SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER(mencari akar persamaan)

Dalam bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan rekayasawan sering berhadapan dengan persoalan mencari solusi persamaan yang lazim disebut akar persamaan (roots of equation) atau nilai-nilai nol yang berbentuk f(x) = 0.

Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya. Misalnya 2x – 3 = 0, maka solusinya x = 3/2.

Begitu juga persaman kuadratik seperti x2 – 4x – 5 = 0, akar-akarnya mudah ditemukan dengan cara pemfaktoran menjadi (x – 5)(x + 1) = 0 sehingga x1 = 5 dan x2 = -1.

Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nonliner yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, dan fungsi transenden lainnya, misalnya ;

1. Tentukan akar riil terkecil dari9.34 - 21.97x + 16.3x3 - 3.704x5 = 0

2. Kecepatan ke atas sebuah roket dapat dihitung dengan memakai rumus berikut :

dalam hal ini v = kecepatan ke atas, u = kecepatan relatif pada saat bahan bakar dikeluarkan terhadap roket, m0 = massa awal roket pada saat t = 0, q = laju pemakaian bahan bakar, dan g= percepatan gravitasi (= 9.8 m/det2).Jika u = 2200 m/det, m0 = 160000 kg, dan q = 2680 kg/det, hitunglah waktu saat v = 1000 m/det. (Nyatakan persamaan dengan ruas kanan sama dengan 0: v - u ln[m0/(m0 - qt)] + gt = 0 )

3. Dalam teknik kelautan, persamaan gelombang berdiri yang dipantulkan oleh dermaga pelabuhan diberikan oleh

maka,

4. Dalam bidang teknik lingkungan, persamaan berikut ini dapat digunakan untuk menghitung tingkat oksigen pada hilir sungai

dari tempat pembuangan limbah :

dalam hal ini x = jarak hilir sungai ke tempat pembuangan limbah (mil).

Tentukan jarak kehilir sungai bila pembacaan pertama pada alat pengukur tingkat oksigen adalah 4.

Nyatakan persamaan dengan ruas kanan sama dengan 0: maka,

Rumusan Masalah

Persoalan mencari solusi persamaan nonlinier dapat dirumuskan secara singkat sebagai berikut:

tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0, yaitu nilai x = s sedemikian hingga f(s) sama dengan nol.

Penyelesaian konvensional

1. Penyelesaian coba-banding (trial & error)

2. Penyelesaian cara grafis

Sangat tidak efisien untuk persamaan-persamaan komplek

I. METODE SETENGAH INTERVAL

Langkah analisis

1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu f(n) x f(xn+1) < 0

2. Estimasi awal dari akar xt dihitung dengan ;

3. Buat evalusi berikut untuk menentukan didalam sub interval mana akar persamaan berikut berada : a) Jika f(xn) x f(xn+1) < 0, tetapkan xn+1=xt, lanjutkan langkah 4 b) Jika f(xn) x f(xn+1) > 0, tetapkan xn=xt, lanjutkan langkah 4 c) Jika f(xn) x f(xn+1) =0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai

4. Hitung perkiraan baru dari akar persamaan dengan,

5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai batas toleransi yang ditentukan) maka hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. Jika belum

maka hitungan kembali ke langkah 3.

Bagan alir metode setengah interval

Contoh :Hitung salah satu akar dari persamaan berikut :

Penyelesaian :

Dihitung nilai f(x) pada interval antara dua titik, missal x =1 dan x = 2.Untuk x = 1, f(x=1) = (1)3+(1)2-3(1)-3= -4Untuk x = 2, f(x=2) = (2)3+(2)2-3(2)-3 = 3

Mengingat fungsi adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.

Dihitung nilai xt dan f(xt),

f(xt=1.5) = (1.5)3 + (1.5)2 - 3(1.5) - 3 = -0.01831

Oleh karena f(xt) x f(xn) bertanda (-), maka akar persamaan terletak antara x=1 dan x=2.

Perhitungan selanjutnya dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut :

Iterasi xn xn+1 xt f(xn) f(xn+1) f(xt) f(xt)*f(xn)

1 1.000 2.000 1.500 -4.0000 3.0000 -1.8750 7.5000

2 1.500 2.000 1.750 -1.8750 3.0000 0.1719 -0.3223

3 1.500 1.750 1.625 -1.8750 0.1719 -0.9434 1.7688

4 1.625 1.750 1.688 -0.9434 0.1719 -0.4094 0.3862

5 1.688 1.750 1.719 -0.4094 0.1719 -0.1248 0.0511

6 1.719 1.750 1.734 -0.1248 0.1719 0.0220 -0.0027

7 1.719 1.734 1.727 -0.1248 0.0220 -0.0518 0.0065

8 1.727 1.734 1.730 -0.0518 0.0220 -0.0150 0.0008

9 1.730 1.734 1.732 -0.0150 0.0220 0.0035 -0.0001

10 1.730 1.732 1.731 -0.0150 0.0035 -0.0057 0.0001

11 1.731 1.732 1.732 -0.0057 0.0035 -0.0011 0.0000

Contoh soal penerapan pada rekayasa saluran terbuka :

Aliran air pada saluran terbuka dengan debit 50 m3/detik. Bila karakteristik fisik saluran diketahui sebagai berikut ;

Penampang = TrapesiumKemiringan lereng = 1:2Kekasaran Manning (n) = 0.023Kemiringan dasar saluran = 0.00015Lebar dasar saluran (B) = 8.00 meter

Dengan asumsi aliran bersifat uniform flow,HITUNG KEDALAMAN ALIRAN !

B

mh

II. METODE INTERPOLASI LINIER (FALSE POTISION)Metode interpolasi linier didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan.

Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval Δx yang sama sampai akhirnya didapat dua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) berturutan yang mempunyai tanda berlawanan. Dari kedua nilai fungsi tersebut ditarik garis lurus sehingga terbentuk segitiga. Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun, maka didapat persamaan ;

Nilai x* digunakan untuk menghitung nilai f(x*) yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xn) atau f(xn+1) sedemikian hingga kedua fungsi memiliki tanda berbeda. Prosedur ini diulang lagi sampai didapat nilai f(x*) mendekati nol.

Contoh :

Hitung salah satu akar dari persamaan

Penyelesaian

Mencari x1 dan x2 yang berseberangan.Misal :x1 =1 f(x1=1) = -4x2 = 2 f(x2=2) = 3 karena f(x1) dan f(x2) berbeda tanda, maka x1 dan x2 berseberangan dan dapat digunakan untuk langkah selanjutnya.

Menghitung x* dan f(x*)

Karena f(x*) dan f(xn) bertanda sama, maka akar persamaan terletak antara x=1.57142 dan x=2.

Selanjutnya dihitung x* yang baru ;

Prosedur hitungan tersebut dilanjutkan sampai akhirnya didapat nilai f(x*)~0, seperti ditunjukkan tabel berikut :

Iterasi xn xn+1 f(xn) f(xn+1) x* f(x*) f(xn)*f(x*)1 1.0000 2.000 -4.000 3.000 1.571429 -1.36443 5.457725952 1.5714 2.000 -1.364 3.000 1.705411 -0.24775 0.338031213 1.7054 2.000 -0.248 3.000 1.727883 -0.03934 0.009746184 1.7279 2.000 -0.039 3.000 1.731405 -0.00611 0.000240395 1.7314 2.000 -0.006 3.000 1.731951 -0.00095 0.000005786 1.7320 2.000 -0.001 3.000 1.732035 -0.00015 0.00000014

METODE NEWTON RAPHSON

Dari gambar diatas, turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan kemiringan.

Prosedur Metode Newton Raphson secara grafis

atau,

FLOWCHART PERHITUNGAN METODE NEWTON RAPHSON

Contoh :

Hitung salah satu akar dari persamaan

Penyelesaian

Persamaan yang diselesaikan :

Turunan pertama dari persamaan :

Pada awal hitungan ditentukan x1 = 1 (sembarang), maka ;

Langkah pada iterasi ke-2 ditetapkan x2=3, maka ;

Perhitungan iterasi berikutnya ditunjukkan pada tabel berikut,

Iterasi xi f(xi) f'(xi) xi+1 f(xi+1)1 1.000 -4.000 2.000 3.000 24.002 3.000 24.000 30.000 2.200 5.888003 2.200 5.888 15.920 1.830 0.989004 1.830 0.989 10.709 1.738 0.054575 1.738 0.055 9.535 1.732 0.000206 1.732 0.000 9.464 1.732 0.00000

METODE SECANTKelemahan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (deferensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendeferensialkan persamaan yang akan diselesaikan. Untuk itu maka diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

Gambar disamping menunjukkan bahwa garis singgung di titik xi didekati dengan gradient garis AB dengan rumus berikut :

Bila persamaan tersebut disubti-tusikan kedalam persamaan Newton Raphson, maka diperoleh :

Penyelesaian persamaan ini memerlukan dua nilai awal dari x.

Flowchart perhitungan Metode Secant

Contoh :

Hitung salah satu akar dari persamaan

Penyelesaian :

Iterasi ke-1 :Diambil dua nilai awal (sembarang), misalnya :x1 = 1, maka f(x1=1) = -4x2 = 2, maka f(x2=2) = 3

Dengan menggunakan persamaan dari metode secant, maka ;

Iterasi ke-2 :x1 = 2 f(x1=2)=3x2 = 1.57142 f(x2=1.57142) = -1.36449

Perhitungan dilanjutkan pada iterasi berikutnya hingga f(x3) mendekati 0.

Iterasi x1 x2 f(x1) f(x2) x3 f(x3)

1 1.000 2.000 -4.0000 3.0000 1.571429 -1.36443149

2 2.000 1.571429 3.0000 -1.3644 1.705411 -0.24774510

3 1.571 1.705411 -1.3644 -0.2477 1.735136 0.02925540

4 1.705 1.735136 -0.2477 0.0293 1.731996 -0.00051518

5 1.735 1.731996 0.0293 -0.0005 1.732051 -0.00000104