Mathematics Project

(Geometry)SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Mathematics Project

(Geometry)SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Mathematics Project

(Geometry)SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Mathematics Project

(Geometry)SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Mathematics Project

(Geometry)SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Geometry is a part of mathematics concerned with questions of size, shape, and relative position of figures and with properties of 

space. It is also a branch of mathematics that deals with the deduction of the properties, measurement, and relationships of points, lines, angles, and figures in space from their defining conditions by means of certain assumed properties of space.

BASICS OF GEOMETRY

 Point: A point is a location in space. It  is represented by a dot. Point is usually  named  with  a  upper  letter.  For  example,  we  refer  to  the following as "point A“

Line: A line is a collection of points that extend forever. The following is a line. The two arrows are used to show that it extends forever.

We put two points in order to name the line as line AF. However, there are an infinite amount of points. You can also name it line FA………….

Line  segment: A  line  segment  is  part  of  a  line.  The  following  is  a segment. A segment has two endpoints. The endpoints in the following segments are A and F. Notice also that the line above has no endpoints.

A.

.A .F

A F

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Ray: A ray is a collection of points that begin at one point (an endpoint) and extend  forever  on  one  direction.  The  following  is  a  ray.

Angle: Two  rays  with  the  same  endpoint  is  an  angle.  The  following  is  an angle.

Plane: A  plane  is  a  flat  surface  like  a  piece  of  paper.  It  extends  in  all directions.  We  can  use  arrows  to  show  that  it  extends  in  all  directions forever.  The  following  is  a  plane.………………………………………………………..

Parallel lines When two lines never meet in space or on a plane no matter how long we extend them, we say that they are parallel lines The following lines  are  parallel.……..………………………………………..knjhhjji

Intersecting  lines: When  lines  meet  in  space  or  on  a  plane,  we  say  that they  are  intersecting  lines The  following  are  intersecting  lines. 

Vertex: The  point  where  two  rays  meet  is  called  a  vertex.  In  the  angle above, point A is a vertex.

.. AF

.. .A

F

C

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

GEOMOTRICAL FIGURES-2D GEOMETRICAL FIGURES-A 2D geometric model is a geometric model of an object as two-dimensional figure, usually on the Euclidean or Cartesian plane.Even though all material objects are three-dimensional, a 2D geometric model is often adequate for certain flat objects, such as paper cut-outs and machine parts made of sheet metal.2D geometric models are also convenient for describing certain types of artificial images, such as technical diagrams, logos, the glyphs of a font, etc. They are an essential tool of 2D computer graphics and often used as components of 3D geometric models, e.g. to describe the decals to be applied to a car model.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

3D GEOMETRYCAL FIGURES-

These are three-dimensional shapes. Their sides are made of flat or curved surfaces

3D shapes

spheres

cubes

cones

pyramids

hemispheres

cuboids

cylinders

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

INDIAN GEOMETREYVedic period

Rigveda manuscript in Devanagari.

The Satapatha Brahmana (9th century BCE) contains rules for ritual geometric constructions that are similar to the Sulba Sutras.[4]

The Śulba Sūtras (literally,  "Aphorisms  of  the  Chords"  in Vedic Sanskrit)  (c. 700-400  BCE)  list  rules  for  the  construction  of  sacrificial  fire  altars.[5] Most mathematical  problems  considered  in  the Śulba Sūtras spring  from  "a  single theological  requirement,"[6] that  of  constructing  fire  altars  which  have different  shapes  but  occupy  the  same  area.  The  altars  were  required  to  be constructed of five layers of burnt brick, with the further condition that each layer  consist  of  200  bricks  and  that  no  two  adjacent  layers  have  congruent arrangements of bricks.[6]

According  to  (Hayashi 2005,  p. 363),  the Śulba Sūtras contain  "the  earliest extant verbal expression of the Pythagorean Theorem in the world, although it had already been known to the Old Babylonians."The  diagonal  rope  (akṣṇayā-rajju)  of  an  oblong  (rectangle)  produces  both which  the  flank  (pārśvamāni)  and  the  horizontal  (tiryaṇmānī)  <ropes> produce separately."[7]

Since  the  statement  is  a sūtra,  it  is  necessarily  compressed  and  what  the ropes produce is not elaborated on, but the context clearly implies the square areas constructed on their lengths, and would have been explained so by the teacher to the student.[7]

They  contain  lists  of Pythagorean triples,[8] which  are  particular  cases  of Diophantine equations.[9] They  also  contain  statements  (that  with  hindsight we  know  to  be  approximate)  about squaring the circle and  "circling  the square."[10]

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Baudhayana (c.  8th  century  BCE)  composed  the Baudhayana Sulba Sutra, the best-known Sulba Sutra, which contains examples of simple Pythagorean  triples,  such  as:  (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25) and (12,35,37)[11] as well as a statement of the Pythagorean theorem for  the  sides  of  a  square:  "The  rope  which  is  stretched  across  the diagonal of a square produces an area double the size of the original square."[11] It also contains  the general  statement of  the Pythagorean theorem (for the sides of a rectangle): "The rope stretched along the length of the diagonal of a rectangle makes an area which the vertical and horizontal sides make together."[11]

According  to  mathematician  S.  G.  Dani,  the  Babylonian  cuneiform tablet Plimpton 322 written  ca.  1850 BCE[12] "contains  fifteen Pythagorean triples with quite large entries,  including (13500, 12709, 18541) which is a primitive triple,[13] indicating, in particular, that there was  sophisticated  understanding  on  the  topic"  in  Mesopotamia  in 1850  BCE.  "Since  these  tablets  predate  the  Sulbasutras  period  by several  centuries,  taking  into  account  the  contextual  appearance  of some  of  the  triples,  it  is  reasonable  to  expect  that  similar understanding would have been there in India."[14] Dani goes on to say:"As  the  main  objective  of  the Sulvasutras was  to  describe  the constructions of altars and the geometric principles involved in them, the subject of Pythagorean triples, even if it had been well understood may  still  not  have  featured  in  theSulvasutras.  The  occurrence  of  the triples  in the Sulvasutras is comparable to mathematics that one may encounter  in an  introductory book on architecture or another similar applied  area,  and  would  not  correspond  directly  to  the  overall knowledge  on  the  topic  at  that  time.  Since,  unfortunately,  no  other contemporaneous sources have been found  it may never be possible to settle this issue satisfactorily."[14]

In  all,  three Sulba Sutras were  composed.  The  remaining  two, the Manava Sulba Sutra composed  by Manava (fl. 750-650  BCE)  and theApastamba Sulba Sutra,  composed  by Apastamba (c.  600  BCE), contained results similar to the Baudhayana Sulba Sutra.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

In  the Bakhshali manuscript,  there  is  a  handful  of  geometric  problems (including  problems  about  volumes  of  irregular  solids).  The  Bakhshali manuscript  also  "employs  a decimal  place  value  system with a dot  for zero."[15] Aryabhata's Aryabhatiya (499  CE)  includes  the  computation  of areas  and  volumes.Brahmagupta wrote  his  astronomical  work Brāhma Sphuṭa Siddhānta in 628 CE. Chapter 12, containing 66 Sanskrit verses, was divided into two sections:  "basic  operations"  (including  cube  roots,  fractions,  ratio  and proportion, and barter) and "practical mathematics" (including mixture, mathematical series, plane figures, stacking bricks, sawing of timber, and piling of grain).[16] In the latter section, he stated his famous theorem on the  diagonals  of  a cyclic quadrilateral:[16]

Brahmagupta's theorem: If a cyclic quadrilateral has diagonals that are perpendicular to each other, then the perpendicular line drawn from the point  of  intersection  of  the  diagonals  to  any  side  of  the  quadrilateral always  bisects  the  opposite  side.Chapter 12 also included a formula for the area of a cyclic quadrilateral (a generalization of Heron's formula), as well as a complete description of rational triangles (i.e. triangles with rational sides and rational areas).………………………………………………………………….

Classical Period

Brahmagupta's formula: The area, A, of a cyclic quadrilateral with sides of lengths a, b, c, d, respectively, is given by

where s, the semiperimeter, given by:

Brahmagupta's Theorem on rational triangles: A triangle with rational sides 

for some rational numbers u, v and w  [17]

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Father of geometry- Euclid

Statue of Euclid in the Oxford University Museum of Natural History.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Woman teaching geometry. Illustration at the beginning of a medieval translation of Euclid's Elements, (c. 1310)

Euclid (c.  325-265  BC),  of Alexandria,  probably  a  student  of  one  of Plato’s  students,  wrote  a  treatise  in  13  books  (chapters),  titled The Elements of Geometry,  in which he presented geometry in an ideal axiomatic form,  which  came  to  be  known  as Euclidean geometry.  The treatise  is not a compendium of all  that  the Hellenistic mathematicians knew  at  the  time  about  geometry;  Euclid  himself  wrote  eight  more advanced  books  on  geometry.  We  know  from  other  references  that Euclid’s was not  the first elementary geometry  textbook, but  it was  so much  superior  that  the  others  fell  into  disuse  and  were  lost.  He  was brought  to  the  university  at  Alexandria  by Ptolemy I,  King  of  Egypt.The Elements began  with  definitions  of  terms,  fundamental  geometric principles  (called axioms or postulates),  and  general  quantitative principles (called common notions)  from which all  the rest of geometry could  be  logically  deduced.  Following  are  his  five  axioms,  somewhat paraphrased to make the English easier to read.

1.Any two points can be joined by a straight line.2.Any finite straight line can be extended in a straight line.3.A circle can be drawn with any center and any radius.4.All right angles are equal to each other

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Geometry  is  used  everywhere.  Everywhere  in  the  world  there  is geometry, mostly made by man. Most manmade structures today are in a form of Geometric. How, you ask? Well some examples would the CD, that is a 3-D circle and the case would be a rectangular prism. Buildings, cars, rockets, planes, maps are all great examples.

GEOMETRY IN DAILY LIFE

Here's an example on how the world uses Geometry in buildings and structure:-

1.This a pictures with some basic geometric structures. This  is a modern  reconstruction of  the  English  Wigwam.  As  you  can  there the  door  way  is  a  rectangle,  and  the wooden panels on the side of the house are made  up  of  planes  and  lines.  Except  for really planes can go on  forever. The panels are  also  shaped  in  the  shape  of  squares. The house itself is half a cylinder.(1)

2.Here  is another modern reconstruction  if of  a  English  Wigwam.  This  house  is  much similar  to  the  one  before.  It  used  a rectangle  as  a  doorway,  which  is  marked with the right angles. The house was made with  sticks  which  was  straight  lines  at  one point.  With  the  sticks  in  place  they  form squares  when  they  intercepts.  This  English Wigwam is also half a cylinder. (2)

3. This is a modern day skyscraper at MIT. The  openings  and  windows  are  all  made up  of  parallelograms.  Much  of  them  are rectangles  and  squares.  This  is  a parallelogram kind of building.

(3)

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

4. This is the Hancock Tower, in Chicago. With this image, we can show you more 3D shapes. As you can see the tower is formed by a large cube. The windows are parallelogram. The other structure is made  up  of  a  cone.  There  is  a  point  at  the  top where all the sides meet, and There is a base for it also which makes it a cone.

5. This  is  another building  at MIT.  this building is made up of cubes, squares and a sphere. The cube  is  the  main  building  and  the  squares  are the windows.  The doorways  are  rectangle,  like always. On this building There is a structure on the room that is made up of a sphere.

6.This is the Pyramids, in Indianapolis. The pyramids  are  made  up  of  pyramids,  of course,  and  squares.  There  are  also many 3D  geometric  shapes  in  these  pyramids. The building itself is made up of a pyramid, the windows a made up of tinted squares, and  the  borders  of  the  outside  walls  and windows  are  made  up  of  3D  geometric shapes.

7.  This  is  a  Chevrolet  SSR  Roadster Pickup.  This  car  is  built  with  geometry. The  wheels  and  lights  are  circles,  the doors are  rectangular prisms,  the main area for a person to drive and sit in it a half a sphere with the sides chopped off which  makes  it  1/4  of  a  sphere.  If  a person  would  look  very  closely  the person would see a  lot more shapes  in the car. Too many to list.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

SymmetrySymmetry in common usage generally conveys two primary meanings. The first is an imprecise sense of harmonious or aesthetically-pleasing proportionality and balance; such that it reflects beauty or perfection. The second meaning is a precise and well-defined concept of balance or "patterned self-similarity" that can be demonstrated or proved according to the rules of a formal system: by geometry, through physics or otherwise.

Leonardo  da  Vinci's Vitruvian  Man (1492) is  often  used  as  a  representation  of symmetry  in  the  human  body  and,  by extension, the natural universe.

Reflection symmetry,

Rotational  symmetry is  symmetry  with respect  to  some  or  all  rotations  in  m-dimensional Euclidean space

Helical  symmetry is  the  kind of  symmetry seen  in  such  everyday  objects  as  springs, Slinky toys, drill bits, and augers. It can be thought  of  as  rotational  symmetry  along with translation along the axis of rotation, the screw axis).

Symmetry in religious symbols

Symmetry in architecture (Eg. Qutub Minar, etc)

A drill bit with helical symmetry

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

IMPORTANCE OF GEOMETRYGeometry  must  be  looked  at  as  the  consummate,  complete  and paradigmatic reality given to us inconsequential from the Divine Revelation. These are the reasons why geometry is important:•It hones one's thinking ability by using logical reasoning.•It  helps  develop  skills  in  deductive  thinking  which  is  applied  in  all  other fields of learning.•Artists use their knowledge of geometry in creating their master pieces.•It is a useful groundwork for learning other branches of Mathematics.•Students with knowledge of Geometry will have sufficient skills abstracting from the external world.•Geometry  facilitates  the  solution  of  problems  from  other  fields  since  its principles are applicable to other disciplines.•Knowledge  of  geometry  is  the  best  doorway  towards  other  branches  of Mathematics.•It can be used in a wide array of scientific and technical field.

The  importance of Geometry  is  further  substantiated by  the  requirement that  it  is  incorporated  as  a  basic  subject  for  all  college  students.  An educated man has within his grasps mathematical skills  together with the other qualities that make him a gentleman. Finally, what is the importance of  Geometry?  From  a  philosophical  point  of  view,  Geometry  exposes  the ultimate essence of the physical world. 

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

GEOMETRY MATHEMATICIANS

EUCLID  PYTHAGORAS

RENE DESCARTS

HIBERT

C.F. GAUSS

CLIFFORD

ARYABHATTA

ARYABHATTA

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

How Is Geometry Used in Real Life?

Understanding of geometry takes years of study and involves many related sub-fields.

Geometry is the mathematics of space and shape, which is the basis of all things that exist. Understanding geometry is a necessary step in understanding how the world is built. Most people take geometry in high school and learn about triangles and vertical angles. The application of geometry in real life is not always evident to teenagers, but the reality is geometry infiltrates every facet of our daily living.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Geometry and ChildrenGeometry  is  not  generally  covered  in  grades  kindergarten  through eight, but children are introduced to shapes and spaces in a variety of ways.  In  initial  school  activities,  kindergarten  students  are  asked  to color  triangles  and  circles.  By  the  end  of  elementary  school,  most students  are  able  to  make  scale  drawings.  Students  are  able  to connect  locations  with  coordinates,  which  is  analytical  geometry. Visualization and spatial reasoning skills assist students with problem solving.

Geometry in the Real World

In the real world, geometry  is everywhere. A few examples  include buildings,  planes,  cars  and  maps.  Homes  are  made  of  basic geometric  structures.  Some  skyscrapers  have  windows  made  of rectangles and squares. The John Hancock Tower in Chicago is made of a long cube. On a car, the wheels and lights are circles. The great pyramids of Egypt of made of geometric shapes.

Symmetry in ScienceSymmetry  is  a  sense  of  harmony,  proportion  and  balance.  It reflects beauty and perfection.  In  the scientific sense, symmetry is  defined  as  a  sense of  self-similarity  through  rules of  a  formal system,  such  as  geometry  or  physics.  Symmetry  is  the  basic concept in the study of biology, chemistry and physics. Systems of laws  in  physics  and  molecules  in  stereo  chemistry  reflect  the concepts  of  geometry.  Some  have  difficulty  grasping  how geometry  relates  to  sciences.  Since  the  1870s,  the  study  of transformation  and  related  symmetry  are  parallel  to  geometric studies.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Along  with  new  manufacturing,  several  changes  have  been  made including a re-designed upper control arm and other updates to weight, strength  and  function.

“Increased demand for pre-engineered IRS suspensions has prompted us to update and continue our line of Advanced Geometry Systems for the 1999-2004 SVT Cobra", according to Kenny Brown.  “The quantum-leap forward in technology that the Cobra IRS represents provides the perfect platform  for open-track enthusiasts who can now find  these  cars  for  a reasonable  price.   We  raced  IRS  Cobras  starting  in  1999  all  the  way through 2004, and we still have several customers who compete with it today.   We  know  exactly  how  to  make  that  architecture  work  for  the street  and  race  track,  and  we  are  the  only  company  that  has  ever supported  it  whole  heartedly".

Kenny’s Advanced Geometry  Independent Rear Suspension  is designed to  replace  the  OEM  suspension  components  offering;  racing-inspired suspension geometry, 40 percent reduction in weight, and conversion to coil-over  shock  design.   A  complete  independent  rear  suspension upgrade  consists  of;  Tubular  Rear  Lower  Control  Arms,  Tubular  Rear Upper  Control  Arms,  IRS  Rear  Steer  Kit,  IRS  Forward  Torque  Brace, Aluminum  IRS  Differential  Bushings,  and  Coil-Over  Rear  Upper  Shock Mounts. There are also a range of coil-over shocks available depending on the application.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

The  extended  performance  benefits  of  the  Kenny  Brown  Advanced Geometry  Independent  Rear  Suspension  are;  improved  handling, reduced  wheel-hop,  eliminates  rear  steer,  reduced  weight,  improved strength,  and  clearance  for  coil-over  shocks.   Everything  you  need  to transform  the  car  for  aggressive  street  or  full  blown  open-track  is available in one simple system, or combination of components depending upon  your  application.

Tubular Rear Upper and Lower Control Arms are designed to replace the 1999-2004  Cobra  OEM  control  arms  and  are  available  for  street  and competition applications.  The tubular rear control arms feature urethane bushings  for  reduced  deflection  and  upgraded  rear  sway  bar  links  for improved  strength  and  performance.   The  new  control  arms  eliminate the  rear  spring  seats,  allowing  for  conversion  to  coil-over  shocks  and much  greater  adjustability.

IRS Rear Steer Kit is designed to replace the OEM rear tie rods and inner tie-rod  ends  with  heavy-duty  competition-grade  hardware.   The  rear steer kit eliminates the rear steer factor allowing the car to exit corners better  with  improved  grip  and  helps  to  eliminate  wheel-hop.

IRS Forward Torque Brace  is designed to strengthen the area where the differential  assembly  mounts  to  the  IRS  carrier  assembly.   The  forward torque  brace  improves  traction  and  helps  eliminate  wheel-hop.

Aluminum  IRS  Differential  Bushing  Kit  is  designed  to  replace  the  OEM rubber bushings to eliminate deflection at the rear differential housing.   The aluminum bushings improve traction, help eliminate wheel-hop and act as a heat soak to pull critical temperature away from the fragile rear differential.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Coil-Over  Rear  Upper  Shock  Mounts  attach  at  the  OEM rear  upper  shock  mount  and  allow  for  fitment  of competition coil-over rear shocks.  The rear shock mounts are  bolt-on  and  will  work  for  most  aftermarket  coil-over shocks.   When  running  coil-over  shocks  in  the  rear  it  is strongly recommended that you also use the Heavy-Duty Rear  Shock  Tower  Brace.

Advanced  Geometry  Independent  Rear  Suspension Components  for  1999-2004  SVT  Cobra  Mustangs  along with  other  world-class  chassis  and  suspension components for the popular SN-95 platform are available through  authorized  Kenny  Brown  Performance  Parts Dealers,  online  at  www.kennybrown.com  or  by  calling Kenny Brown Performance direct – (855) 847-4477.

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

GEOMETRY AND EARTHAn  interesting  topic  in  3-dimensional  geometry  is Earth  geometry. The  Earth  is  very  close  to  a  sphere  (ball)  shape,  with  an  average radius of 6371 km. (It's actually a bit flat at the poles, but only by a small amount).

Earth geometry is a special case of spherical  geometry. When we measure distances that a boat or aircraft travels between any 2 places on the Earth, we do not use straight line distances, since we need to go around the curve of the Earth from one place to another. (Think about the direct or straight-line distance between London and Sydney, through the Earth. That's going to be a lot less than the distance a plane flies around the surface of the Earth.)

Let's start with an example. What distance does a plane fly between Beijing, China and Perth, Western Australia?

Geometry ?

SITIKANThA MISHRA Class-VIII Section-A Roll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37

Thanking you

SITIKANThA MISHRA Class-VIIISection-ARoll No-37