Μελέτη Κυματώσεων στο Γραφένιο

Παρίσης Ευθύμιος

Νοέμβριος 2014

Πανεπιστήμιο ΠατρώνΔιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Επιστήμης και Τεχνολογίας Πολυμερών

Δομική μονάδα για τις αλλοτροπικές μορφές του άνθρακα.

Απομόνωση το 2004 από τους Α. Geim και Κ. Novoselov – βραβείο Nobel το 2010.

Μονατομικό επίπεδο ατόμων άνθρακα διατεταγμένων σε εξαγωνικό πλέγμα με βάση

δύο ατόμων (1,2) ανά μοναδιαία κυψελίδα.

Διανύσματα βάσης γραφενίου:

και

Γραφένιο - Κρυσταλλική δομή

1

3α 3, α

2 2cc

cca

2

3α 3, α

2 2cc

cca

αcc=1.42 Å

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνβάσης 600

Αντίστροφος χώρος και 1η ζώνη Brillouin του γραφενίου

2 3

11 2 3

2πa xa

b =a a xa

3 1

2

1 2 3

2πa xa

b =a a xa

Διανύσματα αντίστροφου χώρου:

και

Αντίστροφος χώρος: παράγεταιαπό τα πέρατα των διανυσμάτων

1 2hkG = h b +k b

1η ζώνη Brillouin:■ Γ: κέντρο■ Κ, Κ΄, Μ: σημεία υψηλής συμμετρίας.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων 1200

όπου h, k οι δείκτες Miller.

Υβριδισμός ατόμων άνθρακα στο επίπεδο γραφένιο

Άτομο άνθρακα: 6 ηλεκτρόνια –καταλαμβάνουν τα 1s, 2s και 2p ατομικάτροχιακά.

spn υβριδισμός: μίξη ενός s τροχιακού με(n=1,2,3) p ατομικά τροχιακά.

Επίπεδο γραφένιο: sp2 υβριδισμός - σ1, σ2, σ3: υβριδικά τροχιακά - γραμμικόςσυνδυασμός των 2s, 2px και 2py ατομικώντροχιακών - γωνία 1200 μεταξύ τους στοεπίπεδο του γραφενίου.

pz τροχιακά: κάθετα στο επίπεδο του γραφενίου (π τροχιακά) - πλευρική αλληλεπίδρασημε τα γειτονικά pz τροχιακά.

Επίπεδο γραφένιο: δεν αλληλεπιδρούν με τα s, px και py τροχιακά - Υπεύθυνα για τιςηλεκτρονικές ιδιότητες του γραφενίου.

J. McMurry, "Organic Chemistry", Brooks/Cole Publishing Company (1996).

Μέθοδος γραμμικού συνδυασμού ατομικών τροχιακών (Linear Combination of Atomic Orbitals - LCAO)

Χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger H

ψ: γραμμικός συνδυασμός ενός συνόλου ορθοκανονικοποιημένων συναρτήσεων βάσηςφn

Ολοκληρώματα επικάλυψης: 3m n mnr r d r

n nn

r c r

0mn mn nn

H E c

Σύστημα n γραμμικών, ομογενών εξισώσεων ως προς τις σταθερές cn

Ολοκληρώματα μεταφοράς: 3mn m nH m H n r H r d r

Συναρτήσεις βάσης φn: εντοπισμένα ατομικά τροχιακά

LCAO στην περίπτωση του γραφενίου

● Κυματοσυνάρτηση ψ(r): γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών.

● Αλληλεπίδραση μόνο μεταξύ τωνπρώτων γειτόνων-το άθροισμαπεριορίζεται στις γειτονικές κυψελίδες τηςκυψελίδας αναφοράς (άτομα 1 και 2)

● Θεώρημα Bloch: συσχέτιση τωνσταθερών α, b, c, …. των τροχιακών τωνγειτονικών κυψελίδων με τις σταθερές τωντροχιακών της κυψελίδας αναφοράς.

Σύστημα 8 εξισώσεων-Χαμιλτονιανή μήτρα διαστάσεων 8x8

Άθροισμα πάνω σε κάθε διάνυσμα θέσης μοναδιαίας κυψελίδας του πλέγματος R.

1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2

x y z x y z

n n n n n n n nns np np np ns np np np

n

r a b c d a b c d

Στοιχεία της Χαμιλτονιανής μήτρας στην περίπτωση του γραφενίου (1)

Διαγώνια στοιχεία: ενέργεια των επιπέδων s και p ατομικών τροχιακών του ατόμουάνθρακα.

εs=-19.37 eV

εp=-11.07 eV

Ερμητιανή μήτρα:mn nmH H

E. N. Economou, “The Physics of Solids. Essentials and Beyond”, Springer-Verlag (2010).

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

x y z

x x x x y x z

y y x y y y z

z z x z y z z

x y z

x x x y x z x

y x y y y z y

z x z y z z z

s ss sp sp sp

p p s p p p p p p

p p s p p p p p p

p p s p p p p p p

mn

ss p s p s p s s

sp p p p p p p p

sp p p p p p p p

sp p p p p p p

H H H H

H H H H

H H H H

H H H HH

H H H H

H H H H

H H H H

H H H H

0 0 p

Στοιχεία της Χαμιλτονιανής μήτρας στην περίπτωση του γραφενίου (2)

Μη διαγώνια στοιχεία: περιέχουν την ενέργεια αλληλεπίδρασης (eV) μεταξύ τωντροχιακών που ανήκουν σε γειτονικά άτομα άνθρακα και απέχουν απόσταση d μεταξύτους:

2

2mn mn

e

Vm d

Οι τιμές του αριθμητικού παράγοντα ηmn για τα s, px, py και pz ατομικά τροχιακάυπολογίζονται από τις εκφράσεις:

W. A. Harrison, “Electronic Structure and the Properties of Solids”, W.H. Freeman, San Francisco (1980).

,

,

2 2

,

,

1.32,

1.42 ,

2.22 0.63 1

2.85 ,

, , ,

i

i i

i j

s s

s p i

p p i i

p p i j

l

l l

l l i j

i j x y z

Στοιχεία της Χαμιλτονιανής μήτρας στην περίπτωση του γραφενίου (3)Άτομα γραφενίου στο επίπεδο xy

Συνημίτονα κατεύθυνσης για γειτονικάάτομα (1,2) κατά μήκος του άξονα x :

1

0

x

y z

l

l l

σ συμμετρία

π συμμετρία

E. N. Economou, “The Physics of Solids. Essentials and Beyond”, Springer-Verlag (2010).

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

10.0451.32

10.8061.42

16.8942.22

4.7940.63

0

x

x x

y y z z

x z x z

ss

e

sp

e

p p

e

p p p p

e

sp sp p p

Vm d d

Vm d d

Vm d d

V Vm d d

V V V

Στοιχεία της Χαμιλτονιανής μήτρας στην περίπτωση του γραφενίου (4)Απόκλιση z των ατόμων του ενός υποπλέγματος του γραφενίου από το

επίπεδο xy

Άτομο 2 της μοναδιαίας κυψελίδας αποκλίνει από το επίπεδο xy κατά z σε σχέση με το 1

● Αλληλεπίδραση μεταξύ των τροχιακών των γειτονικών ατόμων 1 και 2: συνάρτηση τουύψους z:

'

2 2

'2 2 2 2 2

2

2

2

2

z=0 z 0

10.045

10.045 10.806

10.806

16.894

4.794

4.794

0

x

x

x x

y y

z z

x z x z

ss

ss sp

sps

p p

p p

p p

sp sp p p

Vz

V Vz z

V V

V

V

V

V V V

'

2 2 2 2

2 2'

22 2

'

22 2

'

2 2

2 2'

22 2

10.806

16.894 4.794

16.894 4.794

4.794

16.894 4.794

z

x x

x z

y y

z z

p

p p

p p

p p

p p

z

z z

zV

z

zV

z

Vz

zV

z

● Αλληλεπίδραση μεταξύ των τροχιακών τωνατόμων 1, 2΄ και 2΄΄: γενίκευση ως προς τηγωνία θ (=600).

2 2cos

z

2 2sin

z

z

Δομή ενεργειακών ζωνών του γραφενίου

Διαγωνοποίηση της 8x8 Χαμιλτονιανής μήτρας → ιδιοτιμές της ενέργειας.

Οκτώ ενεργειακές ζώνες – 4 δεσμικές (π και σ) και 4 αντιδεσμικές (π* και σ*).

Σημεία υψηλής συμμετρίας Κ1: οι π ζώνες αγωγιμότητας και σθένους εκφυλίζονται.

Γραμμική μορφή ενεργειακής διασποράς για ενέργειες κοντά στην ενέργεια Fermi.

Κλίση ενεργειακής διασποράς στα σημεία Κ1 και Κ΄1 - Ταχύτητα Fermi στο γραφένιο:c/300

Μεταβολή της δομής των ενεργειακών ζωνών συναρτήσει της απόκλισηςτων ατόμων του ενός υποπλέγματος κατά z από το επίπεδο xy

► Μείωση ενεργειακής διαφοράς μεταξύ των δεσμικών (π,σ) και αντιδεσμικών (π*,σ*) ενεργειακών ζωνών► Οριζόντιες ενεργειακές ζώνες με αύξηση του z.

Πυκνότητα καταστάσεων στο γραφενίο - DOS

Πυκνότητα καταστάσεων: πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στηνενεργειακή περιοχή μεταξύ Ε και Ε+dE

Ανωμαλίες van Hove: ανωμαλίες στην κλίση της καμπύλης πυκνότητας καταστάσεων

Σημεία της πρώτης ζώνης Brillouin στα οποία η ενεργειακή διασπορά παρουσιάζειτοπικά μέγιστα και ελάχιστα (Γ, Κ1, Κ1΄, Μ1 και Μ2)

Μεταβολή της πυκνότητας καταστάσεων συναρτήσει της απόκλισης τωνατόμων του ενός υποπλέγματος κατά z από το επίπεδο xy

► Εμφάνιση έντονων κορυφών DOS με αύξηση του z → οριζόντιες ενεργειακές ζώνες.

Ποσοστό συμμετοχής ατομικών τροχιακών στη δημιουργία της πενεργειακής ζώνης

Διαγωνοποίηση της 8x8 Χαμιλτονιανής μήτρας → ιδιοδιανύσματα της ενέργειας.

Τετράγωνο συνιστωσών κάθε ιδιοδιανύσματος → ποσοστό συμμετοχής του αντίστοιχουατομικού τροχιακού στη δημιουργία κάθε ενεργειακής ζώνης.

Κανονικοποιημένο ποσοστό συμμετοχής κάθε ενός από τα 4 τροχιακά ενός ατόμου τηςμοναδιαίας κυψελίδας στη δημιουργία της π ενεργειακής ζώνης για z=0-2 Å.

Υπολογισμός ηλεκτρονικής ενέργειας του γραφενίου

Ενεργειακή ζώνη: δύο ηλεκτρόνιααντίθετου spin

σ και π ζώνες πλήρως κατειλημμένεςστη θεμελιώδη κατάσταση (0 Κ)

■ π ενεργειακή ζώνη: ελάχιστο γιααπόκλιση του ατόμου τουυποπλέγματος 2 από το επίπεδο, ίση μεz=0.9 Å

▲ π και σ ενεργειακές ζώνες: συνεχήςαύξηση της ηλεκτρονικής ενέργειας z=0-2.0 Å

Απωστική ενέργεια μεταξύ των ατόμων άνθρακα στο γραφένιο (1)

Ab initio καμπύλη της δυναμικής ενέργειας για την παραμόρφωση του δεσμού μεταξύατόμων άνθρακα στο επίπεδο του γραφενίου.

Δυναμικό Morse: 02

1a r r

sV r D e

τιμές παραμέτρων:1

0

5.7

1.96

1.42

D eV

r

Å

Å

r: απόσταση μεταξύ γειτονικών ατόμων άνθρακαστο πλέγμα του γραφενίου

r=1.42 Å: Ελάχιστο δυναμικής ενέργειας

G. Kalosakas, N. N. Lathiotakis, C. Galiotis & K. Papagelis, J. Appl. Phys. 113, 134307 (2013).

Θετικά φορτισμένοι πυρήνες → απωστικές δυνάμεις μεταξύ των ατόμων

Ολική ενέργεια μεταξύ ατόμων άνθρακα στο γραφένιο: ηλεκτρονική + απωστικήενέργεια.

Συνάρτηση απωστικής ενέργειας μεταξύ ατόμων άνθρακα στο γραφένιο:

Απωστική ενέργεια μεταξύ των ατόμων άνθρακα στο γραφένιο (2)

111

c rAV e

r

Α1=150 eV, c1=2.1: παράμετροι που καθορίστηκαν με fitting στα ab initio δεδομένα.

Απωστική ενέργεια μεταξύ των ατόμων άνθρακα στο γραφένιο (3)

Συνάρτηση V1: συγκλίνει σε μια τιμή για τουλάχιστον 10 γειτονικά άτομα C.

Μείωση της απωστικής ενέργειας συναρτήσει του z.

Α1=150 eV, c1=2.1111

c rAV e

r

Ολική ενέργεια ανά άτομο άνθρακα στο γραφένιο συναρτήσει τηςαπόκλισης των ατόμων του ενός υποπλέγματος κατά z από το επίπεδο

xy

Ολική ενέργεια μεταξύ ατόμων άνθρακα στο γραφένιο: ηλεκτρονική + απωστική ενέργεια

Συνεχής αύξηση ολικής ενέργειας με το z για z=0-3 Å : επίπεδη (z=0) διαμόρφωση η πιοευνοϊκή ενεργειακά.

Κυματώσεις ημιτονοειδούς μορφής σε φύλλα γραφενίου

Μελέτη κυματώσεων ημιτονοειδούς μορφής σε φύλλα γραφενίου πεπερασμένωνδιαστάσεων (NxN).

Κυματώσεις ημιτονοειδούς μορφής κατά την x και y διεύθυνση των πλεγμάτων.

Μοναδιαία κυψελίδα: περιέχει (NxN) άτομα άνθρακα.

4 τροχιακά ανά άτομο C → Χαμιλτονιανή μήτρα (4xΝ2)x(4xΝ2) διαστάσεων.

2sin

xz A

Περιοδικές συνοριακές συνθήκες στα πλέγματα γραφενίου ΝxΝ

Απαλοιφή φαινομένων πεπερασμένου μεγέθους → χρήση περιοδικών συνοριακώνσυνθηκών.

Συνοριακά (γκρι) άτομα: ισοδύναμα με τα (μαύρα) άτομα άνθρακα που βρίσκονται στηναντίθετη άκρη του πλέγματος.

Συνθήκη για το μήκος κύματος λ για κυματώσεις κατά τη x διεύθυνση των πλεγμάτωνγραφενίου:

n=1,2,3,…

Kατά τη y διεύθυνση: ΟΚ΄ → ΟΚ

2n OK

Κατασκευή Χαμιλτονιανής μήτρας:

π.χ. τροχιακά του ατόμου 1, αλληλεπιδρούν με τροχιακά τωνατόμων 2, 11, 10

Υπολογισμός ηλεκτρονικής και απωστικής ενέργειας για κυματώσειςημιτονοειδούς μορφής στα πλέγματα γραφενίου ΝxΝ

Ηλεκτρονική ενέργεια

Διαγωνοποίηση Χαμιλτονιανής μήτρας (4xΝ2)x(4xΝ2) διαστάσεων → 4xΝ2 ενεργειακέςιδιοτιμές

♦ Ηλεκτρονική ενέργεια ανά άτομο άνθρακα: άθροισμα των μικρότερων 2xΝ2

ενεργειακών ιδιοτιμών/αριθμός ατόμων πλέγματος.

Απωστική ενέργεια

Πλέγμα γραφενίου, πλευρικών διαστάσεων 4xN.

♦ Απωστική ενέργεια ανά άτομο άνθρακα: απωστική ενέργεια του συνόλου των ατόμωνγια ένα μήκος κύματος/αριθμός ατόμων που περιέχονται στο μήκος κύματος.

Διαγράμματα ολικής ενέργειας

2sin

xz A

Kατά την x διεύθυνση Kατά την y διεύθυνση

Χαρακτηριστικά των κυματώσεων κατά την x διεύθυνση των πλεγμάτων

1.418.87.7/1.427 αcc=38.3418

--0.82/1.654 αcc=76.6818

1.418.60/1.57.51/1.324 αcc=34.0816

--0.53/1.348 αcc=68.1616

--8.94/1.221 αcc=29.8214

--0.69/1.242 αcc=59.6414

--0.71/0.39 αcc=12.7812

--1.75/0.512 αcc=17.0412

1.4113.18/1.210.81/1.118 αcc=25.5612

--1.11/1.236 αcc=51.1212

1.419.612/1.08.15/0.815 αcc=21.310

--0.27/0.730 αcc=42.610

α για το οποίο ηολική ενέργεια έχει

ελάχιστη τιμή (Å)

Ενεργειακή διαφοράανά άτομο άνθρακα

από την επίπεδηδιαμόρφωση γιαμεταβολή του α(meV) / Πλάτος

κυμάτωσης (Å)

Ενεργειακή διαφορά ανάάτομο άνθρακα από την

επίπεδη διαμόρφωση(meV)/ Πλάτος

κυμάτωσης (Å)

Μήκος κύματος(Å)

Μέγεθοςπλέγματος (Ν)

Χαρακτηριστικά των κυματώσεων κατά την y διεύθυνση των πλεγμάτων

--8.74/0.819.6716

--1.76/1.039.3516

1.415.36/0.75.21/0.617.2114

--1.2/0.834.4314

--2.54/0.414.7512

--1.96/0.829.5112

--0.66/0.524.5910

α για το οποίο ηολική ενέργεια

έχει ελάχιστη τιμή

(Å)

Ενεργειακή διαφορά ανά άτομοάνθρακα από την επίπεδη

διαμόρφωση για μεταβολή του α

(meV) / Πλάτος κυμάτωσης (Å)

Ενεργειακή διαφορά ανάάτομο άνθρακα από την

επίπεδη διαμόρφωση (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης (Å)

Μήκος κύματος

(Å)

Μέγεθος πλέγματος

(Ν)

Κυματώσεις ελεύθερων φύλλων γραφενίου - σύγκριση αποτελεσμάτων

LCAO-κυματώσεις ημιτονοειδούς μορφής μήκους

κύματος 20-40 Å και πλάτους 0.8-1.1 Å.

Παρούσα εργασία

Προσομοίωση Monte Carlo. Κυματώσεις μέσου

πλευρικού μεγέθους 80 Å τυχαίου

προσανατολισμού και ύψους 0.7 Å.

A. Fasolino, J. H. Los, M. I.

Katsnelson, "Intrinsic ripples in

graphene", Nature Materials 6, 858 -

861 (2007).

Πειραματικά αποτελέσματα περίθλασης

ηλεκτρονίων. Κυματώσεις πλευρικού μεγέθους 50-

100 Å τυχαίου προσανατολισμού και ύψους 5 Å.

J. Meyer, A. K. Geim, M. I.

Katsnelson, K. S. Novoselov, T. J.

Booth and S. Roth. "The structure of

suspended graphene sheets",

Nature, 446, 60 (2007).

ΑποτελέσματαΑναφορά

Γραφένιο σε υποστρώματα

«Εγγενείς» κυματώσεις στο γραφένιο: οφείλονται αμιγώς στην αλληλεπίδραση μεταξύτων ατόμων άνθρακα.

Φύλλα γραφενίου σε υποστρώματα: επαγόμενες κυματώσεις λόγω της αλληλεπίδρασήςτους με το υπόστρωμα.

Αλληλεπίδραση γραφενίου - υποστρώματος: εξαρτάται από το είδος των δεσμώνπου αναπτύσσονται μεταξύ τους - επάγει παραμόρφωση στο γραφένιο → εμφάνισηκυματώσεων στη δομή του.

Εικόνα STM γραφενίου σε υπόστρωμα SiO2

V. Geringer, M. Liebmann, T. Echtermeyer, S. Runte, M. Schmidt, R. Rückamp, M. Lemme & M. Morgenstern, Phys. Rev. Lett., 102, 076102 (2009).

Αλληλεπίδραση van der Waals μεταξύ των ατόμων του γραφενίου και του επίπεδουυποστρώματος SiO2.

Επίπεδο γραφένιο σε επίπεδο υπόστρωμα SiO2 (1)

Αλληλεπίδραση ατόμου άνθρακα-ατόμου υποστρώματος: δυναμικό Lennard-Jones

1 2

6 12LJ

C CW r

r r

Ομογενής δομή γραφενίου και υποστρώματος:

g s

LJ s g s g

A V

W W dV dA

● ρs αριθμός ατόμων υποστρώματος ανά nm3

● rg αριθμός ατόμων άνθρακα ανά nm2 γραφενίου● Vs όγκος του υποστρώματος● Ag εμβαδόν επιφάνειας φύλλου γραφενίου

Επίπεδο γραφένιο σε επίπεδο υπόστρωμα SiO2 (2)

● UvdW ενέργεια αλληλεπίδρασης ανά nm2

● z απόσταση φύλλου γραφενίου από την επιφάνεια του υποστρώματος● h0 απόσταση ισορροπίας φύλλου γραφενίου από την επιφάνεια του υποστρώματος

(0.4-0.9 nm)● Γ0 ενέργεια συνοχής ανά nm2 (0.6 eV/nm2)

Δυναμικό αλληλεπίδρασης μεταξύ μιας επίπεδης μονατομικής επιφάνειας και τηςεπίπεδης επιφάνειας του υποστρώματος, για μικρές αποστάσεις από την επιφάνεια τουυποστρώματος z

3 9

0 00

3 1

2 2vdW

h hU z

z z

1/6

0 2 12 / 5h C C

30 1 0/ 9s gC h

Z. H. Aitken & R. Huang, J. Appl. Phys. 107, 123531 (2010).

Φύλλα γραφενίου με κυματώσεις σε επίπεδο υπόστρωμα SiO2

Κυματώσεις φύλλων γραφενίου της μορφής 0

2sing

xz x h A

Van der Waals αλληλεπίδραση γραφενίου – υποστρώματος: ολοκλήρωση τηςαλληλεπίδρασης ενός ατόμου άνθρακα με το υπόστρωμα, για όλα τα άτομα ενόςπλήρους μήκους κύματος.

2 4

0

0 00

1 27 6751

4 8vdW vdW g

A AU z U z dx

h h

ενέργεια αλληλεπίδρασης ανά nm2 για μήκη κύματος μεγάλα σε σχέση με το μήκος τωνδεσμών στο γραφένιο

Ολική ενέργεια φύλλων γραφενίου με κυματώσεις σε επίπεδουπόστρωμα SiO2

Ολική ενέργεια φύλλων γραφενίου με κυματώσεις κατά τη x διεύθυνση σεεπίπεδο υπόστρωμα SiO2

7.7/1.4-

1.87/0.9-

27 αcc=38.3418

7.51/1.3-

2.55/0.8-

24 αcc=34.0816

8.94/1.26.41/1.0

4.52/0.91.16/0.6

21 αcc=29.8214

0.71/0.3-

0.43/0.2-

9 αcc=12.7812

1.75/0.5-

1.18/0.4-

12 αcc=17.0412

10.81/1.18.82/1.0

7.09/0.93.13/0.7

18 αcc=25.5612

8.15/0.86.96/0.8

5.91/0.73.41/0.5

15 αcc=21.310

Ενεργειακή διαφοράανά άτομο άνθρακα

από την επίπεδηδιαμόρφωση για

ελεύθερο γραφένιο(meV)/ Πλάτοςκυμάτωσης (Å)

Ενεργειακή διαφοράανά άτομο άνθρακα

από την επίπεδηδιαμόρφωση γιαh0=0.8nm (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης(Å)

Ενεργειακή διαφοράανά άτομο άνθρακα

από την επίπεδηδιαμόρφωση γιαh0=0.6nm (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης(Å)

Ενεργειακή διαφοράανά άτομο άνθρακα

από την επίπεδηδιαμόρφωση γιαh0=0.4nm (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης(Å)

Μήκοςκύματος (Å)

Μέγεθος πλέγματος(Ν)

Ολική ενέργεια φύλλων γραφενίου με κυματώσεις κατά την y διεύθυνσησε επίπεδο υπόστρωμα SiO2

8.74/0.87.56/0.76.76/0.70.43/0.619.6716

1.76/1.0-0.02/0.2-39.3516

5.21/0.64.57/0.64.01/0.62.74/0.517.2114

1.2/0.8-0.03/0.3-34.4314

2.54/0.42.26/0.42.04/0.41.34/0.414.7512

1.96/0.8-0.42/0.5-29.5112

0.66/0.5-0.01/0.3-24.5910

Ενεργειακήδιαφορά ανά άτομοάνθρακα από την

επίπεδηδιαμόρφωση για

ελεύθερο γραφένιο(meV)/ Πλάτοςκυμάτωσης (Å)

Ενεργειακή διαφοράανά άτομο άνθρακα

από την επίπεδηδιαμόρφωση γιαh0=0.8nm (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης(Å)

Ενεργειακήδιαφορά ανά άτομοάνθρακα από την

επίπεδηδιαμόρφωση γιαh0=0.6nm (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης(Å)

Ενεργειακήδιαφορά ανά άτομοάνθρακα από την

επίπεδηδιαμόρφωση γιαh0=0.4nm (meV)/

Πλάτος κυμάτωσης(Å)

Μήκος κύματος

(Å)

Μέγεθος

πλέγματος (Ν)

Κυματώσεις φύλλων γραφενίου σε υπόστρωμα SiO2 - σύγκρισηαποτελεσμάτων

Πειραματικά αποτελέσματα STM, AFM. Κυματώσεις

ύψους 1.9 Å.

M. Ishigami, J. H. Chen, W. G. Cullen, M. S. Fuhrer,

and E. D. Williams, "Atomic Structure of Graphene

on SiO2", Nano Letters 7 (6) (2007).

Πειραματικά αποτελέσματα STM. Κυματώσεις

ύψους 0.5 Å και πλευρικού μεγέθους 10 nm.

E. Stolyarova, K. T. Rim, S. Ryu, J. Maultzsch, P. Kim,

L. E. Brus, T. F. Heinz, M. S. Hybertsen, and G.

W. Flynn, "High-resolution scanning tunneling

microscopy imaging of mesoscopic

graphene sheets on an insulating surface",

PNAS, 104 (22) (2008).

ΑποτελέσματαΑναφορά

LCAO-κυματώσεις ημιτονοειδούς μορφής μήκους

κύματος 20-30 Å και πλάτους 0.7-0.9 Å.

Παρούσα εργασία

Παρατηρήσεις για μελλοντικές μελέτες

● Κυματώσεις της δομής του γραφενίου μη περιοδικές

● Αποτελέσματα STM και AFM: η επιφάνεια του υποστρώματος SiO2 εμφανίζειδιακυμάνσεις τυχαίου προσανατολισμού και μέσου ύψους 2.2-3.1 Å → Η δομή φύλλωνγραφενίου προσαρμόζεται στη μορφολογία του υποστρώματος, εμφανίζονταςδιακυμάνσεις ύψους 1.9-10 Å.

Εικόνα AFM επιφάνειαςυποστρώματος SiO2

Η παρούσα εργασία έγινε στο πλαίσιο του προγράμματοςΘαλής "Graphenecomp", συγχρηματοδοτούμενου από την Ελλάδα και την

Ευρωπαϊκή Ένωση δια μέσω του προγράμματος ΕΣΠΑ 2007-2013.

V. Geringer, M. Liebmann, T. Echtermeyer, S. Runte, M. Schmidt, R. Rückamp, M. Lemme & M. Morgenstern, Phys. Rev. Lett., 102, 076102 (2009).