TEMA 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS
PRÁCTICAS
Dr. Alberto Gutiérrez B.
Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales – Tema 2
2 Dr. Alberto Gutiérrez Borda Departamento de Matemáticas- UNSLG
SERIES DE POTENCIAS
PRÁCTICA 2.1
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En los ejercicios del 1 al 30, determinar el intervalo de convergencia de las series
de potencias:
1. ∑ (
)
2. ∑
3. ∑ √ 4. ∑ (
)
5. ∑ (
) 6. ∑
7. ∑ 8. ∑
9. ∑ √
10. ∑
11. ∑ √ 12. ∑ (
)
13. ∑
(
√ )
14. ∑
15. ∑
√
16. ∑
17. ∑ 18. ∑
19. ∑
20. ∑
21. ∑
22. ∑ (
)
23. ∑
24. ∑
25. ∑
26. ∑
27. ∑ 28. ∑
29. ∑
30. ∑
En los ejercicios del 31 al 54, desarrollar en series de potencias de x las siguientes
funciones, indicando en qué intervalos son válidos los desarrollos:
31.
32.
33. 34.
35.
36.
37. (
) 38. ( √ )
39. √
40.
Ecuaciones Diferenciales – Tema 2
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41. 42.
43. 44
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. (serie binómica) 52. (
), con
53. 54. √
55. Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencia
∑
. Probar que en ese
intervalo.
56. Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie ∑
y sumarla
en el intervalo. Hallar la suma de la serie ∑
.
57. Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie ∑
y sumarlo en
el intervalo abierto. Hallar la suma de la serie ∑
.
58. Encontrar la única serie de potencias ∑
con radio de convergencia
no nulo que cumple . Identificar esta
función.
59. Hallar el dominio de convergencia de la serie ∑
y probar que su suma es
(
)
.
60. Desarrollar en serie de potencias de x la función, ∫
, siendo
, determinar el radio y el intervalo de convergencia de la serie.
61. Desarrollar en serie de potencia de las siguientes funciones, indicando en
que intervalos son válidos los desarrollos:
i) .
ii) √
iii) (
)
iv)
62. Sea ∫ √
, para ]. Desarrollar f en serie de potencias de
x (centrada en 0). Hallar el radio y el intervalo de convergencia del desarrollo.
Hallar .
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SOLUCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS ALREDEDOR
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DE PUNTOS ORDINARIOS
PRÁCTICA 2.2
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2. En los problemas de a) a h), encuentre la solución en series de potencias. Determinar
el radio de convergencia de la serie resultante, identifique la solución en términos de
funciones elementales,
a) , e) ,
b) , f) ,
c) , g) ,
d) , h) ,
3. En los problemas de a) hasta n) resuelva cada ecuación diferencial utilizando series
de potencias.
a) , h) ,
b) i) ,
c) j) ,
d) k) ,
e) l) ,
f) m) ,
g) n) .
4. En los problemas de a) a l) encuentre para cada ecuación diferencial dos soluciones
linealmente independientes en serie de potencia en torno al punto ordinario .
a) , g) ,
b) , h) ,
c) , i) ,
d) , j) ,
e) , k) ,
f) , l) .
En los problemas del 4 al 15, usar el método de las series de potencias para resolver
la ED dada, sujeta a las condiciones iniciales que se indican:
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Ecuaciones Diferenciales – Tema 2
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12.
13.
14.
15.
16.
En los problemas de 16 y 17, aplicando series de potencia, resuelva las ecuaciones
diferenciales, identifique la solución en particular en términos de funciones
elementales conocidas:
17. con las condiciones iniciales,
18. con las condiciones iniciales,
19. El método de las series de potencias, puede también usarse cuando los coeficientes
no son polinomios. En los problemas a) a d), encuentre dos soluciones en series de
potencia en torno al punto ordinario .
a) c)
b) d)
20. En los problemas de a) a b). Use el método de las series de potencia para resolver las
ecuaciones homogéneas.
a) b)
21. Dada la ecuación diferencial , encontrar la solución
general entorno de 1.
22. Halle la solución por medio de un desarrollo en serie de potencia de (x – 1) de la
ecuación diferencial .
23. Establezca la serie binomial por medio de los siguientes pasos:
a) Demuestre que satisface el problema con condición inicial
.
24. Mediante la serie de Taylor, resuelva el problema .
25. Mediante la serie de Taylor determine por lo menos los cuatro primeros términos
distinto de cero del problema de valor inicial , y(0) = 0.
26. Considere las ecuaciones a), b) y c), determine sus puntos singulares (reales o
complejos). Encuentre la solución general alrededor de x = 0 y el intervalo máximo
donde está definida.
a) ,
R.: Puntos singulares: ; solución general (
∑
) , intervalo: .
b) ,
R.: Puntos singulares no tiene; solución general (
∑
) (
), intervalo: .
c) .
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R.: Puntos singulares no tiene; solución general (
∑
) (
), intervalo: .
27. Considere para r constante la ecuación diferencial (
) ,
a) Mediante el cambio de variable
obtener la ecuación
.
b) Encuentre la solución general de ambas ecuaciones.
R.: ( ∑
) .
( ∑
).
28. Resolver mediante la utilización de series de potencia las siguientes ecuaciones y
problemas de condiciones iniciales de orden uno:
a) d)
b) e)
c) . f) .
29. Resolver las siguientes ecuaciones directamente y mediante series de potencias y
comparar los resultados.
a) b)
c)
30. Demostrar que 0 es un punto regular de las siguientes ecuaciones y obtener su
solución en series de potencias
a) . d) .
b) . e)
c) . f)
31. Clasificar los puntos singulares de las siguientes ecuaciones lineales:
a) . e)
b) . f) .
c) . g)
.
d) .
32. Determinar la naturaleza del punto 0 de la ecuación en
función del parámetro .
33. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones, usando desarrollos en serie de
potencia en x y exprese dichas soluciones mediante funciones elementales:
a) ,
R.: (
) .
b) , R.:
c) . R.: .
34. En los problemas del (a) a (f), usando series de potencias, encuentre la solución
general alrededor de x = 0 de la ecuación deferencial. En cada caso determine el
intervalo máximo donde está definida.
(a) ,
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(b) ,
(c) .
35. Encuentre la solución general de la ecuación en la forma
, donde y son serie de potencias.
R.: (
).
36. Halle la solución general de la ecuación en términos
de una serie de potencias alrededor de t = 0 ¿puede identificar esta serie en término
de funciones elementales?
R.: (
) .
37. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y determine si
son regulares. Suponga que es constante.
a) , d) ,
b) , e) ,
c) , f) .
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ALREDEDOR DE UN PUNTO SINGULAR REGULAR
PRÁCTICA 2.3
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En los problemas de 1 a 11. Halle los puntos singulares de las ecuaciones
diferenciales la solución general de la ecuación diferencial, determine si son
regulares. Suponga que es constante:
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11.
En los ejercicios del 12 a 13, encuentre la ecuación indicial y los exponentes en la
singularidad de la ecuación diferencial:
12. .
13.
14. Halle la solución general de
siendo .
15. Dada la ecuación , encuentre todas las soluciones de la
forma ∑
, con . Si es posible escríbalas en términos de
funciones elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
16. Hallar todas las soluciones de , de la forma
∑
. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
17. Resolver .
18. Para la ecuación , halle la solución sobre que
satisface . Muestre que no hay ninguna solución que satisfaga
.
En los problemas de 19 a 26, emplear el método de Frobenius para hallar las
soluciones en torno de un punto singular regular:
19. .
20. (
) ,
21. ,
Ecuaciones Diferenciales – Tema 2
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22. ,
23. ,
24. .
25. .
26. .
27. Considere las ecuaciones
a) ,
R.: Puntos singulares: , solución general
( ∑
) , intervalo: .
b) ,
R.: Puntos singulares no tiene, solución general ∑
∑
, intervalo: .
c) .
R.: Puntos singulares no tiene, solución general (
∑
)
(
∑
), intervalo: .
Determine sus puntos singulares (reales o complejos). Encuentre la solución general
alrededor de x = 0 y el intervalo máximo donde está definida.
28. Probar que las ecuaciones
a) , b) , solo
tiene una solucion en forma de serie de Frobenius alrededor del punto 0.
29. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de la forma de series de
potencias alrededor de 0:
a) , e)
b) . f) .
c) . g) .
d) .
30. Demostrar que la posee 0 como punto singular
irregular. Introducir la función ∑
y deducir que m = 0 y
. Concluir que y(x) sólo converge en 0 y por lo tanto que no puede ser
solución de dicha ecuación.
31. Resuelva las siguientes ecuaciones por método de Frobenius:
a) ,
R.: √ .
b)
R.: (√ ) (√ ).
c)
R.: ∑
√
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d) .
R.:
e) .
R.: .
f) ,
R.:
.
g) ,
R.: .
h) .
R.:
√ ∑
.
32. Demuestre que la solución general de la ecuación es la
función
usando para ello el método de Frobenius.
33. Hallar la solución general de la ecuación en
las proximidades del origen.
R.:
√
.
34. Dada la ecuación homogénea , encuentre dos
soluciones independientes como series de Frobenius alrededor del punto x = 0.
35. En los problemas del a) a j), usando el método de Frobenius, encuentre la solución
general alrededor de x = 0 de la ecuación diferencial. En cada caso determine el
intervalo máximo donde está definida.
a) ,
R.: | |
( ∑
) ( ∑
) , intervalo: I =
IR.
b) ,
R.: | |
( ∑
)
( ∑
), intervalo: .
c) ,
R.: | |
( | |√
∑
( √ ) ( √ ) ( √ ) )
| | √
( ∑
( √ ) ( √ ) √ ), intervalo: { }.
d) ,
R.: | |
( ∑
)
*
+, intervalo: ⋃ .
e) ,
f)
R.: ( ∑
)
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( ∑
), intervalo: .
g) ,
R.: | |
( ∑
) ,
h) ,
R.: * | | ∑
+ *
+, donde * ∑
+, intervalo: { }.
i) ,
j) .
36. Considérese la ecuación diferencial . Resuélvala de
modo que las soluciones sean válidas para x arbitrario grande.
37. Halle la solución general de .
38. Dada la ecuación con , encuentre todas las soluciones de
la forma ∑
con . Si es posible escríbalas en términos de
funciones elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
39. Resolver , con .
40. Muestre que la sustitución
transforma la ecuación
en la
ecuación
. Determine si el punto s = 0 es ordinario, singular
regular o singular no regular. Resuelva la ecuación.
41. Para la ecuación , halle la solución sobre que satisface
. Muestre que no hay ninguna solución que satisfaga
.
42. Considere las ecuaciones a) a e) para encontrar el polinomio indicial, sus raíces, la
solución general alrededor de x = 0 y el intervalo máximo donde está definida.
a) ,
R.: (
) (
), solución general:
( ∑
)
( ∑
), intervalo: I = IR.
b) ,
R.: (
), solución general:
| | ( ∑
)
(
), intervalo: { }.
c) ,
R.: , solución general:
( | | ∑
*
+
)
Donde ( ∑
), intervalo: { }.
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d) ,
R.: (
), solución general:
| |
(
∑
) ( ∑
)
intervalo: .
e) .
R.: (
), solución general:
| | ( ∑
) , intervalo:
{ }.
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