UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARAFACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

DEPARTAMENTUL DE INFORMATICĂCURSURI POSTUNIVERSITARE SERIA XVI

LUCRARE DE DIZERTAŢIE

Coordonator Ştiinţific: Candidat:Lect. Dr. Alexandru IONICĂ Seica (Deak) Alina

TIMIŞOARA

2010UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂDEPARTAMENTUL DE INFORMATICĂ

CURSURI POSTUNIVERSITARE SERIA XVI

„OPTIMIZAREA FLEXIBILĂ”

Coordonator Ştiinţific: Candidat:Lect. Dr. Alexandru IONICĂ Seica (Deak) Alina

TIMIŞOARA

2

2010

CUPRINS

Introducere

Capitolul 1: Realitate. Decizie. Flexibilitate..................................... 61.1. Realitate:o viziune antropomorfă....................................... 61.2. Decizie şi acţiune în realitatea imediată............................... 141.3. Flexibilitatea în procesele decizionale.................................. 22

Capitolul 2: Optimizarea flexibilă.................................................... 322.1. Conceptul de optimizare flexibilă............................................. 332.2. Direcţiile optimizării

flexibile....................................................40

2.3. Normativ si descriptiv.............................................................. 50

Capitolul 3: Aplicaţii.......................................................................... 523.1. Generarea soluţiilor cu produs maximal pe componente.... 523.2. Generarea de numere k – binare........................................... 56

Bibliografie....................................................................................... 59

3

Introducere

Optimizarea este acţiunea de a optimiza, asamblul de lucrări de cercetare operaţională care urmăreşte găsirea celei mai bune soluţii pentru rezolvarea unei anumite probleme; Matematic vorbind este vorba despre un raţionament, un calcul care permite găsirea valorilor unuia sau mai multor parametri ce corespund maximului unei funcţii.

Considerăm problema tipică a maximizării : Se cere să se găsească xi Є K, astfel încât

f (xi )≥ f (x), (¥)x Є K , unde K este mulţimea posibilă de valori ale lui x, iar f(x) este

funcţia obiectiv injectivă, care urmează a fi optimizată. Un maxim pentru f(x) implică existenţa unui minim pentru –f(x), iar valoarea xi este soluţia optimală sau punct de optim. Un punct optimal aflat în mulţimea posibilă, poate fi punct interior sau de frontieră. Dacă este interior este şi punct critic, pe când un punct frontieră nu este neapărat un punct critic al funcţiei f. Relaţiile care definesc mulţimea posibilă sunt restricţiile problemei. În cazul în care mulţimea posibilă este vida, spunem ca restricţiile sunt inconsistente. Putem distinge restricţii de forma xi ≥ 0 , pe care le numim restricţii directe asupra variabilelor (restricţii de nenegativitate) şi restricţii functionale. Soluţia problemei generale a optimului, max (sau min) f(x), pentru x dintr-

o mulţime închisă posibilă K, va fi un punct xi , care este fie un punct critic al lui f, fie un punct

frontieră (sau ambele) al mulţimii K.

În cazul programării liniare, funcţia obiectiv şi restricţiile sunt liniare, iar restricţiile de nenegativitate joacă un rol important. Întrucât funcţia obiectiv este liniară, ea nu are puncte critice şi toate punctele optimale sunt de frontieră. Programarea liniară a ajutat lămurirea proprietăţilor unor probleme generale de optimizare, care fac uz de restricţii de nenegativitate şi de inegalităţi. Ea a influenţat în mod deosebit cercetarea operaţională şi alte domenii, unde soluţiile numerice sunt necesare. Printre acestea remarcăm programarea pătratică, o metoda relativ simplă, destinată problemelor cu restricţii liniare şi cu funcţii obiectiv neliniare, care pot fi prezentate ca funcţii pătratice; programarea cu întregi, care se ocupă de probleme în care unele variabile sunt discrete şi altele nu; programarea concavă şi metodele de gradient, care reprezintă o extindere a metodelor clasice; programarea dinamică, o metoda de optimizare pentru problemele unde restricţiile se dau sub forma unor şiruri.

Lucrarea cuprinde două capitole cu partea teoretică şi un al treilea capitol cu aplicaţiile. În primul capitol întâlnim noţiuni care fac parte din gândirea si limbajul curent, şi anume: realitatea, decizia si flexibilitatea. Realitatea este cadrul cel mai general al desfăşurării tuturor activităţilor individuale şi sociale. Ne vom referi pe tot parcursul lucrării la modele care au ca scop fundamentarea deciziei. Raporturile omului cu realitatea imediată se înscriu în ciclul cibernetic informare-decizie-acţiune. Pe baza acestui ciclu cibernetic vom încerca sa lămurim mai multe noţiuni care vor ajuta la o mai bună înţelegere a optimizării flexibile. În acelaşi scop sunt prezentate mai multe exemple si modele în cadrul acestei lucrări. Dacă au mai rămas neclarităţi în ceea ce priveşte noţiunea de ”optimizare flexibilă” cel de al doilea capitol e menit

4

sa clarifice acest termen. Tot in cadrul acestui capitol este definită şi noţiunea de ”optimizare clasică” pentru a putea face o comparaţie între aceasta si optimizarea flexibilă. Astfel reiese clar diferenţa dintre cele două şi scopul fiecăruia. În urma unei analize mai ample va rezulta demersul fundamental al optimizării flexibile: ţinând seama de nevoia readucerii în context (pentru a lua efectiv o decizie) a rezultatelor unui procedeu de calcul independent de context, o cale mai rapidă (pe care o numim optimizare flexibilă), este aceea de a reflecta contextul la nivelul procedeelor de calcul (sau modelului) fără a le afecta corectitudinea numerică, ci doar nuanţând filozofia specifică a acestor procedee.

Ultimul capitol cuprinde partea de aplicaţie, unde găsim enunţul problemei, a cărei rezolvare se cere, descrierea algoritmului, un caz particular rezolvat şi programul corespunzător în C++.

5

Capitolul I

REALITATE. DECIZIE. FLEXIBILITATE

Noţiunile cuprinse în titlul acestui capitol fac parte din gândirea şi limbajul curent. Anumite precizări ale sensului în care sunt folosite devin necesare atunci cînd noţiunile operează în context specific.

Realitatea este cadrul cel mai general al desfăşurării tuturor activităţilor individuale şi sociale. Chiar şi construcţiile mintale imaginare aparţin într-un anume sens realităţii datorită faptului că suportul lor fizic şi cel puţin o parte din conceptele de bază cu care operează sunt parte integrantă din realitate. ”Decupând” segmente spaţiale sau temporale ale realităţii putem alcătui diverse scheme de clasificare a activităţilor umane.

Decizia este unul din segmente, constituind în mod simultan:a) O activitate de sine stătătoare sau o acţiune ad-hoc.b) Efectul unor alte activităţi.c) Cauza unor activităţi ulterioare.

Poate că ar fi exagerat să afirmăm că „tot ce nu este întâmplător reprezintă rezultatul unei decizii”, dar o astfel de aserţiune subliniază în mod elocvent rolul antientropic al activităţii decizionale. Ca act raţional, decizia este strict specifică speciei umane. Elementele de comportament inteligent cu aparenţa de decizie care pot fi întâlnite în restul lumii vii sunt de fapt rezultate ale jocului interactiv-complex, dar nu şi raţional, dintre reflexe, instincte şi secvenţe ale programului genetic.

Flexibilitatea este atributul realităţii. Rolul, ponderea şi efectele importante ale activităţii decizionale asupra realităţii însăşi exclud ideea unei realităţi rigide, predeterminate sau, la cealaltă extremă, a unei realităţi amorfe şi perfect întîmplătoare.

Ca atribut al realităţii, flexibilitatea trebuie să fie şi o caracteristică a deciziei şi a instrumentelor de decizie. Acestui deziderat i se consacră în mare măsură argumentele expuse în în această lucrare.

1.1. Realitatea: o viziune antropomorfă

Între microcosmos şi macrocosmos există un strat care asimilează cvasitotalitatea preocupărilor şi activităţilor individuale şi sociale, imensa majorare a demersului cognitiv al umanităţii şi constituie, în mod practic terenul exclusiv al deciziilor luate la scara individului, colectivităţii şi societăţii: realitatea imedeată. Desigur că, în raport cu micro şi macrocosmosul, acest strat este „subţire”, dar, din perspectiva umană el cuprinde epoci, culturi şi civilizaţii (în dimensiunea istorică), drumul de la tracţiunea animală şi geocentrism până la aselenizarea omului şi teoriile cosmogonice moderne (perspectiva spaţiului) şi saltul de la o dependenţă fără apel faţă de natură până la terapia intensivă şi ingineria genetică (extinderea raportului on natură).

6

Frontierele realităţii imediate nu sunt precise, nici fixate. Prin cunoaştere şi acţiune ele sunt deplasate către micro şi macrocosmos, iar reprezentarea lor constituie mai mult o convenţie grafică decât o imagine operaţională (fig.1.1.).

Fig.1.1.

Raporturile omului cu realitatea imediată se înscriu în ciclul cibernetic informare-decizie-acţiune. Nu putem face aceeaşi informaţie în ceea ce priveşte raporturile om-macrocosmos. Ele se rezumă la cunoaştere directă (prin observaţie şi experiment) sau indirectă (prin deducţie). În absenţa posibilităţii unor acţiuni la scara micro şi macrocosmosului, decizia îmbracă eventual forma unui deziderat logic sau a „experimentului mintal” despre care vorbea Albert Einstein. Universalitatea modelelor ca instrumente de cunoaştere este demonstrată de prezenţa lor la toate nivelurile menţionate mai sus. „Lumea dinafara simţurilor” se lasă cunoscută în primul rând prin aparate de observare şi măsură care completează registrul simţurilor şi poate fi reprezentată prin modele. În „stratul” realităţii imediate modelele amplifică puterea de penetraţie logică a omului în mediul său înconjurător; fără a sta -aşa cum am arătat mai sus- la baza deciziei şi a acţiunii, modelele îndeplinesc aceeaşi funcţie în cunoaşterea micro- şi macrocosmosului.

Pentru a limita de la început obiectul analizei, ne vom referi pe tot parcursul lucrării la modelele care au ca scop fundamentarea deciziei. Ele privesc, aşadar, realitatea imediată şi potenţial o influienţează prin intermediul deciziei şi acţiunii. O definiţie a obiectului modelabil permite deschiderea unei discuţii interesante: „...din momentul în care un fenomen se reproduce el devine capabil de a fi formalizat: i se poate da o formă. Vom spune atunci că este modelabil”. Definiţia pare atractivă dar, probabil că nu îşi epuizează obiectul. O putem confrunta cu alte opinii şi în acest sens ni se pare relevantă clasificarea prin care N.Georgescu-Roengen defineşte trei clase de fenomene:

-Sisteme raţionale de ordinul 1. Prezintă proprietăţi deductibile din cele ale comportamentelor; prin analogie cu teoria geometrică ele formează corpul teoremelor.

-Sisteme raţionale de ordinul 2. Posedă proprietăţi (sau comportamente) datorate noutăţii prin combinare şi care nu mai pot fi deduse, ci cunoscute experimental.

7

-Sisteme raţionale de ordinul 3. La acestea se pot evidenţia proprietăţii irepetabile chiar dacă elementele componente se repetă în condiţii identice.

S-ar părea că, în concordanţă cu definiţia citată, sistemele raţionale de ordinul 3 nu sunt modelabile. Şi totuşi astfel de sisteme (fenomene) pot fi explicate incluzând în modelul lor iniţial, relaţii cauzale care explică un anumit prezent printr-un anumit trecut şi sfârşesc prin a reduce, în multe cazuri, sistemul de ordinul 3 la un sistem de ordinul 2. Un bun exemplu îl pot constitui procesele markoviene de grad superior. Pe de altă parte, în anumite situaţii, intuiţia sau o ipoteză (numai în aparenţă neplauzibilă) pot substitui un lanţ deductiv incomplet sau o suită incompletă de observaţii şi experimente. Este foarte posibil, de altfel ca termenul comod de „intuiţie” să ascundă de fapt asimilarea unei a treia carecteristici definitorii a sistemului, alături de structură şi funcţie: arhitectura. „Pe plan general, alături de noţiuni ca sistem, structură, funcţie, informaţie, probabil de noţiunea de arhitectură, va câştiga un rol metodologic important”. Şi desigur intervenţia omului în micro şi macrocosmos este reală dar au un caracter experimental dictat de actualele limite tehnologice; prin acţiuni semnificative înţelegem în acest context, intervenţiile care au consecinţe perfect controlabile şi induc modificări în mediul asupra căruia sunt exercitate.

Asociindu-ne acestui punct de vedere, înclinăm să credem că demersul cunoaşterii unui sistem deci şi construirea modelului nu se opreşte la latura structurală şi cea funcţională, tot astfel cum nu orice grup geometric poate fi reprezentat satisfăcător numai prin proiecţii bidimensionale. Omul se situează pe o poziţie exterioară, de „observator” numai în raport cu anumite clase de sisteme din realitatea imediată; celelalte clase de sisteme – şi acestea formează majoritatea – îl includ, individual sau într-o formulă colectivă ca subsistem. Sau, conform clasificării, citate mai sus, a fenomenelor raţionale, omul este, în mod evident (nu în sine, ci prin ansamblul manifestărilor sale ca fiinţă socială şi raţională) un sistem de ordinul 3. Înseamnă oare acest fapt că un sistem om-maşină sau un grup de decizie nu constituie un obiect modelabil? Relaitatea demonstrează contrariul. Concluzia care pare să se impună este cea că pentru înţelegerea şi conducerea sistemelor complexe din care omul face parte, ca grup sau ca individ, nu este suficient doar aparatul conceptual al teoriei generale a sistemelor sau al cibernetici; este necesar să se facă un apel şi la calităţile pe care omul nu le-a trimis maşinii, chiar dacă a echipat-o cu inteligenţă artificială: intuiţia (ca abilitate de a surprinde din perspectiva global relaţiile cauzale calitative, mai greu formalizabile într-un sistem dat), experienţa (care înseamnă mai mult decât rezultatul unui simplu proces de învăţare) şi chiar bunul-simţ (care operează delimitări esenţiale între probabil şi posibil). Recunoaşterea rolului jucat de aceste aspecte atât în cunoaşterea cât şi în însuşi comportamentul sistemelor complexe poartă şi un nume: „mindscape” sau privire mintală definită ca „o structură pentru a raţiona, cunoaşte, percepe, conceptualiza, proiecta, planifica şi decide, care poate varia de la un individ, profesie, cultură sau grup social la altul”.

Matematicianul francez H. Poincare a imaginat – înainte de apariţia calculatorului şi a inteligenţei artificiale – un „spirit logic perfect” (SLP) care poate deduce instantaneu toate cunoştinţele unei mulţimi date de propoziţii, verificând în prealabil dacă respectivul sistem logic este consistent şi determinat. În anumite cazuri, descrierea unui sistem complex poate fi nedeterminată sau contradictorie, ceea ce face imposibilă deducerea unor informaţii despre comportamentul sistemului. Posibilitatea de a utiliza SLP rămâne acelasi, de a-i furniza ipoteze intuitive până când SLP, testând mai întâi sensul logic şi consistenţa noii mulţimi de propoziţii, „ajunge” la un sistem logic determinat al cărui comportament poate fi dedus. Capacitatea deductivă ajunge, deci, la un model operaţional inclusiv cu concursul formării de ipoteze (sau „concepte noi”) pe cale intuitiv-empirică. Simpla putere de a deduce rapid este necesară, dar nu întotdeauna suficientă pentru cunoaşterea realităţii prin modele.

8

Un punct de vedere complementar cu cel expus mai sus este furnizat de o critică a metodei analitice propuse de Descartes în „Reguli utile şi clare pentru îndrumarea minţii în căutarea adevărului în ştiinţe” care recomandă descompunerea întregului în părţi suficient de simple pentru ca fiecare legătură cauză-efect să devină evidentă „acest tip de analiză poate fi numai o primă abordare care lasă un reziduu uneori mai important decît combinaţia explicativă”.

Cunoaşterea realităţii prin modele se dovedeşte dependentă de calităţile pe care, până în prezent, omul nu le-a putut reproduce în maşina de calcul. Dar acest lucru a început să fie evident tocmai datorită faptului că viteza şi capacitatea de calcul a maşinii au permis accelerarea exploatării realităţi.

Prin generalizare, cunoaşterea se extinde de la un obiect concret la clasa (sau mulţimea) de obiecte care prezintă anumite proprietăţi, similare cu proprietăţile obiectului iniţial sau deductibile din acestea. Modelele posedă o deosebită valoare generalizatoare.

Un acelaşi model matematic poate descrie sisteme foarte diferite ca natură fizică. Setul de ecuaţii integrale de mai jos:

constituie modelul unui cuadripol electric (Fig.1.2.a), a unui sistem mecanic cu resort şi amortizor (Fig.1.2.b).

Fig.1.2.

sau a fluxului sanguin într-un compartiment al cordului (fig.1.2.c.).Semnificaţiile şi unităţile de măsură ale variabilelor şi coeficienţilor lor diferă, după cum

se poate observa în tabelul următor.

Sistem Flux sangvin

9

mărime

Cuadripol Sistem mecanic (după ora [6])

Simbol Semnificaţie Simbol Semnificaţie Simbol Semnificaţie

y1 u1 Tensiune electrică

F1 Forţă activă P1 Presiune la intrare

y2 u2 Tensiune electrică

F2 Forţă reactivă P2 Presiune la ieşire

x1 i1 Intensitate electrică

v1 Viteza corpului din stânga

i1 Debit de intrare

x2 i2 Intensitate electrică

v2 Viteza corpului din dreapta

i2 Debit de ieşire

a1 R1 Rezistenţă electrică

kp Coeficient de proporţionalitate

R1 Rezistenţă de curgere la

intrarea2 R2 Rezistenţă

electricăkp Coeficient de

proporţionalitateR2 Rezistenţă de

curgere la ieşireb 1/C Inversul

capacităţii condensorului

k'p Coeficient de

proporţionalitate1/C Raportul

volum-presiune

Este util să menţionăm că, deşi structura ecuaţiilor este riguros identică în cele trei cazuri, simbolurile şi notaţia mărimilor fac, în general, parte din „tradiţia” domeniilor respective (electricitate, mecanică, mecanica fluidelor etc.).

În mod cert, puterea explicativă şi generalizatoare a modelelor matematice apare mult mai evidentă decât a altor tipuri de modele. Acest fapt nu trebuie să devină o dogmă, deoarece utilitatea unui model de un anumit tip depinde şi de contextul în care este aplicat. Unui neiniţiat în fizică i se poate oferi mai curând descrierea logico-linvistică (deci tot un model) al pârghiei de ordinul 1, astfel încât modelul respectiv să redea simultan funcţionarea unei macarale, a cumpenei fântânii sau a pedalelor de la bicicletă.

Cunoaşterea realităţii (inclusiv a celei imediate) prin mijlocirea modelelor poate fi analizată prin prisma realităţii spaţio-temporale dintre obiect şi modelul său.

Un sistem expert destinat diagnosticului medical sau prognozei meteo reprezintă, fără îndoială, un model complex asociat cu infratehnică adecvată. Investigarea tabloului clinic, respectiv a datelor despre starea vremii poate să aibă loc în proximitatea obiectului modelat sau la o anumită distanţă. Nu avem aici în vedere (decât în secundar) posibilitatea de teleprelucrare sau teletransmitere a datelor, ci faptul că respectivele modele nu sunt dependente decât prin aspecte particulare incluse în generalitatea structurii lor logice de amplasare în spaţiu a obiectelor modelate. Cel mai bun exemplu îl oferă anumite modele econometrice de creştere care depind doar parametric de tipul de economie naţională la care sunt aplicate.

În domeniul timpului, de asemenea, modelele permit adâncirea cunoaşterii unor procese care ţin de trecut (formarea straturilor şi zăcămintelor geologice), de prezent (mecanism de creştere economică, diagnostic medical etc.), de viitorul apropiat (prognoza meteo) sau mai îndepărtat (prognoza cererei şi consumului de resurse primare, prognoze demografice). O menţiune specială o necesită modelele consacrate unor fenomene şi procese situate din punct de vedere temporal, în viitor. Acestea constituie marea majoritate a modelelor destinate fundamentării deciziei şi reprezintă în mod simultan: prognoza şi „ghiduri-operator” destinate decidentului. Fireşte din punct de vedere managerial aceste două laturi privesc obiectul şi subiectul: prognoza se referă la evoluţia sistemului condus, iar ghidul-operator stă la baza deciziei şi conducerii efective a sistemului. Această distincţie se înrudeşte cu cea care se aplică

10

noţiuni de prognoză, făcând deosebirea între prognoze explorative şi normative. Regăsim acest fapt şi la nivelul concepţiei sistemelor suport pentru decizie (SSD). Astfel, răspunsul la întrebări „WHAT IF...?” este o prognoză explorativă în vreme ce răspunsul la întrebarea „HOW TO...?” posedă atributele prognozei normative.

Referindu-ne acum numai la modelele matematice, clasificarea lor brută în modele de simulare şi optimizare evidenţiază prezenţa aceieiaşi distincţii între normativ şi explorativ. Prin simulare se descrie dinamica (evoluţia) unui sistem reprezentat prin modelul său, în cazul aplicării unei sau mai multor variante de intrări. Se răspunde, în acest mod întrebării „WHAT IF...?”. Optimizarea constă în ataşarea unor funcţii-obiectiv la modelul propriu-zis al sistemului şi rezolvarea problemei de extrem care apare astfel, prin metode de programare matematică sau control optimal. Soluţia care se obţine reprezintă strategia de conducere a sistemului în vederea obţinerii unor anumite performanţe deci se încadrează printre răspunsurile la întrebarea „HOW TO...?”. Aceste două întrebări fundamentale nu reflectă numai atitudinea explorativă sau normativă a decidentului, ci şi limitele pe care realitatea le impune demersului decizional. Dacă „punctul slab” al acestui demers este cunoaşterea implicaţiilor deciziei iar, în schimb, gama deciziilor este bine delimitată se recurge la simulare. („WHAT IF...?”). Invers, dacă obiectivele deciziei sunt consistent definite, ceea ce rămâne de căutat fiind însăşi decizia, suportul acestei decizii este modelul de optimizare („HOW TO...?”).

Modelele permit cunoaşterea realităţii ca mecanism. Ele devin posibile în urma cunoaşterii realităţii ca ansamblu de fapte prin observaţie şi experiment. Asamblarea faptelor într-o reţea de relaţii, aşadar construirea modelului are loc, pe baza unor serii (repetate), de deducţii şi ipoteze, prin validarea logică şi experimentală şi ulterior, conservarea ipotezelor valide. Acest context readuce în discuţie „spiritul logic perfect al lui Poincare”, deoarece ipotezele apar ca produs al intuiţiei şi formării de concepte noi, deci în afara posibilităţilor SLP.

Un caz special este cel al modelelor care au la origine în mod predominant intuiţia. Un termen deosebit de sugestiv ales defineşte aceste modele ca „metafore evocatoare”. În general, metaforele, ca analogii nefundamentate riguros între noţiuni, concepte sau domenii diferite sunt atribuite modului artistic de cunoaştere a realităţii şi refuzate modului ştinţific, fiind chiar tratate ca „ornamente ale limbajului”. Ceea ce se ignoră în astfel de cazuri este faptul că, de exemplu, modelul planetar al atomului constituie desigur, în viziunea fizicii moderne o „metaforă”, dar a fost o analogie utilă care a direcţionat cercetarea structurii materiei. Astfel de analogii se pot dovedi neadevărate sau pot rămâne strict la nivelul unor imagini poetice, dar nu pot fi separate de procesul general al formării de concepte noi. Intuiţia rezolvă printr-o ipoteză-metaforă absenţa unui lanţ deductiv complet şi propune reducerea unei probleme noi la o combinare de probleme deja rezolvate, dacă ipoteza se confirmă. În formulări diferite, care se completează în mod convingător, „metafora reflectă, traectoria cunoaşterii de la observabil la neobservabil”, „transformă universul familiar într-unul străin şi invers”. În plan estetic metafora serveşte un deziderat important, cel al economiei de mijloace, înlocuind o descriere amănunţită printr-un efect surpriză care posedă un impact emoţional sporit, metafora produce un „şoc cognitiv” prin calitatea ei esenţială: concluzia.

În plan ştinţiific, metafora văzută ca model operaţional poate atinge două obiective distincte. Pe de o parte, îşi asigură o valoare explicativă traducând o noţiune străină prin noţiuni familiare; pe de altă parte, încearcă să suplinească lipsa de informaţii aruncând punţi provizorii între aspecte cognitive separate ale realităţii. Economia de mijloace de expresie se transformă în economia de timp.

Pe căi diferite, insuficienţa informaţiilor afectează calitatea procesului decizional. Capacitatea de a extrage informaţii primare a depăşit multă vreme posibilitatea de a le prelucra. Viteza şi puterea de calcul a calculatoarelor moderne inversează acest raport în favoarea prelucrării datelor. Efortul uman se concentrează către investigarea unor aspecte din ce în ce mai complexe ale realităţii pentru a asigura datele necesare modelelor care se utilizează în

11

fundamentarea deciziei. Acesta este contextul în care, având la dispoziţie versiuni operaţionale ale SLP calculatorul electronic este reînoit apelul la acele calităţi pe care omul nu le-a putut transmite maşinii de calcul: intuiţia, experienţa, şi bunul-simţ. Este absolut semnificativ titlul unui articol de referinţă că „intuiţia în cercetarea operaţională”, în care este reluată dintr-o nouă perspectivă problema insuficienţei informaţiilor necesare fundamentării deciziei. Cele trei cazuri care pot fi întâlnite sunt:

- „Răspunsul” este conţinut în informaţia existentă, şi poate fi obţinut în modunivoc prin raţionament sau calcul (cazul determinat).

- Probabilităţile diferitelor „răspunsuri” posibile se pot determina cusuficientă acurateţe în infirmaţia disponibilă (cazul probabilistic determinat).

- Situaţia diferită de cele anterioare (cazul nedeterminat).

Cele mai multe probleme decizionale de rutină sunt sau devin, prin acumulare de informaţii, determinate sau probabilistic determinate. În acelaşi timp, majoritatea situaţiilor care ies din rutina curentă se constituie în probleme şi procese decizionale ad-hoc, care, de regulă, nu sunt acoperite informaţional şi se încadrează în cazul nedeterminat. În mod concret, pentru astfel de situaţii pot fi elaborate de modele destinate fundamentării deciziei, dar datele necesare sunt fie incomplete, fie imprecise, fie inaccesibile în timp util. Este, de asemenea, posibil să se dispună de un corp suficient de date, dar mecanismele sistemului respectiv nefiind cunoscute în întregime, să nu se poată construi un model relevant.

Ideea că posibilităţile de cunoaştere, deci de decizie şi conducere sunt independente de natura sistemulor a fost subliniată de Lucian Gerardin într-un articol de certă importanţă. Complexitatea unui sistem nu este un atribut unidimensional, la un anumit nivel, devine un atribut calitativ. Adoptând un dublu criteriu de clasificare, varietatea (în sens cibernetic) şi calculabilitatea comportamentului unui sistem, în articolul menţionat, sistemele sunt împărţite în:

- Sisteme complicate (varietate redusă, calculabilitate relativ ridicată). În această categorie intră sistemele „artificiale” (create de om), sistemele naturale „simple” (cum ar fi sistemul planetar) şi automatele cibernetice.

- Sisteme colective (varietate redusă, calculabilitate scăzută) caracterizate prin faptul că numai comportamentul lor global poate fi descris predictiv, în timp ce aspectele „locale” sunt mult mai dificil de luat în considerare. Ca exemplu de astfel de sisteme pot fi date gazele perfecte monoatomice sau sistemele galaxiale. În domeniul caracteristic pentru această clasă de sisteme este mecanica statistică.

-Sisteme complexe (varietate crescută, grad mediu de calculabilitate). Sisteme reprezentative pentru această clasă sunt cel tehnico-economice, sociopolitice, ecologice. Prin generalizare, putem asocia această clasă cu sisteme mari care includ în mod semnificativ intervenţia umană.

Este dificil să nu remarcăm o anumită analogie între: determinare- sisteme complicate, determinare probabilistică- sisteme colective, nedeterminare sisteme complexe. În capitolul următor, aceste noţiuni vor fi analizate mai profund, în legătură cu conceptul de optimizare flexibilă. Pentru moment putem sublinia faptul că analogia pe care am stabilit-o nu este valabilă numai în stratul realităţii imediate ci la nivelul realităţii în sens larg (vezi şi Fig.1.1) şi ca ambele clasificări menţionate mai sus obiectivează punctul de vedere antropomorf, contribuind la fundamentarea mai riguroasă a conceptului de optimizare flexibilă.

1.2. Decizie şi acţiune în realitatea imediată12

Aşa cum am arătat, ciclul cibernetic informaţie-decizie-acţiune, face parte din realitatea imediată. În acest context, informaţia poate fi privită în două moduri:

a). Un constituient organic al realităţii, asociat cu conceptele de structură şi organizare, independent de efortul cognitiv uman, dar supus acestuia.

b). O reprezentare, parţială şi orientată pragmatic, a realităţii.Informaţia ca fundament al deciziei, corespunde celei de-a doua definiţii. Într-adevăr,

pentru luarea unei decizii, informaţia necesară se referă la segmentul din realitatea imediată care formează obiectul deciziei şi reflectă numai aspectele semnificative pentru obiectivele şi natura procesului decizional.

Calitatea deciziei este dependentă direct de cantitatea şi calitatea informaţiei disponibile, precum şi de relevanţa şi acurateţea proceselor de prelucrare a informaţiei.

Caractizarea unei decizii poate fi făcută în diferite contexte. Luând în considerare efectele deciziei se poate vorbi despre: eficacitate, pertinenţă, etc. Dacă se are în vedere structura procesului decizional, caracterizarea se va referi la atribute ca: frecvenţa; complexitatea sau nivelul de cuprindere. Pot fi citate sau construite numeroase clasificări sau puncte de vedere. Ceea ce, după părerea noastră, trebuie să constituie elementul comun al acestor abordări este o calitate foarte importantă a deciziei: oportunitatea.

Marea majoritate a manualelor sau monografiilor consacrate managementului modern enunţă şi exemplifică principiul oportunităţii deciziei. Cel mai elocvent ni se pare exemplul dat de Stafford Beer: anularea sau neluarea la timp a deciziei de a lua autobuzul de la ora 10:00 până la gară produce o întârziere de 30 de minute până la următorul autobuz. Între timp, trenul de la ora 10:25 spre aeroport a plecat, iar următorul tren, la ora 13:05 ajunge la aeroport la ora 14:00 cu un sfert de oră după decolarea avionului. Astfel călătoria se amână cu 24 de ore până la zborul de a doua zi, ceea ce compromite efectuarea unei anumite tranzacţii comerciale.

O explicaţie consistentă a actului decizional stă în teoria distanţei (care a devenit cunoscută din lucrările psihologului american Leon Festinger). Conform acestei teorii, orice acţiune – inclusiv decizie care se ia în prealabil – are la bază perceperea unei distanţe între starea de fapt şi un anumit obiectiv. Oricare două „elemente cognitive” (sau informaţii) se pot afla în relaţie de: consonanţă, disonanţă sau independent. Apariţia şi perceperea disonanţei (inclusiv în planul subiectiv) implică necesitatea ca subiectul să intervină în mersul lucrurilor, întâi prin decizie şi ulterior prin acţiune efectivă.

Pornind de la considerentele de mai sus se defineşte potenţionalul decizional ca fiind capacitatea unui decident de a percepe distanţa, de a înţelege necesitatea unei decizii şi de a lua efectiv o decizie. Evaluată cantitativ, această noţiune permite o clasificare (sau o tipologie a deciziilor) pe care o propunen în continuare:

A. Tipul „absent”. Nu percepe decât întâmplător distanţa, conştientizeazăfoarte greu necesitatea deciziei şi nu o ia afectiv niciodată.

B. Tipul „slab reactiv”. Percepe de cele mai multe ori distanţa, realizeazăuneori necesitatea de a decide şi rar, după multe ezitări, o decizie afectivă.

C. Tipul „normal reactiv”. Percepe curent distanţa, înţelege corectnecesitatea deciziei şi de regulă ia efectiv decizia.

D. Tipul „puternic reactiv”. Percepe întotdeauna distanţa de a supraevaluanecesitatea luării deciziei şi ia întotdeauna decizia.

E. Tipul „predictiv”. Percepe exagerat sau anticipat distanţa, considerăpermanent necesar să ia o nouă decizie şi ia întotdeauna decizii, chiar dacă sunt insuficient fundamentate.

13

Căutarea momentului optim, pentru luarea unei decizii, înseamnă în cele mai multe cazuri un compromis între exigenţele privind acurateţea şi eficacitatea deciziei. Oportunitatea deciziei este apreciată şi dintr-un punct de vedere suplimentar: raportul dintre rezultatul (pe de o parte) şi durata şi costul procesului decizional (pe de altă parte).

Reacţia decidentului la evaluarea acestui raport poate îmbrăca diverse forme, în funcţie de propria sa percepţie a oportunităţii deciziei:

- Recursul la experţi pentru analiza soluţiilor la un moment dat şi acceptarea verdictului acestora.

- Acceptarea costului continuităţii exploatării câmpului decizional.- Luarea imediată a deciziei pe baza soluţiilor existente.- Amânarea deciziei până la momentul când, fie că nu mai este necesară, fie că a devenit

evident ce decizie trebuie luată.Un model simplu poate ilustra evaluarea oportunităţii deciziei. Să presupunem că problema

decizională este pusă sub forma unui model de programare matematică cu restricţiile gi(x) şi cu funcţia-obiectiv f(x):

i=1,2,...,miar algoritmul de optimizare este iterativ şi conduce asimptotic spre maximul lui f(x) care este A:

f(xn)=A(1-e-kln)

Costul rezolvării pe calculator a acestei probleme de optimizare depinde liniar de numărul n de iteraţii efectuate:

C(n)=B+k2n

„Randamentul” sau raportul performanţă-cost al rezolvării problemei este în funcţie de numărul de iteraţii:

Maximizarea lui r(n) (cu condiţia naturală că a,b,k1,k2>0) revine la rezolvarea ecuaţiei:

Din reprezentarea grafică, dată în fig.1.3 a acestei ecuaţii, se observă că, reprezentând condiţia pusă anterior, ecuaţia are întotdeauna o soluţie, n*.

Este evident că, presupunând durata rezolvării problemei proporţională cu numărul de iteraţii, t=k3n, se poate defini în condiţii identice raportul performanţă-durată.

Aprecierea oportunităţii deciziei nu se rezumă la considerarea duratei procesului decizional. Dacă perceperea necesităţii deciziei are loc prea târziu, stabilirea duratei optime nu mai garantează oportunitatea deciziei. Acest nou aspect ţine mai puţin de calitatea deciziei, el caracterizează abilitatea şi stilul decidentului. Alături de stăpânirea „tehnologiei” procesului decizional, acesta trebuie să recunoască corect momentul de apariţie a unei situaţii decizionale, adică a stării specifice a sistemului condus în care se manifestă necesitatea unei intervenţii conştiente pe care o identificăm ca fiind perechea decizie-acţiune.

Din acest punct de vedere reactivitatea decidentului la aprecierea situaţiei decizionale ocupă un registru larg, mergând de la perceperea întârziată până la perceperea predictivă.Tipologia situaţiilor decizionale este studiată în mod convingător şi redusă la esenţial:

14

- Apariţia şi eliminarea perturbaţiilor.- Ameliorarea unor rezultate satisfăcătoare.- Realizarea unui obiectiv nou.

Fig. 1.3.

Conceptului de decizie i se pot ataşa numeroase şi variate definiţii. În spiritul acestei lucrări, vom relua trei definiţii pe care le-am propus:

(D1). Decizie = Alegerea unei strategii (soluţii, alternative) dintr-un astfel de entităţi deja formulate.

(D2). Decizie = Elaborarea unei strategii ad-hoc şi adaptarea acesteia.(D3). Decizie = Elaborarea mai multor strategii alternative, analiza strategiilor şi alegerea

uneia dintre ele.Aceste definiţii iau în considerare structuri diferite ale procesului decizional

(Fig.1.4.a,b,c.). Se poate observa că (D3) aşa cum reiese din Fig.1.4.c. constituie o combinare a cazurilor (D1) şi (D2).

De astfel prima decizie se aplică în mod predominant proceselor decizionale de rutină, în timp ce a doua şi a treia definiţie au în vedere deciziile nerutiniere. Dacă acestor mecanisme decizionale li se asociază o memorie şi un proces de învăţare, ele se vor reduce în timp la decizii de rutină.

Vom numi, prin analogie cu „câmp decizional” mulţimea strategiilor din care se alege decizia efectivă. Vom preciza, de asemenea că dacă un câmp decizional cuprinde totalitatea strategiilor posibile din punct de vedere teoretic el este obiectiv complet în cazul în care el se reduce la strategiile istoric existente şi cele logic imaginabile, el este subiectiv complet. De regulă, primul câmp decizional îl include pe al doilea.

Cele arătate până acum pot include concluzia că aplicarea corectă a unui model adecvat are ca rezultat direct decizia însăşi. Adevărul evidenţiază situaţii mai complexe care aşază între rezultatele modelului şi decizia efectivă un „spaţiu de judecată” rezervat acelor calităţi umane netransferate maşinii de calcul: intuiţie, experienţă, bun-simţ. Ar fi o simplificare nerealistă să considerăm că acest fapt se datorează insuficienţei datelor sau construcţiei inadecvate a modelului. Avansăm în schimb, opinia că „spaţiul de judecată” îşi datorează existenţa complementarităţii între natura arimomorfică a modelului, şi caracterului dialectic al criteriilor avute în vedere de către decident (dihotomia aritmomorfic-dialectic) în acest context are sensul pe care îl atribuie N. Georgescu-Roegen. Adminţând, deci acest punct de vedere putem trece la o reprezentare mai completă a ciclului informaţie-decizie-acţiune (Fig.1.5.a).

15

Fig. 1.4.

Fig. 1.5.a

16

Fig. 1.5.b

Este evident că fundamentele deciziei constituie rezultatul prelucrării informaţiilor în parte cu ajutorul unui model aritmomorf şi în parte prin raţionamente dialectice. În funcţie de structura sa şi de scopul în care a fost elaborat, modelul acoperă un segment mai mare sau mai mic din totalul prelucrării informaţiilor aşa cum se arată în fig.1.5.b. un model explicativ oferă descrierea funcţionării sistemului, fără a trece la rezolvarea problemei decizionale. Adăugând acestui model informaţii referitoare la contextul funcţionării sistemului, devine posibilă simularea efectelor uneia sau mai multor decizii posibile, adică construirea câmpului decizional. Asociind noului model un instrument de evaluare a „valorii” deciziei şi de alegere a deciziei optime va rezulta un model de optimizare. Soluţia acestui model poate fi adoptată ca decizie sau poate servi numai la cunoaşterea globală a procesului, în vederea reformulării unor criterii, modificării de restricţii ş.a.m.d. Exemplul următor:

pune în evidenţă aceste trepte succesive ale utilizării modelului, reprezentate de un model explicativ, model de simulare, model de optimizare,k indicând momentele de timp (k=0,1,...,T,...).

Prin modalitatea de acţiune, în spaţii topologice descrise de metrici euclidiene, topologia schiţată mai sus poate fi considerată o topologie pură. Varietatea şi complexitatea modelelor elaborate în scopuri decizionale este mult mai mare, dar funcţiile elementare ale modelelor pot fi regăsite practic în acest model. Ceea ce diferă este ponderea cu care participă la descrierea unui model oricare din aceste funcţii.

O nouă precizare se impune în urma consideraţiilor de mai sus. Sub o formă integrată sau separabilă, modelele conţin două imagini deosebite:

a). Reflectarea structurii şi dinamicii intrinseci a sistemului condus.b). Reflectarea parţială sau totală a strategiei (mecanismului, politicii) decizionale.

17

Este dificil să se întreprindă o evaluare cantitativă a ponderii fiecărei imagini în ansamblul unui model complex. Totuşi, analizând calitativ binomul sistem condus – proces decizional în diferite situaţii, se ajunge la concluzia că ponderea imaginii procesului decizional creşte cu cât sistemul este mai complex şi cu cât specificul deciziei se îndepărtează de rutină. Dimpotrivă, când mecanismul decizional este relativ simplu şi repetabil în condiţii identice, latura esenţială a modelului o constituie imaginea sistemului condus. În cazul sistemelor complexe economico-sociale se produce chiar agregarea a două compartimente diferite cel determinist al organismelor decizionale şi cel tipic stochastic al subsistemelor conduse. Acest punct de vedere, dezvoltat în cele ce vor urma este sintetizat în Fig.1.6.

Încă o precizare necesară: „spaţiul de judecată” se asociază, în orice caz cu modelul procesului decizional şi nu cu cel al sistemului condus. De aici rezultă o distincţie foarte importantă atât din punct de vedere lingvistic cât şi conceptual:

- Calculatorul ia decizia atunci când mecanismul decizional este rutinier, programabil, iar „spaţiul de judecată”este practic inexistent, ca în cazul multor sisteme tehnologice sau al unor sisteme macroeconomice.

Fig. 1.6.

- Calculatorul asistă decizia în cazul mecanismelor decizionale a căror complexitate exclude rutina, iar „spaţiul de judecată” asigurat în mod preponderent decidentului uman nu mai poate fi eludat. Asesta este, evident, cazul sistemelor de tip macroeconomic sau socio-economic. Totuşi, distincţia de mai sus prezintă o anumită labilitate. În anumite cazuri, calculatorul poate trece de la asistarea deciziei la luarea ei efectivă prin asimilarea de proceduri care, alături de prelucrarea datelor numerice, realizează şi prelucrarea conceptelor sau care imprimă proceduri univoce de calcul numerico pluralismul şi nuanţarea gândirii umane (posibilitatea demonstrată, printre altele, de matematica fuzzy). Nu este mai puţin adevărat, că de regulă este vorba de creşterea gradului de asistare a deciziei şi nu de tranziţia propriu-zisă de la asistarea la luarea deciziei.

Extinderea controlului uman asupra unor segmente din ce în ce mai mari ale realităţii imediate a condus în mod natural la evoluţia tehnicilor şi metodelor de fundamentare a deciziei, până la construirea lor ca adevărate tehnologii informaţionale. În paralel modelele au căpătat în mod progresiv, pe lângă funcţiunea de instrument de cunoaştere, funcţiunea de instrument al intervenţiei umane în realitatea imediată. Ca o consecinţă a celor de mai sus şi a preluării efortului uman brut de către maşini s-a adâncit diviziunea managerial-executiv şi s-a amplificat componenta decizională a activităţii umane. În orice domeniu, omul ia, în prezent, mai multe decizii şi depune mai puţin efort brut decât în trecut.

Este natural, aşadar, ca istoria managementului tinde să stea alături de ştiinţa managerială a conducerii. O privire sintetică şi extrem de pertinentă asupra acestui nou domeniu este întreprinsă de A. W. Smith în articolul „Cinci stadii ale evoluţiei managementului”. Conceptul de

18

mecanism decizional apare în urma unei prime analize ca un concept „natural”. Din moment ce decizia este rezultatul unei tehnologii standard sau ad-hoc de prelucrare a informaţiilor, această tehnologie, oricare ar fi ea, poate fi comparată cu un mecanism. Raţionamentul aici nu este greşit, ci incomplet. Ceea ce trebuie precizat este că tehnologia, în sens curent, cuprinde operaţii manuale şi operaţii mecanice. Tot astfel, mecanismul decizional este alcătuit din etape sau secvenţe algoritmice şi euristice*. Distingem, din acest punct de vedere, numeroase tipuri de mecanisme decizionale pe care calculatorul nu le substituie ci le asistă: (Fig.1.7.).

*Legătura dintre algoritmic şi euristic poate părea forţată, de vreme ce, în alte contexte, se vorbeşte despre „algoritmi euristici”. În domeniul prelucrării informaţiilor distincţia algoritmic-euristic separă prelucrarea datelor de prelucrare a conceptelor cel puţin atât timp cât tehnicile respective de prelucrare diferă în mod semnificativ.

Referirile generale la ciclul cibernetic „informaţie-decizie-acţiune” pot, în anumite contexte, să escamonteze diferenţa între decizia apriori şi decizia aposteriori. Natura proceselor decizionale pune în evidenţă situaţii când momentul – iniţial al ciclului îl constituie fie informaţia, fie acţiunea. Un bun exemplu este oferit de analiza chimică a unei substanţe neidentificate. În absenţa oricărei informaţii, este necesar să se decidă atacarea substanţei cu un anumit reactiv, supunerea ei la un test de radiaţii sau practicarea unui anumit regim termic. Oricare din acţiunile (A) enumerate va produce informaţii (I) care fundamentează o nouă decizie (D). Aşadar, ciclul are structura:

D-A-(I-D-A)-(I-D-A)-A...care reflectă decizia apriori.

Fig. 1.7.

Dacă decizia succede unei informaţii sau acţiuni iniţiale, conform structurilor:(I-D-A)-(I-D-A)-A,...

sauA-(I-D-A)-(I-D-A)-A...

ea prezintă atributele deciziei aposteriori.Presupunând că structurile organizatorice care transformă decizia în acţiune sunt stabile

şi eficace, este necesar să remarcăm că există mai multe optici asupra momentului deciziei-acţiune. Prima identifică luarea deciziei cu acţiunea însăşi şi este aplicabilă în special sistemelor de conducere în timp real, iar, în general, proceselor tehnologice şi microeconomice. A doua asociază deciziei o „interfaţă” distinctă cu acţiunea (de exemplu un dicţionar care asociază variabilele unui model cu valorile lor numerice şi cu semnificaţia lor concretă sau o procedură care defalcă decizia globală la nivelul subsistemelor efectorii). A treia atitudine acordă o atenţie

19

specială condiţiilor concrete şi măsurilor ad-hoc necesare trecerii de la decizie la acţiune. Se poate regăsi în această tipologie tendinţa justificată de a distinge între decizii programabile şi neprogramabile sau între sistemele complicate şi cele complexe.

1.3. Flexibilitatea în procesele decizionale

Realitatea este flexibilă. Această idee trebuie să fie, în mod logic, acceptată imediat ce – pe căi raţionale sau empirice – este respins principiul predeterminării. În fizică sau în biologie, ca să ne referim la domenii predilecte ale literaturii de popularizare, orice lege începe prin a fi formulată cu un adevăr unic şi general şi sfârşeşte prin a fi infirmată total sau parţial în anumite condiţii, ceea ce conduce la precizarea condiţiilor mai mult sau mai puţin restrictive în care este realmente valabilă. Filozofii obişnuiesc să spună că orice acţiune este un compromis între principiul în numele căruia este întreprinsă şi realitatea.

Evident, pe anumite segmente restrânse ale realităţii, flexibilitatea acesteia este neglijabilă. În aceste cazuri se dovedeşte cel mai bine utilizarea unui model matematic. Fie un sistem cu trei stări, şi două comenzi (decizii) posibile. Modelul său matematic este dat de matricea de tranziţie:

Stare iniţialăDecizie

S1 S2 S3

D1D2

S2S3

S1S2

S2S1

Prima informare din model este faptul că nu orice tranziţie si – sk este posibilă într-un singur pas. Se observă că s1 – s1, s2 – s2 şi s3 – s3 pot fi realizate în minim doi paşi, astfel:

În al doilea rând, stările, ca rezultate ale perechilor stare iniţială- decizie au probabilităţi

diferite de apariţie. Se poate calcula *) că din cele 6 perechi posibile, două dintre ele (

) conduc în S1, trei ( ) conduc în S2 şi numai una singură ( ) conduce în S3.

Din sistemul de ecuaţii:p(s1)=p(s1)p(D1)+p(s3)p(D2)

p(s1)=p(s1)p(D1)+p(s2)p(D2)+p(s3)p(D1)

20

p(s1)=p(s1)p(D2)

în care vor rezulta p(s1)=0,333, p(s2)=0,500 şi p(s3)=0,167.

Imediat se pot calcula probabilităţile sistemului de intrare (accesibil decidentului), (

), date în tabeul:

XP(x) 0,167 0,167 0,250 0,250 0,083 0,083

şi ale semnalului de ieşire (accesibil unui observator al stărilor care percepe tranziţiile ) sub forma matricii:

Stare finalăStare iniţială

s1 s2 s3

s1

s2

s3

00,2500,083

0,1670,2500,083

0,16700

Notând cu X mulţimea intrărilor ( ) şi cu Y mulţimea ieşirilor ( ) se poate calcula matricea probabilităţilor reunite.

P(X Y)=

|0 0,167 0 0 0 0 0 0 0| 0,167

|0 0 0,167 0 0 0 0 0 0| 0,167

|0 0 0 0,250 0 0 0 0 0| 0,250

|0 0 0 0 0,250 0 0 0 0| 0,250

|0 0 0 0 0 0 0,083 0 0| 0,083

|0 0 0 0 0 0 0 0,083 0| 0,083

0 0,167 0,167 0,250 0,250 0 0,083 0,083 0| 1

De aici rezultă următoarele mărimi informaţionale:-Entropia semnalului de intrare,

21

biţi-Entropia semnalului de ieşire,

biţi-Entropia reunită intrare-ieşire,

biţi-Incertitudinea medie asupra intrării pentru o ieşire dată

biţi-Incertitudinea medie asupra ieşirii pentru o intrare dată

biţi-Transinformaţia (informaţia complicată între intrare şi ieşire)

biţiFăcând ipoteza că nici decidentul şi nici observatorul nu cunosc matricea de tranziţie,

toate evenimentele elementare xi, yi şi xi yi se postulează ca fiind echiprobabile, de unde rezultă:

H(X)=HMAX(X)=2,584 biţiH(Y)=HMAX(Y)=3,168 biţi

H(X Y)=HMAX(X Y)=5,752 biţiH(X|Y)=HMAX(X|Y)=2,584 biţiH(Y|X)=HMAX(Y|X)=3,168 biţi

I(X Y)=IMAX(X Y)=0 biţi

Gradul de organizare a sistemului complex format din decident, sistem condus şi observator este dat de expresia:

luând valoarea 0,573, dacă matricea de tranziţie este cunoscută de către decident şi observator şi valoarea 0, dacă matricea de tranziţie nu este cunoscută.

Este necesar să observăm că singura incertitudine obiectivă, în privinţa funcţionării sistemului, este cea care se referă la semnalul de intrare, H(X) şi că ea se propagă asupra entropiei semnalului de ieşire H(Y) şi entropiei globale H(X Y), care iau aceeaşi valoare. Incertitudinea asupra tranziţiilor propriu-zise, H(X Y) şi H(Y X), este nulă, deoarece aceste tranziţii se fac în mod strict determinist.

Aşadar existenţa şi utilizarea unui model matematic aduce la toate nivelurile (decident, sistem condus, observator) un plus de informare care se regăseşte, în primul rând, în creşterea gradului de organizare.

Din exemplul menţionat trebuie să se tragă concluzia că, între cunoaşterea şi necunoaşterea matricii deterministe de tranziţie, se găseşte gama infinită a modelelor, mai mult sau mai puţin precise. Câştigarea de precizie înseamnă mai multă informare şi mai multă

22

organizare. Oricum, acest câştig este limitat de gradul intrinsec de flexibilitate al realităţii modelate. Mai rezultă din acest exemplu că flexibilitatea trebuie să fie atribuită realităţii şi nu deciziei. Este absurd să se ia simultan două decizii diferite pentru aceeaşi stare iniţială şi acelaşi obiectiv. În schimb o atitudine decizională flexibilă poate consta in luarea în consideraţie a impreciziei şi perturbaţiilor în pregătirea mai multor secvenţe de decizie alternative şi creearea condiţiilor pentru aplicarea rapidă a acestor secvenţe. Aşadar, flexibilitatea realităţii trebuie să se regăsească în modul de fundamentare şi aplicare a deciziei. Cu cât entropia unui sistem este mai ridicată, cu atât procesul decizionat trebuie să fie mai flexibil spre a fi eficace. Conceptul de flexibilitate a fost, până acum, folosit în mod intuitiv în acest context. Nu intenţionăm o definiţie riguroasă, ci situarea acestui concept într-o familie de conotaţii şi concepte înrudite: adaptabilitate, oportunitate, pluralism, pragmatism, robusteţe, toleranţă (în sensul tehnic al cuvântului).

Următorul exemplu ilustrează cazul când matricea de tranziţie reflectă o realitate probabilistă. Perechea stare iniţială- decizie conduce sistemul într-o anumită stare cu o anumită probabilitate.

stare iniţialădecizie

S1 S2

D1 s1(0,2)s2(0,8)

s1(1,0)s2(0,0)

D2 s1(0,6)s2(0,4)

s1(0,25)s2(0,75)

Obiectivul decidentului este de a atinge şi menţine starea S1 având la dispoziţie tranziţiile.

Probabilitatea de a atinge S1 , pornind din S1, este mai mare dacă se alege succesiunea de decizii D1-D1(p=0,8.1,0=0,8) decât dacă se ia decizia D2 (p=0,6). Chiar dacă S1 D2 conduce la starea S2, prin noua decizie D1 se trece (cu probabilitate maximă) în S1. Concluzia practică este că, în orice împrejurare, decidentul trebuie să fie pregătit pentru luarea deciziei D1. Se poate pune întrebarea dacă există o strategie decizională cu probabilitate şi mai mare de a realiza tranziţia s1 s1. Această strategie există şi este următoarea: la primul pas se ia la întâmplare decizia D1 sau D2, care conduce în S2 cu probabilitatea:

p=1/2(0,2+0,6)=0,42sau în S1 cu probabilitatea

q=1/2(0,8+0,4)=0,6unde se trece în S1 cu probabilitatea 1. Această strategie este superioară atât strategiei D2 cât şi strategiei D1- D1.

Raţionamentul de mai sus este valabil dacă decidentul observă starea rezultată în urma unei decizii, în timp util, pentru luarea unei noi decizii. Să presupunem că S1 şi S2 – ca stări iniţiale – apar absolut aleator iar decidentul, urmărind să ajungă în S1, nu are posibilitatea de a ajunge în S2, conform matricii:

23

S1 S2D1 2 10D2 6 2.5

Un raţionament superficil ar propune ca decidentul să „joace” la întâmplare, ca şi „partenerul” său, obţinând câştigul mediu:

Acest raţionament extrapolează în mod formal rezultatul precedent când strategia optimă era ca prima decizie să fie luată la întâmplare, iar după observarea rezultatului (ceea ce nu mai este cazul acum) să se ia, eventual, încă o decizie. În cazul de faţă, comparând câştigurile medii asociate cu fiecare decizie:

c= =6

c= =4,25

rezultă imediat că este preferabil, să se ia în mod permanent, decizia D1.În fine, să considerăm că „partenerul” decidentului nu mai „joacă” întâmplător, ci

încearcă să minimizeze câştigul acesteia care este egal cu pierderea sa. Dacă în matricea câştigurilor ar exista un element ck cu proprietatea:

ck=maxj mini=minimaxjcji

„jucătorii” ar alege strategiile Dj şi care le asigură câştigul minim garantat, respectiv pierderea minimă garantată. Absenţa unui punct, cu proprietatea menţionată, face ca jocul să nu fie stabil. Soluţia „flexibilă”, pentru astfel de situaţii, o constituie strategiile mixte. Pentru decident, o strategie mixtă este formată din luarea în n-partide de λn ori a deciziei D1 şi de (1-λ)n ori a deciziei D2 (0 ). În mod analog, „partenerul” său va adopta de n ori strategia S1 şi de (1-)n ori strategia S2. Pentru ca strategia mixtă să fie optimă este necesar ca fiecare „jucător” să obţină acelaşi câştig mediu, indiferent de strartegia partenerului său, deci:

2λ+6(1-λ)=10λ+2,5(1-λ)-2µ-10(1-µ)=-6µ-2,5(1-µ)

ceea ce dă rezultatele:λ=7/23 µ=15/23

şi câştigul mediu (respectiv pierderea medie) de 110/23.Se poate demonstra cu uşurinţă că dacă unul din jucători ar abandona unilateral strategia

sa mixtă optimă, nu ar influenţa câştigul mediu, respectiv pierderea medie al celuilalt. De asemenea, abandonarea simultană a strategiilor mixte optime, va face ca jocul să devină instabil.

Ce compromisuri a făcut decidentul în fiecare din cazurile exemplificate? În primul caz, a renunţat la exigenţa (imposibilă) de a atinge cu o singură decizie starea s1 indiferent de starea

24

iniţială. În schimb, admiţând strategii în doi paşi şi-a asigurat obiectivul de a atinge întotdeauna starea S1.

În al doilea caz şi-a asigurat un câştig mediu inferior câştigurilor maxime (pe care oricum, nu le putea obţine sistematic), dar garantat.

În al treilea caz, acceptând o strategie mixtă, în locul strategiilor pure, a obţinut cel mai mare câştig mediu garantat (dar inferior câştigului maxim, mult mai puţin probabil).

Trăsătura esenţială a atitudinii decizionale a fost, în toate cazurile, flexibilitatea (acceptarea celui mai bun compromis cu o realitate numai parţial controlabilă) având ca rezultat garantarea unor soluţii suboptimale stabile, în locul unui optim puţin probabil.

Argumentele în favoarea unei atitudini decizionale flexibile, acoperă un teren foarte larg, de la exprimări metaforice şi formulări de bun-simţ până la demersuri teoretice şi demonstraţii cantitative. Atâta timp cât procesul decizional nu este complet automatizat (iar cazurile când poate fi complet automatizat aparţin unor clase limitate de situaţii decizionale) intervenţia decidentului uman iese de sub incidenţa unor cauzalităţi simple şi liniare.

„Atitudinea cognitivă a decidentului, pe care o numim «stil decizional» este presupusă a influenţa între direcţii alternative de acţiune”.

Într-adevăr, limitele între care un decident consideră rezonabilă acceptarea unor compromisuri, ca şi natura concretă a acestora, ţin fără îndoială de „stilul decizional”. Recunoaşterea unei situaţii decizionale ca proces probabilistic sau ca „joc” cu doi (sau mai mulţi) parteneri face parte din abilitatea decidentului de a părăsi modalităţi rigide de fundamentare a deciziei ci şi eficacitatea actelor sale într-un context dat.

Riscul se poate manifesta şi sub forma impreciziei informaţiilor. În acest caz, acceptarea riscului înseamnă acceptarea (şi tratarea adecvată) a impreciziei.

Însuşi procesul de fundamentare a deciziei este influenţat de imprecizie. Este vorba, în primul rând, despre imprecizia naturală şi obiectivă (sau „toleranţa”) inerentă funcţionării unui sistem dat. Nu întotdeauna această toleranţă este neglijabilă. În al doilea rând avem în vedere imprecizia cunoştinţelor umane datorată atât imperfecţiunilor de măsurare cât şi a celor de înţelegere la un moment dat a unui sistem dat.

Faptul este convingător analizat în continuare, cu privire la metodele matematice ale proceselor ecomomice şi biologice. Luând în considerare modelele de tip logico-verbal cu incidenţă semnificativă în practica managerială şi imperfecţiunile elaborării lor, se afirmă că:

„Nu este întotdeauna posibil ca percepţiile să fie filtrate în termeni inteligibili, experienţa să fie bine definită iar comunicarea şi influenţa să fie bine coordonate. Evenimentele sunt complexe şi contradictorii. Posibilităţile de alegere sunt ambigue...” imprecizia – ca imprevizibilul calitativ – pot întotdeauna să afecteze succesiv:

- cunoştinţele decidentului;- reprezentarea acestor cunoştinţe;- modelul deja elaborat sau pe cale de a fi construit;- decizia care trebuie luată

În special, din acest ultim motiv, apare necesar ca o atitudine decizională flexibilă să aibă în vedere caracterul recurent (iterativ) al unei decizii luate la un moment dat. Punctul de vedere managerial este clar exprimat în acest sens. Noţiunea de optim capătă, în acest context, un specific mai complex. Este evident ca o secvenţă recurentă de decizii nu este formată din decizii optime ci din decizii care tind la limita către optimism. Urmărirea obiectivului şi compensarea perturbaţiilor ca şi corectarea abaterilor constituie un proces optim numai în condiţiile precizate

25

de teorema de optimalitate a lui Bellman. În rest, se poate vorbi despre soluţii (şi decizii) suboptimale. Problemele clasice de control optimal şi de programare matematică prescriu un optim unic dependent în mod drastic de acurateţea modelului matematic şi de precizia procedeului de calcul. Aceste două deziderate intră în contradicţie cu natura sistemelor complexe aşa cum au fost definite de L. Gerardin în lucrarea citată anterior.

Aşadar, în raport cu noţiunile de „traiectorie optimală” şi de „soluţie optimă”, ni se par esenţiale precizările asupra unui nivel neglijabil de perturbaţii şi respectiv asupra acurateţei modelului matematic. În ceea ce priveşte precizia algoritmului de calcul, acesta este o cerinţă la care se poate răspunde mai uşor în condiţiile actuale.

Accesibilitatea reală a optimului unic nu este totuşi, doar o chestiune de acurateţe şi precizie. În primul rând, pentru ca „reziduul” calitativ, rămas în afara oricărui model pur cantitativ, poate transforma întrebarea „cât de precis trebuie să fie modelul?” într-o întrebare care pune în cauză întreaga concepţie a fundamentării deciziei „un astfel de model este într-adevăr necesar?”. Nu totul se reduce la măsura numerică. N. Georgescu-Roegen dă două exemple convingătoare: nu s-au putut imagina până în prezent aparate pentru măsurat entropia termodinamică şi funcţia de undă, Ψ, din mecanica cuantică, deşi aceste mărimi au o expresie matematică precisă. În altă ordine de idei, optimul unic îşi pierde semnificaţia odată cu acceptarea unor „compromisuri” necesare la nivelul atitudinii decizionale.

Conceptul de suboptimalitate este mult mai relevant în domeniul conducerii sistemelor complexe, fiind legat în mod direct de punctul de vedere formulat de H. A. Simon referitor la conducerea „satisfăcătoare” şi de necesitatea robusteţii (proprietatea unei traiectorii sau soluţii admisibile de a rămâne admisibilă în condiţiile unui nivel dat de perturbaţii sau de imprecizie în formularea modelului). Opţiunea între robusteţe şi un optimism unic instabil este esenţială în definirea unei atitudini decizionale flexibile, după cum asimilarea ideii de suboptimalitate caracterizează flexibilitatea modului concret de fundamentare a deciziilor. Nu ni se pare riscantă comparaţia cu îndoiala carteziană care stă la originea demersului raţional.

Flexibilitatea se impune ca mod specific de a concepe şi organiza procesele de conducere şi la nivelul sistemelor tehnologice. În acest moment se marchează, ca etape distincte, automatizarea „rigidă” sau „cablată” (bazată pe structuri fixe de traductoare, relee şi circuite electronice) şi automatizarea „flexibilă” (care valorifică posibilităţile calculatorului electronic în timp real, pe baza programelor adecvate şi a interfeţelor de proces, o mare varietate de procese, procedee şi instalaţii tehnologice). Această tranziţie permite tratarea adecvată – inclusiv din punct de vedere al robusteţii funcţionării sistemului – a perturbaţiilor şi impreciziei.

În fapt prima etapă – care cuprinde atât mecanizarea activităţilor industriale, cât şi automatizarea rigidă – a ales drumul reducerii „nevoii” de flexibilitate prin standardizare şi a „marginalizat” activităţile umane caracterizate de flexibilitate. În a doua etapă, confruntată cu creşterea complexităţii sistemelor, conduse şi a varietăţii acestora se tinde a se transfera asupra întregului sistem de conducere (de la infrastructura tehnică – relee, circuite, tehnică de calcul – până la modelul de gândire a decidentului) flexibilitatea pe care o presupune stăpânirea eficace a proceselor într-un mediu complex şi în continuă schimbare. Între aceste două etape trebuie să se vadă mai curând o sinteză decât o opoziţie. Reluând comparaţia făcută de H.A. Simon, flexibilitatea este tocmai atributul care deosebeşte un modul lunar LEM, construit pentru a se deplasa în condiţii de gravitaţie redusă pe un teren accidentat şi practic necunoscut, de un camion gigant care necesită drumuri netede şi solide.

Încercarea de a sistematiza argumentele care pledează pentru flexibilitate, în atitudinea decizională cât şi în procesele de fundamentare a deciziei, conduce la identificarea a trei tipuri de considerente care vin în sprijinul dezideratului, flexibilităţii.

Argumentele gnoseologice include şi reliefează două aspecte:

26

a) „reziduul” neexplicat care creează un „spaţiu de judecată” între modelul matematic care fundamentează decizia şi decizia propriu-zisă (acelaşi reziduu care se află la originea posibilei diferenţe – chiar opoziţii! – între exactitate şi adevăr).

b) cerinţele privind calitatea informaţiei: precizie, competitudine şi oportunitate

Sublinierea distincţiei – mai curând conceptuală decât operaţională – între exactitate şi adevăr are meritul de a se traduce direct într-o afirmaţie practică: forţă de calcul a computerului nu trebuie îndreptată exclusiv către precizia soluţionării problemelor ci către calitatea rezolvării în acord cu complexitatea problemei reale.

Argumentele practicii decizionale se referă, dincolo de corecta fundamentare a deciziei, la importanţa robusteţii soluţiilor care constituie câmpul decizional şi la necesitatea adaptării rapide la schimbări.

Argumentele de ordin economic, parţial suprapuse cu cele evidenţiate de practica decizională, au în vedere un cost responsabil al fundamentării şi aplicării deciziei, precum şi durata şi promptitudinea acestui proces.

Pentru o mai mare rigoare a acestei clasificări este de subliniat faptul că ultimele două categorii de argumente au în comun subordonarea faţă de pragmatica actului decizional.

Nu putem încheia acest demers consacrat legitimităţii şi necesităţii unei atitudini decizionale flexibile – în care am insistat asupra flexibilităţii fundamentării deciziei – fără a lua în discuţie problema subiectivităţii.

În general, subiectivitatea este tratată binar, între respingere (teoretică) fără apel şi acceptarea fără rezerve, după cum se manifestă într-un domeniu sau altul al gândirii, şi praxisului. Cunoaşterea ştiinţifică a realităţii (şi consecinţele ei în planul acţiunii) nu se pot dispersa de obiectivitate şi o iau drept criteriu de validitate iar actul creaţiei artistice legitimează subiectivitatea considerând-o – în mod justificat – drept condiţie absolut necesară a diversităţii. La jumătatea drumului se află căutările atât în ştiinţă cât şi în artă. Acest mod de a vedea lucrurile este îndreptăţit, atâta timp cât subiectivitatea este concepută ca opus al obiectivităţii. Ea poate fi însă definită ca Weltanshanung*, ceea ce corespunde într-o măsură semnificativă realităţii.

Pot fi imaginate două experimente paralele. Unei probleme de calcul numeric i se aplică algoritmi diferiţi şi se obţin rezultate apropiate în cazul unora dintre aceştia şi cu erori semnificative în cazul celorlalţi algoritmi. Lansarea cu succes comercial a unui produs executat de firme diferite are loc pe baza unor politici diferite: reclamă intensă, preţ cât mai redus, performanţe cât mai ridicate sau facilităţi sporite de întreţinere şi reparare a produsului.

Decizia în primul caz, este uşor de luat: se concide că pentru rezolvarea problemei de calcul numeric sunt adecvaţi numai anumiţi algoritmi, iar dintre aceştia alegerea se va face conform unui criteriu suplimentar.(*)Am preferat acest termen încetăţenit în psihologie şi traductibil ca „viziune asupra lumii” pentru a sublinia diferenţa între negarea generală a obiectivităţii şi un anumit spectru de cunoştinţe, atitudini cognitive, convingeri, percepţii, etc., definitoriu pentru o persoană sau un grup şi care le fundamentează atitudinea decizională.

În al doilea caz este greu de luat aprioric o decizie şi în plus , nu se poate spune că succesul comercial pe termen scurt al unei anumite politici de producţie şi vânzare se va menţine pe toată durata de viaţă a produsului.

Ceea ce influienţează foarte mult luarea unei decizii sunt experienţa organismului decizional, cunoaşterea pieţei, analiza psihologiei cumpărătorului şi a puterii de cumpărare, gradul de acceptare al riscului, decid tocmai elemente ale unui „Weltanschanung” decizional care persistă chiar şi în elaborarea unor modele matematice pentru asistarea deciziei care au la bază puncte de vedere diferite. Flexibilitatea atitudinii decizionale stă tocmai în acceptarea

27

acestei diversităţi şi pregătirea condiţiilor pentru adoptarea eventuală a unei alte politici care asigură un succes comercial mai mare.

28

Capitolul 2OPTIMIZAREA FLEXIBILĂ

Nu întotdeauna există o concordanţă totală între obiectivele şi metodele unui domeniu ştinţific. Dezvoltarea paralelă a problematicii decizionale şi a metodelor matematice de optimizare a cunoscut momente când s-a dovedit cu claritate că rigoarea analitică şi exactitatea numerică a unor modele matematice şi procedee de calcul – care au asigurat succesul introducerii metodelor matematice şi a tehnicii de calcul în conducerea unor activităţi – nu a putut substitui flexibilitatea gândirii calitative pentru a face posibilă conducerea eficientă a altor activităţi.

Optica reducţionistă pentru care o ramură economică este suma sistemelor de producţie care o compun, văzute, la rândul lor, ca sisteme interconectate de instalaţii tehnologice, tinde să-şi generelalizeze de sus în jos metodele şi concepţia de lucru. Din acest motiv termenul de „optimizare flexibilă” va provoca nedumerire sau neîncredere. Optimismul funcţionării unei instalaţii tehnologice este unic şi foarte precis iar metodele prin care este determinat sunt verificate şi sigure. Într-adevăr parametrii optimi de funcţionare a unei rafinării şi a sistemului aferent de stocare şi distribuire a produselor petroliere sunt rezultatul aplicării unor procedee de control optimal şi de programare matematică. Dar politica financiară şi comercială legată de acest sistem de producţie este pusă în faţa unor obiective contradictorii, schimbării rapide şi imprevizibile de conjunctură pe fondul nevoii imperioase de a menţine o stabilitate relativă a utilizării şi retribuirii forţei de muncă, de a nu dezechilibra sistemul energetic şi de a nu deteriora o serie de indicatori economici, inclusiv corelaţiile cu alte ramuri, ceea ce deschide drumul abordărilor euristice, a compromisului pe termen scurt sau lung. Interesează mai puţin o soluţie optimală pe termen scurt decât o soluţie robustă pe termen mediu sau lung.

Formularea unei astfel de probleme ca model de programare matematică va putea evidenţia restricţii incompatibile (ceea ce exclude folosirea unei întregi game de metode de optimizare) şi astfel însăşi noţiunea strictă de „optim” va fi alterată către un compromis bazat pe alegerea acelor restricţii a căror încălcare se acceptă pentru a „salva” îndeplinirea restricţiilor majore. Astfel, tehnicile de optimizare „intră în dialog” cu consideraţii de tip euristic datorate gândirii decizionale calitative. Fie că euristicul este asimilat parţial sau total în procedeele de calcul, fie că el „arbitrează” între diferiţi algoritmi de calcul (până la a-i modifica sau înlocui), optimizarea devine flexibilă iar optimismul este aşezat între limitele relative, recunoscându-i-se dependenţa de context. Aici se atinge punctul nodal al asistării deciziei bazate pe optimizare. O tehnică de optimizare este, prin generalitatea modelului de bază şi a algoritmului de rezolvare,

29

independentă de context, dar rezultatul său, decizia bazată pe (sau sugerată de) soluţia optimă este dependent de context.

Dilema metodă, independentă de context – soluţie dependentă de context îşi găseşte expresie în sugestia că trebuie să se facă distincţie între echivalenţa matematică şi echivalenţa economică a metodelor de fundamentare a deciziei. H.A. Simon subliniază că un mecanism sau organism aflat într-un mediu complex şi în rapidă schimbare are nevoie de componente adaptive care să-i asigure comportamentul necesar (sau urmărit). În cazul contrar este necesar să se simplifice şi să se stabilizeze mediul. Astfel, adaptarea sistemului este în orice caz necesară. În lumina acestei precizări, flexibilitatea apare ca o adaptare a sistemului decizional (în primul rând a tehnicilor şi metodelor sale) la complexitatea mediului economico-social. O instalaţie tehnologică funcţionează într-un mediu care i-a fost adaptat în mod deliberat. Astfel, tehnicile de optimizare nu necesită decât în mică măsură să fie flexibile, ci să fie aplicate corect.

Inexistenţa soluţiei admisibile pentru modelul (corect elaborat) al unui sistem complex nu înseamnă că sistemul respectiv nu „funcţionează” dar înseamnă în mod sigur că sistemul nu funcţionează „bine” în raport cu contextul său. Problema căutării optimului se transformă automat în căutarea celui mai bun compromis între realitatea maximală a obiectivelor şi încălcarea minimă a restricţiilor. Realitatea obiectivă a sistemului condus îl obligă pe decident (şi cu atât mai mult pe analistul de sistem) să găsească multiple nuanţe între DA şi NU. Majoritatea căutărilor logicii moderne porneşte de la astfel de aspecte.

2.1. Conceptul de optimizare flexibilă

Încercarea de a vedea în optmizarea „flexibilă” contrariul optimizării „clasice” – încă înaintea definirii acestor concepte, având la dispoziţie numai înţelegerea lor intuitivă şi bănuindu-le în opoziţie- trebuie să fie prevenită.

În primul rând, este vorba de a vedea aici modalităţi diferite de lucru cu un acelaşi model de bază ceea ce sugerează mai curând ideea complementarităţii decât a opoziţiei dintre cele două abordări. Această complementaritate porneşte de la situaţia în care utilizarea unor metode de optimizare independente de context produce rezultate ireproşabile din punct de vedere tehnic, dar mai mult sau mai puţin inadecvate contextului. O optică simplistă ar propune înlocuirea respectivelor metode cu „altceva”. Întrebarea firească despre cum ar arăta acel „altceva” pune imediat în dificultate o astfel de atitudine. În realitate este necesară, doar modificarea metodelor existente pentru a le adapta în mod satisfăcător la context.

Ceea ce numim optimizare „clasică” impune modelului de bază două condiţii de ordin gnoseologic:

- modelul trebuie să lucreze cu informaţii complete şi suficient de precise;- toate infotmaţiile trebuie să fie aritmomorfe.

Aceste două condiţii, odată împlinite, li se adaugă două condiţii care ţin de filozofia rezolvării efective a modelului şi sunt comune unei mari varietăţi de algoritmi care acoperă şi o mare varietate de probleme de optimizare:

- trebuie să existe cel puţin o soluţie xf Xf;- există o posibilitate algoritmică de a identifica în interiorul lui X f soluţia optimă

x* care extremizează una sau mai multe funcţii-obiectiv.Demonstrarea echivalenţei dintre programarea matematică şi controlul optimal (în

anumite condiţii), permite imediata reformulare a condiţiilor de mai sus pentru cazul controlului optimal.

Ceea ce definim prin optimizare flexibilă este tentativa de a soluţiona problemele decizionale al căror context nu satisface parţial sau total condiţiile optimizării clasice sau în al căror context nu se poate demonstra satisfacerea acestor condiţii.

30

Intrăm, în acest mod, pe terenul unei raţionalităţi extinse, definită ca „abilitate de a descoperi o situaţie mai bună şi de a se orienta către ea, fie spontan (ca în modelele statice) sau treptat (ca în modelele dinamice)”. În lucrarea menţionată se face o distincţie extrem de importantă care prefigurează cadrul de apariţie a noţiunii de optimizare flexibilă. Astfel, optimizarea este procesul raţional centrat pe alegerea „celei mai bune directii”, în timp ce adaptarea constituie un proces raţional bazat pe evoluţia către „mai bine”. Reiese din această distincţie că, într-un context dat, optimizarea este un proces quasi-închis, în timp ce adaptarea rămâne un proces deschis, evolutiv. Adăugăm faptul că, în acord cu aceste consideraţii, optimizarea flexibilă se poate defini ca optimizare prin adaptare.Revenind la clasificarea sistemelor întreprinsă de Gerardin şi la atributele sistemelor complicate (varietate redusă, calculabilitate mare) şi complexe (varietate mare, calculabilitate medie), se poate asocia în mare măsură optimizarea clasică cu sistemele complicate şi optimizarea flexibilă cu sistemele complexe.

În cele ce urmează este schiţată din punct de vedere tipologic aplicarea unor concepte din domeniul fundamentării deciziei şi optimizării la cele două categorii de sisteme:

Tipul sistemelorConceptuale Complicate Complexe

1 2 3Fundamentarea deciziei Optimală Satisfăcătoare*Invenţia umană Control(automat) ManagementMetode de optimizare Clasice(in general) FlexibileObiective Unice(on general) Multiple(de regulă)Precizia datelor din model

Ridicate Scăzute(deseori)

Completitudinea datelor din model

Ridicată Medie sau scăzută

Raţionament decizional Predominant cantitativ Predominant calitativSoluţii admisibile Da(de cele mai multe ori) Nu(deseori)Dependenţă de context Medie sau unică EsenţialăCăi de ameliorare a intervenţiei umane

1.Rafinarea tehnicilor de calcul2.Dezvoltarea sistematică a algoritmilor decizionali

1.Euristică2.Creşterea experienţei intuiţiei şi a bunului simţ al deciziei

Căi de ameliorare a calităţii intervenţiei umane

1. Standardizare2. Generalizare

1.Învăţare şi experiment euristic2. Adaptare la context

*În sensul dat de H. A. Simon noţiuni de „conducere satisfăcătoare”, care presupune o „căutare moderat de laborioasă până la găsirea unei alternative acceptabile”

Punctul de vedere exprimat mai sus nu este singular şi nici surprinzător prin noutate. Îl putem regăsi în următoarele afirmaţii mai vechi:

„...utilizarea conceptelor teoriei controlului automat pentru descrierea funcţionării sistemelor de conducere (în original „Management Systems”, n.a.) nu înseamnă că managementul se reduce la control.”

„Trebuie să fim de acord că modelele sistemelor socio-economice elaborate pe baza teoriei controlului automat sunt mai curând abstracţiuni decât reflectării ale complexităţii reale şi sunt generate prin impunerea unor legi generale şi nu prin studii experimentale.”

31

O serie de redefiniri şi de concepte (întreprinse inclusiv la nivelul optimizării „clasice”) au în comun tendinţa de a reduce în context soluţia unei probleme de optimizare şi de a o raporta la aceasta.

Analiza post-optimală nu constituie nicidecum o componentpă a vreunui algoritm de optimizare, dar face parte de multe ori din produsele de software. Ea permite: identificarea restricţiilor active şi inactive, stabilirea ecarturilor la restricţiile interactive, eventuale comparaţii ale optimului unic obţinut cu soluţiile admisibile de bază şi intermediere. Toate aceste informaţii îi sunt necesare decidentului pentru a situa în concretul problemei decizionale soluţia optimă care nu este în sine decât un vector.

Abordarea recursivă este aplicarea repetată a succesiunii procedură de optimizare, analiza postoptimală, şi devine necesară atunci când formularea problemei decizionale este imprecisă. Reducerea şi reevaluarea în context a soluţiei obţinute permite formularea mai precisă a problemei şi reitinerarea procedurii de calcul. Abordarea recursivă devine deci o ilustrare a principiului învăţării prin încercare şi eroare şi se dovedeşte greu de înlocuit în cazul problemelor decizionale care implică riscul, fie prin imprecizia construirii modelului sau a datelor, fie prin insuficienta cunoaştere a contextului. Interacţiunea între decident şi sistemul de asistare a deciziei nu mai este, în cazul acestei abordări, un impact momentan, ci unul permanent. Procesul de învăţare influenţează, sub forme diferite, atât cunoştinţele decidentului cât şi performanţele sistemului de asistare a deciziei.

Interacţiunea între decident şi sistemul de asistare a deciziei nu mai este, în cazul acestei abordări, un impact momentan, ci unul permanent. Procesul de învăţare influenţează, sub forme diferite, atît cunoştiinţele decidentului cât şi performanţele sistemului de asistare a deciziei.

Gradul sporit de interacţiune între decident şi instrumentele de asistare a deciziei defineşte orientarea de la proceduri, algoritmi şi modele specializate, autonome în exploartare, către Sisteme-Suport pentru Decizie (SSD) a căror funcţionalitate asigură un dialog interactiv consistent cu decidentul, preluând nu numai formularea-standard a unor probleme de programare matematică, ci şi elemente ale gândirii conceptuale a celui care formulează modelele. Căutarea dirijată este propusă ca o combinaţie în căutarea de tip „încercare şi eroare”, (deci, abordarea euristică recursivă care implică direct decidentul uman) şi căutarea algoritmică a soluţiei optime (specifică procedurilor automate de calcul). Se subliniază în lucrarea citată că, numai dacă problema decizională prezintă anumite proprietăţi, este posibilă soluţionarea ei completă printr-un algoritm de optimizare. Acest punct de vedere coincide în mare parte cu cel expus la începutul acestui subcapitol, privind condiţiile în care se, aplică optimizarea „clasică”. Căutarea dirijată reprezintă – în domeniul fundamentării deciziei pentru sisteme complexe – o tendinţă bine conturată şi susţinută. Este însă de remarcat faptul că demersul euristic nu este neaparat în căutarea dirijată. Astfel, metodele de gradient, larg utilizate în optimizarea neliniară, au în comun principiul ameliorării iterative a unei soluţii de bază, ceea ce reprezintă tot un procedeu de căutare dirijată, dar total algoritmic. De asemenea, metodele căutării în reţea (la care se reţin toate soluţiile care asigură îndeplinirea minimală a obiectivului stabilit) aparţin tot căutării dirijate. Unicitatea optimismului, postulat caracteristic (în afara cazurilor când sistemul reprezintă anumite particularităţi: domeniul admisibil infinit, restricţii, incomparabile, degenerarea optimului unic într-un hiperplan sau o varietate) pentru algoritmii de optimizare clasică, se dovedeşte în mai multe împrejurări o condiţie artificială. Imprecizia în datele care definesc restricţiile sau funcţia-obiectiv a unui model reduce în bună măsură certitudinea asupra optimului unic. În practică se preferă, o vecinătate convenabilă a acestui optim, care să acopere, cu o anumită marjă de toleranţă, imprecizia globală a modelului. În cazul deciziei multicriteriale se pot întâlni două clase de probleme: multiobiectiv şi multiatribut.

Decizia multiobiectiv are la bază un model cuprinzând restricţii şi funcţii-obiectiv. Aplicarea unui algoritm adecvat conduce la o soluţie (de regulă suboptimală în raport cu fiecare funcţie-obiectiv luată individual) având caracterul unui compromis între funcţiile-obiectiv.

32

Evident că a vorbi despre un optim în această situaţie este mai mult un automatism de limbaj sau o extensie a noţiunii respective. Decizia multiatribut iese din calculul programării matematice, urmărind nu un rezultat numeric – un vector de soluţii – ci alegerea unei variante de decizie dintr-o mulţime finită dată, ţinând seama în mod simultan de mai multe criterii pe care fiecare variantă le satisface în mod diferit. Nu ineficienţa sau incorectitudinea metodelor respective crează această situaţie, ci faptul că punctul de vedere decizional este particularizat la nivelul metodei într-o măsură semnificativ mai mare în cazul unor algoritmi de optimizare.

Stabilirea soluţiilor la probleme de optimizare (cu sau fără restricţii) este definită ca fiind acea proprietate a problemei de a avea soluţii neglijabil modificate în cazul perturbaţiilor mici în informaţia iniţială. O problemă care prezintă această proprietate se numeşte problemă bine definită („bien pose”, „well defined”, „incorrectement pose”, respectiv „ill-defined”), spre deosebire de problema rău definită, care prezintă instabilitatea soluţiilor. Condiţiile care delimitează aceste două cazuri au un caracter descriptiv. Exemplele care ilustrează o problemă rău definită sunt numeroase. Unul dintre ele ar putea fi următorul sistem de ecuaţii:

x-y=1 x-y=1x-(1+|ε|)y=0 x-(1-|ε|)y=0

cu soluţiile:x=100.001 x=-99.999y=100.000 y=-100.000

pentru |ε|=10-5

Este evident că posibilitatea unor erori în datele care definesc o problemă de programare matematică de dimensiuni mari este, în orice caz, semnificativă, chiar dacă nu simpla imprecizie, ci „plasarea” ei în anumite „puncte nodale” ale problemei, aduce cu sine instabilitatea soluţiilor (conform condiţiilor menţionate). Ceea ce rămâne foarte important este faptul că „metodele fundamentale de rezolvare a problemelor de programare matematică au fost elaborate sub ipoteza tacită că problema este bine definită. Acest fapt, adaugă la caracterul descriptiv al condiţiilor care precizează modul de definire al problemei, pune în discuţie modul de rezolvare a multor probleme reale. În aceste situaţii, decidentul pus în faţa unor soluţii instabile (sau în faţa unei singure soluţii care nu prezintă garanţia stabilităţii) va prefera în mod categoric o soluţie robustă (precizăm însă că robusteţea nu se confundă în sens matematic cu stabilitatea). Există metode – condiţionat aplicabile – de a rezolva probleme rău-definite. Riscul major al acestor situaţii este cazul cînd modelul constituie o problemă bine-definită, în timp ce contextul real pe care îl reflectă are atributele unei probleme rău-definite. Decizia care se ia în astfel de cazuri poate fi inaplicabilă.

Dependenţa de context este deci un atribut major al fundamentării algoritmice a deciziei pentru sisteme socio economice complexe. „Spaţiul de judecată”, interpus deseori între rezultatele numerice ale unui anumit procedeu de calcul şi decizia pe care se presupune că o fundamentează şi rezervat în special gândirii calitative, îndoielilor şi chiar „subiectivităţii” (în sensul în care a fost definit acest concept) factorului de decizie se constituie ca o „punte de revenire în context”. S-a arătat mai jos că acest spaţiu de judecată poate lua forma analizei post-optimale, abordării recursive (inclusiv prin căutarea dirijată) sau al înţelegerii mai largi al optimului (pluralite, vecinătăţi suboptimale). Este de la sine înţeles că analiza post- optimală poate include şi testarea stabilităţii soluţiei sau identificarea acelor erori în datele modelului care pot compromite stabilizarea. Din acest punct de vedere, se poate considera că demersul fundamental al optimizării flexibile este următorul: ţinând seama de nevoia readucerii în context (pentru a lua efectiv o decizie) a rezultatelor unui procedeu de calcul independent de context, o cale mai rapidă (pe care o numim optimizare flexibilă), este aceea de a reflecta contextul la nivelul procedeelor de calcul (sau modelului) fără a le afecta corectitudinea numerică, ci doar nuanţând filozofia specifică a acestor procedee.

33

O ilustrare foarte clară a modului în care utilizarea unui anumit procedeu de calcul depinde de context o constituie referirea la calitatea informaţiilor (calitatea informaţiilor, definite aici prin precizie, completitudine şi oportunitate, are drept coordonate după unii autori completitudinea siguranţa şi oportunitatea) care stă la baza elaborării modelului.

Precizia şi completitudinea reprezintă două atribute distincte care dau măsură utilităţii unui set de date pentru extragerea unor informaţii necesare procesului decizional. Lipsa unui anumit nivel de precizie compromite stabilitatea sau chiar minima semnificaţie decizională a soluţiei obţinute. Lipsa unor date face necesară completarea lor cu estimări imprecise (sau ipoteze inconsistente) care au aceleaşi efecte menţionate mai sus. Procedeele exacte şi sofisticate de calcul sunt cele mai vulnerabile în cazul utilizării de date imprecise sau incomplete.

Oportunitatea informaţiilor constituie un alt atribut calitativ, definit prin posibilitatea de a avea acces în timp util la informaţii complete. Este evident că absenţa unor informaţii la momentul necesar duce, fie la amânarea fundamentării deciziei, fie la luarea ei pe baza unor informaţii insuficiente. Reacţia decidentului (sau a specialistului care îl asistă) în faţa unei calităţi nesatisfăcătoare a informaţiilor îmbracă forme variate: utilizarea unor procedee euristice în locul schemelor rigide de calcul, găsirea unor metode de estimare, adoptarea principiului de învăţare prin „încercare şi eroare”, recursul la analogii pertinente, simplificarea tehnicilor algoritmice la nivelul datelor disponibile. Un loc aparte îl ocupă aspectul special al oportunităţii, caracterizat prin informaţii redundante. Identificarea şi eliminarea acestora se face inclusiv prin conceptualizare. Formarea de concepte noi care nu pot fi deduse din cele existente, operaţie accesibilă numai gândiri umane, este o modalitate eficace de a înlocui cantitatea de informaţii (în exces sau în lipsă) prin calitate.

O încercare de a pune în corespondenţă calitatea informaţiei (definită prin precizie şi completitudine) cu demersul metodologic din care reproducem fig.2.1.

Precizia şi completitudinea relativ ridicate ale datelor constituite într-un model fac posibilă, cu rezultate bune, abordarea deterministă. Acesta este cazul sistemelor tehnice, controlabile pe baza acestui relativ sigur la date precise şi complete. În termenii utilizaţi de Gerardin, astfel de sisteme care beneficiază de o calculabilitate ridicată a comportamentului lor sunt sisteme „complicate”.

Scăderea alternativă a preciziei sau completitudinii induc demersul nedeterminism (abordarea stochastică – sau prin teoria jocurilor sau cea fuzzy). În conformitate cu abordarea stochastică este indicată pentru sistemele „colective”, în timp ce abordarea fuzzy se orientează spre sistemele a căror funcţionare nu poate fi descrisă precis, fiind caracterizată prin concepte vagi sau ambigue.

Fig. 2.1.Scăderea(simultană) până la anumite limite a preciziei şi completitudinii face inoperant

conceptul de optim unic şi de stabilitate a acestuia, deschizând drum abordării suboptimale

34

robuse. Incertitudinea asupra alegerii celei mai semnificative şi cuprinzătoare funcţii conduce la necesitatea multicriterialităţii. Existenţa posibilă a unor restricţii incompatibile transformă optimul unic într-un compromis convenabil între încălcarea restricţiilor şi realizarea obiectivului iniţial formulat. Stimularea mai multor variante de decizie şi alegerea celei mai bune reprezintă, de asemenea, un mod caracteristic de tratare a informaţiei relativ imprecise şi incomplete. Pentru compensarea acestor cerinţe, intrarea în scenă a intuiţiei şi experienţei decizionale generează o mare varietate de metode euristice. Învăţarea prin „încercare şi eroare” şi utilizarea unor analogii pertinente cu sisteme şi procese mai bine cunoscute sunt încercări de a compensa scăderi majore ale completitudinii, respectiv deciziei. Practic, informaţia incompletă conduce la nedeterminare în „calculul” comportamentului unui sistem. Regăsim punctele de vedere expuse mai sus privind compensarea insuficienţei informaţiilor sub forma „restabilirii determinării”.

Metodele propuse sunt: acumularea de informaţii suplimentare (învăţare), „parametrizarea intrărilor” (simularea), „argumente limitative” (soluţii suboptimale robuste), strategii de risc minim (teoria jocurilor). Se poate invoca aproape un consens privind legătura între informaţia incompletă şi necesitatea metodelor, flexibile de fundamentarea deciziei (văzute ca modalitate de readucere în context a rezultatelor unei proceduri abstracte de calcul). Factorul care se opune obţinerii unei precizii şi completitudini sporite a informaţiei îl constituie varietatea (în sens cibernetic) a sistemelor în cauză, ceea ce are ca rezultat o calculabilitate medie a comportamentului acestora. Conform clasificării produse, ne aflăm în faţa sistemelor „complexe”. „Spaţiul de judecată” existent între rezultatele unui model şi decizia propriu-zisă capătă semnificaţia completă a dependenţei de context a unui rezultat numeric, din cauza impreciziei şi incompletitudinii informaţiei iniţiale.

Un nod foarte apropiat de analiză a legăturii dintre calitatea informaţiei accesibile şi conducerea proceselor din care reproducem fig.2.2. Problema informaţiei redundantei a fost deja menţionată deşi incidenţa acestui caz este mai redusă în domeniul sistemelor complexe, comparativ cu cazurile de informaţie incompletă, el necesită precizarea că euristica intervine de aceasta dată în sensul filtrării eficace a informaţiilor.

Fig. 2.2.

2.2. Direcţiile optimizării flexibile

35

Am definit flexibilitatea ca o adaptare majoră a sistemului decizional (în primul rând prin tehnicile şi metodele sale) la complexitatea mediului economico-social. Necesitatea de a acoperi distanţa de la un rezultat numeric produs de o tehnică de optimizare independentă de context, impune fie şi parţial orientarea către context a metodei de calcul. Vom încerca să exemplificăm în cele ce urmează acest punct de vedere, prin enumerarea principalelor direcţii pe care se dezvoltă conceptul hibrid de optimizare flexibilă.

Admisibilitatea şi robusteţea unei soluţii date la o problemă de optimizare reprezintă proprietăţi importante şi semnificative din punct de vedere al fundamentării deciziei. Majoritatea algoritmilor şi programelor generale de optimizare dau însă informaţii laconice în această privinţă. Admisibilitatea este indicată prin negare (numai dacă poliedrul soluţiilor este vid) iar robusteţea soluţiilor aşa cum a fost definită în cap.1, nu este menţionată niciodată (inclusiv din cauza acceptării fără discuţii a filozofiei „optimului unic”). Se consideră următoarea problemă de programare liniară (ilustrată geometric în fig.2.3.):

-0,5x1+x2≤20,67x1+x2≥2

3x1+x2≤9f(x)=x1+x2=max

Fig. 2.3.

Optimul căutat se găseşte în punctul A (2;3) şi funcţia Obiectiv ia valoarea 5. Decizia care se poate lua decurge automat din aceste informaţii.

Trebuie menţionat că în contextul în care se ia decizia pot apărea întrebări la care algoritmul utilizat nu răspunde: „Ce se întâmplă dacă apar perturbaţii în termenii liberi ai restricţiilor?” sau „este preferabil să se adopte o soluţie mai robustă decât optimul calculat?”. Orientarea către soluţii robuste decurge din prudenţa decidentului de a-şi asigura o soluţie care rămânând admisibilă, să reziste perturbării într-o anume măsură a restricţiilor.

Modul de a genera o soluţie admisibilă iniţială, specific algoritmului simplex, nu oferă nimic din punct de vedere al robusteţii, deoarece soluţia respectivă se află pe frontiera domeniului admisibil. Din punct de vedere intuitiv, există un punct cu probabilitatea robusteţii maxime. Acesta este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, notat cu H care se obţine la intersecţia bisectoarelor. Coordonatele acestui punct sunt (1,573;1,902) iar distanţele de la acest punct la dreptele care reprezintă restricţiile sunt d1=d2=d3=r=0,77. Valoarea funcţiei-obiectiv în acest punct este 3,475, interioară – evident – celei care se obţine în punctul A.

36

Intuiţia care a condus la construirea unei soluţii admisibile de maximă robusteţe într-un domeniu bidimensional poate fi generalizat într-un domeniu n-dimensional. Optica decizională poate ridica o nouă problemă: „soluţia A este optimă dar nu robustă, soluţia H este robustă dar independentă de optim; se poate determina un compromis satisfăcător?”.

Pentru a răspunde la această întrebare este necesar mai întâi să se stabilească o măsură cantitativă a proprietăţilor de robusteţe şi apropiere de optim pentru o soluţie dată. Orice punct x situat între A şi H (deci bisectoarea unghiului format de dreptele care reprezintă restricţiile active – la a căror intersecţie se găseşte optimul A) are coordonatele parametrice :

Măsura apropierii de optim va fi dată de:

cu condiţia ca f(A)≠0. În caz contrar se poate defini

.În aceleaşi condiţii, distanţa de la la AB şi AC va fi proporţională cu şi distanţa de la H la AB şi AC:

d1,2=0,77λ

măsura robusteţii poate fi adoptată ca:

Ambele măsuri sunt funcţii definite pe segmentul HA şi cu valori în intervalul [0;1] şi pot fi considerate – fără a insista deocamdată asupra acestui fapt – ca fiind funcţii de apartenenţă fuzzy. Căutarea compromisului cerut între robusteţe şi apropiere de optim revine la găsirea punctului x* dat de:

respectiv de:

sau

cu soluţia λ=0,766, respectiv x1*=1,675, x2*=2,164 şi f(x*)=3,839.

Exemplul dat ilustrează mai multe considerente expuse anterior:-optimul A ca soluţie a problemei de programare liniară, este obţinut în mod independent

de context prin aplicarea unui algoritm de tip simplex;

37

-raportată la contextul real al problemei decizionale, soluţia obţinută poate fi sau nu acceptată.

Dacă riscul perturbării restricţiilor este considerat semnificativ se caută – pe baza unei intuiţii geometrice – o altă soluţie care să prezinte robusteţea maximă. Scăderea valorii funcţiei-obiectiv, înregistrată pentru noua soluţie conduce la ideea unui compromis convenabil între robusteţe şi apropiere de optim. Punctul astfel obţinut poate fi adoptat ca bază a deciziei care se ia. Este o soluţie suboptimală.

„Spaţiul de judecată” existent între soluţia unui algoritm independent de context şi decizia efectivă a fost deci acoperit prin impunerea unei noi condiţii, cea de robusteţe, iar ulterior, prin căutarea compromisului, se poate imagina cu uşurinţă natura interactivă a acestei etape. Procedurile de evaluare şi calcul – simplificat expuse în exemplul de mai sus – completează algoritmul simplex (sau un alt algoritm) care furnizează optimul unic, luat ca punct de plecare al raţionamentelor ulterioare şi pot fi activate în cadrul unui dialog între utilizator şi maşina de calcul.

Suboptimalitatea este un concept care nu necesită, după părerea noastră, precizări de ordin etimologic. Ea poate fi definită cu o rigoare acceptabilă ca fiind proprietatea unei soluţii admisibile de a se afla într-o vecinătate (construită ad-hoc) a optimului unic. Soluţia de compromis determinată în exemplul precedent are atributele unei soluţii suboptimale.

Desigur, preţul îndepărtării de optimul unic nu este plătit inutil. Putem distinge două cazuri generale care justifică decursul la soluţii suboptimale:

a) nu există sau nu este accesibil un algoritm pentru determinarea optimului unic (în acest caz se fac mai multe „încercări” şi se alege soluţia care răspunde cel mai bine criteriului de optim – fără ca nimic să garanteze că aceasta este soluţia realmente optimă);

b) optimul obţinut prin aplicarea unui algoritm adecvat este „sacrificat” (sau „alterat”) în vederea satisfacerii unor criterii suplimentare sugerate de context. Acest ultim caz a fost ilustrat în exemplul anterior. Cazul a) poate fi regăsit în exemplul care urmează.

Se dă sistemul dinamic (cu stările x şi comenzile u) definit prin ecuaţia dinamică:

x1k+1=x1

k+2u2

x2k+1=x1

k+(1/2)x2k-u1

şi restricţiile asupra stărilor şi comenzilor:

având funcţionala de performanţă:

şi starea iniţială x10=1, x2

0.

Se presupune că nu este accesibil un algoritm de optimizare din cauza caracterului neliniar al funcţionalei de performanţă (sau că nu se justifică utilizarea acestuia) şi că problema trebuie să fie rezolvată până la orizontul N=1 (deci într-un singur pas). Determinarea soluţiei se face prin încercări („găsirea unei soluţii satisfăcătoare după o căutare moderat de laborioasă” – H.A.Simon) adică prin simularea mai multor perechi de comenzi.

Pentru început se verifică legătura dintre restricţii şi dinamică, înlocuind dinamica în restricţiile asupra stării, ceea ce duce la :

38

0≤1+2u20≤2

0≤2 – u10 ≤2

Rezultă de mai sus că u10 [0;1] şi u2

0 [0;0,5] ceea ce conformă restricţiile asupra stării. Se aleg pentru încercări (simularea căutării soluţiei) următoarelor perechi:

1 2 3 4 5u1

0=0 u10=0 u1

0=1 u10=0,5 u1

0=1u2

0=0 u20=0,5 u2

0=0 u20=0,5 u2

0=0,5

Rezultatul calculelor se poate prezenta în tabelul de mai jos :

Nr. variantei 1 2 3 4 5Perechea de

comenziu1

0=0u2

0=0u1

0=0 u2

0=0,5u1

0=1 u20=0 u1

0=0,5 u2

0=0,5u1

0=1u2

0=0,5Stările x1

1=1x2

1=2x1

1=2x2

1=2x1

1=1x2

1=1x1

1=2x2

1=1,5x1

1=2x2

1=1Valoarea lui

J(x,u)3 2,66 1 1,75 1,2

Rangul variantei

I II V III IV

Prima variantă asigura valoarea maximă pentru J(x;u). Se presupune noua funcţională de performanţă:

Aceleaşi variante de perechi de comenzi vor produce altă ierarhie conform tabelului de mai jos:

Nr. variantei 1 2 3 4 5

Perechea de comenzi

u10=0

u20=0

u10=0

u20=0,5

u10=1 u2

0=0 u10=0,5

u20=0,5

u10=1

u20=0,5

Stările x11=1

x21=2

x11=2

x21=2

x11=1

x21=1

x11=2

x21=1,5

x11=2

x21=1

Valoarea lui J(x,u)

4 4 1,5 2,75 2

Rangul variantei

Ia Ib IV II III

De această dată valoarea maximă a lui J1(x;u) este dată de primele două variante. Alegerea între acestea se poate face prin introducerea unui criteriu suplimentar.Legătura dintre suboptimalitate şi simulare apare mai evidentă observând că:

39

- simularea unor variante de decizie produce o mulţime finită de soluţii suboptimale;- evaluarea şi ierarhizarea soluţiilor suboptimale precum şi alegerea celei mai bune

simulează căutarea optimului.

Adoptând acest punct de vedere putem considera că numeroşi algoritmi de optimizare (de tip simplex, gradient proiectat, metode generale de relaxare, căutare locală pe reţea) care determină soluţia optimă ca limită a unui şir de soluţii care ameliorează progresiv funcţia-obiectiv:

x0, x1,…,=xoptim

reprezintă şi modalităţi de calcul a soluţiilor suboptimale, xj, 0≤ j ≤ k. În general, însă, programele de calcul asociate cu algoritm menţionaţi prezintă doar soluţia finală optimă, fără a reţine (în valoarea evaluării după criterii suplimentare) soluţii intermediare suboptimale. Ori aşa cum s-a arătat, în urma raportării la context prin noi raţionamente ale decidentului, este posibil să se adopte în vederea deciziei nu optimul – limită ci o soluţie suboptimală cu anumite proprietăţi.

Abordarea multicriterială este rezultatul încercării de a include în formularea iniţială a problemei cât mai multe elemente specifice contextului (criterii suplimentare de evaluare şi modificare a soluţiei furnizate de algoritmul de optimizare). Scopul acestei încercări este evident: tendinţa de a algoritmiza cât mai mult procesul de decizie, micşorând sau eliminând chiar, „spaţiul de judecată”. Dezvoltarea programării matematice multicriteriale este atestată de o bogată literatură de specialitate consacrată acestui domeniu.

Revenind la exemplul anterior, rezultatele din tabelul 2.2. evidenţiază o situaţie de indecidabilitate; variantele Ia şi Ib au aceeaşi valoare pentru funcţionala de performanţă. Alegerea uneia dintre variante poate fi făcută descompunând funcţionala (2.2.) în două funcţii-obiectiv:

maxf1(x)=2x1+x2 (2.3)minf2(u)=1+u1+u2 (2.4)

Dacă se urmăreşte prioritar maximizarea lui f1, se va alege varianta Ib care dă f1(x)=6 şi f2(u)=1,5, chiar dacă prioritatea se acordă minimizării lui f2, se preferă varianta Ia cu f1(x)=4 şi f2(u)=1. Construind câte o măsură μ1 şi μ2 a îndeplinirii fiecărui criteriu.

şise obţine:

Varianta Ia Ibμ1 0,666 1μ2 1 0,666min(μ1; μ2) 0,666 0,666

Obiectivul de bază al abordării multicriteriale este însă extremizarea simultană a funcţiilor-obiectiv, adică în exemplul dat, găsirea lui:

max(x;u)min(μ1(x); μ2(u)) (2.5)

ca variantă intermediară între Ia şi Ib analog cu modelul de căutare a soluţiei suboptimale de compromis, (fig. 2.3)Cele două perechi de comenzi corespunzând variantelor Ia şi Ib sunt:

40

şi

Se notează u2= , 0 şi se înlocueşte în ecuaţia de dinamică pentru x1:

x1=1+2şi în:

f1(x)=2(1+2 )+2=4+4f2(u)= 1+0+ =1+

precum şi în:

şi

Din rezultă =0,225 şi deci:

Este clar că noua soluţie de compromis este mai bună decît fiecare din variantele din tabelul 2.3, satisfăcând condiţia (2.5), reprezentarea grafică se dă în fig. 2.4.

Fig. 2.4.

Vom sublinia legătura dintre multicriterialitate şi filozofia de bază a suboptimalităţii, aşa după cum anterior am evidenţiat legătura între suboptimalitate şi simulare. Într-adevăr, optimul multicriterial constituie o soluţie suboptimală în raport cu fiecare dintre funcţiile-obiectiv luate individual.

Trebuie remarcată contribuţia pe care teoria mulţimilor fuzzy o aduce la evaluarea soluţiilor alternative prin reprezentarea sub formă de funcţii de apartenenţă a măsurii satisfacerii unui criteriu sau atribut caracteristic.

Restricţiile incomparabile se întâlnesc în problemele de optimizare mai des decât s-ar putea crede, fie când se formulează şi se încearcă pentru prima dată rezolvarea unei astfel de

41

probleme, fie în cazul modificărilor mai importante care apar într-o problemă decizională de rutină. Algoritmii generali de optimizare (şi programele asociate acestora) se mărginesc, de regulă, la atestarea existenţei soluţiilor admisibile, la semnalizarea inexistenţei acestor soluţii. O serie de programe identifică în afara algoritmului propriu-zis, restricţiile incompatibile şi le semnalează.

Atitudinea decizională în faţa unei asemenea situaţi poate lua în considerare una din următoarele alternative:

-compatibilizarea restricţiilor prin modificarea unor termeni liberi sau coeficienţi ai variabilelor dacă natura concretă a problemei – adică, din nou, contextul! – permite acest lucru.

-ignorarea şi eliminarea restricţiilor incompatibile în scopul rezolvării problemei şi evaluării unităţii soluţiei care se obţine;

-admiterea încălcării unei părţi din restricţii şi rezolvarea problemei în sensul găsirii celui mai bun compromis între minimizarea gradului de încălcare a restricţiilor şi extremizarea funcţiei-obiectiv.

Se consideră problema de programare liniară:

(2.7)

x1+x2=max (2.8)

reprezentată geometric în fig.2.5 .

42

Fig. 2.5.

După cum se observă, restricţiile (2.6) şi (2.7) sunt incompatibile.Se pot examina mai multe posibilităţi:

- se admite încălcarea restricţiei (2.7) figurată de segmentul DE. În acest caz, minimul lui (2.8) se obţine în punctul B de coordonate (1;2), iar funcţia-obiectiv ia valoarea f(B)=3;

- se admite încălcarea restricţiei (2.6) reprezentată de segmentul DC. Maximul lui (2.8) se obţine într-un punct de abscisă de ∞ şi ordonata egală cu 2, cu valoarea f(x)= ∞. Evident soluţia este inacceptabilă;

- se admite încălcarea simultană a restricţiilor (2.6) şi (2.7). segmentul GH, echidistant faţă de BC şi DE este locul geometric al soluţiilor care permit minima încălcare a celor două restricţii. Maximul lui (2.8) se obţine în G şi are valoarea f(G)=3,5.

Aşadar, decidentul are de luat în considerare două cazuri, dacă poate fi încălcată oricare din restricţiile incompatibile este de preferat să se încalce simultan ambele restricţii deoarece valoarea luată în funcţia-obiectiv în această situaţie este mai mare decât în cazul încălcării restricţiei (2.7).

Aspectele legate de optimizare comentate mai sus (admisibilitate, robusteţe, suboptimalitate, simulare, multicriterialitate, restricţii incompatibile) au fost ataşate conceptului de optimizare flexibilă deoarece fac posibilă analiza şi evaluarea în context a unor rezultate obţinute prin metode independente de context. Elementul pe care îl au în comun este faptul că ţin seama de incertitudinea (imprecizie+incompletitudine) care afectează informaţia disponibilă, dar o tratează determinist. Conform figurii 2.1, direcţiile enumerate mai sus se încadrează în situaţia când, simultan, precizia şi completitudinea sunt relativ scăzute. Cazurile când incertitudinea se reduce alternativ la imprecizie şi incompletitudine sunt caracteristice tratării nedeterministe, respectiv abordării fuzzy şi celei stochastice.

Tratarea cu instrumente specifice a informaţiei imprecise răspunde, în primul rând unor necesităţi operaţionale. Bazele teoretice ale abordării fuzzy continuă să fie supuse unor serii de obiecţii. Ceea ce face, însă, ca astfel de obiecţii să invalideze matematica fuzzy este tocmai faptul că sunt formulate de pe poziţiile „celeilalte” matematici. Oricum, în absenţa momentană a unei fundamentări riguroase şi complete a bazelor teoriei mulţimilor şi sistemelor fuzzy, aplicaţiile sunt deja numeroase, convingătoare la nivelul intuiţiei şi în plină expansiune.

43

Abordarea stochastică beneficiază de un consens mult mai larg, constituit pe parcursul unor perioade mai lungi şi susţinut de o arie aplicativă unde s-a dovedit de neînlocuit. Chiar dacă anumite dispute persistă în jurul definiţiilor elementare ale probabilităţii, ele nu pun în cauză valabilitatea aplicaţiilor ci rigoarea fundamentală a edificiului teoretic.

Motivul pentru care asociem aceste două abordări, constituite oricum pe baze proprii, conceptului de optimizare flexibilă este intenţia de a trata global problematica informaţiei afectate de incertitudine, din punct de vedere al fundamentării deciziei într-un context concret. Raportarea la contextul decizional a soluţiei care se obţine printr-un mecanism independent de context este trăsătura esenţială a optimizării flezibile. Acest mod de asistare (şi nu de luare automată) a deciziei presupune un regim interactiv, un „dialog” bazat inclusiv pe informaţia neformalizată deţinută de decident. Acesta este argumentul decisiv pentru cerinţa ca optimizarea flexibilă să fie prezentă în SSD, fie ca filozofie generală, fie ca modalitate specifică (între altele) de tratare a problemei.

2.3. Normativ şi descriptiv

Distincţia conceptuală între modelarea sistemelor conduse şi modelarea proceselor decizionale a fost menţionată în primul capitol al acestei lucrări (v.fig.1.6). Complexitatea ridicată a sistemului condus are două consecinţe fundamentale din punct de vedere al asistării deciziei (şi, deci, al structurii şi arhitecturii SSD):

- trecerea de la metode matematice riguroase (şi care prezintă o anumită rigiditate) către domeniul optimizării flexibile caracterizat prin particularităţi şi determinările analizate în subcapitolul 2.2.

- deplasarea accentului asupra modelelor procesului decizional care reflectă atât algoritmica şi euristica acestui proces, cât şi aportul individual al decidentului (experienţă, intuiţie, nivel de acceptate a riscului).

La începutul acestui capitol s-a trecut în revistă relaţia între complexitate şi flexibilitate evidenţiindu-se necesitatea flexibilităţii ca strategie adecvată de abordare a complexităţii: conţinutul abordării la complexitate este flexibilitatea, iar dezideratul optimului unic se transformă în filozofia suboptimalităţii şi a „conducerii satisfăcătoare” teoretizate de H.A. Simon.

În această ordine de idei, dihotomia normativ-descriptivă este extrem de relevantă pentru ştiinţa contemporană a modelării, având în acelaşi timp implicaţii profunde în concepţia SSD.

Atitudinea normativă este caracteristică pentru conducerea sistemelor tehnologice la care se cunosc: starea actuală, dinamica sistemului şi obiectivele acestuia. Posedând aceste elemente este posibilă determinarea unui algoritm de conducere care aduce sistemul în starea-ţintă luând în considerare restricţiile la care este supusă funcţionarea acestuia. După cum s-a mai arătat, abordarea de mai sus este adecvată sistemelor „complicate” caracterizate prin varietate (în sens cibernetic) scăzută şi calculabilitate ridicată a comportamentului lor. Astfel modelul normativ al sistemului furnizează decizia însăşi. Dacă procesul de conducere nu este complet automatizat (în cazul instalaţiilor conduse în buclă închisă) – ceea ce impune decidentului să intervină numai prin excepţie – atunci tot ce i se cere unui decident este să rectifice decizia furnizată de calculator pe baza modelului.

Confruntat cu realitatea unui sistem complex, cu necesitatea de a reevalua şi de a raporta la context o decizie de tip normativ, decidentul va resimţi nevoia unui anume grad de flexibilitate, greu de asociat cu atitudinea normativă independentă de context. Ceea ce poate prelua de aici un decident nu este decizia însăşi, ci un simplu punct de plecare pentru noi raţionamente.

44

Atitudinea descriptivă caracterizează conducerea sistemelor complexe. Modelul sistemului condus este redus (din motive de dimensiune) la o simplificare acceptabilă, accentul căzând pe descrierea modului în care se fundamentează şi se ia decizia, deci asupra modelului mecanismului decizional. Rezultatele care se obţin nu mai constituie însăşi decizia ci se constituie într-un corp de informaţii care facilitează decidentului luarea efectivă a deciziei. Logica fuzzy şi tehnicile de raţionament aproximativ capătă un rol important în delimitarea verosimilului şi neverosimilului compararea variantelor şi reformularea ipotezelor.

La o analiză atentă se poate observa că prima generaţie de sisteme informatice pentru conducerea economică a avut la bază demersul normativ, transferat rapid prin domeniul conducerii sistemelor tehnice. Experienţa utilizării unor astfel de sisteme informative a evidenţiat limitele acestui demers. A doua generaţie de sisteme informatice a asimilat concepte noi cum ar fi cele de Sistem-Expert sau Sistem Suport pentru Decizie. Modalitatea descriptivă este prezentă, de această dată, sub formă explicită şi include tehnici noi, specifice inteligenţei artificiale: prelucrarea inferenţială, utilizarea limbajului natural. Algoritmica utilizată se subsumează în mai mică măsură optimizării convenţionale, rolul euristicii creşte şi integrează tehnicile de raţionament aproximativ menţionate mai sus.

Optimizarea flexibilă – aşa cum a fost definită, şi descrisă în linii generale în acest capitol – are numeroase legături cu abordarea descriptivă în, primul rând, optimizarea flexibilă îşi propune să descrie raportarea la contextul decizional a soluţiei unui algoritm dat. Utilizarea intrinsecă a unui algoritm şi preluarea soluţiei obţinute are un caracter informativ, în timp ce, adaptarea algoritmului la specificul contextului (considerarea impreciziei, necesitatea soluţiilor robuste, experienţa simultană a mai multor criterii de optim, restricţii incompatibile etc.) nu face decât să descrie în mod nuanţat cerinţele reale la care răspunde procesul decizional.

În al doilea rând, existenţa soluţiilor multiple alternative presupune tehnici de evaluare şi selecţie care nu mai fac parte din algoritmul propriu-zis de determinare a soluţiilor. Evaluarea şi selecţia implică elementele euristice, aşadar descrierea criteriilor şi opţiunilor decidentului.

Un model normativ de optimizare propune pur şi simplu o soluţie numerică fără asocieri semantice. Cadrul conceptual al OF presupune utilizarea la nivel semantic a atributelor care leagă o soluţie sau o mulţime de soluţii de contextul decizional concret: admisibilitate, suboptimalitate, robusteţe. În egală măsură acest cadru descrie contextul decizional: existenţa impreciziei sau incertitudinii, existenţa priorităţilor calitative între diferite criterii, posibilitatea încălcării unei restricţii. Toate aceste caracteristici ale OF se plasează în domeniul descriptivului şi nu în cel al normativului. Însă, flexibilitatea rămâne o noţiune abstractă dacă nu este descrisă prin atribute şi metrici concrete.

45

Capitolul 3

Aplicaţii

Un algoritm reprezintă un sistem de reguli care aplicat la acelaşi tip de probleme dintr-o clasă dată, conduce de la condiţiile iniţiale ale clasei de probleme la soluţie cu ajutorul unor operaţii a căror succesiune este bine precizată şi determinată. Pentru soluţionarea diverselor probleme practice scopul proiectării şi analizei diverselor clase de algoritmi este de a găsi metoda generală de pregătire a algoritmului matematic şi logic, apărând necesitatea unor formulări corespunzătoare a problemei. Această reformulare se poate numi într-o primă fază algoritmizarea aparatului matematic. Un algoritm constituie un anumit sistem de reguli care transformă o informaţie iniţială în una finală cu ajutorul unui şir de informaţii intermediare. Informaţia disponibilă la un moment dat este exprimată într-un limbaj oarecare cu ajutorul literelor, cuvintelor şi a diverselor simboluri matematice şi convenţionale.

În continuare sunt prezentate două aplicaţii, enunţul problemei ce se cere a fi rezolvata, descrierea algoritmului, un caz particular si programul C++ corespunzător.

3.1. Prima aplicaţie

Generarea soluţiilor cu produs maximal pe componente

Se consideră ecuaţia:

, (1)

cu , . Să se proiecteze un algoritm care pentru , b N*, precizate, să genereze şi să afişeze toate soluţiile ecuaţiei date pentru care este maximul posibil. Pentru algoritmul proiectat se scrie programul C++ corespunzător. Să se verifice enunţul problemei pentru cazul particular:3x1+5x2+6x3+9x4+10x5+12x6 = 1200.

Descriere algoritm: Elemente , b N*, fiind precizate dacă atunci funcţia z

definită de ecuaţia (1) se scrie . Pentru ca ecuaţia (1) să admită valoarea maximă pe mulţimea soluţiilor reale pozitive trebuie ca termenii produsului să fie egali adică

. Ţinînd seama de ecuaţia (1) precizată se obţine nk=b adică k=b/n. Deci

, , sunt componentele soluţiei x R+, ale ecuaţiei (1) pentru care maximul

funcţiei z este z0 adică este cel mai mare număr real pozitiv. Pentru

generarea soluţiilor a ecuaţiei (1) vom aplica următorul algoritm: se generează

componentele soluţiei suport a ecuaţiei cu ajutorul formulei , se

determină d=b- şi în (1) dacă se face schimbare de necunoscute .

Atunci din ecuaţia (1) considerată se va obţine ecuaţia redusă iniţială(1'): . Dacă se

notează cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei reduse (1'), , atunci

46

analizând mulţimea S se pot întâlni următoarele cazuri:a)S=, adică ecuaţia redusă iniţială (1') nu admite nici o soluţie cu toate componentele

numere naturale. În acest caz, componentele soluţiei suport a ecuaţiei (1), anterior generate se decrementează în ordinea descrescătoare a valorilor lor cu câte o unitate, şi corespunzător fiecărei decrementări termenul liber al ecuaţiei reduse (1′) se incrementează cu coeficientul corespunzător din ecuaţia componentei decrementate. Decrementările-incrementările de tipul anterior precizat se pot face până când se obţine o ecuaţie redusă de forma (1') care să admită cel puţin o soluţie cu toate componentele numere naturale sau atâta timp cât după

decrementare valoarea . Dacă nu există nici o decrementare-incrementare de tipul anterior precizat în urma cărora să se obţină o ecuaţie redusă de forma (1′) care să admită cel puţin o soluţie cu componentele numere naturale înseamnă că ecuaţia (1) nu admite nici o soluţie cu

toate componentele numere naturale şi deci determinarea valorii nu este posibilă. În acest caz algoritmul se încheie.

b)S≠, adică s-a obţinut o ecuaţie redusă de forma (1') care să admită cel puţin o soluţie

cu toate componentele numere naturale. În acest caz, dacă considerăm submulţimea a tuturor soluţiilor booleene ale ecuaţiei reduse considerate (1') analizând această submulţime se pot întâlni următoarele două subcazuri:

1)Sy=0, adică ecuaţia redusă (1') considerată nu admite nici o soluţie booleană. În acest caz, maximul funcţiei z:

=z =max .

2) , adică ecuaţia redusă (1') considerată admite şi soluţii booleene. În acest caz, considerăm submulţimea tuturor soluţiilor booleene a ecuaţiei (1) considerate cu proprietatea că oricare astfel de soluţie are acelaşi număr maxim de componente egale cu 1, restul fiind 0. În

acest caz =z =max . Pentru ca ecuaţia (1) considerată să admită o

unică soluţie astfel încât =z=z(x) este necesar şi suficient ca în acest caz z=z0.

Valoarea anterior determinată este considerată optimă dacă , ai este cel mai mic coeficient natural nenul, n este dimensiunea ecuaţiei (1) considerate. Dacă înregistrarea anterioară nu este verificată valoarea nu este optimă, ci acceptabilă.

Caz particular: 3 x1+5x2+6x3+9x4+10x5+12x6 = 1200

xi=[1200/6ai]= [200/ai], x1=66; x2=40; x3=33; x4=23; x5=20; x6=16d=1200-(198+200+198+198+200+192)=14

Programul C++ corespunzător:

47

#include <stdio.h>#include <conio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define Max 20

int m[Max][Max];int a[Max],x[Max],q[Max];float dif;int s2,i,j,n,b,max,d,s,z,k;

void main(){

printf("numar necunoscute n=");scanf("%d",&n);printf("introduceti coeficientii a1<=a2<=...<=an\n");for(i=1;i<=n;i++){printf("a[%d]=",i);

scanf("%d",&a[i]);}

printf("termenul liber este p= ");scanf("%d",&b);k=b/n;for(i=1;i<=n;i++) x[i]=(int)(k/a[i]);d=0;for(i=1;i<=n;i++) d=d+a[i]*x[i];

d=b-d;for(i=1;i<=n;i++) m[1][i]=x[i];m[1][n+1]=d;j=1;for(i=1;i<=n;i++) q[i]=-1;i=1;do{

q[i]=q[i]+1;if (q[i]<2) i=i+1;else {

q[i]=-1;i=i-1;}

if (i>n){

s=0;for(i=1;i<=n;i++) s=s+q[i]*a[i];if (s==d) {

j=j+1;for (i=1;i<=n;i++) m[j][i]=q[i];j=j+1;for(i=1;i<=n;i++) m[j][i]=m[j-1][i]+m[1][i];

48

z=0;for (i=1;i<=n;i++) z=z+m[j][i]*m[j][i];m[j][n+1]=z;

}i=n;

}}

while (i=0);max =0;i=2;do{

s=0;for(k=1;k<=n;k++)

if (m[i][k]==1) s=s+1;if (s>max) max=s;i=i+2;

}while (i>j);if (j>1){

i=2;do{

s=0;for(k=1;k<=n;k++)

if (m[i][k]==1) s=s+1;if (s==max){printf("o noua solutie : ");for (k=1;k<=n;k++)

printf("x[%d]=%d",k,m[i+1][k]);printf("\n");}i=i+2;

}while (i>j);

}

else printf("fara solutie optima");getch();}

3.2. A doua aplicaţie

49

Generarea de numere k-binare

Se consideră p un număr natural nenul şi fie . Se proiectează un algoritm care,

pentru fiecare să genereze toate numerele naturale a n, care sunt k-binare. Să se verifice enunţul problemei pentru cazul particular p=6.

Descriere algoritm: Numărul a se numeşte k-binar, k număr natural nenul, dacă în sistemul de numeraţie în baza 2, numărul natural a se scrie cu k cifre egale cu 1, indiferent de poziţia lor în număr, restul cifrelor fiind 0.

Numerele naturale nenule p şi n=2p-l fiind precizate, generarea tuturor numerelor naturale

a n care sunt k-binare, se face recursiv. Să considerăm submulţimea A1: 1,2 ,4 ...,

. Submulţimea A1 verifică simultan următoarele proprietăţi:

x este 1-binar

cardA1=CPentru k 2, k N*, generarea elementelor submulţimii Ak se face astfel: fiecare element

al submulţimii Ak-1 anterior generat, care este k-l binar se adună cu toate elementele 1-binare care sunt mai mari decât elementul respectiv. Procedând în mod analog cu toate elementele submulţimii Ak-1 la sfârşitul prelucrării se vor obţine elementele submulţimii Ak care verifică următoarele proprietăţi:

x este k-binar

cardAk=C

Caz particular: pN*, p1, n=2p-l precizate, se generează şirul primelor p puteri

naturale ale lui 2 obţinînd 1, 2, 4,…,2p-1 ( sunt 1-binare).Pentru generarea numerelor 2-binare, fiecare număr 1-binar din cele anterioare se adună

cu toate numerele 1-binare mai mari decât el. Se obţin astfel numere 2-binare:

1 2 3 ………..2 p-1 1 3 5 ……… 1+2p-1

6 ..……. 2+2p-1

……… 2p-2+2p-1

Pentru 2 k p, pentru a genera toate numerele k-binare mai mici sau egale cu n procedăm astfel: fiecare număr k-1-binar din cele anterior generate se adună cu toate numerele 1-

binare mai mari decât el. Se obţin astfel numere k-binare.Procedând în mod analog, pentru orice kp, se vor obţine clase de numere naturale

disjuncte două câte două, în fiecare clasă intrând toate numerele naturale an care, în sistemul de numeraţie cu baza 2, se scrie cu acelaşi număr de cifre de 1.Dacă 1 kp este precizat, atunci toate numerele naturale n care sunt k-binare verifică inegalităţile:

2k-1 x 2p-2p-k

max(n)=2p-2p-k e k-binarmin(n)=2k-1 e k-binar

50

Pentru p=6; n=26-l =64+1=63 avem:

A1 : 1 2 4 8 16 32 elemente1-binare

A2: 1 2 4 8 16 32 A3: 1 2 4 8 16 32 3 5 9 17 33 7 11 19 35 6 10 18 34 13 21 37 12 20 36 14 22 38 24 40 25 41 48 26 49 28 50 44 52

56A4: 1 2 4 8 16 32 A5: 1 2 4 8 16 32 15 23 39 31 47 27 43 55

29 45 59 30 46 61

51 62 53

54 57 58 60

A6: 1 2 4 8 16 32 63Secvenţă din program:

void main(){

printf(" p= ");scanf("%d", &p);a[1]=1;for(i=2;i<=p;i++)

a[i]=a[i-1]*2;printf("nr 1- binare sunt : \n" );for (i=1; i<=p; i++)

printf("a[%d]=%d\n ",i, a[i]);l=0;if (p>=2)

for (i=1; i<=p-1;i++)for (j=i+1; j<=p; j++){

l=l+1;b[l]=a[i]+a[j];

}printf("nr 2- binare sunt: \n");for (i=1; i<=l; i++)

51

printf("b[%d]=%d\n",i, b[i]);----------------------------------------------------------}

Bibliografie52

1. Alexandru Ionică: „ Algoritmi sub formă de schemă logică”, Tipografia UVT, 1985

2. Alexandru Ionică: „Proiectarea şi analiza algoritmilor”, Ed. Mirton, Timişoara 1992

3. Alexandru Ionică: „Modelarea sistemelor economice(p149)”, Ed. Mirton, Tm., 1992

4. Alexandru Ionică: „Algoritmi euristici”, Ed. Mirton, Timişoara 1993

5. Alexandru Ionică, Victoria Iordan: „Limbajul Algoritmic(p208)”, Ed. Mirton, Tm., 1994

6. Alexandru Ionică, Victoria Iordan: „Algoritm si programare(p254)”, Ed. Mirton, Tm., 1994

7. Alexandru Ionică: „Structuri algoritmice”, Ed. Mirton, Timişoara 1995

8. Alexandru Ionică: „Algoritmi de prelucrarea mulţimilor discrete finite”, Ed. Mirton, Timişoara 1995

9. Alexandru Ionică, Elena Giorgiana Ionică, Cristian Alexandru Ionică, “Modelare structurata în sistemele economice(p143)”, Ed. Mirton, Tm., 1996

10. Alexandru Ionică: „Algoritmica booleană a sistemelor discrete”, Ed. Mirton, Timişoara 1996

11. Alexandru Ionică, Victoria Iordan: „Metode de elaborare a algoritmilor”, Ed. Eubeea, 2002

12. Alexandru Ionică, Michal Tuska, Elena Giorgiana Ionică, Cristian Alexandru Ionică, „Recursivitate si sortare, Vol I(p286)”, Editura IVAN KRASKO, Nădlac-Arad-România , 2005

13. Alexandru Ionică, Michal Tuska, Elena Giorgiana Ionică, Cristian Alexandru Ionică: „Recursivitate si sortare, Vol II(p279)”, Editura IVAN KRASKO, Nădlac-Arad-România, 2006

14. Kaufmann A: „Metode şi modele ale cercetării operaţionale”, Vol. II, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti 1967

53