faktor-1isasi

Nurul Hanifah 1000057Eka Arifani Putri 1002444

Ghea Novani 1002514Putri Noviyandari 1003399

Ishma Fadlina Urfa 1005324Ogi Jayaprana 1006667

Isi

• Pendahuluan• Teorema 9.1• Teorema 9.2• Teorema 9.3• Teorema 9.4

• faktorMisalkan G merupakan Graf teratur. Faktor adalah subgraf merentang dari G yang tidak selalu terhubung.

• Syarat agar Graf G mempunyai faktor yaitu G graf teratur dan mempunyai sebanyak 2n simpul

• faktor-1himpunan sisi dimana setiap simpul di G dihubungkan tepat dengan satu sisi

• Faktorisasi-1 dari graf G merupakan gabungan dari faktor-1 faktor-1 Gi.

• Jika himpunan sisi E(G) dari graf G didekomposisikan ke dalam sisi sisi yang tidak joint k graf teratur sebagai

• Dimana

NFFFGE ...2)( 1

JIFF ji

• Menurut Mardiyono (1997 : 6) faktor-1 dari graf G adalah graf bagian teratur dan berderajat satu yang memuat semua simpul G.

• Dengan demikian jika suatu graf memiliki faktor-1 atau perfect matching, maka banyaknya simpul harus genap. Tetapi hal ini tidak menjamin berlaku sebaliknya. Suatu graf G yang banyaknya simpul genap tidak menjamin adanya faktor-1.

• Karena faktor-1 tidak mengandung sisi rangkap maupun loop, batasan graf yang dipakai di sini adalah graf sederhana faktor-1 pertama kali dicetuskan oleh W.T Tutte

• Tujuan mempelajari faktorisasi ini salah satunya adalah untuk melakukan pewarnaan terhadap sisi

• Atau juga dalam skema pertandingan olahraga atau sebagainya

Lemma

Misalkan G graf umum dan S V(G).Maka

odd(G-S) + |S| |G| (mod 2)Jika G berorder genap, maka

odd(G-S) |S| (mod 2)dan odd(G-v) 1, v V(G)

Bukti:MisalC1, C2, ..., Cm adalah komponen-komponen ganjil dari G-s, dan D1, D2, ..., Dr adalah komponen-komponen genap dari G-s

dengan m = odd(G-s).Maka|G|=|S|+|C1|+...+|Cm|+|D1|+...+|Dr||S|+m(mod 2)

Jadi, terbukti bahwa odd(G-S) + |S| |G| (mod 2) danodd(G-S) |S| (mod 2) adalah akibat langsung.

Teorema

Sebuah graf sederhana G berorder genap mempunyai faktor-1 jika dan hanya jika untuk setiap subset S dari V(G), banyaknya komponen faktor-kritikal dari (G-S) kurang dari atau sama dengan |S|

Bukti:() Terbukti menurut Teorema Faktor-1 (Tutte) karena setiap komponen faktor-kritikal dari G-S adalah komponen ganjil dari G-S.() Misalkan G graf sederhana berorder genap dan berlaku untuk setiap subset S dari V(G), banyaknya komponen faktor kritikal dari G-S kurang dari/sama dengan |S|; namun G tidak mempunyai faktor-1.Maka menurut Teorema Faktor-1, terdapat subset X V(G), X sedemikian sehingga odd(G-X) > X, yang artinya X V(G).

Ambil subset maksimal S V(G), S sedemikian sehingga odd(G-S)|S|.Maka

odd(G-Y)|Y|, SYV(G) .... ()Pertama-tama harus ditunjukkan bahwa G-S tidak mempunyai komponen genap, karena jika punya, untuk sebuah titik v dari sebuah komponen genap G-S, kita dapatkan (dari Lemma 1.4.1)odd(G-(S{v})) odd(G-S)+1 |S| + 1 = |S{v}|yangmana bertentangan dengan ()

Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa setiap komponen ganjil dari G-S adalah faktor-kritikal.Misal C sebuah komponen ganjil dari G-S dan v sebarang vertex dari C.Maka untuk setiap T V(C-v), berdasarkan ()|S|+1+|T| odd(G-(S {v} T))

= odd(G-S) – 1 + odd(C-({v}T)) |S| – 1 + odd((C-v)-T)Oleh karena itu odd((C-v)-T) |T|+2, yang artinya odd((C-v)-T) |T| menurut Lemma.Ini berarti pula C-v mempunyai faktor-1 (menurut Teorema Faktor-1) dan C adalah faktor-kritikal.Akibatnya kita peroleh:Banyaknya komponen faktor kritikal dari G-S = odd(G-S) |S|.Kontradiksi dengan pemisalan.Jadi, teorema terbukti.

Teorema 9.1

• Eksistensi faktorisasi-1 dalam graf lengkap K2n telah ditunjukkan oleh Wallis (Wallis, 1987, hal : 117). Eksistensi faktorisasi-1 tersebut disajikan pada Teorema 9.1 berikut ini .

• Graf sempurna K2n mempunyai faktorisasi-1

BUKTI

Misal graf G memiliki simpul-simpul yang dinotasikan dengan

dan himpunan-himpunan dari garis(sisi)

Dimana dan dinyatakan

sebagai salah satu bilangan mod (2n-1).

Perhatikan bahwa mudah dilihat sebagai partisi-partisi yang tepat dari X

nvvv221

,...,,

1,...,3,2,1;2

njvvvvXjijinii

ji ji

)12(,...,2,1 n

iX

• Maka penjumlahan dari subgraf yang didenotasikan dengan

merupakan faktorisasi-1 dari K2n

iG

iX

K6 G1 G2

G3 G4 G5

Faktorisasi-1 dari K6

Teorema 9.2 Setiap graf bipartit teratur mempunyai faktor-1isasi• Bukti:

Diberikan G adalah sebuah graf bipartit teratur berderajat n. Akan dibuktikan Gadalah 1-factorable.

• Kita ketahui bahwa G memiliki 1faktor. Jika kita menghapus titik tersebut, maka akan terbentuk graf baru, G*, dimana G* juga merupakan graf bipartit teraturberderajat (n-1) dan kita dapat menemukan faktor-1 di G*. Lanjutkan hinggamembentuk graf bipartit teratur berderajat 1. Maka, graf tersebut adalah 1faktor. Lalu, jika kita menggabungkan semua 1faktor yang telah terbentuk, makaakan menjadi G. Dengan kata lain, G adalah faktor-1able. ( Terbukti ).

Teorema Faktor critical

• G disebut faktor critical jika G-v mempunyai faktor-1

• Faktor critical : mempunyai jumlah simpul ganjil, terhubung, dan bukan merupakan graf bipartit.

TeoremaGraf sederhana G dengan banyak simpul genap mempunyai faktor-1 jika dan hanya jika untuk setiap subset S dari V(G), banyaknya komponen faktor-critical dari G-S kurang dari sama dengan|S|.

BUKTI

2-connected• Graf terhubung yang tidak

mempunyai titik pemotong. Disebut juga non-separable atau block.

• Suatu graf yang 2-connected dapat disajikan ke dalam bentuk

dimana merupakan siklus dan tiap merupakan lintasan

rPPPG ...21

1P

iP

• Yang menghubungkan dua titik yang berbeda dari

dimana tidak memiliki titik yang sama dengan

11 ... iPP

11 ... iPP

Teorema 9.3

• Jika G merupakan 2-connected graf yang mempunyai faktor-1 maka G mempunyai setidaknya dua faktor-1 yang berbeda

BUKTI

• Dari dua slide sebelumnya, dari teorema Kotzig dan Beineke & Plummer dimana kebanyakan graf tidak memiliki tepat satu faktor-1

• Gambar block

Teorema Tutte[138]• Graf G mempunyai 1-faktor jika dan hanya jika• Odd (G-S) • Bukti:• Kita asumsikan Graf tersebut merupakan graf

sederhana• Asumsikan G mempunyai 1-faktor dan ∅ = S ⊆

V (G), dan• C1, C2, . . ., Cm komponen ganjil dariG −

S,dimana m = odd(G − S). Kemudian untuk setiap komponen ganjil Ci dari G−S, ada setidaknya satu sisi di F yang menghubungkan Ci ke S

• odd(G − S) = m ≤ eF (C1 C∪ 2 ∪・ ・ ・ ∪ Cr, S) ≤ |S|.

• Kita akan membuktikan dengan induksi di |G|. Dengan S = ∅, Kita punya odd(G) = 0, yang mengakibatkan tiap komponen di g adalah genap. Jika G tidak terhubung maka untuk setiap komponen di G memenuhi (1.10), dan G mempunyai faktor-1 yang didapat dari hipotesis induktif. and so it has a

• 1-factor by the inductive hypothesis. Hence G itself has a 1-factor. Therefore

• we may assume that G is connected and has even order.

• It follows from the above Lemma 1.4.1 and (1.10) that odd(G − {v}) =

• |{v}| = 1. Let S be a maximal subset of V (G) with the property that

• odd(G − S) = |S|. Then ∅ = S ⊂V (G) and

Soal

9.1 cari banyaknya 1-faktorisasi dari K6!

9.2 Perlihatkan faktorisasi-1 dari K8!