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IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2010

Prof. Daniel Fonseca de Carvalho

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HIDRÁULICA APLICADA

1. PRINCÍPIOS BÁSICOS E PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FL UIDOS

1.1 Definição de Fluidos (Streeter,1909)

Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a

uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa

tensão. Uma força de cisalhamento é uma componente tangencial de força que age

sobre a superfície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de

cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento num ponto é o valor da

relação entre a força de cisalhamento e a área quando a área tende a um ponto.

Na Figura 1, uma substância é colocada entre duas placas paralelas bem

próximas e grandes de modo que as perturbações nas bordas possam ser

desprezadas. A placa inferior é fixa, e uma força F é aplicada na placa superior, a qual

exerce uma tensão de cisalhamento (F/A) na substância entre as placas. A é a área da

placa superior. Quando a força F movimenta a placa superior com uma velocidade (não

nula) constante, não importando quão pequena seja a intensidade de F, pode-se

concluir que a substância entre as duas placas é um fluido.

Figura 1 - Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante.

O fluido em contato com a superfície sólida tem a mesma velocidade que a

superfície; isto é, não há escorregamento na superfície. Este é um fato experimental

que é observado em ensaios com várias espécies de fluido e materiais de superfície. O

fluido na área abcd escoa para a nova posição ab’c’d com cada partícula fluida

movendo-se paralelamente à placa e a velocidade u variando linearmente de zero na

placa estacionária até U na placa superior. A experiência mostra que, mantendo-se



2

outras grandezas constantes, F é diretamente proporcional a A e a U e inversamente

proporcional a t. Em forma de equação,

tUA

F µ= (1)

na qual µ é um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a

tensão de cisalhamento ( AF=σ ):

tUµ=σ (2)

A relação U/t é a velocidade angular do seguimento ab ou é a velocidade de

deformação angular do fluido, isto é, a velocidade com que o ângulo bad diminui. A

velocidade angular também pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy

expressam a variação de velocidade divida pela distância ao longo da qual a variação

ocorre. Entretanto, du/dy é mais geral porque continua válida nas situações nas quais

a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. O gradiente de

velocidade du/dy pode também ser entendido como a velocidade com a qual uma

camada se move em relação à outra adjacente. Na forma diferencial,

dyduµ=σ (3)

é a relação entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação angular para

um escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade µ é chamado viscosidade

do fluido, e a equação 3, lei de Newton da Viscosidade.

Para fins de análise é feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é não-

viscoso. Com viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não

importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido é também considerado

incompressível, ele é então chamado fluido perfeito ou ideal.

1.2 Viscosidade

De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior

consideração no estudo dos escoamentos. Viscosidade é a propriedade pela qual um

fluido oferece resistência ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da

viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformação angular

de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à viscosidade.

Melaço e alcatrão são exemplos de líquidos muito viscosos, enquanto que água e ar



3

apresentam viscosidades muito pequenas. Assim, um fluido de maior viscosidade

apresenta maior resistência ao escoamento que, por sua vez, demandará maior

energia.

Um fluido em repouso ou movendo-se de modo que não haja movimento relativo

entre camadas adjacentes, não apresentará forças de cisalhamento aparente, embora

tenha viscosidade, porque du/dy é zero em qualquer ponto do fluido. Assim no estudo

da estática dos fluidos, não se consideram as forças de cisalhamento porque as

mesmas não existem nessa condição e as únicas tensões atuantes são as tensões

normais ou pressões.

As dimensões da viscosidade são determinadas a partir da lei de Newton da

viscosidade (Eq. 3). Isolando a viscosidade µ:

dy/duσ=µ (4)

Introduzindo as dimensões F, L,T de força, comprimento e tempo:

σ : F L-2 u : LT- 1 y : L

resulta µ com a dimensão F L-2 T. Com a dimensão da força expressa em função da

massa pelo uso da segunda lei da mecânica de Newton, F � M L T-2, a dimensão da

viscosidade pode ser expressa como M L-1 T –1.

A unidade no SI de viscosidade, o newton-segundo por metro quadrado (N s m-2)

ou o quilograma por metro por segundo (kg m-1 s-1), não tem nome especial.

- Viscosidade cinemática

A viscosidade µ é frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou

dinâmica para se evitar confusão com a viscosidade cinemática, que é a relação entre

viscosidade e massa específica do fluido:

ρµ=ν (5)

A viscosidade cinemática aparece em muitas aplicações, como por exemplo, no

coeficiente denominado número de Reynolds, utilizado na caracterização dos regimes

de escoamento.



4

A dimensão de ν é L2T-1. A unidade SI de viscosidade cinemática é 1,0 m2 s-1, e

a unidade inglesa usual é 1 ft2 s-1.

Como dito anteriormente, a presença da viscosidade gera uma resistência ao

deslizamento dos fluidos, tanto no interior da massa líquida (atrito interno) quanto ao

longo de superfícies sólidas (atrito externo). Quando um líquido escoa em contato com

uma superfície sólida, junto à mesma é criada uma camada fluida, aderente, que não

se movimenta. Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um

líquido em um tubo. Forma-se junto às paredes uma película fluida que não participa do

movimento. Assim, junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo máxima na parte

central (Figura 2).

Figura 2 - Perfil de velocidade em uma tubulação.

Em conseqüência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento

de um líquido em uma canalização somente se verifica com certa dissipação de

energia, comumente denominada por perda de carga (Figura 3).

Figura 3 – Demonstração da ocorrência da perda de carga.

A Tabela 1 apresenta os valores de viscosidade cinemática da água, em função

da temperatura.



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Tabela 1 – Valores de viscosidade cinemática da água

Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6 m2 s-1) 0 1,79 5 1,52

10 1,31 15 1,14 20 1,01 25 0,90 30 0,80 40 0,66 50 0,56 60 0,48 70 0,42 80 0,37 90 0,33

100 0,30

1.3 Demais propriedades

a) Coesão e adesão

A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos

esforços de tensão. A formação de uma gota d'água deve-se à coesão .

Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas

moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do

próprio líquido. Ocorreu então a adesão .

b) Pressão de vapor

Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição a

uma determinada temperatura; variando a pressão, varia a temperatura de ebulição.

Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura de 100oC quando a pressão é

1,033 kgf cm-2 (1 atm), mas também pode ferver a temperaturas mais baixas se a

pressão também for menor. Portanto, pressão de vapor corresponde ao valor da

pressão em que há mudança da fase líquida para a gasosa.

Todo líquido tem temperatura de saturação de vapor (tv) (quando entra em

ebulição), que correspondem biunivocamente a pressões de saturação de vapor ou

simplesmente tensões de vapor (pv).



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Essa propriedade é fundamental na análise do fenômeno da cavitação, pois

quando um líquido inicia a ebulição, inicia-se também a cavitação.

c) Massa específica, peso específico e densidade

A massa específica (ρ) de um fluido é definida como sua massa por unidade de

volume. O peso específico (γ) de uma substância é o seu peso por unidade de

volume. É variável com a posição, dependendo, portanto, da aceleração da gravidade.

gρ=γ (6)

É uma interessante propriedade quando se trata da estática dos fluidos ou de líquidos

com uma superfície livre.

A densidade (d) de uma substância é a relação entre seu peso e o peso de um

igual volume de água nas condições normais. Pode também ser expressa como

relação entre sua massa ou peso específico e os da água.

A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa específica, peso específico e

pressão de vapor d´água em função da temperatura.

Tabela 2 – Valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d´água

Temperatura (oC) Massa específica (kg m-3)

Peso específico (N m-3)

Pressão de vapor d´agua (Pa)

0 999,8 9.805 611 2 999,9 9.806 --- 4 1.000,0 9.810 --- 5 999,9 9.806 873

10 999,7 9.803 1.266 15 999,1 9.798 1.707 20 998,2 9.780 2.335 25 997,1 9.779 3.169 30 995,7 9.767 4.238 40 992,2 9.737 7.377 50 988,1 9.697 12.331 60 983,2 9.658 19.924 70 977,8 9.600 31.166 80 971,8 9.557 47.372 90 965,3 9.499 70.132

100 958,4 9.438 101.357



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1.4 Símbolos adotados e unidades usuais em Mecânica dos fluidos

As grandezas físicas são compatíveis entre si através de medidas homogêneas,

ou seja, referidas à mesma unidade. Os números sem dimensão de medidas nada

informam em termos práticos: o que é maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido

porque não há termo de comparação. Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80

litros (80 dm3). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezas

físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, trabalho ou potência) permitem

organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas

básicas é possível formar um sistema que abranja todas as necessidades.

Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma,

segundo) ou CGC (centímetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que

unidades básicas (MKS) são:

Tabela 3 – Grandezas e unidades do sistema gravitacional

GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO DIMENSIONAL

Força quilograma - força kgf F Comprimento metro m L

Tempo segundo s T

Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão entre

as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A

massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força que

sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade (g). Entre a força (F) e a massa de

um corpo existe uma relação expressa pela equação (2ª lei de Newton):

kmaF = (7)

em que

k = constante;

m = massa do corpo; e

a = aceleração.

Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI (

Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k é igual a 1 (um)

pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade de

massa, ou seja:



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Sistema Absoluto � a unidade de força é aquela que, ao agir sobre um corpo com

a massa de um quilograma, ocasiona uma aceleração de um metro por segundo, por

segundo (1m s-2), e se denomina “Newton”. A unidade de massa nesse sistema é

correspondente a um bloco de platina denominado quilograma – protótipo, guardado

em Sevres (França).

Sistema Gravitacional � a unidade de força é igual a unidade de massa por

unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade de massa neste

sistema é igual a g gramas. Melhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual

à unidade pela definição da unidade de massa. “Se um corpo de peso unitário cai

livremente, a força unitária atuará e a aceleração será g”; logo, para que a força

unitária produza uma aceleração unitária, a unidade de massa será equivalente a g

unidades de peso.

No sistema métrico seria:

1kgf = unidade de massa x 1(m/s2), logo: unidade de massa = )kg(g)ms(1

)kgf(12

=−

Em outras palavras, a força gravitacional comunica à massa de 1 kg a

aceleração g: 1,0 kgf = g x 1,0 kg. O importante é entender que o peso de um corpo

pode se reduzir a zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecerá a

mesma.

Por convenção internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de

Unidades (SI), também conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no Brasil

e na maioria dos países do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) e não

FLT (força, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional.

As unidades básicas desse sistema são o quilograma (neste caso seria um

quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidência de

nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se, assim, as

confusões daí advindas, infelizmente tão freqüentes. A Tabela 4 apresenta as

grandezas que compõe o SI.

As abreviaturas das unidades SI são escritas com letras minúsculas nos termos

como horas (h), metros (m) e segundos (s). A exceção é o litro, que ao invés de se

abreviar por “l”, utiliza-se a letra “L”. Quando uma unidade é designada por um nome

próprio, a abreviatura (mas não o nome por extenso) é escrita com letra maiúscula.

Exemplos são o watt (W), o pascal (Pa) e newton (N).



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Tabela 4 – Grandezas básicas componentes do SI

GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Intensidade de corrente Ampére A Temperatura termodinâmica Kelvin K Intensidade luminosa Candela cd Quantidade de matéria mol mol

Os múltiplos e submúltiplos, expressos em potências de 103, são indicados por

prefixos, os quais também são abreviados. Os prefixos usuais são mostrados na

Tabela 5.

Tabela 5 – Prefixos usualmente utilizados

Múltiplo Prefixo SI

Abreviatura Múltiplo Prefixo SI

Abreviatura

109 giga G 10-3 mili m 106 mega M 10-6 micro µ 103 kilo k 10-9 nano n 10-2 centi c 10-12 pico p

Apresenta-se a seguir (Tabela 6) as grandezas mais freqüentes, com suas

respectivas unidades para os cálculos relacionados com as atividades da hidráulica.

Tabela 6 – Grandezas e unidades mais utilizadas

Grandeza Símbolo Unidades Relação com as unidades básicas

Dimensional

Área m² L²

Volume m³ L³ Velocidade m s-1 L T-1

Aceleração m s-² L T-2

Massa específica kg m-³ M L-3

Força N Newton kg m s-² M L T-2

Pressão Pa Pascal N m-² M L-1 T-2

Energia J Joule N m M L² T-2

Potência W Watt J s-1 M L² T-3

Viscosidade dinâmica P Poise 0,1 N s m-² M L-1T-1

Viscosidade cinemática St Stokes 10-4 m2 s-1 L² T-1

Momento de inércia m4 L4

Peso específico N m-3 M L-2.T-2



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2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS

É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças

que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.

2.1 Pressão e Empuxo

Quando se considera a pressão, implicitamente relaciona-se uma força à

unidade de área sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa

líquida, uma porção de volume V, limitada pela superfície A (Figura 4), se dA

representar um elemento de área nessa superfície e dF a força que nela atua

(perpendicularmente), a pressão será: dAdF

p =

Considerando-se toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante

que se chama empuxo (E), sendo, às vezes chamada de pressão total. Essa força é

dada pela integral: ∫=A

pdAE

Se a pressão for a mesma em toda a área, o empuxo será: E = p A.

Figura 4 - Massa líquida em repouso, com área “A”.

2.2 Lei de Pascal

Seja um líquido homogêneo e em equilíbrio, no interior do qual isola-se um

prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitário (Figura 5). Se o prisma estiver

em equilíbrio, a somatória das forças atuantes na direção “X” será nula. (ΣFx = 0).

dsdy

sen;.dssen.ps.dypx =θ1θ=1



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pspx;dsdy

psdsdy

px;dsdy

dspsdypx ===

Figura 5 – Forças atuantes em um prisma.

Na direção “Y” deve ocorrer o mesmo: ΣFy = 0, havendo o equilíbrio. Logo:

dwcos.dsps.dxpy +θ1=1

2

1γ+θ=

.dxdycos.dspsdxpy

Sendo o prisma elementar, suas dimensões são infinitesimais e, portanto, a

força resultante de seu peso é desprezível. Portanto:

pspy;dsdx

psdsdx

py;dsdx

dspsdxpy ===

Então, px = py = ps.

Este é o princípio de Pascal, que se anuncia: “Em qualquer ponto no interior de

uma massa líquida em repouso e homogênea, a pressão é a mesma em todas as

direções”.

A prensa hidráulica é uma importante aplicação desta lei. Na Figura abaixo,

considere que o diâmetro do êmbulo maior seja de 4 vezes o diâmetro do êmbulo

menor. Se for aplicada uma força F1 = 50 N, a pressão do fluido transmitirá, ao êmbulo

maior, uma força F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2 � F1 A2 = F2 A1 )



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Figura 6 – Desenho esquemático de uma prensa hidráulica.

A Figura 7 ilustra uma solução real para obtenção da movimentação de uma

carga, onde estão adicionados uma reservatório e duas válvulas de retenção que

viabilizam o movimento alternativo do cilindro 1, provocando um movimento contínuo

do cilindro 2. O cilindro 1 e as duas válvulas caracterizam uma bomba de pistão de

simples ação, ou seja, que produz vazão apenas em um sentido de movimentação do

êmbulo.

Figura 7 – Exemplo de aplicação da Lei de Pascal

Exercício : Calcular a força P que deve ser aplicado no êmbolo menor da prensa

hidráulica da Figura 8, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no êmbolo maior.



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Os cilindros estão cheios, de um óleo com densidade 0,75 e as seções dos êmbolos

são, respectivamente, 40 e 4000 cm2.

Figura 8 – Desenho esquemático de uma prensa hidráulica

2.3 Lei de Stevin

Na Figura 9, A é a área das faces, P é o peso da massa líquida e h é a diferença

de nível entre os pontos considerados. Como V.P γ= e h.AV = então h.A.P γ= .

Se o sistema estiver em equilíbrio, ΣFy = 0 e, portanto:

Figura 9 – Demonstração da Lei de Stevin.

hpp

ouhpp

AhApAp

0ApAhAp

0ApPAp

1212

12

21

21

=γ

−γ

γ=−

γ=−=−γ+

=−+



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“A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio

é igual à diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do

líquido”.

2.4 Manometria

As pressões são grandezas físicas muito importantes no trabalho com fluidos,

haja vista a equação fundamental da Estática dos fluidos, que é expressa em termos

de pressões e esforços.

No século XVII Torricelli executou sua conhecida e célebre experiência ao nível

do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercúrio em uma cuba, o líquido

fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milímetros de

altura.

A conclusão lógica era de que o ar atmosférico tinha peso, por conseguinte

exercia pressão. Esta pressão, medida ao nível do mar, correspondia a uma coluna de

mercúrio de 762 mm de altura. Este valor de pressão foi chamado de "uma atmosfera

Física". Como o peso específico do mercúrio é 13.600 kgf m-3, vem:

13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2

Como a densidade do mercúrio é 13,6, a mesma pressão atmosférica

equilibraria uma coluna de água de: 13,6 x 0,762 = 10,36 m.

Na prática da hidráulica se utiliza a atmosfera "técnica" que vale 735 mm Hg.

735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf m-2 = 1,0 kgf cm-2 = 1,034 atm.

A pressão atmosférica é medida por barômetros ou por barógrafos, que são

barômetros registradores. A pressão atmosférica varia com a altitude; para cada 100

metros de elevação de altitude ocorre um decréscimo na pressão atmosférica de 0,012

atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a pressão é:

patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm

Exercício : A Figura 10 reproduz a experiência de Torricelli em uma certa localidade,

quando foi utilizado o mercúrio como líquido manométrico. Se, ao invés de mercúrio,



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tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna

de óleo?

Figura 10 – Exemplo da experiência de Torricelli.

2.4.1 Tipos de pressão

A um fluido com pressão atmosférica pode-se “acrescentar” ou "retirar” pressão.

Tais pressões são denominadas “efetivas" ou manométricas, por que são medidas por

manômetros e podem ser positivas ou negativas.

Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão

atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será

injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será

mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do

valor zero.

Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão

manométrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada

com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial

(zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão

atmosférica, a qual não é acusada por manômetros.

Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o

ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se

"vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma

pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.



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Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a

atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que

denomina-se pressão absoluta. No exemplo considerado, sendo por hipótese a

pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão:

a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente)

Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm

b) para pressão efetiva de 1,2 atm

Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm

c) para pressão efetiva de -0,2 atm.

Pabs = Patm + Pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm

Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a

pressão atmosférica local; logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente.

Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro

é o manômetro que mede pressões efetivas negativas.

2.4.2 Classificação dos medidores de pressão

a) Manômetro de líquido ou de coluna líquida

São aqueles que medem as pressões em função das alturas da coluna dos

líquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam:

a1) Tubo Piezométrico, Piezômetro simples ou Manômetro Aberto

É o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente

inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão (Figura 11). O líquido

circulante no conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do

efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida.



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PA = γ h

Figura 11 – Esquema de um tubo piezométrico.

A pressão no ponto A será: hPA γ= (Lei de Stevin), em que PA é a pressão em

A (N m-2 ou kgf m-2); γ é o peso específico do líquido (N m-3 ou kgf m-3) e h é a altura de

coluna líquida acima do ponto A (m).

Observações: o diâmetro do tubo piezométrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o

efeito da capilaridade é desprezível. O tubo piezométrico pode ser inserido em

qualquer posição em torno de uma tubulação que o líquido atingirá a mesma altura h,

acima de A.

a2) Manômetro de tubo em U

É usado quando a pressão a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno.

Para tanto é necessário o uso de líquidos manométricos que permitam reduzir ou

ampliar as alturas da coluna líquida. Esta redução ou ampliação da coluna é obtida

utilizando-se um outro líquido que tenha maior ou menor peso específico, em relação

ao líquido escoante (Figura 12).



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Figura 12 – Esquema de um tubo em U.

Este outro líquido é denominado líquido manométrico, e deve apresentar algumas

características, como:

- não ser miscível com o líquido escoante;

- formar meniscos bem definidos;

- ter densidade bem determinada.

Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são: água,

cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para

grandes pressões, o líquido mais usado é o mercúrio.

Nos manômetros de tubo em U, a pressão já não é dada diretamente pela altura

da coluna líquida, mas através de equações que caracterizam o equipamento.

Para se conhecer a pressão em A, deve-se proceder da forma seguinte:

1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas líquidas e

cancele as colunas equivalentes;

2) Começando em uma das extremidades escreva o valor da pressão nesse

ponto; sendo incógnita use um símbolo;

3) Escreva em continuação o valor da pressão representada por uma a uma

das colunas líquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso

específico do fluido; cada parcela será precedida do sinal (+) se a coluna

tender a escoar para adiante sob a ação da gravidade e (-) em caso

contrário;

h

y



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4) Atingindo-se o último menisco a expressão será igualada à pressão nesse

ponto, seja ela conhecida ou incógnita.

Baseando-se nestes preceitos, chega-se a dois pontos: 1 e 2, onde:

PA+ γ1y - γ2h = Patm = 0

O índice 2 se refere às características do líquido manométrico.

Quando o manômetro é em forma de duplo U (Figura 13) ou mais (triplo U), é

preferível começar por um dos ramos até chegar ao outro.

Figura 13 – Esquema de um manômetro de duplo U.

321 PPP ≠≠ ; CB PP = ; ED PP =

0hyh)hx(P 2211211A =γ−γ+γ−+γ+

0)hh()hyx(P 22111A =γ+−γ+++

Exercício : A Figura 14 representa um manômetro instalado em uma tubulação. Calcule

a pressão no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa. Considere:

- líquido escoando na tubulação: água;



20

- líquido manométrico: mercúrio;

- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.

Figura 14 – Manômetro de duplo U.

- Com base no tensiômetro de mercúrio da Figura 15, mostre que o potencial

matricial no ponto A é

Figura 15 – Desenho esquemático de um tensiômetro de mercúrio.

a3) Manômetro Diferencial

12A hhh6,12 ++−=ψ



21

É o aparelho usado para medir a diferença de pressão entre dois pontos (Figura

16).

Figura 16 – Esquema de um manômetro diferencial.

B231A Pyh)hyx(P =γ−γ−γ+++

123BA )hyx(yhPP γ++−γ+γ=−

Outro método:

21 PP =

1A1 )hyx(PP γ+++= e hyPP 32B2 γ+γ+=

hyP)hyx(P 32B1A γ+γ+=γ+++

132BA )hyx(hyPP γ++−γ+γ=− em que PA – PB é a diferença de pressão entre A e B. a4) Manômetro inclinado

Aparelho usado para medir pressões ou diferenças de pressões muito pequenas.

A inclinação do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura.

Conforme Figura 17, hPA γ= . Mas θ= senLh . Portanto: θγ= senLPA .



22

Figura 17 – Esquema de um manômetro inclinado.

Figura 18 – Esquema de um manômetro inclinado diferencial.

B121A PxhyP =γ−γ+γ+ → h)xy(PP 21AB γ+−γ=−

Exercício : Considere o manômetro conectado a uma tubulação, como mostra a

Figura 19. Sabendo que a densidade do óleo é 0,83, calcule a diferença de pressão

entre os pontos 1 e 2.



23

Figura 19 – Exemplo de um manômetro diferencial.

b) Manômetro metálico ou de Bourdon

São os manômetros metálicos os mais utilizados na prática, pois permitem

leitura direta da pressão em um mostrador (Figura 20). As pressões são determinadas

pela deformação de uma haste metálica oca, provocada pela pressão do líquido na

mesma. A deformação movimenta um ponteiro que se desloca em uma escala.

a b

Figura 20 – Manômetro (a) e vacuômetro (b) metálicos.

É constituído de um tubo metálico transversal (seção reta) elíptica que tende a

se deformar quando a pressão P aumenta. Com isso a seção reta tende a ser circular



24

que por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico e

movimenta o ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a pressão

correspondente à deformação. São usados para medir pressões muito grandes

2.4.3 Relações entre as unidades de pressão

Atmosfera padrão

1 atm = 760 mmHg = 1,033 kgf cm-2 = 10,33 mca = 14,7 psi = 101.337 Pa =

10330 kgf m-2 = 1,013 bar = 1013 mbar

Atmosfera técnica

1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 104 kgf m-2 =

1,0 bar = 1000 mbar

2.5 Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa

Freqüentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de

estruturas que devem resistir às pressões exercidas por líquidos. Tais são os projetos

de comporta, registros, barragens, tanques, canalizações e outros.

2.5.1 Grandeza e direção do empuxo

A Figura 21 mostra uma área de forma irregular, situada em um plano que faz

um ângulo θ com a superfície livre do líquido.

Figura 21 – Representação do empuxo.



25

Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada

Figura, essa área será subdividida em elementos dA, localizada em profundidade

genérica h e a uma distância de y da interseção 0.

A força agindo em dA será: dAsenyhdApdAdF θγ=γ==

Cada uma das forças dF será normal às respectivas áreas.

A resultante ou empuxo (total) sobre total área, também normal, será dado por

.ydAsendAysendFFAA ∫∫ θγ=θγ=∫=

∫A ydA é o momento da área em relação à interseção 0. Portanto yAydAA

=∫ ,

expressão onde y é a distância do centro de gravidade da área até 0, e A área total.

AsenyF θγ=

Como

y sen θ = h � F = γh A

O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é uma grandeza tensorial

perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro

de gravidade da área.

2.5.2 Determinação do centro de pressão

A Figura 22 representa a posição do centro de pressão que pode ser

determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante

em relação à interseção 0 deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF.

F yp= ∫ dF y

Na dedução anterior,

dAysendF θγ= e AsenyF θγ= .

Substituindo,

dAysendAysenyAyseny A A2

p ∫ ∫θγ=θγ=θγ

Logo:

yA

I

yA

dAyy

2A

p == ∫ ,



26

Figura 22 - Determinação do centro de pressão

Nesta expressão, “I” é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção.

Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo

centro de gravidade, sendo conveniente a substituição.

yA I I 2o += (Teorema de Huygens)

yA

yAIyp

20 +

= ∴ yA

Iyy 0

p +=

Como 20 = kAI

, quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando

pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y

k+y=y

2

p .

O centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade a uma distância

igual a y

k2

, medida no plano da área.

Exercício: Numa barragem de concreto está instalada uma comporta circular de ferro

fundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nível da água. Determinar o

empuxo que atua na comporta.



27

3. HIDRODINÂMICA (Princípios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli)

3.1 Movimento dos fluidos

A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos.

Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posições dos

seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z.

O movimento desses fluidos ficará perfeitamente determinado se, em qualquer

instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v, relativa a

qualquer ponto; ou, então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as

componentes vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados.

Além disso, há de se considerar também, os valores da pressão p e da massa

específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado.

O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto,

cinco incógnitas, vx, vy, vz, p e ρ, que são funções de quatro variáveis independentes, x,

y, z, e t. A resolução do problema exige um sistema de cinco equações.

As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do

movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que

exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em

conta a natureza do fluido.

São dois os métodos gerais para a solução de problema; o método de Lagrange,

que consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo da suas

trajetórias, e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a

variação das grandezas mencionadas. O método de Euler será adotado, por ser muito

mais simples e cômodo.

3.2 Vazão ou descarga

Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido

que atravessa essa seção na unidade de tempo.

Na prática, a vazão é expressa em m³ s-1 ou em outras unidades múltiplas ou

submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros

por segundo (L s-1); os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam

usar litros por hora (L h-1) ou metros cúbicos por hora (m3 h-1).



28

3.3 Classificação dos movimentos

Movimento permanente é aquele cujas características (força, velocidade,

pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento

permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. Matematicamente:

0t

;0tp

;0tv =

∂ρ∂=

∂∂=

∂∂

As características do movimento não permanente, além de mudarem de ponto

para ponto, variam de instante em instante, isto é, são função do tempo. De maneira

semelhante: 0t

;0tp

;0tv ≠

∂ρ∂≠

∂∂≠

∂∂

O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece

constante ao longo da corrente ( 0Lv =

∂∂

). Neste caso, as seções transversais da

corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado

ou retardado ( 0Lv ≠

∂∂

), ou seja, não uniforme.

Um rio pode servir para ilustração (Figura 23). Há trechos regulares em que o

movimento pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos

(estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazão constante),

passa a ser acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento não permanente: a

vazão altera-se.

Figura 23 - Movimento permanente uniforme (a), acelerado (b) e não permanente (c).

3.4 Regimes de movimento

permanenteNao

tardadoRe

AceleradouniformeNao

Uniforme

PermanenteMovimento



29

A observação dos líquidos em movimento leva- nos a distinguir dois tipos de

movimento, de grande importância:

a) regime laminar;

b) regime turbulento.

Figura 24 - Regimes laminar e turbulento.

Com o regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem

definidas e não se cruzam. Já o regime turbulento caracteriza-se pelo movimento

desordenado das partículas.

3.5 Linhas e tubos de corrente

Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas

orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não

serem atravessadas por partículas do fluido.

Figura 25 - Linhas e tubo de corrente.

Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t considerado, uma

partícula de fluido animada de uma velocidade v. As linhas de corrente são, portanto,

as curvas que no mesmo instante t considerado, se mantém tangentes em todos os

pontos à velocidade v. Pelo próprio conceito, essas curvas não podem cortar-se.



30

Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar

um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. Os

tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de

não poderem ser atravessados por partículas de fluido: as suas paredes podem ser

consideradas impermeáveis. Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do

escoamento de líquidos.

3.6 Equações Gerais do Movimento

Seja no interior da massa líquida (em movimento) um ponto M, fixo, de

coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx,

dy e dz. A massa contida no cubo é ρdxdydz (Figura 26).

Figura 26 - Volume líquido elementar.

Sejam vx, vy, vz, as componentes da velocidade V com que as partículas

atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questão. Sejam ainda P e ρ

as pressões e massas específicas, grandezas que são funções contínuas e uniformes

das coordenadas.

Sobre o prisma, agem os seguintes esforços:

- as forças externas que dependem do volume considerado, como o peso, por

exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e

por unidade de massa: X, Y e Z. Os esforços totais em cada eixo serão:

ρXdxdydz ρYdxdydz ρZdxdydz



31

- os esforços decorrentes das pressões atuantes nas faces do prisma; essas

pressões são normais a cada face, como já visto na estática, e segundo o eixo X

tem como resultante:

dydz)dxxP

P(Pdydz'P∂∂+−=

dxdydzxP

PdydzPdydz'P∂∂−−= � dxdydz

xP

∂∂−

e segundo os outros eixos: dzdy dx yp

∂∂− e dzdy dx

zp

∂∂−

Sendo m a massa de uma partícula em movimento, “a” sua aceleração e F a

força resultante, pode-se escrever: amF = � dtdv

mF = � 2

2

dtxd

mF =

Com relação ao eixo X, tem-se então:

F dt

xdm x2

2

Σ=

dt

xdm

2

2

= dzdy dx . xp

- X . dz dy dx ∂∂ρ ou

dzdy dx xp

- dz dy dx X dt

xd . dz dy dx

2

2

∂∂ρ=ρ

O primeiro membro da equação anterior representa a força de inércia do

movimento; o primeiro termo do segundo membro, a ação da força externa, F, e o

segundo termo, a ação da pressão do fluido circundante.

Simplificando a equação:

xp

. 1

- X dt

xd2

2

∂∂

ρ= (8)

Na equação acima, 2

2

dtxd

é a componente da aceleração da partícula considerada

conforme o eixo X. Essa componente é a derivada da componente da velocidade em

relação ao tempo t. Logo:

dt

dv

dtxd x2

2

=



32

Por outro lado, como Vx é função de x, y, z, t, pode-se escrever:

dtzd

z

v

dtyd

yv

dtdx

x

v

tv

dt

dv xxxxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

Equação que pode ser escrita assim:

z

v v

yv

v x

v v

tv

dt

dv x

zx

yx

xxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

Portanto, substituindo na equação 10, tem-se:

z

v v

yv

v xv

v t

v x

zx

yx

xx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂xp

. 1

- X ∂∂

ρ=

Por analogia, pode-se escrever para os demais eixos:

zp

. 1

- Z zv

. v yv

. v xv

. v t

v

yp

. 1

- Y z

v . v

y

v . v

x

v. v

t

v

zz

zy

zx

z

yz

yy

yx

y

∂∂

ρ=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

ρ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂

Estas são as equações gerais do movimento dos fluidos perfeitos, denominadas

“Equações de Euler”. Para a solução do problema do movimento dos fluidos são

necessárias ainda duas equações que serão vistas adiante.

3.7 Movimento Permanente

Analisando a equação 8, pode-se escrever para os três eixos:

xp

. 1

- X dt

dv x

∂∂

ρ= �

dtdv

- X xp

. 1 x=

∂∂

ρ

yp

. 1

- Y dt

dv y

∂∂

ρ= �

dt

dv - Y

yp

. 1 y=

∂∂

ρ



33

zp

. 1

- Z dt

dv z

∂∂

ρ= �

dtdv

- Z zp

. 1 z=

∂∂

ρ

Multiplicando-se as equações por dx, dy e dz, respectivamente, e somando-se membro

a membro, obtém-se:

)dtdz

dvdtdy

dvdtdx

dv(ZdzYdyXdx)dzzp

dyyp

dxxp

(1

zyx ++−++=∂∂+

∂∂+

∂∂

ρ

Obs: a transformação anterior implica fisicamente que não há variação de vx, vy e vz com o tempo, ou seja, que o regime de escoamento é permanente. O termo entre parênteses no primeiro membro da equação é a diferencial total

de “p”. Logo é igual a dp.

)dtdz

dvdtdy

dvdtdx

dv(ZdzYdyXdxdp1

zyx ++−++=ρ

ou

)2v

(dZdzYdyXdxdp1 2

−++=ρ

(9)

A equação anterior é a Equação de Euler para regime permanente, também chamada

de equação das forças vivas.

3.8 Equação da conservação das massas – Equação da continuidade

Se no interior do cubo não há vazios (Figura anterior), ou seja, se ele permanece

cheio de fluido durante o movimento, segue-se que a diferença entre a massa que

entrou e a que saiu durante o tempo dt é igual à variação da massa no interior do

mesmo.

A massa fluida que durante o intervalo de tempo dt entra pelas três faces do

prisma é:

dxdydtvdxdzdtvdydzdtv zyx ρ+ρ+ρ

A massa que no mesmo intervalo sai pelas faces opostas:

+∂

∂+∂ρ∂+ρ dydzdt)

xv

v)(dxx

( xx



34

+∂

∂+

∂ρ∂+ρ dxdzdt)

y

vv)(dy

y( y

y

dxdydt)z

vv)(dz

z( z

z ∂∂

+∂ρ∂+ρ

A diferença entre as duas é:

dxdydzdt)z

)v(y

)v(

x)v(

( zyx

∂ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂− (10)

Por outro lado, a massa contida no prisma no instante t é ρdxdydz e no instante t

+ dt é:

dxdydz)dtt

(∂ρ∂+ρ

A variação da massa é, portanto:

dxdydzdtt∂ρ∂

(11)

Sendo as equações 10 e 11 equivalentes:

dxdydzdt)z

)v(y

)v(

x)v(

( zyx

∂ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂− = dxdydzdt

t∂ρ∂

0z

)v(y

)v(

x)v(

dtt

zyx =∂ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂+

∂ρ∂

Esta é a equação da Lei da Conservação da Massa. É a quarta equação para o

estudo do movimento. A quinta é a equação de estado dos fluidos, que será

apresentada a seguir.

Para os líquidos incompressíveis, ρ = constante. Assim:

0z

vy

v

xv zyx =

∂∂+

∂∂

+∂

∂

Considerando um trecho de um tubo de corrente, indicado na Figura 27, com as

seções A1 e A2 e velocidades respectivas v1 e v2, a quantidade de líquido de massa

específica ρ que passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será: 1111 Av

dtdm ρ=



35

Para a outra seção: 2222 Av

dtdm ρ=

No movimento permanente, a quantidade de líquido que atravessa A1 é igual à

quantidade que atravessa A2. Assim:

222111 AvAv ρ=ρ

Se o líquido for incompressível, ρ1=ρ2. Logo:

QAvAv 2211 ==

Esta é a equação da continuidade e mostra que no regime permanente, o volume de

líquido que, por unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o

mesmo.

Figura 27 - Tubo de corrente utilizado para demonstração do Teorema de Bernoulli.

3.9 Equação de estado dos fluidos

A última equação da Hidrodinâmica necessária ao sistema de cinco equações é

obtida considerando-se uma característica particular do fluido. Esta equação

representa uma relação envolvendo a massa específica com a pressão e com a

temperatura, para cada fluido.

Nos casos dos fluidos homogêneos e incompressíveis, ρ é constante.

Para os gases perfeitos, tem-se a equação geral:



36

gRTpρ

= constante

Esta equação introduziria uma sexta variável que é a temperatura. Por isso, admitindo

a temperatura constante, tem-se:

ρp

= constante.

3.10 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos

O Teorema de Bernoulli decorre da aplicação da equação de Euler aos fluidos

sujeitos à ação da gravidade (líquidos), em movimento permanente.

Nessas condições:

X = 0, Y = 0, Z = -g

Substituindo na equação 9:

)2v

(dgdzdp1 2

−−=ρ

Dividindo-se a equação anterior por g:

0)g2

v(d

gdp

dz2

=+ρ

+

Sabendo que ρg = γ (peso específico), e dividindo-se todos os termos por ds (dx, dy,

dz), obtem-se:

=+γ

+→=+γ

+g2

vpz0)

g2vp

z(dsd 22

constante

A Figura 27 mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa um líquido de

peso específico γ. Nas duas seções indicadas, de áreas A1 e A2, atuam as pressões p1

e p2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2.

As partículas, inicialmente em A1, num pequeno intervalo de tempo, passam a

A´1, enquanto que as que estão em A2 movem-se para A´2.



37

Investigando apenas as forças que produzem trabalho, temos a variação da

energia cinética: 2211

222 mv

21

vm21

vm21 =−

Sendo o líquido incompressível, VdSAdSA 2211 == . V é o volume do líquido

e a soma dos trabalhos das forças externas (empuxo e gravidade, pois não há atrito �

líquido perfeito) será:

)ZZ(VdSApdSAp 21222111 −γ+−

Igualando as duas equações anteriores:

)ZZ(VdSApdSApvm21

vm21

21222111211

222 −γ+−=−

)ZZ(V)pp(V)vv(Vg2

12121

21

22 −γ+−=−γ

Simplificando:

2121

21

22 ZZ

ppg2

vg2

v −+γ

−γ

=−

=+γ

+=+γ

+ 22

22

11

21 Z

pg2

vZ

pg2

vconstante

Este é o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado:

“Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinética (g2

v2

),

piezométrica (γp

) e geométrica ou potencial (Z)”. Este teorema é o próprio princípio da

conservação da energia. Cada um dos termos da equação representa uma forma de

energia. É importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros,

constituindo o que se denomina carga.

3.11 Demonstração experimental do Teorema de Bernoulli



38

Em 1875, Froude apresentou importantes experiências sobre o teorema de

Bernoulli. Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável,

conectada a um reservatório de nível constante.

Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à

alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto,

também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. Como as seções

são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância da carga total (soma

das alturas).

Figura 28 - Ilustração do Teorema de Bernoulli.

Exercício : Um líquido incompressível de massa específica igual a 800 kg m-3 escoa

pelo duto representado na Figura 29 com vazão de 10 L s-1. Admitindo o escoamento

como ideal e em regime permanente, calcule a diferença de pressão entre as seções 1

e 2 (1 N = 1 kg m s-2).

Figura 29 – Exemplo da aplicação da equação de Bernoulli.