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8/18/2019 GUÍA Conceptos de Física Cuántica.

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CUANTOS DE RADIACIÓN: Todas las ondas electromagnéticas, incluyendo la luz,tienen una naturaleza dual. Cuando viajan por el espacio, actúan como ondas y dan

origen a efectos de interferencia y de difracción. Cuando la radiación electromagnética interactúacon los átomos y las moléculas, el haz se comporta como ujo de corpúsculos energéticosllamados fotones o cuantos de luz.

!a energ"a de cada fotón depende de su frecuencia# $o de la longitud de onda %&.' de laradiación en el haz:

(nerg"a del fotón ) hf )hc

λ

*onde h ) +.++ - /012 3 ∙ s es una constante de naturaleza conocida como constante de

4lanc5.

EFECTO FOTOELÉCTRICO: Cuando la luz incide so6re una super7cie, 6ajo ciertas condiciones sedesprenderán electrones 8uponga 9ue un fotón de energ"a hf choca contra un electrón 9ue seencuentra en o próimo a la super7cie del material la interacción, el fotón trans7ere toda suenerg"a al electrón. !a función de tra6ajo, el tra6ajo m"nimo re9uerido para ;i6erar un electrón de

la super7cie, es entonces

hf-W min)=s e

*onde =s es el potencial frenado.

4ara cual9uier super7cie, la longitud de onda de la luz de6e ser losu7cientemente pe9ue?a para 9ue la energ"a del fotón hf sea lo su7cientementegrande para desprender al electrón. (n la longitud de onda um6ral $o frecuencia', laenerg"a del fotón es casi igual a la función de tra6ajo. 4ara un metal ordinario lalongitud de onda um6ral cae en el rango del visi6le o del ultravioleta !os rayos @desprenden fotoelectrones, los fotones del infrarrojo o calor"7cos nunca desprenderánelectrones.


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$.1 e='$1.6×10

−19J

1eV ')(6.63×10−34 J ∙ s)(3×108m /s)

λ

) L2/ nm

21.L NPué diferencia de potencial se de6e aplicar para detener alfotoelectrón más rápido emitido por una super7cie de n"9uel 6ajo la acciónde luz ultravioleta de longitud de onda // nmO !a función de tra6ajo parael n"9uel es de L./ e=

(nerg"a del fotón )hc

λ )(6.63×10−34 J ∙ s)(3×108 m /s)

2000×10−10

m )K.KL ×10

−19

3)+.e=

(ntonces, de la ecuación del efecto fotoeléctrico, la energ"a del electrónemitido con mayor rapidez es

+. e= Q L./ e= ) ./ e=

(ntonces se re9uiere un potencial retardador negativo. (ste es el potencialde frenado

21.+ N(mitirá fotoelectrones una super7cie de co6re, con una función detra6ajo de 2.2 e=, cuando se ilumina con luz visi6le. ;gual 9ue en elpro6lema 21.2,

Dm6ral λ )hc

W min=¿

(6.63×10−34 J ∙ s)(3×108 m /s)

4.4 (1.60×10−19) J ) R nm

4or lo tanto, la luz visi6le $2// nm a M// nm' no puede desprenderelectrones del co6re.

21.M Dn haz láser $ λ=633nm¿ del tipo dise?ado para 9ue lo usen los

estudiantes tiene una intensidad de 1 m


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21.R (n un proceso llamado producción de pares, un fotón se transforma enun electrón y en un positrón. Dn positrón tiene la misma masa 9ue unelectrón, pero su carga es Ge .NCuál es la m"nima energ"a 9ue de6e tener unfotón si ocurre este procesoO.NCuál es la correspondiente longitud de ondaO

(l fotón tendrá una energ"a e9uivalente a la de la masa en la cual setransforma, 9ue es

$Am'c )$'$K. ×10−31

kg¿(3×108m / s) ).+2 ×10−13

3 )./Se=

(ntonces, como esta energ"a de6e ser igual a hcB

)hc

1.64×10−13

J ). ×10

−12m

(sa longitud de onda está en la región de los rayos @ muy cortos, la regiónde los rayos gamma

21.KNPué longitud de onda de6e tener la radiación electromagnética para9ue un fotón en un haz tenga el mismo 9ue el de un electrón 9ue se mueve

con una rapidez de × /L mBsO

8e re9uiere 9ue $mv'electrón)$hB'fotón. *e ello,

)h

mv )6.63×10

−34J ∙ s

(9.1×10−31 kg)(2×105 m /s) )1.+2nm

(sta longitud de onda está en la región de los rayos @

21./ 8uponga 9ue un fotón con longitud de onda de 1.+2 nm 9ue se mueveen la dirección G choca frontalmente con un electrón cuya rapidez -

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mBs y se mueve en la dirección . 8i la colisión es perfectamente

elástica, encontrar la rapidez del electrón y la longitud de onda del fotóndespués de la colisión.

*e la ley de le conservación del "mpetu.

Umpetu antes ) "mpetu despuésh

λ0

mv/ )h

λ 0 mv

0*el 4ro6lema 21.K, hB/ ¿ mv/ en este caso. *e a9u", hB ) mv. (ntonces.

para una colisión perfectamente elástica.

(C antes) (C después


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hc

λ0

G1

2 m v0

2

)hc

λ G1

2 mv

8i de asume 9ue el hecho de 9ue hB/ ) mv/ y hB ) mBv, vemos 9ue

=/$cG1

2 v/' ) v$c G1

2 v '

4or lo tanto v ) v/ y el electrón se mueve en la dirección G o con la mismarapidez 9ue tenia antes de la colisión. Como hB ) mv ) v/ , el fotón re6otay conserva su longitud de onda.

21. Dn fotón $ ) /.2// nm' choca con un electrón 9ue se encuentra enreposo y re6ota con un ángulo de L/V en la dirección 9ue tenia antes delcho9ue. *etermine la rapidez y longitud de onda del fotón después de lacolisión. !a rapidez del fotón siempre es igual a la rapidez de la luz en elvac"o, c. 4ara o6tener la longitud de onda después de la colisión, utilizamosla ecuación del efecto Compton:

F) Ghc

mc $0 cosE'

)2 ×10−10

m G6.63×10

−34J ∙ s

(9.1×10−31kg)(3×108m/s) $0cos L/V'

)2 ×10−10

m+(2.43×10−12m ) (1+0.866 )=0.4045nm

2. NCuál es la longitud de onda de *e Hroglie para una part"cula 9ue se

mueve con una rapidez de × 106

mBs si la part"cula es $a' un electrón,

$6' un protón y $c' una pelota de /. 5gO

8i se emplea la de7nición de la longitud de onda de *e Hroglie

)

h

mv=6.63×10

−34J ∙ s

m(2×106 m

s ) )

3.3×10−40

m∙k g

m

8i se sustituyen los valores de m, se encuentra 9ue la longitud de onda es

1.+ /0/ para el electrón, /01 para protón y .+L × /01K m para la

pelota de /.5g


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(ste es un caso no relativista por lo 9ue podemos escri6ir

(C)1

2 m/v)

m02

v2

2m0 )

p2

2m0 o p)$m/'$(C'

(ntonces )h

p )

2m0

6.07×10−21 J

¿(2)(1.67×10−27 kg)¿

√ ¿h

√ ¿( EC )¿=

6.63×10−34

J ∙ s¿

21.+ (ncuentre la presión 9ue ejerce so6re una super7cie el haz de fotonesdel 4ro6lema 21.M si el área de la sección transversal del haz es 1 mm .8uponga 9ue la reeión a la incidencia normal es perfecta.

Cada fotón tiene un "mpetu

p)h

λ )6.63×10

−34J ∙ s

633×10−9m

=1.05×10−27 kg∙m/ s

Cuando un fotón se reeja, su "mpetu cam6ia de Gp a Qp, un cam6io total

en el "mpetu p. Como K.L -/L fotones cada segundo, se o6tiene

Cam6io en el "mpetuBs ) $K.L /LBs'$'$./L /0M 5g ^ mBs' ) .KK /0 5g ^ mBs

*e la ecuación del impulso $Cap"tulo R',

;mpulso) Xt ) cam6io en el impetu

Tenemos X) cam6io en el "mpetuBs).KK-/05g ∙m/ s2

(ntonces 4resión) F

A =

1.99×10−11

kg∙m / s2

3×10−6

m2

=6.6×10−6 N /m2

21.M una part"cula de masa m esta con7nada a un tu6o angosto de

longitud !. (ncuentre $a' la longitud de onda de la onda de *e Hroglie 9ueresonará en el tu6o, $6' los "mpetus de las part"culas y $c' las energ"as


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correspondientes. $d' Calcule las energ"as para un electrón en un tu6o conuna longitud !) /.L nm.

$a' !a onda de *e Hroglie resonará con un nodo en cada etremo del tu6oya 9ue éste esta cerrado en los etremos. &lgunos de los posi6les modos

de resonancia se muestran en la Xig. 210 _stos permiten visualizar 9ue

para la resonancia, !)1

2 λ

1,2(12 λ2) 3 (12 λ3) ! n( 12 λn)! o"ien

λn=2 #

n n) ,,1,`

$6' Como la longitudes de onda de *e Hroglie es λn=h/ pn los impetus en

la resonancia son

pn= nh

2 # n),,1,`

$c' Como se mostró en el 4ro6lema 21.L, p ) $m'$(C', entonces

$(C 'n )n2h2

8 #2m n),,1,...

Yote 9ue las part"culas sólo se pueden encontrar en ciertos estadosenergéticos discretos. !as energ"as están, cuantizadas

$d' Con m)K. / 015g y !)L / 0/m se o6tiene

$(C' n ) .2 / 0K n j),L/ n e=


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Dna part"cula de masa m esta con7nada a moverse en una ór6ita de radio [,NPué energ"as puede ad9uirir la part"cula para 9ue esté en resonancia enuna onda de *e HroglieO (fectúe el cálculo para un electrón con [ 0/L nm.4ara 9ue una onda entre en resonancia cuando se encuentra en una ór6itacircular las crestas de6en coincidir con las crestas y los valles con losvalles .Dn ejemplo de resonancia $para una circunferencia con una longitudde cuatro longitudes de onda' se muestra en la Xig. 210. (n general, se

conseguirá resonancia cuando la circunferencia tenga una longitud de nlongitudes de onda, donde n 0 , , 1` 4ara una onda de *e Hroglie se tiene

n λn=2$% &'

n= h

λ n= nh

2$%

;gual 9ue en el pro6lema 21.M.


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( EC )n= pn

2

2m=

n2h2

8 $ 2 %

2m

Z6viamente, las energ"as están cuantizadas. &l sustituir valores se o6tiene

$(C'n ) .22 /0/ n 3 ) /.L1n e=

4[ZH!(S&8 8D4!(S(YT&[;Z8

2.K Calcule la energ"a de un fotón de luz azul $ ) 2L/ nm', en joule y ene=.

8ol. , nm

21./ NCuál es la longitud de onda de una luz en la cual los fotones tienenuna energ"a de +// e=O 8ol. . nm

21. Dna lámpara de sodio de / < irradia luz amarilla $ λ=¿ LRK nm'.

NCuántos fotones de luz amarilla son emitidos por la lámpara en cadasegundoO 8ol. L.K /K

21. NCuál es la función de tra6ajo de una super7cie de metal de sodio sila longitud de onda um6ral fotoeléctrica es de +R/nmO 8ol. .R e=

21.1 *etermine la máima (C de los fotoelectrones 9ue se desprenden deuna super7cie de potasio de6ido a una luz ultravioleta de // nm delongitud de onda. NCuál es la diferencia de potencial de retardo 9ue sere9uiere para frenar a los electronesO !a longitud de onda um6ralfotoeléctrica del potasio es 22/ nm. 8ol. 1.1R e=, 1.1R =

21.2 NCon 9ué velocidad serán emitidos fotoelectrones rápidos por unasuper7cie cuya longitud de onda um6ral es de +// nm, cuando la super7ciese ilumina con una luz de 2// nm de longitud de ondaO 8ol. +

/L

mBs

21.L Dna radiación ultravioleta de L/ nm de longitud de onda, desprendeelectrones de una super7cie metálica con una (C máima de 1 e=.*etermine la función de tra6ajo del metal, la longitud de onda um6ral delmetal y la diferencia potencial retardado, 9ue se re9uiere para frenar laemisión de electrones. 8ol L.M e=, 1L nm , 1=

21.+ NCuál es la rapidez y el "mpetu de un fotón de L// nm de longitud deondaO

8ol. 1 / RmBs, .11 . / 0M5g mBs


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21.M Dn haz de rayos @ con una longitud de onda eacta de L / 02

colisiona con un protón 9ue se encuentra en reposo $m),+M / 0M 5g '. 8ilos rayos @ se dispersan con un ángulo de /V, Ncuál es la longitud de ondade los rayos @ dispersadosO 8ol L,R / 02

21.R Dn par electrón positrón, cada uno con una energ"a cinética de /5e=, son producidos por un fotón. (ncuentre la energ"a y la longitud de ondadel fotón.

8ol . .2+ Se=, R.L / 01m

21.K *emuestre 9ue la longitud de onda de *e Hroglie de un electrón 9ueparte del reposo y 9ue es acelerado por una diferencia de potencial de =volts es .+B v nm.

21.1/ Calcule la longitud de onda de de Hroglie de un electrón 9ue ha sido

acelerado por una diferencia de potencial de K 5=. *esprecie los efectosrelativistas. 8ol. .1 / 0 m

21.1 NCuál es la longitud de onda de *e Hroglie 9ue ha sido acelerado poruna diferencia de potencial de S= O $Con esta energ"a 9ue es muy grandede6es utilizar las epresiones de la masa y la energ"a relativista'

8ol. R.M / 01m

21.1 8e desea hacer pasar un haz de electrones por una rejilla dedifracción de periodo d $separación entre ranuras'. !os electrones tienenuna rapidez de 2// mBs. NPué tan grande de6e ser d para 9ue el haz de

electrones se difracte un ángulo de LVO

8ol. n $2.1 / 0+m', donde n 0 , , 1,...

*atos útiles:

Rango de Longitudes de onda del espectro visible

onda

m

m

m


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m

m

m

PREFIJOS Y SUFIJOS

Prefijos del orden de magnitud

Existen diferentes valores que pueden ser muy grandes (10̂23) o muy pequeños (10̂-11).

Surge entonces una forma de simplificar la expresión de resultados en la notación

científica, existen diferentes prefijos en el Sistema Internacional, de esta forma las

diferentes potencias de diez tiene nombre y símbolo especiales:

Potencia de 10 Prefijo simbolo Ejemplo

1024

Yotta Y Ym


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1021

Zetta Z Zm

1018

Exa E Em

1015

Peta P Pm

1012

Tera T Tm

1009

Giga G Gm

1006

Mega M Mm

1003

Kilo K Km

1002

Hecta H Hm

1001

Deca D dm

Potencia de 10 Prefijo simbolo Ejemplo

10−24

Docto y ym

10−21

Zepto z zm

10−18

Atto a am

10−15

Femto f fm

10−12

Pico p pm

10−09

Nano n nm

10−06

Micro u um

10−03

Mili m dm

10−02

Centi c cm

10−01 Deci d dm


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Schrödingr ! Br"g#i ! Heisenberg

Er$in R%d"#& '"(& A#)*ndr Schrödingr $n. de agosto de RRM, en(rd6erg, =iena, ;mperio austrohúngaro 2 de enero de K+, id.' fue unf"sico austr"aco, nacionalizado irlandés, 9uerealizó importantes contri6uciones en loscampos de la mecánica cuántica y latermodinámica. [eci6ió el 4remio Yo6el deX"sica en K11 por ha6er desarrollado laecuación de 8chrbdinger. Tras manteneruna larga correspondencia con &l6ert(instein propuso el eperimento mentaldel gato de 8chrbdinger 9ue mostra6a lasparadojas e interrogantes a los 9ue

a6oca6a la f"sica cuántica.

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) f!sicoaus"riaco #ue in$en"% la &ec'nica ondula"oria en196 #ue fue for&ulada inde*endien"e&en"e de la&ec'nica cu'n"ica+ Al igual #ue es"a ,l"i&a la&ec'nica ondula"oria descrie &a"e&'"ica&en"e elco&*or"a&ien"o de los elec"rones los '"o&os+ .erosu ecuaci%n &edular conocida co&o ecuaci%n deSchrödinger se carac"eri/a *or su si&*le/a *recisi%n*ara en"regar soluciones a *role&as in$es"igados *or

los f!sicos+

Schrödinger naci% en 0iena el 1 de agos"o de 1887 &uri% el de enero de 1961+ 2i3o ,nico del&a"ri&onio for&ado *or Rudolf Schrödinger una hi3a de Alexander 4auer su *rofesor de #u!&icaen la 5ni$ersidad cnica de 0iena+

En 19 asu&e un *ues"o acad&ico co&o audan"e de ax :ien; des*us ocu*a los cargos de*rofesor ex"raordinario en S"u""gar" *rofesor "i"ular en 4reslau *ri&ero luego en la 5ni$ersidadde


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el aCo 19@@ Schrödinger al igual #ue &uchos o"ros cien"!ficos conclue #ue en ese en"orno*ol!"ico no *uede con"inuar en Ale&ania+ E&igra a Dngla"erra "raa3a en xford+ En 19@8 se"raslad% a D"alia+ >es*us de una re$e es"ancia en EE+ 55+ regresa a Euro*a *ara ocu*ar uncargo acad&ico en el Dns"i"u"o de Es"udios A$an/ados de >ul!n siendo *os"erior&en"eno&rado direc"or de la escuela de f!sica "e%rica de esa ins"i"uci%n+ .er&anece en >ul!n has"a sure"iro en 19FF+

?o os"an"e su re"iro de la $ida acad&ica ac"i$a Schrödinger con"inu% con sus in$es"igaciones *ulic% una $ariedad de ar"!culos sore dis"in"os "e&as en los cuales se inclue el *role&a deunir la gra$edad con el elec"ro&agne"is&o #ue "a&in asori% a Eins"ein+ a&in escrii% un*e#ueCo liro "i"ulado GHu es la 0idaI &anifes"% su in"ers en la fundaci%n de la f!sica a"%&ica+

Conteto histórico

!l comien"o del siglo ## se $ab%a comprobado &ue la lu" presentaba una dualidad

onda corp'sculo( es decir( la lu" se pod%a mani)estar seg'n las circunstancias como

part%cula *)ot+n en el e)ecto )otoel,ctrico( o como onda electromagn,tica en la

inter)erencia luminosa. /n 93 Louis-1ictor de 2roglie propuso generali"ar esta

dualidad a todas las part%culas conocidas. ropuso la $ip+tesis( parad+ica en su

momento( de &ue a toda part%cula clsica microsc+pica se le puede asignar una onda( lo

cual se comprob+ eperimentalmente en 97 cuando se observ+ la di)racci+n de

electrones. or analog%a con los )otones( e 2roglie asocia a cada part%cula libre con

energ%a E cantidad de movimiento p una )recuencia una longitud de onda :;

La comprobaci+n eperimental $ec$a por


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ondulatoria de >c$r?dinger suscit+ inicialmente la descon)ian"a de algunos )%sicos de

renombre como !lbert /instein( para &uien B Dios no juega a los dadosC.

! principios de la d,cada de 930 Aa 2orn &ue $ab%a trabaado unto con Derner

Eeisenberg ascual Fordan en una versi+n de la mecnica cuntica basada en el

)ormalismo matricial alternativa a la de Eeisenberg apreci+ &ue la ecuaci+n de

>c$r?dinger complea tiene una integral de movimiento dada por GH*G* *I JG*J

&ue pod%a ser interpretada como una densidad de probabilidad. 2orn le dio a la )unci+n

de onda una interpretaci+n probabil%stica di)erente de la &ue e 2roglie >c$r?dinger

le $ab%an dado( por ese trabao recibi+ el premio Kobel en 954. 2orn a $ab%a

apreciado en su trabao mediante el )ormalismo matricial de la mecnica cuntica &ue el

conunto de estados cunticos llevaba de manera natural a construir espacios de Eilbert para representar los estados )%sicos de un sistema cuntico.

e ese modo se abandon+ el en)o&ue de la )unci+n de onda como una onda material(

pas+ a interpretarse de modo ms abstracto como una amplitud de probabilidad. /n la

moderna mecnica cuntica( el conunto de todos los estados posibles en un sistema se

describe por un espacio de Eilbert compleo separable( cual&uier estado instantneo

de un sistema se describe por un vector unitario en ese espacio *o ms bien una clase

de e&uivalencia de vectores unitarios. /ste vector unitario codi)ica las probabilidades

de los resultados de todas las posibles medidas $ec$as al sistema. in embargo( debe recordarse &ue los valores de un vector de estado son di)erentes para

distintas locali"aciones( en otras palabras( tambi,n es una )unci+n de x *o(

tridimensionalmente( de r. La ecuaci+n de >c$r?dinger da una descripci+n cuantitativa

de la tasa de cambio en el vector estado.

F"r+%#*ci,n +"drn* d #* c%*ci,n/n mecnica cuntica( el estado en el instante t de un sistema se describe por un

elemento del espacio compleo de Eilbert M usando la notaci+n bra-@et de aul

irac. Representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles

de un sistema. La evoluci+n temporal de se describe por la ecuaci+n de

>c$r?dinger ;

http://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/1930http://es.wikipedia.org/wiki/Max_Bornhttp://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Pascual_Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pascual_Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Premio_Nobel_de_F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/1954http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amplitud_de_probabilidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_separablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_bra-kethttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttp://es.wikipedia.org/wiki/1930http://es.wikipedia.org/wiki/Max_Bornhttp://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Pascual_Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Premio_Nobel_de_F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/1954http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amplitud_de_probabilidad&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_separablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_bra-kethttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac


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¿Qué es la vida?

/n 944 public+ en ingl,s un pe&ueNo volumen titulado ¿Qué es la vida? *What is

life?( resultado de unas con)erencias divulgativas. /sta obra menor $a tenido gran

in)luencia sobre el desarrollo posterior de la 2iolog%a. !port+ dos ideas )undamentales;

. rimero( &ue la vida no es aena ni se opone a

las lees de la termodinmica( sino &ue los

sistemas biol+gicos conservan o ampl%an su

compleidad eportando la entrop%a &ue

producen sus procesos *v,ase neguentropía.

. >egundo( &ue la &u%mica de la $erencia

biol+gica( en un momento en &ue no estaba clara

su dependencia de cidos nucleicos o prote%nas(

debe basarse en un Ocristal aperi+dicoP(

contrastando la periodicidad eigida a un cristal(

con la necesidad de una secuencia in)ormativa.

>eg'n las memorias de Fames Datson( DNA, The Secret of Life( el libro de

>c$r?dinger de 944( What's Life? le inspir+ a investigar los genes( lo &ue le

llev+ al descubrimiento de la estructura de doble $,lice del !K.

http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Complejidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Neguentrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/James_Watsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geneshttp://es.wikipedia.org/wiki/ADNhttp://es.wikipedia.org/wiki/ADNhttp://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Complejidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Neguentrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/James_Watsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geneshttp://es.wikipedia.org/wiki/ADN


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-i.,/(i( d L"%i( d Br"g#i

L"%i( d Br"g#i, era un aristócrata francés que ganó el premio Nobel de Física de 1929 por una tesis doctoral que elucidabalas propiedades ondulatorias de los orbitantes electrones. Se trató de un trabajoque audó a resol!er una antigua paradoja al mostrar que los electrones puedenser descritos a sea como partículas o como ondas, seg"n las circunstancias.

#l punto de partida que tu!o de $e %roglie para desarrollar su tesis fue lainquietante dualidad en el comportamiento de la lu&, que en ciertos fenómenosse manifiesta como onda, en otros como partícula. #ste desconcertante aspectodoble de la lu&, estrec'amente !inculado con la e(istencia misma de los cuantos,le sugirió la pregunta de si no podía esperarse 'allar una dualidad del mismoorden en los mo!imientos del electrón, en el )tomo regido por el cuanto.

*uando de %roglie publicó sus ideas, en 192+, jam)s al menos 'asta entoncesel electrón 'abía manifestado características ondulatorias an)logas a las de lalu&- no obstante, a pesar de ello, 'abía dos indicios que parecían apoar, en losra&onamientos de $e %roglie, la idea de ese paralelismo. a una analogía,conocida desde /acobi amilton, entre las traectorias posibles de laspartículas, concebida seg"n la din)mica cl)sica, los raos de propagación deondas, estudiados por la geometría óptica. 0 esta profunda analogía se establecepor intermedio de la acción, es decir, precisamente por la magnitud físicacuas dimensiones son las del cuanto de 3lanc4. 3arecía que en esta cone(ión'abía un indicio de que el cuanto forma el !ínculo, enigm)tico oculto, entre losdos aspectos complementarios5 la naturale&a granular ondulatoria de laspartículas de la materia. #se paralelismo fue el que moti!ó a de %roglie aembrionar los inicios que dieron paso a la mec)nica ondulatoria. 3ero también'abía algo m)s que influó en ese embrionage. #n efecto, las órbitas establesdel electrón, en el )tomo, est)n caracteri&adas por n"meros enteros. 6'ora bien,la inter!ención de n"meros enteros es insólita en la din)mica cl)sica de las partículas, mientras es intrínseca a la teoría de los fenómenosondulatorios5 un moti!o m)s que sugería admitir una estrec'a cone(ión, ajena a la antigua mec)nica ne7toniana, entre partículas ondas, e'i&o sospec'ar que al mo!imiento de las partículas subace tal !e& una propagación ondulatoria.

#sas re!eladoras analogías algunas otras sencillas consideraciones propuestas por la teoría de la relati!idad, lle!aron a de %roglie aconsiderar que, como las p"stulas de lu& los fotones también los de la materia electrones protones deberían estar acompa8ados ensus mo!imientos por ondas. igadas inseparablemente a las partículas de la materia, serían estas ondas las que guían gobiernan por lo

http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-l_broglie.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-l_broglie.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-m_planck.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-m_planck.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-l_broglie.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-m_planck.htm


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menos estadísticamente sus mo!imientos. a longitud de onda que de %roglie atribue a las ondas piloto, asociada a la partícula, es igualal cociente de la constante de 3lanc4 por el impulso del corp"sculo- es, pues, la misma que #instein adjudicara a la onda luminosa del fotón.$e %roglie escribió al respecto5 :Son como dos ríos que por largo espacio corrieron separados terminan por me&clar sus aguas, dos grandesdoctrinas ;mec)nica de los corp"sculos teoría de las ondas< 'an llegado a su confluencia=.

3ero no obstante, e(iste una importante diferencia entre la onda adjunta a los fotones aquellas asociadas a las partículas materiales.

>ientras las p"stulas de lu& su correspondientes ondas tienen la misma !elocidad, esta identidad no se asocia a las partículas materiales sus correspondientes ondas asociadas. 3ero aunque partículas ondas tienen !elocidades disímiles, éstas no son independientes una de laotra- su producto tiene un !alor constante. Sin entrar en detalles aquí, a que lo 'aremos en nuestra descripción matem)tica de la 'ipótesisde $e %roglie, agreguemos que los corp"sculos sus sistemas de ondas, como quedar) demostrado, son inseparables forman unaestructura permanente.

a idea de ligar lo continuo de la onda con lo discontinuo del corp"sculo otorgó una importante prueba sobre su posible !iabilidad, cuando de%roglie, al aplicarla a los mo!imientos de los electrones en el interior de un )tomo, consiguió 'allar la ra&ón de las órbitas cuantificadas de%o'r . ?ste, en su modelo del )tomo, todo ocurre como si estu!iera regido por las prescripciones de un enigm)tico gobierno microcósmico,que permitía a los electrones traectorias cuantificadas, les pro'ibía las dem)s. #ra ob!io que ello correspondía a una cuestión quequedaba abierta por su carencia de precisión, pese a que era un postulado. 3ero entonces la 'umanidad contaba con una brillante mentecomo la de %roglie, a que éste con su ponencia logró aclarar la curiosa selección de las imprecisas órbitas de %o'r. Siendo la órbita delelectrón estable, su onda asociada también lo ser)5 ser) una onda estacionaria, comparable a las ondas sonoras de un tubo o las de lascuerdas de una guitarra. 3ero para que se pueda dar el 'ec'o de que las ondas puedan continuar estacionarias, es necesario que ellas secierren, !ol!iéndose sobre sí mismas.

#n consecuencia, la traectoria de una onda es in!ariable, si su perímetro es igual a un m"ltiplo entero de la longitud de onda, permitiendo ala onda asociada al electrón encontrarse después de cada recorrido en la misma fase. Sobre todas las otras traectorias la onda no podríasubsistir, sus fases discordantes la destruirían. 6'ora bien, las "nicas traectorias que responden a la condición de la onda estacionaria, las"nicas en las cuales las ondas pueden conser!arse, son e(actamente las órbitas, permitidas del modelo atómico de %o'r. 6sí la mec)nicaondulatoria proporciona la lla!e de la curiosa selección de las órbitas en el )tomo. #l postulado de %o'r deja de ser arbitrario se con!ierte,con de %roglie, en una e(igencia lógica, impuesta al electrón por el car)cter estacionario de su onda asociada.

6'ora bien, seg"n esa idea imperati!a de $e %roglie, la ra&ón por la cual la materia permite la coe(istencia de esos dos aparentementeirreductibles fenómenos es precisamente la condición estacionaria de las ondas de la materia5 lo est)tico de la partícula lo !ibratorio de laonda. *on esta interpretación que 'ace de %roglie para el )tomo, es ob!io que se aleja m)s que %o'r, de la la mini descripción planetaria dela idea atómica de @ut'erford. Aodo ocurre como si el electrón se encontrara, no en un punto determinado de su traectoria, sinosimult)neamente sobre toda la circunferencia de su órbita. Su circulación en tomo del n"cleo deja de asimilarse a la traslación de un planetaen torno al Sol, asemej)ndose m)s bien a la rotación de un anillo simétrico que, a pesar de su mo!imiento, contin"a ocupando el mismolugar en el espacio. #n otro aspecto, las ondas electrónicas se comportan como min"sculos circuitos oscilantes, acordados sobre longitudes

de ondas determinadas.

3or otra parte, al igual que el electrón, otros constituentes de la materia, protones neutrones, est)n también acompa8ados en susmo!imientos por ondas. a onda integra seg"n el pensamiento de $e %roglie cada partícula material. a estructura particulada es elatributo e!identemente manifiesto de la materia- junto a él co'abita su otro car)cter no menos fundamental, poco m)s escondido5 su ser ondulatorio, que sólo se re!ela en ciertos momentos. Siempre que el mo!imiento se asocia a la materia, la onda lo 'ace también. 3uesto queno e(iste en el uni!erso un punto material en reposo, en todas las partes donde 'a materia 'a ondas. os dos aspectos, particulados !ibratorios, son indispensables, siendo su ligamento el cuanto elemental de 3lanc4- no obstante, no es posible 'allarlos juntos. Si lanaturale&a e('ibe en un fenómeno dado uno de sus aspectos, esconde rigurosamente el otro.

A'ora, analicemos, en función matem)tica, lo que 'emos e(puesto en los p)rrafos precedentes .

as ideas que 'emos descrito sucintamente de $e %roglie, sobre el 'ec'o de 'aber con!ertido la cuantificación de lasórbitas en el )tomo en una consecuencia perentoria de la naturale&a ondulatoria del electrón, fue, sin duda, un é(itoalentador que cimentó el origen de la mec)nica ondulatoria.

@ecordemos a'ora, las relaciones de 3lanc4 #instein para las ondas de los fotones de la lu& ; energía B momento Bfrecuencia< 5

#stas relaciones incorporan la esencia de la dualidad onda partícula, al relacionar la frecuencia longitud de las ondascon la energía momento de partículas como un fotón. 6'ora bien, dado que la lu& también tiene una calidad de partícula,no puede ser sorprendente que las partículas puedan tener también características ondulatorias. $espués de todo,podemos pensar en un fotón como partícula con masa cero. #n la tesis doctoral de $e %roglie, que mencionamos al

principio, deja de manifiesto su con!icción que si uno podía asociar características ondulatorias a las partículas, entonces lacuanti&ación postulada por %o'r en su descripción de los espectros atómicos puede ser justificada. $e %roglie pre!ió las

http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-n_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-n_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/anexos/m-ato_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/anexos/m-ato_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/anexos/m-ato_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-e_rutherford.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-e_rutherford.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-n_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/anexos/m-ato_bohr.htmhttp://www.astrocosmo.cl/biografi/b-e_rutherford.htm


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6sí se demuestra que la !elocidad de grupo de las ondas es igual a la !elocidad de la partícula. #l paralelismo establecidode esta manera entre la partícula la onda, nos permite identificar el principio de Fermat para las ondas con el principio demínima acción para las partículas ;para campos constantesaupertuis de la mínima acción, nos dice losiguiente5 la traectoria de una partícula que pasa a tra!és de dos puntos 6 % en el espacio, es tal que la integral5

tomada a lo largo de la traectoria, es e(trema- suponiendo, desde luego, que solamente se consideran los mo!imientoscorrespondientes a un !alor determinado de la energía. *on base en las relaciones establecidas anteriormente entre lospar)metros mec)nicos los ondulatorios, tenemos5

DE+

puesto que W es constante en un campo constante. $e lo cual se desprende que los principios de Fermat de >aupertuisson, recíprocamente, la traducción respecti!a del otro- que las traectorias posibles de la partícula son idénticas a losraos posibles de su onda.

$entro del formulismo, los conceptos mencionados conducen a la factibilidad de interpretar las condiciones de estabilidadpara los mo!imientos atómicos periódicos. $e esa manera, las condiciones de la estabilidad cu)ntica surgen comoan)logos a los fenómenos de resonancia- la aparición de los enteros resulta como un 'ec'o natural.

No obstante, esta 'ipótesis, que en la actualidad es generalmente aceptada, no interpreta totalmente nuestra e(perienciadiaria5 las partículas masi!as no oscilan como una onda. Geamos por qué.

*uando intentamos estimar la longitud de onda de $e %roglie de un objeto con una masa de 1E HI g una !elocidad de 1EHI

mBs ; obsér!ese que se trata de una peque8ísima partícula de mo!imiento lento de momento peque8o


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en que substituendo C 1+.I eG, encontramos una longitud de onda de $e %roglie de E,++ nm C +,+ )ngstrom. Se trata deuna cifra peque8a, pero en relación a las dimensiones atómicas es detectable medible.

3or otra parte, las fórmulas generales que establecen el paralelismo entre las ondas las partículas pueden ser aplicadas alos corp"sculos de la lu&, bajo el supuesto de que en tal caso la masa en reposo mE es infinitamente peque8a. #n realidad,si para un !alor determinado de la energía W , se 'ace que mE tienda a cero, entonces se encuentra que v V tienden a c ,en el límite, se obtienen las dos fórmulas sobre las cuales #instein basó su teoría del cuanto de lu&5

Las Ondas de De Broglie en Átomos

$emos por 'ec'o que la 'ipótesis de $e %roglie es correcta, que el electrón que orbita alrededor del n"cleo de los )tomosde 'idrógeno sigue la relación que se propone en la 'ipótesis. 6'ora, para poder contar con un estado inmó!il ,necesitamos obtener las misma condiciones de cuanti&ación que logramos para la lu&. 3ero aquí, nos encontramos con ladiferencia de la no linealidad del electrón en un )tomo, a que se encuentra en una órbita circular. #n consecuencia,

requerimos un n"mero integral de las longitudes de onda de $e %roglie en una órbita5

DEO

o también5

DEI


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a ecuación DEO corresponde, para una órbita circular, simplemente al momento angular. 6sí, se recupera en la relación de$e %roglie la 'ipótesis de cuanti&ación de %o'r.

as estimaciones que se obtienen en el desarrollo de las ecuaciones DEO DEI, son m)s teóricas que pr)cticas. Noobstante, sin embargo, es posible que sean concernientes a la realidad. a naturale&a de la onda del electrón se deberelacionar con la cuanti&ación de los espectros atómicos. Se trata de una cuestión que toda!ía se encuentra abierta, perolos a!ances que se 'an reali&ado en los "ltimos a8os 'an sido significati!os.

Tales son las ideas principales de la 'ipótesis de ouis de %roglie. *on ellas, se demuestra que es posible establecer una correspondenciaentre las ondas los corp"sculos, tal que las lees de la mec)nica correspondan a las lees de la óptica geométrica. Sin embargo, como es

sabido, en la teoría ondulatoria la óptica geométrica es solamente una apro(imación- ésta tiene sus límites de !alide& , en particular, cuandoest)n implicados los fenómenos de interferencia de difracción, resulta ser enteramente inadecuada cuando se trata de partículas cl)sicas.No obstante lo anterior, #(isten pruebas directas significati!as del comportamiento ondulatorio de las partículas del mierocosmos como elelectrón. Se basan en el fenómeno de interferencia característico de las ondas ausente en las partículas cl)sicas. Pno de los e(perimentosm)s directos conclusi!os fue el de $a!isson Qermer en el a8o 192R. 6unque reali&ado después de la creación de la mec)nica cu)ntica,permanece 'asta 'o día como el indicador m)s claro profundo de las manifestaciones cu)nticas en el mo!imiento de las partículas.


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Esquema del experimento de Davisson y Germer.

$a!isson Qermer estudiaron la refle(ión de un 'a& de electrones incidente sobre un monocristal, siguiendo una ideausada anteriormente para la in!estigación de la naturale&a de los raos . Pn 'a& de electrones procedente de un filamentocalentado se acelera en un potencial electrost)tico e incide sobre el monocristal bajo cierto )ngulo. Se obser!an loselectrones reflejados mediante un detector cua posición puede ser !ariada. Aambién se puede !ariar el potencial

acelerador cambiar así la !elocidad de los electrones. os electrones e(perimentan refle(iones en los di!ersos planosparalelos de la red cristalina. a figura que insertamos a continuación del p)rrafo e(plica lo que ocurre al considerar sólodos de estos planos. #l 'a& que sale del monocristal se compone de dos 'aces reflejados por los dos planos diferentes ;enrealidad serían muc'os


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Principio de Incertidumbre

Introducción.

Considero de mucha importancia esteprincipio, debido a la naturaleza del mismo, en estetrabajo de describe de la manera más practica todaslas características del mismo, aunque a veces sepiense que no es necesario, puede servir enmuchas ocasiones para delatar algo, osimplemente para justificarlo.

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg es sinduda algunos unos de los enigmas de la historia,debido a que este menciona que !o que estudias,lo cambias, entonces, si esto es cierto, "#u$ tanto

a cambiado la realidad de lo que nos narra lahistoria%.

P&I'CIPI( )E I'CE&*I)+-&E

Heisenberg había presentado su propiomodelo de átomo renunciando a todo intento dedescribir el átomo como un compuesto departículas ondas. Pens/ que estaba condenado al fracaso cualquier intento deestablecer analogías entre la estructura at/mica la estructura del mundo.Prefiri/ describir los niveles de energía u /rbitas de electrones en t$rminosnum$ricos puros, sin la menor tra0a de esquemas. Como quiera que us/ unartificio matemático denominado matriz para manipular sus n1meros, elsistema se denomin/ mecánica de matri0.

Heisenberg recibi/ el premio 'obel de Física en 2345 por sus aportaciones a lamecánica ondulatoria de 6chr7dinger, pues esta 1ltima pareci/ tan 1til comolas abstracciones de Heisenberg, siempre es difícil, incluso para un físico,desistir de representar gráficamente las propias ideas.

+na ve0 presentada la mecánica matri0 8para dar otro salto atrás en el tiempo9Heisenberg pas/ a considerar un segundo problema: c/mo describir la posici/nde la partícula. "Cuál es el procedimiento indicado para determinar d/nde

está una partícula% !a respuesta obvia es $sta: observarla. Pues bien,imaginemos un microscopio que pueda hacer visible un electr/n. 6i loqueremos ver debemos proectar una luz o alguna especie de radiaci/napropiada sobre $l. Pero un electr/n es tan peque;o, que bastaría un solofot/n de luz para hacerle cambiar de posici/n apenas lo tocara. < en el precisoinstante de medir su posici/n, alteraríamos $sta.

=quí nuestro artificio medidor es por lo menos tan grande como elobjeto que medimos> no e?iste ning1n agente medidor más peque;o que elelectr/n. En consecuencia, nuestra medici/n debe surtir, sin duda, un efectonada desde;able, un efecto más bien decisivo en el objeto medido. Podríamosdetener el electr/n determinar así su posici/n en un momento dado. Pero silo hici$ramos, no sabríamos cuál es su movimiento ni su velocidad. Por otra

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parte, podríamos gobernar su velocidad, pero entonces no podríamos fijar suposici/n en un momento dado.

Heisenberg demostr/ que no nos será posible idear un método paralocali0ar la posici/n de la partícula subat/mica mientras no estemosdispuestos a aceptar la incertidumbre absoluta respecto a su posici/n e?acta.Es un imposible calcular ambos datos con e?actitud al mismo tiempo.

6iendo así, no podrá haber una ausencia completa de energía ni en elcero absoluto siquiera. 6i la energía alcan0ara el punto cero las partículasquedaran totalmente inm/viles, s/lo sería necesario determinar su posici/n,puesto que la velocidad equivaldría a cero. Por tanto, sería de esperar quesubsistiera alguna energía residual del punto cero, incluso en el ceroabsoluto, para mantener las partículas en movimiento tambi$n, por asídecirlo, nuestra incertidumbre. Esa energía punto cero es lo que no se puedeeliminar, lo que basta para mantener liquido el helio incluso en el ceroabsoluto.

En 234@, Einstein demostr/ que el principio de incertidumbre 8dondese afirma la imposibilidad de reducir el error en la posici/n sin incrementar elerror en el momento9 implicaba tambi$n la imposibilidad de reducir el erroren la medici/n de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo duranteel cual se toma la medida. Al cre/ poder utili0ar esta tesis como trampolínpara refutar el principio de incertidumbre, pero -ohr procedi/ a demostrarque la refutaci/n tentativa de Einstein era err/nea.

= decir verdad, la versi/n de la incertidumbre, seg1n Einstein, result/

ser mu 1til, pues signific/ que en un proceso subat/mico se podía violardurante breves lapsos la ley sobre conservación de energía siempre cuando sehiciese volver todo al estado de conservaci/n cuando concluesen esosperíodos: cuanto maor sea la desviaci/n de la conservaci/n, tanto más brevesserán los intervalos de tiempo tolerables.


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Pero sus implicaciones para ciencia no son las que se suponen por lo com1n.6e lee a menudo que el principio de incertidumbre anula toda certe0a acercade la naturale0a muestra que, al fin al cabo, la ciencia no sabe ni sabrá nuncahacia d/nde se dirige, que el conocimiento científico está a merced de loscaprichos imprevisibles de un +niverso donde el efecto no sigue

necesariamente a la causa. *anto si esta interpretación es válida desde el ángulo visual filos/fico como si no, el principio de incertidumbre no ha conmovido laactitud del científico ante la investigación. 6i, por ejemplo, no se puede predecircon certe0a el comportamiento de las mol$culas individuales en un gas, tambi$nes cierto que las mol$culas suelen acatar ciertas leyes, su conducta esprevisible sobre una base estadística, tal como las compa;ías aseguradorascalculan con índices de mortalidad fiables, aunque sea imposible predecircuándo morirá un individuo determinado.

Ciertamente, en muchas observaciones científicas, la incertidumbrees tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que

se la puede descartar para todos los prop/sitos prácticos.

+no puede determinar simultáneamente la posici/n el movimiento de unaestrella, o un planeta, o una bola de billar, e incluso un grano de arena cone?actitud absolutamente satisfactoria.

&especto a la incertidumbre entre las propias partículas subat/micas, cabe

decir que no representa un obstáculo, sino una verdadera auda para losfísicos. 6e la ha empleado para esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobrela absorci/n de partículas subat/micas por los n1cleos, así como otros muchosacontecimientos subat/micos, con mucha más racionabilidad de lo quehubiera sido posible sin el principio de incertidumbre.

El principio de incertidumbre significa que el +niverso es máscomplejo de lo que se suponía, pero no irracional.

En la b1squeda de una estructura que fuera compatible con lamecánica cuántica !erner "eisenberg descubri/, cuando intentaba hallarla, elKprincipio de incertidumbreL, principio que revelaba una característica

distintiva de la mecánica cuántica que no e?istía en la mecánica netoniana.

6eg1n el principio de incertidumbre, ciertos pares de variables físicas,como la posici/n el momento 8masa por velocidad9 de una partícula, nopueden calcularse simultáneamente con la precisi/n que se quiera. =sí, sirepetimos el cálculo de la posici/n el momento de una partícula cuánticadeterminada 8por ejemplo, un electr/n9, nos encontramos con que dichoscálculos fluct1an en torno a valores medíos. Estas fluctuaciones reflejan, pues,nuestra incertidumbre en la determinaci/n de la posici/n el momento.6eg1n el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en loscálculos no puede reducirse a cero. 6i el electr/n obedeciese las lees de la

mecánica netoniana, las incertidumbres podrían reducirse a cero laposici/n el momento del electr/n podrían determinarse con toda precisi/n.

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Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la netoniana, s/lo nos permiteconocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, esintrínsecamente estadística.

En síntesis, se puede describir que el principio de incertidumbrepostula que en la mecánica cuántica es imposible conocer e?actamente, en uninstante dado, valores de dos variables can/nicas conjugadas 8posici/nimpulso, energíatiempo, M, etc.9 de forma que una medici/n precisa de unade ellas implica una total indeterminaci/n en el valor de la otra.atemáticamente, se e?presa para la posici/n el impulso en la siguienteforma:

? ≥ hN5

)onde ?, incertidumbre en la medida de la posici/n> p, incertidumbre en lamedida del impulso> para la energía, E, el tiempo, t, se tiene E t ≥ hN5π > enambas relaciones el límite de precisi/n posible viene dado por la constante de

PlancB, h.

Para ver el gráfico seleccione la opci/n )escargar del men1superior

+na consecuencia ineludible del carácter dual de la materia es elprincipio de incertidumbre o de indeterminaci/n propuesto por el físicoalemán Oerner Heisenberg en 235J. Este principio se refiere a la e?actitud conque podemos hacer mediciones.

Consideramos la pregunta: "no sería posible para un electr/n

observarlo%. amos a suponer que disponemos de un aparato que puede ver a los electrones. Para ver un electr/n necesitamos iluminarlo con lu0 .'o podemos usar lu0 ordinaria porque su longitud de ondas es muchísimas veces maor que el electr/n este no es dispersaría o reflejaría. *endremosentonces que usar lu0 de una longitud de ondas mu peque;as, o lo que eslo mismo, fotones de energía mu alta que al ser dispersados por electronesnos proporcionan una imagen de $l. Pero he aquí que al hacer incidir un fot/nmu energ$tico sobre el electr/n estamos comunicados a este un momentolineal mu grande, que lo perturba demasiado lo hace cambiar del estado enque se encontraba. 'os enfrentamos como la imposibilidad de observar alelectr/n sin perturbarlo. Podemos reducir la magnitud de la perturbaci/n

disminuendo la energía de fotones, pero entonces la longitud de onda de estose hace maor tendremos paquetes de ondas menos locali0adas> estodisminue la precisi/n con la que puede conocerse la posici/n del electr/n.&ecíprocamente, si queremos aumentar la precisi/n en la determinaci/n de laposici/n del electr/n, necesitamos más paquetes más QQconcentradosRR8menores longitudes de ondas9 lo cual implica fotones más energ$ticos másperturbados para el electr/n. *enemos así que no podemos determinarsimultáneamente la posici/n la velocidad 8o momento lineal9 del electr/ncon precisi/n tan buena como queramos. < no ha forma de vencer estadificultad que la naturale0a nos presenta. &a0onamientos como este llevaron aHeisenberg a enunciar su famoso principio QQsi es la incertidumbre en la

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posici/n de una partícula es la incertidumbre o error en la

determinaci/n de su momento lineal, entonces necesariamente: 829

#i 829 es decir$ aumentar la precisión en el conocimiento de la posición aumenta laincertidumbre del momento o de la velocidad.

%n tres dimensiones& 829

Podemos determinar con precisión y y simultáneamente$ es decir$ tener 829 y 829

arbitrariamente pe'ue(os al mismo tiempo. Pero dos variables 'ue se reieren al mismo eje.

)*$ 829o bien y$ 829 $ etc.+ ,eben satisacer las relaciones de incertidumbre. %stas variablesse llaman conjugadas.

,ebido al valor tan pe'ue(o de h la incertidumbre propia de las variables conjugadas no es

importante en el mundo macroscópico. #in embargo$ el principio de la incertidumbre nos

dice 'ue la imposibilidad de medir con precisión absoluta no es imputable al observador$ no

se debe a su alta de habilidad para construir aparatos de medición más e*actos$ sino 'ueestá en la naturaleza de las cosas el no poder ser medidas con e*actitud.

%stos resultados de la Física -oderna han tenido repercusiones importantes en nuestras

concepciones del Universo y en general en nuestra ilosoía.

tra orma importante del principio de incertidumbre es la siguiente& 829

'ue se obtiene de829simplemente recordando 'ue 829 y 'ue829#ustituyendo& 829

% y t son también variables conjugadas. %sta orma del principio nos dice 'ue no podemos

conocer simultáneamente la energía y el tiempo 'ue dura un evento con precisión

/01I20/0I/.

bien$ 'ue no podemos hacer una medición precisa de la energía en un tiempo

/01I20/0I/-%32% corto.

"ay otras propiedades de las partículas microscópicas 'ue si pueden determinarse con

precisión absoluta. Por ejemplo$ el signo de su carga eléctrica.

4omo ilustración vamos algunos ejemplos.

5.6 Para una molécula de hidrógeno la incertidumbre con la 'ue se conoce su posición en un

cierto e*perimento es del orden del diámetro de dicha molécula$ apro*imadamente 829

m. 7a incertidumbre en el momento lineal es entonces& 829

#i su velocidad es 8999 m:seg )velocidad 'ue tendría a temperatura ambiente+ y sabiendo'ue la masa es m; de su valor original.

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%n caso de una bala de ?9 g. disparada a m:sec y cuya posición se conoce con un error de

5.9 mm&

829 y resulta entonces& 829

%ste n@mero es tan pe'ue(o 'ue prácticamente no e*iste incertidumbre.

3ótese como ha inluido la masa de la partícula en el resultado.

8.6 4uando un electrón en un átomo es e*citado puede pasar a ocupar un nivel de mayor

energía. Pero no pasa mucho tiempo antes 'ue el electrón regrese a su estado inicial )o

estado base+. %l tiempo 'ue tarda el electrón en el estado e*citado se llama tiempo de vida

de ese estado e*citado. #ea 829

$ el tiempo de vida de un estado e*citado. 7a incertidumbre en la determinación de la

energía de ese estado es& 829

%sto se llama AAa anchura de energíaBB del estado e*citado.

'(*= & 7as relaciones de incertidumbre a veces se dan en términos de829$ 'ue se deinecomo&829

Por conveniencia en los cálculos. /sí$ a veces usamos 829en vez de829 . 7a discrepancia porel actor 829 entre una e*presión y otra no es undamental.

6upuesta demostraci/n

%l hecho de 'ue cada partícula lleva asociada consigo una onda$ impone restricciones en la

capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. %ste principio ué

enunciado por !. "eisenberg en 5C8=.

• %s natural pensar 'ue si una partícula está localizada$ debemos poder asociar con

ésta un pa'uete de ondas más o menos bien localizado.

Un pa'uete de ondas se construye mediante la superposición de un n@mero ininito de

ondas armónicas de dierentes recuencias.

%n un instante de tiempo dado$ la unción de onda asociada con un pa'uete de ondas está

dado por 829

,onde k representa el n@mero de onda 829

y donde la integral representa la suma de ondas con recuencias )o n@mero de ondas+ 'ue

varían desde cero a mas ininito ponderadas mediante el actor

g)k+.

%l momento de la partícula y el n@mero de ondas están relacionados

ya que (1)

de lo cual se deduce 'ue 829

• Dueda claro 'ue para localizar una partícula es necesario sumar todas

7as contribuciones de las ondas cuyo n@mero de onda varía entre cero e ininito y por lo

tanto el momento 829

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2ambién varía entre cero e ininito. %s decir 'ue está completamente indeterminado.

• Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente igura dierentes tipos de

pa'uetes de onda y su transformada de Fourier 'ue nos dice como están distribuidas

las contribuciones de las ondas con n@mero de ondas k dentro del pa'uete.

•

Para ver el gráico seleccione la opción E,escargarE del men@ superior

• %n el primer caso vemos 'ue un pa'uete de ondas bien localizado en el

• espacio x $ tiene contribuciones prácticamente iguales de todas las ondas

• con n@mero de ondas k.

• %n el segundo caso vemos 'ue si relajamos un poco la posición del pa'uete de

ondas$ también es posible deinir el n@mero de ondas )o el momento+ de la partícula.

%n el @ltimo caso vemos 'ue para deinir bien el momento 829de la partícula$ entonces suposición 'ueda completamente indeinida.

%s posible determinar el ancho$ o la incertidumbre$ del pa'uete de ondas tanto en el

espacio normal 829 como en el espacio de momentos 829

%l principio de incertidumbre nos dice 'ue hay un límite en la precisión con el cual

podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula.

• 7a e*presión matemática 'ue describe el principio de incertidumbre de "eisenberg

es 829

• #i 'ueremos determinar con total precisión la posición& 829

,e la desigualdad para el principio de incertidumbre veriicamos entonces 'ue 829

%s decir$ 'ue la incertidumbre en el momento es ininita.

829 Para ver las órmulas seleccione la opción E,escargarE del men@ superior

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