Matèria: MATEMÀTIQUES

Curs:1r Batxillerat Activitats de recuperació d’estiu

Curs 2015/2016

1

El present dossier d’activitats de recuperació d’estiu s’ha de presentar el dia

de la realització de l’examen de la convocatòria extraordinària (1 o 2 de

setembre; trobareu més informació a la página web del centre).

És imprescindible la realització i presentació del dossier per a la

realització de l’examen.

Nom : …………………………………….…………… Repassa la matèria treballada durant el curs i refés els exercicis dels temes tractats durant l’any,

explicant en cada cas què fas i per què ho fas. Organitza't bé, distribueix-te els exercicis, treballa a

fons un tema cada setmana i deixa els últims dies per a donar el repàs final i acabar de consolidar

els diferents conceptes estudiats.

Pensa que el què hem fet aquest any és la base per a poder treballar bé a 2n de Batxillerat.

2

NOMBRES, EQUACIONS i PROBLEMES :

3

EXERCICIS: 1) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Nombres reals: Activitats finals i Avaluació..

2) Resoleu les següents equacions i sistemes:

a) 6 x2 + 3 x = 0 b) 4 x2 + 2 = 0 c) 4 x2 – 6 x + 2 = 0

d) x2 – 7

6 x +

1

3 = 0 e) x4 − 16 x2 − 225 = 0 f) 3 x4 + 13 x2 = 10

g) x3 + 3 x2 − 4 x − 12 = 0 h) 2 x 1 – x 4 = 6 i) 4 x + 2x 10 + 10 = 0

j)

2x y 2z 6

3 x 2y z 4

4 x 3y 3z 1

i) 2 2

1 113

x y

1 11

x y

j) P x = 132 · P x – 2 k) 2 · 21xV – 4 = 2

1xV l) x

2

+x 1

2

+x 2

2

= 136

( Solució: a) x = – ½ ; 0 ; b) sol real ; c) x = 1 ; ½ ; d) x = ⅔ ; ½ ; e) x = 5 ;

g) x = 2 ; – 3 ; h) x = 5 ; j) (x,y,z) = (1,2,3) ; k) (x,y) = (⅓,½) ; (– ½ , – ⅓) ) l) x = 12 ; m) x 0 7 ; n) x = 11 )

4) Resoleu les següents inequacions:

a) 2 x 2

x 1 1 x3 3

b) 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 c)

2

2

x 40

x 4

( Solució: a) 1 , ; b) x = ½ ; c) (– , – 2) U ( 2 , + ) )

5) Trobeu els valors de k per als quals l'equació x2 − 6x + k = 0 té dues solucions reals i diferents l'una

de l'altra. ( Solució: ( – , 9) )

6) Els costats d'un triangle rectangle tenen per mesures, en centímetres, tres nombres parells

consecutius. Trobeu els valors d'aquests costats. ( Solució: 6 , 8 i 10 cm )

7) Una peça rectangular és 4 cm més llarga que ampla. Amb ella es construeix una caixa de 840

cm3 de capacitat, tallant un quadrat de 6 cm de costat a cada cantonada i doblegant les vores.

Trobeu les dimensions de la caixa. ( Solució: 22 i 26 cm )

8) Una aixeta triga dues hores més que una altra en omplir un dipòsit i obrint les dues alhora s'omple en 1 hora i 20 minuts. Quant de temps trigarà a omplir-lo cada una per separat?

( Sol :. 4 i 6 h )

9) Els costats d'un triangle mesuren 26, 28 i 34 cm. Amb centre en cada vèrtex es dibuixen tres

circumferències, tangents entre si dos a dos. Calculeu les longituds dels ràdios d'aquestes

circumferències. ( Solució : 10 , 16 i 18 cm )

10) Quan es divideix un nombre de dues xifres pel producte d'aquestes xifres, s'obté un quocient

igual a 2; i al dividir el nombre que resulta invertint l'ordre dels dígits, per la suma d'aquests, el

quocient obtingut és 7. De quin nombre es tracta? ( Resposta : És el nº 36 )

4

11) El producte de dos nombres és 4, i la suma dels seus quadrats 17. De quins nombres parlem? ( Resposta : Són els números 1 i 4 o bé – 1 i – 4 )

12) Trobeu un nombre sencer sabent que la suma amb la seva invers és 26

5. ( Resp : És el nº 5 )

13) Dos amics inverteixen 20 000 €. El primer col·loca una quantitat A al 4% d’interès, una quantitat

B al 5% i la resta al 6%. L’altre inverteix la mateixa quantitat A al 5%, la B al 6% i la resta al 4%.

Determineu les quantitats A, B i C sabent que el primer obté uns interessos de 1050 € i el segon

de 950 €. (Solució: A = 5 000 €; B = 5 000 €; C = 10 000 €)

14) Una botiga ha venut 600 exemplars d’un videojoc per un total de 6 384 €. El preu original era de

12 €, però també ha venut còpies defectuoses amb descomptes del 30% i del 40%. Sabent que

el nombre de còpies defectuoses venudes va ser la meitat del de còpies en bon estat, calcula a

quantes còpies se’ls va aplicar el 30% de descompte.

(Resposta: Es va aplicar el 30% de descompte a 120 còpies)

15) Es disposa de tres caixes A, B i C amb monedes de 1 euro. Se sap que en total hi ha 36€ . El

nombre de monedes de la caixa A excedeix en 2 a la suma de les monedes de les altres dues

caixes. Si es trasllada 1 moneda de la caixa B a la caixa A, aquesta tindrà el doble de monedes

que B. Esbrina quantes monedes hi havia en cada caixa

(Resposta: Hi havia 19 monedes en la caixa A, 11 en la B i 6 en la C)

16) Un automòbil puja les costes a 54 km/h, les baixa a 90 km/h i en pla marxa a 80 km/h. Per anar

d'A a B triga 2 hores i 30 minuts, i per a tornar de B a A , 2 hores i 45 minuts. Quina és la longitud

de camí pla entre A i B si la distància entre A i B és de 192 km?

(Resposta: El camí pla és de 94,8 Km)

17) Tres amics acorden jugar tres partides de daus de manera que, quan un perdi, lliurarà a cadascun

dels altres dos una quantitat igual a la qual cadascun posseeixi en aquest moment. Cadascun va

perdre una partida, i al final cadascun tenia 24 €. Quant tenia cada jugador al començar?(Resp: El

1r jugador que va perdre tenia 39 €; el que va perdre en 2n lloc, 21 € i el 3er ,12 €).

18) L’edat d’un pare és el doble de la suma de les edats dels seus dos fills. Fa uns anys (exactament

la diferència de les edats actuals dels fills) l’edat del pare era el triple que la suma de les edats

dels seus fills en aquell moment. Quan passin tants anys com la suma de les edats actuals dels

fills, entre els tres sumaran 150 anys. Quina edat tenia el pare quan van néixer els seus fills?

(Resp: Quan va néixer el 1er fill, el pare tenia 35 anys i; quan va néixer el 2n en tenia 40).

19) Un videoclub està especialitzat en pel·lícules de tres tipus: infantils, oest americà i terror. Se sap

que: El 60% de les pel·lícules infantils més el 50% de les de l'oest representen el 30% del total de

les pel·lícules. El 20% de les infantils més el 60% de les de l'oest més el 60% de les de terror al

representen la meitat del total de les pel·lícules. Hi ha 100 pel·lícules més de l'oest que d'infantils.

Troba el nombre de pel·lícules de cada tipus.

( Resposta : Hi ha 500 pel·lícules infantils, 600 de l'oest i 900 de terror).

5

20) Calculeu les dimensions d'un rectangle la diagonal del qual mesura 75 m, sabent que és semblant a

altre rectangle els costats del qual amiden 36 m i 48 m respectivament

( Resposta : El rectangle mesura 45 x 60 m2 ).

21) Trobeu la fracció equivalent a 5

7 sabent que els seus termes, elevats al quadrat, sumen 1184.

(R:20

28)

22) Un client d'un supermercat ha pagat un total de 156 € per 24 l de llet, 6 kg de pernil serrà i 12 l d'oli

d'oliva. Calcular el preu de cada article, sabent que 1 l d'oli costa el triple que 1 l de llet i que 1 kg

de pernil costa igual que 4 l d'oli més 4 l de llet.

( Rta : El litre de llet val 1 € i el d’oli 3 € ; el kilo de pernil costa 16 € )

23) Hem de repartir, de manera exacta, 60.000 € entre els amics presents en una reunió. Algú nota

que si hi hagués dos amics menys, a cadascú li tocarien 2.500 € més. Quants amics hi ha a la

reunió i quant li toca a cadascú? ( Resposta: Hi ha 8 amics i els hi toquen 7 500 € a cadascú )

24) La butlleta guanyadora d’una loteria està formada per tres nombres diferents d’una o dues xifres.

Sabem que la suma del primer i el segon d’aquests nombres excedeix en dues unitats el tercer; que

el primer nombre menys el doble del segon és deu unitats menor que el tercer, i que la suma dels

tres nombres és 24. Quina és la butlleta guanyadora?

( Resposta: Els tres nombres són el 4, el 9 i l’11 )

25) Una botiga ha venut 225 llapis de memòria de tres models diferents, que anomenarem A , B i C, i

ha ingressat un total de 10.500 €. El llapis A costa 50€, i els models B i C són, respectivament, un

10% i un 40% més barats que el model A. La suma total de llapis venuts dels models B i C és la

meitat que la de llapis venuts del model A. Calculeu quants exemplars s’han venut de cada model.

( Resposta: Han venut 150 exemplars del model A, 50 del B i 25 del C )

6

POLINOMIS:

7

EXERCICIS: 1) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Polinomis: Activitats finals i Avaluació

2) Donats els polinomis: P(x) = x4 −2x2 − 6x − 1 ; Q(x) = x3 − 6x2 + 4 i R(x) = 2x4−2 x − 2

Calculeu: a) P(x) + Q(x) − R(x) ; b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) i c) Q(x) + R(x) − P(x)

3) Calculeu: a) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =

b) ( x5 − 32 ) : (x − 2) =

c) ( x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x ) : ( x2 − x + 3 ) =

4) Factoritzeu i trobeu les arrels dels següents polinomis :

a) 9x4 − 4x2 b) x5 + 20x3 + 100x c) 3x5 − 18x3 + 27x

d) 2x3 − 50x e) 2x5 − 32x f) 2x2 + x − 28

g) x4 − 2x2 − 3 h) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 i) 2x3 − 7x2 + 8x − 3

j) x3 − x2 − 4 k) x3 + 3x2 − 4 x − 12 l) 6x3 + 7x2 − 9x + 2

5) Simplifiqueu: a) 3

3 2

x 19 x 30

x 3 x 10 x

b)

4 3 2

4 3 2

x 2 x 4 x 8 x

x 5 x 2 x 20 x 24

c)

2 2

2 2

x 5 x 6 · x 2x 3

x 7 x 12 · x x 2

d)

5 4 3 2

4 3 2

3x 6x 3x 6x

12x 18x 30x 36x

6) Calculeu: a) 3

2

x 3 x 4 x 12

x 2 x 3

:

2

3 2

4 x 2 x

x 2 x x

b)

xx

x 1

·

xx

x 1

c ) 3x -1

x2 -1-

x + 5

x +1( )2

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷·

x2 -1

x2 - x:

2

x +1 d)

x2 - 3x

3 - x +

x2 - 3x

x2 + 3x

7) a) Calculeu els valors de m i n per tal que x 5 – m x + n sigui divisible per x2 – 4.

b) Determineu m i n per tal que x 3 + m x 2 + n x + 5 sigui múltiple de x2 + x + 1.

c) Trobeu el valor de k perquè al dividir 2 x2 – k x + 2 entre x – 2 , el residu valgui 4.

d) Determineu el valor de m perquè 3x2 +mx + 4 admeti x = 1 com una de les seves arrels.

e) Trobeu un polinomi de quart grau que sigui divisible per x2 − 4 i s’anul·li per a x = 3 i x= 5.

f) Calculeu a si una de les arrels del polinomi x3 − ax + 8 és x= −2, i descompon-lo.

g) Trobeu el valor de k per tal que al dividir 2x3 + kx2 - 5x + 4 per x + 1 i per x – 3 coincideixi

el residu.

8) Calculeu el valor de a perquè es compleixi la següent equivalència de fraccions algèbriques.

22

2

2

2

ax2ax

3aa)x(3x

5a5)x(ax

152xx

9) Quant val el quocient de la divisió del novè terme pel sisè del desenvolupament de

14

a2

1

8

10) Determineu:

a) El sisè terme del desenvolupament de (x 2 – 3) 9

b) La potència el desenvolupament de la qual és: 81 x 4 + 216 x 3 + 216 x 2 + 96 x + 16

11) Quant val el quocient de la divisió del novè terme pel sisè del desenvolupament de

14

a2

1

12) Si el residu de dividir el polinomi P(x) = a x5 + b x3 + c x – 8 entre (x + 3) és 6, determineu el

residu de dividir P(x) entre (x – 3).

13) Determineu e polinomi de segon grau, P(x), del que sabem que una de les seves arrels és 3, i que

P( 1 ) = – 6 i que P( 0 ) = – 3.

14) Trobeu els valors de m i n de manera que en dividir el polinomi P(x) = 8 x3 + m x2 + n x + 1 entre

(2x – 1), el residu sigui 4 i que en fer-ho entre (x + 1), el residu doni – 29

15) Calculeu: a)

51

3 x3

b)

4

3 2 c)

6

2 1x

x

16) Trobeu el terme independent del desenvolupament de

20

3 2x

x

17) Determineu un polinomi de tercer grau, que tingui només dos termes, s’anul·li per a x = 1 i tal que

P(2) valgui 28.

18) Sabem que en dividir el polinomi P(x) = 2x3 – mx2 + 3nx + 18 per x – 2 la divisió és exacta i

en dividir-lo per x + 2 dóna 4 de residu. Determineu m i n i descomponeu P(x) en

producte de factors irreductibles per a aquests valors de m i n.

19) Resoleu l’equació P(x) = 0 tenint en compte que el polinomi P(x) és múltiple de 2x i que

xP = 30k3x2k24x3x1k3 23 .

20) a) Calculeu el valor de b perquè en dividir el polinomi P(x) = b x4 – (b –1) x3 + (2 b+1) x2 – 5 x + b

entre 2x – 1 el residu sigui igual a 0’75.

c) Per al valor de b trobat a l'apartat anterior, calculeu el residu de la divisió de P(x) : (x + 1) i

digueu si serà exacta la divisió de P(x) entre 2x – 3.

21) Calculeu m i n sabent que 1x

n

2x

m

)1x(·)2x(

2x3

9

TRIGONOMETRIA:

10

EXERCICIS: 1) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Trigonometria: Activitats finals i Avaluació.

2) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Funcions trigonometriques: Activitats finals i Avaluació.

3) a) Sabent que cosec = 3, calculeu les altres raons trigonomètriques.

b) Si cos α = ¼ , i 270° < α <360°. Calculeu les restants RT de l’angle α.

4) Calculeu les RT dels següents angles: a) – 150º ; b) 1740º ; c) – 38/12 rad ; d) 5/4 rad

5) Simplifiqueu les següents fraccions:

a) xctg1

xtg12

2

b)

xtg

xcosxsec2

22 c)

)xcos2(·xeccos

xsinxeccos22

22

6) Comproveu les següents identitats:

a) tg ctg = sec · cosec b) ctg 2 cos 2 + ( ctg · cos ) 2

7) Resoleu les següents equacions i sistemes:

a) 2 cos x = 3 tg x b) sin 2x · cos x = 6 sin 3 x

c) 4 s in2

x + 2 cos x = 3 d)

2

1 y sin · x cos y cos ·x sin

1 y sin · x cos y cos ·x sin

8) Calculeu la longitud del costat i de la apotema d'un octògon regular inscrit en una

circumferència de 49 centímetres de radi.

9) Trobeu el radi d'una circumferència si l’arc corresponent a una corda de 24’6 metres mesura 70°.

10) Calculeu l'àrea d'una parcel·la triangular, sabent que dos dels seus costats mesuren 80 m i

130 m, i formen entre ells un angle de 75°.

11) Quina és l'altura d'un arbre, sabent que des d'un punt del terreny s'observa la seva copa

sota un angle de 30° i si ens acostem 10 m, sota un angle de 60°?

12) Tres pobles A, B i C estan units per carreteres. La distància d'A a C és 6 km i la de B a C de

9. L'angle que formen aquestes carreteres és 120°. Quant disten A i B?

13) Les diagonals d'un paral·lelogram mesuren 10 cm i 12 cm, i formen un angle de 48°.

Calculeu la longitud dels costats, el perímetre del quadrilàter i l’àrea de la figura. De quin

tipus de paral·lelogram es tracta?

14) Calculeu el sin 3 x en funció de sin x i el sin x , cos x i tg x ; en funció de la tg 2

x.

15) Considerem dos punts A i B, al segon dels quals no podem arribar. Ens situem en un altre punt

C, distant 42'6 metres del primer i des d’ A i C dirigim visuals a B, que formen amb el segment

AC angles de: 53'7 º l'angle A i 64 º el B. Quina distància separa A i B?

11

16) Considerem dos punts A i B, al segon dels quals no podem arribar. Ens situem en un altre punt C,

distant 42'6 metres del primer i des d’ A i C dirigim visuals a B, que formen amb el segment AC

angles de: 53’7 º l'angle A i 64 º el B. Quina distància separa A i B?

17) Dos observadors des de punts diferents, veuen dos globus, que estan en el mateix pla vertical

en el qual estan ells. La distància entre els observadors és de 1 Km com ho mostra la figura.

Trobar la distància BD entre els dos globus.

18) Un camí recte fa un angle de 25 º amb relació a l'horitzontal. Des del punt A sobre el camí,

l'angle d'elevació a un avió és de 57 º. En el mateix instant, des d'un altre punt B situat a 120

metres de l’anterior, l'angle d'elevació és de 63 º. Troba la distància del punt A fins a l'avió i

l'altura a la qual vola l'avió respecte a l'horitzontal.

19) Sobre una circumferència de radi 1 m i centre en el punt O considerem els cinc vèrtexs A, B, C,

D, E d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del

dibuix següent: (on hem dibuixat també els costats AB, BC, CD i DE; les diagonals AC, BD, CE,

DA i EB; i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs OA, OB, OC, OD i OE).

Calculeu:

a) L'angle que formen el radi que acaba en el vèrtex A amb el costat AB i l'angle que formen en

el vèrtex A els dos costats que el tenen com a extrem (és a dir, l'angle A entre els costats EA i

AB).

b) La longitud de cada un dels costats del pentàgon.

c) La longitud de qualsevol de les diagonals (per exemple la EB).

d) L'àrea del triangle EAB.

20) Hem de fer un mapa d'una certa zona geogràfica. A, B i C són els cims de tres muntanyes de la

mateixa alçària, de manera que les posicions de A i B són ben conegudes i ja estan

representades en el mapa, mentre que la posició de C s'ha de determinar. Pugem a dalt del cim

A i mesurem l'angle entre la línia A–B i la línia A–C, que és de 68°. Pugem a dalt del cim B i

aquí mesurem l'angle entre les línies B–C i B–A, que resulta ser de 35°. En el mapa que tenim,

la distància sobre el paper entre A i B és de 3 cm.

a) Quines seran, sobre el mapa, les distàncies entre A i C i entre B i C?

b) Si el mapa és a escala 1:50000, calculeu la distància real entre els punts A,B i C.

12

NOMBRES COMPLEXOS:

13

EXERCICIS: 1) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Nombres complexos: Activitats finals i Avaluació.

2) Resoleu les següents equacions: a) x6 + 1 = 0 i b) x5 + 32 = 0

3) Escriviu en forma binòmica, polar i trigonomètrica, el conjugat, l'oposat i l'invers de:

a) 4 + 4i b) −2 + 2 i c ) (2 3i) (3 2i)

(3 2i) (2 i)

4) Efectueu les següents operacions i expresseu el resultat en forma binòmica i en polar:

a)

3

20º

60º

3

2 b) (1 + i) 10 c) (1 + 3 i) 6 d) 3

1 i

3 i

5) Expresseu en forma binòmica i polar i representeu els afixos de z si:

a) z = 5 10 10 i b) z = 7 7

3i i

2i

c) z 3 = 8 ( cos

2

+ i sin

2

)

6) Escriviu una equació de segon grau que tingui per solucions 1 + 2 i i el seu conjugat.

7) Expresseu en funció de cos x i sin x: sin 5 x i cos 5 x

8) Calculeu k sabent que:

a) el nombre complex que s’obté al dividir 2 i

k i

està representat en la bisectriu del 1r Q.

b) el quocient 2 k i

k i

és I) un nombre imaginari pur. II) un nombre real.

9) Trobeu les coordenades dels vèrtexs d’un:

a) hexàgon regular de centre l’origen de coordenades, si un dels vèrtexs és l’afix del complex

190°

b) quadrat de centre l’origen de coordenades, sabent que un dels vèrtexs és el punt (0, 2).

10) Quines són les coordenades del punt que s’obté en girar 90°, en sentit antihorari al voltant de

l’origen, l’afix del complex 2 + i.

11) Determineu els valors de k i h per tal que k 2i

3 hi

= ( 2 ) 315º

14

GEOMETRIA ANALÍTICA:

15

16

EXERCICIS: 1) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Vectors en el pla: Activitats finals i Avaluació.

2) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Rectes en el pla: Activitats finals i Avaluació.

3) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Circumferència i altres llocs: Activitats finals i Avaluació.

4) Trobeu el simètric del punt A (4 , – 2) respecte de M (3 , – 11).

5) Dos vèrtexs d’un triangle són els punts A (2 , 1) i B (1 , 0) i el baricentre és G (2/3, 0). Calculeu

el tercer vèrtex i classifiqueu-lo.

6) Donats A (3, 2) i B(5, 4) trobeu un punt C, alineat amb A i B, de manera que CA

CB =

3

2

7) Calculeu les coordenades de D per tal que el quadrilàter de vèrtexs A (-1, -2) , B (4, -1) , C (5, 2)

i D sigui un paral·lelogram i classifiqueu-lo.

8) Donats els vectors

u = (2 , k) i

v = (3, -2) , calculeu k per tal que els vectors

u i

v siguin:

a) Perpendiculars b) Paral·lels. c) Formin un angle de 60°.

9) Calculeu el valor de k sabent que

u ·

v = – 6 i

u = – 2 e1 + k e 2 i

v = 5 e1 – 3 e 2

10) Calculeu el valor de k que fa que els vectors

u = – 3 e1 + k e 2 i

v = e1 – 5 e 2 siguin

ortogonals.

11) Si M1 (2, 1), M2 (3, 3) i M3 (6, 2) són els punts mitjos dels costats d’un triangle. quines sen las

coordenades dels vèrtexs del triangle?

12) Proveu que els punts A (1, 7) , B (4,6) , C (1, -3) i D (-4, 2) pertanyen a una circumferència de

centre (1, 2), calculeu el radi de la cònica.

13) Classifiqueu el triangle determinat pels punts A (4, -3) , B (3, 0) i C (0, 1). Trobeu l’equació

general de cadascun dels costats de la figura i determineu l’equació reduïda de la circumferència

circumscrita.

14) Normalitzeu els següents vectors

u = (1, 2 ) ,

v = (-4 , 3) i

w = (8 , -8).

15) Trobeu k si l’angle que forma

u = (3 , k) amb

v = (2 , -1) és de: a) 90º , b) 0º , c) 45º.

16) Donats els punts A (6 , 0) , B (3 , 5) i C(-1 , -1),

a) Calculeu la projecció del vector AB sobre el AC .

b) Determineu els angles del triangle

ABC .

c) Calculeu l’àrea i el perímetre del polígon.

17) Comproveu que el segment que uneix els punts mitjos dels costats AB i AC del triangle de

vèrtex els punts A (3 , 5) , B (-2 , 0) , C (0 , -3) , és paral·lel al costat BC i igual a la seva meitat.

17

18) Comproveu que els vectors

u = (1, 4) ,

u = (1, 3) formen base i expresseu el vector

w = (−1. −1),

en aquesta base.

19) Donades les rectes r ≡ 3x + y − 1 = 0 i s ≡ 2 x + m y − 8 = 0, determineu m perquè:

a) formin un angle de 45° b) siguin perpendiculars c) siguin paral·leles

20) Trobeu l’equació general de cadascuna de les següents rectes:

a) És perpendicular a r ≡ 5x − 7y + 12 = 0 i dista 4 unitats de l’origen.

b) Passa pel punt A (1 , 5) , i és paral·lela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

c) Passa pel (2, − 3) i forma un angle de 45º amb la recta que uneix els punts (4 , 1) y (− 2 , 2).

21) Calculeu m i n perquè r ≡ 3x + n y − 7 = 0 passi per A (3 , 2) i sigui paral·lela a s ≡ m x + 2y =13.

22) Donat el triangle A (− 1, − 1) , B (7 , 5) , C (2 , 7); calculeu:

a) les equacions de les altures i determina l’ortocentre del triangle.

b) l’àrea i el perímetre de la figura.

c) l’equació general de les circumferències circumscrita i inscrita al triangle.

23) Els punts A (− 1, 3) i B (3, − 3) , són vèrtexs d’un triangle isòsceles que té el seu vèrtex C en la

recta 2 x − 4 y +3 =0 essent AC i BC els costats iguals. Calculeu les coordenades del vèrtex C.

24) a) Es té el paral·lelogram ABCD els vèrtexs del qual són A (3, 0) , B (1, 4) , C (−3, 2) i D (−1, − 2).

Comproveu que és un paral·lelogram, determineu el seu centre i calculeu la seva àrea. b) D’un paral·lelogram ABCD coneixem A (1, 3) , B (5, 1) , C (− 2, 0). Trobeu les coordenades del

vèrtex D. c) D’un paral·lelogram es coneix un vèrtex A (8, 0) i el punt de tall de les dues diagonals Q(6, 2).

També sabem que un altre vèrtex es troba en l’origen de coordenades. Calculeu els altres

vèrtexs, les equacions i la longitud de les diagonals.

25) Estudieu la posició relativa de les rectes d’equacions:

r1 2x + 3y − 4 =0 r2 x − 2y + 1= 0 r3 3x − 2y -9 = 0

r4 4x + 6y − 8 = 0 r5 2x − 4y − 6 = 0 r6 2x + 3y + 9 = 0

26) Trobeu l’equació de la circumferència que:

a) té el centre en el punt C (3 , 1) i és tangent a la recta 3 x – 4 y +5 =0.

b) passa pels punts A (2 , 1) i B (– 2 , 3) i té el seu centre sobre la recta: x + y + 4 =0.

c) passa pel punt (0 , – 3) , el seu radi mesura 5 u i el seu centre es troba en la bisectriu del

primer i tercer quadrants.

d) té el centre en (2 , – 3) i és tangent a l’eix d’abscisses.

e) té el centre en el punt d’intersecció de la rectes x + 3 y + 3 =0 i x + y + 1 =0, i el seu radi és

de 5 u.

f) és concèntrica amb la d’equació x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 , i passa pel punt (– 3 , 4).

18

g) és circumscrita al triangle de vèrtexs A (0 , 0) , B (3 , 1) , C (5 , 7).

h) té com a extrems d’un dels seus diàmetres els punts A (– 5 , 3) i B (3 , 1).

i) és concèntrica amb la d’equació x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 i tangent a la recta 3x – 4y +5 =0.

27) Estudieu la posició relativa de la circumferència x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 amb les rectes:

r1 x + 7y – 20 =0 r2 3x + 4y – 27 = 0 r3 x + y – 10 = 0

28) Determineu les coordenades del centre i del radi de les circumferències:

a) x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 b) x2 + y2 + 3x + y + 10 = 0 c) 4x2 + 4y2 – 4x + 12y – 6 = 0

29) Aplicant la definició, trobeu l’equació del lloc geomètric dels punts del pla la suma de distàncies

del qual als punts fixos (4, 2) i (-2, 2) sigui igual a 8.

30) Determineu l’equació reduïda d’una el·lipse sabent que:

a) un dels vèrtexs dista 8 u d’un focus i 18 u de l’altre.

b) passa pel punt (0 , 4) i la seva excentricitat és 3/5.

31) a) L’eix real o focal d’una hipèrbola mesura 12 i l’excentricitat és 4/3. Calculeu la seva equació.

b) Calculeu l’equació d’una hipèrbola equilàtera sabent que la seva distància focal és 8 2 .

c) Calculeu l’equació de la hipèrbola, els seus eixos, els focus i els vèrtexs sabent que l’eix

imaginari mesura 8 u i les equacions de les asímptotes són y = 2

x3

.

32) Determineu les equacions reduïdes de les següents paràboles, indicant el valor del paràmetre,

les coordenades del focus i l’equació de la directriu. a) 6 y2 – 12 x = 0 b) 2 y2 = – 7 x c) 15 x2 = – 42 y

33) Determineu les equacions de les paràboles que tenen:

a) com a directriu la recta x = – 3, i el focus és el punt (3, 0).

b) de directriu la recta y = 4, i de vèrtex (0, 0).

c) la directriu és y = – 5, i el focus (0, 5).

d) de directriu x = 2, i de focus (– 2, 0).

e) centrada en l’origen i amb focus en el (2, 0)

34) Estudieu la posició relativa de la recta r x + y – 5 =0 respecte a la paràbola y2 = 16 x.

35) El radi d’una circumferència mesura 25 m. Calculeu l’angle que formaran les tangents a dita

circumferència, traçades pels extrems d’una corda de longitud 36 m.

19

FUNCIONS REALS DE VARIABLE REAL:

20

EXERCICIS: 1) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Funcions: Activitats finals i Avaluació.

2) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Successions: Activitats finals i Avaluació.

3) Matemàtiques 1 (Mc Graw Hill) Funcions exponencial i logarítmica: Activitats finals i Avaluació.

4) Calculeu el domini i els punts de tall amb els eixos de les següents funcions:

a) f (x) = )4x(·)9x(

3x222

2

b) f (x) =

2

2

x1

x

c) f (x) = Ln (x + 3)

d) f (x) =

0xsi3x

3

0xsi4x

x

e) f (x) = x f ) f (x) = 1 + 3x

5) Donades les funcions: f(x) = 1x2

2x

; g(x) = x i h(x) = 3 1x . Calculeu:

a) g f b) f g h c) f – 1 d) (f g h) – 1 e) h – 1 f – 1

6) Representeu gràficament les següents funcions:

a) f(x) = x 2 + x + 1 b) f (x) = 4 x 5 x2 c) f (x) = x

x

d) f(x) =

x

2

3

e) f(x) = log

⅓ (x) g) f(x) = – 3 x + 2

7) Trobeu l’expressió algèbrica de les següents funcions:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

21

8) Pel lloguer d'un cotxe cobren 100 € diaris més 0.30 € per quilòmetre. Si en un dia s'ha fet un

total de 300 km, quin import hem d'abonar? Si hem pagat 120 € , quants quilòmetres hem fet?

9) a) Trobeu l’expressió de la funció quadràtica que té el vèrtex en el punt (1 , 1) i passa pel (0 , 3).

b) La funció quadràtica y = x² + k x + k passa pel punt (1, 9). Calculeu el valor de k i el

vèrtex.

10) a) Trobeu l’equació de la recta paral·lela a y = – 3 x + 7 que passa pel punt (2 , 5).

b) Quina recta passa pel punt (4 , 1) i talla l’eix d’ordenades en el (0 , 3)?

11) Calculeu els següents límits funcionals:

a)

7n2n3

18n2lim

3

2

n b)

3n2n2n3nlim 22

n

c)

1n2n

n

2

n5

n1lim d)

5n2

1nn3nlim

2

234

n

e)

1n4n1n8nlim 22

n f)

n

2n

2n

2

2n

nlim

g)

4n3n

nn4nlim

2

23

n h)

n

1n

2n

2

1n

nlim

i)

7n2n

n5n3nlim

3

25

n j)

1n1n

1n1nlim

n

k)

321

21

n n5n3n7

n2n4lim l)

1n2

n

2

2

n

2

3nn

n213lim

m)

4n3n

2n4

n

2

2

3n2

n21lim n)

1n

n·

n7

1nlim

2

3

2n

o)

8

2n 7n3n5

3n2lim

12) a) Quins valors de k fan que la successió a n =2 22n 8n n 1

n 1 k n + 1

sigui convergent?

b) Per aquests valors, quant val, per aquests valors, el límit de la successió?

13) Determineu el valor del o dels paràmetres per tal que es verifiquen les següents igualtats:

a) nlim

3

2

3 n 3

2n 2

2

6n 2n 6

6n 2n 1

= nlim

2bn 1

2 n 3

2

(a 5 )n 3n 1

3n 2n 1

22

b) nlim

2 2an 10n 7 4n bn 10 = nlim

26n 3n 1 3n 5

4n 1 2

c) nlim

26n 7

2 8n 9

3

3n 2

4n 5

= nlim

2

2

an 2n 3

( 4 b )n 5n 6

d) nlim

2an b 4n 3n 2 = 1 e) nlim

2

3 2

an 5n 3

125n 2n 1

= – 9

5

14) Per a quin valor de x > 0 es verifica que 0)x5()x7(5log7log aa ?

15) Resoleu els següents sistemes i equacions:

a)

1ylogxlog

11yx 22

b)

2

1)3x(log

2)18y(log

y

x

c)

1ylog2xlog2

3ylogxlog

d) log x = xlog

xlog2 e) log (25 – x3) – 3 log (4 – x) = 0

f)

2562

2

17y2x3

2y3

3x2 g)

123

1232y1x

yx

h)

62y1x

7yx

22·2

525·5

i) e x – 5 e – x + 4 e – 3 x = 0 j) 02421x1x

k) 3 x · 5 2x = 150

16) El Servei Nacional de Salut va determinar que t setmanes després del brot de cert tipus de grip,

aproximadament I(t) = 1'4t

18

1 17e milers de persones havien contret la malaltia.

a) Quantes persones havia emmalaltit al final de la segona setmana? I passades 6 setmanes?

b) Quantes setmanes han passat si 13 000 persones han contret la malaltia?

c) Es pot arribar als 18 000 malalts?

17) En hidrogeologia és interessant de conèixer la corba d’esgotament del cabal d’una font. L’equació

de la corba d’esgotament queda definida matemàticament mitjançant l’expressió següent:

tα

0 e·Q)t(Q

On:

Q(t) : Cabal en el instant de temps t. (m3 / s)

Qo : Cabal en el instant inicial. (m3 / s)

α : Constant anomenada coeficient d’esgotament.

t : Temps (s).

a) Si el coeficient d’esgotament de la font de Sant Aniol d’Aguja és α = 1’2 · 10- 7 i el seu cabal

inicial és de 3’4 m3 / s. Quin cabal tindrà la font al cap de 60 dies?

b) Quin cabal tenia aquesta font ara fa un any?

23

18) El creixement d’una població en funció del temps segueix, aproximadament, l’expressió següent.:

tr

0F e·PP

PF : Població en el instant de temps t.

C0 : Població en el instant inicial

r : Constant anomenada taxa de creixement interanual (en tant per un)

t : Temps (anys)

En el cens de 1966 es va comptabilitzar que Egipte tenia prop de 30 milions d’habitants. Al

mateix temps, en l’última estimació publicada per l’ONU, s’estima que l’any 2010 el país tenia

80 milions d’habitants.

a) Quina ha estat la taxa de creixement interanual d’aquest període?

b) Quants habitants tenia Egipte, d’acord amb les dades presentades, l’any 1990?

Suposant que aquesta taxa es mantingui en els propers anys.

c) Quants habitants tindrà Egipte d’aquí a deu anys?

d) Quants habitants tenia l’any 1990?

19) Calculeu “ x ” en cadascuna de les següents igualtats

a) 105

4 1 0 '1 5 32 3

7

x1log log 1 log 0'001 log 625 log (4 · 8) log 81

64 5

x

b) x = log n abc , tenint en compte que clogblogalog 432 nnn = 1

c) x + 2 = 10 log 5

d) 3 x – 3

x – 2 = 2 · 3 x – 1 + 2

e) 63

7 3 2 1 2

5

1log log 1 log 0'000001 log 16 log 25 log (4 · 2) x

49

20) Identifiqueu, raonadament, cadascuna de les següents representacions gràfiques. Indiqueu si es tracta

d'una funció exponencial o d'una funció logarítmica i concreteu de quina funció es tracta en cada cas,

és a dir quina és la seva expressió algèbrica:

24

21) El creixement d’una colònia d’abelles està determinat per l’expressió:

P(t) = 0 '37 t

230

1 56'5·e (P(t) = nº d’insectes ; t = temps en dies)

a) ¿Quantes abelles hi havia inicialment?

b) ¿Quants dies fa que es va instal·lar la colònia si ara té 180 membres?

22) El pes d'una població d'elefants africans femelles està relacionat amb l'edat mitjançant l'expressió:

W(t) = 2600 (1 – 0'5 e – 0'075 t )3 essent: W(t) Pes, en kg.

t edat, en anys

a) Quant pesa un elefant nounat?

b) Quina és, aproximadament, l'edat d'una femella adulta de 1825 kg?

23) El resultat d’un problema de química és un número de r xifres i log log r = 1. Quants llibres

necessitareu per escriure’l si cada llibre té 500 fulls; cada full, 2 pàgines i cada pàgina 50 línies

que admeten 100 xifres cadascuna?

24) Sabem que la funció F(x) = k a x passa pels punts (0 , 5) i (3 , 40). Quant valen k i a?

25) Un cultiu de bacteris creix d’acord a la funció y = 1 + 2 x/10 (y: milers de bacteris, x: hores).

a) Quants bacteris hi havia en el moment inicial? I al cap de 10 hores?

b) Quant temps tardarà en duplicar-se el cultiu?.

26) L'any 2000 es va trobar, en el centre de Illinois, un os fossilitzat amb el 17% del seu contingut

original de C14. En quin any va morir l'animal? Contesteu en el cas que les proporcions fossin 16%

i 18% respectivament (per a veure les conseqüències d'un petit error en la mesura del Carboni).

Recordeu que la fórmula que s’utilitza per la datació en C14 és: t Ln2

5730

A IC = C · e

on CA significa el contingut actual de C14 i C I significa el contingut inicial de C14 (data de la mort de l’organisme viu).

27) Un problema important d'oceanografia consisteix a determinar la quantitat de llum que pot

penetrar a diverses profunditats oceàniques. La Llei de Beer Lambert estableix que s'ha d'utilitzar

una funció exponencial I (x) , tal que I (x) = I0 · a x , per a modelar aquest fenomen.

Suposant que I (x) = 10 · 0’4 x (en cal 2

s

cm )

és l'energia lumínica equivalent que arriba a una profunditat de x metres.

a) Quina energia es té a una profunditat de 2 m?

b) Traceu la gràfica d'I(x), des de x=0 a x=5