Mathematik für Bauingenieure
Doz.Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch
12. Oktober 2004
Kontakt:
• Willersbau C214, Telefon 34257
• Homepage:http://www.math.tu-dresden.de/~koksch
• e-mail: [email protected]
Grundlagen:
• Skripte „Mathematik für Bauingenieure“ für das Bauingenieurfernstudium an der TUDresden, Teil 1 und Teil 2, Professor Schirotzek.
• Vorlesung „Höhere Mathematik A“ von Prof.Dr.rer.nat.habil. Peter Beisel an der Ber-gischen Universität Gesamthochschule Wuppertal, Fachbereich Bauingenieurwesen -Lehrgebiet Mathematik.
• Vorlesungen der Professoren Riedrich, Schirotzek, Weber, Voigt an der TU Dresden.
Literatur:
• Hofmann:Ingenieur-Mathematik für Studienanfänger: Formeln - Aufgaben -Lösungen,Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden
• Fischer/Schirotzek/Vetters:Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure undNaturwissenschaftler, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden.
• Meyberg/Vachenauer:Höhere Mathematik 1 - Differential und Integralrechnung,Vektor- und Matrizenrechnung. Springer Verlag Berlin 1990, ISBN 3-540-51798-7(Standard-Begleitliteratur, Aufgabenteil ohne Lösungen).
• Burg/Haf/Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bände 1+2.Teubner VerlagStuttgart 1992, ISBN3-519-22955-2 (viele Beweise, weitergehende Informationen,viele Beispiele).
• Riedrich/Vetters:Grundkurs Mathematik für Bauingenieure. Teubner StudienbücherBauwesen 1999, ISBN 3-519-00217-5 (Aus Lehrveranstaltungen an der TU Dresdenentstanden).
• von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann:Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieu-re, Band 1, Teubner Verlag Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02966-9
• von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann:Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieu-re, Band 2, Teubner Verlag Stuttgart 2002, ISBN 3-519-02972-3
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• Brauch/Dreyer/Haacke:Mathematik für Ingenieure, Teubner Verlag Stuttgart 1995,ISBN 3-519-46500-0
• . . .
Übungsbücher:
• Wenzel/Heinrich: Übungsaufgaben zur Analysis Ü1, Teubner Verlag StuttgartLeipzig 1997, ISBN 3-8154-2099-7 (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übun-gen!).
• Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann:Übungsaufgaben zur linearen Algebra und zur li-nearen Optimierung, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig. (MINÖL-Reihe, Grund-lage für die Übungen!).
• Merziger/Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik.Binomi Verlag Springer1999, ISBN 3-923 923-33-3 (reines Übungsbuch, riesige Menge von Beispielen undAufgaben mit Lösungen sowie jeweils schlagwortartig die zugrundeliegende Theorie.Sehr empfehlenswert zum Üben).
• Furlan: Das gelbe Rechenbuch 1+2,Verlag Martina Furlan Dortmund, ISBN 3-931645-00-2 (reines Rechenbuch, kompakte Theorie, Handlungsanweisungen, Re-zepte).
• Gärtner/Bellmann/Lyska/Schmieder:Analysis in Fragen und Übungsaufgaben, Teub-ner Verlag Stuttgart 1995, ISBN 3-8154-2088-1
• . . .
Nachschlagewerke:
• Hackbusch/Schwarz/Zeidler: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner Verlag,Wiesbaden.
• Rade/Westergren:Springers Mathematische Formeln, Springer Verlag Berlin 1996,ISBN 3-540-60476-6 (paßt zum Buch von Vachenauer)
• Bronstein/Semendjajew:Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch Frank-furt.
• . . .
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1 Grundlagen
1.1 Logik, Mengen
1.1.1 Gebrauch logischer Symbole
EineAussageA ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entwederwahr oder falsch zu sein.
Negation:¬A, A, „nicht A“; ist wahr genau dann, wennA falsch ist.
Konjunktion: A∧B, „A undB“; ist wahr genau dann, wennA undB beide wahr sind.
Disjunktion: A∨B, „A oderB“; ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der beidenAussagenA, B wahr ist.
Implikation: A⇒ B, „ausA folgt B“, „ A ist hinreichend fürB“, „ B ist notwendig fürA“;ist genau dann falsch, wennA wahr undB falsch ist.
Äquivalenz: A⇔ B, „A ist äquivalent zuB“, „ A ist hinreichend und notwendig fürB“; istgenau dann wahr, wennA undB stets zugleich wahr bzw. falsch sind.
Existenz-Quantor: ∃x: P(x), „es existiert einx mit der EigenschaftP(x)“.
All-Quantor: ∀x: P(x), „für jedesx gilt P(x)“.
1.1.2 Mengen
Menge: Zusammenfassung gewisser, wohlunterscheidbarer Dinge zu einem neuen Ganzen;die dabei zusammengefaßten Dinge heißen dieElementeder betroffenen Menge.
Ist a ein Element der MengeM so schreibt mana ∈ M; ist a nicht Element vonM, soschreibt mana 6∈M.
Mengengleichheit: Zwei MengenM, N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichenElemente besitzen:
M = N :⇔ (x∈M ⇔ x∈ N) .
Schreibweise:z.B.{a,b,c} für die Menge mit den Elementena, b, cund{x: P(x)} für die Menge allerx mit der EigenschaftP(x).
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1 Grundlagen
Teilmenge: M ⊆ N gilt, wenn jedes Element vonM auch Element vonN ist:
M ⊆ N :⇔ (x∈M ⇒ x∈ N) .
Leere Menge: /0 = {} ist die Menge, die kein Element hat.
Vereinigung: M∪N ist die Menge aller Elemente, die inM oderN liegen:
M∪N := {x: x∈M∨x∈ N} .
Durchschnitt: M∩N ist die Menge aller Elemente, die inM undN zugleich liegen:
M∩N := {x: x∈M∧x∈ N} .
Differenz: M \N ist die Menge aller Elemente, die inM aber nicht inN liegen:
M \N := {x: x∈M∧x 6∈ N} .
Komplement: Sei eine GrundmengeX gegeben und seiM ⊆ X. {XM = {M = M ist dieMenge aller Elemente vonX, die nicht inM liegen:
{XM = X \M .
Kartesisches Produkt:M×N ist die Menge aller Paare ausM undN:
M×N := {(x,y) : x∈M∧y∈ N} .
Potenzmenge:P(M), 2M ist die Menge aller Teilmengen vonM:
2M := {N : N⊆M} .
Beachte: /0∈ 2M, M ∈ 2M.
1.1.3 Zahlenmengen
* Die Menge dernatürlichen Zahlen N = {0,1,2,3, . . .}.* Die Menge derganzen ZahlenZ = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.* Die Menge derrationalen Zahlen Q = { p
q : p,q∈ Z, q 6= 0}. Die rationalen Zahlen sinddurch endliche oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellbar.
* Die Menge derreellen ZahlenR. Die reellen Zahlen sind durch Dezimalbrüche darstell-bar. Die nicht rationalen reellen ZahlenR\Q heißenirrationale Zahlen .
* Die Menge derkomplexen ZahlenC (werden später behandelt). Die komplexen Zahlensind durch Paare reeller Zahlen darstellbar.
6
1.2 Reelle Zahlen
Es giltN⊂ Z⊂Q⊂ R⊂ C .Ist M ⊆ R, dann definieren wir
M>a := {x∈M : x> a} , M≥a := {x∈M : x≥ a} , . . . .
Intervalle:
[a,b] = {x∈ R : a≤ x≤ b} abgeschlossenes Intervall,
]a,b[= (a,b) = {x∈ R : a< x< b} offenes Intervall,
]a,b] = (a,b] = {x∈ R : a< x≤ b} links halboffenes Intervall,
[a,b[= [a,b[= {x∈ R : a≤ x< b} rechts halboffenes Intervall.
1.2 Reelle Zahlen
1.2.1 Eigenschaften
1.2.1.1 Algebraische Eigenschaften
SeiK∈ {Q,R}. DieAddition + und dieMultiplikation · besitzen folgende Eigenschaften(x,y,z∈K):
x+y = y+x , x ·y = y·x (Kommutativgesetze)x+(y+z) = (x+y)+z, x · (y·z) = (x ·y) ·z (Assoziativgesetze)x · (y+z) = x ·y+x ·z (Distributivgesetz)x+0 = x (0 ist neutral bzgl. Addition)x ·1 = x (1 ist neutral bzgl. Multiplikation)∃=1−x∈K (x+(−x) = 0) (additiv inverse Zahl)∀x 6= 0∃=1x−1 ∈K (x ·x−1 = 1) (multiplikativ inverse Zahl)
Subtraktion undDivision sind über Addition bzw. Multiplikation definiert:
x−y := x+(−y) , x : y := x ·y−1 .
1.2.1.2 Ordnungseigenschaften
In K ∈ {Q,R} gibt es eineOrdnungsrelation ≤ und eine Relation< definiert durch
x< y :⇔ x≤ y und x 6= y
mit folgenden Eigenschaften (fürx,y,z∈K):
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1 Grundlagen
x≤ x (Reflexivität)(x≤ y∧y≤ x) ⇒ x = y (Antisymmetrie)(x≤ y∧y≤ z) ⇒ x≤ z (Transitivität )x≤ y∨y≤ x (totale Ordnung)x< y ⇒ ∃u∈K(x< u< y) (Dichtheit)x< y ⇔ x+z< y+z (Verträglichkeit mit Addition )z> 0 ⇒ (x< y⇔ x ·z< y·z) (Verträglichkeit mit Multiplikation )
Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft, daß für je zwei Zahlenx,y ∈ K genau eine derdrei Beziehungen
x< y, x = y, x> y.
Eine Zahlx∈K heißtpositiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw.negativ, wennx> 0, x≥ 0,x≤ 0 bzw.x< 0.
1.2.1.3 Vollständigkeitseigenschaft von R
Bisher haben wir die gemeinsamen Eigenschaften vonQ undR aufgezählt.
Sei wiederK ∈ {Q,R}. SeiM ⊆ R. M heißt
* nach oben beschränkt, wenn einS∈ K existiert mitx≤ S für alle M (S ist eineobereSchrankevonM, Beispiel:]−∞,1[ mit oberen Schranken 1, 2);
* nach unten beschränkt, wenn eins∈ K existiert mitx≥ s für alle x ∈ M (s ist eineuntere SchrankevonM);
* beschränkt, wennM nach unten und oben beschränkt ist.
Wenn es unter den oberen Schranken vonM eine kleinste Zahl inK gibt, so heißt siekleinste obere SchrankeoderSupremumvonM in K und wird mit supM bezeichnet.
Analog ist diegrößte untere Schrankeoder dasInfimum inf M vonM in K definiert.
Im Gegensatz zuQ besitztR folgendeVollständigkeitseigenschaft: Jede nach oben be-schränkte TeilmengeM vonR besitzt ein Supremum inR.
SeiM = {x∈K : x≥ 0, x2< 2} in K ∈ {Q,R}. Diese Menge besitzt kein Supremum inQaber inR, nämlich supM =
√2.
1.2.2 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen
Ein Grundproblem der Mathematik ist die Ermittelung aller Lösungen von Systemen vonGleichungen und Ungleichungen. Am günstigsten ist immer eine äquivalente Umformungvon Gleichungen und Ungleichungen.
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1.2 Reelle Zahlen
1.2.2.1 Äquivalente Umformungen
Äquivalente Umformungen sind Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern.Nichtäquivalente Umformungen führen zu einer (potentiellen) Ausweitung der Lösungs-menge der Gleichungen oder Ungleichungen. Ergebnisse, die nach nichtäquivalenten Um-formungen erhalten werden, müssen noch als Lösungen überprüft werden.
FolgendeRegeln zur äquivalenten Umformung(für a,b,x,y, p,q ∈ R beliebig) ergebensich aus den Eigenschaften der reellen Zahlen:
x = y ⇔ x+a = y+a
x≤ y ⇔ x+a≤ y+a
x≤ y ⇔ x+a≤ y+b, falls a≤ b
x = y ⇔ ax= ay, falls a 6= 0
x≤ y ⇔
{ax≤ ay, falls a> 0
ax≥ ay, falls a< 0
0< x≤ y ⇔ 0<1y≤ 1
x.
Folgende Regeln können zur Lösung von Gleichungen genutzt werden:
xy= 0 ⇔ x = 0 oder y = 0
x2 = a2 ⇔ x = a oder x =−a
x2 + px+q = 0 ⇔ x =− p2
+
√p2
4−q oder x =− p
2−√
p2
4−q,
wennp2≥ 4q.
Beispiel 1.2.1.Man bestimme die LösungsmengeL der folgenden Gleichung
(x−2)2 +x = 2.
Es gibt mehrere Lösungswege, einer davon ist der folgende:
(x−2)2 +x = 2
⇔ x2−4x+4+x = 2
⇔ x2−3x+2 = 0
⇒ x = − −32
+
√94−2 = 2
oder x = − −32−√
94−2 = 1,
und damitL = {1,2}. ♦
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1 Grundlagen
1.2.2.2 Rechnen mit Beträgen
Das Rechnen mit Beträgen wird vom Anwender oft als unangenehm empfunden, da derBegriff "Betrag" zweigeteilt definiert ist. Man kann aber alle Schwierigkeiten ausräumen,wenn man sich stur an die Definition und die Rechenregeln hält. Diese seien im folgendenbenannt.
Definition 1.2.2. Für eine reelle Zahla∈R wird derBetrag vona festgesetzt durch|a| :=a, falls a≥ 0 und−a, falls a< 0.
Beispiel 1.2.3.Es ist|3|= 3, aber auch|−3|= 3 =−(−3).
Rechenregeln(für a,b,x∈ R beliebig):
|−a|= |a|−|a| ≤ a≤ |a||a·b|= |a| · |b|∣∣∣∣1a
∣∣∣∣=1|a|
(a 6= 0)
|a+b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung)
|a| ≤ |b| ⇔ −b≤ a≤ b oder b≤ a≤−b
|x−a| ≤ b ⇔ a−b≤ x≤ a+b√
a2 = |a||a|2 = a2
Eine Auflösung von Betragsungleichungen geschieht in der Regel durch Fallunterscheidungoder durch Veranschaulichung auf der Zahlengeraden.
Beispiel 1.2.4.Man bestimme die LösungsmengeL von |x+1|+ |x−1| ≤ 2.
Fallunterscheidung:
1. Fall: x<−1. Dann gilt
|x+1|+ |x−1| ≤ 2 ⇔ −(x+1)− (x−1)≤ 2⇔ x≥−1,
und daherL1 =]−∞,−1[∩ [−1,∞[= /0.
2. Fall:−1≤ x< 1. Dann gilt
|x+1|+ |x−1| ≤ 2 ⇔ (x+1)− (x−1)≤ 2 ⇔ 2≤ 2,
und daherL2 = [−1,1[∩R = [−1,1[.
10
1.2 Reelle Zahlen
3. Fall: 1≤ x. Dann gilt
|x+1|+ |x−1| ≤ 2 ⇔ (x+1)+(x−1)≤ 2 ⇔ x≤ 1,
und daherL3 = [1,∞[∩ ]−∞,1] = {1}.Zusammengefaßt:L = L1∪L2∪L3 = [−1,1]. ♦
1.2.3 Das Induktionsprinzip und einige Anwendungen
1.2.3.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Eine AussageA(n), die vonn∈ N abhängt, ist gültig für allen≥ n0, wenn gilt:
1. (Induktionsanfang) A(n0) ist gültig.
2. (Induktionsschritt) Ausn≥ n0 und der AussageA(n) folgt die AussageA(n+1).
Beispiel 1.2.5.Die Ungleichungn2≥ n+5 gilt für alle natürlichen Zahlenn≥ 3.
(Beweis durch vollständige Induktion)
1. Induktionsanfang: Die Ungleichung gilt fürn = n0= 3, da
32 = 9≥ 8 = 3+5.
2. Induktionsschritt: Die Ungleichung gelte für ein beliebigesn, d.h., es sei
n2≥ n+5. (1.2.1)
Zu zeigen ist, daß sie dann auch fürn+1 gilt. Nun, es gilt unter Verwendung von (1.2.1)
(n+1)2 = n2 +2n+1≥ n+5+2n+1≥ (n+1)+5. ♦
1.2.3.2 Prinzip der rekursiven Definition
Ein Begriff, der für alle natürlichen Zahlenn≥ n0 definiert werden soll, kann folgenderma-ßen festgelegt werden:
1. Definiere ihn fürn = n0.
2. Definiere ihn fürn unter Zuhilfenahme der (hypothetisch) bereits erfolgten Definition fürn−1, n−1≥ n0.
Für n ∈ N und x ∈ R definieren wir diePotenzen mit natürlichen Exponentenrekursivdurch
x0 := 1, xn := x ·xn−1 (n∈ N≥1) .
Dies findet speziell Anwendung in den folgenden drei Abschnitten.
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1 Grundlagen
1.2.3.3 Summen- und Produktzeichen
Für vorgegebene Zahlena0,a1, ...,an, ... ∈ R setzen wir rekursiv fest
n
∑i=0
ai := a0 für n< 0,n
∑i=0
ai := an +n−1
∑i=0
ai =: a0 + · · ·+an für n≥ 0,
n
∏i=0
ai := 1 für n< 0,n
∏i=0
ai = an ·n−1
∏i=0
ai =: a0 · · · · ·an für n≥ 0.
Aus der Dreiecksungleichung folgt mit vollständiger Induktion:∣∣∣∣∣ n
∑i=0
ai
∣∣∣∣∣≤ n
∑i=0|ai | .
1.2.3.4 Die Fakultäten
Für n∈ N definieren wirn! (sprich: n-Fakultät) rekursiv durch
0! := 1, n! := n· (n−1)!=: n· (n−1) · · ·2·1 für n∈ N≥1 .
Damit gilt zum Beispiel
0! = 1, 1! = 1·0! = 1, 2! = 2·1! = 2, . . . .
Definition 1.2.6. SeiM eine Menge. Eine Anordnung aller Elemente vonM unter Beach-tung der Reihenfolge und ohne Wiederholungvon Elementen heißtPermutation.
Beispiel 1.2.7.Es werde die Menge{1,2,3} betrachtet. Deren Elemente kann man in fol-genden Weisen anordnen:
1−2−3, 1−3−2, 2−1−3, 2−3−1, 3−1−2, 3−2−1. ♦
Dies sind6 = 3! Anordungen.
Satz 1.2.8.Sei n∈N\{0}. Dann besitzt eine n-elementige Menge genaun! Permutationen.
1.2.3.5 Binomialkoeffizienten
Für k,n∈ N, n≥ k setzen wir (nk
):=
n!k!(n−k)!
.
12
1.2 Reelle Zahlen
Rechenregeln für1≤ k≤ n:(n0
)=(
nn
)= 1,
(n1
)=(
nn−1
)= n,
(nk
)=(
nn−k
),
(n+1
k
)=(
nk−1
)+(
nk
).
Letztere Formel ist Grundlage für dasPascalsche Dreieck:(00
)1(1
k
)1 1(2
k
)1 2 1(3
k
)1 3 3 1(4
k
)1 4 6 4 1(5
k
)1 5 10 10 5 1
......
1.2.3.6 Anwendungen der Binomialkoeffizienten
Definition 1.2.9. Sei M eine Menge. DieAuswahlvon k Elementen vonM ohne Beach-tung der Reihenfolge und ohne Wiederholungvon Elementen heißtKombination zur k-tenKlasse.
Satz 1.2.10.Seien n,k∈N, 0< k≤ n. Dann gibt es(n
k
)Kombinationeneiner n-elementigen
Menge zur k-ten Klasse.
Folgerung 1.2.11.Seien n,k∈ N, 0< k≤ n. Dann gibt es(n
k
)verschiedene, k-elementige
Teilmengen einer n-elementigen Menge.
Beispiel 1.2.12.Lottozahlen 6 aus 49:(49
6
)= 13983816 Möglichkeiten.
Satz 1.2.13 (Binomischer Lehrsatz).Für a,b∈ R und n∈ N gilt
(a+b)n =n
∑k=0
(nk
)akbn−k .
Folgerungen:
2n = (1+1)n =n
∑k=0
(nk
)1k1n−k =
n
∑k=0
(nk
), (1+x)n =
n
∑k=0
(nk
)xk .
Folgerung 1.2.14.Die Potenzmenge2M einer n-elementigen Menge hat2n Elemente.
13
1 Grundlagen
1.2.4 Potenzen und Logarithmen
1.2.4.1 Potenzen
Wir definieren hier die Potenzen mit reellen Exponenten.
Fürx∈R≥0 undn∈N≥1 sei dien-te Wurzel n√
x definiert als dienichtnegativeLösung derGleichungw der Gleichungwn = x:
n√
x := sup{v≥ 0: vn≤ x} .
Fürx∈R>0 undr ∈Q≥0, r = pq mit p,q∈N≥1, definieren wir diePotenzen mit rationalen
Exponentendurch
xr := xpq :=
(q√
x)p
und x−r :=1xr .
Schließlich seien fürx∈R>0, y∈R diePotenzen mit reellen Exponentendefiniert durch
xy :=
sup{xr : r ∈Q∩ [0,y]} , falls y≥ 1,inf{xr : r ∈Q∩ [0,y]} , falls y∈ [0,1[ ,1/x−y , falls y< 0.
Die Definition kann zum Teil auch auf nichtpositive Basen fortgesetzt werden.
Die Potenzen zupositivenBasena, b genügen folgendenPotenzgesetzen:
ar ·as = ar+s , ar/as = ar−s , arbr = (ab)r , ar/br = (a/b)r , (ar)s = ars .
Beachte:Die Potenzgesetze geltennicht immer für negative Basen: Zum Beispiel gilt
√x2 = |x|
für x∈ R und nicht√
x2 = x (häufiger Fehler!), z.B.√
(−1)2 = 1.
1.2.4.2 Logarithmen
Wir wenden uns nun der Gleichungax = b für a> 0, a 6= 1, b> 0 zu. Man kann zeigen,daß die Menge
M(a,b) := {x∈ R : ax≤ b}
nichtleer und füra> 1 von oben und füra< 1 von unten beschränkt ist. Damit existiert ihrSupremum bzw. Infimum und wir definieren denLogarithmus von b zur Basisa durch
logab := supM(a,b) für a> 1 und logab := inf M(a,b) für a< 1.
14
1.3 Abbildungen und Funktionen
Man kann zeigen, daß die so definierte Zahllogab die einzige Lösung vonax = b ist, d.h.,
alogab = b. (1.2.2)
Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgendeLogarithmengesetzefür a,b> 0, 6= 1,x,y>0, r ∈ R:
logab· logba = 1, loga(xy) = logax+ logay,
loga(xr) = r logax , logbx = logba· logax .
Übliche Basen sind 10, 2 (in der Informatik) und die irrationale Zahl e= 2.71828. . ..
1.3 Abbildungen und Funktionen
1.3.1 Allgemeine Eigenschaften von Abbildungen und Funktionen
1.3.1.1 Definition
Definition 1.3.1. SeienX, Y Mengen. Eine Teilmengef ⊂ X×Y heißtAbbildung ausXin Y, wenn aus(x,y1) ∈ f und(x,y2) ∈ f stetsy1 = y2 folgt.
Eine Abbildungf ordnet damit Elementenx ausX genau ein Elementy ausY zu,
y = f (x) :⇔ (x,y) ∈ f .
Die Mengen
D( f ) = {x∈ X : ∃y((x,y) ∈ f )} , W( f ) = {y∈Y : ∃x((x,y) ∈ f )} ,graph( f ) = {(x,y) ∈ f}= f
heißenDefinitions-, Wertebereichbzw.Graph von f .
Schreibweise:
f : D( f )⊆ X→Y ,
f : X→Y , wenn D( f ) = X ,
x 7→ f (x) für x∈ D( f ) .
Gleichheit: Seienf : D( f )⊆ X→Y, g: D(g)⊆U →V. Dann
f = g :⇔ (U = X)∧ (Y = V)∧ (D( f ) = D(g))∧ ( f (x) = g(x) für x∈ D( f )) .
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1 Grundlagen
Reelle Funktionenvonn reellen Variablen:X = Rn, Y = R.
Sei f : A→ B eine Abbildung.
Bild f (A′) vonA′ unter f :
f (A′) := {y∈ B: ∃x∈ A′ mit y = f (x)} .
Urbild f−1(B′) vonB′ unter f :
f−1(B′) := {x∈ A: f (x) ∈ B′} .
Eine Abbildungf : A→ B heißt:
surjektiv (oderAbbildung auf ) :⇔ f (A) = B,
injektiv (odereineindeutig) :⇔ (x1 6= x2⇒ f (x1) 6= f (x2)) ,bijektiv (odereineindeutig auf) :⇔ f ist surjektiv und injektiv.
f : A→ B ist nicht surjektiv, wenn es einy∈ B gibt, das nicht Bild eines Punktes ausA ist.
f : A→ B ist nicht injektiv, wenn es zwei verschiedene Punktex1,x2 ∈ A mit gleichemBildwert f (x1) = f (x2) gibt.
Streng monotone Funktionen sind injektiv.
1.3.1.2 Zusammensetzung von Funktionen
Wir bilden folgende Zusammensetzungen von Funktionen mit dem sich natürlich ergeben-den Definitionsbereich:
Seien dazuf und g reelle Funktionen mit DefinitionsbereichenD( f ) bzw. D(g) und seiλ ∈ R. Man setzt
Summe ( f +g)(x) := f (x)+g(x) auf D( f +g) := D( f )∩D(g)Differenz ( f −g)(x) := f (x)−g(x) auf D( f −g) := D( f )∩D(g)Produkt ( f ·g)(x) := f (x) ·g(x) auf D( f ·g) := D( f )∩D(g)
Quotientfg
(x) :=f (x)g(x)
auf D(fg
) := (D( f )∩D(g))\{x∈ D(g) : g(x) = 0}
und
skalares Vielfaches (λ f )(x) := λ · f (x) auf D(λ f ) := D( f ) .
Schließlich definieren wir fürf : D( f ) ⊆ X → Y, g: D(g) ⊆ Y → Z die Komposition(zusammengesetzte Funktion) g◦ f durch
Komposition (g◦ f )(x) := g( f (x)) auf D(g◦ f ) := f−1(D(g))⊆ D( f ) .
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1.3 Abbildungen und Funktionen
1.3.1.3 Umkehrabbildungen
Definition 1.3.2. g: D(g) ⊆Y→ X heißtUmkehrabbildung oderinverse Abbildung zuf : D( f )⊆ X→Y, wennD(g) = f (X), D( f ) = g(Y) undg( f (x)) = x für x∈ D( f ).Sie wird mit f−1 bezeichnet.
Satz 1.3.3 (Umkehrabbildung). Ist f : A→ B bijektiv, so existiert die zu f inverse Abbil-dung f−1 : B→ A.
Ist f : A→ B bijektiv, so erhält manf−1 : B→ A durch:
1. y = f (x) nachx auflösen: x = f−1(y)2. x undy formal vertauschen: y = f−1(x)
Für eine Funktionf erhält man graphf−1 durch Spiegelung von graphf an der Geradenx = y.
1.3.2 Elementare Funktionen
1.3.2.1 Potenzfunktionen
Wir definieren die Potenzfunktion potr zum Exponentenr ∈ R durch
potr : R>0→ R>0 , x 7→ xr
Die Potenzgesetze ergeben entsprechende Eigenschaften der Potenzfunktion, z.B.
Wegen
potr(pot1/rx) = (x1r )r = x
1r r = x für x> 0,
ist pot1rdie Umkehrfunktion zu potr .
x2
√x
x
y
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
1.3.2.2 Polynome und gebrochen-rationale Funktionen
Seienn∈ N, a0, . . . ,an ∈ R. Dann istp: R→ R mit
p(x) = anxn +an−1xn−1 + . . .+a1x+a0
einPolynom.
17
1 Grundlagen
Gilt an 6= 0 odern = 0, so heißtn derGrad degp des Polynoms.
Gilt p(x0) = 0, so heißtx0 eineNullstelle von p.
Eine FunktionR: D(R)⊆R→R heißtgebrochen-rationale Funktion, wenn Polynomepundq existieren, so daß
R(x) =p(x)q(x)
für x∈ D(R) .
(Insbesondere mußq so existieren, daßq(x) 6= 0 für x∈ D(R).)
Rheißtecht-gebrochen, wenndegp< degq.
Eine Zahlx0 ∈ D(R) heißtNullstelle vonR, wennR(x0) = 0, d.h.,p(x0) = 0.
Eine Zahlx0 6∈ D(R) heißtPolstellevon R, wennp undq so existieren, daßp(x0) 6= 0 undq(x0) = 0.
1.3.2.3 Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen)
Dies sind sin :R→ R, cos:R→ R und die daraus abgeleiteten Funktionen tan, cot, sec,cosec, wobei
sinβ =bc, cosβ =
ac,
tanβ =ba
=sinβ
cosβ, cotβ =
ab
=cosβ
sinβ,
secβ =ca
=1
cosβ, cosecβ =
cb
=1
sinβ.
a
cβ
b
Der Winkelα ist dabei imBogenmaßzu nehmen:2π = 360◦.
Wertetabelle:
x 0 π
6π
4π
3π
20◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
cosx 12
√4 1
2
√3 1
2
√2 1
2
√1 1
2
√0
sinx 12
√0 1
2
√1 1
2
√2 1
2
√3 1
2
√4
18
1.3 Abbildungen und Funktionen
Wichtigste Eigenschaften:
Symmetrie: sin(−x) =−sinx , cos(−x) = cos(x) ,
Additionstheoreme: sin2x+cos2x = 1,
sin(x+y) = sinxcosy+cosxsiny,
cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny,
Periodizität: sin(π−x) = sinx , sin(x+2kπ) = sin(x) ,cos(π−x) =−cosx , cos(x+2kπ) = cos(x) .
Weitere Eigenschaften siehe in einer Formelsammlung.
Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen können nur auf Monotonieinter-vallen definiert werden:
• Die Einschränkung sin∣∣[− π
2 ,π
2 ] der Sinusfunktion auf
das Intervall[−π
2 ,π
2 ] ist streng monoton wachsend mitdem Bildbereich[−1,1].
sinx
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Daher existiert dazu dieUmkehrfunktion
arcsin :[−1,1]→ [−π
2,π
2] ,
Arcussinusgenannt.
arcsinx
x
y
-1 1
-1
1
• Die Einschränkung cos∣∣[0,π] der Cosinusfunktion auf
das Intervall[0,π] ist streng monoton fallend mit demBildbereich[−1,1].
includegraphics[scale=0.8]funktion004.mps
Daher existiert dazu dieUmkehrfunktion
arccos:[−1,1]→ [0,π] ,
Arcuscosinusgenannt.
arccosx
x
y
-1 1
1
2
3
19
1 Grundlagen
• Die Einschränkung tan∣∣]− π
2 ,π
2 [ der Tangensfunktion
auf das Intervall]− π
2 ,π
2 [ ist streng monoton wachsendmit dem Bildbereich]−∞,∞[.
tanx
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-5
5
Daher existiert dazu die Umkehrfunktion
arctan: ]−∞,∞[→ ]− π
2,π
2[ .
Arcustangensgenannt.
arctanxx
y
-4 -2 2 4
-1
1
1.3.2.4 Logarithmus- und Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion zur Basis b> 0 ist definiert durch
expb : R→ R>0 , x 7→ expb(x) := bx .
x
y
-4 -2 0 2 4
5
10
15
20
Eigenschaften ergeben sich aus den Potenzgesetzen.
Die Logarithmusfunktion zur Basis b> 0,b 6= 1 ist definiertdurch
logb : R>0→ R , x 7→ logbx .
x
y
1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
Eigenschaften ergeben sich aus den Logarithmengesetzen.
Insbesondere gilt
expb(logbx) = x für x∈ R>0 und logb(expbx) = x für x∈ R .
Damit sind expb und logb Umkehrfunktionen zueinander.
20
1.3 Abbildungen und Funktionen
1.3.2.5 Hyperbelfunktionen
Eine besondere Rolle spielen dienatürlichen Exponential- bzw. Logarithmusfunktion
exp := expe , ln := loge
mit der Basis e= 2.71828. . . (diese Zahl wird später genau definiert).
Mit Hilfe der Exponentialfunktion können weitere Funktionen gebildet werden, die für dieTechnik Bedeutung haben. Die bekanntesten sind die Hyperbelfunktionen.
Sinus hyperbolicussinh: R→R undCosinus hyperbolicuscosh:R→R>0 sind definiertdurch
sinhx =ex−e−x
2, coshx =
ex +e−x
2.
sinhx x
y
-4 -2 2 4
-60
-40
-20
20
40
60
x
y
-4 -2 2 4
10
20
30
40
Sie haben Eigenschaften, die sehr stark an Sinus und Cosinus erinnern, obwohl sie mitdiesen Funktionen nicht direkt etwas zu tun haben:
Symmetrie : sinh(−x) =−sinhx , cosh(−x) = cosh(x) ,
Additionstheoreme: cosh2x−sinh2x = 1,
sinh(x+y) = sinhxcoshy+coshxsinhy,
cosh(x+y) = coshxcoshy+sinhxsinhy.
All diese Eigenschaften leiten sich unmittelbar aus den Definitionen her. Beachte sinh(0) =0 und cosh(0) = 1.
Ein schönes Anwendungsbeispiel für die Hyperbelfunktionen ist
Beispiel 1.3.4.Ein homogenes, an seinen Endpunkten aufgehängtes, nur durch sein Eigen-gewicht belastetes Seil hat die Form einerKettenlinie
y(x) = acosh
(x−b
a
)+c.
♦
Hierin sinda,b,c konstant,a> 0.
21
1 Grundlagen
1.3.2.6 Areafunktionen
Die Umkehrfunktionen von sinh und cosh∣∣R>0
heißenArea sinus hyperbolicusbzw.Areacosinus hyperbolicus,
arsinh:R→ R , arcosh:[1,∞[→ R≥0 .
So wie sinh und cosh durch die exp-Funktion ausgedrückt werden, können die Area-Funk-tionen durch die Logarithmusfunktion beschrieben werden. Wir sehen dies durch Auflösender Gleichungen
y = sinhx bzw. y = coshx
nachx. Es gilt
y = sinhx⇐⇒ y =ex−e−x
2⇐⇒ ex−2y = e−x⇐⇒ (ex)2−2yex = 1
⇐⇒ ex = y+√
y2 +1 oder ex = y−√
y2 +1.
Dabei kann das „−“-Zeichen nicht wirklich auftreten, da√
y2 +1> y und ex> 0. Also giltx = ln(y+
√y2 +1).
Damit hat man
arsinhx = ln(
x+√
x2 +1)
und entsprechend
arcoshx = ln(
x+√
x2−1)
(x≥ 1) .
22
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