Transcript

Lo imposibleen matemáticas

c a r l o s

p r i e t o d e c a s t r o

PR

IET

O D

E C

AS

TR

O

A lo largo de la historia, los matemáticos se han encontradocon números, ecuaciones, geometrías y cálculos imposibles.

En qué consisten y cuáles son los límites de estas imposibilidades, es lo que Carlos Prieto de Castro explica en esta obra. A través de

los ojos de Sotero, Julio, Isabel, doña Teresa y don Raúl, una familia de aficionados a las matemáticas, podemos conocer y comprender

aquellos acertijos sin respuesta, al tiempo que se abreante nuestros ojos un mundo de nuevos problemas y soluciones.Este libro permite viajar en el tiempo —de las matemáticas de la

Antigüedad clásica a las de nuestros días—, presenta la viday obra de los grandes personajes que forjaron las matemáticas como las conocemos hoy y muestra una faceta de esta ciencia que resulta

comprensible, entretenida y disfrutable.

Carlos Prieto de Castro es matemático por la unam y por la Universidad

de Heidelberg, Alemania. Labora como investigador del Instituto de

Matemáticas de la unam y es miembro de la Sociedad Matemática Mexicana,

la cual presidió. Su investigación abarca la topología algebraica

y los métodos topológicos en análisis no lineal.

24

9

249

M A T E M Á T I C A S

L AC I E N C I A

P A R A T O D O S

249L A

C I E N C I A

P A R A

T O D O S

www.fo

ndod

eculturaecon

omica.co

m

MA

TE

TI

CA

S

Primera edición 2017/Forro rústico 13.5 x 21 cm/ 224pp/ lomo 1.2 cm cm/ interiores papel cultural 75 grs / Diseño: Teresa Guzmán /Tamaño del documento 28.2 cm x 21 cm

Lo i

mp

osib

le e

n m

atem

átic

as

Prieto de Castro_Lo imposible en matemáticas_Forro.indd 1Prieto de Castro_Lo imposible en matemáticas_Forro.indd 1 16/11/17 4:11 p.m.16/11/17 4:11 p.m.

LO IMPOSIBLE EN MATEMÁTICAS

La Ciencia para Todos

En 1984 el Fondo de Cultura Económica concibió el proyecto editorial La Ciencia desde México con el propósito de divulgar el conocimiento científi co en español a través de libros breves, con carácter introductorio y un lenguaje claro, accesible y ame-no; el objetivo era despertar el interés en la ciencia en un públi-co amplio y, en especial, entre los jóvenes.

Los primeros títulos aparecieron en 1986, y si en un princi-pio la colección se conformó por obras que daban a conocer los trabajos de investigación de científi cos radicados en Méxi-co, diez años más tarde la convocatoria se amplió a todos los países hispanoamericanos y cambió su nombre por el de La Cien-cia para Todos.

Con el desarrollo de la colección, el Fondo de Cultura Eco-nómica estableció dos certámenes: el concurso de lectoescritu-ra “Leamos La Ciencia para Todos”, que busca promover la lec-tura de la colección y el surgimiento de vocaciones entre los estudiantes de educación media, y el Premio Internacional de Divulgación de la Ciencia Ruy Pérez Tamayo, cuyo propósito es incentivar la producción de textos de científi cos, periodistas, divulgadores y escritores en general cuyos títulos puedan in-corporarse al catálogo de la colección.

Hoy, La Ciencia para Todos y los dos concursos bienales se mantienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, con un objetivo aún más ambicioso: hacer de la ciencia parte funda-mental de la cultura general de los pueblos hispanoameri canos.

Comité de selección de obras

Dr. Antonio AlonsoDr. Francisco Bolívar ZapataDr. Javier BrachoDr. Juan Luis CifuentesDra. Rosalinda ContrerasDra. Julieta FierroDr. Jorge Flores ValdésDr. Juan Ramón de la FuenteDr. Leopoldo García-Colín Scherer (†)Dr. Adolfo Guzmán ArenasDr. Gonzalo Halfft erDr. Jaime MartuscelliDra. Isaura MezaDr. José Luis Morán LópezDr. Héctor Nava JaimesDr. Manuel PeimbertDr. José Antonio de la PeñaDr. Ruy Pérez TamayoDr. Julio Rubio OcaDr. José SarukhánDr. Guillermo SoberónDr. Elías Trabulse

Carlos Prieto de Castro

LO IMPOSIBLE EN MATEMÁTICAS

la

ciencia/249para todos

Primera edición, 2017

Primera edición electrónica (pdf), 2017

Prieto de Castro, Carlos

Lo imposible en matemáticas / Carlos Prieto de Castro. — México : FCE,

SEP, Conacyt, 2017

224 p. : ilus. ; 21 × 14 cm — (Colec. La Ciencia para Todos ; 249)

Texto para nivel medio y medio superior

ISBN 978-607-16-5256-0 (impreso)

ISBN 978-607-16-5400-7 (pdf)

1. Matemáticas — Historia 2. Matemáticas 3. Divulgación científi ca

I. Ser. II. t.

LC QA 39 P75 Dewey 508.02 C569 V. 249

La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica,

al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios

de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.

Diseño de portada: Teresa Guzmán Romero

D. R. © 2017, Fondo de Cultura Económica

Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Ciudad de México

www.fondodeculturaeconomica.com

Comentarios: [email protected]

Tel. (55) 5227-4672

Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra, sea cual fuere

el medio, sin la anuencia por escrito del titular de los derechos.

ISBN 978-607-16-5256-0 (impreso)

ISBN 978-607-16-5400-7 (pdf)

Hecho en México • Made in Mexico

7

ÍNDICE

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I. Números imposibles de alcanzar y otras imposibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

El encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 El número más grande . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Sotero Prieto Rodríguez . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II. Números imposibles de calcular y otras imposibilidades 29 Años después… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 La irracionalidad de

√2 . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Potencias consecutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pitágoras de Samos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Hipaso de Metaponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Gersónides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Eugène Charles Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Preda Mihăilescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III. Lo imposible en geometría . . . . . . . . . . . . . . . 47 Duplicar el cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Trisecar un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Construcción de polígonos regulares . . . . . . . . 59

8

Cuadrar el círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Más polígonos construibles . . . . . . . . . . . . . . 70 El pentágono y la proporción áurea . . . . . . . . . 76 Arquímedes de Siracusa . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Platón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Carl-Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

IV. Embaldosados imposibles . . . . . . . . . . . . . . . 94 Embaldosados planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Embaldosados esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Los poliedros platónicos . . . . . . . . . . . . . . . . 112 La demostración de la fórmula de Euler . . . . . . . 119 Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Evgraf Fedorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

V. Lo imposible en álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Dios creó los números naturales . . . . . . . . . . . 127 Los números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Extensiones de campo: los números algebraicos . . 130 Números trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . 140 Los cuaterniones y los números de Cayley . . . . . 142 Carl Louis Ferdinand von Lindemann . . . . . . . . 145 Adolf Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Johann Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 John Frank Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

VI. Geometrías imposibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Imposibilidad de demostrar . . . . . . . . . . . . . . 153 El método axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Los cinco postulados de Euclides . . . . . . . . . . . 159 Intentos de demostrar el quinto postulado . . . . . 160

9

En busca de una contradicción . . . . . . . . . . . 162 Pensar lo nuevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Uno de los modelos de Beltrami . . . . . . . . . . . 169 Los cinco postulados en el modelo . . . . . . . . . 175 Interpretación del modelo . . . . . . . . . . . . . . 182 El inicio de Los elementos de Euclides . . . . . . . . 183 Euclides de Alejandría . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Nikolai Lobachevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 János Bolyai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Eugenio Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

VII. Lo axiomáticamente imposible . . . . . . . . . . . . 195 Todo empezó con los conjuntos . . . . . . . . . . . 195 Principia mathematica y el programa de Hilbert . . 197 La formalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 El teorema de incompletitud de Gödel . . . . . . . 201 No siempre se puede decidir . . . . . . . . . . . . . 204 Máquina de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Kurt Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Bertrand Arthur William Russell . . . . . . . . . . 214 Alfred North Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . 216 Alan Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

A la memoria de Sotero Prieto Rodríguez

13

PRÓLOGO

Lo imposible en matemáticas suena a una falacia. En nuestra len-gua diaria “imposible” tiene muchos grados, dependientes de la circunstancia o de la persona de la que provenga la palabra. Pue-de signifi car: difícil, no quiero, las circunstancias no lo permiten, lo prohíbe la ley o “está en chino”, no obstante que ésta, la más hablada de todas las lenguas, ya la aprenden muchos extranjeros interesados en acercarse más a la cultura y al comercio de aquel país del lejano oriente; en otras palabras, ¡el chino es posible!

También se escucha la expresión “no le encuentro la cuadra-tura al círculo” cuando se quiere decir que algo no se puede re-solver. Es frecuente que quien utiliza esta expresión no sepa lo que ésta quiere decir exactamente. Curiosamente nadie utiliza la expresión “no le encuentro la duplicación al cubo”, ni tampo-co la expresión “no le encuentro la trisección al ángulo”, a pesar de que utilizarlas tendría un valor semántico equivalente al de la famosa cuadratura. En efecto éstos, los considerados tres gran-des problemas de la geometría griega, representaron un desafío para los matemáticos durante unos 2 200 años. Los más grandes matemáticos —y también los más pequeños— intentaron en vano resolverlos: si duplicar el cuadrado es tan sencillo, ¿por qué no lo es duplicar el cubo?; si bisecar un ángulo es tan senci-llo, ¿por qué no lo es trisecarlo?; si cuadrar una parábola es po-sible, ¿por qué parece imposible cuadrar un círculo?

14

De la mano de una familia que disfruta las matemáticas

a cual más, en sus primeros tres capítulos este libro nos llevará a

entender los tres grandes problemas de las matemáticas griegas

y por qué es imposible resolverlos. Antes de ello, sin embargo,

deberemos comprender por qué es imposible dejar de contar,

pero también por qué es imposible encontrar el número racio-

nal más grande menor que uno.

Aprenderemos a construir con regla y compás polígonos

regulares de tres, cuatro, cinco y seis lados inscritos en un círcu-

lo, y analizaremos por qué no se puede construir el de siete la-

dos. Averiguaremos exactamente qué polígonos regulares son

construibles. Aprovechando las construcciones, veremos la pre-

sencia de la sección áurea en el pentágono regular y su papel en

la arquitectura y el arte.

El capítulo iv nos convierte en albañiles. Se trata de colocar

baldosas, mas no baldosas cuadradas, sino losetas de variadas

formas y dibujos como las que decoran la Alhambra y otras cons-

trucciones de los árabes. Veremos qué embaldosados son im-

posibles. Después intentaremos embaldosar una esfera y veremos

que sólo hay cinco formas de hacerlo con baldosas iguales. Nos

quedará claro cómo, a partir de estos poliedros regulares, po-

dremos obtener otros: los semirregulares.

En el siguiente capítulo analizaremos la historia de los sis-

temas numéricos, que nos llevará a entender la imposibilidad

de resolver ciertas ecuaciones. Veremos el porqué de pasar de

los números naturales a los enteros, de los enteros a los racio-

nales, de los racionales a diversas extensiones de éstos y luego a

los números reales, aunque no nos detendremos a ver la nece-

sidad que nos lleva a defi nir los números complejos, los cuater-

niones y los octonianos (o números de Cayley).

El capítulo vi analiza el papel del quinto postulado de la

geometría propuesto por Euclides en sus Elementos. Entende-

remos por qué tuvo que proponerlo y qué ocurre si lo negamos.

Esto nos llevará a un nuevo mundo llamado Hiperbolia, donde

15

la ausencia del quinto postulado les hace sufrir extraños fenó-menos a sus habitantes.

Finalmente, en el capítulo vii estudiaremos los problemas que tienen los sistemas axiomáticos. Analizaremos el programa de Hilbert y cómo chocó con los teoremas de incompletitud de Gödel y con las máquinas de Turing.

Como complementos, hay textos incluidos en los recuadros, en los que se dan demostraciones de resultados que se mencio-nan en el texto principal, se explican detalles o se dan demostra-ciones más formales. Estos complementos pueden omitirse sin perder el hilo de la lectura, pero los lectores más ambiciosos pueden leerlos para tener una idea más completa de los temas tratados.

Cada capítulo se cierra con algunas breves biografías, la mayor parte de ellas basadas en los textos de los historiadores escoceses de las matemáticas, J. J. O’Connor y E. F. Robertson.1

Como libro de matemáticas que este texto es, se recomien-da no leerlo de corrido, sino detenerse, regresar y releer; siem-pre conviene tener lápiz y papel a la mano y pensar por uno mismo lo que en el texto se plantea. Los personajes del libro representan distintos tipos de lector y buscan dar a los lectores reales diferentes niveles de comprensión.

Finalmente debo hacer un reconocimiento a Michael Barot, a quien en buena medida se debe la idea de escribir sobre los imposibles y a quien se debe el mundo alucinante de Hiperbo-lia y los resultados que en ese capítulo se presentan.

1 J. J. O’Connor y E. F. Roberston, “Indexes of Biographies”, MacTutor History of Mathematics Archive, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.

17

INTRODUCCIÓN

Doña Teresa y don Raúl encabezan una familia con dos hijos: Isabel y Sotero. Su hijo Sotero, siguiendo la huella de su padre, es un joven matemático que apenas empieza su vida profesio-nal. Isabel, la mayor de ambos, es una brillante arquitecta que no desaprovecha su pertenencia a una familia que sabe matemáti-cas para inspirarse. Don Raúl es un matemático establecido, maestro por vocación, que tiene la fortuna de contar con la avi-dez de sus hijos por escucharlo y aprender de él. Doña Teresa es una mujer muy brillante, pero de una generación en la que las mujeres no recibían la misma educación que los varones. No obstante, en su papel de madre, propicia la convivencia que mantiene unida a la familia alrededor de un interés común: las matemáticas, y aun cuando se mantiene aparentemente al mar-gen de las disertaciones de su familia, va comprendiendo lo que ellos discuten y ocasionalmente hace ella misma algún comenta-rio agudo sobre el tema tratado.

Siempre presente en las tertulias se encuentra Julio, un mu-chacho soñador, estudiante de la carrera de ingeniero, para quien las matemáticas son apasionantes y fueron el motivo por el cual se gestó su amistad con Sotero durante la infancia, aunque en-tre ellos haya cierta diferencia de edades.

Nuestros personajes se desenvuelven en un ambiente fami-liar que no corresponde a ninguna época específi ca. Sus intereses

18

son variados, tanto dentro de las matemáticas como en lo de-más: ver un partido de futbol y recordar cuándo este deporte se jugó en México por primera vez, y mientras tanto, comer pastes de Real del Monte o jugar Scrabble o dominó.

El libro termina con la despedida de Sotero, que parte al extranjero a hacer estudios de posgrado.

En matemáticas, por supuesto.

19

I. Números imposibles de alcanzar

El encuentro

Lo importante ocurre siempre en un día cualquiera. Era un 8 de octubre cuando Julio iba a casa de Ana a buscarla. Al dar vuelta en una esquina se topó con otro niño más o menos de su edad, Sotero, montado en su bicicleta, una hermosa bici nuevecita, de un reluciente color rojo, con maravillosos refl ejos del sol en el manubrio y en los rines. Inmediatamente hubo un entendimien-to tácito entre Sotero y Julio.

No obstante, Sotero no cedió a la primera a los deseos de Julio de probar la bici.

—Seguro que no sabes andar en bici —dijo Sotero con cier-ta arrogancia.

—¡Qué va! —insistió Julio—, como si tú fueras lo máximo. Claro que sé andar en bici, ¿quieres verlo?

Debatieron un rato sobre la capacidad de Julio para andar en bici, hasta que Sotero, quien era el mejor de su clase en todo lo que tiene que ver con números, decidió retar a Julio.

—A ver, tú, si eres tan bueno respóndeme una pregunta. Si me la contestas bien, te dejo dar una vuelta en mi bici nueva.

Julio aceptó el reto.Sotero acababa de aprender a contar hasta 100 y era el único

de su clase que lo había aprendido bien. Pensó que Julio no iba a poder resolver el desafío y así no tendría que prestarle la bicicleta.

—A ver, ¿cómo te llamas?

20

—Julio, ¿y tú? —Yo soy Sotero, pero no cambies el tema y dime ¿cuál es el

número más grande?—Veinte —dijo Julio con cierta candidez—. No —se auto-

corrigió de inmediato—, treinta —al ver la expresión burlona de Sotero, recordó 40, 50, y luego se acordó de 51, 52, 53…

Sotero, que iba un año adelante de Julio en la escuela le soltó el as que tenía escondido bajo la manga:

—Cien es el más grande —le dijo con cierta ironía. Julio, aunque más joven, también era muy bueno para los

números y le dijo: —No te creo, ¿qué te parece uno más cien? ¡Eso es más

grande que cien!—Sí, ignorante —respondió Sotero—. Se dice “ciento uno”.—Bueno, está bien —dijo Julio—. Pues luego viene ciento

dos, ciento tres, ciento cuatro… ¡Pero ya préstame tu bici!—No, el reto no ha terminado —dijo Sotero un tanto des-

concertado—. Vamos a ver quién de los dos dice el número más grande.

—¡No, ahora déjame usar la bici!—Ya es muy tarde —arguyó Sotero. Julio, un tanto decepcionado, pero a la vez fascinado, quedó

en verse con Sotero la tarde siguiente, ahí, en la misma esquina. Todavía le gritó, como tratando ahora de ser él el que desafía a Sotero:

—¡Cien más cien, uno más que cien más cien, uno más que uno más que cien más cien!

Y ya casi a una cuadra de distancia, Sotero, le gritó:—¡Cien más cien más cien más cien… y eso cien veces! Julio ya no lo oyó.

El número más grande

La tarde siguiente, viernes, según lo acordado se volvieron a en-contrar. Ya había nacido una amistad que habría de perdurar.

21

En el parque cercano a la casa de Sotero compartieron la her-mosa bicicleta hasta que empezó a oscurecer.

—Ven, Julio, vamos a mi casa, mi mamá hizo agua de jamai-ca que está rica. ¿No quieres un vaso?

Julio aceptó. Isabel, hermana mayor de Sotero, estaba en la casa y leía un libro cuando Julio preguntó:

—¿Qué me gritaste ayer cuando te ibas? Sotero, que no había olvidado aquel juego del número más

grande, no había dejado de pensar en ello. Recordó: —¡Cien más cien más cien, cien veces! Isabel, que escuchaba la discusión, agregó:—Eso es cien por cien y se llama diez mil. —Pues entonces tomemos cien por cien por cien, cien ve-

ces —reviró Julio. Isabel no estaba segura de que ese número tuviese un nom-

bre, ni siquiera de que fuera un número. Entre tanto, llegó Raúl, el papá de Sotero, de buen humor, y saludó a los tres niños.

—¿Y quién es este jovencito? —preguntó refi riéndose al invitado.

—Soy Julio —respondió éste—. Vivo aquí, a dos cuadras. —¡Mucho gusto! —exclamó don Raúl— ¿Y se puede saber

a qué estaban jugando? —A ver quién dice el número más grande —respondió

Sotero.—¿Y en qué número van ya? —cuestionó don Raúl con cier-

ta sorna.Isabel se apuró a decir: —Vamos en un numerote, pero no sabemos cómo se llama,

ni siquiera sabemos si es un número. —¿Pues cuál es? —preguntó el papá. —Cien por cien por cien, cien veces —respondió Isabel

muy ufana. Don Raúl, matemático de profesión, les dijo: —Se dice “cien a la cien” y sí es un número.1 Se escribe como

un uno seguido de doscientos ceros.1 Este número es el cuadrado de diez a la cien, es decir, es un gúgol (googol) al

cuadrado. Un 1 con 100 ceros es el llamado gúgol y un 1 con un gúgol de ceros lo

22

—Eso no cabría en un renglón de mi cuaderno —masculló Sotero.

“Cien más cien, cien por cien, cien a la cien, ¡vaya núme-ros! —pensaba para sí Julio—. Cien más cien, doscientos; cien por cien, diez mil; cien a la cien…” y ya no supo qué contestar-se. Además, cien por cien era diez mil, cosa que no les había convencido ni a Julio ni a Sotero, ¿dónde estaban los dos cienes que habían metido?

Entre tanto, ambos empezaron a intuir la desconcertante idea de que tal vez nunca encontrarían el número más grande de todos. Siempre habría alguien que iba a tener uno mayor.

Aquel 8 de octubre, día del encuentro, fue importante por-que Sotero y Julio se hicieron amigos inseparables, “uña y mu-gre”, como suele decirse.

Las ideas, como las amistades, requieren de maduración. Sotero y Julio tardaron más de dos meses en darse cuenta de que el hecho de que siempre hay alguien más con un número más grande equivale a que “el número más grande” era una cosa que no podía existir, era imposible encontrarlo.

Entretanto, Julio se convirtió en el orgulloso dueño de una bicicleta, azul y tan bonita como la de Sotero. Otro viernes, ya cada uno en su propia bici, paseaban por el parque recordando que se habían conocido con motivo de la bici roja y que se ha-bían hecho amigos buscando “el número más grande”.

—Y, fi nalmente, ¿qué? ¿Hay un número más grande que to-dos los demás o no? —preguntó Julio.

—Yo creo que no —respondió Sotero—, pero por qué no va-mos a mi casa y se lo preguntamos a mi papá. El otro día pare-ció saber muy bien la respuesta.

—Vamos; al fi n que es viernes y no hay que hacer tarea para la escuela —accedió Julio.

Hacía frío y doña Teresa, mamá de Sotero, había prepara-do ponche con guayaba y caña de azúcar. Isabel y los dos niños

llaman gúgolplex (googolplex). Véase E. Kasner y J. Newman, Matemáticas e imagi-nación.