Download ppt - de la causalité

1

2

de la causalitéSortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille

Marc Ouziaux

3

I.) ANALYSE ET CONCEPTION DES SYSTÈMES

II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES SYSTÈMES

III.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES SYSTÈMES

Programme de PT-PT*

4

II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES SYSTÈMESII.1.) Mécanique des chaînes de solides

II.1.1.) Dynamique des solides à masse conservative

II.1.1.a) Caractéristiques d'inertie des solides

II.1.1.b) Cinétique

II.1.1.c) Principe fondamental de la dynamique

II.1.1.d) Représentation causale

II.1.2.) Analyse des mécanismes

II.1.2.a) Définitions

II.1.2.b) Étude des chaînes de solides indéformables

II.1.2.c) Formules de mobilité II.1.3.) Résistance des matériaux

II.2.) Fonctions techniquesII.3.) Définition des ensembles mécaniquesII.4.) Approche Produit-Procédé-Matériau

5

• représentations graphiques (graphe informationnel causal ou bond graph).

Points du programme abordés :

II.1.1.d) Représentation causale

• variable d’état associée à :- masse conservative,- une raideur,- un frottement visqueux ;

• relation de transformation (équations différentielles) ;

6

• 1) Notion réduite de causalité

• 2) Étude du processus

• 3) Étude de la commande

• 4) Conception du correcteur

• 5) Application

• 6) État d’un système Variable d’état

• 7) Approche par le graphe Informationnel causal

7

1) Notion réduite de causalité

Un système asservi possède deux parties essentielles :

- le processus que l'on commande :

tension

débit de gaz

déplacement

température


2) Étude du processus

3) Étude de la commande

4) Conception du correcteur

5) Application

6) État d’un système Variable d’état

7) Approche par le graphe Informationnel causal

une machine à commande numérique

un four à traitement thermique

8

- le dispositif de commande. Il a pour objectif d’imposer le comportement du processus par inversion de causalité, quelle que soit la nature de ce dispositif.

Il est donc évident que le dispositif de commande ne peut être étudié sans avoir, au préalable, déterminé les caractéristiques du processus.





5) Application



9


- Qu'est ce qu'un processus ?

C'est un assemblage d'objets fonctionnant selon la règle de causalité.

- Règle de causalité

Il existe des grandeurs influentes et d'autres influencées, reliées entre elles par des relations de transformation à l'intérieur d'un processeur. La sortie ne dépend que des valeurs présentes et passées de l'entrée.

Ces relations sont explicitées par des équations différentielles linéaires ou non. Elles présentent naturellement un ordre de dérivation plus élevé sur les sorties que sur les entrées.





5) Application



10

t

m r

0grandeur influencée

1(t) (t 0) (c c )dt

J

qui peut encore s'écrire :

Toute équation différentielle impose entrée et sortie. C'est une relation causale.

On ne peut pas indifféremment

choisir l'entrée ou la sortie.

- On procède alors à la mise en équations. Étudions quelques exemples :

u = R.i relation rigide ou autoduale

indifféremment u ou i en entrée, elle n'est pas causale

Cm : entrée

: sortie

Cr : perturbation

m rd

J c cdt

m rd

J c cdt

f

11

m rd

J c c fdt

- On dit que la vitesse "intègre le couple"

- Si on a une équation différentielle avec des termes du même ordre dans les deux membres, on dit que la relation est semi-rigide.

- La représentation faite est satisfaisante sur le plan mathématique. Elle aurait pu être mise sous une forme "plus mécanicienne" :

1

f J.p

CrCm -

+

1

J.p

f

Cr

Cm -

-

+





5) Application



12

di r.i L u e

dt

entrée : u

sortie : i

perturbation : eiu

e

+

-

1

r p.L

1

f J.p

CrCm -

+

iu

e

+

-

1

r p.Lk

k

Les relations causales orientent le processus.

13

- Si on avait dû étudier une dynamo, on aurait eu la même équation différentielle, donc la même causalité. Il ne faut donc pas permuter trop rapidement entrée et sortie ! Ce sont les signes de certaines variables qui auraient été modifiés, selon la convention que l’on se donne au départ.

- Le processus décrit comporte une boucle mais n'est pas pour autant un système asservi, c'est seulement un système bouclé dû au principe des actions mutuelles, caractéristique de tous les systèmes mettant en jeu de l’énergie.

Remarques :

14

Si le système est trop compliqué, on procède par identification à une forme mathématique connue.

?E(p) S(p)

15

Conclusions :

On peut toujours, par mise en équation ou par identification, associer une fonction de transfert au processus.

On est conduit à imaginer que l’entrée et la sortie sont facilement identifiables.

16


Le processus présente certaines caractéristiques ne respectant pas le cahier des charges (précision, stabilité, rapidité).

On imagine d'inverser la causalité créée par le processus.

Si la relation est rigide et biunivoque, aucun problème !

Si la relation est causale, il faut imaginer selon un concept d’actions mutuelles :

U Processus

U?





5) Application



17

V

Capteur

V

On compare V par rapport à une référence Vréf ou

consigne.

Si l'on a l'information V = Vréf, c'est parfait, c'est ce qui est

souhaité !

par contre si V Vréf, il faut pouvoir :

comparer nécessité d'avoir un élément

de type soustracteur...

amplifier nécessité de placer un élément donnant un gain important

18

réfK(p)

Réelle ou fictive

Pratiquement impossible de réaliser cette condition, on essaie de réaliser au moins l’égalité des gains statiques

Même fonction que le capteur

CapteurV

ProcessusU

Cr

ProcessusAmpli.

Capteur : K(p)

Vréf U

V

+

-

Cr

+Vréf

-Ampli.

19

ProcessusAmpli.

Capteur : K(p)

Vréf U

V

+

-

Cr

réfK(p)

réf

K(p).Ampli.processus

V

+

-

Crest équivalent à :

On serait tenté de simplifier, car

mais tout sens physique à disparu !

20

réf fonction de transfert en poursuite

r fonction de transfert en régulation

C

Écart "vrai" ou écart sur la sortie

-+

réfK(p) ProcessusAmpli.

Capteur : K(p)

Vréf U

V

+

-

Cr

Le système possédant deux entrées, on peut en profiter pour repréciser les deux fonctions de transfert en poursuite et en régulation ainsi que la notion d’écart sur la sortie.

21

Processus

U Cr

Ampli.

2

2n n

k

2 p1 p

2c

2n n

k 2 p. 1 p

p

2

1

(1 .p)

On gomme les imperfections du processus

avec très petit donc des pôles p = très éloignés de l'axe des imaginaires et qui n'influeront donc pas sur le système.

1

peu précis

peu stable

lent

pas causal !


Correcteur





5) Application



22

réf

Correcteur.processus

V

+

-

Crexemple

1

.p

2

2n n

k

2 p1 p

c

i

k.K 1

K

i D 2n

1K K

c Di

1K (1 K p)

K p

Correcteur PID

in

K 2

23

Conclusions :

Mais il ne faut pas croire que le correcteur peut tout corriger.

Meilleure est la conception du processus, moins de corrections, il doit y avoir, donc mieux c’est !

Il est donc important de distinguer entrée et sortie car pour concevoir un système asservi, la commande aura pour règle de création de vouloir inverser la causalité du processus.





5) Application



Il reste donc à nos étudiants à toujours maîtriser les notions de mécanique.

24

5) application

A priori évident :

mx"=-k.(x-xe)-f.(x'-x'e)

f k

x(t)/équilibrem

xe (t)/équilibre

La sortie se retrouve sur la variable ayant l'ordre de dérivation le plus élevé, soit x(t).

Mais que choisir comme variable d'entrée ?

Xe(p) X(p)2

f1 .p

kf m

1 .p .pk k





5) Application



25

k

f.p

+

++

-

Xe(p) X(p)

2

1

m.p

Remarque 1 : La représentation est correcte sur le plan mathématique mais incorrecte sur le plan physique. En effet un problème de causalité se pose sur le schéma-bloc associé à l'amortisseurRemarque 2 : Si nous avions choisi comme variables d'entrée et de sortie x'e(t) et x'(t) (avec conditions initiales nulles), nous aurions eu

la même fonction de transfert globale :

2

f1 .p

kf m

1 .p .pk k

L[x’e(t)]=pXe(p) L[x’(t)]=pX(p)

26

f

+

++

-

L[x'e(t)] L[x'(t)]

k

p

1

m.p

mais une représentation détaillée conduit à :

pour laquelle tous les schémas blocs respectent la règle de causalité.





5) Application



27

Conclusions :

Si la conception du système asservi semble logique, on se rend compte que le choix de la variable d'entrée n'est pas si évident que cela.

L'état du système doit être caractérisé par le choix réalisé à travers les variables retenues pour réaliser son étude.

Ces variables sont appelées variables d'état.





5) Application



28

État énergétique du système


Énergie potentielle

Énergie cinétique

caractérisé par un ensemble de variables constituant un résumé du passé suffisant pour prédire l'évolution future. Le modèle d'un processus se représente à partir de variables d’état qui correspondent aux énergies accumulées à un instant donné. Ce sont donc des variables douées de mémoire : vitesse, effort....





5) Application



29

Toute variable d'état est une grandeur continue au sens mathématique du terme (système linéaire continu et invariant).

L'étude dynamique donne un éclairage sur :

• divers états d'un système et les changements d’états appelés transitionstransitions,

• événements et conditionsévénements et conditions qui influencent le comportement du système,

• évolutionévolution du système en fonction du temps.

30

Le choix d'un ensemble de variables d'état est la première étape de modélisation d'un système.





5) Application



Conclusion :

31

7) Approche par le graphe informationnel causal

g ggR(S S).x m. (G,S / R ).x ��

c’est une force qui crée l’accélération d’une masse.

La grandeur d’entrée, influente, est donc potentielle : la force; elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui est cinétique : la vitesse.

Solide S ayant un mouvement de translation rectiligne suivant l’axe gx

32

La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la grandeur de sortie : la vitesse, est fonction de la grandeur d’entrée : la force, ou encore que la grandeur de sortie est une fonction intégrale de la grandeur d’entrée.

Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie cinétique avec une relation causale (unilatérale ou orientée).





5) Application



33

Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles)

Loi mécanique associée Relation causale temporelle : Rc

Relation causale complexe (C.I. nulles)

Grandeur d’entrée :

« potentielle » Grandeur de sortie :

« cinétique » Énergie Cinétique accumulée de 0 à T

m

v(t)

f(t)f(t) v(t)Rc

V(s)F(s) 1

m.s

dvf (

(mt)

t)

dt

1

mF(s)

sV(s)

2 2cinE v Tm

1

2v 0

T

0

dv(t)dt

v(T)

1m

1m

f (t)

f (t)dv t(0)

v(t)f(t)

34

Et pour un volant d’inertie J en rotation autour d’un axe fixe ?

35





« potentielle » Grandeur de sortie :

« cinétique » Énergie Cinétique accumulée de 0 à T

c(t) (t)Rc(s)C(s) 1

J.s

dc

(t)

d(t J

t)

1

JC(s)

s(s)

2 2cinE TJ 0

1

2

T

0

d (t)dt

(T) (0

c(t)

c(t)dt

J1J

)

1

(t)c(t)

J

(t)

C(t)

36

Étudions les composants « classiques » : ressorts et amortisseurs

k

v1(t)

f(t)

v2(t)

f(t)

Ressort isolé d’où :

1 2x (t) x (t)kf (t)

C’est une variation de longueur qui crée une variation d’effort.

La grandeur d’entrée, influente, est donc cinétique : la vitesse; elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui est potentielle : la force.

ressort

1 2

T

1 20

v (t) v (t)f (

dtk

d t)

f (T) f v (t) v ((0) ) dtk t

37

La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la grandeur de sortie : la force, est fonction de la grandeur d’entrée : la vitesse, ou encore que la grandeur de sortie est une fonction intégrale de la grandeur d’entrée.

Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie potentielle avec une relation causale (unilatérale ou orientée).

D’ou problème lors de son inversion !

38





« cinétique » Grandeur de sortie :

« potentielle » Énergie potentielle accumulée de 0 à T

1 2

T

1 20

v (t) v (t)f (

dtk

d t)

f (T) f v (t) v ((0) ) dtk t

f(t)v1(t)-v2(t)

V1(s)

V2(s)

F(s)ks

f(t)k

v1(t) v2(t)

f(t)

1 2x (t) x (t)kf (t) 1 2V (s) V (s)k

Fs

(s)

2

pot 1 2

2

1 2

E x T x T

k

k x 0

1

21

2x 0

v2(t)v1(t) f(t)Rc

39

Les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent être inversées, il n’y a pas de causalité.

Le processeur associé est donc un dissipateur d’énergie avec une relation rigide (bilatérale ou non orientée).

amortisseur

v1(t)

f(t)

v2(t)

f(t)f

1 2v (t) v (t)ff (t) Amortisseur isolé :

40


Loi mécanique associée Relation rigide : R Relation causale complexe (C.I. nulles)

Grandeur « potentielle » Grandeur « cinétique » Énergie dissipée de 0 à T

f(t)

V1(s)

V2(s)

F(s)f

v1(t)

f(t)v2(t)

f(t)f

1 2v (t) v (t)

1 2v (t) v (t)ff (t) 1 2v (t) v (t)ff (t)

1 2v (t) v (t1

ft) f ( )

1 2V (s) V (s)fF(s)

1 2V (s) V (s1

fs) F( )

T

dis

0

v(t)f (t)E dt

v2(t)v1(t) f(t)R

41

Modulateurs

Un modulateur est constitué de deux processeurs dipôles duaux dont les entrées et les sorties sont de même nature énergétique. On trouvera donc comme modulateur parmi les éléments mécaniques :

Les leviers

Les systèmes poulie(s) / courroie

Les engrenages

Les systèmes pignon / crémaillère

Les systèmes roue vis, vis écrou…

s1(t)Re1(t)

e2(t)Rs2(t)

R

R

m

42

Élément Mécanique

processeur (GIC) Relations causales temporelles : Rc

11 22f (t) f (t)v (t) v (t)

m

f2(t)Rf1(t)

v2(t)Rv1(t)

R

R

d2 d1

f1(t)

f2(t)

v2(t)

v1(t)

Exemples de modulateurs Modulateur en translation : levier

1

2

2

1

2

1

v (t)

v (t)

f (t)

f (m

)

d

t d

43



11 22(t)c (t (c )(t) t)

m

c2(t)Rc1(t)

2(t)R1(t)

R

R

Exemples de modulateurs Modulateur en translation : engrenage, poulies et courroie

d2

d1

C1(t)C2(t)

ω2(t)

ω1(t)21 1

212

(t)

(t

c (t)

)m

c (t )

d

d

44



11 22v (t)f (t) c (t) (t)

1

2

2

1

(t)

v

f (

(

t)

c ( )

1

tm

t) r

m

c2(t)Rf1(t)

2(t)Rv1(t)

R

R

Exemples de modulateurs Modulateur en translation/rotation : pignon/crémaillère, roue/vis

r

f1(t)

C2(t)ω2(t)

v1(t)

45

Exemple traité

ve(t) vs(t)

kf m

46

Rc2R

vs(t)vs(t)ve(t)

vs(t)

f(t) f1(t)

f(t)

Rc1

f1(t)

f(t)ve(t)

vs(t)

f(t)f(t)

vs(t)

f1(t) f1(t)

f1(t)

47

vs(t)Rve(t) Rc1 Rc2

Bonjour GIC

48

Vs(s)Ve(s) F(s)f 1

m.s

k

s

F1(s)

49

Rve(t) Rc2

Rc1

Vs(s)Ve(s) F(s)f 1

m.s

k

s

F1(s)

Même sur un exemple aussi simple, bien que les démarches soient proches, les représentations obtenues diffèrent fortement. Difficile de passer de l’une à l’autre directement !

50

k3f3

k2

k1

f2

f1

m2

m1

X2(t)

X1(t)

F2(t)

F1(t)

Exercice à préparerLes paramètres sont définis à partir des positions d’équilibre

- 1) Déterminer les variables d’état

- 2) Établir la représentation sous forme de blocs fonctionnels

- 3) Écrire le processeur (G.I.C) des composants créant le couplage entre les deux masses.

- 4) Compléter le G.I.C fourni

51

Rf2

F1

F2

Rf1

Rk1

Rm1

Rk2

Rf3

Rk3

Rm2

52

F1

F2

f1

1

1

m .s

k1

s

f2

f3

'1L(x )

'2L(x )

k3

s

2

1

m .s

k2

s

Éléments de réponse

53

k3f3

k2

k1

f2

f1

m2

m1

X2(t)

X1(t)

F2(t)

F1(t)

Rk2

Rf2v1

Ff2

v2

v2

v1Fk2

Relation rigide

Relation causale

54

x’2

Rf2

F1

F2

Rf1

Rk1

Rm1

Rk2

Rf3

Rk3

Rm2

x’1

55

de la causalité

C’était

Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille

Marc Ouziaux