MATEMÀTIQUES2n de Batxillerat
Curs 2016-2017INS Les Termes Sabadell
Prof: Albert Sola
Temari matemàtiques 2n de Batxillerat
1. Límits i continuïtat de funcions (7)
2. Derivades (8)
3. Aplicacions de la derivada (9-10)
4. Primitives, integrals indefinides (11)
5. Integrals definides (12)
6. Matrius i determinants (1-2)
7. Sistemes d'equacions lineals (3)
8. Geometria a l'espai (4)
9. Distàncies i angles (5-6)
ANÀLISI
ÀLGEBRA LINEAL
GEOMETRIA
1T
2T
3T
3 grans temes de la sele:
Tema 1(7): Límits i continuïtat de funcions
1. Concepte de límit
2. Càlcul de límits
3. Indeterminacions
4. Límits en funcions
5. Repàs funcions principals
6. Teoremes a l'entorn dels límits
1. Concepte de límit.
El límit és "el lloc preparat", "la tendència".
limx→1
f ( x )=+∞
limx→3
f ( x )=∃
limx→3−
f ( x )=−2
limx→3+
f ( x )=1
limx→5
f ( x )=3
limx→+∞
f ( x)=1
limx→0
f ( x )=0
limx→−∞
f ( x)=−∞
Pàg.196: E5, 5, E7, E8, 7, 8
2. Càlcul de límits.
a) Límits de potències:
limx→+∞
x n=
Exemples de cada un, Pàg.200: 13,14
+∞ si n > 0
1 si n = 0
0 si n < 0
limx→−∞
x n=+∞ si n > 0 i parell
-∞ si n > 0 i senar
1 si n = 0
0 si n < 0
limx→+∞
ax=+∞ si a > 1
0 si 0<a<1
Ø si a < 0
limx→−∞
ax=0 si a > 1
+∞ si 0<a<1
0 si a < 0
vari
ab
le a
la b
ase
vari
ab
le a
l'e
xpo
nen
t
2. Càlcul de límits.
b) Límits de polinomis:
limx→±∞
(akxk+a
k−1x k−1+...+a
1x+a
0)=
= limx→±∞
akx k=a
k· limx→±∞
x k=ak·(±∞ )
Atenció amb els signes!
c) Límits de quocients entre polinomis:
limx→±∞( ak x
k
bp xp)=akb p · lim
x→±∞( xk
x p)=Menyspreant
termes de
grau inferior:
±∞ si k > p
0 si p > k
ak/bp si p = k
p201: E12, 15, 16
2. Càlcul de límits.
d) Propietats de les operacions amb límits:
limx→+∞
[ f ( x)±g( x)]= limx→+∞
f ( x )± limx→+∞
g( x )
limx→+∞
[ f ( x)· g( x)]= limx→+∞
f ( x )· limx→+∞
g( x )
limx→+∞
f (x )g (x )
=limx→+∞
f ( x )
limx→+∞
g( x) (si lim g(x) diferent de 0)
limx→+∞
p√ f (x )= p√ limx→+∞
f ( x )
limx→+∞
[ f ( x)] p=[ limx→+∞
f ( x )]p
limx→+∞
loga f ( x )= loga limx→+∞
f ( x )
limx→+∞
f ( x)g ( x )=( limx→+∞
f ( x))lim x→+∞ g (x )
(si lim f(x) i lim g(x) diferent de 0)
p199: E9, 11, 12, 44 i 45 cap de setmana
3. Indeterminacions
a) ∞/∞
b) ∞ - ∞
c) 1∞
limx→+∞
3x2
√ 4x+1=
∞∞
Dividir numerador i denominador entre la potència més gran de x
Resoldre la resta de fraccions
Multiplicat pel conjugat (entre arrels)
Novetat!
a) ∞/∞ grau 2
grau 1/2
3. Indeterminacions
limx→+∞
3x2
√ 4x+1=
∞∞
a) ∞/∞ grau 2
grau 1/2
limx→+∞
3x 2
x2
√ 4x+1
x2
= limx→+∞
3
√ 4x
x 4+
1
x4
=3
0=+∞
Altre exemple p202, 17, 18
3. Indeterminacions
limx→+∞( x
2−3
x−5−x
3
x2+1)=∞−∞
b1) ∞ - ∞ (resta)
x 2−3
x−5−x 3
x2+1
=(x 2−3)( x 2+1)− x3( x−5)
(x−5)(x2+1)
=
x 4+ x 2−3x 2−3−x 4+5x3
x3+ x−5x
2−5
=5x3−2x 2−3
x3−5x
2+x−5
limx→+∞( 5x
3
x 3 )=5
3. Indeterminacions
limx→−∞
(√ x 4+1−√x 2−1)=∞−∞b2) ∞ - ∞ (conjugat)
(√ x 4+1−√ x 2−1 ) ·(√ x4+1+√x 2−1)√ x 4+1+√ x2−1
=x
4+1−( x
2−1)
√ x4+1+√x 2−1
limx→−∞
x 4−x 2+2
√ x 4+1+√ x2−1=+∞
p203, 19, 20
3. Indeterminacions
limx→∞
f (x )g ( x)= elim [ f ( x)−1 ]·g ( x)c) 1∞
limx→+∞( x
2−3
x2−5)
3x+1
=1∞
Sempre i quan els límits a l'infinit de f(x) i g(x) per separat siguin 1
i ∞ respectivament.
limx→+∞( x
2−3
x2−5)
3x+1
=1∞
p204, E2, 21, 22
(x2−3
x 2−5−1) · (3x+1)=
x2−3−(x
2−5)
x 2−5· (3x+1)=
=2· (3x+1)x 2−5
=6x+2
x 2−5limx→+∞( x
2−3
x2−5)
3x+1
=e0
4. Límits en funcions (tendint a punts concrets)
a) En un punt, per l'esquerra, per la dreta
limx→2
(x 2−2x+1)=22−2·2+1=1
Substituïm valor
f(x) = x2 - 2x + 1
f(x) = 2x - 1 si x<1
-x2 + 1 si x>1limx→1 e
(2x−1)=2·1+1=3
limx→1d
(− x2+1)=−12+1=0
-Un valor diferent ens indica que hi ha una discontinuïtat de salt finit.
-En aquest cas no existeix el límit tendint a 1.
-No problem.
limx→3
x 2+1
x−3=
32+1
3−3=
10
0=∞
El negatiu per l'esquerra ens indica que la branca va cap avall, el positiu per la dreta
que la branca va cap amunt.
-Ens trobem davant d'una assímptota vertical (salt infinit)
f ( x)=x 2+1
x−3
limx→3e
x2+1
x−3=
2,92+1
2,9−3=
10
−0,1=−∞
limx→3d
x 2+1
x−3=
3,12+1
3,1−3=
10
0,1=+∞
limx→2
x 2−4
x3−7x+6
=22−4
23−7·2+6
=0
0-Ens trobem davant d'una INDETERMINACIÓ 0/0!!
f ( x)=x 2−4
x3−7x+6
Mecanisme: factoritzar i simplificar l'expressió.
x2−4
x3−7x+6
=( x+2)( x−2)
( x−1)( x−2)(x+3)=
x+2
( x−1)( x+3)
limx→2
x+2
(x−1)(x+3)=
2+2
( 2−1)( 2+3)=
4
5p205, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 63, 64, 65, 67, 71, 72, 73, 74, 75,76,79, 80, 82
b) Interpretació de cara a l'estudi de la continuïtat
Perquè una funció sigui contínua en un punt "a" s'han de
complir 3 condicions: ᴲ f(a) ᴲ limaf(x) f(a)=lim
af(x)
ᴲ f(a) ᴲ lim f(a)=lim Gràfica
Contínua Ok Ok Ok
Disc. evitable Ok Ok
Disc. evitable Ok
De salt finit Ok
De salt finit
De salt infinit Ok
De salt infinit
5. Repàs de les funcions principals
Funcions polinòmiques
Funcions racionals ( / )
Funcions amb radicals
Funcions exponencials
Funcions logarítmiques
Funcions trigonomètriques
Sempre contínues
No contínues quan den=0
Sempre contínues per índex senar. En índex parell, no contínues quan radicand és negatiu.
Sempre contínues
No contínues quan "a" és 0 o negatiu (logba)
Sin i Cos contínues, Tg no en x=π/2 + kπ
"El" problema: -Estudïa la continuïtat de la següent funció:
x+1
x 2+ x
√ x+1
f (x) =
si x <= 3
si x > 3
1r: Mirar el panorama i decidir els punts d'estudi.
-A la primera expressió (racional) hi haurà discontinuïtat quan x2+x=0
x2 + x = 0; x·(x + 1) = 0; x1 = 0
x2 = -1
-A la segona, tindríem discontinuïtat si x + 1 < 0. Mai serà el cas.
Punts d'estudi: -1, 0, 3 (canvi), -∞, +∞ (sempre ajuden)
2n: Mirar què passa amb l'ajuda dels límits.
No existeix f(-1), però sí existeix lim: DISCONTINUÏTAT EVITABLE
limx→−1(
x+1
x2+x)=
−1+1
(−1)2+(−1)
=0
0
x+1
x 2+ x=
x+1
x ( x+1)=
1
xlimx→−1
1
x=−1
limx→0 (
x+1
x2+x )=
0+1
02+0
=1
0=∞
No existeix f(0), límits tendeixen a infinit: ASÍMPTOTA VERTICAL
limx→0 (
x+1
x2+x )=
0+1
02+0
=1
0=∞
limx→0e(
x+1
x2+x)=
−0,1+1
(−0,1)2−0,1
=1
−0,09=−∞
limx→0d (
x+1
x2+ x)=
0,1+1
(0,1)2+0,1
=1
0,11=+∞
Límits per esquerra i dreta difereixen: SALT FINIT
limx→3e(
x+1
x2+x)=
3+1
32+3
=9
12=
1
3
limx→3d
√x+1=√ 3+1=2
limx→−∞(
x+1
x2+ x)=0 lim
x→+∞√ x+1=+∞
ASÍMPTOTA HORITZONTAL Va creixent
3r: Representar esquemàticament la funció.
p209, 31, 94o, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113
6. Teoremes a l'entorn dels límits
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], i els signes de f(a) i f(b) són
diferents, podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un
punt c pel qual f(c)=0.
Bernhard Bolzano
"per força la funció ha de travessar l'eix x"
a) El Teorema de Bolzano
f ( x)=√ x+1
ex
+cos x
x−1
S'anul·la en algun punt de
l'interval [4,6]?
1r: Comprovar que en l'interval sigui contínua:
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
√ x+1 e x x−1cos x2n: Comprovar que el valor dels extrems té signe oposat:
f ( 4)=√ 4+1
e4
+cos 4
4−1=−0,17 f (6)=√6+1
e6
+cos6
6−1=0,19
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
Signe diferent: Segons Bolzano, la funció sí s'anul·la en algun punt de l'interval.
p210: 33, 125, p223:aplic 7 i 8
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], f(x) pren en aquest interval
tots els valors "m" entre f(a) i f(b).
Jean Gaston Darboux
"per força la funció ha de passar per m"
a) El Teorema de Darboux (o dels valors intermedis)
f ( x)=( 1− x2)·cos π x Existeix f(c)=-2 en algun punt c
de l'interval [1,2]?
1r: Comprovar que en l'interval sigui contínua:
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
1−x 2 cosπ x2n: Calcular el valor que pren la funció en els extrems:
Cap de les expressions que conformen la funció ens indica
que no sigui contínua, per tant és contínua.
-2 entre -3 i 0: Segons Darboux, la funció sí passa per -2 en algun punt de l'interval.
p211: 35, 133, 134
f (1)=(1−12)·cosπ ·1=0 f ( 2)= (1−22)·cos π·2=−3
-3 < -2 < 0
Tema 2(8): Derivades
1. Definició de derivada
2. Funcions derivades
2.1 Funcions elementals
2.2 Regla de la cadena
2.3 Operacions amb derivades
3. Equacions de la recta tangent i normal a una funció
4. Derivabilitat de funcions
1. Definició de derivada
-La Taxa de variació mitjana: quant varia un interval?
TVM ([a ,b])=f (b)− f (a)b−a
a b
f(b)
f(a)
-La derivada: quant varia quan l'interval tendeix a 0? (punt concret)
TVM ([a ,b])=mr
a a+h
f(a+h)
f(a)
f ' (a)=limh→ 0
f (a+h)− f (a)h
a
f(a)
h h→0
f ' (a)=mr
p190: E1,E2, 2 +amb fórmula
2. Funció derivada2.1 Funcions elementals
p196: 13, 86, 87, 88 no def, E11, 15, 16
2.2 Regla de lacadena
2. Funció derivada2.3 Operacions amb derivades
p195: 11, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102...120
[ f (x)+g (x)] '= f ' (x)+g ' (x)
[k·f (x)] '=k·f ' (x)
[ f (x)· g (x)]'= f ' (x)· g (x)+ f (x)· g ' (x)
[f (x)g (x)
]'=f ' (x)· g (x)− f (x)· g ' ( x)
[ g (x)]2
[(g ο f )(x)] '=g ' ( f (x))· f ' (x)
3. Equacions de la recta normal i tangent a una funció
-Equacions de la recta
Vectorial: (x,y) = (a, b) + t·(v1,v
2)
Paramètriques: x = a + t·v1
y = b + t·v2
Contínua:
General: Ax + By + C = 0
Punt-pendent: y - b = m · (x - a)
Explícita: y = m·x + n
p191: 3 i 4 (t i n), 39, 41, 43, 45, 47, Exercici Sele
x−av
1
=y−bv
2
Recta tangent a f(x) en x = a: m = f'(a) a = a b = f(a)
Recta normal a f(x) en x = a: m= -1/f'(a) a = a b = f(a)
4. Derivabilitat de funcions
-Una funció NO és derivable en:
Comprovar en x=-1 de: f (x)=x+1
x2+x
a) Punts de discontinuïtat
b) Punts angulosos En f(x) definida a trossos, derivada per l'esquerra
i per la dreta no són iguals en canvi d'expressió.
c) Punts de tangent vertical f ' (a)=ma=tg 90=∞
d) Punts de retrocés f ' (a)=ma=tg 90=∞
-Si una funció és derivable per a x = a, necessàriament és contínua a x = a.
I recordar que: si f'(a)>0, f(x) és creixent en x = asi f'(a)<0, f(x) és decreixent en x = a
Tema 3(9-10): Aplicacions de la derivada
1. Estudi i representació de funcions
2. Problemes d'optimització
3. Teorema de Rolle
4. Regla de l'Hôpital per a resoldre indeterminacions 0/0
1. Estudi i representació de funcions
Repàs apartat 5. del tema 1a) Domini
Eix x: Resoldre l'equació f (x) = 0
b) Punts de tall amb els eixos
Eix y: Càlcul de f (0)
Verticals en x = c quan:
c) Asímptotes
Horitzontals en y = k quan:
limx→c
f (x)=∞
limx→±∞
f (x)=k
Obliqües en y = mx + n quan: limx→∞
f (x)x
=m=0
limx→∞
[ f (x)−mx ]=n
Si f'(a) > 0 creix, si f'(a) < 0 decreix
d) Monotonia (creix o decreix)
e) Curvatura (còncau o convex)
Si f'(a) = 0 màx o mín Si f''(a) < 0 Màxim
Si f''(a) > 0 Mínim
Si f''(a) > 0 és còncava, si f''(a) < 0 és convexa
Si f''(a) = 0 és punt d'inflexió
Exemples: Polinòmica, Racional, Radical, Exponencial, Logarítmica, a trossosp.247: 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30 i 31 [una cada un, full a part]
2. Problemes d'optimització
Objectiu: interpretar les funcions donades / construïdes
a) Problemes amb la funció donada
1r: Fer derivada
2n: Igualar a 0 (on hi haurà màxim o mínim)
f ' (t )=10−2t
10−2t=0 ; t=5mesos
3r: Amb derivada 2a mirar si màx o mín
f ' ' (t )=−2
Ex pàg 218: Benefici empresa s'expressa com f(t)=10t-t2
t: temps en mesos
En quin moment és el màxim benefici?
Negatiu, per tant màxim.
El màxim benefici és al cap de 5 mesos p218 E3, 13, 14
b) Problemes en què cal construir la funció
1r: Expressar funció
2n: Utilitzar condició per tenir només una variable (f(x))
f (x , y)=x2+2y
x · y=125
3r: Seguir amb el procés anterior
f ' (x)=2x−250
x2
Ex pàg 219: Trobar 2 nombres el producte dels quals és 125, de talmanera que el valor del quadrat del primer més el doble del segonsigui mínim
condició
Els nombres són el 5 i el 25.
p219 E4, 15, 16, 67-82
funció
y=125
xf (x)=x2+2 ·
125
x
2x−250
x2
=0 ; x=5
f ' ' (x)=2−500
x3
f ' ' (5)=6>0
3. Teorema de Rolle
Si f(x) és contínua en l'interval [a,b], derivable en tot l'interval (a,b),
i f(a) = f(b), podem afirmar que dins de l'interval hi ha almenys un
punt c pel qual f'(c) = 0, és a dir, un punt màxim o mínim.
Michel Rolle
"per força la funció ha de fer un retorn"
p220 Ex, 17, 18, 83, 84, 85, 87, 88
4. Regla de l'Hôpital
Sempre i quan f(c) = 0, g(c) = 0, i g'(c) # 0.
p223 Altre ex, 23, 24, 104, 105, 106, 107
limx→c
f (x)g (x)
=limx→c
f ' (x)g ' (x)
limx→−1
x2+4x+3
x3+1
=0
0
Exemple:
limx→−1
x2+4x+3
x3+1
= limx→−1
2x+4
3x2
=2
3
f ' (x)=2x+4
g ' (x)=3x2
Tema 4(11): Integrals indefinides
1. Concepte de primitiva i d'integral
2. Integrals de funcions elementals
3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
3.2 Integrals de funcions racionals
3.3 Integració per canvi de variable
1. Concepte de primitiva i d'integral
F(x) és primitiva de f(x) si F'(x) = f(x)
∫ f ( x)dx=F ( x)+k
f(x)=x2, f(x)=x+4, f(x)=sinx + 1/x, p266 1 i 2
La integral d'una funció és el conjunt de totes les seves primitives
diferencial d'xconstant d'integració
f(x) = 2x F(x) = x2
F(x) = x2 + k
Propietats: ∫[ f ( x)±g (x)]dx=∫ f ( x)dx±∫ g ( x)dx
∫[k · f (x)]dx=k ·∫ f ( x)dx p267 3
2. Integrals de funcions elementals
∫c dx=cx+k
"Truquillu" del factor numèric:
Petits exemples + E7abcd, 5
∫ xndx= xn+1
n+1+k
∫ f ( x)n · f ' (x)dx=f ( x)n+1
n+1+k
E7ef, 6c
∫(3x4−2)3
x3dx=
"Em falta un 12!!"
1
12∫(3x
4−2)312x
3dx
E8, 6ab, 7, 8, 51deures
per n=-1
∫ 1
xdx=ln∣x∣+k
p270: E9, saber fer, 9, 10
per n=-1
∫ f ' ( x)f ( x)
dx=ln∣ f (x)∣+k
∫ax dx= ax
ln a+k
∫ex dx=ex+k
∫a f (x)· f ' (x)dx= af (x)
ln a+k
∫ e f ( x)· f ' (x)dx=e f (x )+kp271: E10, 11,12
∫sin x dx=−cos x+k
p272: E11, 13, 14
∫sin f (x)· f ' (x)dx=−cos f (x)+k
∫cos x dx=sin x+k ∫cos f (x)· f ' (x)dx=sin f (x)+k
∫(1+tg 2x)dx=tg x+k ∫(1+tg 2
f ( x))· f ' (x)dx=tg f (x)+k
∫ 1
cos2xdx=tg x+k ∫ 1
cos2f (x)
· f ' (x)dx=tg f (x)+k
52, 53, 54, 55, 57
3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
∫u (x)· v ' (x)dx=
[u ( x)· v ( x)] '=u ' (x)· v (x)+u( x)· v ' ( x)
Polinomiln
ex
sin xcos x(fàcils d'integrar)
u( x)· v (x)−∫v ( x)· u ' (x)dxPels amics,
∫u · dv=u · v−∫v ·du
Demostració:
u( x)· v (x)=∫u ' (x)· v ( x)dx+∫ u( x)· v ' ( x)dxIntegro
∫u(x)· v ' (x)dx=u(x)· v ( x)−∫ v ( x) · u ' ( x)dx
∫2x · exdx=
u dv
u=2x
Exemple 1:
d
dv=ex dx i
du=2dx
v=ex
2x · ex−∫ex ·2dx= 2x · e
x−2ex+k=
=2ex(x−1)+k
int(x2+1)sinx, int x2lnxdx entre tots
∫ ln x dx=
u dv
u=ln x
Exemple 4:
d
dv=1dx i
du=1
xdx
v=x
x · ln x−∫ x · 1xdx= x · ln x−x+k
17a entre tots (2), 17b, 18, 69
3. Mètodes d'integració
3.2 Integració de funcions racionals
P (x)Q (x)
=A
x−a+
B
x−b+...+
N
x−n
Grau numerador >= Grau denominador
Grau numerador < Grau denominador
Fer la divisió
1r pas: Factoritzar denominador (Ruffini/Eq 2n g)
Exemple: ∫ 2x+1
x2−5x+4
dx
x2−5x+4=(x−4)(x−1)
Exemples meus (x3+x2+x+1/x+1, x2+3x-4/x+1)
(només per arrelssimples)
2n pas: Descompondre la fracció en altres fraccions i desenvolupar expressió
2x+1
x2−5x+4
=A
x−4+
B
x−1=A(x−1)+B(x−4)
(x−4)(x−1)
3r pas: Trobar A i B mitjançant la igualació dels numeradors
2x+1=A(x−1)+B (x−4)=Ax−A+Bx−4B
2x+1=Ax+Bx−A−4B
2x 1
A+B=2
-A-4B=1B=-1,A=3
4t pas: Resoldre nova integral
∫ 2x+1
x2−5x+4
dx=∫(3
x−4+
−1
x−1)dx=3 · ln∣x−4∣−1 · ln∣x−1∣+k
2x+1/x2-3x+2, 1/x2+2x-3, 19, 80, x2-x+1/x2-3x+2
3. Mètodes d'integració
3.3 Integració per canvi de variable
∫ 1
x · ln xdx=
29, 30ab, 88, 89
t=ln x d dt=1
xdx
∫ 1
ln x·
1
xdx=∫ 1
tdt= ln∣t∣+k= ln∣ln x∣+k
∫ x
√1+3x2dx=
t=1+3x2 d dt=6x dx
1
6∫ 1
√1+3x2·6x dx=
1
6∫ 1
√tdt= √t
3+k=
=√1+3x2
3+k
Tema 5(12): Integrals definides
1. Àrea sota una corba
2. La integral definida. Propietats
3. Càlcul d'integrals definides: la Regla de Barrow
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
1. Àrea sota una corba
Aproximació per defecte:
x2/2+1 [0,3], p294 1
a b
y = f(x) contínua i positiva
x0
x1
x2
x3
x4
Àrea
Ad = f (x
0) · (x
1- x
0) +...+ f (x
3) · (x
4- x
3)
Aproximació per excés:
Ae = f (x
1) · (x
1- x
0) +...+ f (x
4) · (x
4- x
3)
Ad < Areal < Ae
Com més particions, més aproximació a l'àrea real
Puc fer mitjana
2. La integral definida. Propietats
Areal=limn→∞
Ad=limn→∞
Ae
Propietats:
n = número de particions
Areal=limn→∞
∑i=1
n
f (xi)·(xi−xi−1)=∫a
b
f (x)· dx
“La integral definida de f a l'interval [a, b]”
∫a
a
f (x)dx=0
∫a
b
f (x)dx=−∫b
a
f (x)dx
Propietats:
∫a
a
f (x)dx=0
∫a
b
f (x)dx=−∫b
a
f (x)dx
∫a
b
k · f (x)dx=k ·∫a
b
f (x)dx
∫a
b
[ f (x)±g (x)]dx=∫a
b
f (x)dx±∫a
b
g (x)dx
∫a
b
f (x)dx=∫a
c
f (x)dx+∫c
b
f (x)dx
3. Càlcul d'integrals definides: la regla de Barrow
essent F(x) una primitiva de f(x)
∫a
b
f (x)· dx=[F (x)]ab=F (b)−F (a)
∫0
3 ( x2
2+1)dx=
Isaac Barrow, 1630-1677
Teòleg i matemàtic anglès,
mestre de Newton.
Exemple altre dia:
[ x3
6+x ]
0
3
=
=[ 33
6+3]−[ 0
3
6+0]= 27
6+3=
15
2=7,5u.a.
14, 15, sf, 16, 17, 61
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
A=∫a
b
f (x)· dx
4.1 Entre una corba, l'eix x i dues rectes verticals:
18, 1
9, sf,
20,
21, 7
9
A=∣∫a
b
f (x)· dx∣
A=∣∫a
c
f (x)· dx∣+∣∫c
b
f (x)· dx∣
A
A
A1
A2
ba
f(x)>0
f(x)<0
ba
b
a
c
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
A=∫a
b
( f (x)−g (x))· dx
4.2 Entre dues corbes o dues funcions:
A
ba
f(x)
g(x)
Passos a seguir:
a) Punts de tall (a i b) mitjançant la resolució de l'equació f(x) = g(x)
b) Càlcul de f(x) - g(x)
c) Planteig de la integral definida de (f – g)(x) en l'interval [a,b]
sf, 22, 23, Ep305, Op sele 10, 24, 25, 116, 118, 120
4. Càlcul d'àrees planes tancades per una o dues corbes
V=π ·∫a
b
[ f (x)]2dx
4.3 Volum d'un cos de revolució:
ba
f(x)Barres
Calcula el volum generat per la funció f(x)=x3+1 en girar entornl'eix Ox en l'interval [0,2]
Extra!
Cilindres
V=∑i=1
n
V cilindre V cilindre=r2·π · h
f(x) dx
Tema 6.1 (1): Matrius
1. Nomenclatura i classificació
2. Operacions amb matrius
3. El rang d'una matriu
4. Matrius inverses
5. Equacions matricials
1. Nomenclatura i classificació
p10 1,2,3,4,5
element
Matrius iguals: mateixa dimensió i elements coincidents.
(a
11a
12a
13... a
1n
a21
a22
a23
... a2n
... ... ... ... ...
am1
am2
am3
... amn
)columna
fila
Dimensió: m x n
Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul·la,
matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.
Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu
triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I).
p12 6,7,8,9
Matriu transposada At: S'obté de canviar les files per les columnes.
Si A = (aij), aleshores At = (a
ji)
p13 E6,10Només en les matrius quadrades:
-Matrius simètriques: A = At, per tant aij = a
ji
-Matrius antisimètriques: -A = At, per tant -aij = a
ji
A=( a m n
m b v
n v c)
A=( a m n
−m b v
−n −v c)
p13 E7 i 11
2. Operacions amb matrius
p14 E8, E9, 12, 13 i 14
Suma i resta: A + B = C, essent cij = a
ij + b
ij
Multiplicació per un nombre: k · A = C, essent cij = k · a
ij
Multiplicació d'una matriu fila per una matriu columna:
(a11a
12... a
1n )· (b
11
b21
...
bn1
)=a11· b
11+a
12· b
21+...+a
1n· bn1
p15
E1
0, E
11
, 15
i 1
6
(b
11
b21
...
bm1
)· (a11a
12... a
1n )=(b
11· a
11b
11· a
12... b
11· a
1n
b21· a
11b
21· a
12... b
21· a
1n
... ... ... ...
bm1· a
11bm1· a
12... b
m1· a
1n
)“El resultat té tantes files com files té el primer factor (el primer mana)”
2. Operacions amb matrius
Multiplicació de dues matrius:
p16 17, 18, 19, E12, 20full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61
(c11c
12
c21c
22)
-Només podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes
de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.
-La resultant té tantes files com la primera i tantes columnes com la
segona.
-Atenció: en general, NO es presenta la propietat commutativa.
(5 −3 4
0 1 2)·(4 2
0 5
1 3)=
c11=5 · 4+(−3)·0+4 ·1=24
c21=0 ·4+1 ·0+2 ·1=2
c12=5 · 2+(−3)·5+4 ·3=7
c22=0 ·2+1 ·5+2 ·3=11
=(24 7
2 11)
3. El rang d'una matriu
El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les linealment
independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.
A=( 5 −3 4
10 −6 8)Exemples:
B=(−4 −4 0
0 3 −3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2
C=(2 0 3 −4
3 −5 2 3
8 −10 7 2)
Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3
No és immediat! MÈTODE DE GAUSS
Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota
la diagonal. El rang serà el nombre de files no nul·les.
Mètode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:
A=(0 −2 2 4
2 −1 −1 1
2 −2 0 3)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila
F3 – F1 (2 −1 −1 1
0 −2 2 4
2 −2 0 3) (2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 −1 1 2)Canvi
fila
2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files
(2 −1 −1 1
0 −2 2 4
0 0 0 0)2F3 – F2
Rang(A) = 22 files no nul·les
p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
4. Matrius inverses
Només poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius
quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en què
sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.
A· A−1= I
n
-Propietats:
A−1· A=I
n
(A−1)−1=A
(A· B)−1=B−1· A
−1
(At)−1=(A−1)t
p20 E16, 25!, 26, 27
4. Matrius inverses
Trobar la matriu inversa: el mètode de Gauss-Jordan.
A=( 2 −1 2
4 −3 −1
−6 4 −2) ( 2 −1 2 1 0 0
4 −3 −1 0 1 0
−6 4 −2 0 0 1)
(2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
(a11=0)
F2 – 2F1 (2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1)F2 - 5F3
F1 + 7F3
(2 −1 2 1 0 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 1 4 3 0 1)
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's
menys segona fila, i així successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 – 2F1 (2 0 7 3 −1 0
0 −1 −5 −2 1 0
0 0 −1 1 1 1)F3 + F2
F1 – F2
(2 0 0 10 6 7
0 −1 0 −7 −4 −5
0 0 −1 1 1 1)F2 - 5F3
F1 + 7F3
2n pas: Quan la matriu inicial està en format diagonal, la transformem en la
matriu identitat.
(1 0 0 5 3 7 /20 1 0 7 4 5
0 0 1 −1 −1 −1)- F2
1/2F1
- F3
p21 28, 29
5. Equacions matricials
a) Tipus AX = B
AX=B
Identitat
A−1· AX=A−1
· B X=A−1· B
b) Tipus XA = B
XA=B
Identitat
XA· A−1=B · A−1
X=B · A−1
c) Tipus AX + B = C
AX+B=C
Identitat
A−1· AX=A−1
·(C−B)
X=A−1·(C−B)
AX=C−B
p22 SF, 30, 31, 32, 33, operació sele10
Tema 6.2 (2): Determinants
1. Càlcul de determinants de mtrius quadrades
1.1 D'ordre 2 i 3: Regla de Sarrus
1.2 D'ordre superior a 3: Propietats dels determinants
1.3 De qualsevol ordre: Menors i adjunts
2. Càlcul del rang d'una matriu
3. Càlcul de la inversa d'una matriu
1. Càlcul de determinants
Exemples ràpids
1.1 D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus
A=(a11a
12
a21a
22) ∣A∣=∣a11
a12
a21a
22∣=a11
· a22−a
12· a
21
A=(a
11a
12a
13
a21a
22a
23
a31a
32a
33
) ∣A∣=∣a11a
12a
13
a21a
22a
23
a31
a32a
33
∣=a11· a
22· a
33+a
12· a
23· a
31
+a21· a
32· a
13−a
13· a
22· a
31−a
12· a
21· a
33−a
23· a
32· a
11
p36 1 i 2, 34-42
1. Càlcul de determinants
Exemple ordre 3
1.2 D'ordre superior a 3: Propietats dels determinants (9)
∣k · a11k · a
12k · a
13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
∣=k ·∣A∣
Exemple ordre 3
1a) |A| = |At|
2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues
columnes, el determinant canvïa de signe.
Exemple ordre 3
3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una
mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per
aquest nombre.
Atenció!: |k·A| = kn · |A| Exemple ordre 3 p37 3 i 4
Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
4a) Si té una fila o columna de 0's, el determinant és 0.
5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinació lineal de les
altres, el determinant no varia.
*no val multiplicar la fila que variem, pq sinó multiplicaríem també el valor del
determinant (prop. 3)
Exemple ordre 3+ exemple per propietats
6a) Si té dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el
determinant és 0.
p38, 5 i 6 (per triangularització i per Sarrus)
Exemple ordre 3
Exemples ordre 3
7a) Si té una fila o columna que és combinació lineal de les altres,
el determinant és 0.
8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres
dos determinants separant una fila o columna en dos sumands.
Exemple ordre 39a) |A · B| = |A| · |B|
p39, E4, 7 i 8
Determinant d'una matriu qualsevol: mitjançant les propietats,
triangularitzar-la per tal que el valor del determinant sigui el
producte dels elements de la diagonal.
p40 SF, 9 // 44, 45
1.3 De qualsevol ordre: menors i adjunts
A=( 1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Menor complementari d'un element: és el determinant de la matriu
resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element.
p41 E5, 11
α21=∣2 1
4 1∣=−2
A=( 1 2 1
−3 3 0
−2 4 1)
-Adjunt d'un element: és el determinant de la matriu resultant
d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el
signe canviat segons si “i + j” és parell o senar.
p41 E6, 12
A21= (−1)2+1
·∣2 1
4 1∣=−1 ·(−2)=2
p42 E7, 13 i 14
Determinant d'una matriu qualsevol: És igual a la suma dels
productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels
seus adjunts corresponents.
2. Càlcul del rang d'una matriu
A=( 1 0 −2 3
4 1 2 2
−5 −2 3 1)
El rang d'una matriu coincideix amb l'ordre del menor més gran
diferent de zero de la matriu.
Exemple:
1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0
p44 18, 19, 20, 78
A=( 1 0 −2 3
4 1 2 2
−5 −2 3 1) |1 0
4 1|=1 ≠ 0 Rang ≥ 2
2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0
∣ 1 0 −2
4 1 2
−5 −2 3∣=13 ≠ 0 Rang = 3
3. Càlcul de la inversa d'una matriu
Matriu dels adjunts:
Ex d'ordre 3, 21
A−1=
1
∣A∣· Adj (A)t
A=(a
11a
12... a
1n
a21
a22
... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn) Adj (A)=(
A11
A12
... A1n
A21
A22
... A2n
... ... ... ...
Am1 Am2 ... Amn)
Matriu inversa:
p47, SF, 23, examen anterior amb nous mètodes
Tema 7 (3): Sistemes d'equacions
1. Introducció
2. Resolució per equació matricial simple
3. Resolució per Gauss
4. Teorema de Rouché-Fröbenius
5. Regla de Cramer
6. Sistemes homogenis
7. Resolució de sistemes amb paràmetres
1. Introducció
a11 x+a12 y+a13 z=b1
A=(a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)
p62 E4, 5, 6, 50, 51, 52
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
Sist. incompatible (0 solucions)
Sist. compatible determinat (1 sol.)
Sistema compatible indeterminat (∞ sol.)
2. Resolució per equació matricial simple
X=(xyz) B=(
b1
b2
b3) (
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)·( xyz )=(
b1
b2
b3)
A· X=B ; X=A−1· B
3. Resolució per Gauss
a11 x+a12 y+a13 z=b1
(a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3)
p63 SF, 7, 8, 40
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
Matriu ampliada (A*)
(a11 a12 a13 b1
0 a22 a23 b2
0 0 a33 b3)
a11 x+a12 y+a13 z=b1
a22 y+a23 z=b2
a33 z=b3
Discussió de sistemes:
-Si acabem 0 0 0 0: SCI (més incògnites que equacions)
-Si acabem 0 0 2 4: SCD
-Si acabem 0 0 0 -2: SI
9, 10
4. Teorema de Rouché-Fröbenius
p66 SF, 13, 14, 15, 16
-Si Rang (A) ≠ Rang (A*): Sistema Incompatible
-Si Rang (A) = Rang (A*): Sistema Compatible
-si aquest Rang = núm. incògnites, SCD
-si aquest Rang < núm. incògnites, SCI
5. Regla de CramerEs pot utilitzar quan: núm. equacions = núm. incògnites
determinant de la matriu de coeficients ≠ 0
Si tenim x, y i z en un sistema de tres equacions,
x=∣Ax∣
∣A∣y=
∣Ay∣
∣A∣z=
∣Az∣
∣A∣
essent Ax la matriu obtinguda de substituir en A la columna dels coeficients x per la
columna dels termes independents, Ay bla bla i A
z bla bla bla.
p69 SF, 19, 8a, 7b, el de l'examen
La regla de Cramer per a SCI:
S'obvïa la tercera equació, i en les dues primeres la “z”, que ara és “λ”, es
passa a fer companyia als termes independents.
3x+ y−z=2
−2x+ y−z=1
x+2y−2z=3
-Rang(A) = 2
-Rang(A*) = 2
2 < núm incòg.
SCI
3x+ y=2+λ
−2x+ y=1+λ
∣A∣=∣ 3 1
−2 1∣=5
∣Ax∣=∣2+λ 1
1+λ 1∣=2+λ−1−λ=1
∣Ay∣=∣ 3 2+λ−2 1+λ∣=3+3λ+4+2λ=5λ+7
x=1
5y=λ+
7
5z=λ
21
6. Sistemes homogenis
p71 SF, 23, 55c i d
Un sistema homogeni és aquell en el què tots els termes independents
són zeros.
a11 x+a12 y+a13 z=0
a21 x+a22 y+a23 z=0
a31 x+a32 y+a33 z=0
Sempre és compatible, ja que Rg(A) = Rg(A*)
Una de les solucions sempre és trivial:
x = 0, y = 0, z = 0
Si Rang = núm. incògnites, la solució és la
trivial; si Rang < núm. incògnites, és un SCI.
7. Sistemes amb paràmetres
Per discutir-lo, es farà ús de Rouché-Fröbenius, i per resoldre'l, de
Cramer (Atenció!!: λ no té per què ser z).
p72-3 SF, 25, 26, 27, 28op sele 10, 53, 54, 55, 56, 57,58
Tema 8 (4): Geometria a l'espai
1. Introducció/recordatori vectors
2. Producte escalar
3. Producte vectorial
1. Introducció-recordatori vectors
v⃗=(v1, v2, v3)
A=(v1 v2 v3
u1 u2 u3
w1 w2 w3)
1, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Concepte de mòdul, direcció i sentit, suma i resta geomètrica, multiplicació
per un nombre, linealment dependents (proporcionals) o independents,
suma i resta per coordenades, punt mitjà d'un segment.
Si Rang (A)=núm.files→ Linealment indep.
u1
v1
=u2
v2
=u3
v3
∣⃗v∣=√v1
2+v2
2+v3
2
-Vectors linealment independents? Matrius!
Si Rang (A)<núm.files→ Linealment dep.
-Vectors paral·lels? -A, B i C alineats?
A⃗B és l.d. de B⃗C ?
10, 11, 57, 61
2. Producte escalar
u⃗ · v⃗=∣⃗u∣·∣⃗v∣·cosαp92 E8, 12
Propietats:
v⃗ · v⃗=∣⃗v∣·∣⃗v∣·cos 0=∣⃗v∣2
u⃗ · v⃗= v⃗ · u⃗
u⃗ ·( v⃗+w⃗)=u⃗ · v⃗+u⃗ · w⃗
u⃗ · v⃗=∣⃗u∣·∣⃗v∣·cos 90=0
Per ell mateix, mòdul al quadrat
Commutativa
Distributiva
Entre perpendiculars igual a 0
u⃗ · v⃗=u1 · v1+u2 · v2+u3 · v3p93 E10, 14
cosα=u⃗ · v⃗
∣⃗u∣·∣⃗v∣=
u1 · v1+u2 · v2+u3 · v3
√u1
2+u2
2+u3
2·√v1
2+v2
2+v3
2
Càlcul de l'angle entre dos vectors:
p94 E11, 16
(té per resultat un nombre)
3. Producte vectorial
∣⃗u x v⃗∣=∣⃗u∣·∣⃗v∣· sin αp96 20, 21
Propietats:
∣⃗u x u⃗∣=∣⃗u∣·∣⃗u∣·sin 0=0
u⃗ x v⃗=−v⃗ x u⃗
u⃗ x( v⃗+w⃗)=u⃗ x v⃗+u⃗ x w⃗
Per ell mateix o entre paral·lels, igual a 0
Anticommutativa (tirabuixó!)
Distributiva
(té per resultat un vector ┴, sentit s. tirabuixó)
u⃗ x v⃗=∣ i⃗ j⃗ k⃗
u1 u2 u3
v1 v2 v3∣=∣u2 u3
v2 v3∣· i⃗+∣u3 u1
v3 v1∣· j⃗+∣u1 u2
v1 v2∣· k⃗
Per coordenades:
u⃗ x v⃗=(∣u2 u3
v2 v3∣,∣u3 u1
v3 v1∣,∣u1 u2
v1 v2∣) p97 E13, 23
Tema 9 (5-6): Geometria a l'espai
1. Equacions de la recta a l'espai
2. Equacions del pla a l'espai
3. Posicions relatives
3.1 Entre recta i pla
3.2 Entre dos plans
3.3 Entre dues rectes
4. Angles a l'espai
5. Projeccions ortogonals
6. Simetries
7. Distàncies
1. Equacions de la recta
Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció)
-un punt de pas.
Equació vectorial de la recta
A(a,b,c)P(x,y,z)
Equacions paramètriques de la recta
Equació contínua de la recta
v⃗r(x , y , z)=(a ,b , c)+t ·(v1,v2, v3)
x=a+t · v1
y=b+t · v2
z=c+t · v3
x−av1
=y−bv2
=z−cv3
Equacions implícites o cartesianes
p113 E1, SF, 3, 4, 5
x−av1
=y−bv2
x−av1
=z−cv3
v2(x−a)=v1( y−b)
v3(x−a)=v1(z−c)
v2 x−v1 y−v2a+v1b=0
v3 x−v1 z−v3a+v1c=0
Ax+By+Cz+D=0
Ex+Fy+Gz+H=0
2. Equacions del pla
Per definir un pla necessitem: -dos vectors directors l.i.
-un punt de pas.
Equació vectorial del pla
A(a,b,c)
P(x,y,z)
Equacions paramètriques del pla
u⃗
v⃗
(x , y , z)=(a ,b , c)+λ ·(v1, v2, v3)+μ ·(u1,u2,u3)
x=a+v1 ·λ+u1 ·μy=b+v2 ·λ+u2 ·μz=c+v3 ·λ+u3 ·μ
-Vector AP depèn linealment de v i u (v + u = AP)
-Les coordenades de AP seran (x – a, y – b, z – c)
-La matriu formada per les coordenades dels tres vectors serà de
rang = 2. Per tant, el seu determinant serà igual a 0.
A(a,b,c)
P(x,y,z)
Equació general del pla
p114 E2, SF, 6, 7, 8, 9, 10, 1145, 46, 47, 48, 49, 50, 54, 5512, 13, 14, 15, 57, 58
u⃗
v⃗
∣x−a y−b z−cv1 v2 v3
u1 u2 u3∣=0 Ax+By+Cz+D=0
-Vector normal a un pla:
p117 SF, 16, 17, operació sele10, 60, 61, 62, 63, 65, 69
-Vector director d'una recta definida per dos plans:
n⃗π=(A , B ,C )
Ax+By+Cz+D=0
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0
A2 x+B2 y+C 2 z+D2=0
n⃗1
n⃗2v⃗r
v⃗ r=n⃗1 x n⃗2=∣ i j k
A1 B1 C 1
A2 B2 c2∣
3. Posicions relatives3.1 Entre recta i pla
-Possibilitats: Secants, Paral·lels, Recta continguda al pla.
-Mètode: Estudiar el Sistema format per les equacions de recta i pla.
-Si Rang(M) = 3, tb Rang(M*) = 3, tenim SCD (1 punt) Secants
-Si Rang(M) = 2, i Rang(M*) = 3, tenim SI (0 punts) Paral·lels
-Si Rang(M) = 2, i Rang(M*) = 2, tenim SCI (ᴂ punts) R. c. al p.p118 SF, 18, 19, p124 SF, SF, 30, 31
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d 2=0
Ax+By+Cz+D=0
M=(A B C
a1 b1 c1
a2 b2 c2) M A=(
A B C D
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d 2)
3.2 Entre dos plans
-Possibilitats: Coincidents, Secants, Paral·lels.
-Mètode: Estudiar el Sistema format per les equacions dels dos plans.
-Si Rang(M) = 1, i Rang(M*) = 1, tenim SCI (ᴂ punts) Coincidents
-Si Rang(M) = 2, tb Rang(M*) = 2, tenim SCI (ᴂ punts) Secants
-Si Rang(M) = 1, i Rang(M*) = 2, tenim SI (0 punts) Paral·lels
p119 SF, 20 i 21
*Tenim 3 incògnites, > 2 equacions, mai serà SCD (1 sol punt)
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 A2 x+B2 y+C 2 z+D2=0
M=(A1 B1 C 1
A2 B2 C 2) M A=(A1 B1 C1 D1
A2 B2 C 2 D2)
3.3 Entre dues rectes
-Possibilitats: Coincidents, Secants, Paral·leles, S'encreuen.
-Mètode: Estudiar la matriu formada pels dos vectors directors i la
matriu formada per aquests i el vector d'una recta a una altra.
Coincidents
Rang(M) = 1
Secants
Paral·leles
M=(u1 u2 u3
v1 v2 v3)
v⃗r v⃗ sP⃗Q
M A=(u1 u2 u3
v1 v2 v3
a b c)
Rang(M) = 2
Rang(M*) = 1
Rang(M*) = 2
Rang(M*) = 2
Rang(M*) = 3 S'encreuen
Mateix pla
p122 SF, 26, 27, 28 i 2974, 75, 76, 77, 78,79, 81,82,...
4. Angles a l'espai
-Entre dues rectes: el format pels respectius vectors directors.
-Entre recta i pla: el complementari (90 – α) format per vr i n
π.
-Entre dos plans: el format pels respectius vectors normals.
p138 SF, SF 1, 2, 3 i 4
cosα=∣⃗u · v⃗∣∣⃗u∣·∣⃗v∣
Valor absolut
5. Projeccions ortogonalsa) D'un punt sobre una recta:
p140 SF1, 5
n⃗=v⃗r , P (a ,b , c)→π : Ax+By+Cz+D=0
P
P' r
1r: Trobo l'equació del pla ┴ a r i que passa per P.
2n: P' és intersecció entre π i r. (Resoldre sistema)
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d 2=0
Ax+By+Cz+D=0
b) D'un punt sobre un pla:
p140 SF2, 6
v⃗ r=n⃗ , P (a ,b , c)→ r :a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d 2=0
P
P'
r1r: Trobo l'equació de la recta ┴ a π que passa per P.
2n: P' és intersecció entre π i r. (Resoldre sistema)
a1 x+b1 y+c1 z+d1=0
a2 x+b2 y+c2 z+d 2=0
Ax+By+Cz+D=0
π
6. Simetries-P'(a, b, c) d'un punt P respecte un punt Q:
p142 SF, 9
(q1,q2,q3)=( p1+a
2,p2+b
2,p3+c
2 )Q és punt mig del segment PP', per tant:
Només caldrà trobar a, b i c resolent les equacions
-P' d'un punt P respecte una recta r:
p142 SF, 10
Ídem, però en aquest cas Q és la proj ortogonal de P sobre r:
a) Buscar pla ┴ a r que passa per P
b) Trobar punt Q d'intersecció entre pla i recta
c) Trobar P' respecte Q
-P' d'un punt P respecte un pla π:
p143 SF, 11
Ídem, però en aquest cas Q és la proj ortogonal de P sobre π:
a) Buscar recta r ┴ a π que passa per P
b) Trobar punt Q d'intersecció entre recta i pla
c) Trobar P' respecte Q
7. Distàncies
-Entre dos punts:
d (A , B)=∣A⃗B∣
-Entre un punt i un pla:
d (P ,π)=∣Ax1+By1+Cz1+D∣
√A2+B2+C 2
(Si demanen entre dos plans, trobo punt qualsevol d'un dels dos i aplico fórmula)
(Si demanen entre recta i pla, trobo punt qualsevol de la recta i aplico fórmula)
-Entre un punt i una recta:
d (P ,r )=∣v⃗r x A⃗P∣
∣v⃗r∣Op sele10 4 i a ser feliços!!
Recommended
