPHEA
aH
BA
AA
Prin rezolvarea sistemului, se ajunge la:
.
;
laP
baaP
lbP
babP
B
A
=H
H
+=
=+
=
5.6.3 Sistem de bare paralele Se consideră o bară AB (fig.5.12), de rigiditate infinită la încovoiere (îşi păstrează forma rectilinie în urma solicitărilor), suspendată, în poziţie orizontală, cu ajutorul a trei bare subţiri, verticale, de lungime l şi rigidităţi E1A1, E2A2, E3A3. Sub acţiunea forţei verticale P, bara AB se deplasează pe verticală, înclinându-se cu unghiul α. Se pune problema determinării eforturilor în bare. Se presupune că, pentru deformaţii mici, punctele A, C, B se deplasează pe verticală.
l a bE A1 1 E A2 2 E A3 3
N1 N2 N3
Δl1Δl2
Δl3
c
P
A C B
A
CB
α
α/
//
fig.5.12 Fie N1, N2 şi N3 eforturile în barele verticale, astfel încât se pot scrie următoarele ecuaţii de echilibru:
87
- o ecuaţie de proiecţii pe verticală: N1 + N2 + N3 = P; (1) - o ecuaţie de momente, de exemplu în raport cu C: N1⋅a – N3⋅b + P⋅c = 0.(2) Sistemul este o dată static nedeterminat; relaţia suplimentară se obţine prin exprimarea faptului că, datorită rigidităţii perfecte a barei orizontale, punctele A, C şi B rămân, după alungirea barelor, pe aceeaşi dreaptă, ajungând în poziţiile finale A/, C/ şi B/. Din asemănări de triunghiuri, vom avea:
;2312
bll
all Δ−Δ
=Δ−Δ
(3)
în care:
.;;33
33
22
22
11
11 AE
lNlAElNl
AElNl =Δ=Δ=Δ
Prin rezolvarea sistemului format din ecuaţiile (1), (2) şi (3) se determină forţele axiale N1, N2 şi N3 din cele trei bare verticale, după care se poate face verificarea acestora:
.;;3
33
2
22
1
11 aaa A
NAN
AN σσσσσσ ≤=≤=≤=
5.6.4 Sistem de bare articulate concurente Fie un sistem de bare concurente DA, DC şi DB, acţionate de forţa verticală P aplicată în punctul D (fig.5.13). Sistemul este simetric din punct de vedere geometric şi mecanic; barele AD şi BD au lungimea l2 şi rigiditatea E2A2, iar bara CD are rigiditatea E1A1 şi lungimea l1. Se cer eforturile din bare. Din ecuaţia de proiecţii pe orizontală rezultă că forţa axială din bara AD este egală cu cea din bara DB, încât se poate scrie: (1) ,0cos2;0 12 =−+=∑ PNNY αsistemul fiind o dată static nedeterminat. Pentru scrierea ecuaţiei de compatibilitate geometrică, se vor examina deformaţiile sistemului; fie Δl1 alungirea barei centrale sub acţiunea efortului N1 şi Δl2 alungirea barelor laterale sub acţiunea eforturilor N2. Cum alungirile sunt foarte mici în raport cu lungimile iniţiale, se poate face aproximaţia α1 = α, astfel că: ;cos12 αll Δ=Δ (2)
88
A C B
E A2 2 E A2 2E A1 1
N2 N2
N1
α α
α1 α1
PD
D1
Δl1
Δl2
P
l1l2 l2
fig.5.13 dar:
.cos;; 2122
222
11
111 αll
AElNl
AElNl ==Δ=Δ
Relaţia (2) devine:
.cos2
11
11
22
22 α⋅=AElN
AElN
(2/)
Prin rezolvarea sistemului format din ecuaţiile (1) şi (2/) se determină eforturile dorite. 5.7 Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate În cazul în care barele sunt supuse la variaţii de temperatură, se produc deformaţii liniare. Pentru o bară de lungime l, materialul din care este confecţionată având coeficientul de dilatare termică α, pentru o creştere de temperatură Δt = t1 – t0, în care t0 este temperatura la care bara are lungimea l, are loc o alungire Δl: .tll Δ⋅⋅=Δ α Cănd deformaţia nu este împiedicată, nu apar solicitări suplimentare (fig.5.14); dacă deformaţia (dilatare sau contracţie) este împiedicată, apar eforturi axiale în secţiunea barei, eforturi care au tocmai rolul de a împiedica deformaţia în discuţie.
89
l
l
Δl
Δl
Δt > 0
Δt > 0
fig.5.14 Fie cazul barei de rigiditate constantă EA, de lungime l, încastrată la extremităţi în doi pereţi rigizi (fig.5.15). Prin încălzire cu gradientul de temperatură Δt, bara se va alungi cu Δl = α⋅l⋅Δt. Pereţii se vor opune dilatării, ceea ce va duce la apariţia unei forţe axiale de compresiune, N.
l
EA
Δt > 0
l Δl
N N
fig.5.15 Condiţia de deformabilitate a barei este: alungirea barei datorată încălzirii, minus scurtarea datorată forţei axiale de compresiune (N), reprezintă deformaţia totală, care pentru cazul de faţă este nulă, astfel:
;0=⋅
−Δ⋅⋅=AElNtlltot αΔ
rezultă:
.
;
tEAN
tEAN
Δ==
Δ=
ασ
α
90
Dacă la un capăt al barei există un joc tehnologic cunoscut, numit „rost de dilatare”- de mărime δ, bilanţul deformaţiilor se exprimă:
;δα =⋅
−Δ⋅⋅=AElNtlltotΔ
de unde rezultă valoarea forţei, N, respectiv valoarea tensiunii normale σ. În cazul barei alcătuite din porţiuni cu rigidităţi diferite (fig.5.16), condiţia de deformaţie este asemănătoare:
,022
2
11
12211 =
⋅⋅
−⋅⋅
−Δ⋅⋅+Δ⋅⋅=ΔAElN
AElNtltlltot αα
de unde rezultă valoarea forţei de compresiune N.
l1 l2
E , A , 1 1 α1
E , A , 2 2 α2
N NΔt > 0
fig.5.16 Pentru anumite valori ale forţei axiale de compresiune, bara îşi pierde stabilitatea. Pentru a reduce eforturile datorate variaţiei de temperatură, sistemele se prevăd cu compensatori de dilataţie (fig.5.17). Valoarea coeficientului α pentru oţel este: α = 12⋅10-6.
fig.5.17
5.8 Efectul inexactităţii de execuţie şi montaj în sistemele articulate static nedeterminate
La confecţionarea elementelor sunt posibile mici abateri de la dimensiunile stabilite în proiect. Dacă barele cu asemenea erori de execuţie se montează într-un sistem static nedeterminat, acestea induc în sistem eforturi suplimentare, numite eforturi iniţiale, iar tensiunile corespunzătoare,
91
tensiuni iniţiale. Ca aplicaţie, se va descrie modul de evaluare al acestor tensiuni iniţiale pe sistemul de bare articulate din figura 5.18, la care se presupune că bara OB a fost executată mai lungă cu segmentul de lungime egală cu λ:
A AB
N2 N2
N1
α α
Δl1
Δl2
l1
fig.5.18
O
O/
/
δ
O //
λ
EA2EA1
EA2
Pentru a fi posibilă montarea barei OB în sistem, va trebui recurs la un efort de scurtare a ei cu segmentul λ, respectiv, la aplicarea unei forţe exterioare. După motaj, înlăturând forţa care a comprimat bara OB, aceasta va tinde să revină la lungimea iniţială, dar va fi împiedicată parţial de barele OA şi OA/. Nodul O se va deplasa în O/, antrenând şi barele OA şi OA/ care se vor alungi corespunzător. În această situaţie vor exista eforturi în barele sistemului. Din condiţia de echilibru a nodului O, rezultă: ;0cos2 21 =− αNN (1) ecuaţia de deformaţie este: ;;cos 12 ll Δ−=⋅=Δ λδαδ (2) dar
.cos
;2
12
2
222
1
111 αAE
lNAE
lNlAElNl ⋅
=⋅
=Δ⋅
=Δ
Rezolvând sistemul alcătuit din ecuaţiile (1) şi (2) rezultă valorile eforturilor axiale N1 şi N2.
92
Problema 5.a Să se dimensioneze bara din figura 5a şi să se calculeze deplasarea totală a capătului liber sub acţiunea încărcărilor; se cunosc: σa = 160 N/mm2, E = 2,1⋅105 N/mm2.
1.2m
0.8m240kN
120kN
d1
d2
A
B
C
360
120
N [kN] fig.5a
+
Bara fiind solicitată axial, condiţia de dimensionare este:
;max
anec
Nσ
=A
secţiunea fiind circulară:
,;4 dim
2
dim necAAd==
πA
astfel, pe zona AB:
,319.30120
;4
2
22
dim22
mmmmdkNN
dA
NA
AB
a
ABnec
≅=→=
===π
σ
iar pe zona BC:
.545.53360
;4
1
21
dim11
mmmmdkNN
dANA
BC
a
BCnec
≅=→=
===π
σ
Deplasarea totală a capătului liber este:
.695.0
;
431101.2
80010120
454101.2
120010362
5
3
25
3
12
mml
AElN
AElNl BCBCABAB
=Δ
⋅⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅=
⋅+
⋅=Δ
ππ
93
Problema 5.b Un stâlp prismatic de zidărie este solicitat la compresiune (fig.5b). Să se determine volumul stâlpului, cunoscându-se: P = 270 kN, l = 12 m, γ = 1600 daN/m3, σa = 1 N/mm2.
P
l/2
l/2
A1
A2
fig.5.b
Ţinându-se seama de greutatea proprie a stâlpului pe cele două tronsoane de arii diferite, dimensionarea se va face cu relaţiile:
;1031.3
10610
160001
108.2810270
2
;103106
10160001
10270
225
39
331
2
25
39
3
1
mmlGPA
mmlPA
a
nec
a
nec
⋅=⋅⋅−
⋅+⋅=
⋅−
+=
⋅=⋅⋅−
⋅=
⋅−=
γσ
γσ
în care:
.2880010
16000108.1
;108.1106103
,2
;
99
1
39351
1111
NG
mmV
lAVVG
=⋅⋅=
⋅=⋅⋅⋅=
⋅=⋅= γ
Volumul stâlpului va fi: V ,21 VV += cu V1 şi V2 volumul celor două tronsoane de stâlp, astfel:
.786.3
;10986.11061031.32
3
393522
mV
mmlAV
=
⋅=⋅⋅⋅=⋅=
94
Problema 5.c Să se determine tensiunile din barele BB1 şi DD1; se consideră
giditatea barei AD, infinită (fig.5c). ri
B1 D1
20mm 20mm l
NB ND
A B C D
150kNΔlBB1
ΔlDD1
1m 1m 2m
fig.5c
B D//
Deplasările punctelor B şi D în poziţiile B/ şi D/ se consideră a fi efectuate pe verticală (deplasările fiind neglijabile în raport cu lungimile
e în raport cu punctul A einiţiale ale barelor). Ecuaţia de moment ste: 21501BN DN ;04 =⋅+⋅−⋅ (1)
tării acestuia de către forţa de 150 kN; din asemănarea triunghiurilor rezultă:
sistemul este o dată static nedeterminat. Ecuaţia de compatibilitate geometrică se determină considerând sistemul în urma solici
;41
11 DDBB ll Δ=
Δ
în care:
.;11 AE
lNlAE
lNl DDD
BBB
⋅=Δ
⋅=Δ
Astfel, rezultă:
95
.DN=
4BN (2)
sistemului format din ecuaţiile (1) şi (2), rezultă: Prin rezolvarea
,59.70;65.17 kNNkNN DB == iar tensiunile vor fi:
./8.224
;/2.56
2
2
mmNA
N
mmNA
N
DD
BB
==
==
σ
σ
Problema 5.d Să se verifice condiţia de rezistenţă pentru bara dublu articulată olicitată ca în figura 5d. Secţiunea barei este inelară cu d/D = 0,8; σa = 100
N/mm2. Rigiditatea barei (E⋅A), este constantă pe toată deschiderea.
s
HA A 175kN 50kN B HB x
1500 2000mm 1500
107.5
67.5
17.5N [kN]
+
-
fig.5d
lă, rezultă:
ul este o dată static nedeterminat. Ecuaţia de compatibilitate geometrică care se ataşează, este:
Din ecuaţia de proiecţii pe orizonta ;050175;0 =++−=∑ BHHX A
sistem
( ) ( ) ;015005017520001751500=
⋅− ⋅ − +0 ++⋅
AEH
AEHH AAA →=Δl AE
96
astfel, rezultă: H .5.107 kNA = Se trasează diagrama de forsolicitarea axială este:
ţe axiale; condiţia de rezistenţă la
; max
max AN
σ = aef
σ≤
kNNîn care 5.107max = . În acest caz:
( )
./100/87.928.0164
4
105.107 22
22
3
max ammNmmN σπσ =<=−
⋅=
97
Capitolul 6
FORFECAREA
6.1 Generalităţi O secţiune transversală a unei bare este supusă la solicitarea prin
ste aceea de lunecare a celor două jumătăţi de bară, în planul de separaţie al forţelor transversale. Bara lucrează, astfel, la forfecare sau, la tăiere.
forfecare dacă efectul rezultant al forţelor de pe feţele exterioare se va reduce la un singur efort, forţa tăietoare T, efort cuprins în planul secţiunii. Se poate considera o bară dreaptă solicitată de către două forţe transversale egale, de sens contrar şi foarte apropiate una de alta (fig.6.1); tendinţa de deformare e
T
T
ε
fig.6.1 Distanţa ε dintre cele două forţe tăietoare T fiind foarte mică, efectul acesteia are un caracter localizat.
98
În fapt, forţele tăietoare nu apar izolat, ci însoţesc întotdeauna momentele încovoietoare (de altfel, cazul va fi studiat separat). În situaţii ca cea reprezentată în figura 6.1, momentul încovoietor este
în considerare
implificatoare şi aproximaţii de calcul. Se vor avea în vedere, de
care se determină valoarea tensiunii τ ste τ = T/A, aceasta constituind formula de bază în calculul simplificat la rfecare al pieselor de secţiuni mici.
considerat nul sau are valori neglijabile, rămânând a fi luatdoar efectul forţei tăietoare. Forţa tăietoare produce tensiunea τ în planul secţiunii. În studiul ce urmează va fi luat în considerare cazul pieselor cu secţiuni transversale mici, supuse la forfecare, situaţie în care pot fi admise ipoteze sasemenea, tipurile uzuale de îmbinări ale barelor, prin nituire, înşurubare sau sudură. Astfel, se admite aici ipoteza distribuţiei uniforme a tensiunilor tangenţiale τ pe întreaga suprafaţă a secţiunii. În această ipoteză, formula cu efo 6.2 Probleme de forfecare la îmbinările nituite Din raţiuni de ordin practic, rânduirea niturilor necesare realizării îmbinării se face respectând anumite reguli privind distanţa dintre două ituri vecine, precum şi depărtarea minimă faţă de marginile pieselor;
conform marcărilor din figura 6.2, aceste distanţe recomandate sunt:
n
e3
e1
e1
e3
3d e 8d3d e1 8d2d e2 4d
1.5d e3 4d
e2 e e fig.6.2 Numărul de nituri necesar îmbinărilor de rezistenţă, pentru bare solicitate axial, se stabileşte astfel încât transmiterea forţei axiale să se facă
99
în bune condiţii. Pentru aceasta se introduce noţiunea de rezistenţă a nitului, notată cu R , pornind de la o îmbinare teoretică, cu un singur nit. Forţa axială maximă pe care o poate transmite o astfel de îmbinare reprezintă tocmai
le, cu mai multe nituri.
a nituită, iar R rezistenţa unui
N, care olicită îmbinarea, piesele au tendinţa de a luneca una faţă de alta, prin
urmare nitul se poate distruge (prin forfecarea tijei sau prin strivire).
ceea ce am denumit rezistenţa nitului. Este etalonul cu care se poate aprecia capacitatea de rezistenţă a îmbinărilor rea Se admite, în cazul barei solicitată axial centric, repartizarea uniformă a încărcării la toate niturile. Dacă N este forţa axială pentru îmbinaresingur nit, numărul necesar de nituri va fi: n = N/R (valoarea rezultată se rotunjeşte la numărul întreg imediat următor). Pentru a stabili rezistenţa nitului se va considera cazul unui nit folosit la o îmbinare simplă a două piese (fig.6.3). Sub acţiunea forţei axiales
forfecare
strivire
N
N
fig.6.3 6.2.1 Forfecarea niturilor Cu referire la îmbinarea a două piese, distrugerea niturilor se poate datora forfecării unei secţiuni, aria secţiunii de forfecare fiind: Af = π ⋅d2/4. Evident, o îmbinare de tipul celei ilustrate de fig.6.4 nu este
comandabilă, aceasta prezentând dezavantajul de a introduce o xcentricitate, t, la transmiterea forţei axiale N de la o piesă la cealaltă.
ree
100
t tNN
O sectiune de forfecare
fig.6.4 În ceea ce priveşte îmbinarea a trei piese, ca în figura 6.5, distrugerea niturilor se poate produce prin forfecarea concomitentă a două secţiuni având: Af = 2⋅πd2/4.
N N
Doua sectiuni de forfecare
fig.6.5 Cunoscând rezistenţa admisibilă şi diametrul nitului, efortul capabil al unui nit supus la forfecare este: Rf = Af ⋅τaf ; s-a determinat experimental relaţia: τaf = 0,8σa. 6.2.2 Strivirea niturilor (presiunea pe pereţii găurii) În practică, distribuirea presiunilor pe pereţii găurii într-o piesă este neuniformă, în calcule însă, se admite faptul că presiunile se distribuie uniform pe o secţiune diametrală (fig.6.6).
σstr
fig.6.6
101
Aria de suport a presiunii pe pereţii găurii, în cazul îmbinării a două piese de grosimi t şi t1 > t (fig.6.7), este:
t ( ) .,min;
1min
min
ttttdstr
==A ⋅=
N
Nt
t1
fig.6.7 Dacă se îmbină mai multe elemente, aria pe care se exercită în mod convenţional presiunea pe gaură este: ( ),,min; /// ∑∑∑∑ =⋅= ttttdAstr
în care , reprezintă suma grosimilor pieselor care „lucrează” în fiecare direcţie a îmbinării.
∑∑ /// , tt
Rezistenţa admisibilă, determinată experimental, este σa str = 2σa, iar efortul capabil al unui nit la strivire este Rstr = σa st r⋅Astr. Rezistenţa nitului, R, va fi cea mai mică valoare dintre Rf şi Rstr: ( ).;min strf RRR = În principiu, la orice îmbinare, efortul trebuie să rămână centrat, altfel apar solicitări suplimentare de încovoiere. 6.3 Îmbinări cu şuruburi În construcţii metalice se utilizează o prindere rapidă şi reversibilă, cu ajutorul şuruburilor. Calculul îmbinărilor cu şuruburi este asemănător cu cel al îmbinărilor nituite, atât pentru determinarea rezistenţei la forfecare cât şi pentru strivire pe pereţii găurii; în calcul se va lua diametrul tijei şurubului.
102
6.4 Îmbinări sudate Sudurile se clasifică după poziţia cordoanelor în raport cu piesele pe care le îmbină în: suduri cap la cap (în adâncime) şi suduri de colţ (în relief). Sudura cap la cap se execută prin alăturarea suprafeţelor de contact şi adăugarea între acestea a materialului de lipit. Sudura de colţ se execută în cazul pieselor suprapuse sau care fac un unghi oarecare între ele. După poziţia sudurii faţă de direcţia solicitării, se deosebesc (fig.6.8):
- suduri frontale (aşezate transversal pe direcţia solicitării); - suduri laterale (paralele cu direcţia solicitării).
N N
Cordon lateral
Cordon frontal
fig.6.8 6.4.1 Calculul sudurilor de colţ Experimental, se constată că sudurile de colţ se rup prin forfecare în planul bisector (plan la 450) al cordonului de sudură, prin depăşirea valorilor tensiunilor tangenţiale de rupere ale materialului sudurii. Elementele de calcul caracteristice sunt grosimea şi lungimea cordonului de sudură (fig.6.9).
450
ls
a
fig.6.9
103
Grosimea de calcul a cordonului de sudură, notată cu a, se consideră egală cu înălţimea triunghiului isoscel înscris în secţiunea transversală a sudurii. Grosimea recomandabilă se va lua a = 0,7t, cu t – grosimea piesei celei mai subţiri care se sudează; excepţia o constituie profilele cornier, pentru care a = 0,85t. Pentru sudurile de rezistenţă, grosimea minimă, amin, este de 3 ÷ 4mm. Lungimea de calcul, notată cu l, rezultă din lungimea efectivă a cordonului, ls, prin scăderea zonelor de la capetele acestuia, unde sudura nu este suficient pătrunsă în materialul de bază, zonă ce se consideră de o lungime egală cu a la ambele capete (fig.6.10).
ls
l aa
fig.6.10 Astfel: ( ) .60;40.min,6;2 almmalall s ≤≥−= Considerând distribuţia uniformă a tensiunilor tangenţiale pe planul bisector de forfecare al cordonului de sudură şi ţinând seama că forţa tăietoare, care tinde să foarfece îmbinarea sudată, este egală cu forţa axială N, condiţia de rezistenţă a sudurii devine:
;sa
iii
s laN ττ ≤
⋅=
∑ prin metoda rezistenţelor admisibile,
;sf
iii
s Rla
N≤
⋅=
∑τ prin metoda stărilor limită,
unde este suma ariilor secţiunilor tuturor cordoanelor de sudură ce
participă la transmiterea forţei N; s-a determinat experimental τa s = 0,65σa.
∑ ⋅i
ii la
Dimensionarea unei îmbinări sudate se face respectând următoarele principii:
104
• Principiul centrării efortului – adică eforturile N1 şi N2, prin care cele două cordoane transmit efortul axial din bară la guseu, trebuie să aibă suportul rezultantei suprapus peste N.
• Optimizarea îmbinării în sensul ca aceasta să fie cât mai scurtă (grosimea cordonului de sudură cât mai mare).
Dimensionarea revine, de obicei, la determinarea lungimii cordonului de sudură, grosimea a fiind în funcţie de grosimea pieselor.
În cazul prinderii de guseu a unui profil metalic (cornier, de exemplu), pentru centrare, cordoanele de sudură se iau de lungimi diferite, astfel ca rezultanta eforturilor N1 şi N2 din cele două cordoane să treacă prin centrul de greutate al cornierului (fig.6.11).
l1
N1
N2
l2
e
bN
t2
t
a = 0.85t1
a = 0.7t2
fig.6.11 Ecuaţiile de echilibru sunt:
( ) .0;0
,;0
21
21
=−−⋅=
=+=
∑∑
ebNeNM
NNNX
i
i
Rezultă:
.
;
222
111
as
as
labeN
lab
ebN
τ
τ
⋅⋅≤⋅=
⋅⋅≤
N
N −⋅=
Lungimile cordoanelor de calcul corespunzătoare sunt:
( ) .;
22
11
11 ba
eNlba
ebNa
Nlasasas ⋅⋅
⋅=
⋅⋅−
=⋅
=τττ
Lungimile efective de sudat sunt:
105
.2
;2
22
11
al
al
s
s
+=2
1
l
l +=
Problema 6.a Pentru sistemul de bare încărcat ca în figura 6a, să se traseze diagramele de efort; să se verifice bara CD; să se verifice îmbinarea din C. Se cunoaşte σa = 160N/mm2; bara CD este alcătuită din două platbande 86x10, iar prinderea în nodul C se face cu un bulon φ30mm.
V = 173.33kND
H = 0D
1m260kN
H = 0A
V = 86.67kNA
A B C
D
2m 1m
φ30
bara CD(86x10)
25
bara AC
N T M[kN] [kN] [kNm]
fig.6a
++
-
+
173.33
86.67
173.33 173.33
Verificarea barei CD Bara CD este solicitată axial; condiţia de rezistenţă este:
;max aCDef
CDCDef A
N σ≤=σ
se cunosc: ( )301010862,33.173 ⋅−⋅== CDefCD AkNN , astfel:
./180/76.154 22max mmNmmN aCD
ef =<= σσVerificarea îmbinării în C
1. Verificarea la forfecare:
106
.
;/1448.0
;/67.122
4302
1033.173
;4
2;
2
22
3
2
aff
aaf
f
faff
CDf
mmN
mmN
dAA
N
ττ
στ
πτ
πττ
<
==
=⋅⋅
⋅=
=≤=
2. Verificarea la strivire
( )
.
;/3602
;/88.2882030
1033.173
;25;1010min;;
2
23
strastr
astra
str
strstrastr
CDstr
mmN
mmN
ttdAAN
σσ
σσ
σ
σσ
<
==
=⋅
⋅=
+=⋅=≤= ∑∑
Problema 6.b
Se dă sistemul de bare încărcat ca în figura 6b. Se cere: a) trasarea diagramelor de efort; b) verificarea barei BC; c) numărul de nituri necesar prinderii în B. Se cunoaşte σa = 150N/mm2. Bara BC este alcătuită din două platbande 60x10; prinderea în B se face cu nituri φ20mm.
V = 117.5kNC
H = 0C
2m
1m
1m
30kN/m
100kN
H = 100kNF
V = 27.5kNF1m 2m
A B
C
D
E
F
14bara BC (60x10)
nod B
fig.6b
107
a)
117.5
27.5
30
87.5
27.5
100
15
100
100
N T M[kN] [kN] [kNm]
+
+ -
+
-
-
+
b) Bara BC este solicitată axial; condiţia de rezistenţă este:
;max aBCef
BCBCef A
N σ≤=σ
cu: ( ) 2800102010602,5.117 mmAkNN BCefBC =⋅−⋅== ; astfel:
./150/146800
105.117 223
max aBC
ef mmNmmN σσ =<=⋅
=
c) Numărul de nituri n se calculează cu relaţia:
;R
Ncap=n
în care: ( )strfaefcap RRRAN ;min, =⋅= σ ; astfel, se obţin:
( )
;6.175398
120000;14;1010min
;8400015021420
;753981508.04202
42 22
==
+=
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅=⋅=
∑∑
n
t
NtdR
NdR
strastr
af
σ
πτπ
numărul efectiv de nituri este n = 2 Problema 6.c Se dă sistemul de bare încărcat ca în fig.6c. Se cere: a) trasarea diagramelor de efort; b) verificarea barei BC; c) calculul cordoanelor de sudură. Se dă σa = 170N/mm2; bara BC este alcătuită din două platbande 40x10 şi este sudată de bara AD în punctul B.
108
H = 0A
V = 20 kNA
V = 130 kNC
H = 0C
2m
40kNm110kN2m 1m
A B
C
D
130
20
40
N T M[kN] [kN] [kNm]
+
--
a)
fig.6c
16
bara BC 40x10
Nodul B
b) Bara BC este solicitată axial; condiţia de rezistenţă este:
;max aBCef
BCBCef A
N σ≤=σ
ls
cu: ; astfel: 10402,130 ⋅⋅== BCefBC AkNN
./170/5.162 22max aBC mmNmmN σσ =<=
c) Lungimea cordoanelor de sudură se calculează cu relaţia: ;2al += cu:
,4 as
BCcap
aN
l τ=
existând un număr de patru cordoane de sudură egale; astfel:
( )
.78.527278.38
;78.385.110107.04
10120
;16;10min;7.0
;/5.11065.017065.0
;120
3minmin
2
mm
mm
tta
mmN
kNAN
s
asa
BCefa
BCcap
=⋅+=
=⋅⋅⋅
⋅=
==
=⋅==
=⋅=
στ
σ
l
l
109
Capitolul 7
ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE
7.1 Generalităţi
Solicitarea la încovoiere a barelor drepte apare cel mai des ca rezultat al acţiunii cuplurilor şi forţelor exterioare transversale, care produc momente încovoietoare în secţiuni normale. Datorită acestora, axa barei îşi modifică curbura. Barele încovoiate sunt în esenţă, grinzi. Dacă planul forţelor exterioare (cupluri şi forţe transversale) conţine
axa barei, eforturile într-o secţiune sunt , în general, momente încovoietoare My, Mz şi forţele tăietoare Ty, Tz.
În cele ce urmează se va face referire la unele cazuri particulare, anume:
• Încovoierea simplă, caz în care eforturile în secţiune se reduc la un vector moment, situat pe o axă principală, centrală de inerţie a secţiunii, precum şi o forţă tăietoare corespunzătoare.
• Încovoiere pură, când forţele tăietoare lipsesc din secţiune.
7..2 Încovoiere pură. Formula lui Navier O bară este solicitată la încovoiere pură când eforturile secţionale se reduc la un vector moment dirijat după una din axele centrale principale de inerţie ale secţiunii transversale. Fie o secţiune transversală a unei grinzi drepte; axele Oy şi Oz ce trec prin centrul de greutate al secţiunii sunt axe principale. Pentru forţele exterioare aflate în planul xOy, momentul încovoietor este reprezentat printr-un vector dirijat după axa Oz (fig.7.1).
110
M
a.
M M
++
x
z
y
dAyO Mz
b.
σ
fig.7.1 În acest caz, pe suprafaţa secţiunii transverasle a grinzii apar tensiuni normale, σ. Pentru a stabili legea de distribuţie, precum şi mărimea tensiunilor normale σ pe secţiunea transversală, se vor utiliza cele trei condiţii (studii), la care s-a mai făcut referire, anume:
- condiţia geometrică; - condiţia de elasticitate; - condiţia statică.
Condiţia geometrică Pe o porţiune de grindă cu secţiunea dreprunghiulară se trasează o reţea de linii ongitudinale şi de contururi ale secţiunilor transversale. Acţionând extremităţile barei cu cupluri de forţe, se realizează încovoierea pură a barei; se constată încovoierea grinzii, axa acesteia transformându-se într-o curbă numită axa deformată a barei (fig.7.2). Odată cu axa se deformează şi liniile longitudinale, menţinându-se, însă, distanţa iniţială între ele, astfel că tensiunile normale σ, între fibrele longitudinale, sunt nule. Sub acţiunea momentului încovoietor pozitiv, fibrele de la partea superioară se vor scurta, iar cele de la partea inferioară se vor alungi. Trecerea de la fibrele alungite la cele scurtate se face continuu, existând o fâşie intermediară de fibre care se încovoaie, dar nu îşi modifică lungimea (avem de-a face cu o fâşie neutră). Întersecţia fâşiei neutre cu palnul unei secţiuni transversale defineşte aşa numita axă neutră a secţiunii. Liniile, drepte, ale contururilor dreptunghiulare normale la axa nedeformată a barei se menţin, după deformare, în plane normale la axa deformată. Extrapolând pentru interiorul grinzii, se admite că secţiunile normale în întregime rămân în plane normale la axa nedeformată, adică ipoteza lui Bernoulli.
111
fig.7.2 Se observă că aceste plane sunt normale la toate liniile longitudinale, prin urmare, tensiunile tangenţiale τ din secţiunile transversale, sunt nule. De aici se deduce faptul că şi forţele tăietoare precum şi momentele de torsiune, la nivelul secţiunilor normale, sunt nule, ceea ce confirmă că bara este solicitată la încovoiere pură. Secţiunea transversală îşi modifică forma datorită contracţiei transversale, modificarea fiind însă, neînsemnată. Această modificare fiind neglijabilă, este suficient de exact a considera că axa neutră este o dreaptă; în cazul barelor su plan de simetrie, axa neutră este perpendiculară pe acest plan. Se poate admite că deformarea prin încovoiere a barei se produce astfel, încât secţiunile transversale plane se înclină una faţă de alta, rotindu-se în jurul axelor lor neutre.
dxa
a
b
b
A BC D
M Mρ
dϕ
dxds
A BC D
yyx
///
/
fig.7.3 Astfel, cele două secţiuni transversale a-a şi b-b (fig.7.3), marcate pe faţa laterală a unei grinzi cu secţiune omogenă, la o distanţă elementară dx una de alta, formează între ele un unghi elementar dϕ. În urma deformării, fâşia neutră AB se curbează. Fie ρ - raza de curbură după deformare, presupusă constantă pe lungimea dx. Deoarece lungimea fâşiei AB rămâne aceeaşi, se poate scrie:
112
AB = A/B/ sau dx = ρ⋅dϕ. O fâşie curentă, CD, cu lungimea dx înainte de deformare, situată la distanţa y de fâşia neutră, atât înainte, cât şi după deformare, va avea în final lungimea: ( ) .// ϕϕρ dydxdyDC +=+ Deformaţia ei absolută va fi: ;// ϕdyCDD =−Ciar deformaţia specifică liniară:
.//
ρy
CDCDDC
=−
=ε
Condiţia de elasticitate Admiţând că solicitarea are loc în domeniul liniar elastic al materialului şi ştiind că fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă reciproc, se poate scrie legea lui Hooke de la solicitările axiale:
.ρ
ε yEE ==σ
Raza de curbură fiind constantă pentru elementul de grindă considerat, rezultă că deformaţiile specifice liniare şi tensiunile normale variază liniar cu coordonata măsurată normal la axa neutră şi sunt constante pe linii paralele cu această axă (fig.7.4).
y1Axa neutra
σ ρx 1= Ey /
fig.7.4 Condiţia statică În secţiunea transversală starea de eforturi este: Mz ≠ 0; N = 0; My = 0. Prin utilizarea relaţiilor de echivalenţă între eforturi şi tensiuni, se poate scrie: ∫ ∫∫ =⋅=⋅= ;;; dANdAzMdAyM xxyxz σσσ înlocuind în ultima relaţie de echivalenţă, se obţine:
113
;;0,0,0 zAAAA
x SdAydardAydAyEdAN ==⇒=⇒== ∫∫∫∫ ρσ
momentele statice fiind nule faţă de axele ce trec prin centrul de greutate, axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii. Prin prelucrarea celei de-a doua relaţii de echivalenţă, se obţine:
;,0,0,0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⇒=⇒=⋅= ∫∫∫∫ yz
AAAAxy IdAyzdAyzdAzyEdAzM
ρσ
în care Iyz – momentul de inerţie centrifugal faţă de axele y şi z. Aşadar, axele y şi z sunt axe principale de inerţie, fiind perpendiculare între ele. Axa neutră este axa z a vectorului moment; ea se suprapune (se identifică) cu fibra medie deformată a secţiunii. În fine, prin explicitarea primei relaţii de echivalenţă se va ajunge la:
;,, 22
ρρσ z
zzAAA
xzIEMIdAydAyEdAyM =⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⋅= ∫∫∫
sau:
;zIE
M=
1ρ
cu EIz – rigiditatea la încovoiere a secţiunii. Prin utilizarea expresiei furnizate de studiul fizic (condiţia de elasticitate), se ajunge la relaţia:
;yI
MyEz
zx ===
ρσσ
sau formula lui Navier; această din urmă relaţie arată că tensiunile sunt proporţionale cu momentul încovoietor, cu ordonata y măsurată de la axa neutră şi invers proporţionale cu momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa neutră a secţiunii; tensiunile σ au semnul dat de efectul pe care îl are momentul încovoietor asupra secţiunii (fig.7.5).
Mz
y
σmin
σmax
a.n.
σx z z = M y/I
fig7.5
-
+
114
În discuţia ce urmează se porneşte de la expresia:
;maxmax yIM
z
z=σ
se face notaţia:
maxyIW ; z
not
z =
cu: Wz – modulul de rezistenţă axial al secţiunii, în raport cu axa z. Aşadar, valoarea tensiunii normale maxime se poate scrie:
.maxz
z
WM
=σ
Situându-ne în cazul în care momentul încovoietor Mz este variabil, Mz = Mz (x), rezultă că pe grindă, tensiunile normale maxime apar în secţiunea cu moment încovoietor maxim, în fibrele cele mai depărtate în raport cu axa neutră a secţiunii. Dacă se admite aceeaşi valoare a tensiunii normale maxim admisibile, σa, la întindere şi compresiune, se obţine:
;max
max az
z
WM σ≤=σ
anume, condiţia de rezistenţă la încovoiere.
7.3 Calculul modulului de rezistenţă axial Wz la secţiunile simple
a) Secţiunea dreptunghiulară, (fig.7.6):
Mz z
y
b
h
fig.7.6 pentru care expresia / relaţia de evaluare este:
115
.6
212
23
max
bhh
bhyIW z
z ===
b) Secţiunea circulară, (fig.7.7):
Mz z
y
d
fig.7.7 unde se va opera cu relaţia:
.32
264
34
maxy
zz Wd
dd
yIW ====
ππ
c) Secţiunea inelară, (fig.7.8):
Mz z
y fig.7.8
D d
pentru care este valabilă expresia:
( ) ( ) .
322
64
4444
yz WdDDD
dDW =−=
−=
ππ
Pentru profilele laminate modulul axial la încovoiere este dat în tabele standardizate.
116
d) Secţiuni nesimetrice, (fig.7.9):
b1
b2
h1
h2
ymin
ymax
z
y
σmin z min z = M y /I
σmax z max z = M y /I
fig.7.9
Mz
-
+
z2
z1dzz1
dzz2
Pentru secţiunile nesimetrice nu se pot însuma modulele de rezistenţă ale figurilor componente ale secţiunii, iar relaţiile la care vom face apel sunt:
.
1212
;
222
322
112
311
21
max
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+=+=
=
hbdhb
hbdhb
III
yI
W
zzzzzzz
zz
Când axele proprii ale elementelor componente coincid cu axa faţă de care se calculează modulul de rezistenţă, iar ymax al tuturor elementelor componente este ymax al întregii secţiuni, atunci (fig.7.10): ∑=
iizz WW .
z1 z2 z
y1 y2
ymax
fig.7.10
117
7.4 Calculul grinzilor supuse la încovoiere Rezolvarea problemelor se poate face pe baza criteriului de rezistenţă: .aef σσ ≤
- Formula de verificare:
.maxmax a
efWM σ≤=σ
Dacă materialul are tensiuni σa diferite la întindere şi compresiune, atunci este necesar să se verifice σmax în fibra cea mai îndepărtată de axa neutră atât din zona întinsă, cât şi din cea comprimată. Astfel, se va obţine:
.
;
2max
1max
caz
c
iaz
i
yI
M
yI
M
σ
σ
≤=
≤=
σ
σ
- Formula de dimensionare:
.max
anec
MW σ=
M- Formula de determinare a efortului capabil:
.aefcap W σ⋅=
7.5 Alcătuirea raţională a secţiunilor solicitate la încovoiere
Alcătuirea raţională a unei secţiuni, lucrând la încovoiere, înseamnă găsirea formei, astfel încât pentru o arie dată, să rezulte un modul de rezistenţă cât mai mare. În context, se vor examina cinci tipuri de secţiuni. Se exprimă modulul de rezistenţă sub forma: W ;hAk ⋅⋅= în care: A – aria secţiunii transversale; h – înălţimea secţiunii; k – un coeficient numeric depinzând de forma secţiunii. Dacă pentru toate secţiunile considerate Ah = ct., coeficientul k va reprezenta o măsură a eficienţei secţiunii. Astfel, pentru secţiunea inelară:
( )
;181
2/64
2
244
Ahhd
h
dhW i
i
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−=
π
118
se notează:
;181
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
hdik
pentru cerc, di = 0; k = 1/8 = 0,125, pentru secţiunea inelară foarte subţire, di→h; k = 1/4 = 0,25. Pentru secţiunea alcătuită din două tălpi:
( )
;161
2/12
2
233
Ahhh
hh
h
hht
W iii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
−=
cu notaţia:
;hh
hh
161k 2
2ii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
astfel, pentru dreptunghi, hi = 0; k = 1/6 = 0,167, pentru tălpi foarte subţiri, hi→h; k = 1/2 = 0,5. În tabelul 7.11 se dau valorile determinate ale lui k pentru cele cinci forme de secţiune considerate. Tabel 7.11
Forma
secţiunii
h
h
h
di
t
h
t
hi h
k
0,125
0,167 1/8(1+di
2/h2)0,32
valoare medie
1/6(1+hi/h+hi
2/h2)
Valori extreme
- - 0,125÷0,250 0,309÷0,323 0,167÷0,5
Valori pentru t→0
-
-
0,205
-
0,407
De observat că eficienţa secţiunilor creşte de la forma circulară, spre secţiunea alcătuită din două tălpi; în cazul secţiunii circulare materialul este adunat spre axa neutră, pe când la celelalte secţiuni este din ce în ce mai îndepărtat faţă de aceasta.
119
Aşadar, secţiunea este alcătuită cu atât mai raţional pentru a lucra eficient la încovoiere, cu cât materialul este mai depărtat de axa neutră. Această depărtare are însă anumite limite, pentru grinzi prea înalte apărând pericolul pierderii stabilităţii elastice (flambaj lateral). 7.6 Încovoiere simplă Se consideră o secţiune transversală simetrică în raport cu axa y, solicitată de forţa tăietoare Ty. Pe un element de arie dA, situat în vecinătatea conturului (fig.7.12), tensiunea tangenţială τ, de direcţie arbitrar reprezentată
x
z
y
Ty
τ
τn
τt
τl
dAfig.7.12
se descompune după tangenta la contur τt şi după normală, τn. În baza dualităţii tensiunilor tangenţiale, pe faţa laterală a grinzii ar trebui să existe o tensiune τl = τn; în absenţa încărcării pe faţa laterală care să echilibreze această tensiune, τl = τn = 0, astfel tensiunea tangenţială τ de pe elementul de arie dA din secţiunea transversală trebuind să aibă o direcţie tangentă la contur. 7.6.1 Ipotezele lui Juravski Secţiunea din figura 7.13 este simetrică în raport cu axa y. Se consideră linia mn la distanţa y de axa z şi de direcţie paralelă cu aceasta. Suportul tensiunilor tangenţiale din punctele de pe contur se întâlnesc în A, punct situat, din raţiuni de simetrie, pe axa y. Ipoteze: Se presupune că suportul tensiunilor tangenţiale τ din orice punct de pe linia mn trece prin A, punct de intersecţie al tangentelor la contur în m şi n cu axa de simetrie.
120
Tb
z
y
A
m n
yτ ττ τxy
τxz
fig.7.13
P
2. Pentru un punct curent P, de pe segmentul mn, vectorul tensiune tangenţială se descompune în τxz şi τxy paralele cu axele z şi y. Se admite că tensiunile τxy, paralele cu forţa tăietoare din secţiune, sunt distribuite uniform pe linia mn paralelă cu axa neutră. 7.6.2 Formula lui Juravski Se izolează un element de bară de lungime dx (fig.7.14), sub linia mn;
N+dN
N
m
n
pq
qp
n
m
τyx
τxy
/
//
/
fig.7.14
121
rezultanta N a tensiunilor normale de pe porţiunea de secţiune mnpq se va putea exprima:
.zz
z
Az
z
A z
z
A
SIMdAy
IMdAy
IMdAN ==== ∫∫∫σ (1)
S-a admis că tensiunile normale σ se distribuie conform formulei lui Navier; s-a notat cu: , ∫=
Az dAyS
momentul static al porţiunii de secţiune mnpq în raport cu axa neutră. Tensiunile tangenţiale τyx fiind distribuite uniform pe elementul de lungime dx, se poate scrie ecuaţia de echilibru static în raport cu axa x: ( ) ;0;0 =⋅++−=∑ dxbdNNNX yzτ unde b reprezintă lăţimea secţiunii la nivelul liniei mn. Astfel, rezultă:
.1dxdN
byx =τ (2)
Secţiunea barei fiind constantă, Sz şi Iz nu vor depinde de x şi ţinând cont de relaţia (1), se poate scrie:
;dx
dMIS
dxdN z
z
z=
dar ;Tdx
dM z =
înlocuind în expresia (2), se obţine formula lui Juravski:
.z
zyxxy Ib
ST⋅⋅
== ττ
Rezultă că tensiunile tangenţiale sunt proporţionale cu forţa tăietoare şi orientate pe secţiune în sensul acesteia. Lăţimea b reprezintă lăţimea secţiunii în punctul de calcul al tensiunii tangenţiale, valoarea acesteia obţinându-se prin ducerea prin acel punct a unei drepte paralele cu axa neutră. Sz este momentul static al părţii din secţiune care tinde să lunece în raport cu fibra neutră prin tăierea cu dreapta paralelă cu axa neutră; este vorba de oricare din cele două părţi în care s-a împărţit secţiunea, de regulă alegându-se acea parte pentru care calculul este mai facil. Pentru fibrele extreme ale secţiunii Sz fiind nul, rezultă că şi tensiunile tangenţiale vor fi nule, situaţie opusă celei din cazul tensiunilor normale σ datorate momentului încovoietor (formula lui Navier), tensiuni a căror valoare maximă se obţine, de regulă, la extremităţi.
122
7.6.3 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunile simple Pornind de la formula lui Juravski şi de la valorile caracteristicilor geometrice ale secţiunilor simple se va trasa distribuţia tensiunilor tangenţiale τxy pentru diverse secţiuni elementare.
a. Dreptunghi (fig.7.15)
b
hy
T
y
z
τxy
τxy = 1.5T/Amax
fig.7.15 La dreptunghi, momentul de inerţie axial este:
;12
3hb=I z
pentru aria haşurată, situată la distanţa y de axa neutră z, momentul static al suprafeţei menţionate faţă de această axă este:
;422
22
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= yhbyh
yyhbSz
astfel, rezultă:
.42
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⋅⋅
= yhI
TIbST
zz
zxyτ
Tensiunea tangenţială are aşadar o variaţie parabolică, cu valoarea maximă:
,23
8
2max
ATh
IT
zxy ==τ
valoare obţinută pentru y = 0, (A = bh).
123
b. Cerc (fig.7.16)
z
τxy
τxy = 1.33T/Amax
fig.7.16
Dbz
ydy
R
T
y
La cerc, momentul de inerţie axial este:
;464
44 RDI yzππ
===I
fie aria elementară haşurată, situată la distanţa y faţă de axa z , de lăţime dy
(fig.7.16). Lăţimea bz se poate calcula cu relaţia: .2 22 yRbz −= Momentul static al acestei arii în raport cu axa neutră z este:
( ) .yR32dyyRy2dyybS 2
32222
zz −=−== ∫∫
Se calculează raportul:
( )
( ).31
232
22
22
23
22
yRyR
yR
bz
z −=−
−=
S
Rezultă tensiunea tangenţială τxy:
( ) ,1
34
43 2
2
4
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=
⋅⋅
=Ry
AT
R
yRTIbST
z
zxy
πτ
cu A = π⋅R2. Este vorba, aşadar, de o variaţie parabolică pentru tensiunea tangenţială τxy; valoarea maximă se obţine pentru y = 0, astfel:
.34max
AT
xy =τ
124
c. Secţiunea în formă de I (fig.7.17)
H
t
h
t
b (B-b)/2T
1 1
22
3
3 z
y z
yB
τxz
τxz
τxy
fig.7.17
+
+
-
-
g
τxymax
*
Pe inima profilului se dezvoltă tensiuni τxy, pe talpă se dezvoltă tensiuni τxz. Deoarece pe inimă tensiunile τxy au sensul forţei tăietoare T, pe talpă tensiunile τxz se figurează astfel încât să aibă alura vitezelor curbelor de curent din domeniul curgerii fluidelor; pe tălpi, se strâng afluenţii în partea de jos, iar în partea de sus afluenţii se desfac. Sensul de curgere este dat de sensul forţei tăietoare în secţiune. Tensiunile tangenţiale sunt pozitive când sunt îndreptate în sens invers axelor. Distribuţia tensiunilor τxy Pe linia 1-1 de pe inimă tensiunile se calculează astfel:
.2
;2
;2222
11⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−⋅⋅=− hhyyhyhbtHtB
IbT
zxyτ
Rezultă o distribuţie parabolică, cu valoarea maximă pe axa neutră, pentru y = 0:
125
.82
2max
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⋅⋅=
hbtHtBIb
T
zxyτ
Pe tălpi tensiunile τxy vor apare numai pe lăţimea inimii; fie linia 2-2 la distanţa g de marginea inferioară a tălpii de jos, astfel:
[ ].;0;2
22 tggHgBIb
T
zxy ∈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅=−τ
Pentru profilele laminate, unde tălpile sunt subţiri, se poate considera:
;22ht
≅H −
astfel, rezultă:
,2
BghIb
T
zxy =τ
deci o distribuţie liniară. Distribuţia tensiunilor τxz Pe linia curentă 3-3 tensiunile tangenţiale τxz se consideră distribuite uniform pe grosimea t, calculându-se cu relaţia:
,*
33
zxz It
ST⋅⋅
=−τ
cu S∗ - momentul static al părţii care tinde să lunece (fig.7.18).
τxz
t
fig.7.18 Astfel, se obţine:
,2
** tHztS −⋅⋅=
rezultând o distribuţie liniară pentru tensiunea tangenţială τxz. Pe lăţimea inimii tensiunea τxz este nulă.
126
7.6.4 Centrul de lunecare S-a admis pentru încovoierea simplă că forţele exterioare sunt aplicate într-un plan principal de inerţie, care conţine linia centrelor de greutate, adică axa grinzii. Rezultă că în secţiune apar doar tensiuni de încovoiere şi de lunecare. Acest lucru nu este întotdeauna valabil. Se consideră o grindă cu secţiunea un profil U, solicitată la încovoiere simplă (fig.7.19).
O C Gz0 d
H
T
H
t
t
h1
τxz
τxz
τxz
τxz
τxz
max
max
τxzτxy
τxymax
τxy
z
y
fig.7.19+
-
b1
Tensiunile τxy se reduc la o rezultantă T aplicată chiar pe linia mediană a inimii, tensiunile τxz, la două forţe H care formează un cuplu. În cazul în care planul forţelor exterioare trece prin G secţiunea este solicitată şi de un moment de torsiune: .01 ≠⋅+⋅= dThHMG Se pune problema determinării poziţiei punctului O prin care să treacă forţa tăietoare T astfel ca momentul MG să fie nul. Deoarece cuplul H⋅h1 tinde să rotească în sens orar, rezultă că punctul O trebuie să fie situat la stânga punctului C.
127
Se notează cu z0 distanţa OC; valoarea sa se determină din ecuaţia de moment în raport cu punctul O: ;001 =⋅−⋅= zThHMO rezultă:
.10 T
hHz ⋅=
H fiind rezultanta tensiunilor tangenţiale τxz, aceasta se calculează astfel:
,2
2;2
111
1
max1max
zzxzxz I
bhTIt
bhtTbtH =⋅
⋅=⋅⋅= ττ
rezultă:
.4
211
zItbhT
=H
Prin înlocuire în expresia lui z0, se obţine:
.4
21
21
0zIthb
=z
Rezultă că distanţa z0 este independentă de mărimea încărcărilor exterioare, fiind o caracteristică a secţiunii transversale; punctul O este denumit centru de încovoiere-torsiune sau centru de lunecare. Indicaţii privind centrul de lunecare
1. La secţiunea având două axe de simetrie, centrul de încovoiere-torsiune coincide cu centrul de greutate; este cazul următoarelor secţiuni:
2. La secţiunile formate din dreptunghiuri înguste, ale căror axe converg
într-un punct O, centrul de încovoiere-torsiune coincide cu acest punct, adică se găseşte la intersecţia liniilor mediane ale aripilor; exemple:
O
O O
128
3. La secţiuni care admit o singură axă de simetrie, de exemplu axa z, punctul O este situat pe această axă. Pentru determinarea poziţiei sale pe această axă se calculează succesiv:
- distribuţia tensiunilor tangenţiale, în diferitele elemente componente ale secţiunii, produse de forţa tăietoare T aplicată în centrul de greutate, după axa z.
- rezultantele parţiale ale tensiunilor tangenţiale în diferitele elemente componente ale secţiunii.
- momentul acestor rezultante în raport cu centrul de greutate (MG). - poziţia abscisei punctului O:
.T
MGO =z
7.7 Grinzi compuse supuse la încovoiere Grinzile compuse sunt bare alcătuite din mai multe elemente solidarizate între ele. Solidarizarea împiedică lunecarea între elemente, asigurându-se astfel conlucrarea la încovoiere. La solicitarea de încovoiere simplă, în secţiunile paralele cu fâşia neutră, apar tensiuni tangenţiale (pe baza principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale). Rezultanta acestora pe o lungime precizată din grindă se numeşte forţă de lunecare. Fie grinda compusă dintr-un pachet de două bare cu secţiune dreptunghiulară (fig.7.20a), nesolidarizate între ele; sub efectul încărcărilor grinda se încovoaie.
b
hh
M1M1 σ
M = 2 W = 2 bh/61cap a aσ σ2
a)
b)
fig.7.20
129
M2M2σ
M = W = b(2h)/6 = 2M2 1cap a a capσ σ2
fig.7.20
c)
Cazul b: barele nefiind solidarizate între ele, fiecare lucrează independent, fibrele superioare se scurtează, cele inferioare se lungesc. Feţele în contact ale barelor vor luneca una în raport cu cealaltă. Cazul c: când barele sunt solidarizate între ele, lunecarea relativă a feţelor în contact este împiedicată, grinda lucrând ca un singur element. Se observă că solidarizările măresc considerabil capacitatea portantă a grinzilor compuse. 7.7.1 Evaluarea forţei de lunecare
B CB C
B C
τyx
b
b)a)
x
z
y
b
T
fig.7.21 Fie cazul elementului de grindă compusă, de lungime dx, din figura 7.21; forţa de lunecare pe linia de separaţie BC este: ;dxbdL yx ⋅= τ rezultă:
,∫∫ =⋅= dxTISdxb
z
zyxτL
cu τyx = τxy = T⋅Sz / b⋅Iz , conform formulei lui Juravski.
130
Dacă forţa tăietoare este constantă pe un interval de lungime e, aceasta se calculează astfel:
.eI
ST
z
zL ⋅=
Dacă elementul dx corespunde unei grinzi cu încărcarea distribuită, diagramele T şi M vor fi ca în figura 7.22:
p1 2
x dxT1
T2
T
MM1
M2 fig.7.22
dΩT
+
x
Forţa de lunecare pe intervalul 1-2 va fi:
,2
121 ∫ Ω=−
T
z
z dISL
cu dΩT – aria elementară din diagrama T; rezultă:
,2121T
z
z
IS
−− Ω=L
în care Ω1-2T – aria forţei tăietoare pe intervalul 1-2, Sz – momentul static al
părţii din secţiune care tinde să lunece iar Iz – momentul de inerţie axial al întregii secţiuni. Conform relaţiilor diferenţiale între eforturi şi încărcări:
.; dMdxTTdx
dM=⇒=
Astfel, se poate evalua forţa de lunecare şi cu relaţia:
( );12
2
121 MM
ISdM
ISL
z
z
z
z −== ∫−
cu M2 şi M1 momentele încovoietoare în secţiunile 2 şi 1. Pentru preluarea forţelor de lunecare, grinzile compuse sunt solidarizate prin sudură sau nituire în vederea asigurării conlucrării elementelor componente.
131
7.7.2 Calculul grinzilor compuse nituite
e
fig7.23
nit de cap
nit de gat
Fie o grindă solicitată la încovoiere a cărei secţiune este alcătuită (fig.7.23) dintr-o inimă verticală, două tălpi orizontale şi patru corniere, solidarizarea efectuându-se cu nituri. Niturile de cap împiedică lunecarea tălpilor faţă de corniere, cele de gât, lunecarea inimii faţă de corniere. Calculul nituirii se efectuează în mod practic numai pentru niturile de gât, acestea fiind mai solicitate decât cele de cap. Un singur nit va fi solicitat de o forţă de lunecare Lnit, care se produce pe distanţa e dintre două nituri succesive. Niturile se aşează la distanţe egale, iar pe fiecare interval se va considera valoarea maximă a forţei tăietoare; astfel:
,max eI
ST
z
znit ⋅L ⋅
=
cu Iz – momentul de inerţie axial brut, Sz – momentul static al tălpii formate din platbandă şi două corniere. Lunecarea dintre corniere şi inimă, pe distanţa aferentă unui nit (e), trebuie să îndeplinească condiţia: Lnit ≤ R, cu R – rezistenţa nitului şi R = min(Rf , Rstr); Rf = Af ⋅ τaf ; Rstr = Ast r ⋅σa str. Distanţa dintre nituri se calculează cu expresia:
.maxTSIRe
z
z
⋅⋅
≤
Constructiv, trebuie respectată relaţia:
132
3 ,8ded ≤≤ dacă din calcule rezultă e > 8d, se alege e = 8d. Pentru niturile de cap se poate face un calcul asemănător, care practic nu este necesar, deoarece fiind două nituri, se vor obţine distanţe mai mici. De aceea şi aceste nituri se dispun la aceeaşi distanţă ca şi niturile de gât, dar decalate faţă de acestea cu jumătate de interval. La verificarea criteriului de rezistenţă al grinzii încovoiate (σmax ≤ σa), se va ţine seama de slăbirile produse de nituri în calculul momentului de inerţie axial Iz. 7.7.3 Calculul grinzilor compuse sudate
e
fig7.24
a
Tz
y
t1
t2
ls
La grinda compusă sudată (fig.7.24), solidarizarea tălpilor cu inima se poate realiza prin cordoane continue sau întrerupte de sudură; în calcule se va considera forţa tăietoare maximă. Pe un interval de lungime egală cu unitatea, forţa de lunecare va trebui preluată de cordoanele de sudură; în consecinţă, trebuie îndeplinită condiţia:
.65.0,12,1
;
max1
1
aassz
z
ass
aAI
STL
AL
στ
τ
=⋅=⋅⋅
≤
⋅≤
Rezultă grosimea necesară a cordonului continuu de sudură:
;2
max
asz
z
ITSτ⋅
a ⋅≥
133
cu Sz – momentul static al unei tălpi, amin = 3 ÷ 4mm. Când a < amin se realizează cordoane întrerupte; în acest caz, lunecarea de pe lungimea e trebuie preluată de cele două cordoane de lungime ls şi grosime a. Condiţia de îndeplinit, în acest caz, este:
.
;2
max eI
STla
z
ze
ase
⋅⋅
=L
L ⋅⋅≤ τ
Astfel, rezultă:
.2
max z
asz
STIa
⋅le ⋅⋅
≤τ
Problema 7.a Grinda cu consolă din fig.7a are secţiunea în formă de T. Să se dimensioneze grinda. Să se traseze distribuţiile de tensiuni σ, τxy şi τxz în secţiunea C. Se dă σa = 150 N/mm2.
100kNm 20kN/mA B C D
2m 2m 3mV =38kNB V =22kND
x =1.1m038
22100
24
12.1
T
M
12t 2t
y1Gz1z
z2 20tymax
2t
y
+
+
-
-
fig.7a1
[kN]
[kNm]
Secţiunea periculoasă este pe intervalul AB unde momentul încovoietor are valoarea maximă în modul. Condiţia de dimensionare este:
;dimmaxz
a
necz W
MW ==
σ
134
( ) ( ) ( ) ( )
,46.223
;125.14
;33.3156125.440875.62412202
12212
;
;1067.666150
10100
3dimmax
4222233
max
dim
336
tW
ty
tttttttttI
yIW
mmW
z
z
zz
necz
=
=
=+++=
=
⋅=⋅
=
rezultă t = 12,5 mm, se alege tef = 13mm. Distribuţia de tensiuni σ se determină cu formula lui Navier; reprezentarea s-a făcut în figura 7.a2. Se calculează:
.mm/N25.2713875.7
1333.31561024
,t875.7y;mm/N88.481346.223
1024
24
6Cmin
min2
3
6Cmax
=⋅⋅⋅
⋅=
==⋅
⋅=
σ
σ
Mz
y
z
fig.7.a2
τxzmax
σmin
σmax
τxy1
τxymax
σ τ
+
+
−
−
+
Pentru tensiunile τxy şi τxz se utilizează formula lui Juravski; cunoscând TC
= 38 kN şi determinând Sz1 = 12⋅2⋅6,875t3 = 165t3 (fig.7.a2),
rezultă:
./87.51333.3156132
131651038 24
331 mmNxy =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=τ
Calculând:
135
31max 5.1992
875.52875.5 ttttSS zz =⋅⋅+= (fig.7a2);
se obţine:
./1.71333.3156132135.1991038 2
4
33max mmNxy =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=τ
La calculul lui τxzmax, grosimea tălpii este 2t şi Sz
* = 2t⋅5t⋅6,875t, astfel:
./44.21333.3156132
13875.6251038 24
33max mmNxz =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=τ
Problema 7.b Grinda simplu rezemată din figura 7b are secţiunea alcătuită din două profile I18 solidarizate cu nituri φ20. Să se verifice grinda şi să se calculeze distanţa dintre nituri; se cunoaşte σa = 150 N/mm2.
10kN 30kN50kNm
A B C D
V =17.5kNB V =22.5kND
2m 2m 2m
10
7.5
22.520
5
45
T
M
[kN]
[kNm]
10.4φ20
I18
I18
z
y
fig.7b
+
−−
−
+
Condiţia de verificare este:
.max
max az
z
W
Mσ≤=σ
Secţiunea periculoasă este Cdr, unde Mz are valoarea maximă; aici se va face verificarea:
136
( ) ( ),cm04.412
1812
04.122299.2714502
yIW
;Nmm1045kN45M
3
32
max
zz
6maxz
=
⋅⋅−⋅+
=
⋅==
rezultă:
.mm/N150mm/N16.1091004.412
1045 2a
23
6
max =<=⋅
⋅= σσ
Determinarea distanţei între nituri se va face utilizând relaţia:
;II,TSIR2e brutzz
z
z =⋅⋅
≤
unde:
( )
;6240015024.1020
;376991508.0420
4
;;min
min
22
NtdR
NdR
RRR
astrstr
aff
strf
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅⋅
=⋅=
=
σ
πτπ
rezultă:
.5.22
;1.25199.27;37699
3
kNcm
TS
NR
z
z
==⋅=
=
Ţinându-se seama de faptul că în secţiune lucrează simultan câte două nituri, se calculează:
.19.990105.22101.251108.7419376992
33
4
mme =⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
Din motive constructive, distanţa maximă dintre nituri trebuie să fie e ≤ 8d = 160 mm, deci niturile se vor aşeza la intervalul e = 160 mm. Problema 7.c Să se dimensioneze grinda metalică încărcată ca în figura 7c. Secţiunea va fi alcătuită în formă de I, solidarizarea tălpilor cu inima făcându-se prin cordoane de sudură continue. Grosimea cordoanelor de sudură este a = 5 mm.; se dă σa = 210 N/mm2. Să se determine: 1) lăţimea necesară a tălpilor b; 2) să se verifice cordoanele de sudură.
137
170kN 138kN
A B C D
4.5m 2.5m 2m115.67
54.33
192.33
T [kN]
520.5384.67
M [kNm]
V =115.67kNA V =192.33kND
b 25x
b 25x
450 8x
fig.7c
+
+
−
Se determină:
( ) [ ]
( ) .1025
109.28226075
;25;9.2822607545501212
458.0
;1057.2478210
105.520
34
max
dim
max433
3
336max
mmbyIW
cmycmbbI
mmM
W
zz
z
a
znecz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⋅+==
=+=−+⋅
=
⋅=⋅
==σ
Din condiţia Wznec = Wz
dim rezultă b = 197,98 mm; se alege b = 200 mm, rezultă Wz = 2501,33 cm3. Pentru sudura continuă se cunosc:
.33.62533
;5.11872
5.475.220
;33.192
4
3
max
cm
cm
kN
z
z
=
=⋅⋅=
I
S
T =
Se face verificarea cordoanelor de sudură continue astfel:
.
;mm/N5.13621065.065.0
;mm/N5.361033.6253352
105.11871033.192Ia2ST
ass
2aas
24
33
z
zmaxs
ττστ
τ
<=⋅==
=⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅
=
138
Problema 7.d Se dă grinda încărcată ca în figura 7d. Cunoscând σa = 220 N/mm2, se cere: a) determinarea forţei capabile Pcap; b) verificarea cordoanelor de sudură întrerupte cu a = 6 mm, l = 10,8 cm şi e = 24 cm; c) să se determine σ şi τxy în punctul de coordonate x = 2,625 m şi y = 350 mm.
3P 3P 5P 2P
A B C D E F
V =9PB V =4PE2.5m 2.5m 2.5m 2.5m 2.5m
3P
6P3P
2P4P
T
[kNm]
[kN]
M7.5P
7.5P15P
10Pfig.7d
240
15
800 z
15
y240
9+
−−
−+
a) Din diagrama de moment rezultă că secţiunea cea mai solicitată este
cea din D. Folosind relaţia: cu condiţia ,a
efz
capz WM σ⋅=
,MM maxz
capz = rezultă:
;N558301015
220106.3806P 3
3
cap =⋅
⋅⋅=
cu:
.106.3806415
1280095.40715240
12152402
33
32
3
max
mmyIW zef
z ⋅=
⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+
⋅
==
b) Pentru verificarea cordoanelor de sudură întrerupte se foloseşte relaţia:
;2
maxas
z
zs la
eI
STτ≤⋅
⋅=τ
în care: T ;3349806max NP ==
139
./143/7.56
;/14322065.0
;146775.405.124
22
2
3
mmNmmN
mmN
cmS
ass
as
z
=<=
=⋅=
=⋅⋅=
ττ
τ
c) Pentru calculul tensiunii σx în punctul de coordonate date se foloseşte formula lui Navier:
;yI
M
z
zx ⋅=σ
unde:
./49.83
;10157974;350
;108525.376125.09625.23
2
44
6625.2
mmN
mmImmy
NmmPPM
x
z
mxz
−=
⋅==
⋅−=⋅+⋅−==
σ Pentru calculul tensiunii τxy în punctul de coordonate date se foloseşte formula lui Juravski:
;z
zxy Ib
ST⋅⋅
=τ
în care:
./54.38;9
;75.16355.379.0575.405.124;334980
2
3
625.2
mmNmmb
cmSNT
xy
z
mx
=
==⋅⋅+⋅⋅=
==
τ Problema 7.e Secţiunea din figura 7e este solicitată la încovoiere simplă. Cunoscând tensiunea maximă σmax = 125 N/mm2 se cere să se calculeze momentul încovoietor capabil şi tensiunea minimă. Se determină poziţia centrului de greutate:
.375.306152001060012250
5.61315200306106000122501 mm
A
yAy
ii
iii
G =⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==
∑∑
Din raportul de asemănare al triunghiurilor formate în diagrama σ, se obţine (fig.7e):
140
./1.124;125625.314
375.312 2min
min mmN=⇒= σσ
250x12
200x15
600x10y =306.375G
G
z1
z2
z
z3
y
y =312.3751
y =314.6252
σmin=?
σmax=125N/mm2
fig.7e
−
+
Momentul capabil se calculează plecând de la condiţia de rezistenţă la solicitarea de încovoiere:
,;max zacapaz
cap WMW
M⋅=⇒≤= σσσ
în cazul de faţă σa = σmax = 125 N/mm2, astfel:
;1084.2366 33
max
mmyIW z
z ⋅==
în care:
.625.314;731.74466
,7.303012
5.1200375.060126016375.3030
122.125
max4
23
23
23
mmycmI
I
z
z
==
⋅+⋅
+⋅+⋅
+⋅+⋅
=
Astfel, se obţine: .10855.295 6 NmmM cap ⋅=
141
Capitolul 8
DEFORMAREA GRINZILOR DREPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE
8.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate În urma solicitării de încovoiere, barele drepte iau forme curbe, axa barei în acestă situaţie fiind o curbă continuă numită fibră medie deformată. Studiul deformaţiilor urmăreşte stabilirea formei deformate a grinzii sau determinarea săgeţilor şi rotirilor produse în dreptul secţiunilor grinzii. Starea deformată se caracterizează prin deplasarea pe verticală, numită săgeată, notată cu v şi înclinarea fibrei medii sau a secţiunii transversale, numită rotire şi notată cu ϕ (fig.8.1).
y
x
P
v1i
1i /
x ϕ
ρ
A B
fig.8.1 Rotirea ϕ este considerată pozitivă când axa x se suprapune peste tangentă prin rotire în sens orar; în ipoteza micilor deplasări:
.dxdv
=ϕ
Săgeata v reprezintă o cantitate mică în raport cu lungimea barei iar deplasarea pe orizontală corespunzătoare aceluiaşi punct i este un infinit mic în raport cu v, aşadar punctul i se va considera că se deplasează pe verticală în i/.
142
La studiul tensiunilor datorate solicitării de încovoiere s-a stabilit relaţia între curbura barei şi momentul încovoietor:
;z
z
IEM⋅
=1ρ
se renunţă la indicele z pentru deplasări în planul xy. Se ştie că:
;
123
2
2
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
dxdv
dxvd
ρ1
dar dv/dx = tgϕ ≅ ϕ se neglijează având valori foarte mici în raport cu unitatea. Astfel, rezultă:
.2
2
IEM
dxvd
==ρ1
Datorită faptului că atunci când Mz este pozitiv 1/ρ este de semn negativ şi invers (fig.8.2), ecuaţia de mai sus se va rescrie:
x
y y
x
MzMz
fig.8.2
ρ
ρ
;1IE
M−=
ρ (1)
reprezentând ecuaţia simplificată a fibrei medii deformate, de ordinul II. Dacă produsul EI = ct. şi ştiind că:
,; qdxdTT
dxdM
−==
se poate scrie ecuaţia diferenţială de ordin IV a fibrei medii deformate:
.4
4
IEq
dxv
=d
143
8.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale Se consideră cazul barei cu secţiune constantă şi se presupune cunoscută legea de variaţie a momentului încovoietor M = M(x). Prin integrări succesive ale ecuaţiei (1) se va obţine rotirea ϕ = ϕ(x) şi săgeata v = v(x):
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫
∫
++−==
+−=
.1
;1
21
1
CxCdxdxxMIE
dxxxv
CdxxMIE
x
ϕ
ϕ
Pentru determinarea constantelor de integrare C1 şi C2 se pun condiţiile la limită care reprezintă valori ale săgeţilor şi rotirilor în punctele de rezemare şi în alte secţiuni caracteristice ale grinzii (tabelul 8.1). Tipul de reazem Condiţii în deplasări Condiţii în eforturi reazem simplu încastrare capăt liber reazem simplu intermediar articulaţie intermediară
v = 0; ϕ ≠ 0 v = 0; ϕ = 0 v ≠ 0; ϕ ≠ 0 vst = vdr = 0; ϕst = ϕdr ≠ 0 vst = vdr ≠ 0; ϕst ≠ ϕdr ≠ 0
M = 0; T ≠ 0 M ≠ 0; T ≠ 0 M = 0; T = 0 Mst = Mdr ≠ 0; Tst ≠ Tdr ≠ 0 Mst = Mdr = 0; Tst = Tdr ≠ 0
tabelul 8.1
144
Exemple:
a. Bară încastrată la un capăt, încărcată cu o forţă concentrată la capătul liber (fig.8.3)
x
EI = ct.
l
P
A BvB
ϕB
fig.8.3 Într-o secţiune oarecare x, faţă de originea considerată în punctul A, expresia momentului încovoietor curent este: ( ) ( );xlPxM −−= rezultă:
( ) ,2
2
IExlP
dxv −
=d
prin integrare succesivă de două ori, se obţine:
.
62
;2
21
32
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−==
CxCxxlIE
P
CxlxIE
Pdxdv ϕ
v
Condiţiile la limită sunt: ,0;00 ==⇒= ϕvx rezultă C1 = C2 = 0. Ecuaţia fibrei medii deformate este:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
62
32 xxlIE
Pv .
La capătul liber al barei săgeata şi rotirea au valori maxime:
.2
;3
2
max
3
max EIlP
EIlPvv lx
Blx
B ==== == ϕϕ
145
b. Bară încastrată la un capăt, încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată deschiderea (fig.8.4)
xEI = ct.
l
A B vB
ϕB
fig.8.4
q
Într-o secţiune oarecare situată la distanţa x în raport cu originea A, momentul încovoietor are expresia:
( )
( ).22
;2
222
2
2
xlxlEIq
dxv
xlqM
+−=
−−=
d
Integrând de două ori rezultă:
.
12322
;32
21
4322
1
322
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−==
CxCxlxxlEIqv
CxlxxlEIq
dxdv ϕ
Condiţiile la limită sunt:
.0,0;00
21 ====⇒=
Cv
Cx ϕ
Ecuaţia fibrei medii deformate este:
.12322
4322
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
xlxxlEIqv
La capătul liber al barei săgeata şi rotirea sunt maxime:
.EI6
ql;EI8
qlvv3
maxlx
B
4
maxlx
B ==== == ϕϕ
146
c. Bară simplu rezemată la capete încărcată la mijloc cu o forţă concentrată (fig.8.5)
PA B
xx
l/2 l/2
C
/
fig.8.5 Pe intervalul AB expresia momentului încovoietor este:
( ) .2
,0;2 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈⋅=
lxxPxM
Pe intervalul BC expresia momentului încovoietor este:
( ) ( ) .,2
;222 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅= llxlxPlxPxPxM
Rezultă:
- pe intervalul AB: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈⋅−=
2,0;
22
2 lxxEIP
dxvd
;
- pe intervalul BC: ( ) .,2
;22
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈−−= llxxl
EIP
dxvd
Se integrează de două ori pe ambele intervale:
.622
;22
:
,62
;22
:
43
32
3
2
21
3
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−==
CxCxlxEIPv
CxlxEIP
dxdvBC
CxCxEIPv
CxEIP
dxdvAB
ϕ
ϕ
Condiţiile la limită sunt: ;00 =⇒= Avx
147
.0
,0;2
=⇒=
==⇒=
C
BdrB
stB
vl
vvl ϕ
x
x
Înlocuind în cele patru ecuaţii se obţin cele patru constante:
.24
;8
3;0;8
3
4
2
32
2
1lClCClC =−==−=
Săgeata maximă are loc la mijlocul grinzii:
;48
3
max2
EIPlv
lx
B ===
v
rotirile sunt maxime pe reazeme:
.16
2
EIPl
CA =−= ϕϕ
d. Bară simplu rezemată la capete încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată deschiderea (fig.8.6)
A B
x
l
fig.8.6
q
Într-o secţiune curentă x expresia momentului încovoietor este:
( ) ;22
2qxxqlx −=M
astfel, rezultă:
( ).2
22
2
xlxEIq
dxv
+−=d
.
Se integrează de două ori:
.
1262
;322
21
43
1
32
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−==
CxCxlxEIq
CxlxEIq
dxdv ϕ
v
148
Condiţiile la limită sunt:
,0;00
=⇒==⇒=
vlv
xx
astfel, rezultă constantele de integrare:
.12
;03
12lC ==C
Ecuaţia fibrei medii deformate devine:
.12126
343
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
xlxlxEIqv
Săgeata maximă apare la mijlocul grinzii:
,3845 4
2max EI
qllx=
=v
iar rotirile au valori maxime pe reazeme:
.24
3
EIql
BA =−= ϕϕ
e. Bară simplu rezemată încărcată cu momente pe reazeme (fig.8.7)
A B
x
l
fig.8.7
M0 M0
Într-o secţiune curentă x momentul încovoietor este: ( ) ;0MxM = rezultă:
.02
2
EIMv
−=dxd
Se integrează succesiv de două ori:
( );10 Cx
EIM
dxdv
+−== ϕ
149
.2 21
20
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−= CxCx
EIM
v
Condiţiile la limită sunt:
,0;00
=⇒==⇒=
vlv
xx
astfel, rezultă constantele de integrare:
.2
;0 12lC −==C
Ecuaţia fibrei medii deformate va fi:
( ).2
20
EIxxlM
v −
=
Săgeata maximă se găseşte la mijlocul grinzii:
;8
202
max EIlMv
lx=
=
iar rotirile maxime au loc pe reazeme:
.2
0
EIlM
BA =−= ϕϕ
f. Bară dublu încastrată încărcată cu o sarcină uniform distribuită (fig.8.8a)
p pM0 M0
l l l= +
a. b. c.
fig.8.8 Problema este static nedeterminată. Rezolvarea se va face pe baza principiului suprapunerii efectelor. Încastrarea se înlocuieşte cu un reazem simplu pe care acţionează un moment M0 a cărui valoare va fi determinată astfel ca rotirea pe reazem să fie nulă (fig.8.8b şi c); pe cea de a doua grindă simplu rezemată va acţiona sarcina uniform distribuită, de intensitate p, cunoscută.
150
Pentru situaţia din figura 8.8b se cunosc, din exemplele precedente:
.8
;24
;3845
2
2
/max
3/
4
2
/max
plEI
pl
EIpl
lx
A
l
=
=
=
=
=
M
vx
ϕ
Pentru figura 8.8c:
.
;2
;8
0//max
0//
20
2
//max
MEI
lM
EIlM
A
l
=
=
==
M
vx
ϕ
Când cele două încărcări lucrează concomitent, mărimile corespunzătoare se însumează: dar ,///
AAA ϕϕϕ += ;0=Aϕ se înlocuiesc expresiile lui ϕA
/ şi ϕA//:
.12
,0224
2
00
3 plMEI
lMEI
pl−=⇒=+
Momentul şi săgeata maximă la jumătatea deschiderii grinzii vor fi:
.
3848123845
;24128
4224
max
222
max
EIpl
EIlpl
EIplv
plplplM
=−=
=−=
8.3 Metoda grinzii conjugate Determinarea ecuaţiei axei deformate prin integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale devine nepractică dacă numărul intervalelor cu legi diferite de variaţie a momentelor încovoietoare creşte. O eficienţă sporită se obţine utilizând metoda grinzii conjugate sau a grinzii fictive. Această metodă se bazează pe analogia dintre ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate
151
(relaţia 1) şi expresia care rezultă în cazul ecuaţiei diferenţiale între eforturi şi încărcări (relaţia 2):
;2
2
EIM
dxd
dxvd
−==ϕ
(1)
.2
2
pdxdT
dxMd
−== (2)
Se constată că, făcând corespondenţa:
,;; vMTEIMp ↔↔↔ ϕ
un grup de relaţii se transformă în celălalt. Dacă se notează:
;pf=EIM
(f – fictiv)
şi identificând relaţiile (1) şi (2), rezultă:
;2
2f
ff
pdx
dTdxMd
−== (2/)
dar relaţia (2/) este identică cu relaţia (1). Rezultă că:
.;EI
MvEIT ff
==ϕ
Calculul deplasărilor ϕ şi v (rotiri şi săgeţi) se reduce la calculul unor diagrame de eforturi. Grinda pe care se trasează diagramele Tf şi Mf (forţă tăietoare fictivă şi moment încovoietor fictiv), este o grindă convenţională care trebuie să satisfacă în eforturi condiţiile pe care grinda reală le satisface în deplasări (rotiri şi săgeţi). Aceasta este grinda conjugată a grinzii reale. Etapele de calcul pentru determinarea fibrei medii deformate sunt următoarele:
- se trasează diagrama de momente încovoietoare pe grinda reală; - se determină grinda conjugată din echivalenţa între tipurile de
legături (tabelul 8.2) şi se încarcă grinda conjugată cu o sarcină distribuită avînd legea de distribuţie corespunzătoare diagramei de moment răsturnate;
- se determină pe grinda conjugată diagramele de eforturi T f şi M f ; - se determină rotirile şi săgeţile grinzii reale cu ajutorul diagramelor de
eforturi anterior trasate, cu relaţiile:
.
;
EIMEIT
f
f
=
=
v
ϕ
152
8.3.1 Corespondenţa între reazemele grinzii reale şi conjugate grinda reală grinda conjugată tip de reazem condiţii în deplasări condiţii în eforturi tip de reazem reazem simplu încastrare capăt liber reazem intermediar articulaţie intermediară
ϕ ≠ 0; v = 0 ϕ = 0; v = 0 ϕ ≠ 0; v ≠ 0 ϕst = ϕdr ≠ 0; vst = vdr =0 ϕst ≠ ϕdr ≠ 0; vst = vdr ≠0
T f ≠ 0; M f =0 T f =0; M f =0 T f ≠ 0; M f ≠0 T f
st = T fdr ≠ 0;
M f
st = M fdr = 0
T f
st ≠ Tfdr ≠0;
M f
st = M fdr ≠ 0
reazem simplu capăt liber încastrare articulaţie intermediară reazem intermediar
tabelul 8.2 8.4 Metoda parametrilor în origine Metoda parametrilor în origine propune un studiu unitar pentru mărimile eforturilor secţionale şi deformaţiile datorate solicitării de încovoiere, dând o semnificaţie fizică constantelor de integrare. Relaţiile diferenţiale între sarcini şi eforturi sunt:
153
( );2
2
xpdxdT
dxM
−==d
iar între deplasări şi momentul încovoietor:
.2
2
EIM
dxd
dxv
−==ϕd
Dintre cele patru necunoscute M, T, ϕ şi v, necunoscuta principală se alege săgeata v, celelalte urmând a fi exprimate prin intermediul acesteia. Se pleacă de la relaţia:
( ) ( .;4
4
ctEI )EI
xpdx
vd== (1)
celelalte mărimi se vor exprima în funcţie de v:
.;; 3
3
2
2
dxvdEIT
dxvdEIM
dxdv
−=−==ϕ
Soluţia generală a ecuaţiei (1) va fi de forma:
;−
+= vv pv
cu notaţiile v - soluţia particulară şi - soluţia ecuaţiei omogene: −
v
.04
4
=
−
dxvdEI (2)
O soluţie particulară poate fi obţinută direct prin integrarea de patru ori:
(3) ( ) .0000∫∫∫∫=xxxx
p dxxpdxdxdxvEI
Nu se introduc constante de integrare,acestea apărând în soluţia ecuaţiei omogene; soluţia (3) poate fi însă exprimată cu ajutorul unei singure integrale folosind formula lui Cauchy:
( ) ( ) ( ) ( ) .!1
1
0
1
int
000∫∫∫∫ −−
−=
xn
egralen
xxx
dttptxn
dxxpdxdx …
În membrul din dreapta x = ct., integrarea făcându-se în raport cu t; pentru un număr de patru integrale:
( ) ( ) .!3
1
0
3∫ −=x
p dttptxvEI
Soluţia ecuaţiei omogene (2) se obţine prin integrare succesivă:
154
.26
;2
;
;
43
2
2
3
1
32
2
1
/21
//1
///
CxCxCxCvEI
CxCxCvEI
CxCvEI
CvEI
+++=
++=
+=
=
−
−
−
−
Soluţia generală pentru v şi derivatele sale se scrie astfel:
.26
;2
;
;
43
2
2
3
1
32
2
1//
21////
1//////
CxCxCxCvEIvEI
CxCxCvEIvEI
CxCvEIvEI
CvEIvEI
p
p
p
p
++++=
+++=
++=
+=
În locul derivatelor lui v vor fi introduse ϕ, M, T, astfel:
.
;
;2
;26
1///
21//
32
2
1/
43
2
2
3
1
CvEIT
CxCvEIM
CxCxCvEIEI
CxCxCxCvEIvEI
p
p
p
p
−−=
−−−=
+++=
++++=
ϕ
Constantele C1, C2, C3, C4 au o semnificaţie pur matematică; se vor calcula valorile mărimilor precedente în originea aleasă la capătul din stânga al grinzii. Pentru x = 0, soluţia particulară vp şi toate derivatele succesive se anulează (datorită limitelor de integrare), astfel încât rămâne în discuţie doar soluţia omogenă. Se notează cu indicele 0 valorile relative în origine. Rezultă: .;;; 10203040 CTCMCEICvEI =−=−== ϕ Mărimile v0, ϕ0, M0, T0 ce reprezintă săgeata, rotirea, momentul încovoietor şi forţa tăietoare în origine, având o semnificaţie fizică bine precizată se numesc parametri iniţiali sau în origine. Aşadar:
155
.
;
;2
;26
0///
00//
00
20/
00
20
30
TvEIT
MxTvEIMEI
xMEIxT
v
vxEI
xMEIxTvv
p
p
p
p
+−=
++−=
+−−=
++−−=
ϕϕ
ϕ
(4)
Pentru determinarea parametrilor în origine se studiază următoarele cazuri:
a) încărcarea este continuă pe toată deschiderea grinzii; b) încărcarea prezintă discontinuităţi (sarcini distribuite parţial, forţe
concentrate, cupluri concentrate, articulaţii intermediare).
Încărcarea continuă pe toată deschiderea grinzii (fig.8.9)
p(x)
x
p0
l
fig.8.9 Într-o secţiune curentă x sarcina distribuită are valoarea:
( ) .0
lxpx =p
Conform relaţiilor (1) şi (3) rezultă:
;
;
0
0
000
04
4
∫∫∫∫=
=
xxxx
p dxl
xpdxdxdxvEI
lxp
dxvdEI
integrând expresia EIvp se obţine:
.
2;
6
;24
;120
20///
30//
40/
50
lxp
vEIlxp
vEI
lxpvEI
lxpvEI
pp
pp
==
==
156
Prin aplicarea formulei lui Cauchy, aceleaşi expresii rezultă:
( ) ( )
,12054
326
3366
1
50
0
5432
230
0
432230
0
03
lxptxttxtx
lp
dttxttxtxl
pdt
ltp
txvEI
x
xx
p
=−+−=
=−+−=−= ∫∫
prin urmare acelaşi rezultat. Expresiile săgeţii, rotirii, momentului încovoietor şi forţei tăietoare devin:
.2
;6
;224
;26120
0
20
00
30
00
20
40
00
20
30
50
Tlxp
T
MxTlxp
M
EIxM
EIxT
lEIxp
vxEI
xMEIxT
lEIxp
v
+−=
++−=
+−−=
++−−=
ϕϕ
ϕ
(5)
Parametrii iniţiali se vor determina studiind condiţiile la limită în punctele de rezemare: - în origine, pe reazem v0 = 0 şi M0 = 0. Relaţiile (5) se simplifică astfel:
.Tl2xp
;xTl6xpM
;EI2xT
lEI24xp
;xEI6xT
lEI120xp
0
20
0
30
0
20
40
0
30
50
+−=
+−=
+−=
+−=
ϕϕ
ϕ
T
v
-pe reazemul din dreapta, pentru x = l, M = 0 şi v = 0:
;6
06
000
30 lpTlTllp
=→=+−
157
.36070
6120
30
00
30
50
EIlpl
EIlT
lEIlp
=→=+− ϕϕ
Sarcini distribuite parţial (fig.8.10) Soluţia particulară poate fi uşor determinată pornindu-se de la formula lui Cauchy.
ab
l
p
AO B C
a) b)
a1
b1
a2
b2
p1 p2
O A B C D E
fig.8.10
l
În figura 8.10a se disting trei intervale, corespunzător cărora rezultă soluţia particulară:
- pe intervalul OA cu x∈[0, a], neîncărcat: vp = 0; - pe intervalul AB cu x∈[a, b], încărcat:
( ) ( ) ( ) ;24246
1 443 axptxpdtptxEIv
x
a
x
ap
−=−−=−= ∫
- pe intervalul BC cu x∈[b, l], neîncărcat:
( ) ( ) ( ) ( ) ;2424246
1 4443 bxpaxptxpdtptxEIv
b
a
b
ap
−−
−=−−=−= ∫
În figura 8.10b se disting cinci intervale, astfel: - pe intervalul OA, cu x∈[0, a1], neîncărcat: vp = 0; - pe intervalul AB, cu x∈[a1, b1]:
( ) ;24
41
1 axpEIv p −=
- pe intervalul BC, cu x∈[b1, a2]:
( ) ( ) ;2424
41
141
1 bxpaxpEIvp −−−=
- pe intervalul CD, cu x∈[a2, b2]:
158
( ) ( ) ( ) ;242424
42
241
141
1 axpbxpaxpEIvp −+−−−=
- pe intervalul DE, cu x∈[b2, l]:
( ) ( ) ( ) ( ) ;24242424
42
242
241
141
1 bxpaxpbxpaxpEIvp −−−+−−−=
Acţiunea unei forţe concentrate (fig.8.11)
T0
0
P
a x-a
x fig.8.11
x
Studiind relaţiile (4) se constată că termenii cuprinzând factorul T0 denotă influenţa unei forţe concentrate aplicate în origine (de exemplu
termenul EIxT
6
30− reprezintă modul în care este influenţată săgeata v la
dreapta forţei tăietoare T0, sau termenul cu aceeaşi însemnătate în cazul momentelor).
xT0
Forţa concentrată P (fig.8.11), dirijată în jos, este aplicată în secţiunea x = a şi influenţa acesteia se va resimţi la dreapta acestei secţiuni. Pentru x ≥ a, influenţa lui P va fi:
- pentru săgeţi: ( ) ;6
3
EIaxP −
- pentru rotiri: ( ) ;2
2
EIaxP −
- pentru momentul încovoietor: ( );axP −− - pentru forţe tăietoare: .P−
Termenii se adaugă expresiilor (4) pentru intervalul de la dreapta forţei P.
159
Acţiunea unui moment concentrat (fig.8.12)
M0
0
b x-bx
x
M
fig.8.12 Acţiunea unui moment M, aplicat în secţiunea x = b, se manifestă prin adăugarea unor noi termeni, astfel:
- pentru săgeţi: ( ) ;2
2
EIbxM −
−
- pentru rotiri: ( ) ;EI
bxM −−
- pentru moment încovoietor: .M Efectul unei articulaţii intermediare echivalează cu introducerea în secţiunea respectivă a unei rotiri α. Valoarea acesteia va rezulta impunând condiţia suplimentară condiţiilor de rezemare ca în articulaţie momentul încovoietor să fie nul. Efectul unui reazem intermediar echivalează cu introducerea în secţiunea respectivă a unei reacţiuni. Problema 8.a
Pentru consola din figura 8a să se calculeze săgeata în punctul C folosind: 1) metoda integrării directe; 2) metoda grinzii conjugate. Se cunosc: E = 2,1 ⋅ 105 N/mm2, I = 573 cm4.
3kN
A C
x
B
M =9kNmB
V =3kNB1000 2000
fig.8a.1
160
1) Alegând originea în punctul B, expresia momentului încovoietor într-o secţiune curentă este: ( ) ;103109 36 xxM ⋅+⋅−=astfel, rezultă:
.103109 36
2
2
EIx
dxv ⋅−⋅
=d
Se integrează succesiv de două ori, obţinându-se expresiile pentru rotiri şi săgeţi:
.
6103
2109
;2103109
21
3226
1
236
CxCEI
xEI
xv
CEI
xEI
xdxdv
++⋅
−⋅
=
+⋅
−⋅
==ϕ
Punând condiţiile la limită se determină constantele de integrare; se ştie că în încastrare atât rotirea cât şi săgeata sunt nule. Deci pentru x = 0, v = 0 şi ϕ = 0. Rezultă C1 = C2 = 0; se calculează săgeata în punctul C (x = 2000 mm):
( ) ( )
.63.11
;6
20001032
2000109 3326
mmvEIEI
v
C
C
=
⋅−
⋅=
2) Se trasează grinda conjugată încărcată cu diagrama de moment
răsturnată (fig.8a.2), cu ajutorul tabelului 8.2. 3kN
A C B
1000 2000
9
9 3 9
10
10 10 10
6
96 6
.
. . .V = ½A
f 3.
MAf M [Nmm]
−
fig.8a.2
161
.63.11
,10313
2110
22710391
;10393000323000109
21
121212
126
mmvEIEI
Mv
M
C
fC
C
fA
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅==
⋅⋅=⋅⋅⋅=
Problema 8.b Să se determine rotirea în secţiunea A şi săgeata în secţiunea B pentru grinda simplu rezemată din figura 8b. Se dau: Iz = 62533,33 cm4, E = 2,1⋅105 N/mm2. Se va folosi metoda grinzii conjugate.
170kN 138kN
A B C D
VA = 115.67 kN V = 192.33 kND4.5m 2.5 2
520.5 kNm 384.67 kNm
VAf
VDf
M
fig.8b
+
Cu ajutorul tabelului 8.2 se trasează grinda conjugată şi se încarcă cu diagrama de momente răsturnată. Astfel, se obţin:
( )
( )
;10057.955
,232
21267.38425.2
325.2
2167.3845.520
1033.62533101.2910
225.15.267.3845.45.431
215.45.520
1033.62533101.2910
;
5
45
12
45
12
rad
EIV
A
A
fA
A
−⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅⋅⋅⋅+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
=
ϕ
ϕ
ϕ
.6.29101033.62533101.2
5.431
215.45.5205.4
1245 mm
V
EIMv
fAf
BB =⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅==
162
Problema 8.c Se dă grinda încărcată ca în figura 8c. Să se determine săgeata în capătul liber A şi rotirea în C. Se va utiliza: 1) metoda grinzii conjugate; 2) metoda parametrilor în origine.
3P
A B C
a 4aV = 3.75PB 3Pa
M
3Pa
VB
VB
f
f
VCf
3Pa
3Pa
M1f
fig.8c
-
1) Pe baza tabelului 8.2 se trasează grinda conjugată care se încarcă cu diagrama de momente răsturnată; se obţin:
.2
;24
431
2143
;5
;532
2134
;44
432
2143
2
2
3
32
2
EIPa
EIV
Paa
aaPa
EIPa
EIM
PaaaPaaPaM
Paa
aaPa
fC
C
fC
fA
A
fA
fB
==
=⋅⋅⋅
=
==
=⋅⋅⋅+⋅=
=⋅⋅⋅
=
ϕ
V
v
V
163
2) Se porneşte de la relaţia:
.26
20
30
00 pvEIxM
EIxT
xv +−−+= ϕv
Studiind originea grinzii, care este un capăt liber şi modul de încărcare al acesteia, rezultă:
( ) ;
675.3
;0;3
30
0
EIaxP
MP
p−
−=
=
v
T −=
aşadar:
( ) .
675.3
63 33
00 EIaxP
EIxPxvv −
−++= ϕ
Din condiţiile la limită pe reazeme se obţine:
( ) ( ) ;EI6
a4P75.3EI6
a5P3a5v0va5x
,EI6
Pa3av0vax
33
00C
3
00B
−++==→=
++==→=
ϕ
ϕ
rezultă:
.5
;5.5
3
0
2
0
AvEIPa
EIPa
==
−=
v
ϕ
Expresia săgeţilor devine:
( ) ,
675.3
25.55 3323
EIaxP
EIPx
EIxPa
EIPav −
−+−=
iar cea a rotirilor:
( ) .
275.3
235.5
222
EIaxP
EIPx
EIPa −
−+−=ϕ
Rotirea în punctul C se obţine egalând x cu 5a:
( ) ( ) .2
2475.3
2535.5 2222
EIPa
EIaP
EIaP
EIPa
C =−+−=ϕ
164
Problema 8.d Se dă grinda simplu rezemată cu consolă încărcată ca în figura 8d. Să se calculeze săgeata în secţiunea D şi rotirea în secţiunea F folosind metoda parametrilor în origine.
3P 2P 0.5PP/a
A B C D E F
V = 2.89PA V = 3.611PE
1.5a a a a a fig.8d Se porneşte de la relaţia (4) corespunzătoare lui v şi se exprimă vp în funcţie de încărcarea grinzii:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .24
5.46
5.4611.36
5.35.06
5.226
5.1326
433
3320
30
00
EIaaxP
EIaxP
EIaxP
EIaxP
EIaxP
EIxM
EIxTxvv
⋅−
+−
−−
+
+−
+−
+−−+= ϕ
Datorită reazemului din origine v0 = 0, M0 = 0 iar T0 = 2,889P. Pentru determinarea lui ϕ0 se pune condiţia ca pentru x = 4,5a, v = 0 (pe reazemul din E săgeata este nulă):
( ) ( ) ( )
.76.165
;065.0
622
633
65.4889.25.4
2
0
3333
0
EIPa
EIPa
EIaP
EIaP
EIaPa
=
=+++−⋅
ϕ
ϕ
Se scriu expresiile săgeţilor şi rotirilor:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ;24
5.46
5.4611.36
5.35.06
5.226
5.136
889.276.165
433
3332
EIax
aP
EIaxP
EIaxP
EIaxP
EIaxP
EIPx
EIxPav
−+
−−
−+
+−
+−
+−=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ;6
5.42
5.4611.32
5.35.02
5.222
5.132
889.276.165
322
2222
EIax
aP
EIaxP
EIaxP
EIaxP
EIaxP
EIPx
EIPa
−+
−−
−+
+−
+−
+−=ϕ
165
Se calculează săgeata în secţiunea D pentru x = 3,5a şi rotirea în F pentru x = 5.5a:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.42.15462
611.32
25.02
322
432
5.5889.276.165
;84.5636
26
236
5.3889.25.376.165
232
22222
33332
EIPa
EIa
aP
EIPa
EIaP
EIaP
EIaP
EIaP
EIPa
EIPa
EIPa
EIaP
EIaP
EIaPav
F
D
=+−
−+++−=
=++−⋅
=
ϕ
Problema 8.e Să se determine valoarea săgeţii în capătul liber al consolei din figură (secţiunea A), precum şi rotirea secţiunii B; se dau E = 2,1⋅105 N/mm2; Iz = 573 cm4.
3kN
1000 2000mm
A B C
6kNm
M
6kNm
A B C
-
fig.8e Se foloseşte metoda grinzii conjugate; se trasează diagrama de moment corespunzătoare încărcării consolei, se trasează grinda conjugată şi se încarcă cu diagrama de moment răsturnată. Astfel, se obţine:
166
.1098.410573101.2
22000106
;63.1110573101.2
1000200032
22000106
345
6
45
6
radEIT
mmEI
Mv
fB
B
fA
A
−⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅
==
=⋅⋅⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅⋅
==
ϕ
167
Capitolul 9
VARIAŢIA TENSIUNILOR ÎN JURUL UNUI PUNCT ÎN CAZUL STĂRII PLANE DE TENSIUNI
9.1 Expresiile tensiunilor pe o secţiune înclinată cu unghiul α O stare de tensiune este plană când tensiunile se află într-un plan. În acest caz, tensiunile pe plane cu vector de orientare z (σz, τxz, τzx), vor fi nule; în secţiunile transversale pe axa x vor apare tensiuni normale σx şi tensiuni tangenţialeτxy, iar în cele perpendiculare pe axa y, σy şi respectiv τyx. Asupra barei de secţiune dreptunghiulară cu lăţimea unitară (fig.9.1), forţele distribuindu-se uniform, se admite că şi tensiunile se distribuie uniform pe lăţime, astfel încât apare o stare plană de tensiuni redusă la planul median.
y
x
x
y
z
y
b = 1
fig.9.1
2 2
1
13
3
α
În practică se extinde teoria de la starea de tensiuni plană şi în cazul barelor a căror secţiune transversală este oarecare, datorită faptului că tensiunile σ şi τ se distribuie uniform pe lăţimea secţiunii. Se secţionează bara cu planele 1-1 şi 2-2 pe care tensiunile σx, τxy respectiv σy şi τyx se presupun cunoscute, fiind determinate cu relaţiile de la
168
solicitările simple. Pe secţiunea 3-3, înclinată cu unghiul α faţă de axa y, tensiunile σα şi τα au valori necunoscute. Se izolează prisma elementară triunghiulară 1-1; 2-2; 3-3. Prin reducerea în planul median se obţine triunghiul dreptunghic din figura 9.2.
1
12 23
3
dx
dyds
fig.9.2
M
σy
τyx
τxyσx
σαταα
Elementul prismatic este în echilibru; ecuaţiile de echilibru static vor fi:
1) Ecuaţia de moment în raport cu punctul M:
;02
12
1;0 =⋅⋅−⋅⋅=∑ dydxdxdyM yxxyM ττ
rezultă: yxxy ττ = (1) adică legea dualităţii tensiunilor tangenţiale (vezi capitolul 4).
2) Ecuaţia de proiecţii pe direcţia tensiunii normale σx: ,0cos1sin1sin1cos11 =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅ ατατασασσα dxdydxdyds yxxyyx
d αsin⋅= dsdx şi αcos⋅= dsdyar , astfel rezultă: (2a)
proiecţii pe direcţia tensiunii tangenţiale τα: si2sin 2 ταα xyy += .cosncos2 αασασσ x +
3) Ecuaţia de cos1cos1sin11 ,0sin1+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅ τατασαστα dxdydxdyds yxxyyx =⋅⋅ α
rezultă: ( ) ( ).sincoscossin 22 ααταασστα −+−−= xyyx (2b)
relaţiile trigonometrice elementare:
Utilizând
,2
2cos1sin;2
2cos1cos
;sincos2cos;cossin22sin 2αααα ==
22
2
αααα
αα−
=+
=
−
169
înlocuind corespunzător şi făcând calculele necesare în expresiile 2a şi 2b, rezultă:
;2sin2cos22
ατασσσσ
σ α xyyxyx +
−+
+= (3a)
( )
.2cos2sin2 xy
yxατα
σστα +
−−= (
3b)
9.2 Tensiuni normale principale şi direcţii principale
Pentru determinarea tensiunilor principale (a tensiunilor normale cu
valori extreme), se derivează expresia (3a) în funcţie de parametrul 2α:
( ) ;02cos2sin22
==+−
−=α τατα α
σσα xyd
rezultă că planul pe care tensiunea normală σ are o valoare extremă este un
σ yxd
plan pe care tensiunea tangenţială τ este nulă. Planele pe care tensiunea tangenţială este nulă se numesc plane principale de tensiune. Prin împărţirea cu cos2α în expresia precedentă, rezultă:
;2 xy2
yx
tgσσ
τα =
− (4)
Expresia (4), pentru [ ]πα 2,0∈ are două soluţii: 2α şi 2α +π, adică istă
ax şi σ2 = σmin.
/ /
ex două plane principale de tensiune perpendiculare între ele, deci două direcţii principale de tensiune, α/ şi α/+ π/2, pentru care tensiunile normale sunt σ1 şi σ2 cu σ1>σ2, altfel spus: σ1 = σm Folosind relaţiile trigonometrice:
,21
12cos;21
22sin22 α
αα
αα tg±=
tgtg +±=
+
prin utilizarea expresiei (4), rezultă:
( )
.
22
2cos;
2
2sin2
22
2
xyyx
yx
xyyx
−xy α
τσσ
τα
σ σ
τσσ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
Se introduc expresiile lui cos 2α şi sin 2α în relaţia (3a), de unde vor rezulta tensiunile normale principale:
±=
170
;22
2
2
2,1yx σσσσ
σ⎞⎛ −
±+
= xyyx τ+⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
(5)
i care din unghiurile α/ şi α/+ π/2 co Pentru a stabil respunde lui σ1 se
pune condiţia de maxim ( )0
2 2 <α
α
d. Se derivează încă o dată expresia (3a)
în funcţie de (2α):
( )
2σd
;2cos22
2sin2cos22 2α
α −=d
x2
αατσσ
ατασσσ
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−=−
−tgd
xyyx
xyy
yx
xytgσσ
τα
−=
22dar cu din (4), rezultă:
( );
2
2cos22
22
2
2
yxxy
yx σσα⎡ ⎞⎜⎛ −
dd
σσατ
ασ
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
+⎟⎟⎠
⎜⎝
−=
cu αα
α2
2costg
= , deci: 2sin
( ),cossin2
2
22
2sin22d
d 22
y2
τ+⎟⎞
xy
2xy
2yx
yx
xyyxxy
x2 τ
αατσσ
σστσσ
ασσ
ασα
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
−⋅
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎜⎜⎝
⎛ −−=
ţinând cont de αααααα coscos2cossin22sin tg== , rezultă:
( ),0<
tgα
cos222
22
2
2
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
xyxy
yx
dd
τατ
σσασα
condiţia de maxim la: ceea ce reduce
.01 >tgα
xyτ (6)
9.3 Tensiuni tangenţiale maxime
nct alegând ca axe de ferinţă axele principale ale secţiunii (fig.9.3).
Se scrie variaţia tensiunilor în jurul unui pure
171
1
2
fig.9.3
σ2
σ1
σατα (σ + σ )/21 2
(σ − σ )/21 2
Rezultă σx = σ1, σy = σ2, τxy = 0; în acest caz relaţiile 3a şi 3b devin:
;2cos22
2121 ασ
σ ασ σ −
+σ+
= (7a)
.2sin2
21 ασσ
τα−
−=
lui τα se obţin pentru anelor principale d
(7b)
Valorile extreme ale sin 2α = ±1 sau α1,2 =± π / 4, deci planele bisectoare ale pl e tensiune. Rezultă:
.2
;2
21max
21min
σστ
σστ
−−=
−=
ţionează τmax , respectiv τmin are valoarea: Tensiunea normală pe planul pe care ac
.21
2450
σσσ
+= ±
9.4 Tensiuni pe o suprafaţă înclinată în cazurile solicitărilor
simple
Se particularizează expresii b corespunzătoare tensiunilor σα şi τα pentru solicitările simple, astfel:
le 3a şi 3
172
a. Solicitarea de întindere sau compresiune monoaxială (fig.9.4);
fig.9.4
σx
σαταα
.0
;0
==
=
yxxy
y
τ τ
σ
Rezultă tensiunile pe o sup trafaţă înclina ă:
.2
2sin ασα x
;cos2
τ
ασσ
xa −=
=
rincipale sunt: Tensiunile şi direcţiile p
.2
;0 π;0; 121 2α =
ţială maximă este:
ασσσ === x
Tensiunea tangen
2maxτ = pentru xσ 41
πα −= .
b. Solicitarea de forfecare pură (fig.9.5);
fig.9.5
τyx
τxy
σαταα
.0== yx σσ
Rezultă tensiunile pe o suprafaţă înclinată: ;2sin ατσ
.2cos αττα =α
xy
xy=
173
Tensiunile şi direcţiile principale sunt:
.4
3;4
;; 2121παπατστσ ==−== xyxy
Tensiunea tangenţială maximă este:
τ =max xyτ pentru α1 = 0.
l c
c. Solicitarea de încovoiere simplă culează Tensiunea normală σx se ca u formula lui Navier.
Tensiunea normală σ este y nulă. Tensiunile tangenţiale τ , τ se caxy yx lculează cu formula lui Juravski.
Tensiunile principale se vor calcula astfel:
.2xy
xx τσσ
σ +⎟⎞
⎜⎛±= 222,1
⎠⎝
2
Problema 9.a
Pentru grinda având secţiunea în formă de T ca în figura 9a, se cer nsiunile principale şi direcţiile principale în punctul P1 al secţiunii Bdr.
te
80x20
30.35 N/mm
2m 0.828m
A B C
120x2040
P1
yG1
28z
z1
z2
yfig.9a
Pentru calculul tensiunilor principale se determină iniţial:
.; 1
1
1
zz IbI ⋅zBdrP
xyPBdrP
xSTyM ⋅
== τσ
Pentru calculul momentului de inerţie axial Iz se determină mai întâi poziţia centrului de greutate al secţiunii:
,422012020801 mmyG =
7012020⋅+⋅
⋅⋅=
174
apoi se calculează Iz:
.763730028201201212020422080
12I z ⋅+=
2080 43
23
mm=⋅⋅+⋅
+⋅⋅
Astfel, rezultă:
2
;/45.657637300
4810414468 21 mmNP ⋅−=x −=
în care:
σ
;482028
,104144682
82835.30
1
2
mmy
NmmM
P
Bdr
=+=
−=⋅
−=
respectiv: ( ) ;/95.8
763730020204820408.25129 21 mmNP
xy =⋅
+⋅⋅=τ
cu:
( ).20
,682040
,8.2512982835.303
mmbmmS
NT
z
Bdr
=⋅⋅=
=⋅=
Tensiunile principale sunt:
./6.66;/2.1
;95.82
4.652
4.65222,1
xx +⎟⎠
⎜⎝
±= τσ
22
21
22
22
mmNmmN
xy
−==
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±−=⎞⎛
σσ
σσ
Direcţiile principale se determină cu relaţia:
;5182;97
;2.04.65
2 −=−
==σ
αx
tg 7495.822
/0///0/ =−=
⋅
αα
τ xy
în urma discuţiei:
;2
,00;0 111 παατ
τα
<>→>> tgtgxy
xy
rezultă:
Problema 9.b Să se determine tensiunile normale principale şi direcţiile principale
pentru grinda simplu rezemată cu consolă, având secţiunea în formă de I, la
.97,5182 /02
/01 −== αα
175
îmbinarea inimii cu talpa, în secţiunea cea mai solicitată (fig.9b). Se dau: a = 1m; q = 20 kN/m; t = 11mm.
10qa 5qa q 18t x 2t
a 3a 4a 2aV = 11qaA
11qaqa
4qa
2qa
2qa
14qa11qa
T
M
z
y
J
36t x t
18t x 2t
fig.9b
22
2
A B C
+
-+
-+
D E
Tensiunile normale principale se calculează cu relaţia:
,222,1 xy
⎠⎝2
2xx τσσσ +⎟
⎞⎜⎛±=
în care pentru problema 9.b:
;maxJ
zx y
IM
⋅=σ
cu:
( ) ( ) ( )
;18
,10378.4299041921812
21821236
,14
484233
2max
ty
mmttttttttI
qaM
J
z
=
⋅==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+
⋅+
⋅=
=
rezultă:
;/63.126111810378.4102014 2
8
6
mmNx =⋅⋅⋅⋅⋅
=σ
respectiv:
;z
zxy Ib
ST⋅⋅
=τ
176
în care:
;,19218
,4
tbttS
qaT
z
=⋅⋅= t
−=
astfel, se obţine:
./123.1510378.411
111921810204 28
33
mmNxy −=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=τ
Se fac înlocuirile în expresia tensiunilor principale:
./7.1,/44.128
;123.152
63.1262
63.126
22
2 mmNmmN −==
⎠⎝
σσ 1
22
2,1 +⎟⎞
⎜⎛±=σ
Direcţiile principale se determină cu relaţia:
;141783;46426 /0/////0/ =−= αα
2405.063.126123.1522
2
//
⇒−=⋅
−==στ
α xytg
în urma discuţiei:
x
20,0;0 11
1 ;πααττ
α>→<<> tgtg
xyxy
rezultă: .141783,46426 ///0
2///0
1 =−= αα
177
Capitolul 10
TORSIUNEA
10.1 Generalităţi. Torsiunea barelor cu secţiune circulară
O trans Mt – acţionând în plan normal la axa barei, vectorul moment fiind dirijat după
cu axa barei.
nii este posibilă umai
fiind S , S , S , S cu S > S şi S > , est
bară este solicitată la torsiune (răsucire) dacă în secţiunile ei
versale forţele interioare se reduc la un cuplu – moment de torsiune
tangenta la axa barei în secţiunea considerată. Deformaţia barei supusă la torsiune este caracterizată, în principal, de rotirea secţiunilor transversale una faţă de alta în jurul unei axe care, în cazul secţiunii având două axe de simetrie, coincide În cazul barei cu secţiune circulară sau inelară, problema torsiunii se poate rezolva complet cu ipotezele Rezistenţei Materialelor, în timp ce, pentru alte tipuri de secţiuni soluţionarea problemei torsiun cu metodele Teoriei Elasticităţii. Momentul de torsiune transmis, în cazul unui arbore pe care sunt montate două roţi de curea (fig.10.1), roata A fiind motoare iar roata B condusă, eforturile din ramurile de curea 1 2 3 4 1 2 3S4 e:
( ) .21 RSSM At ⋅−=
S2
S1S3
S4
A B
R r
fig.10.1Mt
R r
178
Condiţia de echilibru cere ca momentul preluat de roata condusă să fie egal cu cel transmis:
Momentul de torsiune este constant pe distanţa dintre roţi. Dacă arborele este antrenat de un motor de putere P[kW] iar turaţia este n[rot/min], momentul de torsiune (cuplul motor) este:
( ) .
;
43 rSSM
MMBt
At
Bt
⋅−=
=
[ ].55.9 kNmnPM t =
10.2 Tensiuni în bara de secţiune circulară şi inelară
Fie o bară dreaptă de secţiune circulară încastrată la o extremitate şi acţionată la capătul liber de un moment de torsiune Mt (fig.10.2). Pentru echilibru, în încastrare ia naştere un moment de torsiune egal şi de sens
ne a barei contrar celui aplicat la capătul liber, astfel că în fiecare secţiuexistă un moment de torsiune Mt.
MtMt
x
fig.10.2
10.2.1 Condiţia geometrică
ă se trasează pe suprafaţa laterală a barei, inainte de solicitarea acesteia, o reţea alcătuită dintr-un sistem de linii paralele cu axa longitudinală (generatoare) şi dintr-o serie de cercuri, constituind conturul exterior al secţiunilor transversale, se va constata că după răsucirea barei (în condiţiile unor deformaţii mici), generatoarele drepte se transformă în curbe elicoidale, conturul secţiunilor transversale (circulare şi plane înainte de deformaţie) rămân aceleaşi şi după deformaţie şi la aceleaşi distanţe între
Dac
179
ele, iar axa barei rămâne dreaptă. În urma răsucirii, o secţiune oarecare a barei s-a rotit faţă de alta cu un anumit unghi de torsiune, transformând dreptunghiurile reţelei de pe suprafaţa laterală în paralelograme.Deoarece distanţa între secţiunile transversale nu se modifică, rezultă că fibrele longitudinale ale barei nu-şi modifică lungimea şi că un element dreptunghiular, detaşat de pe suprafaţa laterală a barei şi cuprins între două generatoare şi două cecuri paralele, este supus la forfecare pură în urma căreia se transformă în paralelogram cu deformaţia unghiulară γ0 (fig.10.3).
Mt Mt
γ0x
l l
fig.10.3 Această observaţie caracterizează modul de deformare al fibrelor de pe suprafaţa laterală a barei. Pentru precizarea comportării fibrelor din interior se va accepta ipoteza că secţiunea se roteşte în urma deformării ca un disc rigid, rămânând indeformabilă în planul ei, razele în secţiune rămânând raze drepte şi de aceeaşi lungime, dar rotite toate cu acelaşi unghi. Ipotezele care stau la baza torsiunii barelor cu secţiune circulară sunt următoarele:
- secţiunile transversale ale barei, plane şi normale la axa acesteia înainte de deformaţie, rămân plane şi normale şi după deformaţie (ipoteza secţiunilor plane), secţiunile rotindu-se cu un anumit unghi în jurul axei.
- razele secţiunii rămân drepte şi de aceeaşi lungime şi după deformaţie. - distanţele (în lungul axei) între diferitele secţiuni transversale nu se
modifică în urma deformaţiei. În baza acestor ipoteze, torsiunea barei de secţiune circulară se poate
reprezenta ca rezultatul lunecărilor provocate de rotirile reciproce ale secţiunilor unele faţă de altele. Ca urmare, în secţiunile transversale se produc numai tensiuni tangenţiale, tensiunile normale fiind nule.
Se consideră bara de secţiune circulară de rază R încastrat la o extremitate şi acţionată la capătul liber de momentul de torsiune Mt (fig.10.4). În urma deformaţiei, generatoarea AB de pe suprafaţa laterală a
ă
180
barei ocupă poziţia AB/, secţiunea 1-1 situată la distanţa x de capătul încastrat se roteşte cu unghiul ϕ faţă de secţiunea din încastrare, iar secţiunea 2-2 situată la distanţa x+dx se roteşte faţă de încastrare cu unghiul ϕ+dϕ.
AB
ϕ ϕ+ ϕd1 2
Mt x
fig.10.4
B/
Mt
1 2
x dx
Se consideră separat elementul barei de lungime dx (fig.10.5), unând secţiunea 1-1 fixă, pentru evaluarea unghiului de rotire dpresup ϕ al
secţiunii 2-2 în raport cu 1-1.
fig.10.5
1 2
a bdb1
R
rγ0
γ
1 2
cd1
Mt Mt
x
dϕ
dx
Generatoarea ab va ocupa poziţia ab1 după torsiune, cele două poziţii formând unghiul γ0 între ele, unghi ce reprezintă deformaţia unghiulară pe suprafaţa cilindrică exterioară a barei şi care, în ipoteza micilor deformaţii se poate scrie:
181
.10 dx
dRabbb ϕγ ==
Pentru o suprafaţă cilindrică interioară de rază r, deformaţia unghiulară va fi:
.1
dxdr
cddd ϕγ ==
θϕ=
dxd
Mărimea se numeşte răsucire specifică şi reprezintă rotirea
dintre două secţiuni situate la o distanţă egală cu unitatea una faţă de cealaltă.
10.2.2 Condiţia de elasticitate
Această lege este exprimată prin legea lui Hooke la răsucire, astfel: ;θγτ ⋅⋅=⋅=
,max θτ ⋅⋅= RGrGG
rezultă că tensiunile tangenţiale la torsiune variază liniar cu distanţa până la xă (sunt nule la nivelul axei şi maxime pe contur, fig.10.6).
a
Mtrτmax
Rfig.10.6
τ
τmax
10.2.3 Condiţia statică
Acest studiu face apel la relaţia de echivalenţă dintre momentul de ţa
secţiunii transversale, în raport cu axa barei (fig.10.7).
torsiune în secţiune şi momentul forţelor elementare (τ⋅dA), de pe suprafa
182
dAMt
rτ
fig.10.7
rezultă:
;,.,
;
2
2
p
AAt
IdArctG
dArGdArM
==
==
∫
∫∫θ
θτ
A
;pt IGM θ= astfel:
.tM=θ
pIG (1)
Produsul G Ip poartă numele de modul de rigiditate la torsiune a barei e secţiune circulară sau inelară.
Ştiind că τ = G⋅r⋅θ, se înlocuieşte θ cu expresia (1) şi rezultă:
d
.
;
max RIM
rIM
p
t
p
t
⋅=
⋅=
τ
τ
Se numeşte modul de rezistenţă polar şi se notează cu Wp mărimea:
,RI
W pp =
prin urmare:
,max ap
t
WM
ττ ≤=
relaţie ce
reprezintă condiţia de rezistenţă pentru bara supusă la torsiune.
183
10.3 Deformaţii
Răsucirea specifică se calculează conform relaţiei (1):
;tM=θ
pIGţinându-se seama de:
.dxddxd θϕϕθ =⇒=
Rotirea relativă între două secţiuni aflate la distanţa l una faţă de alta este:
.0 p
tl
IGlMdx == ∫θϕ
Pentru consola din figura 10.8 ϕ reprezintă unghiul de torsiune la capătul liber al barei.
MtMt
l
ϕ
fig.10.8
x
aţiilor limită la
torsiune putând afecta funcţionarea normal a arborilor), intervine condiţia de deformaţie:
Când se impune limitarea rotirilor (depăşirea deformă
.aθθ ≤
10.4 Calculul arborilor de transmisie solicitaţi la torsiune
A. Criteriul de rezistenţă (τmax≤τa) Formula de verificare:
;max
max aeftM
ττ ≤= pW
184
Formula de dimensionare:
;max
a
tnecp
MW
τ=
Formula de calcul a efortului capabil:
B.
.aefp
capt WM τ⋅=
Criteriul de deformaţie (θmax≤θa) Formula de verificare:
;maxM
max aefp
t
IGθθ ≤
⋅=
Formula de dimensionare:
;a
tnecp G
Iθ⋅
= maxM
Formula de calcul a efortului capabil:
10.5 Calculul modulului de rezistenţă polar W
capt GM ⋅= .a
efpI θ⋅
p
Secţiunea circulară (fig.10.9)
D
R
z
y fig.10.9
,32
;4DI
RI
W pp
p⋅
==π
re : zultă
.16
3DWp⋅
=π
10Secţiunea inelară (fig. .10)
( ),D
R
z
y fig.10.10
d32R
re :
; 44 dDII
W pp
p −==π
zultă
( )44
16dD
DWp −=
π.
185
10.6 Sisteme static nedeterminate la torsiune
Fie o bară dublu încastrată (fig.10.11) solicitată în secţiunea C de
omentul de torsiune Mt . Momentul de inerţie la torsiune este diferit pe intervalele AC şi CB. Se cere trasarea diagramei de moment de torsiune.
crie ecuaţia de momente de torsiune faţă de axa barei:
m
Se s,0=+−− ttBtA MMM (1)
ecuaţia conţinând două necunoscute (MtA şi MtB), sistemul este o dată static ntru a se st ili a doua relaţie din sistem – o relaţie de
ompatibilitate geometrică a deplasărilor – se suprimă o legătură, de xemp -se o formă de bază a sistemului iniţial.
nedeterminat. Pe abce lu încastrarea din A, obţinându
AIt1 Mt It2
C Ba bl
MtX = M1t tA MtB
X1t X1t
X1tfi
Mt (X )1t
g.10.11
Mt Mt
Mt (M )t
Mt
M - Xt 1t
-
+
+-
Se notează cu X1t momentul de torsiune din încastrarea din A. Ecuaţia care se poate scrie este ϕAt = 0, adică rotirea datorată torsiunii în încastrarea din A este nulă. Rotirea s-ar datora pe de o parte momentului de torsiune necunoscut X1t iar pe de alta, momentului de torsiune din C:
( ) ( ) ,01 =+= tAttAtAt MX ϕϕϕ (2) dar:
( ) ,2
1
1
11
t
t
t
t
t
ttAt IG
bXIG
aXdx
IGM
X⋅
⋅−+
⋅⋅−
== ∫ϕ (3)
respectiv
186
( ) ;2t
ttAt IG
bMM
⋅⋅
=ϕ (4)
se introduc expresiile (3) şi (4) în (2), rezultă:
.
21
21
tt
ttt
Ib
Ia
Ib
MX+
= (5)
Diagrama finală de moment de torsiune se obţine prin suprapunerea efectelor. Se introduc lungimi reduse în expresia (5):
,;2
0/
1
0/
t
t
t
t
IIbb
IIaa == (6)
cu I0t un moment de inerţie la torsiune ales arbitrar; acesta poate fi unul omentele de inerţie ale barei, de regulă cel care corespunde dintre m
tronsonului de bară cu lungimea cea mai mare. Din expresia (5) rezultă:
;, /
/
1/
/
1 laMXM
lbMX ttttt =−=
Din studiul diagramei Mt (fig.10.11), se observă că, de fapt, este cazul to udiagramei de forţe tăietoare corespunz grinzi simplu rezemate
A/B/C/ convenţionale, î n punctul C/ este o forţă ă are nei
n care forţa care acţionează îenţională obţinută prin rotirea în sens trigonometric cu 900 a vectorului
une (fig.10.12); cu TC s-a notat diagramaconvmoment de torsi de forţe tăietoare convenţională.
A C B
Mt
Mt
a bl
/ / /
Mt a/l/ /
M b/lt //
TC Mt
V = M a/ltB tV = M b/ltA t
fig.10.12
/ /
// /// //
-
+=_
187
Aceasta este metoda grinzii convenţionale pentru trasarea diagramei t pe o grindă dublu în
inda convenţională este identică cu diagrama de momente de torsiune pe grinda reală.
de momente de torsiune M castrată; se porneşte de la bara reală dublu încastrată, se determină grinda convenţională simplu rezemată având deschiderile precizate de relaţiile (6). Grinda convenţională se încarcă cu forţe convenţionale provenite din rotirea vectorului moment de torsiune cu 900 în sens trigonometric; diagrama de forţe tăietoare pe gr
10.7 Torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară
Problema torsiunii unei bare cu secţiune transversală necirculară este mai complexă decât cea a barei cu secţiune circulară, deoarece ipotezele admise la bara cu secţiune circulară nu rămân valabile pentru barele cu ecţiune oarecare; în special ipoteza secţiunilor plane (Bernoulli), cum arată
experimentele, nu este respectată, diferitele puncte ale secţiunii transversale deplasându-se diferit în lungul axei barei, astfel că secţiunile transversale ale barei se deplanează. Dacă pe suprafaţa laterală a unei bare de secţiune dreptunghiulară constantă se trasează o reţea ortogonală şi apoi se supune bara la torsiune, se constată deplanarea (strâmbarea) secţiunilor transversale (fig.10.13). Dreptunghiurile de pe suprafaţa laterală a barei se deformează transformându-se în paralelograme, deformarea lor fiind cu atât mai accentuată cu cât sunt situate mai aproape de mijlocul feţei laterale; dreptunghiurile de lângă muchii rămân aproape nedeformate. Aceste observaţii duc la concluzia că tensiunile tangenţiale maxime au loc la
ijlocul feţelor, deoarece în aceste zone deformaţiile unghiulare sunt axim
s
mm e, iar la muchii (în colţuri) unde deformaţiile unghiulare sunt nule, tensiunile tangenţiale vor fi şi ele nule.
Mt
b
hτmax
τ1max
Mt
fig.10.14fig.10.13
188
Se vor da câteva rezultate ale soluţiei exacte pentru bara de secţiune dreptunghiulară, în cazul deplanărilor libere (fig.10.14), pentru distribuţia tensiunilor tangenţiale de-a lungul axelor principale, al diagonalelor şi pe contur. Expresiile care dau tensiunile tangenţiale maxime şi unghiul de torsiune specific sunt:
,maxt
t
W=τ la mijlocul laturii lungi;
,maxmax1
M
τγτ ⋅= la mijlocul laturii scurte;
,t
t
IGM⋅
=θ
cu: ;, 23 bhWbhI tt αβ == unde α, β, γ sunt coeficienţi numerici care depind de raportul h/b al laturilor secţiunii (h fiind latura lungă şi b, latura scurtă a dreptunghiului). Valorile sunt date în tabelul 10.1.
h/b 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00 4α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
Tabel 10.1
10.8 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu deplanări libere
chis, cu grosime foarte mică (fig.10.15).
Frecvent în practică se întâlnesc bare a căror secţiune transversală este alcătuită din dreptunghiuri înguste legate rigid între ele sau cu un contur curb des
fig.10.15
189
Este cazul profilelor laminate care sunt considerate secţiuni cu profil
Deoarece şi în acest caz prin torsiune se produce deplanarea nilor transversale, problema torsiunii nu se poate rezolva cu metodele
zei secţiunilor plane.
e, torsiunea secţiunii dreptunghiulare înguste. Se
cceptă în mod aproximativ că la torsiunea secţiunii din figura 10.16 fiecare d g e de n di n se l u d d o tu r m t
deschis şi pereţi subţiri. secţiuelementare, pe baza ipote În cazul torsiunii libere se poate da o metodă aproximativă pentrudeterminarea tensiunilor tangenţiale maxime şi a unghiului de torsiunutilizând soluţia pentru areptun hi lucr ază in pende t, rigi tatea î tregii cţiuni a torsi ne fiinată de suma rigidităţil r drep nghiu ilor co ponen e.
h1
b1
τ2max
h
bi
b2
h2
M
Mt2
fig.10.16 fig.10.17
1
b1
t1
hi
Mtτimax hi
Mti
b2
h2
bi
În cazul general, pentru o secţiune alcătuită din n dreptunghiuri, hi şi bi fiind dimensiunile dreptunghiului i, fiind aproape întotdeauna îndeplinită ondiţc ia h/b > 10 (α = β = 1/3), rezultă:
( ) .3 11∑∑
==
⋅==i
iii
itt bhII
Pentru determinarea tensiunilor tangenţiale în secţiune este necesar să se cunoască momentul de torsiune pe care
1 3nn
îl preia fiecare dreptunghi component (Mti), din momentul de torsiune total Mt care acţionează pe secţiune (fig.10.17), cu:
.21 ttitt MMMM =++
190
Deoarece întreaga secţiune se roteşte ca un disc rigid, unghiul de torsiune specific al întregii secţiuni este acelaşi cu cel al fiecărui dreptunghi omponent: c
;;
;21
t
t
ti
tii
i
IGM
IGM
==
===
θθ
θθθθ
rezultă:
.; tit
tti
t
t
ti
ti II
MMI
MI
M==
Tensiunea tangenţială maximă pentru dreptunghiul „i” va fi:
.,
31;
31
,
max
23
max
it
tii
ti
ti
iitiiiti
ti
ti
t
t
ti
tii
bI
Mb
WI
bhWbhI
WI
IM
WM
==
⇒==
==
τ
τ
Tensiunea maximă în secţiune va fi:
,max bI
M
t
t=τ max
această valoare obţinându-se la mijlocul dreptunghiului component cu grosimea cea mai mare (fig.10.16).
e a lucrului independent al fiecărui dreptunghi component, fără a ţine seama că porţiunile sunt prinse rigid între ele. Se
- pentru profilul cornier L, η =1 ; - pentru profilul U, η = 1,1÷1,2; - pentru profilul I, η = 1,3.
La racordările dintre elementele unui profil apar concentrări de siuni, care pot duce la valori ale tensiunilor tangenţiale superioare
celor determinate ca maxime, prin utilizarea formulelor precedente. Astfel, în zona racordărilor tensiunile tangenţiale se calculează cu re-
În legătură cu calculul aproximativ arătat se face menţiunea că experienţele demonstrează o rigiditate a barelor cu pereţi subţiri cu profil deschis mai mare decât cea dată de formule. Acest lucru se explică prin considerarea în formul
recomandă în acest sens corectarea momentului de inerţie la torsiune dat de relaţia anterioară prin înmulţirea cu factorul η care ţine seama de forma profilului:
ten
191
laţia:
;74.1
,
3
maxmax
rb
k
kk
=
⋅=
α
τατ
în care b – grosimea profilului la racordare, r – raza de racordare.
ţiri, profil închis, deplanări 10.9 Torsiunea barelor cu pereţi sublibere
Pentru secţiunea tip profil închis cu pereţi subţiri (fig.10.18) se vor da câteva rezultate ale soluţiei în cazul deplanărilor libere pentru situaţia în care S/b ≥ 8÷10, cu S – lungimea oi min c nturului median al secţiunii şi bi – grosimea peretelui în punctul i al secţiunii.
dFb
dS Sτ
211
2
Mt
fig.10.18
bi
Tensiunile tangenţiale sunt tangente la contur şi datorită grosimii b a conturului.
Se secţionează transversal în 1-1 şi 2-2 (fig.10.18) şi se decupează din tub un tronson delimitat de două secţiuni transversale situate la o distanţă egală cu unitatea şi de două plane paralele cu axa tubului (fig.10.19).
pe 2-2, de ime b2, tensiunile tangenţiale sunt τ2. Tensiunile τ1 şi τ2 sunt uniform
istribuite pe grosimile b1 şi b2. Pe feţele longitudinale se dezvoltă tensiuni t τ1 şi 2). Din ecuaţia de proiecţii pe axa longitudinală a tubului, rezultă:
mici pot fi considerate constante pe grosimea
τ
Pe muchia 1-1, de lăţime b1, tensiunile tangenţiale sunt τ1, lăţdangenţiale care respectă legea dualităţii tensiunilor tangenţiale (de valori tot
τ
192
11
τ1 τ2
12
2
fig.10.19
;2211 fbbb ττττ === cu τf – fluxul tensiunilor tangenţiale. Prin scrierea relaţiei de echivalenţă dintre momentul de torsiune în secţiune şi momentul forţelor elementare dF = τb ds de pe suprafaţa secţiunii
ansversale, în raport cu axa barei (h fiind perpendiculara din O pe dF), se bţine
tro (fig.10.20):
( )
;2Ω=∫S
S
dsh
;., == ∫t ctbhdsbM ττ
Ω d aria închisă de conturul median (fig.10.21).
fiin
dS Ω
h
fig.10.20 fig.10.21
Ο
193
Astfel, rezultă:
;2
,2
bM
bM
t
t
Ω=
Ω=
τ
τ
prima formulă a lui Bredt. Condiţia de rezistenţă devine:
;2 min
max at
bM
ττ ≤Ω
=
se poate face notaţia Pentru determinarea tensiunii specifice se apelează la cea de-a doua
rmulă a lui Bredt:
min2 bWt Ω= .
fo
,4,2
∫S b
pentru tuburi cu pereţi de grosime constantă se poate scrie:
Ω== t
t
dsIM
θ tIG
.bsds
=bS
∫
10.10 Arcuri elicoidale cu pasul mic
idal cu pasul mic sunt ig.10.22):
Caracteristicile geometrice ale arcului elico(f
F
FR
pd
α
fig.10.22
194
• p – pasul arcului, reprezentând distanţa dintre două spire consecutive; • R – raza arcului; • d – diametrul spirei arcului;
lara pe axa arcului; ximaţii:
sinα = 0; cosα = 1Datorită aproximaţiilor mai sus menţionate, secţiunea spirei arcului
oment de torsiune Mt = F⋅R şi o forţă tăietoare T = F
• α - unghiul făcut de tangenta la spiră cu perpendicuα fiind mai mic de 80 pot fi făcute următoarele apro
.
este solicitată la un m(fig.10.23). Ambele eforturi produc pe secţiunea spirei tensiuni tangenţiale.
M = FRt
T = FR
1 2
τMt
τT = 4F/3A
τM t pt = M /W
τmax
fig.10.23
Din compunerea tensiunilor tangenţiale rezultă că punctul cel mai solicitat este cel de la interiorul spirei de arc. Tensiunea maximă şi condiţia de rezistenţă se exprimă astfel:
.3
1341
max ap
t
p
t
Rd
WM
AF
WM
ττ ≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
Pornind de la condiţia de rezistenţă se obţine o formulă de dimensionare; diametrul va rezulta ca rădăcina maximă a unei ecuaţii de gradul trei. Dimensionarea practică a arcurilor se face astfel:
- se neglijează iniţial influenţa forţei tăietoare şi se face dimensionarea doar din efectul momentului de torsiune:
195
;16
3dim dWFRMp
πτ
== Waa
- diametrul efectiv al spirei va rezulta prin multiplicarea diametrului anterior calculat, astfel:
tnecp τ
==
;3
13Rdddef +⋅=
- în mod obligatoriu, se va verifica condiţia de rezistenţă cu def rezultat. Deplasarea capătului liber a unui arc elicoidal (fig.10.24), se
calculează astfel:
;644
3
dGnFR
arc =Δ
cu n – numărul de spire al arcului. Săgeata produsă de o forţă unitară se numeşte coeficient de elasticitate şi se notează cu δarc [m/N]. Inversul acesteia, K = 1/δ [N/m], se numeşte coeficient de rigiditate sau constanta elastică a arcului şi reprezintă mărimea forţei care produce o deplasare unitară. În funcţie de aceste mărimi se pot scrie relaţiile:
BB
/
F
Δarc
fig.10.24
A
.;
Δ⋅=⋅=Δ
KFFarcarc δ
10.11 Moduri de montare a arcurilor
10.11.1 Montaj în paralel (fig.10.25)
F
K1 K2
F
F1 F2
fig.10.25
Δ F
196
Sub acţiunea forţei F, sistemul format din cele două arcuri, având constantele elastice K1 şi K2 , se deplasează cu Δ. Dacă se notează cu F1 şi F2 forţele ce iau naştere în cele două arcuri, se poate scrie relaţia:
;,; 2211121 2 Δ⋅=Δ⋅=+= KFKFFFF deplasarea întregului sistem este deplasarea fiecărui arc în parte:
,21 Δ=Δ=Δ : ( )Δ+= 21 KKFrezultă , aşadar:
.21 KK
F+
=Δ
Se notează cu K constanta elastică a ansamblului; rezultă în final: ech
Kech .21 KK += 10.11.2 Montaj în serie (fig.10.26)
Forţa F care acţionează asupra
sistemului celor două arcuri este forţa care acţionează asupra fiecărui arc în parte:
F
K1
.21 FFF == K2
FΔ
fig.10.26
Deplasarea sistemului se compune din suma deplasărilor celor două arcuri:
,21 Δ+Δ=Δ
dar F1 = K1Δ1 şi F2 = K2 2Δ , astfel:
,2
21 FFF
1 echKKK=+=Δ
adică:
.111
21 KKKech
+=
10.12 Sisteme static nedeterminate alcătuite din arcuri elicoidale
Pentru sistemul de arcuri din figura 10.27 se cere să se calculeze forţa capabilă suportată.
197
AK1
K2
B
2K3
F2
F3
F4
a.
fig.10.2
B
C
B/
ΔBF/2 F/F/2 F/2
K4
b.
7 Se izolează punctul B în poziţia deplasa .10.27b); rez ltă:
tă B (fig u/
32 FFF ++= .4F (1) e-o parte datorată forţelor F1 şi F2 Deplasarea punctului B este pe d
(într-un sens) şi pe de alta forţelor F3, F4 (în sens contrar), astfel:
;2,12
echB K
F=Δ (2)
.43
43
4
4
3 KKFF
KF
KB ++
==Δ (3)
Se introduc relaţiile (2) şi (3) în (1):
3F=
( ) .432,1 FKKKechB =++ Δ
Din condiţia de rezistenţă pentru fiecare arc în parte va rezulta o valoare a forţei capabile suportată de sistemul de arcuri (patru valori
iferite), astfel:
Dintre cele patru valori se va alege cea mai mică dintre ele , rezultă:
d;/2,1 FFKFF →≤Δ⋅== 121 capcapBech
;//2,1 FFKF →≤Δ⋅= 22 capcapBech
;///333 capcapB FFKF →≤Δ⋅=
.444IV
capcapB FFKF →≤Δ⋅=
( ).;;;min ////// IVcapcapcapcapcap FFFFF =
198
Problema 10.a O bară cilindrică încastrată la un capăt este încărcată cu cuplurile de forţe conform fig. 10a. Se cere să se dimensioneze bara; τa = 80 N/mm2, θa = 1,35⋅10-5 rad/mm, G = 8,4⋅104 N/mm2.
600
1000 2000mm
6kN 12kN
6kN 12kN
A B Cd 2d1 x
36M [Nmm]
105.
108 10. 5+
fig.10a Se calculează momentele de torsiune produse de cele două cupluri de forţe; se trasează diagrama de momente de torsiune. Se determină Wp din co zistenţă la solicitarea de torsiune: nec ndiţia de re
;max
max ap
t
W
Mττ ≤=
.16
3dim
maxdW
MW BAtnec
p == −
BApa
⋅=
−
πτ BA−
Pe intervalul A-B de diametru d:
.70
;18.6180
161036163
5
mmM
d BAt =⋅⋅
=⋅
= −3
mmdef
a
=
⋅πτπ
Cu def se verifică condiţia de deformaţie:
;max
max a
BAp
tBA IG
Mθθ ≤
⋅=
−
−
;107.2353270 44
44dI ⋅⋅
=⋅ ππ32
mmBAp ==
−
199
./10818.1107.235104.8
544max aef mmrad θθ >⋅=
1036 5
⋅⋅⋅= −
Aşadar diametrul de 70 mm nu verifică condiţia de deformaţie; se redimensionează bara din această condi
⋅
ţie:
,4.75;32
;1031741035.1104.8
1036
4dim
4454
5
mmdIdI
mmGM
I
BAnecpBAp
a
BAtBA
necp
=⇒=⋅
=
⋅=⋅⋅⋅
⋅=
⋅=
−−
−−
−
π
θ
se alege def = 80 mm. Pe intervalul B-C de diametru 2d1:
;max a
CBp
CBt
WM
ττ ≤=−
−
( );
162
8010108 3
1dim5 d
WM
WCBp
a
CBtCB
necp
⋅==
⋅==
−−
−
πτ
astfel, rezultă d1 = 44,5 mm. Se alege d1ef = 50 mm. Se verifică condiţia de deformaţie cu acest diametru:
;max aCBt
CB IGM
θθ ≤⋅
= −−
CBp −
;107.98132100 44
4
mmICBp ⋅=
⋅=
−
π
./1031.1107.981104.8
10108 544
5
max aCB mmrad θθ <⋅=⋅⋅⋅
⋅= −
−
Rezultă că diametrul pe intervalul B-C este 2d1 = 100 mm.
Arborele ABCD este dublu încastrat, având secţiunile din fig. 10b.1. Să se dimensioneze şi să se calculeze rotirile în secţiunile caracteristice. Se dau: τa = 60 N/mm2, G = 8,4⋅104 N/mm2.
sistem static nedeterminat, pentru trasarea diagramei de moment de torsiune se foloseşte metoda grinzii convenţionale; se calculează momentele de inerţie la torsiune pe cele două intervale cu secţiuni diferite:
Problema 10.b
Arborele fiind dublu încastrat, deci un
200
+ +
0.4m d
0.5m 0.5m 0.6m
A B C D
4.962.56
2.24
ABC
CD
d
b
b
Mt [kNm]fig.10b.1
+
-
6kN 12kN
;098.032
44
ddII pABCt =⋅
==π
;3 ⎟⎞
⎜⎛
==dhbI ββ 2 ⎠⎝
CDt
4
pentru h/b = 1, β = 0,141, rezultă:
Se al se calculează lungimile reduse: .035.0 4dI CDt =
ege ;0 ABCtt II =
.68.1035.0098.06.0
;1
4
40/
/
mdd
II
ll
mll
CDt
Se trasează grinda convenţională simplu rezemată, încărcată
tCDCD
ABCABC
===
==
cu forţele tirea cu 900 în sens trigonometric a vectorilor moment de
obţinute prin rotorsiune din secţiunile B şi C (fig.10b.2). Se trasează pe această grindă diagrama de forţe tăietoare convenţionale care va fi identică cu cea de momente de torsiune pe grinda reală. Se dimensionează pe intervalul AB pe care momentul de torsiune este maxim şi unde secţiunea este circulară, pornindu-se de la condiţia de rezistenţă:
;maxM
τ max ap
t
Wτ≤=
201
A B C D/ / / /
V = 4.96A/
2.4 4.8
0.5m 0.5m 1.68m4.96
2.56
2.24
T = MC t [kNm]
fig.10b.2
M = 6 0.4 = 2.4 kNmtB
M = 12 0.4 = 4.8 kNmtC
..
+
-
se obţine:
;16
;106.8260
1096.4
3dim
336max
dWW
mmM
W
pnecp
a
tnecp
⋅==
⋅=⋅
==
π
τ
Se verifică secţiunea pătrată din condiţia de rezistenţă: rezultă d = 74,95 mm, se alege def = 75 mm.
,CDtMττ ≤= cu max a
CDtCD W
./3.721024.222
23
6
max N
b
τ =⋅
=
1096.30 ⋅ Condiţia de rezistenţă nefiind satisfăcută, se redimensionează din această condiţie pe intervalul CD:
;5375,1208.0
1096.3053208.0 333
a
CDt
mm
mmdbhmmbW
τ
α
α
>
====←=
⋅=⋅== ;3
;1033.3760
1024.2 3dim36
bWM
W ta
CDtCD
nect α
τ==⋅=
⋅==
rezultă b = ;6.802 mmbd ==56,4 mm, se alege bef = 57 mm şi se alege def = 85 mm.
202
Problema 10.c Arborele ABCD, dublu încastrat, are secţiunea casetată şi este solicitat ca în figura 10c. Se cere să se dimensioneze; τa = 100 N/mm2, Mt = 4,3 kNm.
A B C D
l/3 l/3 l/3
Mt 2Mt
Mt 2Mt
V = 1.33MA t
1.33Mt
0.33Mt
1.67Mt
T = MC T t 6t t
2t
10t
2t
Mt
τ1
τ2
fig.10c
-
+
/
Bara având momentul de inerţie la torsiune constant, grinda convenţională va avea aceleaşi deschideri. Se trasează diagrama de forţe tăietoare convenţională identică cu diagrama de e torsiune. Dimensionarea se face pornind de la condiţia de rezistenţă la torsiune pentru secţiunea cu pereţi subţiri, profil închis:
momente d
( ) ;2;min,84712,2 min
2
min
maxmax tttbttt
bM
at ===⋅=Ω≤
Ω= ττ
rezultă:
.853.7842
3 mmtmmMt efa
t =⇒=⋅⋅
=τ
În colţ cele două tensiuni τ1 şi τ2 se compun: ,2
221max aττττ ≤+=
înlocuind, se obţine:
.881.7;211
2
2
2 mmtmmttt
Mefa
t =⇒=≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Ωτ
203
Problema 10.d Sistemul de bare ABCDE este plan, încărcat cu forţele F perpendiculare pe plan (fig.10d.1). Să se dimensioneze barele şi să se determine deplasarea punctului D. Se cunosc F = 10 kN, a = 0,5 m, τa = 75
/mm2, σa = 150 N/mm2, G = 8,1⋅104 N/mm2, E = 2,1⋅105 N/mm2. N
t 10t t
2t
14t
2t
Mt
τ1
τ2
F1.5a
1.5a
2a
A
E
C D
B
a
AB, CD, BE CB
b
h = 1.5b
Fa
2Fa-
-Mz 2Fa Mt
Fa
fig.10d.1
trasează diagramele de moment de torsiune şi de moment încovoietor; se dimensionează bara BC la torsiune din condiţia de rezistenţă pentru o secţiune profil închis cu pereţi subţiri:
Se
.176,M BCt =Ω≤= ττ
22
min
tb aBC Ω
ai solicitat este în colţul secţiunii unde se compun tensiunile τ1 şi τ2: Punctul cel m
;211
2
2
2max2
221 a
t
ttM
ττττ ≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
Ω=+=
204
,10105.01022 734 NmmFaM BCt =⋅⋅⋅== rezultă t = 8,08 mm, se alege tef = 9 mm. Se dimensionează bara AB solicitată tot la torsiune, din condiţia de rezistenţă pentru o secţiune de formă dreptunghiulară:
,231.05.1;2 =→=≤= ατα
τbh
bhM
aABt
AB
rezultă:
;73.57755.1231.0
105 6
mmb =⋅⋅
⋅=
se alege bef = 60 mm şi hef = 90 mm. Se verifică barele încovoiate cu dimensiunile bef şi hef:
./45.123
66090
10
;6
,
22
7
max
2
max
a
zaz
z
mmN
bhWWM
σσ
σσ
<=⋅
=
=≤=
Aşadar dimensiunile bef şi hef sunt 60 mm, respectiv 90 mm. Deplasarea punctului D (fig.10d.2), este compusă din deplasarea datorată rotirii din torsiune în punctul C precum şi din deplasarea din încovoiere pe bara CD considerată ca o bară încastrată în C şi liberă în D, astfel:
A
C
ϕCt
ϕCt 2a.
F(2a)3EIz
3ΔD
fig.10d.2
D
205
( ) ;3
22z
tCD EI
a +⋅=Δ ϕ 3aF
∫=C
A t
tC dx
IGM ;ϕ
( ) ;1015.189
992b ⎠⎝ ⋅916
917644
,10024.3816090196.0
45222
4432
mmds
I
mmhbI
BCt
ABt
⋅=⎟⎞⋅⋅
⋅⋅=
Ω=
⋅=⋅⋅== β
9112⎜⎛ +∫
( ) .47.2310364101.23
5002017.0 45 mmD =105.0210
;105.36412
;.017.05.125.1
334
443
mmbhI
radGI
aFaGI
aaF
CDz
BCtABtC
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅==
=+=ϕ
erifice bara CD ştiind că secţiunea este un profil I 28 iar τa = 300 N/mm2.
+⋅⋅=Δ
⋅⋅⋅
Problema 10.e Pentru cadrul plan din figura 10e să se traseze diagramele de efort şi să se v
A
B
C D
E
8kN
4kN
2kN/m
3m
2m
2m
8
4
4
4
4
12
T [kN]
Mt [kNm] Mz [kNm]
fig.10e
-
206
Bara CD este solicitată la torsiune; secţiunea fiind un profil deschis cu pereţi subţiri, condiţia de rezistenţă este:
.maxmax at
t bI
Mττ ≤⋅=
4 Pentru profilul I 28: It = 47,36 cm , bmax = max (binimă; btalpă) cu bmax = max (15,2; 10,1) = 15,2 mm. Astfel, rezultă:
./37.1282.151036.47
104 24
6
max mmN=⋅⋅
⋅=τ
În zona de racordare:
./8.255
,993.11.102.1574.174.1
;
2*max
33
max*max
a
k
k
mmNrb
ττ
α
τατ
<=
===
⋅=
207
Capitolul 11
ETODE ENERGETICE
STUDIUL DEPLASĂRILOR PRIN M
11.1 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor elastice
Principiul lucrului mecanic virtual se enunţă astfel: „Pentru un sistem de forţe în echilibru, lucrul mecanic virtual, într-o deplasare virtuală,
finitezimală, compatibilă cu legăturile, este nul”. Lucrul mecanic virtual în cazul corpurilor deformabile este produs tât de forţele exterioare cât şi de cele interioare.
Prin deplasare virtuală se înţelege o deplasare posibilă, independentă e timp. Se poate scrie aşadar că:
in
a d
.0int =+ LLext (1) Fie o bară simplu rezemată, acţionată de o forţă exterioară P
ig.11.1). (f
P1
2
ds + (ds)Δ
ds
FF
Δ_
_
fig.11.1 Poziţia 1 este poziţia de echilibru elastic a barei sub acţiunea
cărcărilor. Poziţia 2 este poziţia deformată datorată unei deplasări virtuale, ompatibilă cu legăturile elastice ale sistemului. Datorită deplasării virtuale, rţele de legătură F vor produce un lucru mecanic; simbolurile virtuale vor
urta bară deasupra. Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare va fi:
încfop
208
.Δ⋅= PLext Lucrul mecanic virtual or interioare va fi: elementar al forţel
( ).int dsFL Δ⋅−=d 11.2 Energia potenţială de deformaţie Fie o bară alcătuită dintr-un şir de puncte materiale dispuse în lungul axei. Se presupune că bara este supu la întindere de forţele F aplicate la cape nţa ds u cu antitatea Δ(ds). Forţele de atrac cele două puncte materiale vor
săte (fig.11.2). Considerându-se două puncte materiale situate la distanul faţă de celălalt, acestea se vor depărta ca urmare a alungirii barei
ţie dintre cproduce lucrul mecanic: ( );dsFLd i Δ⋅−= (2) semnul minus apare deoarece forţa F şi deplasarea Δ(ds) au sensuri contrare.
F F
ds Δ(ds)
fig.11.2 Dacă se consideră bara ca un mediu continuu şi se izolează un element de lungime ds din aceasta (fig.11.3), la cele două extremităţi trebuiesc introduse forţele de întindere F.
F
F F
F
ds Δ(ds) fig.11.3
209
Fiind mărimi secţionale, acestea (forţele F) reprezintă forţe exterioare
pentru elementul considerat:
( ).dsFLd ef Δ⋅= (3) Din expresiile (2) şi (3) rezultă:
;ief LdLd −= .ief LL −= (4)
Din relaţiile (1) şi (4) rezultă că: ,efext LL =
ceea ce constituie principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor elastice. Lucrul mecanic produs de eforturile interioare (mărimile secţionale) într-un corp deformabil, apare ca urmare a producerii deformaţiilor; acesta
e deformaţie (U)este numit energie potenţială d . Astfel, rezultă: ULext = ,
expresia constituind teorema lui Clapeyron care se enunţă astfel: „dacă un corp elastic se găseşte în repaos, lucrul mecanic al forţelor exterioare este egal cu energia potenţială de deformaţie acumulată în corp” sau „în timpul încărcării unui corp elastic forţele exterioare vor executa un lucru mecanic care va fi egal cu variaţia energiei potenţiale de poziţie a acestor forţe”. Acest lucru mecanic exterior se înmagazinează în corp sub formă de energie potenţială de deformaţie, reprezentând lucrul mecanic pe care îl execută eforturile interioare din corp. Considerându-se procesul de deformare reversibil, întregul lucru mecanic exterior sau întreaga energie potenţială de poziţie a forţelor exterioare se va transforma în energie potenţială de deformaţie, iar la escăr
11.3 Lucrul mecanic exterior
d care, aceasta va fi restituită integral. Aşadar, energia potenţială de deformaţie nu va depinde de modul în care sunt aplicate forţele exterioare asupra corpului, ci numai de intensitatea lor finală.
Lucrul mecanic este definit prin produsul dintre o forţă şi proiecţia deplasării pe direcţia forţei (sau dintre o deplasare şi proiecţia forţei pe direcţia deplasării), respectiv produsul dintre un cuplu şi proiecţia vectorului rotaţie pe suportul vectorului cuplu.
210
Asupra unui corp elastic forţele nu acţionează de la început cu întreaga intensitate ci sunt aplicate cu o intensitate variind de la zero la
forţe concentrate P aplicată într-un de aplicare a forţei se va produce o
deplasare Δ, a cărei valoare va creşte odată cu creşterea forţei, de la valoarea
fi scris ca un produs P⋅Δ, deoarece p. La momentul t,
Δ
valoarea finală. Se consideră cazul unei singurepunct al corpului. În punct, pe direcţia
zero la valoarea finală Δ. Lucrul mecanic nu va mai puteavalorile ambilor factori reprezintă variabile de timintensitatea forţei este P, deplasarea corespunzătoare este . O creştere dP a forţei va produce o creştere dΔ a deplasării pe direcţia forţei. Variaţia lucrului mecanic va fi:
( ) .Δ≅Δ+= dPddPPdLext Lucrul mecanic exterior se va calcula aşadar:
∫ Δ= .dPLext Conform legii lui Hooke, între P şi Δ există o relaţie de proporţionalitate: P = kΔ, făcând înlocuirile rezultă:
.22
2
Δ=Δ
=PkLext
Aşadar, dacă se admite că intensitatea forţei creşte încet de la zero la valoarea finală, lucrul mecanic exterior se exprimă în limitele deformaţiilor perfect elastice ale sistemului, prin jumătatea produsului dintre valoarea întreagă a forţei şi valoarea deformaţiei provocate de această forţă, pe direcţia şi în punctul ei de aplicare. În cazul aplicării unui cuplu M care produce o rotire ϕ, în punctul de aplicare lucrul mecanic exterior va fi:
.21 ϕMLext =
Când asupra sistemului elastic sunt aplicate concomitent mai multe rţe P1, P2, ..., Pn şi mai multe cupluri M1, M2, ..., Mm, care produc în
respective deplasările liniare 1, Δ2, ..., Δn 1 2 ϕm, lucrul mecanic exterior a fi:
fopunctele de aplicaţie şi pe direcţiile de acţiune
şi deplasările unghiulare ϕ , ϕ , ...,Δv
∑∑==
+Δ=m
jjj
n
iiiext MPL
11.
21
21 ϕ
Teorema a 2-a a lui Clapeyron se enunţă astfel: „lucrul mecanic efectuat de forţe exterioare acţionând static asupra unui corp liniar elastic
211
este independent de ordinea în care sunt aplicate aceste forţe şi este egal cu semisuma produselor fiecărei forţe prin deplasarea corespunzătoare”. 11.4 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (teorema lui Betti)
Se consideră un corp elastic încărcat cu două grupe de forţe, P1, P2, ...,
i şi Q
i pe direcţiile le Pi.
- δj , deplasările punctelor de aplicare ale forţelor Qj pe direcţiile
- δi , deplasările punctelor de aplicare ale forţelor Pi pe direcţiile corespunzătoare, când acţionează doar forţele Q .
-
Se presupune că cele două grupe de forţ ţionează simultan asupra corpului elastic, fiind valabil principiul suprapunerii efectelor. Deplasările
P 1, Q2, ..., Qj. Se notează cu δ/ efectul forţelor Pi şi cu δ// efectul forţelor Qj. Se produc următoarele deplasări:
- δi/, deplasările punctelor de aplicare ale forţelor P
corespunzătoare, când acţionează forţe/
corespunzătoare, când acţionează forţele Pi. //
j
δj//, deplasările punctelor de aplicare ale forţelor Qj pe direcţiile
corespunzătoare când acţionează doar forţele Qj. e ac
fiecărui punct fiind (δ/+δ//), lucrul mecanic exterior va avea expresia:
( ) ( )∑∑ +++=j
jjji
iiiext QPL .21
21 ////// δδδδ (1)
Valoarea lui Lext nu depinde de ordinea de aplicare a forţelor, de aceea se va considera un al doilea tip de încărcare. Se presupune că se aplică întâi
rimu
p l grup de forţe, Pi ; lucrul mecanic este:
.21 /
1 ∑=i
iiext PL δ (2)
ntensitate este cea finală. Lucrul mecanic suplimentar devine:
În această situaţie se aplică al doilea grup de forţe, Qj ; corpul elastic se va deplasa datorită forţelor Qj. Deplasările vor fi:
- δj// pe direcţiile forţelor nou aplicate (grupa a doua de forţe, Qj), a
căror intensitate creşte de la zero la valoarea finală. - δi
// pe direcţiile forţelor precedent aplicate (prima grupă de forţe, Pi), a căror i
.Q2
PLj
jji
ii2ext ∑∑ += δδ (3)
Ordinea de încărcare neavând importanţă, rezultă:
1 ////
212
.21 extextext LLL += Din (1), (2) şi (3) rezultă:
∑∑ ⋅=⋅ jjii QP ./// δδ ji
Expresia (4) reprezintă teorema lui Betti sau a reciprocităţii lucrului
(4)
ecanic exterior; teorema se enunţă astfel:”Lucrul mecanic produs de un
ul de forţe P ”.
funcţie de eforturi
mgrup de forţe Pi prin deplasările produse de un grup de forţe Qj este egal cu lucrul mecanic produs de un grup de forţe Qj prin deplasările provocate de grup i
11.5 Expresiile lucrului mecanic
gime ds supus solicitării axiale, Se consideră un element de bară de luno dată datorită forţei axiale reale jxN şi apoi datorită forţei axiale virtuale
ixN .(fig.11.4) Nx j Nx j Nx
_ _1i Nx i
Δ x j
ale reale este Δuxj. Lucrul
ea reală Δuxj de fo
1
ds u ds
fig.11.4 Alungirea totală sub acţiunea forţei axi jxN
mecanic produs prin deplasar rţa virtuală ixN este:
.∫∫ ==EA
dsNNduNL xj
xixjxief
În cazul solicitării de încovoiere, momentul de încovoiere real fiind jxM cu rotirea corespunzătoare Δϕ j , iar momentul de încovoiere virtual
ixM (fig.11.5), lucrul mecanic produs prin deplasarea unghiulară reală
EIdsM xj
de momentul încovoietor virtual jΔϕ = xiM este:
.∫=EI
dsM xjML xief
213
ds ds
fig.11.5
Mx j Mx j Mx Mx
_ _1i
Δϕj
Lucrul mecanic la torsiune, pentru momentul de torsiune real şi
el vir
1i
jtxM
itxM aplicate elementului de bară de lungime ds, va fi: c tual
∫= .t
jtx
it
ef GIdsM
ML
Lucrul m
x
ecanic la forfecare, pentru o forţă tăietoare reală şi una
virtuală jxT
xiT aplicate elementului de bară de lungime ds, va fi:
.∫=GA
dsTTL xj
ixef η
11.6 Expresiile energiei potenţiale de deformaţie în funcţie de eforturi
σ ărcări ă;
coordonatele punctului M/ sunt (σ/+Δσ/, ε/+Δε/)(fig.11.6).
Pe curba caracteristică a oţelului, în zona de proporţionalitate, se consideră un punct M de coordonate ( /, ε/) corespunzător unei încoarecare. Punctul M/ va corespunde unei mici creşteri pe diagram
σ
MM
ε
/
A
B
B/
Δσ/
σp
σ/
ε Δε/ / fig.11.6
214
Variaţia energiei potenţiale de la M la M/ se notează ΔU1:
.
;21
//1
//////1
εσ
εσεσεσ
ddU
U
=
Δ≅Δ⋅Δ+Δ⋅=Δ
Astfel, rezultă energia potenţială pe întreg domeniul AB:
dar din legea lui Hooke rezultă i se poate scrie:
,//11 ∫∫ ==
B
A
B
A
ddUU εσ
E// εσ = ş
.21 2
0
//1 εεε EdEU == ∫
Dacă pra volumului elementar acţionează tensiunea tan
ε
asu genţială τ, se poate scrie:
.21
Pentru a se obţine energia potenţială U a întregului sistem se integreaz U1 pe volumul V al sistemului:
1 2γGU =
ă
.21 2
1 dVE
dVUUVV∫∫ ==
σ
În cazul solicitării axiale, Atenţiale a întregului sistem (U) şi se obţine:
N=σ ; se înlocuieşte în expresia energiei
po
.22 2 EAEA A
În cazul solicitării de încovoiere,
11 22
∫∫∫ == dsNdAdsNU
yI
M
z
z=σ ; rezultă:
.211 22 dsMdsM
22
2 ∫∫∫ ==z
z
Az
z
EIdAy
EIU
În cazul solicitării de torsiune:
∫= .21 2
t
t
GIdsMU
În cazul solicitării de forfecare:
∫= .21 2
dsGATU η
215
Maxwell11.7 Teorema reciprocităţii deplasărilor. Teorema lui
Această teoremă poate fi considerată ca un caz par reciprocităţii lucrului mecanic. Se consideră că cele două ţe se
Qj (aplicată
ticular al teoremei grupe de for
reduc la câte o singură forţă Pi (aplicată în punctul i), respectivîn punctul j); teorema lui Betti devine:
,ijjjii QP δδ ⋅=⋅ în care: δ reprezintă deplasarea în i (pe direcţia forţei P ) când în punctul j
δji reprezintă deplasarea în j (pe direcţia forţei Qj) când în punctul i acţionează forţa Pi .
ij iacţionează forţa Qj;
Se presupune că forţele Pi şi Qj sunt numeric egale cu unitatea; rezultă:
.ijji δδ = Aşadar, când un corp elastic este acţionat de către două forţe numeric
usă în secţiunea (1) a unei bare, când o forţă oarecare este aplicată în secţiunea (2), este egală cu deplasarea produsă în secţiunea (2) când aceeaşi forţă acţionea în secţiunea (1).
da Mohr – Maxwell
egale cu unitatea, deplasarea provocată de forţa a doua pe direcţia primei forţe este egală numeric cu deplasarea provocată de prima forţă pe direcţia celei de-a doua forţe sau deplasarea prod
ză
11.8 Studiul deplasărior prin meto
Pentru determinarea formei deformate a unei bare este necesar să se determine deplasarea liniară a fiecărui punct al axei longitudinale precum şi
deplasări se pot obţine cu ajutorul e se pot d sind teorema lui
Clapeyron, potrivit căreia lucrul mecanic al forţelor exterioare este egal cu energia de deformaţie acumulată de corp. Se consideră cazul unei bare în două situaţii de încărcare; prima este
cărc deplasarea Δi care trebuie determinată în punctul i, a doua fiind o încărcare auxiliară fictivă, dată de o sarcină unitară aplicată în punctul şi pe direcţia deplas rii căutate. (fig.11.7)
eforturilor forţe este neglijabilă în
rotirea secţiunilor transversale. Aceste unor relaţii generale de calcul, relaţii car educe folo
în area reală, sub care se produce
ă Energia de deformaţie datoratăraport cu cea datorată momentelor încovoietoare.
216
Pk
Δi = ? δi
1_
1i 1i
1.7fig.1
incarcarea reala incarcarea auxiliara
În situaţia de încărcare cu sarcini reale, te rema lui Clapeyron este: o
;11 2l dxM22 0k EI
în situaţia corespunzătoare încărcării cu sarcina unitară în i, aceeaşi teoremă
∫∑ =ΔkkP
se scrie:
,211
21
0
2
∫=⋅l
i EIdxmδ
cu: Δk – deplasarea pe direcţia sarcinii Pk ; δi – deplasarea pe direcţia sarcinii unitare; M şi m – diagramele de moment încovoietor corespunzătoare celor două situaţii de încărcare. Se încarcă grinda întâi cu sarcina unitară, apoi cu sarcinile reale; ecuaţia lui Clapeyron devine:
.2222 000
iik
kk EIEIEI111111 22
∫∫∫∑ ++=Δ⋅+⋅+Δlll dxMmdxmdxMP δ
În membrul stâng, al treilea termen nu este afectat de coeficientul 1/2 pentru că sarcina unitară acţionează tot timpul cu întreaga mărime pe distanţa Δi. Al treilea termen din membrul drept reprezintă energia acumulată de bară datorită momentului încovoietor m şi a rotirii secţiunii cu
unghiul EIdxM
, produs de aplicarea ulterioară a sarcinii reale:
;∫∫ = dxEIMmdm ϕ
rezultă:
∫=Δl
i dxmM EI0
217
Aceasta este expresia Mohr – Maxwell pentru calculul deplasărilor produse de sarcini. În cazul grinzilor cu zăbrele expresia deplasărilor va fi:
,0∫=Δl
i dxEI
nN
cu N şi n diagramele de forţe axiale pentru încărcarea reală respectiv unitară. Sarcina unitară din situaţia auxiliară se aplică pe direcţia deplasării căutate. Această sarcină poate fi forţă sau moment, pentru determinarea săgeţii sau rotirii în punctul respectiv. Dacă Δi rezultă pozitiv din calcul, deplasarea are sensul sarcinii unitare, dacă este negativ are sens invers sarcinii unitare. Pentru calculul deplasării Δi se procedează astfel:
ia deplasării căutate;
- se determină diagramele corespunzătoare mi i ; - se trasează separat diagramele M, N produse de forţele exterioare
efectuează integralele obţinându-se Δi. Procedeul integrării directe a expresiilor Mohr – Maxwell este dificil
datorită faptului că integrarea trebuie efectuată pe fiecare interval de variaţie continuă a încărcării.
- se introduce o forţă unitară virtuală în acel punct, după direcţ
sau n
reale; - se
11.9 Metoda de integrare Veresceaghin În cazul barelor drepte sau a cadrelor formate din bare drepte, pentru care în calculul integralelor se reţine doar termenul datorat momentului încovoietor, deoarece diagrama m este o funcţie liniară s-a elaborat o metodă de integrare grafo-analitică numită metoda Veresceaghin.(fig.11.8) Fie diagrama M = M(x) de o formă oarecare şi diagrama m(x) liniară care face unghiul α cu axa x. Fie în diagrama M un element de arie dΩ = Mdx. În diagrama m(x), în dreptul secţiunii x, ordonata este m = x tgα; rezultă:
,11∫∫∫ =Ω=Ω= dx∫ Ω
EItgdtgx
EIdm
EIdx
EIMm αα
cu - momentul static al ariei diagramei M, cu xG abscisa centrului de greutate al acestei diagrame.
Gxdx ⋅Ω=Ω∫
218
1d = M dxΩ1x
1x
1y
GM
1m
x dx
xG
α
yGm = x tgα
fig.11.8
Dar xG tgα = yG , ordonata din diagrama m corespunzătoare centrului de greutate al diagramei M; astfel rezultă:
,1Gy
EIdx
EI Mm
ă, este egală cu produsul dintre aria ă, ordonată citită în dreptul
centrulu diagra
Problema 11.a Pentru grinda în consolă din figura 11a, având EI = ct., să se
⋅Ω=∫
ce reprezintă formula lui Veresceaghin, adică integrala produsului a două diagrame, dintre care una liniardiagramei curbe şi ordonata din cealaltă diagram
i de greutate al ariei considerate. În cazul în care diagrama M este şi ea liniară, rolul celor două me poate fi inversat.
determine săgeata în capătul liber folosind teorema lui Clapeyron.
P
AB
xvA
l fig.11a
219
Pornind de la teorema lui Clapeyron se poate scrie: U L=
cu ( ) ;
21,
2
2l
EIdxxMU = ∫
0AvPL ⋅=
dar ( ) ( )
( ) ;62
,32
0
22
EIlPdxxl
EIPU
xlPxMl
=−=
−−=
∫
rezultă:
.3
3
EIPlvA =
Problema 11.b Pornind de la teorema reciprocităţii deplasărilor, să se calculeze săgeata în secţiunea (1) când în secţiunea (2) se aplică forţa P. Se consideră EI = ct.(fig.11b)
A B1 2Δ12
Pl
VB
VB
f
f
starea I
fig.11b
Δ21
Pstarea II
l/2 l/2
MPl/4
220
Pornind de la teorema reciprocităţii deplasărilor se înlocuieşte starea I cu o stare II în care încărcarea se aplică în punctul 1 şi se calculează deplasarea în 2, cu Δ21 = Δ12 . Pentru starea II se trasează diagrama de moment şi apoi pentru calculul deplasării se utilizează metoda grinzii conjugate:
;16162
1lPlf
24
;
22
21
EIPlPlV
T
l
BB
fB
=⇒=⋅⋅=
⋅
;, VTEI
fB
fB
BB ==
=Δ
ϕ
ϕ
ϕ
rezultă:
.16
3
1221 EIPl
=Δ=Δ
Problema 11.c Se dă grinda în consolă, încărcată cu o forţă de 3kN în punctul B. Să
ăgeata în punctul A. Se dau E = 2,1⋅105 N/mm2; Iz = 573 cm4.
se calculeze s(fig.11c)
A B C
3kN
1000 20006kNm
GM
3000mm
yG
10001_
fig.11c
mvA
Se trasează diagrama de moment pentru încărcarea dată, M; se trasează diagrama de moment mvA pentru o încărcare unitară virtuală 1 aplicată în A, în punctual şi pe direcţia deplasării căutate. Se aplică regula Veresceaghin:
221
.63.1110573101.2
2000321000102106
21
45
36
mmEI
dxMmv Av
A =⋅⋅⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅
== ∫
Problema 11.d Pentru cadrul din figura 11d.1. să se calculeze deplasarea punctului D, ΔD şi rotirea nodului C, ϕC.
3a
5a a
I
2I
A
BC D
pp(5a)/8 pa/80.5pa2 2 2
M
1. 2.1_
13a_a
3a
u
3. 4.1_
1
mCϕ
fig.11d
mDv mD
+ -
+
-+
+
5.
222
Se trasează diagrama de moment M (fig.11d2.) pentru încărcarea dată;
omentele de inerţie pe bare sunt diferite:
aplicând apoi regula lui Veresceaghin, pentru deplasările căutate, se trasează diagramele mDv, mDu, mCϕ şi se calculează deplasările, ţinând seama de faptul că m
( ) ;283
232
25.0
21
85
325
32
25.05
21 2222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅
⋅+⋅⋅−
⋅=
aapaaapaaapaapaaEI
vD
,125.24
EIpavD −=
( ) ;2
3855
323
31
25.05
21 22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅
⋅−=
aapaapaaEI
uD
,188.74
EIpauD =
,5.74
22
EIpauv DDD =+=Δ
( ) .396.2283322 EIEIC ⎟
⎠⎜⎝
1552115.051 322 paapapaa=⎟
⎞⎜⎛
⋅+⋅⋅
−=ϕ
223
Capitolul 12
TEORII DE REZISTENŢĂ
12.1 Legea lui Hooke generalizată Sub acţiunea încărcărilor şi a forţelor de legătură, într-un corp se produce o stare de solicitare care se caracterizează prin următoarele aspecte importante:
- o stare de tensiune, caracterizată prin forţele interioare care iau naştere în corp;
- o stare de deformaţie, caracterizată prin schimbările de formă pe care le suferă corpul.
Legea lui Hooke pentru corpurile tip bară are forma σ = E⋅ε; se vor examina în continuare, în baza deformaţiilor infinitezimale şi a unui material omogen şi izotrop, corpurile de tip placă sau bloc unde problema este plană (în două variabile independente), respectiv spaţială (în trei variabile independente). În aceste cazuri, legea constitutivă a materialului, presupus perfect elastic, devine mai complexă, intervenind un nou fenomen – contracţia transversală.
Se constată experimental (chiar la bare) că, dacă un corp este supus la întindere după o direcţie, se produc alungiri în direcţia respectivă şi contracţii în direcţiile transversale. Mărimea contracţiei se evaluează cu ajutorul coeficientului de contracţie transversală (coeficientul lui Poisson), care este raportul dintre deplasarea transversală specifică (-εtr) şi alungirea longitudinală specifică (ε):
.ε
εμ tr−=
Pentru corpurile perfect elastice se poate admite că μ este independent de mărimea forţelor aplicate, prin urmare reprezintă o constantă elastică a fiecărui material. Experimental şi teoretic rezultă că μ este întotdeauna
ozitiv şi are valori cuprinse între 0 şi 0,5. p
224
Se consideră un punct P şi în jurul lui un element paralelipipedic elementar, izolat dintr-un corp solicitat arbitrar. Elementul este astfel orientat încât normalele la feţele acestuia sunt paralele cu direcţiile tensiunilor normale principale din punctul considerat. (fig.12.1)
fig12.1
P
σ3
σ3
σ2σ2
σ1
σ1
Fie σ1, σ2, σ3 tensiunile normale principale şi ε1, ε2, ε3 alungirile pecifice corespunzătoare. Datorită contracţiei transversale, fiecare mărime intr-o grupă va depinde de toate cele trei mărimi din cealaltă grupă. Pentru tabilirea acestor relaţii se va aplica principiul suprapunerii efectelor, onsiderându-se că acţionează succesiv câte o singură tensiune normală pe ouă feţe opuse.
Când acţionează doar σ1, pe direcţia 1 se va produce alungirea
pecifică
sdscd
E1/
1σ
ε =s iar în sens transversal, pe direcţiile 2 şi 3 se vor produce
ontracţiile: c
.1/1
/3
/2 E
σμεμεε −=−==
E2//
2σε = Când acţionează doar σ2 sau σ3 se vor produce alungirile ,
spectiv E3///
3σ
ε = re şi contracţiile:
,2//2
//3
//1 E
σμεμε −=−== ε
respectiv
.3///3
///2
///1 E
σμεμεε −=−==
225
Valorile astfel ice se introduc în tabelul 12.1; însumând pe câte o coloană în parte, se obţin alungirile specifice produse de acţiunea simultan a tensiunilor normale principale. Dir 3
obţinute ale deformaţiilor specif
ă
ecţia 1 2 Tensiunea σ1
E1σ E
1σμ−
E1σ
μ−
σ2 E
2σμ−
E2 σ
E2σ
μ−
σ3 E
3μ− σE
3μ− σE
3 σ
Tabelul 12.1
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ].1
,1
,1
2133
3122
3211
σσμσε
σσμσε
σσμσε
+−=
+−=
+−=
E
E
E
(1)
Relaţiile (1) generalizează legea lui Hooke din problema monoaxială; rezolvând în raport cu tensiunile, se poate scrie:
( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ].1
21
2133
132
εεμμσ
μ
++−=
−E
,11
,1211
2
3211
εεμεμμ
σ
εεμεμμμ
σ
++−+
=
++−−+
=
E
E
211 μμ −+ Relaţiile (1) rămân valabile şi dacă se dă o altă orientare feţelor elementului; pentru axele x, y şi z ortogonale, rezultă:
ε
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]1
,1zxyy
z
E
E
σσμσε +−=
.
,
yxzz Eσσμσε
σ
+−=
+1
yxx σμσε −=
226
Atunci însă, pe cele şase feţe ale elementului apar perechi de tensiuni tangenţiale: τxy = τyx; τzy = τyz; τzx = τxz, care produc lunecări specifice γxy; γyz; γxz :
,;;GGG
yzyz
xzxz
xyxy
τγ
τγ
τγ ===
aşadar, când raportarea s-a făcut la un sistem de trei axe ortogonale oarecare, legea lui Hooke este caracterizată prin şase relaţii. Problema plană
Problema plană corespunde următoarelor două tipuri de corpuri:
distribuite în lungul generatoarelor şi normale pe
unitatea, se comportă identic, ajungându-se astfel la o stare de deformaţie are se p
corpurile de tip a) se consideră direcţia principală 3 normală pe ţiile 1 şi 2 cuprinse în planul median; din relaţiile (1) rezultă:
a) corpuri de tip placă, la care forţele sunt paralele cu planul median şi
distribuite uniform pe grosime, astfel încât pot fi reduse la planul median, ceea ce corespunde unei stări de tensiune plană, la care se poate considera σ3 = 0;
b) corpuri prismatice sau cilindrice foarte lungi, teoretic infinite, supuse acţiunii unor forţe uniformdirecţia acestora; în asemenea cazuri toate fâşiile din corp, de lăţime egală cu
plană, la c oate considera ε3 = 0. Pentru
placă, iar direc
( )
( )
( )213
122
211 ,1
σσμ
σμσε
+
−=
,1
ε
σμσε
−=
−=
E
E
E
(2)
ezultă că se produc contra ii transversale şi după solicitată. tru corpurile de tip b) se consideră că direcţia principală 3 coincide
cu direcţia generatoarelor; considerându-se ε3 = 0, din cea de-a treia relaţie a grupului (1) rezultă:
Din aceste relaţii r cţdirecţia ne Pen
( ),213 σσμσ += iar prin substituirea relaţiei de mai sus în primele două expresii ale grupului 1) rezultă: (
( )[ ] ,1
1121
2
21211 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
=+⋅−−= σμ
μσμσσμμσμσεEE
227
.1
112
2
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
=μ
μσμεE
acă se aleg următoarele noi constante elastice:
σ
D
,1
;1 020
μμ
μμ −
==EE
precedente devin: −
relaţiile
( )
( ),1
,1
1020
2
2010
1
σμσε
σμσε
−=
−=
E
E
adică sunt identice formal Prin urmare, rezul
cu relaţiile (2). tă că cele două stări pot fi studiate cu ajutorul
aceloraşi ecuaţii generale (de echilibru, de deformaţii şi de elasticitate), diferind doar constantele elastice care trebuie să fie luate în considerare.
12.2 Deformaţia specifică volumică
Fie un paralelipiped elementar de laturi dx, dy şi dz (considerând axele x, y şi z direcţiile principale). Înainte de încărcare, volumul corpului este: dV = dx⋅dy⋅dz; după deformare, laturile devin:
( ) ( ) ( ) ,1;1;1 dzdydx zyx εεε +++ iar volumul devine:
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) .111111/ dVdzdydxdVdVdV zyxzyx εεεεεε +++=+++=Δ+= Dezvoltând parantezele se obţine:
( )( )( ) .1111 zyxzyzxyxzyxzyx εεεεεεεεεεεεεεε +++++++=+++ Variaţia de volum va fi:
( ) ( ) ,/ dVdVdVdV yx εεε ++≈−=Δ z
în care s-au neglijat produsele deoarece au un ordin de mărime foarte redus în raport cu termenii liniari.
Deformaţia specifică volumică εV se defineşte ca variaţia unităţii de volum sau ca raportul dintre variaţia de volum Δ(dV) şi volumul iniţial dV:
( ) .zyxV dVdV εεεε ++=
Δ=
228
12.3 Legătura dintre constantele E, G, μ În relaţiile care reprezintă legea lui Hooke generalizată intervin trei
, modulul de elasticitate longitudinal E, modulul de
ţia perpendiculară (fig.12.2); absenţa tensiunilor tangenţiale
constante elastice, anumeelasticitate transversal G şi coeficientul de contracţie transversală μ. Pentru a arăta că cele trei constante nu sunt independente, ci între ele există o relaţie de legătură, se va studia o placă solicitată la întindere de tensiunea normală σ1 = σ pe o direcţie şi la compresiune de tensiunea σ2 = −σ pe direcarată că 1 şi 2 sunt direcţii principale. În secţiunile înclinate la 450 faţă de direcţiile 1 şi 2 vor apare numai tensiuni de forfecare.
σ
σAC
fig.12.2
aaaa
B
D
Sub acţiunea acestor tensiuni, patrulaterul ABCD, având diagonalele egale cu 2a, paralele cu direcţiile 1 şi 2, se va deforma, devenind rombul
/B/C/ /A D (fig.12.3).
A A
B
B
Cπ/2+γ
C
D
D
τ45
τ45
τ45
τ45
0
0
0
0
π/2−γπ/2
fig.12.3
/ /
/
/
Ο
229
Unghiul iniţial , devine după deformare: BAO^
,2422
1/^
/ γπγπ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=BAO
în care γ reprezintă lunecarea specifică a cărei valoare trebuie determinată. Între semidiagonalele patrulaterului a şi diagonalele rombului există relaţiile:
( );
,1 1/
ε
ε+= aOA (1/ += aOB )2
alungirile specifice pot fi însă exprimate cu ajutorul legii lui Hooke generalizate, prin intermediul tensiunilor:
( )
( ) .11122 σμσμσε +
−=−=
,211 σσμσε
EE
EE=−=
11 μ+
Din adunarea şi scăderea celor două relaţii se obţine:
( ) .12,021
μ21 σεε
εε
E=−
+=+
Din triunghiul dreptunghic B/OA/ se deduce: ( )( )
( )( ) .11
11
24 /⎟⎠
⎜⎝ aOA
tg1
2
1
2/
εε
εεγπ
++
=++
==⎞⎛ −aOB
Unghiul γ fiind foarte mic, se poate asimila tangenta cu arcul:
;
21124 γ
21
24
24γ
γπ
π γγπ −
≈−
=⎟⎞
⎜⎛ −
tgtgtg
prin în
+⋅+⎠⎝ tgtg
locuire în relaţia precedentă, se obţine:
.11
21
21 ε
1
2
εγ
γ
+=
+
Dezvoltând şi explicitând pe γ se obţine:
+−
( ) ( ) .
2 21
21 σ122 μεε
εεγ
E+
=++
−= (3)
230
Pe de altă parte, aplicându-se legea lui Hooke pentru tensiunile tangenţiale şi ţinând seama că τ45
0 = σ, rezultă:
.45
GG0 στ
γ == (4)
Din compararea expresiilor (3) şi (4) rezultă relaţia:
( ).12 μ+
=EG
Pentru oţel μ = 0,3, E = 2,1⋅105 N/mm2, rezultă G 4 2 = 8,1⋅10 N/mm .
12.4 Energia potenţială de deformaţie în problema spaţială
Dacă se trece de la problema barelor (monoaxială), la cea spaţială, energia potenţială de deformaţie va fi suma energiilor după cele trei direcţii. Se va trata numai energia specifică. Pentru a se opera cu expresii mai simple, raportarea se face la cele trei direcţii principale din fiecare punct. Astfel vor apare tensiuni normale rincipale σ1, σ2, σ3 şi corespunzător alungiri specifice ε1, ε2, εp 3 :
( )[ ];13211 σσμσε +−=
( )[ ]
( )[ ].1
;1
1233
1322
σσμσε
σσμσε
+−=
+−=
E
E
Energia specifică va fi:
E
( ) ( )[ ].221
21
13322123
22
21332211 σσσσσσμσσσεσεσεσ ++−++=++=
EU s
12.4.1 Energia specifică necesară variaţiei de volum şi schimbării formei
Când un corp elastic este supus acţiunii unei forţe exterioare, el se deformează; deformaţia corpului poate fi separată în două:
um; - o schimbare a formei. - o variaţie de vol
231
Ca urmare a acestor două aspecte, energia specifică poate fi considerată ca suma dintre energia necesară variaţiei de volum U1V şi energia necesară schimbării formei (energia de deviaţie) U1D, astfel:
.UUU DVs += Energia necesară variaţiei de volum are expresia:
.p1UV ⋅=2 Vε
Deformaţia specifică volumică este definită de expresia:
( )32121 σσσμε ++
−=
EV
şi poate fi privită ca fiind produsă de o presiune medie:
,3
321 σσσ ++=p
astfel, rezultă:
( )E6
U 2321V σσσ .21−
=μ
++
Prin urmare, energia de deviaţie se va calcula astfel:
( ).E3 1332213
1UUU 222
2 σσσσσσσσσ1VsDμ
−−−+++
=−=
12.5 Teorii de rezistenţă a materialelor
punct Asigurarea comportării corespunzătoare a elementelor de rezistenţă sau a structurii, în timpul exploatării, pune pe prim plan problema raportării stării de tensiune efective sub încărcări de exploatare, la starea de tensiune limită, corespunzătoare scoaterii din lucru a elementului sau structurii.
punde trecerii dintr-un e e materialului, într-unul cu
ferite de primul, a cărui
tinge într-un punct poate fi apreciat prin tensiuni sau deformaţii, mărimi relativ simplu de determinat,
ină uşor
ure. Prin astfel
12.5.1 Starea de tensiune limită într-un
Starea de tensiune limită într-un punct coresdomeniu cu anumite proprietăţi m canice alproprietăţi calitativ di evoluţie ulterioară, sub încărcări crescătoare, constituie o stare periculoasă pentru exploatarea elementelor de construcţie. Nivelul pe care starea de tensiune îl a
sau prin energia de deformaţie. Parametrii ce corespund stării de tensiune limită se determexperimental în cazul întinderii, compresiunii şi forfecării p
232
de încercări se determină tensiunea limită care, la materialele ductile este considerată tensiunea de curgere σc , iar la materialele casante, tensiunea de
rin tensiuni, ar trebui efectuate pentru fiecare material un număr mare de xp de
peri o ă (tensiune, deformaţie, energie de deformaţie) care să se
ulţi factori, având un caracter specific de la material la material şi de la un tip de solicitare la altul, nu poate fi găsit un criteriu unic. De aici existenţa mai multor teorii ale stărilor de tensiune limită. Drept factor caracteristic al stării de solicitare poate fi aleasă tensiunea normală maximă, deformaţia specifică liniară maximă, tensiunea tangenţială maximă, energia potenţială de deformaţie totală sau cea de deviaţie, fiecare
ţă.
12.5.2 Tensiunea echivalentă
Pentru un anumit material se consideră două stări de tensiune, având celaşi grad de periculozitate: o stare de tensiune caracterizată de tensiunile rincipale σ , σ şi σ şi o stare de întindere simplă, caracterizată de
t
rupere σr. În cazul general de solicitare, limitându-ne la caracterizarea acesteia
pe erienţe, de aceea s-a convenit ca, pentru aprecierea gradului
culozitate al unei solicitări comp ă se aleagă un factor carelexe, scaracterizeazcompare cu mărimea corespunzătoare stării de tensiune limită determinată printr-o încercare simplă (întindere, compresiune, forfecare). Stabilirea factorului care să permită aprecierea cu un grad de generalitate satisfăcător anivelului de pericol al unei stări de tensiune reale în raport cu cea limită constituie obiectivul teoriilor stărilor de tensiune limită sau a teoriilor de rezistenţă. Deoarece atingerea stării limită într-un punct depinde de m
conducând la o teorie de rezisten
ap 1 2 3
ensiunea principală σech.(fig.12.4)
fig12.4
σ3
σ2
σechσechσ1σ1
σ3
σ2
233
Tensiunea echivalentă este deci tensiunea normală principală care ar trebui produsă într-o epruvetă supusă la întindere simplă, pentru a se crea în
ca şi starea dată. În continuare se vor studia numai teoriile de rezistenţă cu
12.5.3 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I)
preponderent este tensiunea normală maximă σmax ; un corp, într-un punct al său, atinge starea limită când tensiunea normală maximă atinge valoarea maximă de la solicitarea de întindere simplă, indiferent de
Notându-se cu σ0 limita de curgere σc pentru materialele tenace sau rezistenţa de rupere σr pentru materialele casante, valori determinate xperimental, se poate scrie, în cazul stării de tensiune spaţială, pentru celaşi σ0 la întindere şi compresiune:
epruvetă o stare de tensiune cu acelaşi grad de periculozitate
aplicabilitate practică.
Factorul
tipul de solicitare.
ea
010 σσσ ≤≤−
030
020
σσσσσσ ≤≤−
≤≤−sau pentru tensiuni σ0 diferite la întindere (σ0t) şi compresiune (σ0c):
020
010
tc
tc
σσσσσσ
.030 tc σσσ ≤≤−≤≤−≤≤−
În problema plană, unde σ3 = 0, relaţiile precedente devin:
20
010
σσσσσ
0σ≤≤−≤≤−
sau 010 tc σσσ
.020 σσσ− tc ≤≤≤≤−
În reprezentarea spaţială, la limită, condiţiile de rezistenţă în punct reprezintă şase plane care formează un paralelipiped cu laturile egale cu 2σ0, suprafaţa cubului reprezentând suprafaţa limită.(fig.12.5)
σ3
fig12.5σ2
σ1
σ0 σ0
σ0
σ0
σ0σ0
234
În plan, reprezentarea condiţiilor la limită conduce la un pătrat de laturi 2σ0,(fig.12.6):
M
σ2 σ2
σ1
σ1
σ1 σ1
σ2
σ0
σ0−σ0
σ0t
σ0tσ0c
fig.12.6 σ2
−σ0 σ0c
Punctele din interiorul cubului sau pătratului corespund unor stări de tensiune posibile în punct (nu conduc la starea de tensiune limită), iar punctele de pe suprafaţă (contur) sau din afara acestora reprezintă stări de tensiune limită, respectiv stări de tensiune care depăşesc starea limită. Când tensiunile limită la întindere şi compresiune sunt diferite (σ0t şi
0c), domeniile de rezistenţă precedente se construiesc în mod analog prin crierea corespunzătoare a condiţiilor de rezistenţă la limită.
nea σ0c corespunzătoare compresiunii simple.
2. În cazul forfecării pure, tensiunile principale fiind:
σs Dezavantajele teoriei
1. Teoria este infirmată de experienţele Főpple, pentru o stare de compresiune uniformă triaxială (compresiune hidrostatică), la care se constată că starea limită se atinge pentru tensiuni σ care depăşesc cu mult tensiu
,; 21 τστσ −== prin urmare materialul cedează când 0lim21 στσσ ==−= ;
experienţele Bauschinger arată că cedarea se produce când
20
limσ
τ = , infirmând astfel valabilit
forfecării pure. Teoria tensiunilor principale maxime dă rezultate satisfăcătoare numai la solicitarea de întindere în cazul materilelor casante.
atea teoriei pentru cazul
Pentru tensiunile de exploatare, când se consideră σc şi σt ca având aceleaşi valori, criteriul de rezistenţă devine:
[ ] .;;max 321 aech σσσσσ ≤= Dacă σ1>0, σ2>0, σ3<0 condiţia de rezistenţă devine:
235
[ ] ;;max 21 tatech σσσσ ≤= .3 cacech σσσ ≤=
În mod obişnuit nu se dispune de valoarea tensiunii σac ci numai de σat.
ponderent este tensiunea tangenţială maximă τmax ; un
mită trebuie îndeplinite următoarele condiţii:
12.5.4 Teoria tensiunilor tangenţiale maxime (teoria a III-a) Factorul precorp într-un punct al său atinge starea limită, indiferent de tipul de solicitare, când tensiunea tangenţială maximă din acel punct atinge valoarea limită corespunzătoare solicitării de intindere simplă. Pentru a nu se atinge starea li
,0310
;;
0230
0120
τττττττττ
≤≤−≤≤−≤≤−
dar:
,2
;2
;2
;2
3131
3223
2112
00
σστ
σστσστ
στ
−=
−=
−==
astfel, se poate scrie: ;0210 σσσσ ≤−≤−
.;00
σσσσσσ 32 σσ
0310 ≤−≤−− ≤−≤
În reprezentarea grafică spaţială, relaţiile de forma 021 σσσ ±=− reprezintă şase plane paralele două câte două, înclinate la 450 în raport cu câte două axe şi paralele cu a treia axă; acestea vor determina o prismă hexagonală de lungime infinită (fig.12.7). Pentru reprezentarea plană, ( )03 =σ :
,;;
020
010
σσσσσσσ
0210
σσσ
≤−≤−≤≤−≤≤−
se ine un hxagon semiregulat (fig.12.8).
obţ
236
1
2
3
2
1
fig.12.7 fig.12.8 Experienţele lui Föpple efectuate pe cuburi de ciment, gresie, granit la compresiune, pe o direcţie şi pe două direcţii, au condus la conclu
σ0
σ0
zia că ateri
rienţele Föpple i pe t tă este deschisă şi în zona de întindere, ceea
ex co erialului, neputând fi aplicată decât la materiale pentru
m alul cedează în ambele cazuri la valoarea tensiunii limită obţinută pentru cazul compresiunii pe o singură direcţie. Suprafaţa limită este deschisă în zona compresiunii triaxiale deci se confirmă expeş rei direcţii; suprafaţa limice nu corespunde datelor experimentale.
Acest criteriu este verificat şi în cazul forfecării pure, prin perimentele lui Bauschinger.
Teoria nu poate ţine seama de tensiunile limită diferite la întindere şi mpresiune ale mat
care c0t0 σσ = , cum este cazul oţelurilor. Teoria nu ţine seama, în cazul solicitării spaţiale, de influenţa tensiunii principale 2σ .
oria nu se aplică pentru stări de tensiune apropiate de întinderea
nile tangenţiale şi lunecările specifice asociate există o proporţionalitat
Tetriaxială. Între tensiurelaţie de e. Apariţia deformaţiilor permanente la metale are
rivit ca un criteriu de
În exploatare, condiţia la limită este:
loc ca urmare a lunecărilor care se produc în structura materialului, astfel încât criteriul tensiunii tangenţiale maxime poate fi pplasticitate (criteriu de curgere plastică), în timp ce teoria I este o teorie de rupere.
[ ] ;;;max 313221 aech σσσσσσσσ ≤−−−= plan: în
[ ] .;;max 2121 aech σσσσσσ ≤−=
237
În cazul barelor unde 021 <⋅σσ , se ajunge la o relaţie de forma:
.21 aech σσσσ ≤−=
12.5.5 Teoria energiei de deviaţie (teoriaVsau IV ) F nergia
la solicitarea de întindere mplă
tru a nu se depăşi starea limită trebuie îndeplinită condiţia:
aactorul preponderent în atingerea stării limită îl constituie e
specifică de deviaţie UD. Un corp atinge starea limită într-un punct al său, indiferent de tipul solicitării când energia potenţială de deformaţie de variaţie a formei specifică atinge valoarea corespunzătoare desi . Pen
( )
;E3
1U
,E3
1U
;UU
20D
13322123
22
21D
DD
0
0
σμ
σσσσσσσσσμ
+=
−−−+++
=
≤
rezultă că se poate scrie:
sau
21σ + ,2
013322123
22 σσσσσσσσσ ≤−−−+
013322123
22
21 σσσσσσσσσσσ ≤−−−++=ech ,
ceea ce are ca reprezentare grafică în spaţiu un cilindru circular deschis la bel ei din teoriaam e capete (fig.12.9),cilindrul fiind circumscris prism
tensiunilor tangenţiale maxime, respectiv în plan: ,2
02122
21 σσσσσ ≤−+
altfel spus ,021
22
2 σσσ = 1 σσσ ≤−+ech ceea ce reprezintă o elipsă obţinută prin intersecţia cilindrului cu planul σ3 = 0, (fig.12.10). În cazul solicitării de forfecare pură σ1 = τ şi σ2 = −τ, se introduc cele
incipale în expresia tensiunii
două valori ale tensiunilor normale prchivalente şi rezultă: e
0222 ,3 σσττττσ ≤=++= echech , adică
00
0 577.03
σσ
τ ≅= , această valoare fiind confirmată prin experimente.
238
1
2
3
2
1
fig.12.9 fig.12.10
σ0
σ0−σ0
−σ0
La solicitarea de compresiune triaxială σ1 = σ2 = σ3 = -p; rezultă:
,; 0222222 σσσ ≤−−−++= echech pppppp
adică:
∞→=0
0σp , valoare verificată de experienţe.
Teoria ţine seama de tensiunea principală σ2, a cărei influenţă a transformat prisma din teoria tensiunilor tangenţiale maxime în cilindrul
erii pe toate direcţiile.
acestei teorii. Suprafaţa limită fiind deschisă în zona întinderii uniforme triaxiale, criteriul este inaplicabil pentru cazul întind Criteriul are în vedere numai materialele cu aceeaşi tensiune limită la întindere şi compresiune simplă. La so iclic tarea de întindere uniformă pe două direcţii:
σσσ == , 21
astfel, rezultă σσσσσ =−+= 222
ech , ceea ce confirmă experienţele. În cazul materialelor ductile, această teorie oferă condiţia pntru apariţia curgerii într-un punct, motiv pentru care criteriul energiei potenţiale de deformaţie pentru modificarea formei reprezint(condiţie de curgere), ca şi
ă un criteriu de plasticitate criteriul tensiunii tangnţiale maxime. Coincidenţa
rezultatelor teoretice obţinute cu cele experimentale face ca acest criteriu de ă să fie larg aplicat în cazul materialelor cu proprietăţi plastice.
rezistenţ
239
12.5.6 Aplicarea teoriilor de rezistenţă n cazul barelor Starea cea mai generală de solicitare în cazul unei bare se reduce la
rmătoarele tensiuni:
î u
.; 22xzxyx τττσσ +==
Pentru a se verifica dacă starea de tensiune nu o depăşeşte pe cea mităli trebuie făcută verificarea:
.aech σσ ≤ Pentru calculul lui σech trebuie cunoscută teoria de rezistenţă care se plică; astfel: a
pentru teoria tensiunilor normale maxime (Tσ): •
a2
2
xxech 21
21 στσσσ ≤+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= (1)
• pentru teoria tensiunilor tangenţiale maxime (Tτ):
,2222
22
22
21ech τσστσσ
σσσ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=−= xxxx
unde:
;22
22
1 τσσσ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= xx
.22
22
2 τσσσ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= xx
Astfel:
a22
xech 4 στσσ ≤+= (2) • pentru teoria energiei de devia ie (Tţ ED):
( ) ,22
4 222
2221
22121
22
21 τ
σστσσσσσσσσσ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++=+−=−+ xx
x
σ =ech
rezultă:
a22
xech 3 στσσ ≤+= (3)
enţială admisibilă pe baza teoriei tensiunilor xime se calculează astfel:
În cazul solicitării axiale se aplică relaţia (1). Pentru orice alt tip de solicitare se aplică relaţiile (2) sau (3). Tensiunea tangtangenţiale ma
,2 max aech στσ ≤=
240
prin urmare: .5.0 aa στ =
În cazul teoriei energiei de deviaţie: ,3 max aech στσ ≤=
.577.0 aa στ =
241
Capitolul 13
SOLICITĂRI COMPUSE
ntr-o stare de solicitare simplă de întindere, compresiune,
În practică se întâlneşte adeseori acţiunea simultană, într-o secţiune a une au mai multe dintre aceste eforturcompuse.
iune şi deformaţie a barelor, la care, în secţiunile transversale ale acestora apar cel puţin două componente ale eforturilor secţionale. Se consideră o bară dreaptă, acţionată de un sistem spaţial de forţe în echilibru; în cazul cel mai general, în centrul de greutate al secţiunii transversale, eforturile elementare se reduc la componentele Ty, Tz, N, My, Mz, Mt (fig.13.1).
Când în secţiunea unei bare apare un singur efort N, T, Mt, Mi, atunci bara se află îforfecare, torsiune sau încovoiere.
i bare, a două s i, rezultând solicitări
Se numeşte solicitare compusă, acea stare de tens
x
z
y
N
Tz
Ty
Mt
Mz
My
ce în secţiunea transversală tensiuni
le barelor se va considera valabil principiul independenţei acţiunii forţelor, o ţinând astfel tensiunile şi deformaţiile într-un punct prin însumarea geometrică a tensiunilor şi
fig.13.1 EforturileN, My şi Mz vor produnormale σx, iar componentele Ty, Tz şi Mt vor produce tensiuni tangenţiale τ. În studiul solicitărilor compuse a
b
242
deformaţiilor mici provocate de fiecare solicitare simplă prezentă. Acest mod de calcul se poate accepta numai pentru barele la care deformaţiile mici
difică esenţial forma iniţială a ţele aplicate să
nu influenţeze sensibil asupra poziţiilor şi rezultantelor acţiunilor celorlalte încărcări.
Cazuri de solicitări compuse: • încovoiere simplă cu forţă axială, caracterizată de eforturile secţionale
, My) sau (N, Mz). • încovoiere dublă sau oblică, caracterizată de eforturile secţionale (My,
z). • încovoiere dublă cu forţă axială, caracterizată de eforturile secţionale
, My, Mz). • încovoiere cu torsiune, caracterizată de eforturile secţionale (My, Mt),
z, Mt), (My, Mz, Mt). • încovoiere cu torsiune cu forţă axială, caracterizată de eforturile
ecţionale (N, My, Mz, Mt).
13.1 Încovoiere dublă sau oblică
produse de acţiunea încărcărilor nu moacestora, astfel încât deformaţiile produse de fiecare din for
(N
M
(N
(M
s
Se numeşte încovoiere oblică, încovoierea unei bare la care planul de cţiune al momentului încovoietor nu conţine în secţiune nici una din axele rincipale de inerţie ale secţiunii barei.
Fie secţiunea oarecare a unei bare la care momentul încovoietor Mi rmează unghiul α cu axa z (fig.13.2); vectorul moment se va descompune
upă axele principale de inerţie în:
ap fod
.sin;cos
αα
iy
iz
MMMM
==
Pentru un punct P din primul cadran tensiunile normale pe cele două xe se calculează astfel: a
.
;
zI
M
yI
M
y
yPM
z
zPM
y
z
−=
=
σ
σ
243
S
SMy
Mz
MP
1
1σ(M )z
1z
/
α
1β
1
1y1σ(M )y
1σmin
1σmax1ββ
1
+ P
+
+-
-xn
P
-
--
+-
++
+-
1fig.13.2aaeutra
Aplicând principiul suprapunerii efectelor rezultă:
,sincos
;−=+=y
y
z
zPM
PM
P zI
My
IM
yzσσσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
yzi I
zI
yM αασ
relaţie ce reprezintă expresia tensiunii într-un punct curent, pentru solicitarea de încovoiere oblică. Prin egalarea expresiei tensiunii σ cu zero se obţine ecuaţia axei neutre în secţiune:
;0sincos=−
yz Iz
Iy αα
expresia reprezintă o dreaptă ce trece prin originea axelor de coordonate, înclinarea dreptei fiind:
.αβ tgII
zytg
y
z==
Se constată că direcţia axei neutre nu coincide cu direcţia momentului încovoietor Mi decât dacă Iz = Iy ; este cazul secţiunilor circulară, inelară, pătrată, în care caz încovoierea devine simplă.
244
După determinarea poziţiei axei neutre se duc paralele la această axă, tangente la conturul secţiunii transversale, prin punctele cele mai depărtate de ea; se determină punctele S şi S/. Se trasează distribuţia de tensiuni σ pentru solicitarea compusă, semnele corespunzătoare datorându-se compunerii semnelor fiecărei tensiuni σMy şi σMz pentru punctele S şi S/.
ale materialelor cu comportament diferit Pentru rezistenţele admisibile la întindere şi compresiune, condiţiile de rezistenţă sunt:
.z
MyM yz σσσ ≤−==
(1)
II
MM
caSSSmin
yz
///
;zI
yI taS
yS
zSmax σσσ ≤−==
yz
Pentru aceeaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune: [ ] .;max / aSSech σσσσ ≤=
Condiţia de rezistenţă nu se poate transforma într-o formulă de imensionare în cazul general, adică pentru orice tip de secţiune; o astfel de ecţiune poate fi numai verificată.
e admite secţiunea şi se erifică condiţia de rezistenţă, astfel, dacă:
ds Dimensionarea se efectuează prin încercări; sv
,02.195.0 max aefa σσσ ≤≤ atunci secţiunea este bună. În caz contrar, se schimbă secţiunea şi se reface calculul de verificare. În această categorie intră profilul cornier (fig.13.3):
FS
S
/
axan
η
M
z
y
ξ
η
ξ
Mi
M
eutra
σ = σS max
β
fig.13.3
σ σS min= /
245
Înclinarea axei neutre este dată de relaţia:
.αβη
ξ tgII
tg = / Tensiunile normale în punctele S şi S se calculează cu relaţiile:
.
,
/// min
max
SSS
SSS
IM
IM
IM
IM
ξησσ
ξησσ
η
η
ξ
ξ
η
η
ξ
ξ
−==
−==
13.1.1 Încovoierea dublă a barelor cu secţiunea transversală dreptunghiulară sau care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline
(fig.13.4)
fig.13.4 Pentru secţiunea dreptunghiulară din figura 13.5, acţionată de un moment încovoietor M , făcând unghiul α cu xa z, se trasează distribuţiile
istribuţia finală σ.
ide tensiuni normale corespunzătoare momentelor încovoietoare My şi Mz şi apoi prin compunere d
S/ M /Wz z
S
MyMi
αMz z
M /Wz z
M /Wy y
β
σ
fig.13.5
y M /Wy y σmin
σmax
axaneutra
-
+
+-
+
-
246
Expresiile tensiunilor maximă şi minimă vor fi:
.minyz
yz
MM
WW
−−== σσ
,
/S WW
maxyz
S
MM+== σσ
yz
Condiţia de rezistenţă devine:
;max ay
y
z
zech W
MWM
σσσ ≤+== (1/)
ransforma într-o condiţie de dimens
factor comun forţat raportul
expresia se poate t ionare astfel: se dă
zWzM
:
,1max azyz MWW ⎠⎝
rezultă condiţia de dimensionare:
yzz Wσ ≤⎟
⎟⎜⎜ +=
MM ⎞⎛σ
.1 dimzz
y
y
z
anecz W
MWW =⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝
+=σ (2)
zM ⎛
MW ⎞
Raportul y
dreptunghi, unde
z
WW
se alege în funcţie de tipul secţiunii; de exemplu, la
6z şi 2bhW =
6y , 2hbW =
bWy, la profilele lam
hWz = inate
portul variază între 7 şi 10.
Dimensionarea se face astfel: se ia un raport
ra
y
z
WW
pe baza căruia se
aplică relaţia (2), după care, în mod obligatoriu, se verifică condiţia de rezistenţă (1) sau (1/) introducând valorile efective ale modulelor de rezistenţă axiale Wz şi Wy. Dacă bara este solicitată la încovoiere dublă prin forţe care nu sunt situate în acelaşi plan se vor evalua componentele forţelor după axele y şi z şi se vor construi diagramele momentelor My şi Mz, secţiunea periculoasă urmând a fi precizată după cum urmează.
247
Fie grinda din figura 13.6 solicitată de forţele F1 acţionând pe direcţia axei y şi F2, pe direcţia axei z.
y fig.13.6 Se descompune sistemul în două sisteme plane xy şi xz pe care s
z
x
A C F2
e trasează diagramele de moment încovoietor My şi Mz (fig.13.7a şi b).
DBF1
F1
A C D B x
y
z
xA C D B
F2
Mz My
M
M MMCz
Dz Cy
Dy
a. b.fig.13.7
Dacă diagramele My şi Mz sunt liniare atunci valoarea maximă pentru momentul încovoietor Mi se găseşte într-unul din punctele în care diagramele au vârfuri (C sau D). Se calculează momentele încovoietoare în aceste puncte:
.
;
22
22
yDzDiD
yCzCiC
MMM
MMM
+=
+=
Secţiunea periculoasă este cea în care Mi are valoarea maximă: [ ].;maxmax iDiCi MMM = .
248
13.2 Încovoiere simplă cu forţă axială Dacă în secţiunea transversală a barei mărim e secţionale se reduc la un moment încovoietor şi o forţă axială, atunci bara este solicitată la
3.8). te mare şi neglijând deplasările din
aplica principiul suprapunerii e
il
încovoiere simplă cu forţă axială (fig.1 Presupunând bara de rigiditaîncovoiere, se va putea fectelor (fig.13.9).
x
S min
z
y
N Mz
/
S
N Mz
3.8
z
y
y0
axaneutra
σN
σ
− −
fig.1 fig.13.9
σMz
σmaxσ
+
++
tensiunile normale datorate forţei i m lui încovoietor Mz: Într-un punct curent din primul cadran al secţiunii se însumează
axiale N ş omentu
.yI
MAN
z
zMN z
+=+= σσ σ
Punând condiţia σ = 0 se obţine poziţia axei neutre în secţiune:
,00 =+ yI
MAN
z
z
rezultă:
.0z
Prin urmare, axa neutră este o dreaptă paralelă cu axa z care nu trece prin centrul de greutate al secţiunii. Se duc paralele la axa neutră, tangente la conturul secţiunii transversale, rezultând punctele S şi S/, cu valorile corespunzătoare pentru tensiunile normale
z
MN
AIy −=
:
249
.min
max
//
,
Sz
zS
Sz
zS yMN
+== σσ
yI
MAN
IA
−== σσ
Dacă se admite că materialul are rezistenţe admisibile identice la întindere şi compresiune, condiţia de rezistenţă devine:
[ ] .;max / aSSech σσσσ ≤= Această relaţie se poate transforma într-o relaţie de dimensionare, rezultând o ecuaţie de gradul trei. O secţiune oarecare supusă la încovoiere simplă cu forţă axială se dimensionează prin încercări; se dă secţiunea şi se verifică condiţia de rezistenţă. Condiţia de rezistenţă este îndeplinită satisfăcător când:
.02.195.0 max aefa σσσ ≤≤
13.2.1 Cazul secţiunii la care axa de încovoiere este axă de simetrie (fig.13.10)
fig.13.10
Fie cazul unei secţiuni transversale de formă dreptunghiulară solicitată la încovoiere simplă cu forţă axială (fig.13.11).
σmin σmin σmin = 0S/
Sy N/A M /Wz z σmax σmax σmax
N Mzz
N/A N/A N/AM /Wz z M / z M /Wz z<> =σN σMz
fig.13.11
−
+
Wz
+
250
Din compunerea tensiunilor normale datorate forţei axiale şi omentului încovoietor pot rezulta trei situaţii în funcţie de mărimea
În punctele S şi S tensiunile normale vor avea valori extreme:
mraportului Mz/Wz faţă de N/A.
/
,maxz
zS W
MAN
+== σσ
./minz
zS W
MAN
−== σσ
Pentru aceeaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune, condiţia de rezistenţă devine:
.max az
zech W
MAN
σσσ ≤+==
Formula este riguroasă pentru forţele axiale de întindere şi poate fi folosită şi în cazul forţelor axiale de compresiune dacă acestea nu produc pierderi de stabilitate. Dimensionarea practică Se neglijează termenul de importanţă mai mică din condiţia de
rezistenţă, de regulă AN
şi se dimensionează secţiunea la solicitarea simplă
reponderentă, de regulă Mz, după care, secţiunea obţinută se majoreaz
13.3 Încovoiere dublă cu forţă axială
ăpţinându-se seama de influenţa termenului neglijat. După alegerea secţiunii, în mod obligatoriu se verifică condiţia de rezistenţă.
Dacă în secţiunea transversală a barei m rimile secţionale se reduc în raport cu centrul de greutate al acesteia la momente încovoietoare după
principale de inerţie, Mz şi My şi o forţă axială N, atunci bara este solicitată la încovoiere dublă cu forţă axială (fig.13.12). Presupunând bara de rigiditate mare şi neglijând deplasările din
ă
direcţiile
încovoiere, se va putea aplica principiul suprapunerii efectelor astfel încât într-un punct al secţiunii, situat în primul cadran (fig.13.13), tensiunea normală va avea expresia:
.z
z
y
y yMzMN ⋅+
IIA⋅
−=σ
251
xS/
N Mz
f .13.13
y
σσN Mz
+
zN Mz
S +
y
fig.13.12
−
N/A M y/Iz zy P
zM
My
M z/Iy yσMy
σ
σmaxσmin
axaneutra
ig
Se consideră în secţiunea din fig. 13.14, raportată la un sistem de axe prin 0). Reducând forţa N în raport cu ce utate al secţiunii se obţine forţa axială N şi momentele încovoietoare
cipale de inerţie, o forţă normală N acţionând în punctul A(y0, zntrul de gre
., 00 zNMyNM yz ⋅=⋅=
x
z
yN fig.13.14A
Suprapunând efectele celor trei eforturi secţionale, tensiunea normală σ va avea expresia:
;1 20
2000
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+
⋅+=
⋅⋅+
⋅⋅+=
zyzy iyy
izz
AN
IyyN
IzzN
ANσ
cu iy şi iz razele principale de inerţie (giraţie) ale secţiunii. Punând condiţia σ = 0 se obţine poziţia axei neutre în secţiune:
252
.01 20
20 =
⋅+
⋅+
zy iyy
izz
(1)
Rezultă că axa neutră este o dreaptă care nu trece prin cengreutate. Punând ecuaţia sub forma normală:
trul de
1zz
yy
00
=+ (2)
şi identificând (1) cu (2) se poate scrie:
,122 =+−
ii yz (3)
00−
z
z
y
y
sau
,1=+zy aa (4)
cu:
zy
,; 00
reprezentând tăieturile axei neutre pe axele de coordonate. După trasarea axei neutre (fig.13.13), se duc paralele la această axă
prin punctele cele mai depărtate ale secţiunii, tangente la contur şi se trasează distribuţia tensiunilor normale σ cu:
22
zi
ayia y
zz
y −=−= (4/)
.
;maxy
Sz
S IM
yI
MAN
⋅−⋅+== σσ
/// min Sy
yS
z
zS
zI
yIA
⋅−⋅+== σσ
Syz
MMN
z
Condiţia de rezistenţă devine:
[ ] ;;max / aSSech σσσσ ≤= secţiunea se poate dimensiona prin încercări.
253
13.3.1 Încovoire dublă cu forţă axială la secţiunea dreptunghiulară sau o secţiune care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline (fig.13.15)
S/
S
N Mz
My
z
y
fig.13.15
axaneutra
σmax
σmin
+
-
Tensiunile normale cu valori extreme se vor calcula astfel:
.
;
/min
max
yS
y
y
z
zS
MMN
WM
WM
AN
==
++==
σσ
σσ
yz
z
WWA−−
Condiţia de rezistenţă se exprimă: [ ] aSSech σσσσ ≤= /;max
sau
.max ay
y
z
z
W
M
WM
AN
σσ ≤++= (5)
Formula (5) este riguroasă pentru cazul forţei axiale de întindere; în cazul compresiunii nu mai este riguroasă dar poate fi aplicată în cazurile în care forţa axială de compresiune este relativ mică şi nu intervin fenomene de
ierder
ă într-una de dimensionare. Se neglijează factorul mai
puţin preponderent, de regulă
p e a stabilităţii. Pentru secţiunile la care se cunoaşte raportul Wz/Wy această formulă poate fi transformat
AN
, se calculează Wz nec:
,1 dimzzya
necz WMW
W ≤⎟⎠
⎜⎝
+=σ
yzz MWM ⎟⎞
⎜⎛
254
apoi se măreşte secţiunea ţinându-se seama de termenul neglijat şi cu se se face, obligato
reziste
az sunt de semne contrare 0), axa n
2. Cu cât polul A(z0, y0) este mai depărtat de originea axelor de este mai apropia
la infinit, axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii şi deoarece Mz = N y0 şi My = N z0 rezultă că acest caz este posibil numai pentru N = 0, Mz
i My ≠ 0, deci pentru cazul încovoierii oblice. Dacă y0 = z0 = 0 rezultă
tuată la inform distribuite în secţiune. Dacă polul A(z0, y0) este situat pe o axă principală de inerţie, atunci
culară pe această axăy it şi axa neutră va fi pa
4.
Se presupune că axa neutră corespunzătoare polului A (y0, z0)se roteşte în jurul unui punct C(yC, zC). Deoarece ecuaţia axei neutre:
dimensiunile efective ale riu, verificarea condiţiei de nţă (5).
Relaţiile (4) şi (4/) conduc la următoarele observaţii: 1. Deoarece tăieturile pe axe ay şi
coordonatelor punctului A(z0, y eutră va trece prin cadranul opus celui în care este aplicată forţa N. Punctul A în care se aplică forţa excentrică N se numeşte polul forţei N.
coordonate, cu atât axa neutră tă de origine; dacă y0 = z0 tind
≠ 0 şcă ay şi az tind la minus infinit, deci pentru o aplicare centrică a forţei normale N, axa neutră va fi si init, tensiunile normale σ fiind unif
3.axa neutră este perpendi ; astfel, pentru A(z0, 0) segmentul a tinde la infin ralelă cu axa y, la distanţa az de aceasta.
Dacă polul A(z0, y0) se deplasează pe dreapta OA (fig.13.16), raportul z0/y0 rămâne constant, astfel că la deplasarea polului A pe dreapta OA, axa neutră se va deplasa paralel cu ea însăşi.
01 20
20 =++
zy iyy
izz
trebuie satisfăcută în permanenţă de coordonatele punctului C, rezultă:
01 0+ C zz2
02 =+
z
C
y iyy
i .
În această ecuaţie coordonatele curente sunt 0 şi z0 astfel că această eplasează polul A(z0, y0) când
xa neutră n-n se roteşte în jurul punctului C(yC, zC).
yrelaţie va exprima o dreaptă A1A2 pe care se da
C (y , z )C C
az
ay
z0y0
y
z
A
A2
A1
n
n
fig13.16
O
255
ia unctului de aplicaţie al forţei normale N, tensiunile în secţiune vor fi de
semne diferite dacă axa neutră intersectează secţiunea şi de acelaşi semn dacă axa neutră se situează în afara secţiunii. În cazul elementelor de construcţii alcătuite din materiale care au rezistenţă mică la întindere (betoane simple, piatră naturală, zidărie de cărămidă) este important, pentru comportarea acestora, ca pe întrega secţiune să se producă numai tensiuni normale de compresiune. Deoarece, pentru o anumită secţiune, poziţia axei neutre depinde de polul A(y0, z0), se pune problema precizării domeniului din secţiune în care se poate aplica forţa normală N astfel ca pe secţiune tensiunile normale σ să aibă acelaşi semn. Domeniul din secţiune, din jurul centrului de greutate al acesteia, în
, astfel ca e numeşte
sâmburele central al secţiunii. Dacă polul A(y0, z0), în care este aplicată forţa axială N, se găseşte în interiorul sâmburelui central, atunci axa neutră se va situa în afara secţiunii. La limită, când axa neutră va fi tangentă la conturul secţiunii, polul A(y0, z0) corespunzător se va situa pe limita domeniului sâmburelui central. Din
eterminare a sâmburelui central (fig.13.17).
13.3.2 Sâmbure central Din expresia tensiunilor normale rezultă că funcţie de poziţ
p
interiorul căruia poate fi aplicată o forţă normală excentricătensiunile normale σ să fie de acelaşi semn pe întrega secţiune, s
această observaţie rezultă modul de d
fig.13.17
n1
n1
n2
n2
n4
A1A3
n3
n3
n4A4 A2
Locul geometric al polului A(y0, z0), când axa neutră n-n se deplasează pe ră să taie secţiunea,
va închide domeniul sâmburelui central. Pentru o anumită poziţie a axei neutre tangentă la conturul secţiunii, polul A(y0, z0) va avea poziţia în secţiune determinată de relaţiile:
Se va lua o poziţie a axei neutre n-n, astfel ca aceasta să fie tangentă la conturul secţiunii şi se va determina polul A(y0, z0) corespunzător acesteia.
conturul secţiunii, rămânând mereu tangentă la acesta, fă
256
.;2
0
2
0yz
ai
zai
y−
=−
= zy
central va fi de
entral la secţiunea dreptunghiulară
Dacă secţiunea are un centru poligonal, sâmbureleaesmenea un poligon, la un contur curb al secţiunii va corespunde un contur curb pentru sâmburele central.
13.3.3 Sâmburele c
b
h
n2n3 n3n4
h/6A1
A2
A3
A4 z
n1n1 n2 n4
b/6
fig.13.18y Fie secţiunea dreptunghiulară de laturi b şi h (fig.13.18); dacă axa neutră ocupă poziţia n1n1 punctul de aplicaţie al forţei excentrice este A1 de
coordonate 00 =z şi y
ziy2
0−
= , cu 2ha = - tăietura axei neutre şi ya
12
22 h
AIi z
z == ; rezultă 60hy −= .
Similar se determină coordonatele punctelor A2, A3, A4. Sâmburele central are forma unui romb, diagonala mare fiind paralelă
cu latura mare a dreptunghiului. Lungimile diagonalelor sunt h/3 şi b/3.
13.3.4 Sâmburele central la secţiunea circulară
n1
n1
A1
rD = 2R
y
z
fig.13.19
r = R/4
257
Fie secţiunea circulară cu diametrul D (fig.13.19); poziţiei n1n1 a axei neutre îi corespunde punctul de aplicaţie al forţei excentrice A1 de
coordonate 00 =y şi z
y
ai
z2
0
−= cu 2
Daz −= şi 16
22 D
AI
i yy == ; rezultă
480Rz == .
Acelaşi rezultat se obţine pentru orice poziţie a axei neutre tangentă la
contur. Prin urmare, sâmburele central este un cerc de rază
D
4Rr = .
13.3.5 Zona activă Dacă punctul de aplicaţie al forţei normale excentrice este situat în afara sâmburelui central al secţiunii, axa neutră corespunzătoare taie
cţiu
en, nu se pot prelua tensiuni normale de
e stabilească poziţia axei neutre precum şi tensiunile normale maxime de compresiune care se produc. Fie secţiunea dreptunghiulară şi forţa normală N de compresiune aplicată în punctul A pe o axă principală de inerţie în afara sâmburelui
central, la o distanţă
se nea şi, în consecinţă, pe secţiune se produc atât tensiuni normale de compresiune cât şi de întindere. În cazul unor materiale care nu pot prelua decât eforturi de compresiune, cum este cazul unei fundaţii la care, pe faţa de contact dintre aceasta şi terîntindere, în secţiunea transversală, acţiunea forţei normale excentrice va produce pe o parte a secţiunii tensiuni normale de compresiune, cealaltă parte a secţiunii putând fi fisurată. În acest fel va exista pe secţiune o zonă activă din punct de vedere al preluării tensiunilor, axa neutră fiind definită aici de linia de separaţie a acestei zone. Pentru calculele de rezistenţă este necesar să s
6h
NMe >= de axa z (fig.13.20).
b
h O
Ae N
2c
c
z
yσmax
n n
fig.13.20
258
Se va admite că distribuţia tensiunilor normale pe secţiune este liniară. Sistemul forţelor elementare σdA pe secţiune trebuie să se reducă la forţa normală de compresiune N. Se delimitează astfel zona activă, ţinând seama
ţiune şi înălţimea b care reprezintă de fapt imea sec
ţie A b, cu c, istanţa punctului de aplicaţie al forţei N în raport cu latura cea mai
apropiată, paralelă cu axa neutră. Din egalitatea rezultantei forţelor elementare σdA pe secţiunea activă cu forţa normală N, se obţine:
că volumul format de vectorii σ pe secţiune este volumul unei prisme triunghiulare având drept bază triunghiul care exprimă diagrama de variaţie a tensiunilor normale σ pe sec
ţiunii. Axa neutră va fi situată la distanţa 2c de punctul de al forţei N, iar zona activă va avea dimensiunile 3c x
lăţaplicad
,bc3N2Nb
2c3 pamant
aecompresiun
maxmax σσσ
≤=⇒=⋅
cu 13.4 Încovoiere cu torsiune
./4.02.0 2mmNpamanta ÷=σ
e se poă cele d ări, încovoiere şi
influenţeze reciproc. Starea de tensiune care ia naştere în bară se va evalua pe baza principiului independen i acţiunii solicitărilor. Astfel, într-un punct al secţiunii transversale a barei, tensiunea normală se va determina ca şi în
lă, ca suma tensiu
u se ai poate considera ca în cazurile precedente de solicitări compuse o stare
liniară de tens ensiune care se produce în acest punct, urmând s n criteriu de stare limită pentru condiţia de rezistenţă. 13.4.1 Bara de secţiune circulară Secţiunea circulară din figura 13.21 este solicitată de un moment încovoietor Mi şi un moment de torsiune Mt.
Acţiunea simultană a solicitărilor de încovoiere este frecventă cu deosebire la organele de maşini; arborii de transmisie constituie un exemplu tipic în acest sens. În cazul barelor de rigiditate mar ate presupune, cu suficientă exactitate, c ouă solicit torsiune, se produc fără să se
ţe
cazul încovoierii simple sau duble, iar tensiunea tangenţianilor tangenţiale din încovoiere cu lunecare şi torsiune. Cum tensiunile
tangenţiale în punctul cel mai solicitat al secţiunii pot fi importante, nm
iune, ci va trebui ţinut seama de starea plană de tă se aplice u
259
Mt
Mi
S /
σmin
-
+
σmax
Sτmax
fig.13.21 Momentul încovoietor Mi va produce tensiuni normale σ. Momentul de torsiune Mt va produce tensiuni tangenţiale τ. Aprecierea rezistenţei barei în secţiune numai pe baza tensiunilor normale şi tangenţiale maxime, având expresiile:
,32dWcu
WM 3
ii
imax
πσ == (1)
,16dWcu
WM 3
pp
tmax
πτ == (2)
nu este suficientă, dată fiind starea de tensiune plană existentă în jurul unui punct din bară. Astfel, valorile tensiunilor normale principale sau ale tensiunilor tangenţiale extreme în anumite puncte din secţiune pot depăşi valorile date de expresiile corespunzătoare lui σmax şi τmax . Pentru evaluarea acestora se observă că în punctele S şi S/ tensiunea normală atinge valoarea maximă simultan cu tensiunea tangenţială dată de momentul de torsiune. Pentru scrierea condiţiei de rezistenţă trebuie precizată teoria de rezistenţă care se va folosi: ,max aTech k σσσ ≤⋅= (3) cu:
,41;4122
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+==
στ
στ
τ EDTT kkkk
corespunzător teoriei tensiunilor tangenţiale maxime (Tτ), respectiv teoriei energiei de deviaţie (TΕD); înlocuind expresiile lui σ şi τ cu relaţiile (1) şi
), rezultă: (2
260
.75.01
;1
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
i
tED
i
t
MM
k
MM
kτ
Relaţia (3) devine:
,12
tiech
Mk
WM
σσ ≤⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+= (4) 0 aM ⎠⎝
forma într-o relaţie de dimensionare:
ii
cu k0 = 1 pentru Tτ şi k0 = 0,75 pentru TED. Relaţia (4) se poate trans
.dim
2
01 ii
t
a
inei c W
MMkMW =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
σ
13.4.1.1 Arbori de transmisie ontate două roţi de curea.
unoscându-se puterea transmisă P[kW] şi turaţia n[rot/min], se cere
Pe arborele din figura 13.22 sunt mCdeterminarea secţiunii periculoase.
1 2AB
yx
T1
T1/
T2
T2/
z T1
T +T1 1/
T1/
y
z z
y
Mt1 Mt2
R1 R2T2
T2/
>T1
>T2 T +T2 2/
fig.13.22
roata 1 roata 2
α
β
Momentul de torsiune în dreptul roţii 1 va fi:
n Din ecuaţia de momente de torsiune în raport cu axa x rezultă:
.MM
PkNm]. M t 55.91 = [
21 tt −=
261
Se reduc forţele din curele în raport cu axa arborelui; forţele care acţionează asupra arborelui sunt în plane diferite. Se calculează componentele după axele y şi z:
( )( )
( )( ) .sin
;cos
;sin
;cos
/221
/222
/111
/111
α
β
α
α
TTF
TTF
TTF
TTF
z
y
z
y
+=
+−=
+=
+=
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane şi se trasează diagramele Mt, Mz, My (fig.13.23 şi 13.24).
y
A 1F1y
BF2y
x
Mz
My
z
x
F1z
F2z
A B12 2Mt1 Mt2
Mt
fig.13.23 fig.13.24 Secţiunea periculoasă rezultă din condiţia de rezistenţă:
,1 0 ai
t
i
iech M
Mk
WM
σσ ≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
sau
2
ai
e chech σσ ≤= (5)
i
ti
WM
WMkM
=+ 0
unde s-a notat cu
22
20
22tzyech MkMMM ++= .
Secţiunea periculoasă este cea în care Mech are valoarea maximă; deoarece variaţiile lui Mt, Mz, My sunt liniare rezultă că Mech este maxim într-una din secţiunile în care componentele Mt, Mz, My sunt maxime.
262
Trebuie cercetate toate secţiunile în care una din componente este maximă. În cazul exemplului dat se calculează Mech 1 şi Mech B. Rezultă:
[ ].;max 1 Bechechech MMM = Arborele are o mişcare de rotaţie. Punctul S întins cu σmax, după o rotire cu 1800 ajunge în S/ căruia îi corespunde o tensiune -σmax . Rezultă că în punctul S apare o solicitare variabilă, lucru valabil pentru toate punctele arborelui.
le piesele se rup la tensiuni inferioare limitelor de rezistenţă statică. În condiţia de rezistenţă (5) rezistenţele admisibile vor
elor de la solicitările statice.
p nghiulară ovoiere
z y t
La solicitări variabi
avea valori inferioare c 13.4.2 Bara cu secţiune dre tu Secţiunea dreptunghiulară din figura 13.25 este solicitată la încdublă prin momentele M şi M şi la torsiune prin momentul M .
b
h
Mt
z3
y
h > b
fig.13.25M /Wy y
M /Wz z
12
τ αmax t = M / hb2
τ α1 1max t = M / hb2
-
+
+-
z
My
M
Pentru a putea dimensiona trebuie cercetat punctul cel mai solicitat din secţiune. Se studiază toate punctele în care una din componentele tensiunilor este maximă. Pentru punctul „1”:
.0; =+= τσyz WW
Se face dimensionarea la încovoiere dublă:
yz MM
263
.6
1 dimbhWMW z
znecz =⎜
⎜⎛
=2MW yz =⎟
⎟⎞
+σ
dimensiunile bMW zya ⎠⎝
Din această relaţie rezultă / şi h/.
Pentru punctul „2”: 21
,hb
MWM t
z
z
ατσ == .
Se face dimensionarea la încovoiere cu torsiune:
;6
4122 bhMW
a
znecz =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
στ
σ // //rezultă un nou grup de dimensiuni, b şi h .
Pentru punctul „3”: .hbM,
WM
2t
y
y
ατσ ==
Se face dimensionarea la încovoiere cu torsiune:
;6
4122 hbM
Wa
ynecy =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
στ
σ /// ///rezultă setul de dimensiuni b şi h .
Dimensiunile secţiunii se aleg din condiţia: ( ) ( ) ( ) ( )[ ].,;,;,max, //////////// hbhbhbhb =
Problema 13.a Grinda AB (fig.13a.1), cu secţiunea un profil I, este solicitată de o sarcină uniform distribuită în planul xy şi de o forţă concentrată în punctul C, având direcţia axei z. Să se dimensioneze grinda. Se dă σa = 150 N/mm2.
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz ş se şi 3).
Se calculează momentele încovoietoare în secţiunile C şi D:
i trasează diagramele de moment încovoietor Mz şi My (fig.13a.2
.83.37,83.3755.37
,49.36636
max
22
22
Dii
Di
Ci
MkNmMkNmM
kNmM
==
=+=
=+=
Rezultă că secţiunea periculoasă este D. Aici se face dimensionarea; solicitarea fiind de încovoiere dublă, condiţia de dimensionare este:
264
5kN
A
C
B
z
x
y 1.
D
36kNm 37.5kNm 6kNm 5kNm
2. 3.
fig.13a
12kN/mxA B
z
xA C D B
y 2m 3m
C5kN
2m 3m2.5m
Mz My+
-
.1 dimzz
y
y
z
a
znecz W
MM
WWM
W =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
σ
Pentru determinarea raportului y
z
WW
se face o predimensionare numai
la solicitarea de încovoiere preponderentă (în cazul de faţă încovoiere pe axa z):
.10250150aσ
105.37 336
mmM
W znecz ⋅=
⋅==
265
Din tabelul standardizat rezultă Wz ef = 278 cm3, care corespunde unui
profil I22, având Wy = 33.1 cm3. Rezultă raportu 39.8=y
z
WW
l ; se introduce
rea dublă, astfel: raportul în condiţia de dimensionare de la încovoie
.1067.5295.37
539.81150
105.37 336
mmW necz ⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅=
3 Din tabelul standardizat rezultă Wz ef = 542 cm , care corespunde unui 3
ncovoierea dublă: profil I28, având Wy = 61,2 cm . Se verifică obligatoriu condiţia de rezistenţă la î
./15302.1
,/87.150102.6110542 33WW yz ⋅⋅
105105.37
2max
266
max
mmN
mmN
a =<
=⋅
+⋅
=
σσ
Deci secţiunea corespunzătoare grinzii AB este un profil I28.
ţial din figura 13b.1 având secţiunea un profil ornie ere să se determine valoarea forţei capabile F şi
deplas Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz şi se trasează diagramele de moment încovoietor Mz şi My (fig.13b.2 şi 3);
lează înclinarea axei neutre:
MM yz +=σ
Problema 13.b Pentru sistemul spa , c r L150x150x14 se c
area punctului D. Se dă σa = 150 N/mm2.
secţiunea periculoasă este D. Se calcu
.1173309.3851.0347
1340
;80==ααM
tggItg yz 51.,
/0=⇒=⋅=
=
ββ
β
tg
Mt
I zy
β se măsoară în raport cu axa z, în sens orar fiind considerat Unghiul de semn pozitiv. Se trasează distribuţia de tensiuni σ, punctele S şi S/ fiind cele mai solicitate în secţiune:
( )
1;0 vzy SS ==
210571.2 FM yzS
⋅σ
4 ;/044.01095.510347
mmNFzI
yI s
yS
z
=⋅−⋅
−=−=
3M
266
( ) ( ) 24
3
4
3
/058.01065.410347101340 ⋅⋅
;/ wyS
=
10571.2106.10103
///
mmNFFF
zI
My
IM
Sy
yS
z
zS
−=⋅⋅
−⋅−⋅
=
=⋅−⋅=σ
z .1/ vwS −=
A
C
B
x
y
z
1.
x
y
A CD
B
Mz
z
xA CD
B
My
2. 3.
fig.13b
D
4FF
4F F 3F
1.5m 2m 1m 1.5m 2m 1m
Fm
3Fm2.571Fm
+
-+
4.
S/S
++ - -
wv1
Mi
MzMy
y(η)z(ξ)
σS
σS/
+
-
α
β
267
Din condiţia de rezistenţă se determină valoarea forţei capabile: [ ] aSSech /
Pentru calculul deplasării punctului D se foloseşte metoda
punctul D pe axele y respectiv z (fig.13b .1 şi 2).
σσσσ ≤= ;max sau
.2586150058.0 NFF cap =⇒≤
Veresceaghin; se trasează diagramele mz şi my pentru încărcarea unitară în /
x
y
A CBz
A BD
xCD
1. 2.
1.5m 2m 1m 1.5m 2m 1m
++
_
mDz mDy
3/3.5 3/3.5
1 1_
fig.13b/
;59.271.2
,5.3
3231
21
5.3332
32
21
5.3335.1
32
21
mmFEIFdx
EI z
zDzyD
==Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=Δ ∫
EIyD
=mM
z
( )
;12.957.2 mmEIF
yzD ==Δ
,25.15.3
3571.232
21
EIF
EImM
y
yDyzD ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +⋅⋅⋅==Δ ∫
.43.922 mmzDyDD =Δ+Δ=Δ
268
Problema 13.c Să se verifice bara din fontă din fig.13c. Secţiunea barei este dreptunghiulară cu dimensiunile b = 40 mm şi h = 150 mm. Se cunosc σa t = 60 N/mm2; σa c = 120 N/mm2.
fig.13c
+
-
-
+
--
+
-
+
Se trasează diagramele de efort. Secţiunea periculoasă este C; ea este solicitată la încovoiere cu forţă axială. Se trasează distribuţia tensiunilor normale σ în această secţiune din compunerea distribuţiilor tensiunilor normale datorate forţei axiale şi momentului încovoietor. Distanţa între axa z şi axa neutră este:
.036.810141060
401501240150
6
33
0 mmMN
AIy
z
z =⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅==
Tensiunile normale cu valori extreme sunt:
.
;/3.103
;/3.83
6150401014
401501060
/
/2
22
63
acS
z
zS
atz
zS
mmNWM
AN
mmNWM
AN
σσ
σ
σσ
<
−−−=
>=⋅⋅
+⋅
⋅−=+−=
Rezultă faptul că secţiunea nu rezistă la tracţiune.
269
Problema 13.d Secţiunea din figura 13d este solicitată de forţele 16Q şi 11Q paralele cu axa x a barei. Să se calculeze Q capabil dacă se cunoaşte σa = 150 N/mm2.
fig.13d
Se calculează poziţia axei z a secţiunii:
.42.1431880830014140
316188015783000141401 mm
A
yAy
ii
iii
G =⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==
∑∑
Eforturile care apar în secţiune în raport cu centrul de greutate sunt:
Solicitarea la care este supusă secţiunea este încovoiere dublă cu for xială; condiţia de rezistenţă este:
( ) ( ) .1.4180942.14331611742.14316
;156040117016;51116
QQQM
QQQMQQQN
z
y
=+−−−−=
=⋅+⋅==−=
ţăa
;max ayz WWA
σσ ≤++=
în care:
yz MMN
;1018.560;5800 33
max
2 mmyIWmmA z
z ⋅===
,58.172188012
188058.13830012300842.14314140
1214140 2
32
32
3
⋅⋅+⋅
+⋅⋅+⋅
+⋅⋅+⋅
=zI
270
;58.181;10066.101718 max43 mmymmI z =⋅=
,12
188012
300812
14140
;1088.56 33⋅== yy mm
IW
333max
⋅+
⋅+
⋅=yI
z
Se înlocuiesc toate valorile în condiţia de rezistenţă, de unde va rezulta valoarea lui Qcap:
.70;101.3982 max33 mmzmmI y =⋅=
;1501088.56
15601018.560
1.418058005
33 ≤⋅
+⋅
+QQQ
astfel: Qcap = 4195 N. Problema 13.e Sistemul de bare cu secţiunea circulară din figura 13e.1 este acţionat de forţele de 220daN şi 80daN pe direcţia y şi de forţele 3V şi V pe direcţ. Să se verifice barele sistemului conform teoriei a IIIa de rezistenţă
cunoscând diametrul secţiunii circulare d = 52 mm şi σa = 70 N/mm2.
ia z
80daN
220daN
0.3
0.1
0.2m 0.5m 0.3m
3V
V
A
B C D
y fig.13e.1
0.1
0.4
xz
271
300daN
58daNm
58daNm
C
60daNm
Mz
58daNm
Mt
165.7daNz
My
C
31.06daNm
y 22.5daNm
Din ecuaţia de momente de torsiune în raport cu axa x rezultă valoarea forţei V:
.85.82;1.0803.02204.01.03
daNVVV
=⋅−⋅=⋅+⋅
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz, se asează diagramele de moment încovoietor My, Mz şi diagrama de moment e torsiune M .
este solicitat la încovoiere dublă cu torsiune, secţiunea
trd t Sistemul periculoasă este B; aici se va face verificarea :
;ai
echMσσ ≤=ech W
272
i 32dW
3
iπ
= . 20
22tzyech MkMMM ++= şcu :
Pentru teoria a IIIa de rezistenţă k0 = 1, astfel:
./70/48.60
3252
105860 223
422
mmNmmN aech =<=⋅+
= σπ
σ
273
Capitolul 14
SISTEME STATIC NEDETERMINATE
de echilibru nu este suficient entru determinarea în mod unic a eforturilor şi deplasărilor, sistemul este
inat. Există două metode generale de rezolvare a unui astfel
În cazul în care numărul ecuaţiilor pstatic nedetermde sistem: metoda eforturilor şi metoda deplasărilor. Metoda eforturilor, care este o metodă directă de rezolvare, are ca necunoscute reacţiuni sau eforturi care nu se pot determina direct din ecuaţii de echilibru.
Metoda deplasărilor , care este o metodă indirectă, are ca necunoscute deplasări, translaţii sau rotiri, în funcţie de care poate fi exprimată starea de deformaţie sau efort, în mod unic. Metoda eforturilor Se stabileşte iniţial gradul de nedeterminare statică a sistemului, adică numărul de forţe sau eforturi care nu pot fi determinate din ecuaţiile de echilibru. Procedeele de stabilire a gradului de nedeterminare statică sunt următoarele:
a. Procedeul contururilor închise Se consideră sistemul de bare (fig.14.1) care formează un contur
închis. Se secţionează conturul şi se introduc cele trei eforturi corespunzătoare; sistemul astfel obţinut este static determinat.
fig.14.1
X1X2
X3
274
Aşadar, un contur închis, fără nici o discontinuitate a fibrei medii deformate şi a tangentelor sale (de exemplu, fără nici o articulaţie), este de trei ori static nedeterminat. Tot un contur închis, însă prin teren, este, de exemplu, cel din figura 14.2.
fig.14.2
X1X2
X3
Dacă un sistem plan conţine k contururi închise, fără discontinuităţi, gradul de nedeterminare statică este n = 3k. Pentru sistemul din figura 14.3 - k = 5, de unde rezultă gradul de nedeterminare statică 1553 =⋅=n .
1 2 3
4 5fig.14.3
Există situaţii, cum este cea din figura 14.4, când pot apare contururi false, astfel:
1 2
3
4
5
ţine nici o bară care să nu fi fost parcursă, deci
fig.14.4 după ce s-au parcurs barele care formează contururile 1-2-4-1; 2-4-5-2 şi 2-5-3-2, conturul 1-2-3-1 nu coneste vorba despre un contur fals. Gradul de nedeterminare statică este:
( );933 ==⋅= kn .3 Dacă structura conţine articulaţii interioare, reazeme articulate sau reazeme simple, deci prezintă discontinuităţi ale fibrei medii deformate şi ale tangentelor sale, acestea vor furniza condiţii statice suplimentare care
275
micşorează gradul de nedeterminare statică, care devine în cazul sistemelor plane:
;3 ∑−= skn
în care - numărul condiţiilor statice suplimentare. Condiţiile statice suplimentare sunt:
• pentru o articulaţie în care se întâlnesc un număr de două bare, s =1; • pentru o articulaţie în care se întâlnesc un număr de m bare, s = m-1; • pentru un reazem articulat, s = 1• pentru un reazem simplu, s = 2.
Pentru exemplul din figura 14.5,
∑ s
;
6,4 == ∑ sk şi gradul de edeterminare statică este n = 6.
n
s = 1
s = 1
s = 1
s = 1
s = 2
fig.14.5
b. Procedeul barelor Se consideră structura separată în bare şi noduri prin secţiuni
efectuate lângă noduri. Barele, din punct de vedere al modului de rezemare şi deci al
umărului de necunoscute introduse, pot fi: - încastrate la ambele capete, cu simbolul bii şi numărul de necunoscute
introduse 3; - încastrate la un capăt şi articulate la celălalt, cu simbolul bia şi
numărul de necunoscute introduse 2; - încastrate la un capăt şi simplu rezemate la celălalt, cu simbolul bir şi
numărul de necunoscute introduse 1; - articulate la ambele capete, cu simbolul baa şi numărul de necunoscute
introduse 1. Numărul total de necunoscute introduse de bare va fi:
n
.23 aairiaii bbbbB +++= Reazemele structurii introduc necunoscute astfel:
276
- reazemele încastrate, cu simbolul ri şi numărul de necunoscute introduse 3;
- reazemele articulate, i numărul de necunoscute introduse 2;
- reazeme simple, cu simbolul rs ş numărul de necunoscute introduse 1. Numărul total de necunoscute introduse de reazeme va fi:
cu simbolul ra ş
i
.23 sai rrrR ++= micşorează gradul de nedeterminare statică prin ecua Nodurile ţii de
echilibru suplimentare, astfel: - nodurile încastrate, cu simbolul i; -
nnnodurile articulate, cu simbolul a;
- nodurile simplu rezemate, cu simbolul ns. Numărul total de ecuaţii de echilibru în noduri va fi:
.23 sai nnnN ++= Aplicând procedeul barelor, gradul de nedeterminare statică se calculează astfel:
.NRBn −+=
14.1 Metoda eforturilor în rezolvarea sistemelor o dată static nedeterminate
determinat din fig.14.6: Se consideră sistemul static ne
PP
2 3 4
2I
I l
2l/3 1/3
1 5
fig.14.6 fig.14.7
X1
I
forma de baza
277
Etapele de rezolvare sunt următoarele: • se stabileşte gradul de nedeterminare statică al sistemului; aplicând
unul din procedele expuse anterior sau făcând diferenţa dintre
calculează n = 4-3 = 1. • se suprimă un număr de legături egal cu gradul de nedeterminare
statică al structurii, adică se suprimă o legătură şi se introduce forţa de legătură corespunzătoare notată cu X1; sistemul astfel obţinut este un sistem static determinat numit formă de bază, a sistemului iniţial (fig.14.7). Suprimarea legăturilor se poate face în orice secţiune a sistemului static nedeterminat, cu condiţia ca forma de bază obţinută să fie corectă, adică să constituie un sistem static determinat în ansamblu şi pe porţiuni.
cu sistemul iniţial; înseamnă că
i X1 să fie nulă, deoarece în sistemul iniţial deplasarea pe orizontală în această secţiune nu este posibilă. Exprimarea condiţiei Δ1 = 0 constituie ecuaţia din care rezultă X1. Deplasarea Δ1, fiind o funcţie liniară de încărcări (P şi X1), se poate determina prin suprapunerea efectelor, astfel:
numărul de necunoscute şi numărul de ecuaţii de echilibru se
• se pune condiţia ca forma de bază, încărcată cu sarcina P şi cu forţa necunoscută X1 să se comporte identicdeplasarea pe orizontală în secţiunea „1”, Δ1, a formei de bază încărcată cu P ş
;11101 ΔΔΔ += cu:
11 eplasarea în secţiunea „1”, pe direcţia necunoscutei X1, produsă de forţa necunoscută X1 pe forma de bază. Dar tot prin suprapunerea efectelor se calculează
− Δ10 deplasarea în secţiunea „1”, pe direcţia necunoscutei X1, produsă de încărcarea P pe forma de bază; − Δ d
11111 δ⋅=Δ X cu δ11 deplasarea în secţiunea „1”, pe direcţia necunoscutei X1, produsă de X1 = 1 pe forma de bază. Rezultă că: 0101111 =Δ+⋅=Δ δX (1)
• se determină deplasările elastice δ11, Δ10 şi se rezolvă ecuaţia (1). Determinarea deplasărilor, care sunt punctuale, pe un sistem
static determinat (forma de bază) se face cu ajutorul formulei Maxwell-Mohr. Se construiesc diagramele de momente încovoietoare pe forma de bază încărcată cu X1 = 1 şi respectiv P. La calculul lui δ11 şi Δ10 se neglijează efectul forţei tăietoare şi axiale (fig.14.8 a şi b).
278
Se notează cu „m1” diagrama corespunzătoare încărcării formei de bază cu X1 = 1 şi cu „M0” diagrama din încărcarea formei de bază cu P.
X = 11
P
2Pl/9 l l
M0 m1
fig.14.8a. b.
++
+ +
.182
192
21
;67
21
32
221
310
10
321
11
EIPllllP
EIEIdxmM
EIllll
EIlll
EIEIdxm
=⋅⋅==Δ
=⋅⋅+⋅
==
∫
∫δ
Din ecuaţia (1) rezultă:
.21110
1 PX −=Δ
−=11δ
• se trasează diagramele de eforturi N, T, M (fig.14.9) pentru sistemul
1
static nedeterminat fie prin rezolvarea formei de bază încărcată cu P şi X1 simultan, fie separat cu P şi X utilizând apoi suprapunerea efectelor:
,10 mXMM ⋅+= 1
,;110
110
nXNNtXTT⋅+=
⋅+=
în care M0, T , N sunt diagramele de eforturi pe forma de bază în
0 0ri pe forma de
b 1
cărcată cu P, respectiv m1, t1, n1 diagramele de efortuază încărcată cu X = 1.
279
P P/3 Pl/21 Pl/21
P/21P/3 2P/3 P/21 P/21
4.9
P/21
P/3 2P/3N T M
l l 2P/3 11Pl/63
-- - + -
- -+P/21
- - - +
fig.1
te
14. 2 Structuri de n ori static nedetermina
se transforma sistemul într-unul static determinat – forma de bază a sistemului iniţial. În locul celor n legături suprimate se introduc
rţele sau cuplurile de legătură corespunzătoare X1, X2, ..., Xn. Sub acţiunea încărcării iniţiale (sarcinile P) şi a necunoscutelor X1,
2 st sup ei Xj, care, în baza principiului s lor, poate fi scrisă:
Pentru un sistem de n ori static nedeterminat se suprimă un număr de n legături, pentru a
fo X , ..., Xn , într-o secţiune oarecare j a formei de bază, secţiune în care a fo
rimată o legătură, se produce deplasarea Δj, după direcţia necunoscutuprapune ii efecter
;02211 jjnnjjj XXX Δ++++=Δ δδδ care: în
− δjn este deplasarea în j pe direcţia necunoscutei Xj, produsă de încărcarea Xn = 1, pe forma de bază. - Xnδjn este deplasarea în j pe direcţia Xj, produsă de încărcarea Xn, pe forma de bază. − Δj0 este deplasarea în j pe direcţia Xj, produsă de sarcinile P, pe forma de bază. Condiţia de restabilire a continuităţii sistemului în j este Δj = 0: 0011 =Δ+++=Δ jjnnjj XX δδ . (2) Relaţia (2) reprezintă condiţia de continuitate pe direcţia Xj; scriindu-se ecuaţii de continuitate asemenea condiţiei (2) pe direcţia tuturor necunoscutelor, se obţine sistemul de ecuaţii de forma:
280
,
;002211 =Δ++++++=Δ
0
,0
2211
20222222112
=Δ+++++=Δ
=Δ++++++=Δ
,0
0
101 =11221111 ++++=Δ jjXXX Δ++
jjnnjjj
nnXδδδ δ
jjj
nnjj
XXXX
XXXX
δδδδ
δδδδ
(3)
nnnnnjjnnn XXXX δδδδ
cu
∫∫∫ ++=GAdstt
EAdsnn
EIdsmm hjhjhjjh ηδ
şi
;0000 GAEAEI jjjj
unde: - mj, tj, nj sunt diagrame de eforturi din încărcarea formei de bază numai
cu Xj = 1; - mh, th, nh sunt diagrame de eforturi din încărcarea formei de bază numai
cu Xh = 1; - M0, T0, N0 sunt diagrame de eforturi din încărcarea formei de bază
numai cu sarcinile P. La sistemele plane , ale c
∫∫ ++ tTnN η
ăror bare sunt solicitate numai la ă numai influen a momentului încovoietor; în
l grinzilor cu zăbrele, se va ţine seama doar de influenţa forţelor
uaţii se obţin valorile X , ..., X .
∫=ΔdsdsdsmM
încovoiere, se considercazu
ţ
axiale. După rezolvarea sistemului de ec 1 nDiagramele de eforturi se calculează prin suprapunerea eforturilor:
mXmXMM
.;
22110
22110
22110
nn
nn
nXnXnXNNtXtXtXTT
++++=++++=
;
nn
mX++++=
re a unui sistem static nedeterminat prin metoda efortu
3. 4.
Etapele de rezolvarilor sunt:
1. stabilirea gradului de nedeterminare statică n a sistemului; 2. suprimarea a n legături şi introducerea forţelor sau cuplurilor
corespunzătoare X1, X2, ..., Xn, obţinându-se astfel forma de bază a sistemului iniţial; scrierea sistemului de ecuaţii de continuitate (3); încărcarea formei de bază, pe rând, cu fiecare din cele n necunoscute de valoare unitară:
281
( )( );0,1
;0,1 321
=====
( );0,1 121
312
=====
===== n
XXXXXXXX
……
−nn
n
XXXX …
şi cu sarcinile P şi apoi trasarea diagramelor de efort corespunzătoare. 5) determinarea deplasărilor δjh şi Δj0; 6) rezolvarea sistemului de ecuaţii; 7) trasarea diagramelor de efort prin suprapunerea efectelor sau prin
rezolvarea formei de bază încărcată atât cu sarcinile P cât şi cu forţele X1, ..., Xn.
14. 3 Utilizarea simetriei în rezolvarea sistemelor static nedeterminate
Se consideră sistemul de trei ori static nedeterminat din figura 14.10 a simetric faţă de axa I-I şi încărcat cu forţa P. Forma de bază se obţine făcând o secţiune prin axa de simetrie şi introducând forţele de legătură corespunzătoare (fig.14.10 ab).
P PI
X
X2X3 X3
X1 X1
fig.14.10
2
Iforma de
baza
a. b.
Sistemul de ecuaţii de continuitate este de forma:
de moment încovoietor provenind din cărcarea formei de bază, pe rând, cu fiecare din cele trei necunoscute egale
u unitatea (fig.14.11).
⎪⎩
⎨=Δ+++=Δ+++
.0;0
30333322311
20233222211
δδδδδδ
XXXXXX (4)
Se trasează diagramele
⎪⎧ =Δ+++ ;010133122111 δδδ XXX
înc
282
X =11 X =12 X =13
m1 m2 m3
fig.14.11
-- -
- -
-
-++
+ +
++ +
+
+
Se observă că X1 şi X3 constituind încărcări simetrice conduc la iagrame simetrice, X fiind antisimetrică conduce la o diagramă
antisimetricăd 2
; astfel, rezultă: ;02112 == δδ,02332 == δδ
provenind din integrarea unei diagrame simetrice cu una antisimetrică. Rezolvarea sistemului (4) se reduce la rezolvarea unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute şi a unei ecuaţii cu o singură necunoscută:
⎩⎨⎧
=Δ++=Δ++
.0;0
30333311
10133111
δδδδ
XXXX
(5)
020222 =Δ+δX . (6) Când încărcarea P este simetrică sau antisimetrică faţă de axa I-I,
unii din termenii liberi ai ecuaţiilor sistemului (4) devin nuli.
zultă Δ20 = 0 şi deci X2 = 0. Astfel, va rămâne de
atunci şi În cazul în care încărcarea este simetrică (fig.14.12a), diagrama M0 va fi simetrică (fig.14.12b); rerezolvat numai sistemul (5).
P PI
I
a. b.fig.14.12
M0
- -
-
-
283
Când încărcarea P este antisimetrică (fig.14.13a), diagrama M0 va fi antisimetrică (fig.14.13b). Rezultă Δ10 = 0 şi Δ30 = 0, de unde X1 = X3 = 0, rămânând de rezolvat numai ecuaţia (6).
P PI
I
a. b.fig.14.13
M0
-
- +
+
14.4 Calculul deplasărilor la sisteme static nedeterminate
deplasărilor cu metoda Maxwell-Mohr, în cazul unui sistem
te cât şi pentru cele static nedeterminate. Ccalcul
Calculul de bare elastice, produse de sarcinile exterioare, este acelaşi atât pentru sistemele static determina
onsiderând un sistem plan de bare, încărcate în plan, deplasarea Δi se ează astfel:
;∫∫∫ ++=Δ TtEIds
GAdsMm
EAe mai poate scrie:
( )
dsNn iiii η
care s ( ) ( )., TtmN ,, Mn iiii ++=Δ (7) Conform relaţiei (7), pentru un sistem static determinat cât şi pentru unul nedeterminat, diagramele N, T, M reprezintă diagramele din încărcări exterioare iar ni, mi, ti diagramele din încărcarea sistemului exclusiv cu
ul static nedeterminat coincide cu forma sa de bază dacă pe egătură X1,
sarcina unitară acţionând în secţiunea şi după direcţia deplasării căutate. Dar sistemdirecţia legăturilor suprimate acţionează forţele sau cuplurile de l..., Xn. Aşadar, o deplasare pe un sistem static nedeterminat, poate fi scrisă pe baza suprapunerii efectelor, sub forma: i ;01010 ninii XX δδ +++Δ=Δ (8) în care ...,,, 0100 niii δδΔ reprezintă deplasări pe o formă de bază a sistemului iniţial (static determinat).
284
Conform Maxwel-Mohr:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( .,,,
;,,,
10010010010
0000000
ttmmnnTtMmNn
iiii
iiii
++= )++=Δ
δ (9)
Substituind relaţia (9) în relaţia (8), rezultă: ( )[ ] ( )[ ]
)],, 1010010100 …… +
([ 00 ++ ;, 101 …++++++=Δ mXMmnXNn iii
XTti tdar
:
,,1010
……++=
++=
.1010
1010
…++= tXTTmXMM
nXNN
(10)
Ţinând seama de expresiile (10), Δi se scrie: ( ) ( ) ( );,,, 000 TtMmNn iiii ++=Δ
sau
.000 ∫∫∫ ++=ΔGA
dsTtEI
dsMmEA
iiii η (11)
Cu relaţia (11) se calculează deplasarea sistemului static nedeterminat; în această expresie N, T, M sunt diagramele de eforturi din sarcinile exterioare pe sistemul static n
dsNn
edeterminat, iar ni0, mi0, ti0 diagramele de eforturi pe orice formă de bază a sistemului dat, încărcată cu o sarcină unitară virtuală în punctul şi pe direcţia deplasării căutate. Etapele de determinare a deplasării pe un sistem static nedeterminat:
• rezolvarea sistemului static nedeterminat şi trasarea diagramelor N, T, M.
• încărcarea formei de bază, care a folosit la rezolvarea sistemului static nedeterminat sau a oricărei forme de bază corespunzătoare sistemului dat, cu o sarcină virtuală unitară, în punctul şi pe direcţia deplasării căutate şi trasarea diagramelor de efort ni0, mi0, ti0.
• determinarea deplasării cu expresia (11).
14.5 Grinzi continue
Grinzile continue sunt grinzi drepte aşezate pe mai multe reazeme
succesive, dintre care unul este fix (o articulaţie sau o încastrare), iar celelalte sunt mobile (reazeme simple), (fig.14.14a şi b).
285
a.
b.
fig.14.14 În cazul din figura 14.14a grinda este de trei ori static nedetermina ,
nuitate a grinzii, care se exprimă prin faptul că pe un reazem intermediar rotirea relativă a două secţiuni vecine este nulă.
tă
ni şi ărindu-se determinarea ro
tăîn cazul din fig.14.14b gradul de nedeterminare statică fiind patru. Grinzile continue se pot rezolva cu metoda generală a eforturilor; se pleacă de la condiţia de conti
14.5.1 Expresia rotirilor de capăt la grinda simplu rezema Se examinează o grindă simplu rezemată încărcată cu sarcimomente de capăt, urm tirilor ϕ1 şi ϕ2 la cele două extremităţi (fig.14.15).
P1 P2M1 M2
lM1
C
C
/
//A/M2
M0
C
xC xC/ //
A//
A
M
m = 11
yC/ yC
//
y = x1 C/l
y = x1 C/l
1
1
m1
m2
m = 12
a.
b.
c.fig.14.15
//
/
+
+
+
+
+
286
Considerând diagrama M construită pe baza principiului suprapunerii efectelor, se va utiliza formula Mohr-Maxwell, încărcările auxiliare fiind momente egale cu unitatea acţionând la extremităţile barei (fig.14.15b şi c).
e aplică regula lui Veresceaghin, astfel: S
( )
,626
31
21
32
2111
121
1211//////1
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=++== ∫
Ayl
MMEIl
AylMlMEI
AyyAyAEIEI
dxMmCCϕ
lxy C
//1
1= deci 2
//1 6
6lAx
lAy C= . dar
Produsul reprezintă momentul static al suprafeţei diagramei M0 în raport cu secţiunea 2; se poate face notaţia:
expres
//CAx
,21// SAxC =
ia 212216
mlS
= fiind denumită caracteristică (termen) de încărcare.
Prin urmare:
( )21211 26
mMMEIl
++=ϕ (1)
Analog se obţine expresia rotirii secţiunii 2:
;626
=
32
21
31
211
221
2212
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=∫
lAyMM
EIl
AylMlMEIEI
dxMm
2 =ϕ
dar lxy /
C2
1= şi 2
2 6lAx
lC= .
Produsul 12/ SAxC = reprezintă momentul static al suprafeţei
/6Ay
diagramei M0 în raport cu secţiunea 1; expresia 12212 m
l= se numeşte
caracteristică (termen) de încărcare. Astfel, rotirea secţiunii 2 devine:
6S
( 12 2MM )1226m
EIl
+=ϕ + (2)
de în
teva cazuri frecvente de încărcare:
Caracteristicile oment, iar valorile lorcărcare au dimensiuni de m se pot calcula pentru diverse încărcări. În continuare se vor stabili caracteristicile de încărcare pentru câ
287
ită pe întreaga deschidere (fig.14.16)
Sarcina uniform distribu
q
1 2
l
M
2
fig.14.16
428326
6
22
2
212
2112
qlllqll
lS
mm
=⋅=
===
+
ql/8
a (fig.14.17)
Forţa concentrată cţionând în mijlocul deschiderii
1 2
M
P
PlllPll
l
83
24216
2
22112
=⋅=
S12 =mm6
==
l/2 l/2
+
Pl/4fig.14.17
14.5.2 Ecuaţia celor trei momente Fie grinda continuă de n ori static nedeterminată din figura 14.18.
mele intermediare se obţine istemul de bază static determinat, format dintr-o succesiune de grinzi implu rezemate încărcate cu sarcinile exterioare şi cu momentele
necunoscute i care asigură continuitatea grinzii pe azeme.
Prin introducerea de articulaţii pe reazess
introduse în articulaţii şre Pe grinda simplu rezemată i –1, i (fig.14.19a), rotirea capătului liber i este, conform relaţiei (2):
( )i mM2Ml++=ϕ , i,1ii1isi EI6 −−
288
Pe grinda i, i+1(fig.14.19b), rotirea în secţiunea i este, conform relaţiei (1):
( ).26 ,11
1iiii
idri mMM
EIl
+++ ++=ϕ
1 2 i-1 i+1 n n+1 1i
1 2 i-1 i+1 n n+1 1i
l1 l2 li li+1
0
0 M1 M2 Mi-1 Mi Mi+1 Mn
fig.14.18
i-11i1i i+1
Mi
Ai
ai bi
a.
Mi-1, 1i Mi, i+10 0
Mi+1
Ai+1
ai+1 bi+1
b.
fig.14.19
Mi-1 Mi Mi Mi+1
Mi-1 Mi
li li+1
+ +
+ +
+ +
Condiţia de continuitate a grinzii în secţiunea i impune ca:
,01 =+ dris ϕϕ ceea ce duce la relaţia:
( ) ( ) 026
26 ,11
1,11 =+++++ ++
+−− iiii
iiiii
i mMMEI
lmMM
EIl
sau ( ) .02 ,11,11111 =+++++ ++−+++− iiiiiiiiiiiii mlmlMlMllMl (3) Relaţia (3) reprezintă ecuaţia celor trei momente sau ecuaţia lui Clapeyron.
289
Caracteristicile de încărcare, cu notaţiile din figura 14.19 se calculează astfel:
.6
;62,1− = ii
ii aAl
m
1121
,1 +++
+ = iii
ii
i
bAl
m
Pentru rezolvarea grinzii continue se va scrie câte o ecuaţie de trei momente pentru fiecare reazem intermediar; se va obţine un sistem de ecuaţii în număr egal cu cel al momentelor necunoscute.
r, ca în fig.14.20 şi 14.21;
Etape în utilizarea ecuaţiei celor trei momente
• Se numerotează toate razemele, după ce s-au efectuat eventualele transformări ale încastrărilor şi consolelo
1 2 0 1 2
ll = 01
l = l2
fig.14.20 În cazul încastrării, aceasta se înlocuieşte cu o articulaţie şi un
reazem simplu, infinit apropiat.
1 2
fig.14.21
1 23 4 3
P
l1 l2 a l1 l2
Pa
Consola 3-4 se în reazemul “3”. locuieşte cu un moment pe
•
re.
Se construiesc diagramele de moment încovoietor ca urmare a acţiunii sarcinilor efectiv aplicate pe grinzile simplu rezemate.
• Se calculează caracteristicile de încărcare pe reazemele intermedia
290
• egal cu gradul de nedeterminare statică şi prin rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină momentele aplicate în articulaţii.
• Se calculează reacţiunile pe reazeme. • Se trasează diagramele de eforturi şi se verifică cu ajutorul relaţiilor
diferenţiale dintre eforturi (şi încărcări). Problema 14.a Să se traseze diagramele de efort şi să se determine deplasarea verticală a secţiunii D şi rotirea nodului B (fig.14a.1).
Se scriu ecuaţiile celor trei momente pentru un număr de reazeme
q
6qa3a
4a 2aA
B C D
X1
q
6qa
forma de baza
q
6qa
2qa
5qa/2
1
¾
X = 11
¾ 0.5qa
3a
3a
m1 M0
2
0.57qa22qa2
0.19qa
6qa
M T N
mϕB0
fig.14a
2.
3. 4.
8.
1.
2qa
0.57qa2
0.6425qa
0.19qa 0.6425qa
1-2a 1-5. 6. 7.
1
mD0
9.
+-
-
+
+
+
+
+ -
-+
291
Cadrul este o dată static nedeterminat; se înlocuieşte articulaţia din A cu un reazem simplu şi o forţă X1 orizontală, obţinându-se astfel forma de bază (fig.14a.2). Se încarcă forma de bază cu X1 = 1 şi se trasează diagrama de moment m1 (fig.14a.3). Se încarcă apoi forma de bază cu sarcinile exterioare şi se trasează diagrama de moment M0 (fig.14a.4). Se aplică ecuaţia de condiţie:
,010111 =Δ+δX cu:
.; 01102111 ∫∫ =Δ=
EIdxMm
EIdxmδ
Se utilizează regula lui Veresceaghin:
.19.0
,4331
2421
;21332
2433
32
2321
1
42
10
3
11
qaXEIqaaaqa
EI
EIaaaaaaa
EI
=
−=⋅⋅
−=Δ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
⋅+⋅
⋅=δ
Diagramele de efort sunt reprezentate în fig. 14a.5-7. Pe forma de bază se introduce o forţă virtuală unitară în punctul D, pe direcţie verticală; se construieşte diagrama mD
0 şi se calculează deplasarea verticală:
;257.0461224
312
232222
311 22
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= aqaaqaaaaaqaaqaa
EIvD
.57.6 4
EIqavD =
Pe forma de bază se introduce un cuplu virtual unitar în nodul B şi se trasează diagrama mϕB
0; se calculează rotirea:
;241157.01411 22 ⎟⎞
⎜⎛ ⋅⋅⋅−⋅⋅= qaaqaaBϕ 63 ⎠⎝EI
.57.0 3
EIqa
B −=ϕ
lema 14.b
ntru grinda continuă din figura 14b.1, având dimensile indicate, să se traseze diagramele de efort.
Prob Pe unile şi încărcări
292
2ql q 2ql0 4 1 2
l/2 l/2 l
ql/4
3ql/4
5ql/4
3ql/4
l/4
0 4 1
l/2 l/2
ql/4
V V
3.
1. fig.14b
3ql/8 ql/32M
ql/4
0 1st2.
q
ql/4T
V1dr V2
l
2
2
22
2
+
-+
1 2
+
--
+
Sistemul este o dată static nedeterminat; se scrie ecuaţia celor trei momente:
( ) ,02 2101210 =+++++ lmlmlMMlllM în care:
.4
;3283 2
01 qllqlm =⋅=4
;0
2
21
20
qlm
MM
=
==
Rezultă .4
2
1qlM −=
Se calculează, pe forma de bază, pe intervalul 0-1, reacţiunile, forţele tăietoare şi momentul încovoietor în secţiunea 4 (fig.14b.2), astfel:
;4
5,4
5042
2,0 111
2
0qlTqlVlVqllqlM ststst −=⇒=⋅−+⋅=∑
.8244M =⋅=
33442
2
0001
qllql ;302,0
2
TqlVqllVlqlM ==⇒=−−⋅=∑
293
Pe forma de bază 1-2 (fig.14b.3) se calculează reacţiunile, forţele tăietoare şi momentul încovoietor maxim:
.3224
2max ql
qqlM =⎟
⎠⎜⎝
=
111
;424
;44
2
11
22
TqlV
ql
drdr
⎞⎛
==⇒
−=
,2
TqlVqll=0
42,0 21 lVqlM ⇒=−−⋅=∑
30,0 1
2
2 lVlqlqlM dr =⋅−⋅+=∑
294
Capitolul 15
BARE CURBE PLANE
Se va studia bara curbă cu axa longitudinală de forma unei curbe plane, secţiunea transversală având o axă de simetrie, planul axei barei fiind plan de simetrie pentru bară. Forţele exterioare acţionează în planul axei
ra sau al elementului de lanţ (za)(fig.15.1).
barei curbe. Este cazul cârligului de maca
fig.15.1
F
F
F F
Deformaţia va avea un caracter plan, axa deformată fiind şi după
15.1 Tensiuni în secţiunea barei curbe
deformaţie o curbă plană.
Ca şi în cazul barei drepte, se poate accepta în cazul barelor curbe ipoteza secţiunilor drepte, o secţiune rămânând plană şi normală la axa barei i după deformaţie. Se admite că între fibrele barei nu există presiune
astă ipoteză nu corespunde realităţii, aşa cum rezultă din
nsiuni normale σr, este neglijabilă pentru secţiunile pline.
şreciprocă – aceconsiderarea echilibrului unei fibre din bară, care atestă prezenţa tensiunilor normale radiale. Se constată că influenţa interacţiunii între fibre, prin te
295
Se consideră o bară curbă de secţiune simetrică în raport cu planul care conţine axa barei, solicitată la încovoiere pură produsă de momente acţionând în acest plan, axa barei având raza de curbură R. Se detaşează din bară un element prin două plane infinit vecine normale pe axă, trecând prin centrul de curbură, care fac între ele unghiul dϕ (fig.15.2). În secţiunile de capăt acţionează momentele concentrate M, astfel că bara se deformează, secţiunea CD rotindu-se faţă de AB cu cantitatea Δdϕ.
y
M M
eG
O
dφ
Δ φd y
+
-Rext
RR0
Rint
yext
yint
σint
σext
B
A
D
C
dsds0
dsy
Δdsy
axaneutra
fig.15.2 În acestă stare de deformaţie fibrele longitudinale din partea superioară se scurtează, iar cele din partea inferioară se lungesc. Va exista o fâşie de fibre longitudinale care nu vor suferi nici alungiri, nici scurtări, numită fâşie neutră; intersecţia fâşiei neutre cu secţiunea transversală va reprezenta axa neutră în secţiune. Lungimea unei fibre din fâşia neutră cu R0 raza de curbură se notează cu ds0; cu dsy se notează lungimea unei fibre la distanţa y de axa neutră:
( ) .0 ϕdyRdsy −= Alungirea specifică a fibrei dsy va fi:
( )( ) .
0 ϕϕ
εdyR
dydsds
y
y
−Δ
=Δ
=
Considerându-se că între fibre nu există o interacţiune şi presupunând comportarea elastică a materialului, din legea lui Hooke rezultă:
.0 yRy
ddEE
−Δ
=⋅=ϕϕεσ (1)
Ţinându-se seama de solicitarea din secţiunea dată, numai prin moment încovoietor M, tensiunile normale vor trebui să satisfacă următoarele trei condiţii:
296
.;0;0 MdAydAzdAAA
=== ∫∫∫ σσσ (2) A
Înlocuind expresia (1) în prima relaţie a grupului (2), rezultă:
.000
=−
Δ=
−Δ
∫∫AA
dAyR
yddEdA
yRy
ddE
ϕϕ
ϕϕ
Deoarece multiplicatorul din faţa integralei nu poate fi nul, rezultă că
00
=−∫
A
dAyR
y, relaţia precizând poziţia axei neutre în secţiune; se constată
ă axa neutră nu trece prin centrul de greutate al secţiunii. Înlocuind expresia (1) în a doua relaţie a grupului (2), rezultă:
c
;00
=−
Δ∫ dA
yRzy
ddE
Aϕϕ
relaţia este satisfăcută pentru că axa Oy este o axă de simetrie. Înlocuind expresia (1) în a treia relaţie a grupului (2), rezultă:
.0
2
MdAyR
yddE
A
=−
Δ∫ϕ
ϕ (3)
Se studiază separat integrala:
( )
;
,
0
20
00
0
00
0
2
eAdAydAyR
y
dAyR
yRdAyyR
dARRyydAyR
y
AA
A AAA
⋅=−=−
−+−=
−−+
=−
∫∫
∫ ∫∫∫ (4)
emnul minus dispare pentru că sensul de măsurare al lui e este invers ensului axei y.
Produsul Ae reprezintă momentul static al ariei secţiunii în raport cu xa neutră, e fiind distanţa între centrul de greutate al ariei secţiunii şi axa eutră în secţiune.
Înlocuind expresia (4) în relaţia (3), se obţine:
ss an
MAeddE =
Δϕϕ
, deci EAeM
dd
=Δ
ϕϕ
reprezintă expresia
are se înlocuieşte în relaţia (1); rezultă:
c
.0 yRy
AeM
−=σ (5)
Din relaţia (5) se constată că tensiunile normale pe înălţimea secţiunii ariază hiperbolic (fig.15.2) şi nu liniar, precum în cazul barei drepte.
v
297
.
;
0
int
int
int0
MyMRAeyRe −
intint
ext
ext
ext
eext R
yAeRAe
yMyAM
−=+
−=
==
σ
σ
Pentru aplicarea r nsiunilor normale este necesară cunoaşterea po ceastă poziţie poate fi precizată fie prin distanţa e de la centrul de greutate al secţiunii, fie prin raza
xt
yelaţiei (5) la determinarea teziţiei axei neutre în secţiune. A
de curbură R0 a fâşiei neutre, între ele existând relaţia: .0RRe −=
Se notează cu ρ raza de curbură a unei fibre, la distanţa y de axa neutră:
;0 yR −=ρ
dAyR
y
A∫ −0
atunci relaţia devine:
.
,0
0
00
∫
∫∫∫
=
=+−=−
A
dAAR
dARdAdAR
ρ
ρρρ
Dacă secţiunea barei curbe este dreptunghiulară (fig.15.3), R0 se calculează astfel:
b
h ey
dρ
ρRint
R0R
fig.15.3y dA = bdρ
Rext
G
O
298
.ln
;ln
int
0
intint
RRh
dAAR
RR
bdbdA
ext
A
extR
RA
ext
==
==
∫
∫∫
ρ
ρρ
ρ
Pentru cazul în care în secţiunea transversală a barei curbe se dezvoltă simultan moment încovoietor şi forţă axială, în baza principiului suprapunerii efectelor, expresia tensiunii σ într-un punct curent va fi:
.0 yRy
AeM
AN
−+=σ
15.1.1 Importanţa mărimii razei de curbură asupra domeniului
de valabilitate a relaţiilor de calcul
Aplicând formula lui Navier, stabilită la încovoierea barelor drepte,
ni şi deformaţii se utilizează relaţiile de la bare drepte.
Problema 15.a Să se arate cum trebuie a fi poziţionată secţiunea barei curbe de
picătură) la a de aplicare a sarcinilo
ac2; Rint = 100 mm; Rext = 20
pentru calculul tensiunilor normale în cazul barelor curbe se obţin pentru diferite valori ale raportului R/h următoarele erori: R/h = 10 eroare 3,2% R/h = 2 eroare 17% R/h = 1 eroare 35% Rezultă că dacă R/h<10 (barele cu mare curbură), se aplică relaţiile de la bare curbe iar pentru R/h≥10 (barele cu mică curbură), pentru tensiu
curbură mare din figura 15a pentru a se obţine forţa capabilă Pcap maximă; inelul este confecţionat din fontă şi este prevăzut cu un rost (despartea inferioară, în zon r P. Se cunosc: σat = 60 N/mm2; σ = 140 N/mm 0 mm.
299
Rext
Rint
P P =
a. b.
=
A - A
b.a.
23.4
h =2 e
=
27.8
1.058E-2P 2.26E-2PR =
ext
1
5
h = 1
1
A
A
b /2 = 4mm2 1.194E-2P 6.73E-3P
4 85m 6.
3 72.2
m
200 15
R =
1in
t
R =
a =
11R
=
0
0013
4.
27.8b = 401
y y
z
z
N M
40.
59.223
.44
15
h =
85
2
R =
9
5
R =
00t
e =
6.7
8 h =1
a =
= 1
00in
t
R
R =
10
ex
185 165
.
9.2 2
N M
b = 401
b /2 = 4mm2
++
- -
σ σ
fig.15a
re a acesteia (a.); calculul s-a efectuat prin
Se calculează poziţia centrului de greutate al secţiunii barei curbe în prima variantă de poziţionadescompunerea grafică a secţiunii în trei dreptunghiuri, axa ajutătoare dereferinţă trecând prin centrele locale de greutate ale inimilor secţiunii 85mmx 4mm (fig.15a.a.), astfel:
300
.44.2348521540
501540 mmycg =⋅⋅+⋅
⋅⋅=
Se calculează poziţia axei neutre a secţiunii barei curbe în raport cu axa ce trece prin centrul de curbură al acesteia, prin utilizarea relaţiilor tabelate pentru determinarea acestui parametru în funcţie de forma secţiunii barei; prin înlocuire se obţine:
,8.12712800 mmR ==
115200ln8
100115ln40
int aR
+
implicit, se determină excentricitatea axei neutre în raport cu axa centrală a
;lnln 21
0 Rbab
AR
ext
ef
+=
secţiunii: .3.68.1271.1340 =−=−= RRe
Se reduce efectul perechii de forţe P în raport cu centrul de greutate al secţiunii şi se calculează valorile tensiunii normale σ în punctele situate la intradosul I (interiorul), respectiv extradosul E (exteriorul) acesteia; se folosesc expresiile tensiunii σ pentru solicitarea de încovoiere cu întindere:
[ ]
[ ]
.P10194.1200
2.7212803.6
P1.2841280
P
;P10058.1100
8.2712803.6
P1.2841280
P2
;NPN
2E
2I
int
−
−
⋅−=−
⋅⋅
+=
⋅=⋅⋅
+=
⎠⎝⎠
=
σ
σ
Prin parcurgerea aceloraşi paşi ai algoritmului de rezolvare, pentru varianta b. de poziţionare a secţiunii barei curbe (fig.15a.b.), se obţin:
,mmNP1.2841.1341008515PRR2
hhPM 21 =⎟⎞
⎜⎛ ++
+=⎟
⎞⎜⎝⎛ ++
+=
[ ];NPN;mm7.62.1599.165e
;mm2.159
185200ln40
100185ln8
1280R
;mm44.2348521540
501540y
0
cg
==−=
=+
=
−=⋅⋅+⋅
⋅⋅−=
301
[ ]NmmP9.3159.1651002
8515PRR2
hhPM int21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+=
Pentru solicitarea compusă de întindere cu încovoiere, cu respectarea expresiilor tensiunii normale în cazul barelor curbe de curbură mare (rază mică de curbură), se obţin:
.1073.6200
8.4012807.69.315
12803 PPP
E−⋅−=
−⋅
⋅+=σ
Ţinându-se seama de mărimile tensiunilor maxime admisib
;1026.2100
2.5912807.69.315
12802 PPP
I−⋅=⋅
⋅+=σ
ile ale materialului din care este confecţionat inelul elastic, se obţin, funcţie de varianta de poziţionare respectiv punctele de interes ale secţiunii, valorile:
con oziţionare a. permite atingerea unei valori
e pes dou ametrului de încărcare Pcap, comparativ cu
roblema 15.b ermine sarcina capabilă a cârligului din figură (fig.15b) şi să
,65.2601026.2.
,67.5/6010058.1.
22
22
22
kNPmmNPb
kNPmmNPa
=→=⋅
=→=⋅
−
−
−
67.5
;7.11/14010194.1kNP
kNPmmNP
cap ==→=⋅
/
.65.2;8.20/1401073.6 23
kNPkNPmmNP
cap ==→=⋅ −
În cluzie , varianta de pd te ă ori mai mare a parvarianta b. de poziţionare. P Să se detse traseze diagrama de distribuţie a tensiunii normale σ în secţiunea pericuoasă. Se cunosc: h = 60 mm, b = 30 mm, σa = 210 N/mm2, Rint = 48mm.
302
Rint
h
b
P
B B
B-B
fig.15b
R =
108
mm
ext
R =
78
mm
b = 30
R =
48
mm
int
R =
75
mm
0
z
y
e =
3mm
h =
60m
m
σN σM σ σmax =1,105E-2 P
E
I
fig.15b.1
+
+ +
--
N M
σmin =0,491E-2 P
Se reduce efectul forţei P în raport cu centrul de greutate al secţiunii; se obţin eforturile secţionale:
[ ][ ].78;
mmNPMNPN
==
Se calculează caracteristicile geometrice de interes ale secţiunii precum şi poziţia axei neutre a secţiunii:
;14144
306022
2mmbhA =⋅⋅
=⋅=ππ
303
( )
( ).37578
,
0
22
2
0
mm
hRRhR
=−
−−=
Se determină valorile tensiunilor normale σ datorate solicitărilor produse de eforturile secţionale obţinute; solicitarea este de întindere cu încovoiere, astfel:
;75607847824
60424
22
2
0
RRe
mmR
=−=
=−⋅−⋅
=
;10034.14831414int
PRAeIx ⋅=⋅
⋅==σ
2778
;10072.71414
2
4
PyM
PPAN
IM
Nx
−
−⋅===σ
.10072.778
331414
78
;10618.510831414
4
0
PPeR
eAeM
PRAe
cgMx
extEx
−⋅−=−
⋅⋅
=−
=
⋅−3378 3PyM EM − −⋅
⋅==
σ
σ
Se exprimă tensiunea normală maximă funcţie de parametrul necunoscut P şi se egalează cu valoarea maximă admisibilă a materialului utilizat; se obţine astfel:
.19;/21010105.110034.110072.7 2224
max
kNPmmNPPP
cap
I
==⋅=⋅+⋅== −−−σσ
.10491,010618.510072.7 234min PPPE
−−− ⋅−=⋅−⋅== σσ
304
Capitolul 16
ATEA BARELOR DREPTE
STABILIT
Studiul asupra solicitărilor simple şi compuse a urmărit determinarea eforturilor interioare în bare considerate a fi în echilibru stabil, adică în bare
ţii mici proporţionale. Pot interveni, însă, cazuri în care starea de echilibru devine instabilă din punct de vedere elastic, adică nu mai este asigurată stabilitatea formei de echilibru. În acest caz, unor creşteri mici ale forţelor aplicate le pot corespunde creşteri foarte mari ale deformaţiilor şi tensiunilor. Trecerea formei deformate dintr-o poziţie de echilibru stabil într-o poziţie de echilibru instabil se numeşte flambaj. În asemenea situaţii echilibrul trebuie exprimat pe forma deformată a elementului, în plus nu mai rămâne valabil principiul suprapunerii efectelor.
e, solicitarea fiind de compresiune simplă.
la care este asigurată stabilitatea formei de echilibru. În acest caz, deformaţiile elastice sunt atât de mici încât nu modifică forma generală a corpului – pentru creşteri mici ale forţelor exterioare corespund deforma
Pentru demonstrarea flambajului se efectuează următoarea experienţă (fig.16.1a); se consideră o vergea dreaptă subţire, dublu articulată, acţionată la capete de două forţe de compresiune P. Pentru valori mici ale forţei P bara îşi păstrează forma rectilini
P
P
Pcr
Pcra. b. fig.16.1
Mărind forţele P până la o anumită valoare, bara continuă să-şi ăstreze forma dreaptă, apoi se încovoaie brusc (fig.16.1b) luând o formă de
p
305
306
echilibru curbilinie. Valoarea forţei P pentru care bara trece de la forma rectilinie la o formă curbilinie de echilibru este denumită forţă critică de flambaj Pcr. Pentru o forţă P inferioară valorii forţei critice Pcr, bara rămâne dreaptă; când forţa P atinge valoarea critică Pcr, bara poate lua orice formă curbilinie în jurul poziţiei drepte (în limitele deformaţiilor infinitezimale). Când forţa P depăşeşte valoarea forţei critice Pcr, încovoierea barei se accentuează ajungându-se la ruină fie prin atingerea limitei de curgere sau a rezistenţei de rupere, fie prin deformaţii foarte mari care nu mai fac posibilă exploatarea ei normală. Rezultă că în problemele de stabilitate a formei de echilibru interesează determinarea forţei critice pentru prevenirea eformaţiilor nepermise. Valoarea forţei critice diferă considerabil în funcţie
de modul de rezemare, de natura materialului precum şi de geometria barei. Deci, pentru anumite valori ale forţei de compresiune, barele îşi pot pierde forma iniţială de echilibru. Această formă de echilibru poate fi stabilă sau instabilă. Poziţia de echilibru este stabilă dacă prin modificarea acesteia cu valori mici, sistemul revine la poziţia de echilibru (sau oscilează în jurul acesteia). Dacă sistemul nu are această proprietate, prin scoaterea din poziţia de echilibru, cu valori mici, el nu mai revine în această poziţie, putând suferi deformaţii mari care să ducă la distrugerea sa. Flambajul reprezintă pierderea stabilităţii sistemelor deformate sub acţiunea încărcărilor. În secţiunea barei drepte din figura 16.2, dublu articulată, solicitată la capete de forţele de compresiune P, se dezvoltă tensiuni normale negative.
d
Când forţa P atinge valoarea Pcr, adică forţa critică de flambaj, bara îşi pierde poziţia dreaptă de echilibru şi flambează.
critică de flambaj σcr, care se calculează
P
Forţei critice îi corespunde o tensiune
fig.16.2 cu relaţia:
,A
P
rsale a barei. Bara nu va flamba dacă este comprimată cu o for inferioară valorii critice:
crcr =σ
în care A reprezintă aria secţiunii transveţă
,f
cr
cPP =
cu cf coeficientul de siguranţă la flambaj, coeficient care are valori mai mari decât unitatea; mărimea acestuia se fixează prin norme standardizate în funcţie de condiţiile de exploatare, de materialele folosite şi de importanţa pieselor. Pericolul deosebit al flambajului constă în faptul că cesta se produce în mod brusc şi nu mai permite executarea unor lucrări de consolidare.
a
16.1 Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile
clasice de rezemare. Formula lui Euler
16.1.1 Bara dublu articulată Fie cazul unei bare zvelte, dublu articulate la capete (fig.16.3), de
giditate constantă în fiecare secţiune transversală. Ea se comprimă cu forţa critică de flambaj Pcr; ca urmare, bara capătă forma din figură:
ri
Pcr
Pcr
x
y
l
xv
A
B
fig.16.3 cuaţia fibrei medii deformate devine:
Ecuaţia diferenţială obţinută este de ordinul doi, liniară, cu coeficienţi onstanţi şi omogenă; soluţia ei poate fi scrisă sub forma generală:
Ecuaţia diferenţială obţinută este de ordinul doi, liniară, cu coeficienţi onstanţi şi omogenă; soluţia ei poate fi scrisă sub forma generală:
În secţiunea transversală, situată la distanţa x de capătul A, se dezvolt omentul încovoietor de forma:
ă m
( ) ;vPxM cr ⋅= ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate devine:
( ) ;2
2
vEIP
EIxM
dxvd cr−=−=
se notează 2kEIPcr = ; (1)
e.02// =+ vkv kv
cc
,sincos 21 kxCkxCv ,sincos 21 kxCkxCv += (2) u C1 şi C2 constante de integrare care urmează a fi determinate din ondiţiile la limită. Din examinarea condiţiilor de rezemare rezultă că la apetele barei săgeţile trebuie să fie nule, adică:
ccc
0;00
=→==→=
vlxvx
307
Prima condiţie introdusă în relaţia (2) impune ca : C = 0,
iar a doua: C2sin kl = 0.
Constanta C2 nu poate fi nulă, deoarece în acest caz ar rezulta v = 0 adică bara de formfenomenul de f rece în relaţia (1) ar rezulta P = 0, adică bara neîncărcată. Ultima posibilitate este sin kl = 0 din care rezultă:
1
ă dreaptă, contrar ipotezei că s-ar fi produs deja lambaj. De asemenea, k nu poate fi zero, deoa
…3,2,1; == nl
nk π
Deci forţa critică de flambaj este:
.2
22
lEInPcr
π=
Pentru n = 1 se realizează starea de flambaj din figura 16.3; celelalte soluţii, n = 2, 3,…, conduc la valori mai mari ale forţei critice, valori care nu se mai ating, deoarece flambajul apare pentru forţa critică cea mai mică . Când n = 1, ecuaţia fibrei medii deformate devine:
,sin2 lxCv π
=
car reprezintă o sinusoidă cu o semiundă. Constanta C2 nu poate fi determinată din condiţiile la limită; se ficaţia ei fizică reiese dând valoarea parametrului x: mni
;2 max2 vClx =→=
adică aceasta reprezintă săgeata maximă a barei flambate. În continuare, pentru n = 2, ecuaţia fibrei medii deformate se scrie:
,2sin2 lxCv π
=
reprezentând o sinusoidă cu două semiunde; flambajul se produce aşadar ca şi cum mijlocul barei ar fi fix (fig.16.4). Pcr Pcr
l/2 l/2
fig.16.4 lungimea l/2, astfel:
Cum capetele şi mijlocul barei reprezintă puncte de inflexiune ale sinusoidei, forţa critică poate fi evaluată ca pentru o bară dublu articulată ând av
308
.2
2
⎞⎛=
lEIPcr
π
2 ⎠⎝ O ultimă observaţie care se face este relativ la momentul de inerţie care trebuie utilizat în relaţie; se ştie că în planul unei secţiuni există două axe principale de inerţie în raport cu care se consideră momentele de inerţie principale (unul maxim, celălalt minim). Flambajul se produce întotdeauna după direcţia după care momentul de inerţie este minim, astfel încât formula care determină forţa critică va fi:
⎟⎜
.2min
2
fcr l
EIP π=
Aceasta reprezintă formula lui Euler pentru determinarea forţei critice de flambaj. Lungimea lf se numeşte lungime de flambaj şi reprezintă distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune ale formei deformate de pierdere a stabilităţii; în cazul barei dublu articulată lf = l.
16.1.2 Bara încastrată perfect la un capăt şi liberă la celălalt
Pcr
x
Pentru bara liberă la un capăt şi încastrată la
vl
l = 2lf
fig.16.5
celălalt (fiextremitate(originea esecţiune x,
g.16.5), originea axelor este aleasă în a liberă a barei, fiind ataşată acesteia ste mobilă odată cu capătul liber). Într-o momentul încovoietor are expresia:
( ) ,vPxM ⋅= iar ecua a diferenţială este dată tot de relaţia (1) şi soluţia (2). Se scrie această soluţie împreună cu prima derivată:
ţi
;sincos kxCkxCv
.cossin 21 kxkCkxkCv +−=/21 +=
Condiţiile la limită vor fi în funcţie de condiţiile de rezemare, astfel:
.0;00 / =→==→= vlxvx
309
Prin introducerea condiţiilor la limită în relaţiile precedente se obţine:
.0cos;01
=2
=klkC
C
Deoarece kC2 nu poate fi nul, rezultă: ,0cos =kl
ecuaţia caracteristică având soluţia:
( ) …2,1,0;2
12 =+= nnkl π
Rezultă:
( ),
2lPcr = 2
2EIπ
şadar, în cazul barei liberă la un capăt şi încastrată la celălalt lf = 2l.
t la celălalt
a 16.1.3 Bara articulată la un capăt şi încastrată perfec
Pcr
x
l
fig.16.6
H
0.7l vx
( )
EIxHvP
EIdx−=2
xMv +−=
2
sau
d
EIxHv
EIP
xvd
−=+2
2
dsau
.22
2
EIxHvk
dxvd
−=+
Soluţiei ecuaţiei omogene (2) va trebui să i se asocieze o soluţie particulară. Aceasta se găseşte uşor observând că partea dreaptă este funcţie liniară de x şi căutând o soluţie de aceeaşi formă, rezultă:
ată la celălalt. Pentru a putea scrie momentul încovoietor într-o
ponenta H a reacţiunii din articulaţie:
Bara din figura 16.6 este încastrată la un capăt şi articul
secţiune x trebuie să fie luată în considerare şi com
( ) .xHvPxM += Ecuaţia diferenţială a fibrei madii deformate se poate scrie în forma:
310
,Hv xP
−=p
particulară. Soluţia generală va fi de fcu vp soluţia
orma:
;sincos 21 xPHkxCkxCv −+=
prima derivată este:
.cossin 21/
PHkxkCkxkCv −+−=
Condiţiile la limită sunt:
.0,0;0
/ ==→=
0 =→=
vvlx vx
Prin introducerea condiţiilor la limită în relaţiile precedente, se obţine: =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎧ =−
⎨=− .cos2 P
klkC
3)
noscute H/P şi C2; sistemul este
,0sin
;0
2
1
lHklC
C
(
0HP
Sistemul de ecuaţii (3) are ca necuomogen şi poate admite soluţii nebanale doar dacă:
.0sin
=− lkl
1cos −klk Din dezvoltarea determinantului se obţine ecuaţia caracteristică: ;klkltg = (4)
dăciră na cea mai mică a ecuaţiei transcendente (4) este:
,7.0
π≅kl
astfel, rezultă:
( ).
7.0 2lcr
iculată la un capăt şi încastrată la celălalt lf =
minIP =
Aşadar, în cazul barei art0,7l.
2Eπ
311
312
16.1.4 Bara dublu încastra
tă
x
Pcr
l
fig.16.7
H
0.5l v
x
M0
EIM
EIv xH
EIdx0
2 −−=+
sau
Pvd 2
,022
2
EIM
EIvk
dx−−=+
u
xHvd
c soluţia generală:
PMH x
PkxCkxCv 0
21 cos −−+=
şi prima derivată:
sin
.cossin 21/
PHkxkCkxkCv −+−=
mită, ţinându-se seama de încastrările din cele două unt:
Condiţiile la liextremităţi ale barei, s
introducându-le în rel se obţine un sistem de patru ecuaţii cu patru necunoscute: C1, C2, M0/P şi H/P, astfel:
;0,0;0,00
/ ==→=
==→=
vvlxvvx
aţiile precedente
/
0
01cossin1sincos
0
1
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
PMP
C
klkklklklkl .
încovoietor în secţiunea x are
Bara din figura 16.7 este dublu încastrată; ţinând seama că o încastrare comportă trei necunoscute (P, H, M0), momentul expresia:
( ) ,0MxHvPxM ++= iar ecuaţia fibrei medii deformate se poate scrie:
0101001
2 ⎥⎥
⎢⎢⎢
⎥⎥⎤
−−
HC
k
Din condiţia de anulare a determinantului principal rezultă ecuaţia caracteristică:
( ) ;0sincos12 =−− kklkl lcea mai mică rădăcină este:
2 .π=kl Astfel, rezultă:
.
2
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=lEIPcr
π
În cazul barei dublu încastrate lf = l/2.
ţe
16.2 Rezistenţa critică de flambaj. Coeficientul de zvelte
Pentru bara dreaptă comprimată s-a dedus formula lui Euler, pentru calculul forţei critice de flambaj:
.2min
fcr l
P
apare în secţiune când forţa aplicată atinge stenţă critică de flambaj (σcr):
2EIπ=
Tensiunea normală care valoarea critică se numeşte rezi
,min2EIPcr π
== 2 AlA fcrσ
cu A aria secţiunii transversale
Raportul
a barei. 2min
min iA
I= reprezintă pătratul razei minime de inerţie a
secţiunii şi se poate nota mai departe:
.2
min
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
il
E
fcr
πσ
λ=minil f
Se face notaţia , cu λ coeficient de zvelteţe sau subţirime al
barei; rezultă:
2
2
λπ
σE
cr = (5)
313
Relaţia (5) este valabilă numai în domeniul elastic de proporţionalitate şi arată dependenţa dintre tensiunea critică de flambaj şi coeficientul de svelteţe, dependenţă care este hiperbolică. Se trasează graficul funcţiei σcr(λ)(fig.16.8), care reprezintă curba caracteristică de flambaj, astfel se disting:
σcr
λ
A
BCD
λ1 λ00
hiperbola lui Euler
fig.16.8
σp
- zona AB pe care σcr< σp, ce corespunde
corespunde un coeficient de svelteţe λ0. În cazul materialului OL37, valoarea coeficientului λ0 se determină considerând σp = 190 N/mm2:
flambajului în domeniul elastic, pentru care este valabilă legea lui Hooke; punctului B îi
.1050 ==λ 190101.2 522 ⋅⋅
=π
σπ
p
E
- zona BC pe care σcr> σp, ce corespunde flambajului în domeniul
cestuia se determină cu formule empirice bazate pe determinări experimentale care dau relaţii între σcr şi λ în zona flambajului plastic. Cea mai cunoscută şi aplicată
plastic; pe această zonă λ < λ0. Pentru valori λ < λ0, σcr nu mai corespunde hiperbolei lui Euler. Valoarea a
este formula Tetmayer – Iasinski: a ,λbσ cr −=
corespunzătoare dreptei BC. Coeficienţii a şi dependente de material şi se determină experimental.
b sunt constante
- punctul C corespunde unui coeficient de svelteţe λ1; pentru λ < λ1 se consideră că bara nu mai flambează, calculul făcându-se numai la
une simplă.
compresi
314
16.3 Coeficientul de siguranţă la flambaj cf
Rezistenţa admisibilă la flambaj se calculează cu relaţia:
,cr
ffa c
σσ =
cf reprezentând coeficientul de gur i este recomandat în funcţie subţirimea (coeficientul de sv
si anţă la flambaj; nu are valori prescrise şde tipul şi importanţa piesei, depinzând deelteţe) barei, ( )λfc f = .
16.4 Calcul practic la flambaj Calculul la flambaj con te coeficientul de siguranţă la flam siguranţă la flambaj dacă se cunosc celelalte elemente. Calculul de verificare. Se determină iniţial coeficientul de svelteţe λ,
stă fie în a dimensiona o bară dacă se cunoaşbaj, fie a verifica valoarea coeficientului de
minil f=λ . Funcţie de valoarea acestuia pot apare trei situaţii:
λ > λ0 ; calculul continuă folosind formula lui Euler:
.2min
2
fcr l
EIP π=
Bara se consideră a fi în echilibru stabil dacă:
,af
crf c
PPc ≥=
cu coeficientul de siguranţă admisibil, la flambaj.
cr
af
λ1 < λ < λ0; se utilizează o relaţie de calcul în domeniul plastic pentru calculul lui σ :
c
.; APba crcrcr ⋅=−= σλσ Bara este în echilibru stabil dacă:
.af
crf c
PP
c ≥=
λ < λ1; bara se verifică numai la compresiune simplă. Calculul de dimensionare. Este mai dificil, neputându-se aprecia de la început domeniul de flambaj în care se va situa bara după efectuarea
315
dimensionării. De aceea se consideră că flambajul are loc în domeniul elastic şi se aplică formula lui Euler:
.dimmin2
2max
min
2min
2
max ;
IE
lPcI
lEIPcP
ffnec
ffcr
=⋅⋅
=
=⋅=
π
π
icare în mod obligatoriu, determinându-se coeficientul de zvelteţe λ. Dacă λ ≥ λ atunci formula lui Euler a fost corect aplicată, iar
ctuat. Se face apoi verificarea condiţiei de rezistenţă:
După alegerea dimensiunilor secţiunii transversale trebuie efectuat un calcul de verif
0calculul a fost corect efe
,max faσσ ≤ cu
.;maxf
elasticcrfa cA
P σσσ ==
jutorul relaţiilor de calcul din omeniul flambajului plastic:
Dacă λ1 < λ < λ0 se va verifica cu ad
.; maxPplastica
fa == σAc f
σσ
Condiţia de rezistenţă devine: .max faσσ ≤
În cazul în care nu se verifică se măresc dimensiunile secţiunii transversale şi se reface calculul de verificare până ce se îndeplineşte
16.5 Calculul la flambaj folosind metoda coeficientului de
condiţia de rezistenţă. Dacă λ < λ1 calculul se face la compresiune simplă.
flambaj ϕ
Metoda lui Euler de calcul la flambaj a barelor drepte comprimate are lcul diferite dependente de domeniul
de flambaj. Acest inconvenient se poate elimina utilizând în calcul rezistenţa admisibilă de flambaj σaf care ţine cont de pericolul pierderii stabilităţii, calculul reducându-se la cel al compresiunii simple.
dezavantajul că utilizează relaţii de ca
316
Pe baza acestei metode, condiţia de stabilitate a barei comprimate se exprimă prin relaţia:
,faef AP σσ ≤=
cu P forţa de compresiune şi A aria secţiunii transversale. ă de
simplă σac şi un coeficient ϕ, astfel: Rezistenţa admisibil flambaj σaf se calculează în funcţie de cea de la compresiune
;ϕσσ ⋅= cafa coeficientul ϕ se numeşte coeficient de flambaj iar ecuaţia sa de definiţie o constituie chiar relaţia anterioară scrisă sub forma:
.fa
σ ca
σϕ =
Acest coeficient este subunitar şi este cu atât mai mic cu cât pericolul de flambaj este mai mare; valoarea coeficientului ϕ depinde de coeficientul de zvelteţe λ. Condiţia de stabilitate devine:
.caAP σ
ϕσ ϕ ≤=
Calculul practic la flambaj folosind metoda ϕ este următorul: se determină coeficientul de zvelteţe λ, din tabele se extrage valoarea ϕ corespunzătoare, se verifică condiţia de stabilitate anterioară. Această relaţie nu poate fi utilizată pentru calculul de dimensionare.
16.6 Bara cu rezemări diferite după axele principale de inerţie
Fie bara din figura 16.9a rezemată diferit în cele două plane xy şi xz şi solicitată la compresiune de forţa P. Se descompune sistemul după cele două plane xy şi xz (fig.16.9b şi c).
.12
,
;12
,
3
2
2
2
bhIlEI
PP
Il
PP
y
yf
yycr
xzcr
z
zf
zcrcr
===
===
π
32 hbEIzxy π
317
x
y
z
bh
P
a.
l =2l
l =0.7lfz
P
b.c.fig.16.9
x
P
x
z fy yz
zy
y
Forţa critică de flambaj va fi valoarea minimă dintre cele două valori ale forţei critice:
[ ].ycrcrcr P ;min zPP =
a
Coeficientul de zvelteţe va fi valoarea maximă dintre cele două valori le coeficienţilor de zvelteţe:
[ ].,maxmax yz λλλ = După determinarea lui λmax se extrage din tabele valoarea lui ϕ şi se verifică condiţia de rezistenţă:
.maxP σσ ≤= caAϕϕ
ţiunea economică la flambaj este aceea în care λz = Sec λy.
critice de flambaj 16.7 Influenţa forţei tăietoare asupra sarcinii
La stabilirea forţei critice de flambaj s-a plecat de la ecuaţia
ţinut seama numai de momentul încovoietor, cu neglijarea influenţ ţei tăietoare. Totuşi, la producerea flambajului, forţa tăietoare apare în multe situaţii, cum este cazul
diferenţială a fibrei medii deformate, în care s-a ei for
318
barelor cu secţiune compusă. Forţa tăietoare trebuie luată în considerare atât la calculul barelor cât şi al elementelor de solidarizare. Momentul încovoietor vPM = se derivează, astfel:
.dxdvPT =
La studiul deformaţiilor elastice, s-a obţinut pentru deplasarea produsă de forţa tăietoare:
,Tdx
T ⋅= γ dv
în care GAηγ = este lunecarea produsă de o forţă tăietoare unitară.
Înlocuindu-l pe T din relaţia precedentă, se obţine:
.dxdvP
dxdvT γ=
Prin derivare se obţine curbura produsă de forţa tăietoare:
,2
2
2
2
dxvdP
dxvd T γ=
la care se adaugă curbura datorată momentului încovoietor, astfel:
2
2
2
2
dxvdP
EIPv
dxvd γ+−=
sau
.01
12
2
=−
⋅+ vPEI
Pdx
vdγ
raţionamentul de la bara dublu articulată, se notează: Repetând
2
22
11
lk
PEIP π
γ==
−⋅
sau
,;1 2
2
2
2
EPlEI
lEI
P==
−ππ
γ
ţinut seama de influenţa forţei
Rezultă relaţia:
P
cu PE forţa critică euleriană la care nu s-a tăietoare.
;1 E
Ecr P
PP
γ+=
din această relaţie rezultă că Pcr< PE.
319
Pentru a putea aprecia influenţa numitorului expresiei de mai sus, se xaminează două cazuri:
12. bara cu secţiune compusă, elementele componente fiind solidarizate.
În cazul barelor cu secţiu menul γ⋅PE are valori reduse în
e. bara cu secţiune plină;
ne pli , ternăraport cu unitatea, astfel încât influenţa forţei tăietoare asupra forţei critice de flambaj poate fi neglijată.
Al doilea caz se va examina în continuare pentru cazul barelor solidarizate cu zăbreluţe sau cu plăcuţe.
16.8 Flambajul barelor cu secţiune compusă
În cazul forţelor axiale de compresiune de valori mari, când bara nu se ţiune poate alcătui dintr-un singur element, se utilizează barele de sec
compusă solidarizate cu plăcuţe sau zăbreluţe. Prinderea plăcuţelor sau zăbreluţelor se poate face cu nituri sau prin sudură (fig.16.10).
l1 l /21
z
y
z
fig.16.10y
În cazul barelor cu secţiune compusă există două posibilităţi de
i p erdere a stabilităţii echilibrului elastic, astfel:
- flambajul general al barei;
320
-
lă a unor astfel de bare trebuie să asigure ca flambajul general să se producă simultan cu flambajul între două solidarizări. După axa y lunecările sunt mari şi în consecinţă trebuie ţinut seama de
ele în considerarea forţei tăietoare. Astfel, tensiunea critică se calculează în felul următor:
flambajul individual al elementelor din care este alcătuită bara între două solidarizări.
Dimensionarea raţiona
( ) ,1 E
Ecrcr PA
PA
Pγ
σ+
==
cu
;2min
2
fE l
EIP π=
rezultă:
.22
2
EAE
cr πγλπσ
+=
EAtr22 πγλλ += Se notează şi se numeşte coeficient de zvelteţe
transformat. Este o mărime convenţională; prescripţiile recomandă formule aproximative pentru calculul lui λtr. Astfel, pentru plăcuţe relaţia de calcul este:
,21
2 λλλ +=tr
y
yfy i
l== λλîn care , cu lfy lungimea de flambaj după axa y şi iy raza de
erţia a secţiunii barei pe axa y iar in1y
unui singur profil pe distanţa dintre două solidarizări, iy1 raza de inerţie a secţiunii unui sin
11 i
l=λ , cu λ1 coeficientul de zvelteţe al
gur profil faţă de axa y1 a acelui profil şi l1 distanţa dintre două plăcuţe (fig.16.10).
condiţii: Pentru ca flambajul individual să nu se producă înaintea celui general trebuie îndeplinite următoarele
.50
;
1
1
<
;1 <<
λ
λλ z
λλ y
321
Verificarea la flambaj a barelor cu secţiune compusă se efectuează procedând la fel ca în cazul barelor cu se iune plină, cu următoarele
de zvelteţe cţ
precizări: faţă de axa z calculul se face utilizând coeficientul
z
zfz i
l=λ , iar faţă de axa y calculul se va face utilizând λtr.
vedere ca flambajul între două solidarizări să nu fie mai periculos decât
mba
Dimensionarea barelor cu secţiune compusă se efectuează având în
fla jul general al barei. Se efectuează operaţia de dimensionare ca la barele cu secţiune plină,
luând în considerare axa care taie materialul secţiunii (axa z, coeficientul de
zvelteţe fiind z
zfz i
l=λ ). Astfel rezultă profilele din care este alcătuită
secţiunea. Se determină distanţa dintre a le profilelor, din condxe iţia ca flambajul în raport cu axa care nu taie materialul secţiunii (axa y) să nu fie mai periculos:
.ztr λλ = Coeficientul λ1 se determină din condiţia ca flambajul unui profil între două solidarizări să nu fie mai periculos decât flambajul general al barei:
;1 ≤ λλ z
;1 ≤ λλ y .501 ≤λ
16.9 Calculul barelor la flambaj cu încovoiere
Pentru calculul tensiunii maxime în cazul solicitării de flambaj cu
rilor transversale relativformula lui Iasinski:
încovoiere există mai multe teorii. Pentru cazul deplasă mici se poate folosi
,max WM
AP Q
+=ϕ
σ
cu MQ momentul încovoietor dat de sarcina care acţionează transversal pe bară.
Formula nu are justificare teoretică.
322
Problema 16.a
Să se dimensioneze stâlpul din figura 16a având secţiunea un profil I. nosc λ0 = 105, caf = 5, σac = 150 N/mm2. Se cu
x
P = 45kN
l = 2,8m l = 0,5lf
fig.16a Se presupune că flambajul are loc în domeniul elastic şi se dimensionează folosind formula lui Euler:
.103,212
140051045 442
3
2
2
min mmE
lcPI ffa
nec ⋅=⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
ππ
101, 5⋅Din tabele rezultă profilul I12 cu Imin = Iy = 21,5cm4 şi imin = iy =
,23cm. Se v lând λ şi comparându-l cu λ :
;2min
2
lEIPcP
ffacr =⋅=
π
1
erifică domeniul în care are loc flambajul, calcu0
.8,1133,12
14000
min
λλ >===il f
Flambajul are loc în domeniul elastic, aşadar dimensionarea este corectă. Se verifică condiţia de rezistenţă:
;mm/N59,68462,0102,14
45000
,A
P
22
ac
=⋅⋅
=
≤⋅
=
ϕ
ϕ
σ
σϕ
σ
cu ϕ = 0,462 corespunzător unui coeficient de zvelteţe λ = 113,8.
323
Rezultă că este îndeplinită şi condiţia de rezistenţă şi deci profilul este I12. Problema 16.b Să se verifice bara de la talpa comprimată a unei grinzi cu zăbrele având secţiunea compusă ca în fig.16b. Bara are de suportat efortul P = 2200kN. Lungimile de flambaj sunt: normal pe planul grinzii lfy = 4,25m; în planul grinzii lfz = 3,4m. Se cunoaşte rezistenţa de calcul R = 225N/mm2 şi distanţa dintre plăcuţe l1 = 1m.
140
83,23
z1
z
300x15
U24
fig.16by
.23,83
42302153005,127423002
1 mmyG =⋅+⋅
⋅⋅=
Verificarea după axa z
,27,44103.422103600223,831530012
15300 22423
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=zI
.36,3516,96
3400
;16,96
;12960
;1071,119832
44
==
==
=
⋅=
z
zf
zz
z
il
mmAIi
mmA
mmI
Din tabele se extrage valoarea lui ϕz = 0,865, astfel:
=zλ
324
./2,19612960865,0
23
RmmNAz
z<=
⋅ϕσϕ
102200P ⋅==
Verificarea după axa y
( )
;38,4907,86
;
===
=
y
yy
y
i
mmi
λ
4250
07,86
;102,96013.2270423021024821230015 4424
3
=
⋅=+⋅+⋅⋅+⋅
=
f
y
y
lAI
mmI
.38,6421
2 =+= λλλ ytr
Din tabele rezultă ϕy = 0,757, prin
;32,412,24
1000
min
11 ===λ
il
urmare:
./24,22412960757,0102200 2
3
RmmNy
<=⋅⋅
=ϕσ
calculeze forţa Q aplicată transversal la capătul liber, dacă Pmax = 0,11Pcr, prin utili
Problema 16.c Stâlpul din figura 16c este supus unei forţe de compresiune P; se cere determinarea sarcinii critice de flambaj Pcr. Se cunoaşte caf = 2,287. Să se
zarea formulei lui Iasinski.
x
PQ
l = 3,2m
y
z
y65mm
U16
fig.16c
325
Folosind metoda ϕ se calculează Pcr: .facacr cAP ⋅⋅⋅= ϕσ
Pentru a-l cunoaşte pe ϕ se calculează λ:
[ ] ;6,21985,6243,852 42 cmI y =⋅+=
;76,6minmin cmA
iII yy ==→=
;18509252
;
44min
I
cmcmI
il
z
f
=⋅=
=λ
.67,94102,32 3
=⋅⋅
==l fλ 6,67mini
Din tabele rezultă ϕ = 0,625, deci: .205830010242150625,0287,2 2 NPcr =⋅⋅⋅⋅⋅=
Pentru calculul lui Q se aplică formula lui Iasinski:
.5400150101162102,3
10242625,0226413
32 NQQ=→≤
⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
;226413205830011,011,03
NNP
MP
cr
Q
=⋅=
;max WA az
≤+= σϕ
σ
P =
326
Capitolul 17
SOLICITĂRI DINAMICE
ă a încărcărilor, adică forţe aplicate progresiv şi încet asupra barelor, începând cu valoarea zero şi sfârşind cu valoarea lor finală. În timpul aplicării forţelor, bara trece cu viteză mică din poziţia nedeformată
e. Se consideră că sub acţiunea încărcărilor statice bara se găseşte
Există numeroase cazuri de acţiune a forţelor asupra unui corp, când acestea îşi modifică în timpul aplicării în mod sensibil mărimea, semnul, direcţia şi poziţia lor, astfel încât, sub acţiunea acestor forţ ă în mişcare. În acest caz, acceleraţiile imprimate diferitelor puncte ale corpului nu mai sunt neglijabile, procesul de solicitare fiind caracterizat şi de apariţia
nea unor maşini şi utilaje cu elemente neechilibrate în mişcare asupra onstrucţiilor şi fundaţiilor, acţiunea forţelor de inerţie produse la mişcarea
formă sau de rotaţie, căderea unor corpuri pe elemente de
cceleraţie constantă în mărime şi direcţie a exemple se pot da cazul mişcării de translaţie uniform accelerată, cum se oate considera pornirea sau oprirea unui ascensor sau cazul solicitării
volantului unei maşini care se roteşte cu o viteză uniformă de rotaţie în jurul axei sale;
• solcitări dinamice cu acceleraţie variabilă în timp şi de obicei periodică numite vibraţii;
• solicitări dinamice prin şoc, la care acceleraţia variază foarte repede în timp; este cazul contactului brusc dintre două corpuri. În această situaţie nu se cunoaşte legea de variaţie a acceleraţiei.
Analiza stărilor de tensiune şi deformaţie în sisteme de bare a avut în vedere acţiunea static
în poziţia finală, deformată, astfel că acceleraţiile diferitelor puncte sunt neglijabilîn repaus.
e, corpul se afl
forţelor de inerţie; asemenea încărcări se numesc încărcări dinamice. Cauzele care conduc la încărcări dinamice sunt diverse şi anume: acţiuccu viteză neuniconstrucţie, acţiunea vântului de intensitate variabilă, neregularitatea căilor de rulare etc. Funcţie de modul cum variază acceleraţiile se obişnuieşte să se clasifice acţiunile dinamice în:
• solicitări dinamice cu acp
327
17.1 Solicitări dinamice prin şoc Se numeşte solicitare prin şoc solicitare unui corp printr-o forţă, aplicată acestuia, într-un interval de timp foarte scurt. În cazul barelor, în funcţie de direcţia solicitării prin şoc şi caracterul deformaţiilor produse, pot exista: şoc longitudinal, producând deformaţii de întindere sau compresiune, şoc transversal sau de încovoiere şi şoc de torsiune. Se va studia cazul solicitării prin şoc care produce deformaţii elastice şi numai acea etapă a solicitării când procesul de deformaţie s-a propagat în toată bara, producându-se deplasările maxime. Pentru determinarea stării de tensiune în bară, datorat şocului, nu se va putea utiliza condiţia de echilibru dinamic, deoarece forţele de inerţie care intervin în această condiţie sunt necunoscute.
mplificatoare: ntă un corp neelastic şi din momentul aplicării
lui pe bară rămâne legat de aceasta (şoc plastic), pe toată perioada procesului următor de mişcare.
• corpul lovit rămâne în domeniul elastic, deplasările fiind proporţionale cu încărcarea exterioară;
• masa corpului lovit este o masă redusă în punctul de ciocnire; • se consideră transmiterea instantanee a undei de şoc; • deformaţia barei, din forţa aplicată prin şoc propagată în toată bara,
ascultă de legea lui Hooke şi este asemenea deformaţiei produse de aceeaşi forţă aplicată static. Prin urmare, la solicitarea prin şoc, legătura dintre forţele dinamice şi deplasările dinamice sau dintre tensiunile dinamice şi
tatice (se acceptă acelaşi modul de elasticitate ca şi în cazul solicitărilor statice).
Deoarece curba forţă – deplasare pentru cazul aplicării încărcării prin ţinută pentru aceeaşi forţă aplicată static
solicitării prin şoc vor fi obţinute din deplasă-
ă
Se admit următoarele ipoteze si• corpul care cade reprezi
deformaţiile dinamice este aceeaşi ca şi în cazul forţelor s
şoc este asemenea curbei ob(fig.17.1), deplasările în cazul
P
Δ
Pst
Pdin
Δst Δdin fig.17.1
328
rile statice prin multiplicarea acestora cu un coeficient ψ > 1, identic în toate punctele corpului; ψ este numit coeficient dinamic sau multiplicator de impact.
17.1.1 Coeficientul dinamic în cazul când se neglijează masa corpului supus la şoc
eră cazul când masa corpului elastic care suportă şocul este
Se considică îm n raport cu masa corpului care cade şi se poate neglija.
Se presupune o grindă supusă la încovoiere prin şoc vertical, dar rezultatele vor fi valabile şi pentru alte cazuri de solicitare (fig.17.2a).
Px
Px
a.
b.
fig.17.2
Δx d Δd
Δx st Δst
h
Fie Δd cea mai mare deplasare dinamică (prin şoc) după direcţia forţei P şi Δst deplasarea corespunzătoare aplicării statice a forţei P (fig.17.2b). Forţa P căzând de la distanţa (înălţimea de cădere) h, va produce un lucru mecanic de forma:
( ).hPL dΔ+= Energia cinetică a corpului care cade va fi egală cu cantitatea cu care se micşorează energia potenţială a acestui corp, adică cu lucrul mecanic
potenţială de deformaţie a corpului lovit se poate scrie, ţinând seama de ipotezele făcute şi de teorema lui Clapeyron:
efectuat de către forţa P în cădere. Energia
,21
ddPU Δ⋅=
în care Pd este forţa dinamică corespunzătoare deplasării maxime apreciată ca un echivalent static al forţei P aplicată prin şoc. Din ipotezele făcute rezultă că:
.; stdd PP Δ⋅=Δ⋅= ψψ
329
Dacă L = U, rezultă:
( ) .2
Efectuând calculele rezultă:
1ddd PhP Δ⋅=Δ+
.211 hΔ
++=ψ st
Dacă se notează cu v viteza corpului care cade în momentul contactului cu corpul care suferă şocul şi gh2=v , rezultă:
.112
stgvΔ
++=ψ
Forţa dinamică maximă, deplasarea dinamică maximă şi tensiunile axime în bara supusă la şoc vor fi date de relaţiile: m
.;; stdstdd PP σψσψψ ⋅=Δ⋅=Δ⋅= Se consideră cazul particular h = 0, reprezentând o aplicare bruscă a
rţei P asupra corpului; rezultă: fo,2=ψ
de unde rezultă că prin aplicarea bruscă a forţelor se produc tensiuni şi eformaţii de două ori mai mari decât în cazul când aceste forţe ar fi aplicate tatic.
Când viteza de mişcare v a corpului care cade este mare (sau înălţimea e cădere este mare) se poate neglija unitatea de sub radical, astfel încât oeficientul ψ ia forma:
ds dc
;1212
stst gvhΔ
+=Δ
+=ψ
expresia se poate folosi pentru 10010 ≤Δ
<st
. 2h
Pentru valori foarte mari ale mărimilor de sub radical, 1002>
Δst
h,
coeficientul dinamic ψ se poate scrie sub forma:
.2 2
stst g ΔΔ Relaţiile deduse pentru coeficientul dinamic ψ arată că acesta este cu atât mai mic cu cât deplasarea statică Δst este mai mare. De aceea, pentru a micşora efectul solicitării prin şoc este necesar să se micşoreze rigiditatea
vh≅ψ =
330
elementului supus la şoc.
17.1.2 Coeficientul dinamic în cazul în care se ţine seama de masa corpului supus la şoc
În cele precedente s-a considerat că masa corpului supus la şoc este mică în raport cu masa încărcării care produce şocul, neglijând astfel energia ineticc ă consumată pentru transmiterea vitezei şi punerea în mişcare a
elementului de masă a corpului lovit. Acest lucru este echivalent cu a considera că în timpul impactului viteza corpului care cade nu se modifică. În realitate, în momentul impactului, corpul care cade pierde din viteză, iar partea din corpul lovit în contact cu corpul care a căzut preia viteză, viteza corpului căzut modificându-se până ce acesta împreună cu corpul lovit în punctul de contact au aceeaşi viteză. Se evaluează energia cinetică consumată pentru punerea în mişcare a masei corpului lovit, înlocuind cazul real cu masa distribuită cu un corp liber cu o masă echivalentă concentrată în punctul de contact, având aceeaşi energie cinetică şi aceeaşi cantitate de mişcare ca şi corpul lovit în momentul şocului (fig.17.3).
mgm +mr
1
Δd
2
fig.17.3 Momentele caracteristice solicitării prin şoc sunt:
• momentul care precede imediat contactul celor două corpuri şi în care viteza forţei mg este ghv 20 = , iar cea a corpului echivalent este nulă;
• momentul după efectuarea contactului când forţa mg împreună cu corpul echivalent au aceeaşi viteză v1. Determinarea lui v1 se face cunoscând că în cazul şocului plastic cantitatea de mişcare până la ciocnire este egală cu cea de după ciocnire (legea conservării impulsului):
( )
.1; 1100
1
10
mkkvmmmvv
r
rr
==+
= 1
;0
m
vmmmvm
r+
+=⋅+
1. poziţia imediat după ciocnire;
2. poziţia cu deplasare maximă.
331
• momentul când cele două corpuri puse în mişcare ating deplasările maxime, iar viteza masei m şi a corpului lovit este nulă. După acest moment mişcarea celor două corpuri se continuă cu deplasări de celălalt sens. Pe baza teoremei conservării energiei se poate scrie:
,int12 LLEE ext +=− cu E2 energia cinetică finală. Ea este nulă, reprezentând energia cinetică în momentul deplasării maxime, când viteza este nulă; E1 energia cinetică iniţială, după ciocnire, când cele două corpuri au viteza comună v ; 1 L lucrul mecanic al forţelor exterioare; ext Lint lucrul mecanic al forţelor interioare:
( )
( )
.21
;
;21
21
int
120
211
drd
drext
r
gmmgL
gmmL
mkvvmmE
Δ−Δ−=
Δ+=
=+=
ψ
parcurge cu toată intensitatea Δd. Rezultă:
Relaţiile ţin seama că forţele exterioare mg şi mrg parcurg deplasarea Δd şi că lucrul mecanic interior este egal cu energia potenţială de deformaţie cu semn schimbat, dat de forţa mg aplicată dinamic şi de forţa mrg care
.211 1kh
stΔ++=ψ
Ţinând seama de ipoteza conform căreia raportul vitezelor între două puncte ale sistemului este egal cu raportul săgeţilor statice din puncte, se determină masa corpului lovit pe baza conservării energiei cinetice a masei reduse şi a celei distribuite după efectuarea şocului:
( ) ,11 22 ∫=l
vdxmvm 22 01 xr
u m masa unităţii de lungime şi este constantă; c
∫=l
xr dx
vvmm
021
2
;
dar
.1 st
stx
st
stx
d
dxx
vv
ΔΔ
=ΔΔ
=ΔΔ
=ψψ
332
Astfel, rezultă:
;122
⎞⎛ Δ⎞⎛ Δ lx
lx
00∫∫ ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ Δ
=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ Δ
=stst
r dxl
lmdxmm
cu notaţiile : ,totmlm = masa totală a barei, respectiv:
;12
0
2
kdxl
l
st
x =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
∫
rezultă: .kmm 2totr ⋅=
17.1.3 Solicitări prin şoc orizontal
Masa gPm = a unui pendul (fig.17.4), loveşte grinda simplu rezemată
cu viteza orizontală ghv 20 = .
mg = Ph
Pst
fig.17.4
Δd
Δst
După ciocnire cele două mase pornesc împreună cu aceeaşi viteză orizontală v1; teorema impulsului se poate scrie astfel:
333
( ) .;0 100110 kvvmm
mvvmmmvmr
rr =+
=+=⋅+⋅
Legea conservării energiei va avea forma: ,int12 LLEE ext −=−
în care E2 nul, deoarece viteza este zero când se ajunge la deplasarea maximă iar Lext este nul pentru că forţa P ca şi mrg sunt perpendiculare pe direcţia deplasării.
( ) ;12
2
int
vmmE
d
+=
2
;1
11
mgL
r
= ψ
zultă
Δ
re :
.1
2v0 kg stΔ
=ψ
ră un cablu cu diametrul d = 18mm (fig.17a), care suportă o greutate P = 12kN care coboară cu viteza v = 1m/s. Între
blu astică k = 400N/mm. După ce s-a desfăşurat o lungime l = 10m din cablu, toba se
se produce în cablu; σa = 150N/mm2, E = 2,1⋅105 N/mm2.
Problema 17.a De pe o tobă se desfăşoa
ca şi greutate se introduce un arc amortizor cu constanta el
blochează brusc. Să se verifice tensiunea care
l
kP
d
fig.17a Condiţia de rezistenţă este:
334
;11,
;2
stst
astd
gv
AP
Δ++==
≤=
ψσ
σσψσ
mmkP
EAPl
st 27,32400
1012
418101.2
101012 3
25
43
=⋅
+⋅
⋅⋅
⋅⋅=+=Δ
π ,
( ) ;04,327,321081,9
1011 3
23
ψ =⋅⋅
++=
./150/145 22ammNmmN σ=<=
418101204,3 2
3
d
πσ
⋅
⋅=
Problema 17.b Să se calculeze deplasarea capătului consolei (fig.17b), ştiind că ecţiun h = 50mm, l = 2m, a s ea grinzii este un profil I14. Se cunosc: P = 1kN,
= 1m.
l a
hP
A B C
Pa
P
1-a
-
-fig.17b
Deplasarea dinamică din secţiunea C se calculează cu relaţia: ,std Δ=Δ
.211stΔh
++=ψ
ψ
lculează cu regula lui
entru încărcarea virtuală unitară din secţiunea C, astfel:
Deplasarea statică în aceeaşi secţiune se caVeresceaghin; se trasează diagramele de moment pentru încărcarea statică cu forţa P, respectiv p
335
( );33
111 PalaPa⎛ ⋅+⋅⋅=Δ3
23 al
EIPaa
EIst +=⎟⎠⎞
⎜⎝
( ) ( )
.1083,01283,0
mmd =⋅=Δ
;1250211
;83,1021010573101,23
1010 3345
233
mmst
=⋅
++=
=⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅=Δ
ψ
0
336
Capitolul 18
SOLICITĂRI VARIABILE
cluri de s licitări variabile
18.1 Ci o Când variaţia forţelor în timp se produce de un număr mare de ori, acest fapt are o influenţă defavorabilă asupra caracteristicilor mecanice ale materialului şi în special a tensiunilor. Cauza ciclurilor de solicitări variabile poate fi mişcarea de rotaţie sau mişcarea alternativă a diferitelor piese de maşini. După modul cum variază în timp, solicitările variabile pot fi:
• aleatoare, când nu există o regulă de variaţie a tensiunilor; • periodice, când tensiunile se produc după intervale de timp regulate.
Solicitările periodice pot fi la rândul lor: • staţionare, când tensiunile variază între o limită superioară şi una
inferioară; • nestaţionare, când tensiunile variază ca amplitudine în decursul unei
perioade. La solicitările staţionare variaţia tensiunii, pornind de la o valoare şi
trece o singură dată printr-o valoare maximă, denumită limita superioară a tensiunii, respectiv o valoare minimă, denumită limita inferioară a tensiunii.
icitare se numeşte perioada
până ajunge din nou la aceeaşi valoare (de acelaşi sens de variaţie), formează un ciclu al solicitării. În decursul unui ciclu tensiunea
Timpul în care se produce un ciclu de solciclului.
Tensiunea medie, σm, este egală cu semisuma tensiunilor maximă şi minimă:
;2
minmax σσσ +=m
Amplitudinea tensiunii, σa, este egală cu semidiferenţa tensiunilor maximă şi minimă:
337
.2
minmax σσσ −=a
Un ciclu de solicitări variabile este definit fie de σmax şi σmin, fie de σm şi σa.
R se numeşte coeficientul de asimetrie al ciclului sau caracteristica ciclului:
.max
min
σσ
=R
Solicitările variabile pot fi clasificate după următoarele criterii: mărimea coeficientului de asimetrie:
• cicluri simetrice (R = -1); • cicluri asimetrice (R ≠ -1).
semnele algebrice ale tensiunilor: • cicluri alternante (tensiunea schimbă semnul); • cicluri oscilante (tensiunea păstrează acelaşi semn).
Ciclurile oscilante pot fi: • pozitive; • negative; • pulsante (una din limite este nulă).
Când amplitudinea ciclului este foarte mică, ea poate fi considerată practic nulă şi apare solicitarea statică.
t t t
tt
t
solicitarestatica R = 1
ciclu oscilant pozitiv
ciclu pulsantpozitiv R = 0
ciclu pulsantnegativ ciclu alternant ciclu altern
ant
simetric R = -1
fig.18.1
σmaxσ σ σ
σσσ
σmax σmin
σmax
σmin
338
Piesele supuse la solicitări variabile se rup după un număr de cicluri
xime la care o epruvetă standardizată nu se rupe ricât de mare ar fi numărul de cicluri de solicitare se numeşte rezistenţă la
oboseală. 18.2 Diagrame de rezistenţă la oboseală
de solicitare la tensiuni inferioare limitei de rezistenţă statică. Acesta este fenomenul de oboseală a materialului. Valoarea tensiunii mao
Determinarea rezistenţei la oboseală se face experimental pe epruvete standardizate solicitate variabil. Sunt necesare circa 8 ÷ 10 epruvete; încercarea decurge în felul următor: se încarcă prima epruvetă până la o tensiune maximă σmax = σ1 (fig.18.2), care are valoarea 0,6σr pentru oţeluri. Se supune epruveta unui ciclu de eforturi alternante pâna la ruperea acesteia
ip şi se încarcă la o tensiune maximă mai mică cu 0,1 ÷ 0,2 N/mm2 decât σ1; epruveta se va rupe după N2 cicluri (N2 > N1). Se continuă până la o tensiune maximă pentru care epruveta nu se mai rupe, adică rezistă la un număr nelimitat de cicluri.
după un număr de cicluri N1. Se ia a doua epruvetă de acelaşi t
fig.18.2
N cicluri
N1 N2 N = 10-10 pt.OLB
σ
σ−1
σ1
σ2
76
Diagrama se poate construi în coordonate semilogaritmice (fig.18.3) au logaritmice. s
fig.18.3lgNσR
σmax
Curba lui Wöhler
(curba de durabilitate)
N
– încercarea de bază B
339
Practica arată că punctele obţinute experimental nu se înscriu pe o urbă cu traseu continuu ca cea din curba Wöhler. Ele prezintă o dispersie are datorită neomogenităţii materialului, influenţei eforturilor iniţiale etc,
eea ce îngreunează determinarea exactă a rezistenţei la oboseală. De aceea ste util să se încerce un număr mare – câteva zeci – de epruvete. Prin ărirea numărului de epruvete însă, creşte probabilitatea apariţiei
xemplarelor defecte ceea ce poate conduce la coborârea diagramei zistenţei la oboseală şi prin urmare a rezistenţei la oboseală (fig.18.4).
cmcemere
p = 95%p = 50%
p = 5%
σmax
N
fig.18.4 Determinarea rezistenţei la oboseală prezintă complicaţii în ceea ce riveşte metodologia experimentală când este vorba de alte cicluri decât cel lternant simetric.
Diagrama în coordonate σm, σa oferă o reprezentare clară a rezistenţei aterialului în cazul tensiunilor variabile (fig.18.5).
pa m
a
σa
b
A2III II
A1
C1C2
IIIF2
EF1
K
IV IV VL
V
σm045
045
045
045
0
σcc σc
σcc
σrc
c
σr <<σ
σrc σr
fig.18.5 Din extremităţile segmentelor OA1, OA2, OC1, OC2 se duc drepte la 450 faţă de abscisă; rezultă dreptele A1K, A2K, C1L, C2L. Linia frântă A1KA2
Curba probabilităţii de rupere
340
îm e câmpul diagramei în două părţi. Punctele care se află în exteriorul acestei linii corespund ciclurilor la care σmax > σ
part (dreapta) şi ⎪σ n⎪>⎪σrc⎪
înaintea
r posibi
izare este legată de apariţia deformaţiilor plastice, σmax > σc şi
azul ciclurilor reprezentate prin punctele situate în domeniul C1LbA
eformaţiilor elastice pure σ
această diagramă se trasează curba limită obţinută experimental pentru
poate fi repetată de un număr nelimitat de ori fără ca să se producă ruperea, de domeniul în care este posibilă ruperea la oboseală. Astfel, această curbă limită ocupă poziţia A1EA2. Dificultatea deosebită o consti
ste porţiuni se trasează aproximativ. Astfel, apar cinci domenii:
I Domeniul ciclurilor la care nu iau naştere deformaţii plastice şi deci acestea se pot repeta fără distrugere de nenumărate ori;
u e
r; IV Domeniul ciclurilor la care iau naştere deformaţii plastice şi ruperea se produce după un număr oarecare de cicluri;
comportarea materialelor pentru
i pe cale experimentală a curbei limită şi a efe ormă analitică se folosesc reprezentări
r mi(stânga). Aceste cicluri nu se pot realiza deoarece materialul se rupeefectuării ciclului respectiv. Domeniul din interiorul liniei frânte A1KA2 este domeniul ciclurilo
le, aici σmax < σr şi ⎪σmin⎪<⎪σrc⎪. Domeniul mărginit de liniile C1LC2 şi A1KA2 este domeniul ciclurilor a căror real⎪σmin⎪>⎪σcc⎪. În c
1, deformaţiile plastice iau naştere în porţiunea pozitivă – la întindere; în cazul realizării ciclurilor din regiunea C2LaA2 – la compresiune. Dacă ciclul este reprezentat printr-un punct în domeniul aLbK atunci deformaţia plastică apare şi l întindere şi la compresiune. Porţiunea C1LC2 corespunde ciclurilor care se efectuează în domeniul d
max < σc şi ⎪σmin⎪<⎪σcc⎪. Pe
un anumit material, care delimitează domeniul ciclurilor pentru care solicitarea
tuie obţinerea porţiunilor F1A1 şi F2A2 când σmax este apropiat de σr şi ⎪σmin⎪ de ⎪σcc⎪. Ace
II Domeniul ciclurilor pentru care pericolul r perii ste exclus, însă iau naştere deformaţii plastice la primul ciclu; III Domeniul ciclurilor la care nu iau naştere deformaţii plastice, dar ruperea se produce după un număr suficient de mare de variaţii ale tensiunilo
V Domeniul ciclurilor care nu se pot realiza. Cel mai complet a fost studiată
tensiuni cu σm ≥ 0 (fig.18.6). Datorită dificultăţii obţineri
ctuării calculelor la oboseală sub f
341
simplificate şi aproximative ale acestei curbe numite diagrame schematizate.
σa
B
D
EF
O C Afig.18.6
σmσc
σr
σ-1
18.3 Diagrame schematizate Diagrama Haigh (fig.18.7)
σa
AB N
O C σm
M
L
0
σ0/2
σ0/2
σ-1
45
fig.18.7
Punctele caracteristice ale diagramei sunt: • A care reprezintă un ciclu simetric şi are coordonatele:
.;0 1−== σσσ am
342
• B care repreziintă un ciclu pulsant şi are coordonatele:
.2
0σσσ == am
• C care reprezintă o solicitare statică şi are coordonatele: .0; == arm σσσ
Punctul L corespunde unui ciclu limită la care tensiunea maximă este egală cu rezistenţa la oboseală a materialului. Punctul M este un punct oarecare din interiorul diagramei şi reprezintă un ciclu nepericulos. Punctul N este un punct înafara diagram ciclu care duce la ruperea prin oboseală.
ei şi reprezintă un
PA
O Cfig 8.8
σa
σm
.1
σ-1
450
σcD
Diagrama Smith (fig.18.9) În această diagramă, orice ciclu este reprezentat printr-o pereche de puncte cu aceeaşi abscisă. Astfel:
• A1, A2 reprezintă un ciclu simetric• B1, B2 reprezintă un ciclu pulsant pozitiv limită; • B1
/, B2/ reprezintă un ciclu pulsant negativ limită;
Schematizarea Goodman (Soderberg) este reprezentată de dreapta AC din figura 18.8; se cunoaşte numai σ-1. Schematizarea Serensen este reprezentată de dreptele AP şi PC din figura 18.8; se cunosc σ-1 şi σ0. Schematizarea Gerber este reprezentată de parabola APD trasată cu linei punctată în figura 18.8.
limită;
343
CB1
B2
D1
D2
A1
σ
A2B2/
σmax min,
σm
σrtσ0t
σ-1t
σmax
450
σ0c
σrt
fig.18.9
B1
E1
E2
/
(σ0t/2)σmin
σrcC
/
σrc
• C, C/ reprezintă o solicitare statică; • D1, D2 reprezintă un ciclu nepericulos; • E1, E2 reprezintă un ciclu care duce la ruperea prin oboseală.
Metodica determinării rezistenţelor la oboseală în cazul forfecării pure τr este analogă metodicii pentru determinarea rezistenţelor la oboseală, σr, în cazul stării de tensiune monoaxială.
18.4 Factorii de care depinde rezistenţa la oboseală
a. Factorii constructivi • concentrările de tensiuni, care se măsoară prin coeficientul
efectiv de concentrare βk. Acesta se determină experimental şi depinde de forma concentratorului (tipul de discontinuitate a secţiunii, a racordării, existenţa găurilor), de tipul de solicitare, de material; βk este supraunitar şi se calculează cu relaţia:
( )( ) ,01 d
k−
−=σ 01k dσβ
cu (σ-1)d0 corespunzător unei epruvete netede standardizată; (σ-1k)d0 corespunzător unei epruvete cu concentrator standardizată. mărimea piesei, care se măsoară prin coeficientul dimensional εk.
344
Cu cât dimensiunile piesei sunt mai mari cu atât rezistenţa la oboseală scade datorită creşterii probabilităţii de existenţă a defectelor interne; εk este subunitar şi se determină experimental, fiind calculat cu relaţia:
( )( ) ,
01
1
dd
k
kk
−
−=σσε
cu (σ-1k)d corespunzător unei epruvete cu concentrator şi diametru oarecare, (σ-1k)d0 corespunzător unei epruvete cu concentrator şi diametru standardizat.
b. Factorii tehnologici • starea suprafeţei piesei, care se exprimă prin coeficientul de stare a
suprafeţei γk; γk este subunitar, se determină experimental şi se calculează cu ajutorul relaţiei:
,1−
=σ
1−σ pγ k
cu σ-1p corespunzător unei prelucrări oarecare a suprafeţei epruvetei; σ-1 corespunzător unei suprafeţe lustruite a acesteia. Cauzele care fac ca suprafaţa materialului să fie punctul slab al rezistenţei la oboseală se datorează zgârieturilor din prelucrare care constituie amorse de fisuri, motiv pentru care lustruirea suprafeţei are o importanţă deosebită în mărirea rezistenţei la oboseală.
c. Factori de exploatare •
şi a coeficientului de asimetrie care sunt prinse în diagramele de rezistenţă la oboseală.
18.5 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile
acţiunea agenţilor corozivi; • tipul solicitării; • suprasolicitările, care sunt solicitări de durată limitată având valori ale
tensiunilor superioare σr; • temperatura.
În calculele de rezistenţă condiţiile de lucru se introduc prin efectele tipului de solicitare
simple
Pentru calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile staţionare trebuie cunoscute următoarele elemente:
345
• ciclul de solicitări variabile nominal produs în piesă adică: σmax, σmin, σm, σa, R care se calculează cu formulele clasice de rezistenţă;
• materialul piesei reprezentat de: σ-1, σ0, σc, σr respectiv construirea diagramei rezistenţei la oboseală;
• factorii care influenţează rezistenţa la oboseală: - coeficientul de concentrare βk; - coeficientul dimensional εk; - coeficientul de stare a suprafeţei γk.
Coeficientul de siguranţă la rupere se defineşte ca raportul dintre rezistenţa la oboseală σr şi tensiunea maximă a ciclului real σmax:
.maxσ
σ rrc =
Coeficientul de siguranţă la curgere va fi în acest caz:
,maxσ
σ ccc =
cu σc limita de curgere. Determinarea coeficienţilor de siguranţă poate fi efectuată analitic,
ele schematizate.
18.5.1 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitări prin cicluri alternant simatrice
Tensiunea nominală în piesa solicitată alternant simetric este:
scop pentru care se folosesc diagram
.max aσσ = Rezistenţa la oboseală a piesei reale, la cicluri simetrice, este:
;1p−σ coeficientul de siguranţă la oboseală va fi:
,1
aσpc
σ −=
iar dacă se cunoaşte doar 1−σ a materialului:
.11
kc σβ
ak
ka
kk
σγε
βσ
ε γσ−
−
==
k
346
18.
ialelor fragile se foloseşte schematizarea Goodman
5.2 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitările prin cicluri asimetrice
În cazul mater(fig.18.10) pentru calculul coeficienţilor de siguranţă.
OC
Aσa
σm
σ-1
σrfig.18.10
σ-1/cσa
σr/cσm
A/
LM
R/
CS
c > 1
c = 1
Coeficientul de siguranţă se calculează ca raportul între tensiunile
maxime corespunzătoare unui punct L de pe ciclul limită şi unui punct M corespunzător unui ciclu nepericulos (c>1).
,max
max
SMOSRLORc
M
L
++
==σσ
asemenea; rezultă că: dar triunghiurile SOM şi ORL sunt
.LaLm
SMRL
OSOR
SMOSRLORc
σ am
σσσ
====+
= +
e poate scrie: Din triunghiurile asemenea MC/S şi AOC s
OCSC /
AOMS=
sau
347
.1
1
1
r
marm
r
a c
c σσ
σσσ
σ
σσσ
+=⇒=
−−
−
Pentru materialele reale coeficientul de siguranţă în raport cu rezistenţa la oboseală se va scrie:
.1
1 r
ma
kk
kc
σσ
σσ
γεβ
+=
−
Coeficientul de siguranţă la curgere se va scrie ţinând cont că dimensiunile piesei şi starea suprafeţei materialului nu au de obicei o influenţă sensibilă asupra deformaţiilor plastice în masa de bază a materialului piesei:
.max am
cccc
σσσ
σσ
+==
În cazul materialelor tenace se foloseşte schematizarea Soderberg pentru care, în figura 18.10, punctului îi corespunde limita de curgere (σc). CRezultă coeficientul de siguranţă:
1 .
1 c
ma
kk
k
σσγε+
−
c σσβ=
18.6 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări compuse, produse de sarcini variabile ciclice
Gough şi Pollard a
va ia e cou trasat experimental curba pentru solicitări
r bil mpuse, de încovoiere şi răsucire, prin cicluri în fază corespunzător unui sfert de elipsă (fig.18.11).
.12
1
2
1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−− ττ
σσ LaLa (1)
Coordonatele punctului L de pe elipsă, τaL şi σaL, reprezintă un ciclu simetric de torsiune şi un ciclu simetric de încovoiere care, acţionând în fază, produc ruperea după um număr nelimitat de alternanţe, deci corespund
e definiţiei rezistenţei la oboseală.
La extremităţile sfertului de elipsă se găseşte solicitarea simplă dîncovoiere prin ciclu simetric σ-1, respectiv de torsiune τ-1.
348
fig.18.11σ-1
σaσa
σaL
LB
τa
M
AA/
= 1B/
c
c > 1τ-1 τaL
τaτ /−1 c
O
.//aaOMOBOA τLaLaOLOBOAc
τσσ
=====
torsiune, parţiali, se lcul
Coeficienţii de siguranţă la încovoiere, respectivca ează:
.; 11
aa
ccττ
σσ
τσ−− == (2)
Se împarte relaţia (1) la numărător şi numitor cu τa2 şi σa
2, astfel:
.12
1
2
2
2
=
⎠⎝
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
⎠⎝
⎟⎟⎠
⎞⎛
a
a
La
a
La
τ
ττ
σ
σ
e relaţia (2) rezultă:
1⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −− τσ
⎜⎜⎝ aσ
Ţinând cont d
12
2
2
2
=+τσ c
ccc
sau
,2σ
τσ
c
ccc
+= 2
τccare reprezintă relaţia de calcul pentru coeficientul de siguranţă la solicitarea
mpua fi:
co să de încovoiere cu torsiune pentru materialele tenace. În cazul materialelor fragile relaţia de calcul v
349
( ) ( ) ,122
=+−φ ccc 212 +−φcc 2c
τσσ
cu .1−=τσ
1−
φ
Pentru 2=φ se obţine relaţia de la materialele tenace. Proble
c rea. Să se
P = 70kW, n = 200 rot/min, σa = 80 N/mm2, σc = 460 N/mm2, σ-1 = 120
/mm
ma 18.a Pe arborele din fig.18a sunt montate două roţi de upredimensioneze arborele cu secţiune circulară şi apoi să se verifice. Se dau
N 2, 56,1,85,1 =⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
γεβ
γεβ kk , ca = 1,5. Se v
⎠⎝⎠⎝ τσ kkkka folosi teoria
energie de deviaţie. A B 1 2 1 2
600 400 400 200
C
5,198m]
T1 T2
2
m
fig.18a
20 cm 30 c
3,342
M [kNt
3T1 2,5T
1,379
M [kNm]i
+
+
--
3,396
.99,255.3,426,73,05,1
342,35,1
;424,334,356,82,02
342,32
;2 111 rTMM tt ==
;342,32007055,955,9
222
2
111
1
kNTFkNr
MT
kNTFkNr
MT
kNmnPM
yt
yt
t
===⋅
==
===⋅
==
===
350
Pentru trasarea diagramei Mi se aplică ecuaţia celor trei momente: ( ) ,02 1,1,11111 =+++++ ++−+++− iiiiiiiiiiiii lmlmlMMllMl
cu: ;1;;1 CiBiAi =+==− rezultă:
( )
( ) .027,10,8,0,424,3383
;198,52,099,25,0 kNmMM CA −=⋅−=
,0
;08,06,08,08,06,026,0
kNmmmlkNPcuPlmm
mMMM
CBCBAB
CBABCBA
=====
=m+++
Ecuaţia devine:
⋅ + ⋅ + ⋅ =
.379,1;08,0027,108,0198,54,12
kNmMM
B
B
−==⋅+⋅−⋅
Pentru calculul momentului în secţiunea „1” se apelează la grinda mică BC încărcată cu momentele determinate şi forţa din punctul 1 (fig.18b).
33,425 kN1,379 kNm 5,198 kNm
B 1 C
0,4 m 0,4 mfig.18b
VB dr VC st
;kN938,118,0
1982
V drB =,5379,1424,33 −
.kNm396,34,0938,11379,1M1 =⋅+−=
+=
t şi moment încovoietor Mi se observă că secţiunea periculoasă este C aici se face dimensionarea la încovoiere cu torsiune:
După trasarea diagramelor de moment de torsiune M;
;95,5342,375,0198,575,0
,32
2222
3dM ech πdim
kNmMM
WW
tih
ia
neci
=⋅+=+=
===σ
rezultăM ec
d = 91mm.
351
Se alege def = 110mm şi se verifică la oboseală prin coeficientul de siguranţă:
,22τσ cc +
cu
τσ ccc =
,
max
1
σ
σ
γεβσ
σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
kk
k
c
solicitarea de încovoiere fiind o solicitare alternant simetrică. Astfel, se obţine:
.63,18,3985,1 ⋅σ
În plus:
12032110
==
⋅π
c
Wi
;/8,3910198,5 23
6max
max =⋅
==σ mmNM i
,1
1 r
ma
kk
k
c
ττ
ττ
γεβ
τ
τ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
fiind vorba de o solicitare asimetrică (pulsantă). Astfel:
( )
,3
,3
21
1
min
rr
ma
στστ == −−
;0
10342,3
max
26
tM
ττττ ==
⋅
valorile τ , τ conform teoriei energiei de deviaţie.
;/8,12
16110 3max
p
mmNW π
τ =⋅
==
=
-1 rRezultă:
.5,157,163,195,5 22
=>=+
ac
63,
2
195,5
;95,5
42,2658,1256,1
24,698,12
⋅=
=+⋅
=
c
cτ
352
353
Bibliografie
1. I. Andreescu, Şt. Mocanu Probleme de Rezistenţa Materialelor Ed. MATRIXROM Bucureşti 2003. 2. Al. Constantinescu Metode matematice ale mecanicii solidului rigid Ed. MAT IXROM Bucureşti 2002. 3. C. Diaconu, Fl. Bauşic Rezistenţa Materialelor Universitatea Tehnică de Construcţii
Al. Anghel, Rezistenţa materialelor. Probleme C. Manea, Gh. Hotea Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică Bucureşti 1986. 5. M. Soare, C. Bi i Teoria Elasticităţii Bucureşti 1983. 6. I. Ungureanu, B. Ispas, Rezistenţa Materialelor. E. Constantinescu Universitatea Tehnic de Construcţii Bucureşti 1981-1982.
R
Bucureşti 1997. 4. N. Posea,
a, V. Ille Rezistenţa materialelor ş Ed. Didactică şi Pedagogică
ă
Recommended
