Introduksi : Matriks
JURUSAN TEKNIK MESIN UNIVERSITAS TARUMANAGARA1
Outline Pengertian dasar matriks Operasi matriks Tranpose dari
matriks Jenis-jenis matriks
2
Learning ObjectivePemahaman dasar akan matriks. Mampu melakukan
operasi-operasi pada matriks. Mampu melakukan transpose terhadap
matriks. Mampu mengenal jenis-jenis matriks khusus.
3
PengertianDEFINISI: Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan secara empat persegi
panjang (menurut barisbaris dan kolom-kolom). Skalar-skalar itu
disebut elemen matriks. Untuk batasannya diberikan: ( ) atau [ ]
atau CONTOH:
2 3 5 6 7 0 1 4 3 1 2 6 kolom 1 2 3 4
baris 1 2 3
4
Pengertian (contd)NOTASI MATRIKSMatriks dapat diberi nama dengan
huruf besar A, B, C, dsb.. Secara lengkap ditulis matriks A = (aij)
artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij, dimana indeks i
menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari
elemen tersebut. Ordinary form: Sebuah matriks A = (aij), i =
1,2,,m dan j = 1,2,,n; yang mana berarti bahwa banyaknya baris
adalah m serta banyaknya kolom adalah n.
a11 a1n A= a amn m1
Dapat juga dinyatakan matriks Amxn = (aij), dimana (mxn) disebut
ukuran (ordo) dari matriks.
5
Pengertian (contd)KESAMAAN MATRIKS 2 buah matriks A = (aij) dan
B = (bij) dikatakan sama, A = B, bila: ukurannya sama (mxn) dan
berlaku aij = bij untuk setiap i dan j (i = 1,2,,m; j =
1,2,,n).
1. 2.
6
Operasi Matriks Penjumlahan matriks Perkalian skalar terhadap
matriks Perkalian antarmatriks
7
Penjumlahan MatriksDua matriks dapat dijumlah jika mempunyai
ordo yang sama. Jika A = (aij) dan B = (bij), maka A + B adalah
suatu matriks C = (cij), dimana: cij = aij + bij, untuk setiap i
dan j. Mengurangi matriks A dengan B, yaitu A B, adalah
menjumlahkan matriks A dengan matriks B. Contoh: 5 6 7 6 7 4
A23 = 8 3 4
B23 = 1 9 2
Maka:
C23 = A23 + B23
C23
5 6 7 6 7 4 5 + 6 6 + 7 7 + 4 = + = 8 3 4 1 9 2 8 +1 3 + 9 4 + 2
11 13 11 = 9 12 6
8
Perkalian skalar terhadap matriks Kalau k suatu skalar
(bilangan) dan A = (aij) maka matriks kA = (kaij). D.k.l. matriks
kA diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Contoh:Misalkan, bilangan skalar k = 3
2 3 1 A23 = 4 5 6 maka:
B23 = kA23 9 3 2 3 1 6 = 3 = 4 5 6 12 15 18 9
Perkalian antarmatriksPada umumnya operasi perkalian matriks
tidak bersifat komutatif. Pada perkalian matriks AB, matriks A kita
sebut matriks pertama dan B matriks kedua. Syarat perkalian
matriks: jumlah banyaknya kolom matriks pertama = jumlah banyaknya
baris matriks kedua. Definisi: Jika A = (aij) berordo (pxq) dan B =
(bij) berordo (qxr). Maka, perkalian AB adalah suatu matriks C =
(cij) berordo (pxr), dimana: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + aiq bqj
untuk setiap i = 1,2,,p dan j = 1,2,,r.10
Perkalian antarmatriks (contd) Contoh:Jika diketahui:
A23maka:
1 3 2 = 4 0 5
B32
7 2 = 1 4 6 3
C22 = A23 B32 7 2 1 3 2 = 1 7 + 3 1 + 2 6 1 2 + 3 4 + 2 3 = 1 4
4 0 5 4 7 + 0 1 + 5 6 4 2 + 0 4 + 5 3 6 3 22 20 = 58 23
11
Operasi: sifat-sifat aritmatikaa. b. c. d. e. f. g. h. i.
A+ B = B+ AA + ( B + C ) = ( A + B) + C
Hukum komutatif penjumlahan Hukum asosiatif penjumlahan Hukum
asosiatif perkalian Hukum distribusi kiri Hukum distribusi
kanan
A ( BC ) = ( AB ) CA ( B C ) = AB AC
( B C ) A = BA CAk ( B C ) = kB kC
( k l ) A = kA lAk ( lB ) = ( kl ) Bk ( AB ) = ( kA) B = A ( kB
)
dengan k dan l adalah skalar sebarang
12
Transpose : matriksSuatu matriks A = (aij) berordo (mxn) maka
transpose dari A adalah matriks AT berordo (nxm) yang didapatkan
dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i = 1,2,,m, sebagai
kolom ke-i dari AT. D.k.l. setiap elemen baris dijadikan kolom, AT
= (aji). Contoh:
1 2 3 A= 4 5 6
1 4 T A = 2 5 3 6 13
Transpose : matriks (contd)SIFAT-SIFAT:
1. 2. 3. 4.
(A )( kA)
T T
=AT
( A B)T
= AT BT
= kAT
( AB ) = BT ATT
14
Transpose : matriks (contd) Contoh (1): Jika diketahui matriks A
dan B sbb: 2 3 3 1 A= dan B = 1 4 4 2 Selidikilah apakah berlaku:
a. b. c. d.
(A )( kA)T
T TT
=A= AT + BTjika k = 3
( A + B)
= kATT
( AB )
= BT AT15
Transpose : matriks (contd) Contoh (2):Buktikan bahwa setiap
matriks bujur sangkar A dapat dinyatakan sebagai setengah dari
jumlah matriks simetrik dan matriks simetrik miring (skew
symmetric). Petunjuk: rumus identitas A =1 2
(A+ A )+ (A A )T 1 2 T
16
Jenis-jenis matriks khusus1. MATRIKS BUJUR SANGKARSuatu matriks
dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur
sangkar berordo n. Barisan elemen a11,a22,,ann disebut diagonal
utama dari matriks bujur sangkar A tersebut.
Contoh:
A22
4 3 = 2 1
A33
5 3 2 = 1 4 5 7 2 6 17
Jenis matriks (contd)2. MATRIKS BARIS (KOLOM) Matriks yang
terdiri dari satu baris (kolom) atau matriks berordo 1 x n (n x 1),
dengan n A. CONTOH:
A 13 = ( 2 1 3)matriks baris
2 B31 = 2 1 matriks kolom18
Jenis matriks (contd)3. MATRIKS DIAGONAL Matriks bujur sangkar,
dimana elemen-elemen pada diagonal utama atau pada diagonal yang
lain tidak nol, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.
CONTOH:
5 0 0 4 0 , 0 4 0 0 1 0 0 6 19
Jenis matriks (contd)4. MATRIKS IDENTITAS (SATUAN) Matriks bujur
sangkar, dimana elemen-elemen pada diagonal utama masing-masing
adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.
CONTOH:
1 1 0 0 1 0 0 I2 = , I3 = 0 1 0 , I 4 = 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 120
Jenis matriks (contd)5. MATRIKS NOL Suatu matriks, dimana semua
elemennya adalah nol. Jika matriks A = (aij) dan 0 adalah matriks
nol, maka: A+0=0+A=A A0 = 0A = 0 Contoh:
022
0 0 = 0 0
023
0 0 0 = 0 0 021
Jenis matriks (contd)6. MATRIKS SINGULAR &
NON-SINGULARMatriks singular adalah matriks bujur sangkar yang
tidak mempunyai invers (berarti: determinannya sama dengan nol).
Matriks non-singular adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai
invers (berarti: determinannya tidak sama dengan nol). Contoh: 1 5
3 Matriks singular : A = 2 7 2 A = 0 0 0 0
1 5 3 Matriks non-singular : B = 0 7 2 B = 63 0 0 9 22
Jenis matriks (contd)7. MATRIKS SIMETRIS Matriks yang
transposenya sama dengan dirinya sendiri, A = AT atau aij = aji
untuk semua i dan j. D.k.l. matriks bujur sangkar yang mana
diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin. CONTOH:
A33
5 1 6 = 1 4 3 6 3 6
23
Jenis matriks (contd)8. MATRIKS ANTISIMETRISMatriks yang
transposenya adalah negatif, AT = -A atau aji = -aij untuk semua i
dan j D.k.l. mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal utama
matriks antisimetris adalah nol. Contoh:
0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 3 4 1 0 3 4 , BT = B= 1 3 0 1 1 3 0 1 2 4 1
0 2 4 1 0 24
Jenis matriks (contd)9. MATRIKS SEGITIGAMatriks bujur sangkar
yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah nol disebut
matriks segitiga bawah (lower triangular). Sedangkan, matriks bujur
sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol
disebut matriks segitiga atas (upper triangular). 1 3 2 1 Contoh: 1
0 0
2 7 0 3 5 9
0 1 2 3 0 0 4 0 0 0 0 1
Matriks segitiga bawah
Matriks segitiga atas
25
Jenis matriks (contd)10. MATRIKS INVERS (KEBALIKAN)Kalau A dan B
matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I
maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1, dan begitu pula
sebaliknya.
Contoh:
1 2 3 C = 1 3 3 1 2 4
6 2 3 mempunyai invers C 1 = 1 1 0 1 0 1
1 0 0 karena CC 1 = C 1C = 0 1 0 = I 0 0 1
(coba selidiki!)26
Jenis matriks (contd)11. MATRIKS KOMUTATIFKalau A dan B
matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka A dan B
dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks
bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ordonya sama) dan dengan
inversnya (bila ada). Contoh:
2 1 3 1 A= dan B = 1 1 1 3
berkomutatif karena
7 5 AB = BA = 5 7
(coba selidiki!)27
Jenis matriks (contd)12. MATRIKS IDEMPOTEN, PERIODIK,
NILPOTENBila berlaku AA = A2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A
adalah matriks yang idempoten. Secara umum bila p bilangan asli
(bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAAA = Ap = A, maka
dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau Ar = 0,
dikatakan A nilpoten dengan indeks r (dimana r adalah bilangan
bulat positif terkecil). Contoh: 2 2 4 2 2 4 idempoten
nilpoten
A33 = 1 3 4 A2 = 1 3 4 1 2 3 1 2 3 1 1 3 A33 = 5 2 6 A3 = 0
(coba selidiki!) 28 2 1 3
