Download pdf - Metodicki Prirucnik Za Nastavnike 5r 12-07-2010

7/23/2019 Metodicki Prirucnik Za Nastavnike 5r 12-07-2010

http://slidepdf.com/reader/full/metodicki-prirucnik-za-nastavnike-5r-12-07-2010 1/174

Владимир Стојановић

MATEMATISKOP OSNOVNA [KOLA

МАТЕМАТИСКОП

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИКЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ

ПЕТИ РАЗРЕД



5 :Математика уџбеник за пети разред основне школе /

Владимир Стојановић. - 2. изд. Београд : Математископ,

2010 ( ). - 179 стр. : илустр. ; 26Крагујевац : Графостил cm

СТОЈАНОВИЋ Владимир, , 1940-

Тираж 3.000

ISBN - 7076-0978 86- 39-4

COBISS.SR-ID 175695884

МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ Републике Србије донело је Решење бр.650-02-00222/2008-06,од20.06.2008. којимсе одобрава издавањеи употреба

уџбеничког комплета МАТЕМАТИКА за пети разред основне школе, ЗБИРКА

ЗАДАТАКА и ПЛУС за додатну наставу, аутора Владимира Стојановића, као

уџбенички комплет за предмет Математика за пети разредосновне школеод

школске2008/2009.године.

V

Издавач, Деспота Оливера 6, Београд

тел. тел/факс(011)3087-958, (011)2413-403 (011)380-70-90

www.matematiskop.co.rs

ИП МАТЕМАТИСКОП

За издавача

Нада Стојановић, директор

T 3.000

: " ",

ираж примерака

Штампа Графостил Крагујевац

ЦИП Каталогизација у публикацији

Народна библиотека Србије, Београд

-

Припрема за штампу

Жељко Хрчек

[email protected]

372.851(075 . 3) (076)

Рецензенти

Дана Ђилас, ОШ "Свети Сава", БеоградВеличко Илић, наставник основне школе

Владимир Стојановић

МЕТОДИЧКИПРИРУЧНИКЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ

(ПЕТИ РАЗРЕД)

Педагог консултантСветлана Гмитровић

Лектор

Јованка Цветковић, професор

Уредник

проф. др Предраг Цветковић

37.016:51(075.2)



PREDGOVOR – UPUTSTVO

Ovaj priruqnik je nameǌen kao pomo, olakxica u planiraǌu,pripremaǌu i izvodeǌu nastave, za one nastavnike koji u redovnojnastavi koriste UBENIQKI KOMPLET MATEMATISKOP-a. (Ovajkomplet ima licencu Ministarstva prosvete.) Priruqnik nije mo-gue koristiti uz ubenike drugih izdavaqa, jer je gradivo plani-rano prema ubenicima MATEMATISKOP-a. I domai zadaci su izZbirke zadataka za peti razred istog izdavaqa.

Priruqnik se ne moe kupiti. On je dat kao poklon nastavni-

cima koji izvode nastavu po ubenicima MATEMATISKOP-a.Priruqnik sadri Godixǌi (globalni ) plan rada i detaǉni

plan izvoeǌa nastave za svaki qas u toke xkolske godine. Obaplana naqiǌena su prema zvaniqnom, obavezujuem UPUTSTVUMinistarstva prosvete (Slubeni Glasnik, avgust 2007).

Pripremǉen plan i izvoeǌa nastave nije dovoǉan da bi nas-tavnici mogli raditi opuxteno. Ostaje problem objektivnog oce-ǌivaǌa uqenika. Mi smo se pobrinuli da Vam i tu smaǌimo brige.Nastavnik mora da ima na umu vanu qiǌenicu: ne oceǌuje se tal-enat, nego rad i radna disciplina uqenika . Zbog toga ne treba nakontrolnim i pismenim zadacima pripremati iznenaeǌa, niti bi-rati samo tee zadatke. Nee se svi uqenici kad zavrxe xkolovaǌe

baviti matematikom, ali e matematika svima trebati. Zbog togatreba dati vixe elementarnih zadataka. Ne treba izbegavati za-datke koji su rexavali na qasu, niti zadatke koje su uqenici do-bijali za domai rad. Naprotiv! Preporuqǉivo je da svi zadacibudu iz kǌiga kojim uqenici raspolau. I, to ne treba kriti, nego

javno saopxtiti uqenicima. To e ih stimulisati da budu aktivnina qasovima i rade domae zadatke.

U Priruqniku za svaku Kontrolnu vebu i sva qetiri Pis-mena zadatka dat je predlog zadataka u PET GRUPA. Budui da

je Priruqnik nedostupan uqenicima, mogu se koristiti bax ovizadaci, uz eventualne izmene po potrebama i nahoeǌu nastavnika.Ako je za Kontrolnu vebu predvieno pet zadataka, onda svaki

zadatak doprinosi ukupnoj oceni za 1. Ako su planirana qetirizadatka, onda za jedan zadatak uqenik dobija ocenu 2, za dva za-datka ocenu 3 itd. Ne treba zbog sitne grexke ponixtiti ceo za-datak, ve stavite uz ocenu ”minus”. Treba vixe ceniti ispravanpostupak, nego taqan raqun.



4 Sadraj

SADRAJ

GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA 5

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADAPO MESECIMA 6

DETAǈNI PLAN IZVOEǋA NASTAVE PO QASOVIMA 7



GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA

PROGRAM-om je predvieno gradivo podeǉeno na nastavneteme i za svaku temu je odreen orijentacioni fond qasova. Tusu predvieni qasovi za obradu, za ponavǉaǌe i uvebavaǌe. UPROGRAM-u nije precizno navedeno kako predvideti nepredvie-ne okolnosti.

Ovde su teme rasporeene kao xto je u PROGRAM-u predloe-no, ali se broj qasova predvienih za realizaciju tema razlikujeod predloenog. Razloga je vixe.

– Liqno iskustvo i iskustva mnogih nastavnika nalau flek-sibilnu primenu PROGRAM-a.

– Mogue je da se kalendar poremeti praznicima, raspustimai nekim iznenadnim okolnostima.

– Izvestan broj qasova treba izdvojiti za usmenu proveru zna-ǌa, jer ima dosta uqenika koji nisu sposobni da svoje znaǌe iskauiskǉuqivo preko kontrolnih i pismenih zadataka.

– Nekoliko qasova u oba polugodixta treba ostaviti u re-zervi, za nepredviene okolnosti. Ako takvih okolnosti ne bude,nastavnik e se lako organizovati i korisno upotrebiti ovaj po-klon.

– Za svaki PISMENI ZADATAK treba planirati bar jedan

pripremni qas.R. Broj qasova Broj qasova

br. NASTAVNA TEMA po temema Obrada Ostalo0 Uvodni qas 1 11 Skupovi 14 7 72 Osnovni geometrijski objekti 10 5 53 Deǉivost brojeva 8 4 4

Prvi pismeni zadatak 3 33 Deǉivost brojeva (nastavak) 5 2 34 Ugao 17 7 105 Razlomci 7 3 4

Drugi pismeni zadatak 3 3Drugo polugodixte

5 Razlomci (nastavak) 32 13 19Trei pismeni zadatak 3 3

5 Razlomci (drugi nastavak) 20 8 126 Osna simetrija 12 5 7

Qetvrti pismeni zadatak 3 3UKUPNO 138 54 84



6

М е -

с е ц

Н а с т .

т е м а

Р . б

р .

н а с т .

ј е д .

Н а з и в

н а с т а в н е

ј е д и н и ц е

Т и п ч а с

а

О б л и к

р а д а

М е т о д a

М е с т о

р а д а

Н а с т .

с р е д .

И н о -

в а - ц и ј е

( С а м о ) e в а -

л у а ц и ј а

и

к о р е к ц и ј а

0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

1 1 1 2

У в о д н

и ч

а с

П о ј а м

с к у п а .

Н а ч и н

з а д а в а в а њ а

с к у п о

в а

П о ј а м

с к у п а .

Н а ч и н

з а д а в а в а њ а

с к у п о

в а

П о д с к у п . Ј е д

н а к и

с к у п о в и

П о д с к у п . Ј е д

н а к и

с к у п о в и

У н и ј а

с к у п о в а

У н и ј а


П р е с е к


У н и ј а

и п

р е с е к


Р а з л и

к а


О п е р а ц и ј е

с а с к

у п о в и м а

Р е ч и :

" и " ,

" и л и " ,

" н е " ,

" с в а к и " ,

" н е к и "

Р а з

-

г о в о р

О б р

а -

д а О б р

а -

д а О б р

а -

д а О б р

а -

д а У в е ж

б а -

в а њ

е

У в е ж

б а -

в а њ

е

У в е ж

б а -

в а њ

е

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

П а р о в и

Ф р о н .

п а р о в и

Ф р о н .

п а р о в и

М о н о -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

О б р

а -

д а

Ф р о н -

т а л н и

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У в е ж

б а -

в а њ

е

У в е ж

б а -

в а њ

е

Г р у п е

О б р

а -

д а

П а р о в и

Ф р о н -

т а л н и

С е п т е м б а р

С к у п о в и

О

П Е Р А Т И В Н И ( О Р И Ј Е Н Т А Ц И О Н И )

П Л А Н Р А Д А П О М Е С Е Ц И М А



7

М е -

с е ц

Н а с т .

т е м а

Р . б

р .

н а с т .

ј е д .

Н а з и в



Т и п ч а с

а

О б л и к

р а д а

М е т о д a

М е с т о

р а д а

Н а с т .

с р е д .

И н о -

в а - ц и ј е

( С а м о ) e в а -


и


2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0 2

1 2 2

2 3

2 4

О с к у

п о в и м а

П р в а

к о н т р о л н а

в е ж б а

( С к у п

о в и )


и N

N 0

Р а в н е

г е о м е т р и ј с к е

ф и г у р е

И з л о м љ е н а

л и н и ј а .

О б л а с т .

И з л о м љ е н а

л и н и ј а .

О б л а с т

К р у ж

н и ц а

и к

р у г .

К р у г

и т а ч

к а

К р у г

и п

р а в а .

Т е т т и в е

и т а н

г е н т е

К р у г

и п

р а в а

О к р у

г у

Д в а к

р у г а

С в е о

к р у г у

С и с т е -

м а т и з .

К о н т р .

з н а њ

а

О б р

а -

д а О б р

а -

д а О б р

а -

д а О б н а в .

и с и

с т . П и с м е н и

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

Д и ј а л о ш .

д е м о н с т .

Х е у р и -

с т и ч к а

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У в е ж

б а -

в а њ

е

У в е ж

б а -

в а њ

е

Г р у п е

Г р у п е

п а р о в и

С е п т е м б а р


Г р у п е

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

2

У в е ж

б а -

в а њ

е

О б р

а -

д а О б р

а -

д а С и с т е -

м а т и з .

Г р у п е

Ф р о н -

т а л н и

Х е у р и -

с т и ч к а

Х е у р и -

с т и ч к а

О к т о б а р

О с н о в н и г е о м е т р и ј с к и о б ј е к т и

П р и п р .

л и с т .

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и

Ф р о н -

т а л н и



8



9



10



11



12

М е -

с е ц

Н а с т .

т е м а

Р . б

р .

н а с т .

ј е д .

Н а з и в



Т и п ч а с

а

О б л и к

р а д а

М е т о д a

М е с т о

р а д а

Н а с т .

с р е д .

И н о -

в а - ц и ј е

( С а м о )

в а -


и


e

7 1

7 2

7 3

7 4

Д е ц и м а л н и

р а з л о м ц и .


з а п и с

р а з л о м к а


з а п и с

р а з л о м к а


з а п и с

п р о и з в о љ н о г

р а з л о

м к а


з а п и с

п р о и з в о љ н о г

р а з л о

м к а

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

У ч и о н .

( к а б и н . )

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Д и ј а -

л о ш к а

Р а з л о м ц и

О б р

а -

д а

Ф р о н -

т а л н и

У в е ж

б а -

в а њ

е

Ј а н у а р

5

О б р

а -

д а

Ф р о н -

т а л н и

У в е ж

б а -

в а њ

е

Г р у п е

Г р у п е

Н а п о м е н е о р е а л и з а ц и ј и

п л а н а

р а д а

з а п

р в о п о л у г о д и ш т

е

Д Р У Г О П О Л

У Г О Д И Ш Т Е



13



14



15



16



17



18



DETAǈAN PLAN IZVOEǋA NASTAVE POQASOVIMA

Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod is-tim naslovom obraene su u UBENIKU u izdaǌu IP MATEMA-TISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boksOsnovni tekst navodi se koja kǌiga se koristi (Ubenik ili Zbir-

ka) sa navedenim brojevima strana.Na neispisanim delovima strana detaǉnog plana nastavnik up-

isuje liqna zapaaǌa o nivou ostvareǌa i eventualne primedbe okojima e voditi raquna pri planiraǌu nastave sledee xkolskegodine.

Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne buderealizovan, on se prenosi na poqetak prvog sledeeg qasa, predvi-enog za uvebavaǌe.

Ako se neki zadaci iz ubenika, predvieni za rad na qasuOBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, oni se pridodaju

Domaem zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkom

zadataka na qasovima UVEBAVAǋA.Preporuqǉivo je da nastavnik na qasu rexava i druge, sop-

stvene zadatke. Predloeni plan rada moe i treba da se mes-timiqno meǌa i obogauje idejama nastavnika, realizatora nas-tave.

Neke napomene koje su detaǉno navedene u prvom delu Priruq-nika, a kasnije bi trebalo da se ponavǉaju, ovde nisu ponavǉane.Poxto se radi o Planu rada , dovoǉno ih je napisati prvi put. (Tosu najqexe napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatimizvoeǌa qasa sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.)

Priruqnik u formi CD-a omoguava nastavniku da odxampapo potrebi bilo koju stranicu. To e bitno olakxati pripremulistia za Kontrolne vebe i Pismene zadatke.



20

1. QAS

Uvodni qas Dijalog

Ciǉ Upoznavaǌe sa uqenicima. Upoznavaǌe uqenika sa progra-

mom, literaturom, obavezama, mogunostima.

Tok qasa

Uqenici su do sada imali jednog nastavnika za sve predmete, asada za svaki predmet imaju po jednog nastavnika. To je bitna pro-mena. Zbog toga se nastavnik mora potruditi da ostavi povoǉanutisak i da uqenike ohrabri. Moe im proqitati stihove Miro-slava Antia, sa 6. strane ubenika. Potrebno je istai znaqajmatematike kao nauke. Dobro bi bilo da nastavnik na ovom qasuproqita sa 3. strane Zbirke uvodni tekst pod naslovom ”Pred ka-pijom matematike” (sve osim posledǌeg pasusa).

Zatim, nastavnik upozna uqenike sa programom matematike, na-vodei qiǌenice koje su uqili i u mlaim razredima. Onda impredoqi kǌige iz kojih e se uqiti, i preporuqi da stiqu navikuqitaǌa lekcije iz ubenika.

Potrebno je ukazati da je matematika lepa, korisna i da pru-

a velike mogunosti. Uqenike treba ohrabriti da idu na qasovedodatne nastave i ponuditi im da nabave priruqnik PLUS VI. Ta-koe, treba im predoqiti mogunost afirmacije na takmiqeǌima.Za pripreme, pored zbirke PLUS VI mogu im se preporuqiti kǌigeMATHEMATISKOP 1 (Vodiq za xampione), Inostrana juniorskatakmiqeǌa i qasopis MATEMATISKOP.



Skupovi 21

2. QAS

Pojam skupa. Naqini zadavaǌa skupova. Obrada

Frontalni rad Dijalog

Ciǉ Uqenici treba skup da shvate kao osnovni pojam koji se ne

definixe, ali je odreen svojim elementima . Treba da razumeju razne naqine zadavaǌa skupova i da mogu sami da navedu takve

primere. Prazan skup , bez elemenata, shvataju kao jedinstven skup .Oznake ∈, /∈, i pravilno koriste.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 7. do 10. str.

Nastavnik navodi nekoliko primera skupova iz neposrednogokrueǌa. Onda trai da i uqenici navedu nekoliko primera. Napoqetku ne pomiǌe prazan skup.

Dolazimo do zakǉuqka da je skup odreen ako znamo (ili mo-emo da uoqimo) ǌegove elemente.

Uzimamo primere zadavaǌa skupa navoeǌem svih elemenata . Natim primerima (kao na 8. str. ubenika) uvodimo oznake: ∈, /∈, i. Uqenici i sami navode sliqne primere.

Zatim, uvodimo zadavaǌe skupa opisom (opisivaǌem). Pravil-no je, na primer, za skup A = {v, o, d } dati opis: A = {x| x je slovoreqi vodovod }. (Qita se: ”A je skup elemenata x, koji imaju svoj-stvo: x je slovo reqi vodovod .”)

Nepravilno je: A = {slova reqi vodovod }.Prazan skup je bez elemenata i treba naglasiti da je taj skup

jedinstven. (Postoji samo jedan prazan skup , xto sledi iz defini-cije.) Oznaka je ∅ ili {}. Insistirati na qiǌenici da je ovaj skup

jedinstven. Na primer, ako neki uqenik pomisli da ima vixe pra-znih skupova (i navodi skup koji nema ”ovoga” ili nema ”onoga”),treba ga navesti da objasni, npr. u qemu je razlika izmeu ”Skupaaviona u naxoj uqinionici.” i ”Skupa kitova u naxoj uqinioni-

ci.”Uvesti prikazivaǌe skupova ”slikom” u vidu Ojler-Venovogdijagrama.

Na odgovarajuim primerima (navedenim na qasu) povezati svatri naqina zadavaǌa skupova.

Rexavamo primere sa str. 10 u ubeniku.

Domai zadatak: Zbirka: 1, 2, 8, 9, 10 i zadaci sa 10. str. Ube-

nika (koji nisu rexeni na qasu).



22 Skupovi

3. QAS

Pojam skupa i naqini zadavaǌa skupova Uvebavaǌe

Frontalni rad kombinovan saradom u parovima (po klupama)

Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojmova upoznatih na prethodnom qasu.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 7. do 10. str.

Ponovimo redom pojmove: skup je odreen svojim elementima,sva tri naqina zadavaǌa skupova , oznake pripadnosti skupu (∈, /∈itd.), pojam praznog skupa .

Posebno insistirati na tekstovima koji su u Ubeniku istak-nuti crvenom trakom i obojeni deo teksta u Zbirci (7. strana).

Za svaki opisani pojam uqenici navode svoje primere.Tokom qasa rexavamo zadatke 3, 5 i 7, tako xto prvo nastav-

nik uradi zadatak iz uvodnog teksta, a onda uqenici rexavaju na

tabli ili na mestu (u parovima) preostale sluqajeve (a), b), v),itd.).Na isti naqin rexavamo zadatak 13.Zatim, uqenici rexavaju na tabli zadatke: 10, 14, 11 i 16 a), b).

Domai zadatak: Zbirka: 12, 15, 16 v), 18



Skupovi 23

4. QAS

Podskup. Jednaki skupovi Obrada


Ciǉ Uvoeǌe pojmova podskupa i nadskupa , kao i relacije jedna-

kosti meu skupovima. Uqenici shvataju da se kod skupova broje

samo razliqiti elementi .


Uzmemo dva skupa, na primer A i C na 10. str. Ubenika, is-taknemo ih na xkolskoj tabli. Uz voeǌe od strane nastavnika,uqenici utvrde da je svaki element skupa A istovremeno i elementskupa C , i obrnuto ne vai za sve elemente skupa C . na osnovu ovihzapaaǌa uvodimo pojmove podskup i nadskup i oznake: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇.

Zatim rexavamo primer 1 i 2 sa 11. str. Ubenika.Onda, na naqin kako je navedeno u Ubeniku, reximo primer

3, na osnovu qega uvedemo pojam jednakih skupova (kao skupova koji

se sastoje od istih elemenata). To potvrdimo na primeru 4.Zatim, nastavnik objaxǌava rexeǌe primera 5, pa na osno-

vu toga uvede pravu definiciju jednakih skupova. (Ako je A ⊆ B iB ⊆ A, onda je A = B). Osim toga ovde se zapaa da je suvixnovixe puta nabrajati iste elemente, pa se uvede pojam najjednostav-nijeg (redukovanog) oblika skupa. Na taj naqin se dolazi do pojmabroja elemenata skupa .

Uz obnavaǉaǌe uvedenih definicija, rexavamo zadatke od 6.do 12. sa 13. str. Ono xto ne uradimo na qasu ostavǉamo uqenicimakao dodatak za domai rad.

Domai zadatak: Zbirka: 24, 25, 27, 42, 38.



24 Skupovi

5. QAS

Podskup. Jednaki skupovi. Uvebavaǌe

Frontalni rad, kombinovan saradom u parovima.

Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojmova: podskup, nadskup, jednaki skupovi, redu-

kovan (najjednostavniji) oblik skupa, broj elemenata skupa, kao ipojam pravog podskupa .


Ponovimo pojmove: podskup i nadskup . Uqenici navode ”svoje”primere. Zatim rexavamo zadatak 22. (Nastavnik objasni primeriz uvodnog teksta sa skupovima T i B, pa uqenici rexavaju na ta-bli sluqajeve a) i b), a ostale na mestu, u parovima.)

Rexavamo zadatak 26.Onda rexavamo zadatak 28. i uoqavamo prave podskupove.Ponovimo definiciju jednakih skupova.Zatim, rexavamo zadatke 37 i 39, i to na isti naqin kao i

zadatak 22.Reximo na isti naqin i zadatak 21.Na kraju reximo zadatke 40 i 46.

Domai zadatak: Zbirka 23, 29, 30, 34, 43.



Skupovi 25

6. QAS

Unija skupova Obrada


Ciǉ Usvajaǌe pojma unije skupova uz odgovarajuu interpreta-

ciju Ojler-Venovim dijagramima.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 14. i 15. str.

Preporuqǉivo je odmah prilikom uvoeǌa pojma unije skupo-va koristiti ilustrovaǌe pomou Ojler-Venovih dijagrama. Ko-ristei se primerima sa str. 14, uvodimo uniju kao skupovnu ope-raciju. Zatim, rexavaǌem primera 2. i 3, utvrdimo da je unija komutativna i asocijativna operacija. Ove primere mogu na xkol-skoj tabli rexavati uqenici.

Posle toga, nastavnik trai od uqenika da iskau pravilnodefiniciju unije dva skupa. Kad dobije zadovoǉavajui odgovor,izvede na tablu jednog uqenika koji sam ili uz pomo nekog od uqe-

nika ”smisli” dva skupa, recimo A i B, qiji su elementi brojevi,odredi A ∪ B nabrajaǌem svih elemenata i sve to prikae pomoudijagrama.

Daǉe, do kraja qasa, rexavamo zadatke od 4. do 7. Ako nemadovoǉno vremena za sve, preostale zadatke dajemo za domai zada-tak.

Domai zadatak: Zbirka: 51 i 54.



26 Skupovi

7. QAS

Unija skupova Uvebavaǌe

Rad u parovima (iz iste klupe) Dijalog

Ciǉ Utvrivaǌe pojma unije skupova i osobina ove operacije.


Ponovimo definiciju unije skupova, pa rexavamo zadatke 51b)i 51g). Onda, rexavamo zadatke 52 i ponovimo osobine komutativ-nosti i asocijativnosti unije skupova.

Zatim, rexavamo redom zadatke 59, 60, 58, 57 i 63.

Domai zadatak: Zbirka: 53, 55, 56, 61.



Skupovi 27

8. QAS

Presek skupova Obrada


Ciǉ Uvoeǌe pojma preseka skupova i pojma razdvojenih (dis-

junktnih ) skupova.


Primer koji se navodi na poqetku 16. strane treba iskoristi-ti da uqenici uoqe zajedniqki deo skupova A i B. Obavezno trebaprikazati i Ojler-Venove dijagrame. Zatim, zajedniqki deo skupo-va A i B definixeko kao presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B.

Zatim, primer 1 iskoristimo da, bez crtaǌa dijagrama, uoqi-mo da presek dva skupa predstavǉa ǌihov zajedniqki podskup, kojisadri sve zajedniqke elemente ovih skupova. Pri tome, odreiva-ǌem preseka M ∩ P i P ∩ M uoqimo osobinu komutativnosti . Nasledeem primeru uverimo se da je presek takoe asocijativan .

Daǉe uoqavamo, ako je A ⊂ B da je A ∩ B = A i da je A ∪ B = B.Koristimo, potom primer 3 radi definisaǌa razdvojenih (dis-

junktnih ) skupova: M ∩ R = ∅, xto pokazuje da ovi skupovi nemajuzajedniqkih elemenata.

Do kraja qasa rexavamo zadatke od 4. do 8, sa 18. strane. Uko-liko do kraja qasa ne reximo sve ove zadatke, preostale ostavǉamoza domai rad.




28 Skupovi

9. QAS

Unija i presek skupova Uvebavaǌe

Rad u parovima Dijalog

Ciǉ Utvrditi znaqeǌe operacija unija i presek skupova. Jasno

uoqiti razlike meu ǌima. Pritom, kombinovati i ranija znaǌa

(podskup, i sl).


Najpre obnovimo kako se odreuje presek dva skupa, pa reximozadatke 66 a), b) i v). Uqenici rexavaju zadatke na mestu. Radeu parovima, po klupama. Zatim, po izboru nastavnika izlazi je-dan uqenik na tablu, objaxǌava ceo postupak i rezultat prikaeu obliku Ojler-Venovog dijagrama. Usput smo ponovo potvrdilikomutativnost preseka.

Zatim, na isti naqin rexavamo zadatak 68, pa zadatke 71 a)i 72 b).

Podsetimo se na definiciju unije dva skupa, pa reximo zada-tak 56 b) i zadatak 82.

Na kraju rexavamo zadatak 79.




Skupovi 29

10. QAS

Razlika skupova Obrada


Ciǉ Uvoeǌe pojmova razlika dva skupa i komplement skupa .

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 19. i 20. str.

Reximo primer 1 sa 19. strane. Koristei se i dijagramom,objasnimo da smo na taj naqin izvrxili jednu novu operaciju saskupovima. To je razlika dva skupa koja je u navedenom primeruoznaqena sa A\B (qita se: ”A razlika B”).

Zatim, to potvrdimo rexavaǌem primera 2 i 3. Uoqimo po-sebno sluqajeve: A\∅ = A, ∅\B = ∅, A\A = ∅.

Da produbimo znaǌe o razlici, postavimo pitaǌe:”Ako su A i B skupovi koji imaju elemente (nisu prazni), koje

uslove oni moraju zadovoǉiti da bi vaile jednakosti: A\B = ∅,

i A\B = A?”Zatim, uvedemo pojam komplementa skupa , kao xto je to uqiǌe-no na 20. strani.

Do kraja qasa rexavamo zadatke 4, 5 i 6.

Domai zadatak: Zbirka: 91, 97.



30 Skupovi

11. QAS

Operacije sa skupovima Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama(po dve susedne klupe)

Dijalog

Ciǉ Utvrditi znaǌe o skupovnim operacijama. Rexavaǌe kom-

binovanih zadataka.


Prvi deo qasa (oko 20 minuta). Obnovimo pojmove: unija , pre-sek , razlika skupova , komplement skupa i disjunktni skupovi . Zasvaki pojam izlazi na tablu jedan uqenik i nacrta odgovarajuidijagram.

Drugi deo qasa . Nastavnik daje iz Zbirke zadatke za uvebava-ǌe obnovǉenih pojmova. Svaki postavǉeni zadatak rexava se grup-no. (Po dve susedne klupe daju jednu grupu.) Svaka grupa prija-

vǉuje nastavniku kad rexi zadatak, a nastavnik ”osmotri” svakorexeǌe. Kad rexeǌe prijavi vixe od polovine uqenika, nastavnikizvodi na tablu jednog uqenika, koji rexeǌe javno izloi. Kon-trolixu ga uqenici iz klupa, a nastavnik nadzire.

Rexavamo redom zadatke: 54, 64, 78, 77 a), b) v), 86 a), 92, 94.

Domai zadatak: Zbirka. 81 a), b), 87, 93, 100.



Skupovi 31

12. QAS

Reqi: ”i”, ”ili”, ”ne”, ”svaki”, ”neki”. Obrada


Ciǉ Navedene reqi u matematici imaju znaqeǌe kao odreene

operacije. Uqenici treba da razlikuju kada ove reqi imaju mate-

matiqka znaqeǌa.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik, str. 21-23, Zbirka 24-26.

Za svaku od navedenih reqi istai ǌeno ”jeziqko” i ”matema-tiqko” znaqeǌe, kao u Ubeniku. Uz pojam i primer iz Ubenika,svaki pojam ilustrovati jox i jednim zadatkom iz Zbirke. Zatim,traiti od uqenika da i oni navedu neki primer.

Domai zadatak: Dati iz Zbirke one zadatke koji nisu rexavani

na qasu.



32 Skupovi

13. QAS

O skupovima Sistematizovaǌe

Rad u nehomogenim grupama Dijalog

Ciǉ Uoqiti bitne karakteristike nauqenih pojmova o skupovi-

ma. Uoqiti sliqnosti i razlike. Produbiti razumevaǌe pojmova i

tehniku rada podii do potrebnog nivoa.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka 11. do 24. str.

Rexavaju se zadaci iz Zbirke, na naqin opisan u drugom delu11. qasa.

Prilikom demonstracije rexeǌa od strane uqenika, nastav-nik insistira da se svaki korixeni pojam precizno definixe.Na primer, ako se radi o podskupu, onda se podskup precizno de-finixe, pa se onda rexava zadatak; ako se pomenu jednaki skupovi,onda definisati relaciju jednakosti dva skupa i sliqno.

Izbor zadataka bi trebalo izvrxiti neposredno pre realiza-

cije qasa, jer bi izbor trebao biti uslovǉen kvalitetom prethodnousvojenih znaǌa.

Jedan od moguih izbora zadataka za ovu sistematizaciju je:27, 35 a), b), v), 36 a), v), 39, 56, 62, 75, 87, 96, 101, 106.

Domai zadatak: Radna sveska: Prva kontrolna veba (str. 5.

do 8.)



Skupovi 33

14. QAS

Prva kontrolna veba (Skupovi) Kontrola znaǌa

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima, da se negubi vreme i izbegnu grexke, koje su posledica diktiraǌa zadata-ka.

Grupa A)

1. Odredi sve podskupove skupa {a,b,c}.2. Elementi skupa P su dvocifreni brojevi maǌi od 40, koji

imaju cifru jedinica 0 ili 5. Dat je jox skup Q = {q | q = 5n, gde je n ∈ N i 1 < n ≤ 7}. Nacrtaj Ojler-Venove dijagrame skupova P i Q. Da li je P = Q?

A

3. Dati su skupovi: A ={a| a ∈ N i a je neparan broj ma-ǌi od 7}, B = {1, 2, 3, 6} i C ={c| c ∈ N i 3 < c < 8}. Odrediskupove: A ∪B, A ∩ C i (A∪ C )∩B.

4. Na osnovu Ojler-Venovihdijagrama sa slike, prikai na-brajaǌem svih elemenata skupo-ve: A ∩ B, B\D, D\A, B\A i C AD.

Grupa B)

1. Imamo skup slova M = {m,e,t,a,r}.a) Odredi podskup skupa M , koji ima dva elementa, tako da od

elemenata tog podskupa moemo sastaviti bar jednu smislenu reqod dva slova i jednu smislenu req od qetiri slova.

b) Odredi dva podskupa sa po tri elementa, tako da elementisvakog od ǌih odreuje smislenu req od tri slova.

Da li su neki od ovih skupova jednaki?2. Dat je skup C dijagramom i skupovi

A = {1, 3, 3, 1, 5, 5, 5, 1, 7, 9, 9}, B = {b| b je jed-

nocifreni neparan broj}.Odredi skupove A∩C i B\A. Da li meudatim skupovima ima jednakih?

3. Da li vai jednakost {1, 2, 3, 4, 5}∩A ={2, 4}, ako je a) A = ∅; b) A = {2, 3, 4}; v)A = {2, 4}; g) A = {2, 4, 6, 8}?

4. Dati su skupovi A = {x| x − 2 = 0 ili 2x = 6}, B = {b| b ∈ N 0i b ≤ 3} i C = {c| c < 6 i c ∈ N }. Odredi skupove

a) A\B; b) B\C ; v) (A\C ) ∩ B; g) (A ∪ B)\C .



34 Skupovi

Grupa V)

1. Rexiti po nepoznatim x i y formule (x = y):a) {x, 5} = {y, 2}; b) {x, y} ⊂ {1, 2, 3}.2. Da li su neki od skupova jednaki meu sobom: A = {a| a ∈ N

i 2 ≤ a ≤ 4}; v) B = {b| b ∈ N 0 i 1 < b < 5}; C = {c| c ∈ N i 2 < c < 4}?3. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 4, 5, 6}.

Odredi skupove: A ∩ B, A ∪ B, A ∩ (B ∪ C ), (A ∪ B) ∩ C .4. Dati su skupovi: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, K = {0, 2, 4, 6}, P =

{1, 3, 5} i Q = {4, 6, 8}. Proveri da li su K , P , Q podskupovi skupaM . Ako jesu, odredi im komplement u odnosu na M .

Grupa G)

1. Odredi sve prave podskupove skupa S = {,, }. Pazi, imaih xest!

2. Dati su skupovi: A = {a,n,t,e,n,a}, B = {c,e,n,t,a,r} i C ={t,e,r,e,t,a,n,a}. Izdvoj taqna tvreǌa.

a) A = C ; b) C ⊇ A; v) B ⊆ C ; g) A ⊆ B; d) B = C . Obrazloi!3. Dati su skupovi: K = {2, 4, 6, 8} i M = {m| m ∈ N 0 i n < 4}.Rexi po nepoznatim x i X formule:a) x ∈ K i x ∈ M ; b) x ∈ (K ∩ M ) i x = 2; v) X ⊂ K i X ⊂ M .4. Dati su skupovi: A = {v, e, s, l, a } i B = {e, c}. Od elemenata

skupa C AB naqini qetiri smislene reqi.

Grupa D)1. Odredi sve prave podskupove skupa M = {3, 5} i skupa P =

{2, 4, 6}.2. Skupove D, E i F , koji su zada-

ti dijagramima, zapixi navoeǌem ele-menata. Zatim, umesto postavi odgova-rajui znak: ⊂, ⊃, = ili ∈.

a) F D; b) f D; v) DE ; g) E {e, g};d) {b, d}F ; ) E ∩ F {g}.

3. Odredi podskupove X i Y skupaS = {a,b,c,d}, tako da je X ∩{a,b,c} = {a, b}i Y ∪ {b, d} = {b,c,d}.

4. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N 0 i a < 4}, B = {b| b ∈ N i0 ≤ b ≤ 3} i C = {c| c ∈ N 0 i 0 < c < 5}. Odredi skupove:

a) C \A; b) A\(B ∩ C ); v) (A ∪ C )\B.



Skupovi 35

15. QAS

Skupovi N i N 0 Obnavǉaǌe i sistematizovaǌe


Ciǉ Podsetiti se na osnovne osobine prirodnih brojeva i ra-

qunskih operacija sa ǌima. Upoznati pojmove prethodnik i sled-

benik prirodnog broja.

Tok qasa

Osnovni tekst Ubenik 24. do 26. str, Zbirka 26. do 29. str.

Ponoviti pojmove: prirodni broj, skup N , skup N 0, brojevnapoluprava (sve na str. 24. Ubenika). Zatim, pojmove prethodnik isledbenik (uz rexavaǌe primera 1).

Podsetimo se na brojevne izraze, rexavajui zadatak 131.Reximo i problemske, zanimǉive zadatke 133 i 134.Zatim, rexavamo zadatke 147 i 148.

Vano je paǉivo prezentirati zadatak 150

. Prvo nastavnikna tabli objasni sluqajeve navedene u promotivnom tekstu zadatka.Zatim, uqenici rexavaju sluqajeve od a) do g).

Domai zadatak: Ubenik: Primeri 2. do 5. na str. 26. i Zbirka:

135, 137, 140, 142.



36 Osnovni geometrijski objekti

16. QAS

Ravne geometrijske figure Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe strukture, odreenosti i meusobnih odnosa

osnovnih geometrijskih objekata i delova pravih i ravni.


Osnovni pojmovi u geometriji, taqka, prava i ravan, ne defi-nixu se, ali se ǌihovim osobinama dopuǌuju intuitivne slike oǌima. Taqke uoqavamo najqexe kao presek dve linije i kao krajodseqka neke linije. Ni liniju ne definixemo. Zadravamo se naintuitivnoj predstavi zasnovanoj na crteu. Nastavnik insistirana obaveznom (i pravilnom) oznaqavaǌu taqaka velikim slovimalatinice. Odnose taqaka, pravih i ravni prikazati kao u ubeni-ku. Ravni ubudue neemo posebno prouqavati. Zadraemo se na”ravni crtea” (list sveske ili povrx xkolske table).

Posvetiemo paǌu sledeim geometrijskim objektima (figu-rama): du , poluprava , poluravan . Sve ove objekte smatramo sku-povima taqaka, koji imaju beskonaqno mnogo elemenata. Meutim,zbog svojih specifiqnosti, oni su odreeni sa dva ili tri elemen-ta (dve ili tri taqke).

Rexavaǌem primera 1, 2 i 3 (na 30. i 31. str.) upoznajemo sesa nekim osobinama navedenih objekata.

Na kraju rexavamo zadatke 4-8. sa str. 31. i eventualno nekiodabrani zadatak iz Zbirke (str. 30. do 34.).

Domai zadatak: Zbirka: 152, 154, 156, 159, 162, 168, 174.



Osnovni geometrijski objekti 37

17. QAS

Izlomǉena linija. Oblast Obrada

Frontalni rad Kombinacija dijaloxke i

demonstrativne metode

Ciǉ Upoznavaǌe sa pojmom izlomǉene linije , posebno sa mno-

gougaonom linijom i oblaxu mnogougla . Razlikovati konveksne inekonveksne figure .


Nastavnik pokazuje modele, a potom i crta sliqne na xkolskojtabli. Definixe izlomǉenu liniju , a uqenici otkrivaju koji od modela predstavǉaju izlomǉene linije, kao na sl. 10, str. 32. Za-tim se uoqava razlika izmeu izlomǉenih linija sa samopresekomi bez samopreseka. Ove posledǌe su tzv. proste izlomǉene linije.Takoe razlikujemo otvorene i zatvorene izlomǉene linije.

Na kraju istiqemo zatvorenu prostu izlomǉenu liniju, kojase naziva mnogougaona linija . Uoqavamo trougaone, qetvorougaoneitd. mnogougaone linije. Definixemo temena i stranice, a zatimi unutraxǌu oblast mnogougaone linije. Zatim, definixemo mno-gougao.

Posebno istiqemo konveksne i nekonveksne mnogouglove. Na-stavnik pokazuje modele, kao na sl. 13, str. 34, a uqenici prepo-znaju konveksne i nekonveksne mnogouglove.

Posle rexavaǌa primera 1, 2 i 3, prelazimo na rexavaǌezadataka 4, 5 i 6 sa str. 35.

Domai zadatak: Zbirka: 176, 179, 180.




18. QAS

Izlomǉena linija. Oblast Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrivaǌe pojma mnogougaone linije i mnogougla.


Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa: izlomǉena linija(vrste), mnogougaona linija, mnogougao, unutraxǌa oblast mnogo-ugla. Za svaku definiciju uqenici na mestu (jedan na xkolskojtabli) crtaju modele.

Zatim, rexavamo iz Zbirke redom zadatke: 177, 178, 181, 184,187, 188.





19. QAS

Krunica i krug. Krug i taqka Obrada

Frontalni rad Heuristiqka metoda

Ciǉ Produbiti znaǌe o krugu i krunici. Uoqiti razliqite

poloaje taqke prema krugu i prema krunici.


Definixemo krunicu, polupreqnik, krunu povrx (krug). Naxkolskoj tabli nacrta se kruna linija polupreqnika r i oznaqinekoliko taqka na krunici, u krugu i van kruga. Centar kruganastavnik oznaqi sa O i ostale taqke velikim slovima latinicei pokazujui jednu po jednu od oznaqenih taqaka, pita uqenike ukakvom su poloaju u odnosu na krunu liniju. Prvo pokazuje partaqaka koje su na krunici. Uqenici sami, uz eventualnu neupa-dǉivu sugestiju nastavnika, utvrde da su neke taqke na krunici,neke unutra, a neke van krunice (van kruga).

Zatim, nastavnik izabere jednu taqku na krunici, kao P nasl. 16, spoji je sa O i trai od uqenika da utvrde kolika je du-ina dui OP . (Oqekuje odgovor: OP = r.) Daǉe, kroz razgovornastavnik navodi uqenike da uoqe sluqajeve OQ < r i ON > r.

Nastavnik definixe centralno rastojaǌe taqke u odnosu nadati krug (krunicu) i potvrdi zakǉuqke o centralnom rastojaǌui poloaju taqke prema krugu (krunici), kao na str. 37. Ubenika.

Na kraju, rexavaju se zadaci 1, 2, 3, 4 sa str. 37.





20. QAS

Krug i prava. Tetive i tangente Obrada


Ciǉ Uoqiti posebne poloaje prave u odnosu na krug. Posebno

upoznati tantente i tetive.


Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli pravu p i taqku A vanprave, a uqenici to isto uqine u svojim sveskama. Preporuqǉivo

je da uqenici pravu nacrtaju po liniji svoje sveske ”u kocke”, ataqka A da bude presek dve linije. Zadatak za uqenike je: nacrtatinajkrae rastojaǌe od taqke A do prave p. Kad otkriju da je tonormala iz A na p, prelazimo na prouqavaǌe poloaja prave premakrugu i krunici.

Prvo uzmemo taqku N u datom krugu k, sl. 17 na str. 37. Ube-nika i postavimo pravu p kroz N . Utvrdimo da prava p sa kru-

nicom ima dve zajedniqke taqke A i B, a sa krugom du AB, koju nazivamo tetivom. Definixemo centralno rastojaǌe prave iutvrdimo, ako je d < r, prava p seqe krug itd. Zatim, utvrdimopoloaje prave u sluqajevima d = r i d > r.

Posebno treba naglasiti pojmove preqnika i tangente i ǌi-hovu vanu ulogu kod kruga. U vezi sa tangentom istai dodirni polupreqnik i ugao izmeu tangente i dodirnog polupreqnika . Za-tim, izvrximo konstrukciju tangente kroz taqku na krunici –Primer 1. dobro je da bar dva uqenika ponove ovu konstrukcijuna xkolskoj tabli.

Na kraju rexavamo zadatke 2. do 4. sa 39. str.





21. QAS

Krug i prava Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrivaǌe znaǌa o meusobnim poloajima prave i kruga,

posebno o tangentama i tetivama.


Obnovimo pojam centralnog rastojaǌa prave. Zavisno od cen-tralnog rastojaǌa odrediti presek prave i kruga, odnosno prave ikrunice.

Rexavaǌem odgovarajuih zadataka na naqin predvien radomu nehomogenim grupama (po dve susedne klupe), utvrujemo i dopu-ǌavamo znaǌa o odnosu kruga i prave.

Radimo zadatke iz Zbirke: 214, 215, 216, 217, 219, 221, 223.





22. QAS

O krugu Uvebavaǌe

Kombinovani rad u parovimai u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Utvrditi odnose taqke i prave u odnosu na dati krug.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik i Zbirka (druga glava)

Na osnovu liqnih zapaaǌa o realizaciji teme Osnovni ge-ometrijski objekti , nastavnik, neposredno pre realizacije, utvr-uje taqan plan za ovaj qas. U svakom sluqaju, korisno je izvrxitikratku rekapitulaciju druge glave. Treba utvrditi ili potvrdi-ti nivo poznavaǌa pojmova (definicije i osobine), kao i primenukroz raqunske i konstruktivne zadatke. Pritom koristimo zadatkeiz Ubenika i Zbirke.

Izbor zadataka iz Zbirke, za kratku rekapitulaciju nauqenog,

mogao bi biti: 157, 158, 161, 163, 169, 175, 183, 185, 194, 195, 208,209, 224, 225. Naravno, koje od ovih zadataka treba preskoqitii koje eventualno uvrstiti u ovaj spisak, odluquje nastavnik naosnovu procene o nivou usvojenih znaǌa od strane uqenika.

Zadaci se rexavaju na naqin predvien grupnim radom.

Domai zadatak: Neuraeni od zadataka preporuqenih za ovaj

qas.




23. QAS

Dva kruga Obrada


Ciǉ Prouqavaǌe meusobnih poloaja dva kruga, jer e to ima-

ti izuzetan znaqaj kad se budemo bavili rexavaǌem konstruktiv-

nih zadataka.


Razmatramo svih xest moguih sluqajeva, prikazanih na sli-kama 21. do 26. u ubeniku. Nastavnik sve sluqajeve prikazuje naxkolskoj tabli ili prikazuje pripremǉene crtee iz asortimanaxkolskih uqila.

Uqenici sve to crtaju u svojim sveskama. Nastavnik definixesamo centralno rastojaǌe, tako da svi uqenici izaberu iste di-menzije. Na primer, za prva tri sluqaja nacrtaju du O1O2 = 5 cm,a za sluqajve 4. i 5. uzmu du O1O2 = 1 cm. Osim toga, trai da

bude r2 < r1.Nastavnik trai da uqenici crtaju jedan po jedan sluqaj: pr-

vo, da se krunice i odgovarajui krugovi ne seku, drugo, da sespoǉa dodiruju itd. Uqenici sami izvlaqe zakǉuqke odgovarajuina pitaǌa koja postavǉa nastavnik. U svim sluqajevima trai seodgovor na pitaǌe: ”Koji uslov moraju zadovoǉiti polupreqnicir1 i r2, da bi krunice, odnosno krugovi bili su traenom odno-su?” (Odgovor bi mogao biti, na primer, za prvi sluqaj: ”Zbirpolupreqnika r1 i r2 je 4 cm” i sl., pa u takvom sluqaju nastavnikgeneralizuje zakǉuqak: r1 + r2 < O1O2.)

Na kraju rexavamo zadatke 1, 2, 3, 4 sa str. 41.





24. QAS

Sve o krugu Sistematizacija


Ciǉ Povezati i rasqlaniti sve nauqeno o krugu.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik i Zbirka

Pre svega potrebno je ponoviti sve nauqene pojmove, qije sudefinicije istaknute (podvuqene bojom) u Ubeniku. Svaki objektse prikae i crteom, prvo na mestu - u svesci, a potom i na ta-bli. Zatim se rexavaju zadaci iz Zbirke. Ne ide se redom od Pojma geometrijske figure , nego se prvo obnovi o odnosu dva kruga . Dakle,prvo rexavamo zadatke: 229, 233, 235, 239, 240.

Zatim, rexavamo zadatke za sistematizovaǌe ostalog dela gra-diva iz Druge glave: 155, 166, 170, 173, 190, 191, 197, 210, 220, 222.

Domai zadatak: Radna sveska: Druga kontrolna veba (str. 9.

do 12.)




25. QAS

Druga kontrolna veba (Osnovni geome-trijski objekti. Skupovi N i N 0.)

Kontrola znaǌa

Uqenici su podeǉeni u grupe, prema nahoeǌu nastavnika. Sva-ki uqenik dobija list sa ispisanim tekstovima zadataka. Na listu

je boǉe unapred napisati ime uqenika, nego oznaqiti grupu. Dajemopredloge pet grupa zadataka.

Grupa A)1. Nacrtaj dva qetvorougla, tako da ǌihov presek bude:a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao.2. Nacrtaj kao na priloenoj slici pravu a, ta-

qku A na pravoj i taqku O van prave. Konstruixi dvekrunice polupreqnika 15 mm, koje dodiruju pravu au taqki A. Zatim, konstruixi krunicu k sa centromO, koja takoe dodiruje pravu a.

3. Data je du AB = 1 dm i krunica k1(A, 2 cm) ik2(B, 5 cm). Odredi rastojaǌe izmeu dve meusobnonajblie taqke krunica k1 i k2 i rastojaǌe izmeudve najudaǉenije taqke ovih krunica.

4. Koliko je dui i koliko trouglo-va nacrtano na slici. Sve nacrtane du-i oznaqi krajǌim taqkama (na primerM N ) i trouglove temenima (na primerM N Q).

5. Na papiru su napisana dva broja:118 i 216. Da li je neki od ǌih jednakzbiru tri uzastopna parna broja?

Grupa B)

1. Nacrtaj taqke A, B, C , D, E i F , kao naslici. Koristei se nacrtanim taqkama ozna-qi izlomǉene linije:

a) (plavu) BCDE ; b) (crvenu) ABFDA; v)(crnu) ECDBAE .

Da li je neka od ǌih mnogougaona linija?2. Nacrtaj pravu t i taqku C van prave t.

Zatim, konstruixi krunicu k sa centrom C ,tako da dodiruje pravu t. Dodirnu taqku obelei i oznaqi sa T .Nacrtaj i krunicu k1 sa centrom C , tako da seqe pravu t.

3. Nacrtaj krunicu k polupreqnika 3 cm i jedan ǌen preqnikAB. Zatim nacrtaj krunice k1 i k2, obe polupreqnika 2 cm, koje




iznutra dodiruju krunicu k. Dodirna taqka krunica k i k1 jeA, a B je dodirna taqka krunica k i k2. U kakvom su meusobnompoloaju k1 i k2?

4. Koliko dui i koliko trouglo-va odreuju taqke oznaqene na slici?

5. Uoqi brojeve: 1, 2, 4, 8, 16.Uveri se da sve prirodne brojeve ma-ǌe od 32, osim ovih uoqenih, moexdobiti sabiraǌem uoqenih brojeva.(Na primer: 25 = 16 + 8 + 1). Za svaki

broj ispixi odgovarajui zbir.Grupa V)

1. Nacrtaj kvadrat i trougao, tako da ǌihov presek bude:a) petougao; b) xestougao.2. Nacrtaj paralelne prave p i q , kao

na slici i oznaqi taqku P na pravoj p. Za-tim, konstruixi krug K 1 sa centrom P ,koji dodiruje pravu q i krug k2 sa cen-trom na pravoj q , koji dodiruje pravu p utaqki P . Osenqi K 1 ∩ K 2.

3. Nacrtaj pravu p i na ǌoj oznaqitaqku P . Konstruixi sve krunice pre-

qnika 4 cm, koje pravu p dodiruju u taqkiP . U kakvom su meusobnom poloaju ove krunice?

4. Prebroj dui i trouglove na-crtane na slici. Ispixi sve trouglove(oznaqi ih temenima).

5. Koristei se brojevima 1, 1, 5,15 i operacijama sabiraǌa i oduzima-ǌa, moemo dobiti svaki prirodni brojizmeu 1 i 22. Za svaki broj napixi od-govarajui izraz.

Grupa G)

1. Nacrtaj dva trougla, tako da ǌihova

unija bude:a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao.2. Nacrtaj pravu a i taqku B , koja je od

a udaǉena 6 cm. Zatim, konstruixi kruni-cu k polupreqnika 3 cm, koja sadri taqkuB i dodiruje pravu a. Dodirnu taqku ozna-qi sa A.

3. Nacrtaj krunicu k, na ǌoj taqku T i pravu a, kao na slici. Zatim, konstruixi




krug K 1 sa centrom na pravoj a, koji dodiruje krunicu k u taqkiT . Presek kruga K 1 i prave a je du AB. Xta predstavǉa AB ukrugu K 1?

4. Navedi sve trouglove qija su temenataqke oznaqene na slici. Koliko ima takvihtrouglova?

5. Izraqunaj vrednosti izraza:a) 40 : (27 : 3 + 4 · 17 − 200 : 4 − 112 : 16)b) 5 · 7 − (14 : 2 + 3 · (222 : 37 − 2) − 11).

Grupa D)1. Prave a i b na slici paralelne sumeu sobom. Odredi skup taqaka S , takoda je:

a) S = c ∩ d; b) S = a ∩ b;v) S = d ∩ (a∪c); g) S = (a∩ c)∪ (c∩ d).2. Nacrtaj prave p i q u taqku P kao

na slici. Zatim, konstruixi krunicu k,koja ima centar na pravoj q , tako da P bu-de dodirna taqka krunice i prave p.

3. Centralno rastojaǌe krugova K 1 iK 2 iznosi 15 cm. Polupreqnik kruga K 2

qetiri puta je vei od polupreqnika kru-ga K 1. Odredi duine polupreqnika ovihkrugova, ako se oni dodiruju.

a) spoǉa; b) iznutra.4. Date su qetiri razliqite taqke:

A, B, C , D. Koliko najvixe pravih mo-gu da odrede ove taqke? Ispixi sve duiqiji su krajevi date taqke. Koliko imatih dui?

5. Koristei se po potrebi operacijama sabiraǌa i oduzima-ǌa, pokai da se svaki prirodni broj maǌi od 14, moe izrazitipreko brojeva 1, 3 i 9. Za svaki broj napixi odgovarajui izraz.



48 Deǉivost brojeva

26. QAS

Mnoeǌe i deǉeǌe u skupu N 0 Obnavǉaǌe

Frontalni rad i rad u parovima Dijalog

Ciǉ Obnavǉaǌe osobina proizvoda i koliqnika, radi pripreme

terena za izuqavaǌe deǉivosti brojeva.


Najpre ponovimo pojmove: proizvod i qinioci (faktori). Po-sebno istiqemo osobine (uqenici raqunaju primere sa datim bro-

jevima i sami izvode zakǉuqke): 0 · n = 0, 1 · n = 1, m · n = n · m,(a · b) · c = a · (b · c) i a(b + c) = a · b + a · c.

Pritom reximo zadatke: 1, 2, 3, 4, 5 sa 43. strane.Zatim, obnovimo pojmove: deǉenik , delilac, koliqnik (strana

46). Posebno obratimo paǌu na ulogu nule u deǉeǌu (str. 45).Primetimo da jednakosti: a = b · c, zatim a : b = c i a : c = b,

gde su a, b i c prirodni brojevi, imaju suxtinski isto znaqeǌe. Zailustraciju reximo zadatke 6 i 7 sa strane 45.

Na kraju, obnovimo deǉeǌe sa ostatkom i jednakost a = d · q + r,gde je r < d (strana 46).

Reximo i zadatke 8, 9 i 10 sa 46. strane.Ukoliko ima vremena, reximo jox neke od zadataka sa 47. stra-

ne.

Domai zadatak: Preostali zadaci na 47. strani.



Deǉivost brojeva 49

27. QAS

Deǉivost prirodnih brojeva Obrada


Ciǉ Neophodno je da uqenici razumeju i shvate ekvivalentno

znaqeǌe jednakosti a : d = q i a = d · q , gde je broj d prirodan (pojam

delioca). Analizirati jednakost a = d · q + r.


Ponovimo znaqeǌe veze a = d · k, gde su a, d i k prirodni brojevi. Na primer: Iz 85 = 5 · 17 sledi da je 85 : 17 = 5 i 85 : 5 = 17.

Dakle, brojevi 5 i 17 su delioci broja 85. Takoe, 85 je sadr-ilac brojeva 5 i 17.

Istiqemo pojam sadralac i ǌegov sinonim umnoak .Nastavimo izlagaǌe orema tekstu sa 48. strane Ubenika.Onda, reximo primere 1, 2, 3, 4 sa 49. strane.Zatim, kao xto je izloeno na 49. strani, razmatramo sluqa-

jeve kada deǉeǌe daje ostatak. Posebno naglasiti oznake za parnei neparne brojeve.

Na kraju rexavamo zadatke od 1 do 10 na stranama 50. i 51.Ubenika.





28. QAS

Deǉivost prirodnih brojeva Utvrivaǌe


Ciǉ Utvrditi pojmove: deǉeǌe bez ostatka (deǉivost) i deǉeǌe

sa ostatkom u skupovima N i N 0.


Ponovimo pojam (definiciju) deǉivosti: Ako su a, k i d pri-rodni brojevi, iz a = d · k sledi da je a : d = k i a : k = d. Tada su di k delioci broja a.

Reximo zadatak 242 iz Zbirke.Proxirimo definiciju deǉivosti na skup N 0.Dakle: ako je d prirodni broj i a, k ∈ N 0, onda ako je a = d · k,

kaemo da je a deǉivo sa d i a : d = k. Ako je, na primer, a = 0 id = 7, onda je 0 = 7 · 0. Tada u jednakosti a = d · k je a = 0, d = 7,k = 0, odnosno vai 0 : 7 = 0.

Rexavamo zadatke: 252 i 245.Ponovimo jednakost: a = d · q + r, r < d, pa rexavamo zadatke:

260, 257, 259.





29. QAS

Svojstva deǉivosti brojeva Sistematizovaǌe


Ciǉ Isticaǌe najbitnijih pojmova i osobina u vezi sa deǉi-

voxu u skupu N 0.

Tok qasa

Osnovni tekst Ubenik str. 51, 52, 53; Zbirka od 48. do 51.

Ponovimo deǉeǌe sa ostatkom (a = d · q + r) i reximo zadatak 261 iz Zbirke.

Onda nastavǉamo prouqavaǌe deǉivosti bez ostatka.Sledimo tekst iz Ubenika, strane: 51, 52, 53, istiqui oso-

bine kroz primere navedene u ovom tekstu.Rexavamo zadatke 2, 3, 4 i 5 sa 53. strane.Zatim, do kraja qasa rexavamo zadatke iz Zbirke, redom: 266,

267 a), b), 269 a), b), v), g), d), 275.





30. QAS

Pravila deǉivosti sa 10, 5, 2 i 4 Obrada

Rad u nehomogenim grupama Heuristiqka metoda

Ciǉ Na osnovu dosadaxǌih znaǌa i iskustava, uqenici u naj-

veoj meri samostalno otkrivaju pravila za utvrivaǌe deǉivo-

sti sa 10, 5, 2 i 4.


(Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.)Ponovimo definiciju deǉivosti: ”Broj a je deǉiv sa d ako

postoji ceo broj k, takav da je a = k · d.”Primenimo na sluqaj d = 10: Broj je deǉiv sa 10 ako ima oblik

10 · k, a to znaqi, ako mu je cifra jedinica 0 itd. Pratimo tekstsa strana 54. i 55. Koristimo osobinu deǉivosti: Ako p|a i p|b,onda p|(a + b). Do zakǉuqka nastavnik dolazi postavǉajui pitaǌa,a uqenici izvode zakǉuqke. Ukoliko oceni da uqenici texko mogusami doi do zakǉuqka o brojevima koji nisu deǉivi sa 10 (cifra

jedinica nije 0), nastavnik tu preuzima inicijativu.Onda, rexavamo zadatke od 1 do 5 sa 55. strane.Daǉe, prelazimo na deǉivost sa 5 (strana 55.) i rexavamo

zadatke 6 do 10 sa 56. strane.Koristei se navedenom osobinom o deǉivosti zbira, daǉe iz-

vodimo zakǉuqke o deǉivosti najpre sa 2, pa sa 4. Usput rexavamopostavǉene zadatke od 11 do 15.





31. QAS

Pravila deǉivosti sa 9 i 3 Obrada

Rad u nehomogenim grupama Kombinovano: dijaloxka i

heuristiqka metoda

Ciǉ Uz minimalnu pomo nastavnika uqenici dolaze do pravila

deǉivosti sa 9 i 3.


Ponovimo zakǉuqak sa prethodnog qasa da se deǉivost sa 10,2 i 5 odreuje na osnovu samo jedne cifre broja - posledǌe, a de-ǉivost sa 4 na osnovu dvocifrenog zavrxetka.

Razmotrimo onda deǉivost sa 9 (strane 58. i 59.), koristeisa qiǌenicom da svaka dekadna jedinica (10, 100, 1000, ...) prideǉeǌu sa 9 daje ostatak 1. Pri ispitivaǌu cifara na xkolskojtabli treba koristiti kredu u boji (kao u ubeniku) ili podvla-qeǌe cifara.

Potom rexavamo primere 1 i 2. Posebno istiqemo rexavaǌeprimera 2.

Zatim, koristei se qiǌenicom (osobina deǉivosti): ako jebroj deǉiv sa 9, onda je deǉiv i sa 3, izvodimo pravilo deǉivostisa 3.

Rexavamo zadatke 3, 4 i 5 sa 60. strane.





32. QAS

Pravila deǉivosti Uvebavaǌe

Rad u parovima i ne-homogenim grupama

Heuristiqka metoda

Ciǉ Snalaeǌe uqenika u otkrivaǌu deǉivosti prirodnih bro-

jeva korixeǌem nauqenih pravila.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 51. do 56.strane

Ponovimo pravila deǉivosti sa 10, 5, 2, 4, 9 i 3. Za svakopravilo uqenici sastavǉaju dva do tri primera.

Prvi deo qasa, tokom ponavǉaǌa pravila, radi se u parovima.Parove qine uqenici u svakoj klupi.

Zatim, vraajui se na deǉivost sa 10, nastavnik navodi uqe-nike da sami zakǉuqe uslove deǉivosti i drugim, veim dekadnim

jedinicama (100, 1000, ...). Rexavamo zadatke 291, 292, 293.Za nastavak rada uqenici se grupixu tako da svaku grupu qi-

ne uqenici iz dve susedne klupe. Zadatke koje nastavnik postavǉaprvo rexavaju grupe, koje prijavǉuju nastavniku da su rexili za-datak. Onda nastavnik izvodi jednog uqenika na xkolsku tablu, gdeon demonstrira pronaeno rexeǌe.

Rexavaju se zadaci: 301, 303, 304, 307, 317, 318.

Domai zadatak: Zbirka: 302, 305, 308, 309, 311, 333.




33. QAS

Prosti i sloeni brojevi.Rastavǉaǌe na proste qinioce

Obrada


Ciǉ Uoqiti razliku izmeu prostih i sloenih brojeva. Uo-

qiti da je svaki sloen broj proizvod prostih brojeva (prostih

qinilaca) i utvrditi postupak nalaeǌa svih prostih qinilaca.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 60. do 63. strane

Koristei se tabelom delilaca sa 60. strane pokazati kako sebrojevi prve desetice razlikuju po broju delilaca. Zatim se de-finixu prosti brojevi . Odmah, na osnovu definicije zapaa se da

je broj 2 najmaǌi prost broj i jedini paran prost broj. Zatim seuoqi da svi prirodni brojevi vei od 1, koji nisu prosti, moguda se izraze u vidu proizvoda dva broja vea od 1. To su sloeni brojevi .

Istiqemo neobiqnu qiǌenicu: broj 1 nije ni prost ni sloenbroj i jedini je prirodni broj sa takvom osobinom. U skup N 0 imamoi broj 0, koji je deǉiv svakim prirodnim brojem, ali nije sloenbroj (ne moe se izraziti kao proizvod dva broja vea od 1).

Uz eventualnu pomo nastavnika uqenici sami nalaze sve pro-ste brojeve maǌe od 50.

Zatim reximo primere 1 i 5 sa 61. str.Kao xto je opisano na 62. strani ubenika, na primeru broja

60, treba pokazati kako se sloeni broj moe postepeno dovesti naoblik proizvoda samih prostih qinilaca. Ukoliko oceni da ovajprimer nije dovoǉan za izvoeǌe potrebnih zakǉuqaka, nastavnike prikazati jox neki primer, recimo broj 168. Onda rastavimobroj 144 iz primera 1 sa 62. strane.

Zatim, na brojevima 25740, 180 i 504 prikazujemo uobiqajeni

postupak razlagaǌa sloenih brojeva na proste qinioce sistemat-skim pretraivaǌem. Pritom, koristimo nauqena pravila deǉivo-sti sa 2, 3 i 5. Za proste qinioce 7, 11, 13 i vee proveru vrximodirektnim deǉeǌem.

Zatim, kao na primeru broja 853, prikazanog na 63. strani,razmatramo kako se dolazi do zakǉuqka da li je dati broj prost.

Domai zadatak: 1, 2, 3, 4, 5 sa 61. strane i 2, 3, 4, 5 sa 63.

strane ubenika.




34. QAS

Prosti i sloeni brojevi Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrivaǌe osobina prostih i sloenih brojeva, uz pri-

menu pravila deǉivosti i rastavǉaǌe na qinioce.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka: od 57. do 59. str.

Prvi deo qasa radimo frontalno.Ponovimo definicije prostih i sloenih brojeva. Reximo za-

datke 341. i 342.Zatim, uvebavamo nauqene postupke za razlagaǌe sloenih

brojeva na proste qinioce i nalaeǌe svih delilaca datog broja.Nastavǉamo rad u parovima.Radimo u parovima na uobiqajeni naqin: prvo parovi dou do

rexeǌa na mestu, pa onda neki uqenik radi na tabli. Ukoliko senastavnik neposrednim nadgledaǌem parova uveri da su svi shva-

tili problem i doxli do rexeǌa, taj problem se preskaqe, tj. nerexava se na tabli.

Rexavamo zadatke: 350 v), g), z), l), 351 v) d), 353 a), 370, 355a), 361 a).

Zatim, postavimo zadatke: ”Utvrdi da li je prost ili sloenbroj: a) 479, b) 667.”

Nastavǉamo sa zadacima: 354. v), 357. a), 364. a).Ukoliko neki od predloenih zadataka ne doe na red do kraja

qasa, taj se zadaje za domai rad. Dodajemo i sledee zadatke.

Domai zadatak: Radna sveska: Trea kontrolna veba (str.

13. do 16.)




35. QAS

Trea kontrolna veba(Deǉivost. Sloeni brojevi)

Kontrola znaǌa

Grupa A)1. Rastavi na proste qinioce broj 1008, pa odredi sve ǌegove

delioce.2. Odredi sve proste brojeve p, takve da je broj p2 trocifren

i maǌi od 500.3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 17∗4

bude deǉiv sa 4. Nai sva rexeǌa.4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 9240. Odredi

ta tri broja.

Grupa B)1. Rastavi na proste qinioce broj 39204, pa pokai da je on

kvadrat nekog prirodnog broja k. Odredi broj k.2. Napixi sve sloene brojeve vee od 120 i maǌe od 140. Za

svaki od ǌih pokai da je zaista sloen broj.3. Umesto slova a i b stavi odgovarajue cifre, tako da broj

1a46b bude deǉiv sa 2 i sa 9. Nai sva rexeǌa.4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredi

ta tri parna broja.

Grupa V)

1. Rastavǉaǌem na proste qinioce utvrdi da li je broj n =312 · 78 kvadrat nekog prirodnog broja.

2. Odredi sve proste brojeve q , takve da je q 3 trocifren broj.3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 520∗

bude deǉiv sa 2 i sa 3. Nai sva rexeǌa.4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 3360. Odredi

ta tri prirodna broja.




Grupa G)

1. Rastavi na proste qinioce broj 600. Zatim, odredi sve ǌe-gove delioce, koji su takoe sloeni brojevi.

2. Od svih dvocifrenih i trocifrenih brojeva, koji imaju jed-nake sve cifre, odredi one koji su prosti brojevi.

3. Umesto slova x i y stavi odgovarajue cifre, tako da broj2x33y bude deǉiv sa 2 i sa 3, ali ne i sa 4.

4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredita tri parna broja.

Grupa D)1. Rastavi na proste qinioce broj 713. Obrazloi postupak.2. Koristei se ciframa 3, 4 i 5, napixi sve trocifrene bro-

jeve, koji se pixu sa tri razliqite cifre i deǉivi su sa 2. Da li je neki od ǌih deǉiv sa 4?

3. Umesto zvezdice stavi odgovarajuu cifru, tako da broj 6∗25bude deǉiv sa 3, ali ne i sa 9.

4. Proizvod qetiri uzastopna prirodna broja iznosi 24024.Odredi ta qetiri prirodna broja.




36. QAS

Najvei zajedniqki delilac Obrada


Ciǉ Istai pojam i znaqaj najveeg zajedniqkog delioca. Utvr-

diti naqine odreivaǌa. Uvoeǌe pojma uzajamno prostih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 64. od 66. strane

Ponovimo pojmove delilac i sadralac. Uoqiti da su deliocibrojeva 21 brojevi 3 i 7. Delioci broja 12 su 3 i 4. Primeujemoda je broj 3 zajedniqki delilac za 21 i 22.

Nije texko utvrditi da broj 60 ima sledee delioce: 1, 2, 3, 4,5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60. Delioci broja 45 su: 1, 3, 5, 9, 15 i 45.Poredei ova dva skupa delilaca uoqavamo da oni imaju zajedniqke delioce : 1, 3, 5 i 15. Najvei meu ǌima je broj 15.

Razmotrimo delioce brojeva 18 i 30, kao xto je opisano na 64.strani ubenika. Uoqavamo da je broj 6 najvei zajedniqki delilac

za 18 i 30.Definixemo najvei zajedniqki delilac, skraena oznaka je NZD.

Uvodimo oznaku D(a, b), pa u datim primerima je D(60, 45) = 15 iD(18, 30) = 6.

Reximo primer sa komadom papira sa 64. strane.Zatim, pokaemo kako se iz razlagaǌa sloenih brojeva na

proste qinioce odreuje NZD. U ubeniku detaǉno je obraen slu-qaj D(180, 144) = 36, zatim je za tri broja, naveden je primer D(24,60, 96) = 12.

Onda uvedemo odreivaǌe NZD pomou xeme (strana 65). Re-ximo primere 1, 2 i 3.

Uvodimo pojam uzajamno prostih brojeva , kako je opisano na 66.

strani i reximo primer 4.

Domai zadatak: Zbirka: 376 a), b), v), 377 a), b), v), g), 378 a),

b), 379 a), d), 383 a), b), v), 386 a), b), v).




37. QAS

Najmaǌi zajedniqki sadralac Obrada


Ciǉ Uoqavaǌe pojma najmaǌeg zajedniqkog sadraoca i otkri-

vaǌe naqina ǌegovog odreivaǌa.


Obnovimo pojmove: zajedniqki delilac, najvei zajedniqki deli-lac i uzajamno prosti brojevi . Rexavamo iz Zbirke zadatke: 378), 383 ) i d), 387 a).

Obnovimo pojam sadraoca . Zatim na primeru 12 · 30 = 360,sa 66. strane ubenika, animiramo uqenike da odrede po nekoli-ko (recimo po deset) sadralaca brojeva 12 i 30. Onda uoqavajuzajedniqke sadraoce i izdvajaju najmaǌeg od ǌih. Navodimo uqe-nike da definixu najmaǌi zajedniqki sadralac, skraeno: NZS.Uvodimo oznaku, na datom primeru je to: S (12, 30) = 60.

Zatim, uqenici analiziraju i izvode zakǉuqak, kako se na osno-vu razlagaǌa na proste uqinioce moe odrediti NZS za dva ilivixe od dva zadata broja. Do potrebnih zakǉuqaka najpre razma-traju prethodni primer S (12, 30), a onda na sliqan naqin odreujuS (18, 20, 21, 28).

Uz eventualnu pomo nastavnika uqenici dolaze do zakǉuqkada NZS sadri sve proste qinioce brojeva, i to svaki onoliko pu-ta koliko se najvixe nalazi u svakom od brojeva. Na osnovu toganastavnik predlae i izlae odreivaǌe NZS u dva koraka, kako

je pokazano na str. 67 za S (18, 20, 21, 28).Onda, traimo S (8, 25) i eventualno S (15, 14) i zakǉuqimo: ako

je D(a, b) = 1, onda je S (a, b) = a · b.

Reximo primere od 1 do 5 sa 68. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 401, 405 a), b), v), 406 g), 407 b), j).




38. QAS

NZD i NZS Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti znaqeǌe NZD i NZS i ǌihovu primenu.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 60. do 64. strane

Obnovimo pojmove: delilac, zajedniqki delilac, najvei zajed-niqki delilac (NZD) i uzajamno prosti brojevi . Zatim, rexavamozadatke iz Zbirke: 378 ), 379 g), 381, 380, 383 e), 384 ), 387 b),g), 390 a).

Zadaci se rexavaju na naqin uobiqajen za rad u nehomogenimgrupama, koje qine uqenici iz dve susedne klupe.

Zatim, obnovimo pojmove: sadrilac, zajedniqki sadralac inajmaǌi zajedniqki sadrilac (NZS).

Rexavamo zadatak iz zbirke: 402 a), b), 405 d), 406 b), d), 407a), ), k), 410.

Domai zadatak: Zbirka: 384 a), b), v), 385 a), ), 386 g), d), ),

e), 396, 406 v), ), 407 l), 411, 413.



62 Pismeni zadatak

39. QAS

Priprema za pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ U najkraim crtama, kroz rexavaǌe karakteristiqnih za-

dataka, obnoviti bitne teme i probleme.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka zadataka

Posle svake zavrxene nastavne teme (Skupovi, Osnovni geome-trijski objekti) nastavnik analizira efekte nastave i, uzimajuiu obzir i rezultate sa dve uraene kontrolne vebe, planira kojedelove gradiva treba obnoviti pre pismenog zadatka. Takoe, uzi-ma u obzir nivo znaǌa koji su, po ǌegovoj oceni, uqenici postigliiz aktuelne teme (Deǉivost brojeva). Od tih utisaka zavisi izborzadataka za obnavǉaǌe gradiva i pripremu za pismeni zadatak.Ovaj izbor i zadaci predvieni za pismeni zadatak treba da buduusklaeni, jer bi se u protivnom uqenici usmerili ka neodgovara-

juim pripremama.Navodimo jedan uopxten izbor zadataka, koji predstavǉa pre-

sek kroz preeno gradivo. Nexto od toga treba uraditi na ovomqasu, a ostatak kroz domai rad. Svi navedeni zadaci su iz Zbir-ke.

31, 36 (izbor), 44, 47, 80, 86, 99, 115, 148, 167, 168, 191, 192,198, 224, 225, 228, 237, 255, 264, 305, 315, 335, 357, 364, 371, 379,388, 389, 391, 406, 408, 409, 410.

Domai zadatak: Radna sveska: Prvi pismeni zadatak (str. 17.

do 19.)



Pismeni zadatak 63

40. QAS

Prvi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Uqenici dobijaju odxtampane zadatke. Od pet zadataka svakagrupa ima jedan zadatak koji je raen na qasu, jedan koji je dat zadomai zadatak i dva zadatka iz Zbirke.

Grupa A)

1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N 0 i a je jednocifreni broj};B = {b| b ∈ N 0 i b < 3}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove:

A ∩ B, B\A i C AB.2. Odredi skup A ako je A ∪ B ∪ C = {x| x ∈ N 0 i x < 9},B\A = {4, 5}, C \A = {2, 7}, a skupovi B i C su disjunktni.

3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim,konstruixi krunice k1 i k2 sa centrom C ,koje dodiruju krunicu k sa centrom S . Ukakvom su meusobnom poloaju k1 i k2?

4. U broju 38 ∗ 2∗ umesto zvezdica stavi od-govarajue cifre, tako da dobijeni broj bude deǉiv sa 3 i sa 5,ali ne i sa 9. Nai sva rexeǌa.

5. Odredi najvei prirodni broj d, takav da pri deǉeǌu sa dbroj 262 daje ostatak 7, a broj 246 daje ostatak 8.

Grupa B)1. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {b| b ∈ N 0 i b2 < 10}.Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: B\A, A ∩ B i A ∪ B.

2. Odredi skupove: M , P i M ∩ P , ako je M \P = {0, 1}, P \M ={4, 5} i M ∪ P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Preslikaj u svesku datu sliku.(Polupreqnik krunice k je 1,5 cm.) Kon-struixi krunice k1 i k2, obe polupre-qnika 2 cm, koje dodiruju k u taqki A. Ukakvom su meusobnom poloaju k1 i k2?

4. Odredi prirodne brojeve m i n,koji imaju najvei zajedniqki delilac 21, ako je m + n = 84.

5. Nai najmaǌi prirodni broj n kojim treba pomnoiti 1260da bi dobijeni proizvod bio kvadrat prirodnog broja.

Grupa V)

1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i 3 ≤ a ≤ 6} i B = {b| b ∈ N 0 i3b ≤ 10}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: A ∩ B, B\A i A ∪B.

2. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 4, 6}. Preko A i B,koristei skupovne operacije, izrazi skupove: M = {1, 3}, P = {2, 4}i Q = {6}.



64 Pismeni zadatak

3. Preslikaj u svesku datu sliku. Za-tim, konstruixi sve krunice koje pravu tdodiruju u taqki T , a centar im je na datojkrunici.

4. Odredi sve qetvorocifrene brojeveqiji je zbir cifara 5 i koji su deǉivi sa 5.

5. Rastavǉaǌem na proste qinioce odredi broj n, ako je n3 =3375.

Grupa G)

1. Dati su skupovi A = {a| a ∈ N i a ≤ 5} i B = {0, 1, 2, 3}.Odredi skupove: A ∩ B, B\A, A ∪ B.2. Dati su skupovi M = {1, 3, 4}, P = {2, 4, 6} i Q = {4}. Izrazi

preko M , P i Q skupove: A = {1, 3} i B = {1, 2, 3, 6}.3. Preslikaj u svesku dati ugao aOb. Zatim,

konstruixi dve jednake krunice k1 i k2, kojedodiruju krak Oa u taqki A i pritom je centarkrunice k1 na pravoj b. U kakvom su meusob-nom poloaju k1 i k2?

4. Od pravougaonog kartona, ivica 84 cm i 54 cm, treba izrezatikvadratne kartice, tako da sve kartice budu jednake veliqine i danema otpatka od datog kartona. Kolika je najvea mogua ivica

kartice? Koliko takvih kartica dobijamo?5. Da li postoji prirodni broj kome proizvod cifara iznosi924? Obrazloi rexeǌe.

Grupa D)

1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i a < 10}, B = {b| b ∈ N 0 i b je neparan jednocifren broj}. Odredi skupove: A ∩ B, B\A, C AB.

2. Odredi skup Y koji ima tri elementa, ako je Y ∩ {2, 3, 4} ={3, 4} i {1, 2, 3, 4, 5} ∪ Y = S , gde je S = {s| s ∈ N i s < 7}.

3. Preslikaj u svesku datu sliku. Za-tim, konstruixi sve krunice koje kru-nicu k2 dodiruju u taqki T , a centar im

je na datoj krunici k1.

4. Umesto slova x i y stavi odgovarajue cifre, tako da broj 4x28y bude deǉivsa 5 i sa 9. Nai sva rexeǌa.

5. Obim predǌeg toqka traktora je 2 mi 80 cm, a obim zadǌeg je 4 m i 80 cm. Koliko punih obrtajatreba da napravi predǌi toqak, da bi istovremeno i zadǌi toqaknapravio ceo broj obrtaja i pritom traktor prexao najmaǌi ceobroj metara?



Pismeni zadatak 65

41. QAS

Ispravka prvog pismenog zadatka Uvebavaǌe


Ciǉ Ukazivaǌe na sistemske i pojedinaqne grexke uz pouku o

naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasa

Nastavnik saopxtava i analizira opxte rezultate. Ukoliko jebilo masovnih grexaka, ukazuje na ǌih i na potrebu i naqin da seone isprave. Zatim, istiqe jox neke karakteristiqne grexke.

Naravno, treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitiv-ne qiǌenice istaknu i uqenici pohvale, jer pohvala daje pozitiv-nije i blagotvornije efekte nego kritika.

Onda se komentari ilustruju rexavaǌem zadataka na xkolskojtabli. Ako je potrebno ukazati na vixe detaǉa, pojedine zadatkeradi sam nastavnik.

Poeǉno je da se uradi svih pet zadataka, a ako nema vremena

za sve grupe, treba raditi po neki od svake.



66 Ugao

42. QAS

Pojam ugla. Obeleavaǌe uglova Obrada


Ciǉ Uvoeǌe pojma ugla kao ravne figure odreene ugaonom li-

nijom. Razlikovati konveksne i nekonveksne uglove. Uoqiti oblast

ugla, oprueni i pun ugao.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik: od 69. do 73. strane

Najpre definixemo ugaonu liniju , kao na 69. strani ubenika,i uvedemo odgovarajue oznake. Na sl. 1 imamo ugaonu liniju kojuoznaqavamo sa aOb ili bOa. Taqka O je teme , a poluprava Oa i Obsu kraci ugaone linije. Ugaona linija deli ravan na dve disjunktneoblasti (sl.3). Definixemo, zatim, unutraxǌu oblast i ugao, kaouniju ugaone linije i jedne oblasti. Tu izabranu oblast nazivamooblast ugla ili unutraxǌa oblast . Pojmove i ǌihove oznake pre-zentiramo kao na 70. i 71. strani ubenika. Onda reximo primer

1. na 71. strani.Definixemo oprueni ugao, puni ugao i nula ugao. Zatim, de-

finixemo konveksne i nekonveksne uglove (sl. 10 i 11). Uvodimooznake: aOb za konveksni ugao na sl. 10 i pOq za nekonveksniugao na sl. 11.

Reximo primere 2, 3, 4 i 5 sa strane 73.




Ugao 67

43. QAS

Centralni ugao. Kruniluk. Uporeivaǌe uglova.

Obrada


Ciǉ Uoqiti korelaciju izmeu centralnog ugla, odgovarajueg

luka i odgovarajue tetive. Na osnovu toga definisati konstruk-cije ”prenoxeǌa” i uporeivaǌa uglova.


Pojam centralnog ugla zasnivamo na qiǌenici da dve polupra-ve koje sadre dva polupreqnika krunice odreuju ugaonu liniju(sl. 12 na 74. strani). Zatim, kao xto je opisano u ubeniku, defi-nixemo odgovarajui kruni luk i odgovarajuu tetivu . Krunomluku odgovara jedan centralni ugao, a tetivi odgovaraju dva cen-tralna ugla.

Zatim, izvedemo zakǉuqak o jednakim centralnim uglovima (stra-na 75).

Preqnicima odgovaraju oprueni uglovi, pa se moe potvrdi-ti da su svi oprueni uglovi jednaki meu sobom.

Koristei se odgovarajuim tetivama, uvodimo pojam ”preno-xeǌa” uglova (konstrukcijom, tj. leǌirom i xestarom), sl. 16 nastr. 76.

Takoe, prenoxeǌem uglova vrximo uporeivaǌe dva ugla, sl17 i sl. 18 na str. 77. Tako se za dva ugla, na primer, aOb i pSq moe utvrditi jedna od relacija.

aOb = pSq ili aOb > pSq ili aOb < pSq .Reximo jox i zadatke 3, 4 i 5 na 77. strani.




68 Ugao

44. QAS

Prenoxeǌe uglova. Uporeivaǌe Uvebavaǌe


Ciǉ Uvebavaǌe tehnike ”prenoxeǌa” uglova.


Ponovimo pojam centralnog ugla i uslov jednakosti dva cen-tralna ugla.

Zatim, nastavnik izvodi na tablu jednog po jednog uqenika,koji rexavaju zadatak sa formulacijom.

”Dati ugao (nacrtao ga nastavnik na tabli) prenesi na datupolupravu Op (nacrtao je nastavnik na tabli), tako da dobijex pOq , koji je jednak datom uglu.”

Istovremeno uqenici konstruixu na mestu.Onda uqenici formiraju grupe spajaǌem po dve susedne klupe

i naredne zadatke rexavaju na naqin koji smo opisali za rad unehomogenim grupama.Rexavamo zadatke: 432, 433, 436, 437, 438, 439.

Domai zadatak: Zbirka: 440.



Ugao 69

45. QAS

Susedni uglovi. Sabiraǌei oduzimaǌe uglova.

Obrada


Ciǉ Ispravno shvataǌe pojma susednih uglova. Definisati sa-

biraǌe i oduzimaǌe uglova. Uoqiti razlike izmeu zbira i unijedva ugla i razliku izmeu aOb − bOc i skupovne razlike dvaugla, kao ravne figure.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 78. i 79. strana

Definixemo susedne uglove. Uniju dva susedna ugla nazivamozbirom ta dva ugla.

Zatim, definixemo zbir dva ugla α i β koji nisu susedni. Na-stavnik izabere dva konveksna ugla (nacrta ih na xkolskoj tabli)i onda se prenoxeǌem konstruixe ugao α + β .

Sabiraǌe jednog ugla vixe puta zapisuje se krae pomou pro-izvoda. Na primer α + α + α + α + α = 5α.

Zatim, definixemo razliku dva ugla i konstruixemo (na xkol-skoj tabli) razliku θ − ϕ sa sl. 22 na strani 79 (to je Primer 2).

Onda reximo primer 3 (sl. 23).Reximo jox nekoliko sliqnih primera, gde se sabiraju, oduzi-

maju i mnoe dati uglovi (uglovi koje nastavnik nacrta na xkol-skoj tabli).

Domai zadatak: Ubenik: 4, 5 (sa strane 79).



70 Ugao

46. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe uglova Uvebavaǌe


Ciǉ Uvebati tehniku konstruisaǌa zbira i razlike dva ugla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka 71. i 72. strana

Ponovimo pojam susednih uglova , pa rexavamo iz Zbirke zada-tke: 441, 442, 443.

Zatim, ponovimo definicije zbira i razlike dva ugla. Reximozadatak 444.

Onda nastavnik bira razliqite uglove (crta ih na xkolskojtabli) i postavǉa zahteve da se konstruixu uglovi, kao: α − β , 3α,2β + α, 2α − 3β i sl.

Dok parovi rexavaju zadatke, nastavnik obilazi uqenike iodobrava ǌihove konstrukcije ili intervenixe.

Ove konstrukcije vebaju se do kraja qasa.

Domai zadatak: Radna sveska: Qetvrta kontrolna veba (str.

20. do 23.)



Ugao 71

47. QAS

Qetvrta kontrolna veba(Sloeni brojevi i ugao)

Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Odredi najmaǌi zajedniqki sadralac (NZS) i najvei zajedniqki delilac za brojeve: 24, 30 i 36.

2. Odredi najvei broj k, takav da je 630 deǉivo sa k, a broj341 pri deǉeǌu sa k daje ostatak 5.

3. ”Prenesi” u svoju sveskuuglove α i β sa slike, pa kon-struixi ugao 2β + 3α.

4. Nacrtaj oprueni ugao θ.Uporedi ugao θ sa uglom 3α, gde

je α ugao sa slike: 3α θ. (Uprazan kvadrat upixi odgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se”prenoxeǌem uglova”.

Grupa B)

1. Za brojeve 49, 80 i 120 odredi najvei zajedniqki delilac (NZD) i najmaǌi zajedniqki sadralac (NZS).

2. Nai najvei qetvorocifreni broj koji pri deǉeǌu sa 4, 5,

6 i 7 uvek ima ostatak 2.3. ”Prenesi” u svoju sveskuuglove β i γ sa slike, pa kon-struixi ugao 3β − γ .

4. Nacrtaj oprueni ugao jeϕ = pOq . Zatim, ugao ϕ uporedisa 4γ , gde je γ dati ugao sa slike: 4γ ϕ. (U prazan kvadrat upixiodgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”.

Grupa V)

1. Umesto slova a i b stavi odgovarajue cifre, tako da broja256b bude deǉiv sa 30. Nai sva rexeǌa.

2. Nai najvei pri-

rodni broj d takav da brojevi 845 i 275 pri deǉeǌusa d oba imaju ostatak 5.

3. ”Prenesi” u svojusvesku uglove α i ϕ sa slike,pa konstruixi ugao 2ϕ − 4α.

4. Nacrtaj oprueni ugao je θ = aOb, pa ga uporedi sa 3ϕ,gde je ϕ ugao dat na slici: θ 3ϕ. (U prazan kvadrat upixiodgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi ”prenoxeǌe uglova”.



72 Ugao

Grupa G)

1. Umesto slova stavi odgovarajue cifre, tako da broj3x71y bude deǉiv sa 36. Nai sva rexeǌa.

2. Danas, u nedeǉu 25. novembra, sa aerodroma su poletela triaviona. Jedan polee redovno posle tri dana, drugi posle qetirii trei posle xest dana.Kog datuma e sva tri avi-ona prvi put ponovo pole-teti sa ovog aerodroma unedeǉu?

3. ”Prenesi” u svojusvesku uglove ϕ i θ sa sli-ke, pa konstruixi ugao 2ϕ−3θ.

4. Nacrtaj oprueni ugao je α, pa ga uporedi sa 2 · (ϕ + θ), gdesu ϕ i θ uglovi sa slike: α 2 · (ϕ + θ). (U prazan kvadrat upixiodgovarajui znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”.

Grupa D)

1. Odredi najmaǌi zajedniqki sadralac (NZS) i najvei zajedniqki delilac (NZD) za brojeve: 144, 240 i 360.

2. Nai najvei prirodni broj n, ta-

kav da brojevi 173 i 2622 pri deǉeǌu san oba daju ostatak 18.3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove β

i ϕ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ + 3β .4. Uporedi uglove α i θ sa slike:

α θ. (U prazan kvadrat upixi odgo-varajui znak: >, < ili =.) Konstrukci-

jom i obrazloeǌem potkrepi zakǉuqak.



Ugao 73

48. QAS

Uporedni i unakrsni uglovi Obrada


Ciǉ Uporedni uglovi se razmatraju kao susedni qija unija je

oprueni ugao. Koristei se uporednim uglovima definixemo prav

ugao i dokazujemo jednakost unakrsnih uglova.


Ponovimo pojam susedni uglovi .Definixemo par uporednih uglova, kao na 80. strani.Zatim, definixemo prav ugao, kao ugao koji je jednak svom upo-

rednom uglu, pa utvrdimo da su svi pravi uglovi jednaki meu so-bom (jer su jednaki meusobni svi oprueni uglovi).

Daǉe, kao xto je opisano na 80. i 81. strani, razmatramo parnormalnih pravih.

Onda, definixemo unakrsne uglove i utvrdimo da su parovi

unakrsnih uglova jednaki.Na kraju rexavamo zadatke: 2, 3 i 4 na 82. strani.




74 Ugao

49. QAS

Uporedni i unakrsni uglovi Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrivaǌe osobina uporednih i unakrsnih uglova.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka: 73. i 74. strana.

Ponovimo pojmove: uporedni i unakrsni uglovi.Rexavamo zadatke 451 a) i d) i 452.Zatim, rexavamo zadatke: 453, 454 i 455. Svaki od ovih za-

dataka rexavaju grupe na mestu, pa jedan uqenik to rexeǌe demon-strira na xkolskoj tabli.

Daǉe, po istom principu, rexavamo zadatke: 456, 457, 458,459.




Ugao 75

50. QAS

Mereǌe uglova. Uglomer. Vrste uglova. Obrada


Ciǉ Upoznati mere uglova i veze izmeu ǌih. Koristiti uglo-

mer za grubo mereǌe ugla i za konstruisaǌe ugla zadate mere.

Uoqavaǌe oxtrog i tupog ugla.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 82. do 85. strane.

Pre uvoeǌa mere uglova, nastavnik objasni princip mereǌa,kao uporeivaǌe sa konstantnom veliqinom, koja se deklarixe kao jedinica mere (prva dva pasusa u tekstu na strani 82).

Za jedinicu mere uzimamo 360-ti deo punog ugla i nazivamo jeugaoni stepen , u oznaci 1◦. Uqenicima treba objasniti zbog qega jeovako odreena jedinica mere.

Prvo, pun ugao je nepromenǉiva veliqina, jer je ǌegova unu-traxǌa oblast cela ravan. Drugo, broj 360 je pogodan zato xto

ima veliki broj delilaca. Budui da je mera punog ugla 360◦, mno-gi uglovi koje praktiqno koristimo, a delovi su punog ugla, imae za meru cele brojeve . Ovo odmah dolazi do izraaja kad odredimomere opruenog i pravog ugla. Naglasimo da je oxtar ugao maǌiod 90◦. Uqenici sami uoqavaju mere tupih uglova.

Uqenici se, zatim, upoznaju sa uglomerom i rexavajui pri-mere 1 i 2 (strane 83. i 84.) vebaju ǌegovo korixeǌe. Ve pri-likom rexavaǌa primera 1 uqenici e shvatiti da je to grubinstrument. (Mereǌem, na primer, ugla α na sl. 32, neki uqenicie saopxtiti meru od 80◦, a neki e ”nai” maǌe ili vixe od 80◦.)Stoga se uvode maǌe jedinice, minuta i sekunda , za preciznija me-reǌa, pri qemu se koriste posebni ureaji.

Zatim, prelazimo na raqunaǌe sa uglovima qije su mere dateu stepenima, minutama i sekundama. Rexavamo primere 3, 4 i 5(strane 84. i 85.)

Ako ima vremena, rexavamo i zadatak 6, na kraju 85. strane.Preostali deo ostavǉamo za domai rad.

Domai zadatak: 6. zadatak iz Ubenika.



76 Ugao

51. QAS

Mereǌe uglova. Raqunaǌe sa stepenima. Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi qetiri osnovne raqunske operacije sa uglovima

izraenim u jedinicama mere.


Ponovimo: jedinice mere uglova (stepen , minuta , sekunda ) ioznaqavaǌe. Zatim, mere punog, opruenog i pravog ugla.

Zatim, podsetimo se kako koristimo uglomer. Reximo zadatke:464 i 465 a), b), v).

Nastavǉamo raqunaǌem sa uglovima qije su mere izraene ste-penima, minutama i sekundama. Rexavamo redom zadatke: 474 a) i), 468 a), 473 a), b), ), 471 a) 1), b) 2), v) 1).

Domai zadatak: Zbirka: 461, 462, 465 g), d), ), 469a), 479, 480.



Ugao 77

52. QAS

Mereǌe uglova Uvebavaǌe


Ciǉ Usavrxiti tehniku raqunaǌa sa uglovima, izraenim u ob-

liku tzv. vixeimenovanih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 74. do 79. strane.

Qas se realizuje u tri dela.1◦ Upotreba uglomera: rexavamo zadatke: 469 b), v), 4762◦ Veze izmeu stepena, minuta i sekundi: rexavamo zadatke:

471 a) (2) i 3)), b) (1) i 4)), v) (2) i 3)).3◦ Raqunaǌe sa uglovima, qije su mere izraene u obliku vi-

xeimenovanih brojeva: rexavamo zadatke: 468 b), 472 a), 473 v),d), 474 v).

Napomena : Mogue su dijametralno suprotne situacije u raz-redu. Ako su uqenici nedovoǉno shvatili mereǌe i raqunaǌe sa

uglovima, nastavnik e smaǌiti broj rexavanih zadataka (redu-kovae plan). U tom sluqaju preporuqǉivo je da se godixǌi planizmeni i ubaci vanredno qas 53 a) (na raqun rezervnog 69. qa-sa), jer se ne moe dozvoliti loxe ili nedovoǉno znaǌe iz oveoblasti. Odluku o eventualnom uvoeǌu qasa 53 a) doneti posleanalize efekta rada na sledeem qasu.

Ako su uqenici odliqno savladali materiju, nastavnik e lakoi sa zadovoǉstvom dodati jox neki zadatak iz Zbirke.

Domai zadatak: Zbirka: 466, 467, 470, 471 v), 474.



78 Ugao

53. QAS

Raqunaǌe sa uglovima Uvebavaǌe


Ciǉ Raqunaǌe sa uglovima konstruktivno i raqunski.


Nastavnik daje odabrane zadatke i na xkolsku tablu pozivauqenike za koje nije sasvim siguran da su dovoǉno ovladali gra-divom. Pri tome, aktivno uqestvuje u rexavaǌu zadataka i, poma-ui uqeniku koji radi na xkolskoj tabli, koristi da neke vaneqiǌenice prezentira celog odeǉeǌu.

Rexavamo sledee zadatke: 463, 466, 469 g), 470, 473, 475, 479,482, 483.




Ugao 79

54. QAS

Suplementni i komplementni uglovi Obrada


Ciǉ Pojmove komplementnih i suplementnih uglova uvodimo pre-

ko susednih uglova i zbira uglova. Uoqavamo da uporedni uglovi

qine par suplementnih uglova.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 86. i 87. strana.

Ponovimo pojam uporednih uglova . Ako su pOq i pOq upored-ni, onda je, po definiciji zbira uglova: pOq +qOr = pOr = 180◦

mera opruenog ugla. Uopxte, ako su α i β uglovi, takvi da jeα + β = 180◦, onda su α i β suplementni .

Kao xto je opisano na 86. strani ubenika, definixemo suple-mentne i komplementne uglove.

Rexavaǌem primera 1 na strani 87. uoqavamo konstruktivniaspekt pojmova: par komplementnih i par suplementnih uglova.

Zatim, razmatramo komplementne i suplementne uglove u ra-qunskom smislu, rexavaǌem zadataka 2, 3, 4 i 5 sa 87. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 491, 496, 498 a), g), d), 501, 502.



80 Ugao

55. QAS

Suplementni i komplementni uglovi Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti primenu suplementnih i komplementnih uglova.


Ponovimo pojam suplementnih uglova (uqenik navodi primer).Ponovimo pojam komplementnih uglova (uqenik navodi pri-

mer).Rexavamo najpre zadatke u kojima nije primaran raqun: 492,

493, 494, 495.Zatim, rexavamo zadatak 497. Slede zadaci 499 i 500.Onda reximo problemske zadatke 508 i 513.

Domai zadatak: Zbirka: 498 ), e), ), z), i), 504, 506, 507.



Ugao 81

56. QAS

Paralelne prave i transverzala.Uglovi s paralelnim kracima.

Obrada


Ciǉ Razlikovati uglove sa paralelnim kracima koji su jednaki,

od uglova koji su suplementni. Istai istorijski znaqaj uglovakoje odreuje transverzala na paru paralelnih pravih.


Na poqetku qasa nastavnik istakne istorijski znaqaj uglovana paralelnim pravim (strana 87.).

Prema sl. 35 nastavnik dokazuje da su uglovi koje transverzalaodreuje sa paralelnim pravim a i b u parovima jednaki ili su-plementni. Pri tome koristi se oqiglednoxu translacije pravea do poklapaǌa sa b.

Poxto do kraja izloi ovu problematiku (88. strana), razma-tra razne sluqajeve u kojima su dva proizvoǉna ugla sa oba paraparalelnih krakova. Sve to izloeno je na 89. strani i ilustro-vano na sl. 36.

Na kraju rexavamo primere 1 i 2 i zadatak 3.




82 Ugao

57. QAS

Uglovi sa paralelnim kracima Uvebavaǌe


Ciǉ Prepoznavaǌe jednakih i suplementnih uglova sa paralel-

nim kracima.


Na poqetku istaknemo zakǉuqke sa prethodnog qasa o uglovi-ma sa paralelnim kracima. Zatim, reximo zadatke: 518, 519, 523,529.

Zatim, izvedemo bitan zakǉuqak, da za prave a, b i ǌihovutransverzalu t vai i obrnuto tvreǌe.

Ako su jednaki oxtar ugao izmeu transverzale i prave a ioxtar ugao izmeu transverzale i prave b, onda su a i b paralelneprave. Prave a i b su paralelne ako su jednaka i dva odgovarajuatupa ugla, ili je oxtar ugao na jednoj pravoj suplementan tupom

uglu na drugoj pravoj.Takoe, prave a i b su paralelne ako transverzala odreuje

sve prave uglove.Rexavamo zadatke: 522, 524, 525.Zatim, rexavamo problemski zadatak 533.

Domai zadatak: Radna sveska: Peta kontrolna veba (str. 24.

do 27.)



Ugao 83

58. QAS

Peta kontrolna veba (O uglovima) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao α = 32◦.Zatim, konstruixi ugao 5α. Uglomerom proveri preciznost kon-

strukcije.2. Izraqunaj: a) 17◦1315 · 8; b) 113◦5214 − 75◦1825.3. Dat je ugao α = 32◦24. Odredi ugao β koji je komplementan

sa α i ugao γ koji je suplementan sa 2α.4. Prave p i q seku se i odreuju

qetiri ugla maǌa od opruenog ugla.Odredi sva qetiri ugla, ako zbir dvaunakrsna ugla iznosi 123◦.

5. Odredi mere uglova oznaqenihna slici. Prave a i b su paralelne.

Grupa B)

1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao β = 42◦

30

.Zatim, konstruixi ugao 4β . Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 111◦1136 : 6; b) 54◦4518 + 29◦3442.3. Dat je ugao β = 25◦18. Odredi ugao ϕ koji je komplementan

sa β i ugao γ koji je suplementan sa 3β .4. Prave a i b seku se i odreuju

qetiri ugla maǌa od opruenog ugla.Odredi sva qetiri ugla, ako je raz-lika dva susedna ugla 17◦.

5. Prave m i n na slici paralel-ne su meu sobom. Odredi mere ozna-

qenih uglova.Grupa V)

1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao γ = 33◦.Zatim, konstruixi ugao 3γ . Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 5 · 43◦2724; b) 82◦4738 + 57◦5122.3. Dat je ugao γ = 104◦15. Odredi ugao δ koji je suplementan

sa γ i ugao θ koji je komplementan sa γ : 5.



84 Ugao

4. Prave m i n seku se i odreujuqetiri ugla maǌa od opruenog ugla.Odredi sva qetiri ugla ako zbir triugla iznosi 247◦3816.

5. Odredi mere uglova oznaqenihna slici.

Grupa G)

1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao δ = 18◦.Zatim, konstruixi ugao 5 · δ . Uglomerom proveri preciznost kon-

strukcije.2. Izraqunaj: a) 93◦2345 : 5;b) 82◦2118 − 33◦3048.

3. Dat je ugao δ = 63◦40. Odre-di ugao α koji je komplementan sa δ iugao β koji je suplementan sa 2δ .

4. Prave c i d seku se i odreujuqetiri ugla maǌa od opruenog ugla.Odredi sva qetiri ugla, ako je zbirdva unakrsna ugla 201◦.

5. Prave p i q na slici paralelnesu meu sobom. Odredi mere oznaqenih uglova.

Grupa D)1. Koristei se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao ϕ = 32◦30.

Zatim, konstruixi ugao 5 · ϕ. Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 6 · 21◦4825; b) 74◦1955 + 47◦4835.3. Dat je ugao ϕ = 143◦24. Odredi ugao β koji je suplementan

sa ϕ i ugao γ koji je komplementan sa ϕ : 3.4. Prave r i s seku se i odreuju

qetiri ugla maǌa od opruenog. Od-redi ova qetiri ugla ako se dva su-sedna ugla razlikuju za 33◦.

5. Prave k i p na slici paralelne

su. Odredi mere oznaqenih uglova.



Razlomci 85

59. QAS

Pojam razlomka Obrada


Ciǉ Produbiti pojam razlomka. Razlikovati prave, neprave i

prividne razlomke. Istai razvijaǌe pojma razlomka kroz isto-

riju.


Podsetimo se na razlomak kao deo celine, kako je to ranije pre-zentovano uqenicima. (Koristiti sliku sa 91. strane i nacrtati

jox neke sliqne.)Na stranama 91. i 92. u ubeniku opisano je kako se moe ob-

jasniti uqenicima da je razlomak a

b koliqnik broja a i prirodnog

broja b.Ranije, vekovima su razlomci tretirani dosta drugaqije nego

danas. Qak su mnogi quveni stari matematiqari smatrali da raz-lomci nisu brojevi. Tu privilegiju su pripisivali samo celimbrojevima. Mnogi nazivi koji su danas prirodno prihvaeni, ra-nije su imali drugaqiji smisao. (U ubeniku na 93. strani navodise i primer iz narodne pesme.)

Precizno definixemo pojmove: pravi razlomak , nepravi razlo-mak i prividni razlomak . Mnogi matematiqari i danas ne prihva-taju pojam prividni razlomak. Meutim, kasnije emo se uveritida nam taj pojam pomae kod uvoeǌa skupa racionalnih brojeva.

Rexavamo zadatke iz Zbirke: 536, 537, 541, 542, 553.




86 Razlomci

60. QAS

Pojam razlomka Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi pojam razlomka kao koliqnika.


Obnovimo: razlomak kao deo (ili delovi) celine. Znaqeǌe brojioca i imenioca . Reximo zadatak 545. (Nije potrebno preslikava-ǌe na tabli. Parovi koriste Zbirku i javno saopxtavaju rexeǌa.)

Zatim, rexavamo zadatak 539. (Uqenik koji zadatak rexava naxkolskoj tabli, prilikom crtaǌa dui, umesto centimetara uzimadecimetre.)

Uoqavamo primene razlomaka u svakodnevnom ivotu. Rexava-mo zadatak 540.

Obnovimo pojmove: pravi , nepravi i prividni razlomci. Re-

ximo zadatak 544 onako kako je formulisan u Zbirci. Zatim, zapreostale razlomke pitamo: ”Kojoj vrsti oni pripadaju?”Rexavamo zadatke redom: 549, 550, 551, 552, 554.




Razlomci 87

61. QAS

Uporeivaǌe razlomaka Obrada


Ciǉ Uporeivati dva razlomka bez odreivaǌa koliqnika.


Prilikom uporeivaǌa razlomaka dobro je posmatrati modelekoji su bliski uqenicima. Na 94. i 95. strani porede se razlom-ci koji predstavǉaju delove qokolade (koja se lomi na ”kockice”)i delove pice (koja se u picerijama i pekarama najqexe deli naxestine i osmine).

Poredimo najpre razlomke jednakih imenilaca, pa razlomke jednakih brojilaca (strana 94.).

Zakǉuqujemo da je u prvom sluqaju vei razlomak koji imavei brojilac, a u drugom sluqaju vei je razlomak koji ima maǌi

imenilac.Zatim, odreujemo uslov jednakosti dva razlomka. Dolazimodo jednakosti koju dobijamo tzv. unakrsnim mnoeǌem:

ако је ,

a vai i obrnuto.Reximo primer 1 na 96. strani.Onda, uoqimo da se unakrsnim mnoeǌem moe utvrditi koji

je razlomak vei, bez obzira na to da li razlomci imaju jednakeili nejednake brojioce ili imenioce.

Naime, ako je a · d > b · c, onda je >

.Na kraju, rexavamo primere 2, 3 i 4 sa 96. strane.




88 Razlomci

62. QAS

Uporeivaǌe razlomaka Uvebavaǌe


Ciǉ Uporeivaǌe razlomaka na razliqite naqine.


Ponovimo zakǉuqke o uporeivaǌu dva razlomka jednakih brojilaca i dva razlomka jednakih imenilaca.

Reximo zadatke 558, 559 a), b), v) i 560.Ponovimo metodu uporeivaǌa razlomaka unakrsnim mnoe-

ǌem, pa reximo zadatke 565 i 567.Radi praktiqne primene razlomaka, podsetiemo se na veze iz-

meu jedinica mere. Radi toga reximo najpre zadatak 572, pa zadatak 575.




Razlomci 89

63. QAS

Proxirivaǌe i skraivaǌe razlomaka Obrada


Ciǉ Proxirivaǌe i skraivaǌe razlomaka objasniti na osnovu

osobina koliqnika.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 97. do 100. strane.

Na 97. strani, koristei se razlomcima koji predstavǉaju de-love kruga ili delove pravougaonika, uoqavamo da mnoeǌem bro-

jioca i imenioca istim prirodnim brojem (proxirivaǌem) dobijamo jednake razlomke. To se moe koristiti radi uporeivaǌarazlomaka koji nemaju jednake brojioce, ni jednake imenioce. To je

pokazano na primeru poreeǌa razlomaka 23

6 i

11

3 .

Zatim, reximo primere 1, 2, 3 i 4 sa 98. strane.Na sledeoj strani se razmatra postupak skraivaǌa razloma-

ka (brojilac i imenilac se dele istim prirodnim brojem, veimod 1).

Uvodimo pojam neskrativog razlomka. To je razlomak kome subrojilac i imenilac uzajamno prosti brojevi (nemaju zajedniqkogdelioca veeg od 1).

Na kraju, rexavamo primere 5, 6, 7, 8 i 9 sa 100. strane.




90 Razlomci

64. QAS

Proxirivaǌe i skraivaǌe razlomaka Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti zbog qega je nekad korisno skratiti, a nekad pro-

xiriti razlomak.


Ponovimo pojmove: proxiriti razlomak i skratiti razlomak.Rexavamo zadatke: 581, 583, 585Zatim, rexavamo zadatak 589.Ponovimo pojam nesvodǉiv razlomak. Reximo zadatke redom

591. i 590.Rexavamo i zadatak 607.

Domai zadatak: 592, 594, 595, 596, 602, 608.



Pismeni zadatak 91

65. QAS



Ciǉ Napraviti presek kroz oblasti: prosti i sloeni brojevi,

ugao i razlomci.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka zadataka

Postupajui sliqno kao xto je opisano u toku 36. qasa, nastav-nik napravi izbor zadataka iz oblasti koje su planirane za drugipismeni zadatak . Ovaj izbor ne sme biti proizvoǉan, jer moeuputiti uqenike da se za pismeni zadatak spremaju na pogrexnimtemama ili neadekvatnim zadacima. Zbog toga, nastavnik prvo sa-stavi zadatke za drugi pismeni zadatak, a onda odabere iz zbirke10-15 odgovarajuih zadataka, qijim rexavaǌem uqenika podsetina potrebna znaǌa i vextine.

Domai zadatak: Radna sveska: Drugi pismeni zadatak (str.

28. do 30.)



92 Pismeni zadatak

66. QAS

Drugi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Prema slici levo odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prava p je pralelna sa AB . Odredi mere ozna-qenih uglova.

3. Odredi meru ugla α koji je tri puta vei od svog suple-mentnog ugla.

4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak 34 · 30 · 27

24 · 51 · 55.

5. Poreaj od najmaǌeg do najveeg brojeve:

34

, 65

, 920

, 913

, 32

, 1310

.

Grupa B)

1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Prema datim podacima na desnoj slici, odredi mere ozna-qenih uglova.

3. Odredi meru ugla β koji je qetiri puta vei od svog kom-plementnog ugla.

4. Nai pet razlomaka koji su vei od 3

4 i maǌi od

4

5.

5. Poreaj od najveeg do najmaǌeg brojeve:2

5,

3

4,

2

3,

1

2,

3

10,

7

30.



Pismeni zadatak 93

Grupa V)

1. Prema slici dole levo odredi meru ugla x. (Lukovima suoznaqene uglovi datih mera).

2. Na slici gore prave d i AB su paralelne. Izrazi u stepe-nima i minutama oznaqene uglove.

3. Odredi meru ugla ϕ koji je sedam puta vei od svog suple-mentnog ugla.

4. Umesto zvezdice stavi odgovarajui broj, tako da bude ta-

qna jednakost: ∗

117 =

14

39.

5. Poreaj od najveeg do najmaǌeg brojeve: 3

4

, 2

3

, 8

21

, 4

7

, 15

28

, 3

7

.

Grupa G)

1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prave p i q su paralelne. Odredi ugao x.3. Odredi meru ugla θ koji je qetiri puta maǌi od svog kom-

plementnog ugla.

4. Nai pet razlomaka koji su maǌi od 1

6 i vei od

1

7.

5. Poreaj od najmaǌeg do najveeg brojeve:5

12,

3

7,

3

4,

8

15,

9

20,

2

5.



94 Pismeni zadatak

Grupa D)

1. Prema levoj slici odredi u stepenima meru ugla x.

2. Prema podacima na slici desno odredi mere uglova α, β , γ .(Paralelne su prave AC i EF , a takoe BC i DE .)

3. Odredi meru ugla γ koji je qetiri puta maǌi od svog suple-mentnog ugla.

4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak 105 · 12 · 52

15 · 78 · 48 .

5. Poreaj od najveeg do najmaǌeg brojeve: 9

10,

3

5,

1

2,

9

13,

3

4,

2

3.



Pismeni zadatak 95

67. QAS

Ispravka pismenog zadatka Uvebavaǌe


Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne pojedinaqne

grexke uz uputstva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasa

Uobiqajen, standardan naqin analize rezultata.



96 Razlomci

68. QAS

O razlomcima Sistematizovaǌe


Ciǉ Utemeǉiti znaǌe o razlomcima, posebno uporeivaǌe raz-

lomaka.


Uporeivaǌe razlomaka, skraivaǌe i proxirivaǌe razloma-ka treba dobro nauqiti i izvebati, jer e u kasnijem izuqavaǌurazlomaka to biti glavno orue.

Na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (grupu qineuqenici iz dve susedne klupe), rexavamo niz zadataka: 559 g), d),), 573, 576, 578, 588, 601, 603, 617, 610, 615.

Domai zadatak: Zbirka: 597, 598, 604 b), v), 605 b), v), 606, 618.

Qasovi do kraja PRVOG POLUGODIXTA su stavǉeni urezervu. Na koji e naqin biti realizovani odluqie nastavnik,prema proceni trenutne situacije. Ovde upisati samo nastavnu temu i tip qasa .

69. qasNastavna tema:

Tip qasa:

70. qasNastavna tema:

Tip qasa:

(Samo)evaluacija nastavnika za polugodixǌe planiraǌe i re-alizaciju nastave:



Razlomci 97

71. QAS DRUGO POLUGODIXTE

Decimalni razlomci. Decimalni zapis razlomka

Obrada


Ciǉ Koristei se oqiglednoxu decimalnih razlomaka, uvesti

decimalni zapis razlomka kao samo novi naqin zapisivaǌa.


Meu razlomcima posebno mesto imaju oni qiji imenilac pred-stavǉa dekadnu jedinicu, kao:

3

10;

19

100;

3

100;

2807

1000 i sl.

To su tzv. decimalni razlomci . Zbog qeste upotrebe ovakvihrazlomaka doxlo se na ideju da se oni, iz praktiqnih razloga za-pisuju bez razlomaqke crte. Tako se doxlo do decimalnog zapisa decimalnih razlomaka. Cela priqa o tome data je u ubeniku na

101. i 102. strani.Na taj naqin pomenuti decimalni brojevi se zapisuju redom:0,3; 0,19; 0,03; 2,807.

Decimalna zapeta odvaja ceo deo broja (levo od zapete) od de-cimalnog dela. Vidimo da je broj decimalnih mesta (decimala)

jednak broju nula dekadne jedinice u imeniocu decimalnog raz-lomka.

Kad sve ovo razjasnimo, rexavamo primer 1 sa 103. strane.

Zatim, kroz odreivaǌe decimalnog zapisa broja 1

2, dolazimo

do ideje kako jox nekim razlomcima odrediti decimalni zapis:

1

2

= 1 · 5

2 · 5

= 5

10

= 0, 5

Onda reximo primere 2, 3 i 4.

Obrnuto, broj 0,7 je razlomak 7

10, zatim 3, 1 =

31

10. Sliqno je

42, 05 = 4205

100 itd.

Reximo i primer 5.




98 Razlomci

72. QAS

Decimalni zapis razlomka Uvebavaǌe


Ciǉ Formiraǌe decimalnog zapisa samo na osnovu oblika odgo-

varajueg decimalnog razlomka.


Upoznajemo strukturu decimalnog zapisa rexavajui zadatke621 i 622.

Vebamo prepoznavaǌe decimalnog razlomka i ǌegovog deci-malnog zapisa, rexavajui zadatak 623.

Ulogu decimalne zapete utvrujemo rexavajui zadatak 624.Pravilno qitaǌe decimalnog zapisa vebamo rexavajui za-

datak 625.Pogodnim proxirivaǌem neke razlomke lako izraavamo u de-

cimalnom zapisu. Rexavamo zadatak 632.




Razlomci 99

73. QAS

Decimalni zapis proizvoǉnog razlomka Obrada


Ciǉ Izraavaǌe razlomka u obliku decimalnog broja kao re-

zultat deǉeǌa brojioca imeniocem.


Polazei od definicije razlomka kao koliqnika

a

b = a : b,

deǉeǌem brojioca imeniocem dobija se decimalni zapis proizvoǉ-nog razlomka. Do sada samo delili tako da je koliqnik ceo broj idobijali smo ostatak u sluqaju kad deǉenik nije deǉiv deliocem.

Sada delimo i taj ostatak i tako dobijamo decimale. Na 104.strani ubenika ovaj postupak je detaǉno opisan.

Reximo primer 1 na 104. strani.Na strani 105. vidimo da nije uvek mogue podeliti do kraja,

tj. broj decimala moe biti i beskonaqan. Ali tada se jedna ili

vixe cifara ponavǉa, kao xto je pokazano na primerima 1

3 i

3

11.

Cifre koje se ponavǉaju odreuju broj koji nazivamo periodom izapisujemo je sa taqkama iznad cifara:

1

3 = 0, 3333... = 0, 3̇

3

11 = 0, 272777... = 0, 2̇7̇

Nekad i konaqan decimalni zapis ima previxe decimala, kojenam qesto nisu potrebne u tolikom broju. Onda suvixne decimalebrixemo, a preostali deo zaokruimo da bismo umaǌili grexku

koja time nastaje. O zaokruivaǌu priqa se u ubeniku na 105. i106. strani. Uraen je i primer sa zaokruivaǌem broja 6,83257.

Na kraju rexavamo primere 2, 3, 4, 5 i 6.




100 Razlomci

74. QAS

Decimalni zapis proiz-voǉnog razlomka.

Uvebavaǌe


Ciǉ Detaǉnije upoznavaǌe strukture decimalnog zapisa razlo-

maka (decimalnog broja) i primena.


Vebamo izraavaǌe razlomaka oblika a

b u decimalnom zapi-

su. U tom ciǉu paǉivo rexavamo zadatke 640 i 641.Zatim, rexavamo zadatak 642 a), b), v), d).Zaokruivaǌe decimalnog zapisa (decimalnog broja) vebamo

rexavaǌem zadataka 643 i 644. Daǉe, rexavamo i zadatak 647.Na kraju, primenimo decimalne zapise kod izraavaǌa maǌih

jedinica mere u veim jedinicama. U tu svrhu rexavamo zadatke651 i 652.




Razlomci 101

75. QAS

Prevoeǌe decimalnog broja u oblik a

b. Obrada


Ciǉ Dopuniti upoznavaǌe razlomaka: ranije smo nauqili da

razlomak izrazimo u vidu decimalnog broja, a sada emo nauqi-ti i obrnuti postupak.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik, 107. i 108. strana

Razmatrajui naqin izraavaǌa decimalnih razlomaka u ob-liku decimalnog broja (qas 71.), praktiqno smo definisali i obr-nutu vezu. Svaki decimalni broj sa konaqnim brojem decimala jed-

nostavno se izraava u obliku a

b, tako xto mu se izbrixe zapeta

i postavi imenilac – odgovarajua dekadna jedinica. Na primer:

0, 3 =

3

10 ; 1, 27 =

127

100 ; 0, 039 =

39

1000 itd.Dobijeni decimalni razlomak se daǉe eventualno skrati i

daǉe uproxava, kao xto je navedeno u ubeniku na 107. strani7, 5 =

75

10 =

15

2

.

Na kraju ovog razmatraǌa reximo primer 1.Nexto sloeniji je pristup kod periodiqnih decimalnih bro-

jeva. O tome se izlae na kraju 107. strane i daǉe na strani 108.

Izraavaǌe periodiqnih decimalnih brojeva u obliku a

b je

sliqno obiqnim decimalnim brojevima. Razlika je samo xto je ime-nilac oblika 9, 99, 999 itd. Konkretno:

0, 5̇ = 59

; 0, 3̇2̇ = 3299

; 0, 6̇3̇ = 6399

= 711

itd.

Na kraju reximo i primer 2.

Domai zadatak: Zbirka: 656 a), v), e), 657 a), v) e), i primer

3 sa 108. strane ubenika.



102 Razlomci

76. QAS

Prevoeǌe decimalnog broja u oblik a

b. Uvebavaǌe


Ciǉ Proxiriti primenu decimalnih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 104. i 105. strana

Date decimalne brojeve jednostavno prevodimo u oblik a

b, ali

se time ne zavrxava rad: ako je mogue, dobijeni razlomak se skrauje,dok se ne svede na neskrativ oblik.

Rexavamo najpre zadatak 656 (b), g), d), ), ), z), i)).Zatim, prevodimo periodiqne decimalne brojeve: zadatak 657.

b) g), ), z), i).Kako postupiti kada periodiqni razlomak ima ceo deo (ispred

decimalne zapete) vei od 0?

Neka je dat broj 3, 818181... = 3, 8̇1̇. Odvojiemo periodiqni deo:

3, 8̇1̇ = 3 + 0, 8̇1̇ = 3 + 81

99 = 3 +

9

11 =

42

11.

Posebno je zanimǉivo izraavaǌe u obliku a

b decimalnih bro-

jeva koji iskazuju neke mere. Obratimo paǌu na zadatak 658 a).

2,25 godina u obliku 225

100 nije nexto xto nam pojednostavǉuje

zapis, jer maǌa jedinica od godine je 1 mesec = 1

12 godine. Dakle,

0, 25 = 25

100 =

1

4 =

3

12, pa je 2,25 godina = 2

3

12 godina, a to je 2 godine

i 3 meseca.Sliqno u zadatku 659 b). 40, 7◦ izraziemo u obliku

a

b, gde je

b = 60, jer stepen ima 60 minuta. Prema tome 40, 7◦ = 40 7

10 = 40

42

60 =

40◦42.




Razlomci 103

77. QAS

Razlomci na brojevnoj polupravoj Obrada


Ciǉ Povezati cele brojeve, razlomke i decimalne brojeve, da-

jui im zajedniqku osobinu - korespondenciju sa duinom dui.


U odeǉku o skupovima N i N 0, na 24. strani Ubenika, govori-li smo o brojevnoj polupravoj sa poqetnom taqkom O, na kojoj smoodredili taqke A, B, C , D,... tako da je OA = AB = BC = C D = · · ·Zatim su taqkama O, A, B, C , D,... redom prikǉuqeni brojevi 0, 1,2, 3, 4, ...

Sada razmatramo brojevnu pravu na koju smo naslonili leǌir,kao na 109. strani ubenika.

Postavǉa se pitaǌe: Da li na brojevnoj polupravoj ima mestaza razlomke? Pomenuti leǌir sa 109. strane daje potvrdan odgo-

vor.U posledǌem pasusu 109. strane i daǉe na strani 110. i 111.

opisuje se kako se na brojevnoj polupravoj pojavǉuju razlomci u

obliku a

b i u decimalnom zapisu. Budui da se i celi brojevi mo-

gu izraziti u obliku prividnog razlomka (na primer: 1 = 3

3, 2 =

4

2,

3 = 15

5 , ...), moemo smatrati da su svi brojevi na brojevnoj polu-

pravoj razlomci oblika a

b. Dakle, svi brojevi koje smo prikazali

na brojevnoj polupravoj pripadaju skupu razlomaka . Taj skup smonazvali skupom racionalnih brojeva i oznaqavamo ga sa Q. Oqi-

gledno je N ⊂ Q i N 0 ⊂ Q.Tokom izlagaǌa o brojevnoj polupravoj, kako je uqiǌeno na

stranama 109, 110 i 111 u ubeniku, nastavnik paǉivo tumaqiprimere 1, 2, 3 i 4.




104 Razlomci

78. QAS

Brojevna poluprava Uvebavaǌe


Ciǉ Odrediti taqku date koordinate i odrediti koordinatu za-

datke taqke.


Ponovimo konstrukciju i graduiraǌe brojevne poluprave. U-qenicima treba objasniti da ne postoje utvreni standardi za od-reivaǌe jediniqne taqke A, takva da se duina OA smatra jedi-niqnom: OA = 1, a taqki A pripisuje broj 1. U to su se uverilirexavajui domai zadatak, a uverie se i tokom rexavaǌa sle-deih zadataka: 665, 666, 667, 668 i posebno zadatka 669.

Rexavamo jox i zadatke 670 i 675.

Domai zadatak: Radna sveska: Xesta kontrolna veba (str.

31. do 34.)



Razlomci 105

79. QAS

Xesta kontrolna veba (O razlomcima) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 4

15,

7

12,

9

10.

b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 15

8 ,

4

7,

24

11.

2. Uporedi dva data razlomka:a)

15

21 i

10

14 dovoeǌem imenilaca na NZS;

b) 12

17 i

18

25 dovoeǌem brojilaca na NZS;

v) 3

373 i

9

1221 unakrsnim mnoeǌem.

3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,325; b) 0, 1̇8̇.4. Nacrtaj brojevnu polupravu, tako da je jediniqna du OA =

4 cm, pa na ǌoj odredi taqke: A

11

4

, B

15

8

, C (1, 25).

Grupa B)


, 13112

, 924

.


7 ,

4

3,

15

4 .

2. Uporedi dva data razlomka:

a) 24

9 i

36


b) 8

9 i

5


v) 13

24 i

104



6 cm, pa na ǌoj odredi taqke: D

3

2

; E

10

3

; F (2, 3̇).

Grupa V)

1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 15

11,

6

7,

10

9 .

b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 7

24,

5

36,

4

45.




106 Razlomci

a) 15

13 i

20


b) 39

48 i

35


v) 50

75 i

96


3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 7,75; b) 0, 1̇1̇7̇.4. Nacrtaj brojevnu polupravu tako da je jediniqna du OA =

5 cm, pa na ǌoj odredi taqke: K

7

5

, L

9

10

, M (2, 3).

Grupa G)

1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka: 9

7,

4

13,

6

7.

b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka: 17

48,

7

15,

9

20.


a) 56

105 i

24


b) 24

9 i

90


v) 48

400 i

12



8 cm, pa na ǌoj odredi taqke N

5

4

, P

3

8

, Q(1, 75).

Grupa D)


28,

5

6,

21

24.


7,

10

11,

15

13.


a) 15

14 i

24


b) 30

42 i 25


v) 4

111 i

71


3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,625; b) 0, 2̇3̇4̇.4. Nacrtaj brojevnu pravu, tako da je jediniqna du OA = 5 cm,

pa na ǌoj odredi taqke: R

13

10

, S

4

5

, T (2, 6).



Razlomci 107

80. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jednakih imenilaca.

Obrada


Ciǉ Istai qiǌenicu da se razlomci mogu sabrati i oduzeti

samo ako imaju isti imenilac.


Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka vrlo ubedǉivo istiqu ulogui vanost imenilaca razlomaka. Na primerima, kao na 112. straniubenika pokaimo da se neki razlomci mogu prirodno sabirati ioduzimati i kako se to opisuje raqunski. Zatim, kao xto je opi-

sano na 112. i 113. strani, na primeru 3

8 +

1

8, objasnimo logiku

tog sabiraǌa (koristimo privremeno termin ”jabuke”, kao zamenuza ”osmine”) i geometrijsku interpretaciju zbira. Geometrijska

interpretacija je znaqajna za onu populaciju uqenika, kojima jebitno da ”vide” taj zbir.

Tako je pripremǉen teren za ”matematiqko” tumaqeǌe zbira irazlike. Kao xto je opisano na 114. strani ubenika, koristeiosobinu koliqnika (a + b) : c = a : c + b : c, c = 0, i simetriqnost

jednakosti, dobijamo pravilo za zbir: a

c +

b

c =

a + b

c i sliqno za

razliku: a

c −

b

c =

a − b

c .

Reximo primere 1, 2, 3 i 4 i uoqimo osobinu: a

b −

a

b = 0.

Koristei se qiǌenicom da ceo broj moemo izraziti kao raz-lomak sa bilo kojim prirodnim brojem u imeniocu, uvodimo pojammexovitog broja . To je opisano na 115. strani. Treba naglasitizbog qega je praktiqno da neprave razlomke izraavamo u oblikumexovitog broja (posledǌi pasus na 115. strani). Onda uqeniciprihvataju mexoviti broj kao pojam koji nam pomae u raqunu.

Reximo i preostale primere, od 5 do 11, sa 116. i 117. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 676 a), b), v), g), d), ), 678 a), b), v),

681 a), b), v), g).



108 Razlomci

81. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jednakih imenilaca.

Uvebavaǌe


Ciǉ Uvebati sabiraǌe i oduzimaǌe i uvesti mexoviti broj

kao zbir celog broja i pravog razlomka.


Napomena . Ukoliko okolnosti pri realizaciji nastavne temena prethodnom qasu prisile nastavnika da uspori izlagaǌe; mo-e se desiti da ne ostane dovoǉno vremena za paǉivo tumaqeǌemexovitog broja . U tom sluqaju, ne treba forsirati i ubrzavatipredavaǌe. Jednostavno, mexoviti broj moe biti nova tema naovom qasu.

Ponovimo pravila za sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jedna-kih imenilaca, pa rexavamo zadatke iz Zbirke: 676 e), ), z), i),677, 679.

Zatim, ponovimo pojam mexovitog broja i rexavamo zadatke681 d), ), e), ), 682 (delimiqno) i 683 (delimiqno).

Domai zadatak: 680, ostaci zadataka 682 i 683, zatim 684, 685.



Razlomci 109

82. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomakarazliqitih imenilaca

Obrada


Ciǉ Definisati postupak sabiraǌa i oduzimaǌa bilo kojih raz-

lomaka oblika a

b

.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik, od 117. do 119. strane

Postavimo problem sa 117. strane ubenika. Ispostavǉa se da

ne moemo izraqunati 2

3 −

1

2.

Razmotrimo onda sledei problem:U piceriji pice iste veliqine seku na osam ili na xest jed-

nakih delova. Anka je od osam kupila tri dela, a Sima je od xest

delova kupio dva. Dakle, Anka i Sima su zajedno kupili 3

8+

2

6 pice.

Pitamo se: koliki deo pice su oni kupili?

Crte pokazuje da je sabiraǌe mogue, zbir smo nacrtali, vi-dimo ga, ali ne moemo da ga napixemo u obliku

a

b.

Анка Сима Анка+Сима

Opet problem predstavǉaju razliqiti imenioci razlomaka.

Da su jednaki imenioci znali bismo zbir.Nastavǉamo izlagaǌe kao xto je opisano u Ubeniku, poqev od posledǌeg pasusa na 117. strani.

Tako uqenici shvate: prvo, da razlomke treba dovesti na zajed-niqki imenilac; drugo, da je najboǉe ako se dovedu na NZS.

Onda prvo reximo probleme stolara i pice, pa reximo i pri-mere od 1 do 5 sa 119. strane.




110 Razlomci

83. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka Uvebavaǌe


Ciǉ Tehniku sabiraǌa i oduzimaǌa podii na visok nivo. Re-

zultat dovesti na najjednostavniji oblik.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 111. do 113. strane

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka spadaju u fundamentalneoperacije, pa je potrebno dobro ih uvebati. Ne treba zaposta-viti ni jednog uqenika, jer ko ovo ne nauqi imae ”matematiqkemore” do kraja ivota.

Dok uqenici rade na mestu, nastavnik ih obilazi, prati ǌi-hov rad i po potrebi intervenixe. Na xkolsku tablu izvodi oneuqenike kojima je potrebna pomo.

Rexavamo redom zadatke iz Zbirke: 691 g), d), 692 e), ), 693a), g).

Zatim, malo komplikujemo raqun. Rexavamo zadatak 693 e), ).Tu se pojavǉuju i decimalni brojevi, koje treba odmah izrazitiu obliku razlomka, a onda se raquna. Naravno, prvo se raquna uzagradama.

Onda raqunamo sa mexovitim brojevima. Prvo se mexovitibrojevi izraze u obliku nepravog razlomka, pa se posle sabira ioduzima. Rexavamo zadatke 694 g), ), 695 a).

Na kraju, rexavamo tekstualne probleme, zadatke 697, 701,706.




Razlomci 111

84. QAS

Uporeivaǌe decimalnih brojeva Obrada


Ciǉ Utvrditi ulogu decimalne zapete. Istai pojmove vaeih

i nevaeih nula u decimalnom broju.


Uporeivaǌe decimalnih brojeva zahteva od uqenika punu kon-centraciju, jer se u protivnom lako pogrexi. Ako su celi delovidecimalnih brojeva jednaki, onda je vei onaj broj kome je vei de-cimalni deo. Tu onda nastaje problem, zbog specifiqne uloge tzv.nevaeih nula. Zbog toga prvi deo izlagaǌa posveujemo ovimnevaeim ciframa. U Ubeniku to je tekst na 119. i deo 118.strane.

Uporeivaǌe decimalnih brojeva poqiǌemo provokativnim pi-taǌem iz primera 4. Pitaǌe postavimo celom odeǉeǌu i dobiemo

i taqne i netaqne odgovore.Naqin uporeivaǌa decimalnih brojeva uporeivaǌem jedne

po jedne decimale od zapete pa nadesno, opisan je na 120. strani.Da se ipak ne dese brzoplete grexke tipa: ”12, 726 > 12, 81, zato

xto je 726 > 81”, poeǉno je da nastavnik objasni jox jedan naqinuporeivaǌa.

Postupak je sledei : Ako decimalni brojevi nemaju isti brojdecimala, onda se onom koji ima maǌe decimala, dopixe potre-ban broj nula. Dobijene brojeve posmatramo kao da su celi i lakoodredimo koji je vei.

Na primer, uporedimo brojeve 103,5 i 103,286. Dopixemo pr-vom broju dve nule da bi ”imao” tri decimale: 103,500. Sada vi-

dimo da je 103500 > 103286, pa je 103, 5 > 103, 286.Na kraju rexavamo primere od 5 do 10 sa 121. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 717, 719, 726, 734 a).



112 Razlomci

85. QAS

Uporeivaǌe decimalnih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Produbiti upoznavaǌe strukture decimalnog broja.


Preporuqǉivo je da qas poqne sa nekoliko provokativnih pi-taǌa, sliqno primeru 4 sa 120. strane ubenika.

Zatim, rexavamo zadatke koji se bave nevaeim nulama. Tosu zadaci: 718 i 720.

Prelazimo na zadatke problemskog tipa: 725, 727 a), b).Na kraju, primenimo steqeno znaǌe na brojeve koji izraavaju

mere. Rexavamo zadatke 732 b), 733 a).Zadatak 735 rexavamo ako imamo vremena, a ako smo ve po-

troxili qas, dajemo ga za domai rad.

Domai zadatak: 727, 728, 729, 732, 733.



Razlomci 113

86. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva Obrada


Ciǉ Koristiti analogiju sa raqunaǌem u skupu celih brojeva.

Insistirati na potpisivaǌu brojeva.


Uradimo nekoliko primera sabiraǌa i oduzimaǌa vixecifre-nih celih brojeva, kao xto je navedeno na 122. strani ubenika.

Zatim se pree na sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva.Insistirati na obavezno potpisivaǌe sabiraka, kao xto je napi-sano i u ubeniku.

Da bi se uqenici bre i lakxe snalazili u potpisivaǌu, do-bro je da u poqetku obavezno koriste svesku sa kvadratiima. (Vi-deti kako je to preporuqeno u zadatku 736 iz Zbirke).

Najboǉe je da uqenici olovkom u boji povuku jednu vertikalnu

liniju du celog lista i da ta linija u svim buduim sabiraǌimai oduzimaǌima oznaqava mesto decimalne zapete.

Rexavamo najpre primere date pri kraju 122. strane, pa pre-lazimo na zadatke od 1 do 7 na 123. strani.

Ukoliko neki od ovih zadataka ne uradimo tokom qasa, dajemoga uqenicima za domai zadatak.




114 Razlomci

87. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva. Uvebavaǌe


Ciǉ Insistirati na pravilnom potpisivaǌu. Rezultat dovesti

na najjednostavniji oblik.


Nastavnik insistira na strogo pravilnom potpisivaǌu. U re-zultatu, ako se ukae prilika, brixu se suvixne nule.

Rexavamo zadatke: 737 a), 738, 739, 741, 749, 752.

Domai zadatak: Radna sveska: Sedma kontrolna veba (str.

35. do 38.)



Razlomci 115

88. QAS

Sedma kontrolna veba.(Razlomci i decimalni brojevi)

Kontrola znaǌa

Grupa A)

Izraqunaj:

1. a) 7

12 +

1

2 −

3

4; b) 11, 59 − 7, 462 − 0, 8.

2. 2

1

12 − 1

1

2 + 1, 75.3. Umesto taqkica upixi odgovarajue decimalne brojeve (qe-

tiri broja), tako da vae nejednakosti1 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 0, 9.

4. Vozaq je tokom prepodneva prexao petinu planiranog puta,

a popodne je prevezao jox 3

8 puta. Tako je prexao za 12 kilometara

vixe od pola puta. Koliko mu je kilometara ostalo do ciǉa?

Grupa B)

Izraqunaj:

1. a) 2

5 +

7

15 −

7

10. b) 0, 0372 + 12, 73 − 3, 4952.

2. 124

+ 3, 375 −

4 512

− 2 56

.

3. U prazne pravougaonike upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da su taqne nejednakosti

0, 1 < < < < < 0, 2.

4. Jedna stranica trougla ima duinu 33

4 cm, a druga je za

0,2 dm kraa od prve. Obim trougla (zbir duina sve tri strani-ce) je 1 dm. Koliko u decimetrima iznosi duina tree stranice?

Grupa V)

Izraqunaj:

1. a) 1112

− 54

+ 32

+ 13

. b) 22, 937 + 11, 43 − 23, 037.

2. 2, 5 + 1 7

12 − 3

5

6.

3. Iznad svake crte napixi odgovarajui decimalni broj (petbrojeva), tako da su taqne nejednakosti

0, 9 > > > > > > 0, 85.

4. Od eparca Duca plati qetvrtinu za taksi, za uinu platitreinu i za sok xestinu. Koliko mu je ostalo za ostale potrebe?



116 Razlomci

Grupa G)

Izraqunaj:

1. a) 4

5 −

3

10 +

1

4. b) 18, 025 − 0, 877 + 3, 552.

2. 31

2 + 0, 4 − 2

7

10.

3. Umesto taqkica upixi odgovarajue decimalne brojeve (petbrojeva), tako da vae sledee nejednakosti

1, 5 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 1.

4. Suzana je kupila tri kǌige. Za prvu je potroxila treinunovca koji je imala. Za drugu kǌigu dala je polovinu, a za treuxestinu novca. Koliko je novca ostalo Suzani?

Grupa D)

Izraqunaj:

1. a) 3

4 −

2

3 +

7

6. b) 7, 234 + 90, 306 − 88, 0562.

2. 4, 2 + 15

6 − 4

1

3.

3. U prazne pravougaonike upixi odgovarajue decimalne brojeve (qetiri broja), tako da su ispravne sledee nejednakosti

2, 42 < < < < < 2, 43

4. U loncu zapremine 5 litara ima 1 7

12 litara vode i 1

1

4 litara

sirupa. Koliko vode treba doliti da lonac bude do vrha pun?



Razlomci 117

89. QAS

Svojstva sabiraǌa. Brojevni izrazi. Obrada

Frontalni rad Heuristiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Svojstva sabiraǌa koristiti radi jednostavnijeg izraqu-

navaǌa vrednosti izraza.


Kao xto je opisano na 124. i 125. strani, na konkretnim prime-rima pokaemo da vae zakoni komutativnosti i asocijativnostisabiraǌa. U posledǌem pasusu na 124. strani naveden je primerkako se ponekad raqun moe uprostiti korixeǌem ovih zakona.

Takoe vae osobine: a

b + 0 =

a

b − 0 =

a

b i

a

b −

a

b = 0.

Zatim, definixemo brojevni izraz u kome figurixu samo ope-racije sabiraǌa i oduzimaǌa. Naglasimo, ako u izrazu ima zagra-da, onda se prvo raquna ono xto je u zagradi.

U izrazu mogu biti istovremeno razlomci oblika a

b , celi, me-xoviti i decimalni brojevi. Tada je potrebno prvo razlomke iz-raziti kao decimalne brojeve ili decimalne brojeve izraziti uobliku razlomaka. Za koju varijantu emo se odluqiti zavisi od datih brojeva. Mexoviti brojevi se takoe izraze u obliku nepra-vog razlomka ili u obliku decimalnog broja.

Rexavamo primere 1, 2 i 3 sa 125. strane.




118 Razlomci

90. QAS

Brojevni izrazi Uvebavaǌe


Ciǉ Obratiti paǌu na pravilno korixeǌe zagrada. Rad sa

promenǉivom veliqinom.


Sreivaǌem brojevnih izraza poboǉxava se raqunska tehnika.Zbog toga prvo sreujemo nekoliko izraza bez promenǉivih veli-qina. Rexavamo zadatke: 765 i 766 u kojima se do reltata dolaziako se primene zakoni komutativnosti i asocijativnosti.

Zatim, rexavamo vrednosti brojevnih izraza sa promenǉivimveliqinama. Rexavamo zadatke: 775 a), v), g), 777 a), b), v), g).

Na kraju rexavamo zadatak sa periodiqnim decimalnim broje-vima: 779 a), b).

Domai zadatak: Zbirka: 767 a), g), ), 772 a), v), 775 b), d).



Razlomci 119

91. QAS

Brojevni izrazi Uvebavaǌe


Ciǉ Sreivaǌe izraza u kojima su razlomci oblika a

b i deci-

malni brojevi. Rexavaǌe tekstualnih zadataka.


Nastavǉamo sa usavrxavaǌem tehnike sabiraǌa i oduzimaǌarazlomaka i decimalnih brojeva. Rexavamo redom zadatke: 767 b),d), 772 b), g).

Zatim, sreujemo izraze sa promenǉivim veliqinama. Rexava-mo zadatke: 775 ), e), 777 d), ), 776 a).

Na kraju, rexavamo tekstualne zadatke: 768, 769, 771, i za-datak 780 b), sa periodiqnim decimalnim brojevima.

Domai zadatak: Zbirka: 770, 773, 776 b), 778.



120 Razlomci

92. QAS

Jednaqine oblika x ± a = b i a − x = b Obrada


Ciǉ Rexavaǌe jednaqina na osnovu osobina zbira ili razlike.

Insistirati na proveri dobijenog rexeǌa.


Podsetimo se na pojmove: jednaqina , rexeǌe jednaqine, provera rexeǌa.

Najpre rexavamo jednaqinu u kojoj je nepoznat jedan sabirak(jednaqinu tipa x + a = b). Reximo primer 1 sa 126. strane. Do-bijeno rexeǌe odmah proveravamo. Uqenici moraju da shvate da jeprovera neophodna, jer moe da nam ukae na moguu grexku tokomrexavaǌa.

Reximo i primer 2 sa 127. strane.U sluqaju b) pokazuje se da ne moemo rexiti postavǉenu jed-

naqinu, jer ne znamo ni jedan broj koji zadovoǉava uslov x = 133

−

17

3 . Izvlaqimo pouku:

Jednaqina x + a = b ima rexeǌa ako je a ≤ b.Zatim, rexavamo jednaqinu tipa x−a = b, koja uvek ima rexeǌe

(reximo primer 3).Na kraju, jednaqina tipa a − x = b ima rexeǌe pod uslovom da

je a ≥ b. Rexeǌe je x = a − b. Reximo primer 4 i, naravno, obaveznoproverimo rexeǌe.

Reximo jox i zadatke 4 i 5 sa 128. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 781 a), b), v), e), ), z), 782 a), b), v).



Razlomci 121

93. QAS

Jednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Poboǉxaǌe tehnike rexavaǌa jednaqina. Rexavaǌe tekstu-

alnih zadataka.


Vebamo jednaqine tipova x + a = b (odnosno a + x = b), x − a = bi a − x = b. Rexavamo zadatke: 781 g), d), ), i), j), 782 g), d), 783a), b), v), 784 a), b).

Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 787, 788.Budui da se zadaci rexavaju ”pod budnim okom” nastavnika i

celog odeǉeǌa, moemo preskoqiti redovnu proveru rexeǌa. Na-stavnik to obrazlae, a uqenike upozorava da samostalna rexeǌa(za domai zadatak) i daǉe obavezno proveravaju .

Domai zadatak: Zbirka: 784 v), g), 785, 786 a), b), v), 790.



122 Razlomci

94. QAS

Nejednaqine oblika x±a ≷ b i a−x ≶ b Obrada


Ciǉ Koristiti iskustva steqena rexavaǌem jednaqina.


Ponovimo pojmove: nejednaqina i rexeǌe nejednaqine.Rexavaǌe nejednaqina zahteva veu paǌu nego rexavaǌe jed-

naqina. Nejednaqina obiqno ima beskonaqno mnogo rexeǌa, koja nabrojevnoj pravoj odreuju du (interval). Inaqe, tehnika rexava-ǌa se ne razlikuje od rexavaǌa jednaqina.

Preporuquje se obavezno grafiqka interpretacija rexeǌa nabrojevnoj polupravoj.

Reximo primer 1 sa 129. strane, kao xto je prikazano u ube-niku, sa grafiqkom interpretacijom.

Napomena (nastavniku). Nije potrebno naglaxavati da je re-xeǌe 0 ≤ x <

5

2, jer u ovom momentu uqenici jox ne znaju za brojeve

maǌe od nule. Dakle, konstatujemo bez ograniqeǌa, x < 5

2.

Sliqno reximo i primer 2 (130. strana).Sa posebnom paǌom rexavamo primer 3 uz naglaxeno ogra-

niqeǌe x ≥ 1, 25, jer ne bi bila jasna razlika x − 1, 25 za x < 1, 25.Reximo primer 4 na 131. strani, u kojem je nepoznat prirod-

ni broj. Zbog toga, rexeǌe x < 4, 45 oznaqava da je skup rexeǌa{1, 2, 3, 4}.

Konaqno, rexavamo nejednaqinu tipa a − x ≷ b, koja u startuima ograniqeǌe x ≤ a. Reximo primer 5.

Do kraja qasa rexavamo zadatak 6, na kraju 132. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 791 a), b), v), 792 v) g), 794 a), g), 795

g), 796 a).



Razlomci 123

95. QAS

Nejednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Shvatiti prirodu rexeǌa crtaǌem intervala na brojevnoj

polupravoj. Voditi raquna o oblasti definisanosti nejednaqine.


Rexavamo nejednaqine obraenih tipova, uz obaveznu grafiqkuinterpretaciju. Uqenici se upozoravaju na oprez pri rexavaǌu ne-

jednaqina tipova: x − a < b i a − x < b.Rexavamo zadatke: 791 g), d), ), 793, 795 a), b), 794 b), v),

796 b).Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 799 i 800.

Domai zadatak: 792 a), b), 796 v), g), 797 a), b), v), 798 a), b),

v).



124 Razlomci

96. QAS

Mnoeǌe razlomaka oblika a

b Obrada


Ciǉ Uvesti pravilo za mnoeǌe razlomaka, uz ilustrovaǌe o-

qiglednim, praktiqnim primerima.


Izraqunavaǌa povrxina pravougaonika (”duina” puta ”xi-rina”), kao xto je opisano u primerima 1 i 2 na 133. strani,navode nas na formulisaǌe pravila za mnoeǌe razlomaka.

Iz primera 3 na 134. strani izvlaqimo zakǉuqak o mnoeǌurazlomka celim brojem. Tako formulixemo pravilo:

a

b ·

c

d =

a · c

b · d; k ·

a

b =

k · a

b

Pri rexavaǌu primera 4 upozoravamo uqenike da je boǉe prvoskratiti, pa mnoiti , nego prvo mnoiti, pa skratiti .

Ako u mnoeǌu uqestvuje mexoviti broj, treba ga prvo zame-niti odgovarajuim nepravim razlomkom, pa onda mnoiti.

Reximo zadatke 5, 6, 7 i 8 sa 135. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 801 d), ), 802 v), d), 803 g), d)



Razlomci 125

97. QAS

Mnoeǌe razlomaka Uvebavaǌe


Ciǉ Radi jednostavnijeg raqunaǌa poxtovati redosled: prvo

skraivaǌe, pa mnoeǌe.


Ponovimo pravila za mnoeǌe razlomaka:

a

b ·

c

d =

a · c

b · d, k ·

a

b =

k · a

b ,

a

b · k =

a · k

b

Nastavnik insistira na principu: prvo skrati, pa mnoi .Rexavamo zadatke: 801, a), b) v), g), 802, a), b), g), 803 a), b),

v), ), 805, 806.




126 Razlomci

98. QAS

Svojstva mnoeǌa razlomaka Obrada


Ciǉ Primena osobina mnoeǌa kod izraqunavaǌa vrednosti bro-

jevnih izraza.


Kao xto je opisano na 136. strani, primerima ilustrujemo ko-mutativnost mnoeǌa.

Zatim, koristei se pravilom za mnoeǌe razlomka celim brojem, pokaemo da vae osobine:

a

b · 1 = 1 ·

a

b =

a

b i

a

b · 0 = 0 ·

a

b = 0

Onda, primerom pokaemo osobinu asocijativnosti mnoeǌa:

a

b ·

c

d

·

e

f =

a

b · c

d ·

e

f

Na osnovu toga izvodimo zakǉuqak da se pri mnoeǌu vixe

brojeva ne moraju stavǉati zagrade. Na primer, pixemo: 2

3·

7

9·5 ·1

1

5.

Zatim reximo primere 1 i 2 sa 137. strane.Na kraju, istaknemo osobinu distributivnosti mnoeǌa u od-

nosu na zbir i razliku.Reximo primer 3, radi ilustrovaǌa posledǌe osobine.Ukoliko ima vremena za jox neki zadatak, rexiemo iz Zbirke

zadatak 820 a), b), v).




Razlomci 127

99. QAS

Razlomci i decimalni brojevi Sistematizovaǌe


Ciǉ Zaokruiti do sada obraene osobine racionalnih brojeva.


Rexavaǌem zadataka iz Zbirke, ukratko emo se podsetiti na

sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka oblika a

b i u obliku decimalnih

brojeva. Takoe emo se podsetiti na uporeivaǌe racionalnihbrojeva i rexavaemo jednaqine i nejednaqine upoznatih oblika.

Precizan sadraj ovog qasa nastavnik odreuje na osnovu uti-ska koji je stekao pratei dosadaxǌi rad uqenika. Ti utisci mogubiti razliqiti u raznim odeǉeǌima.

Zadaci za sistematizovaǌe ovog gradiva mogu se izabrati iz-meu sledeih, 698, 704, 705, 707, 712, 714, 715, 727, 730, 734, 750,

753, 760, 774, 783 g), d), ), 786 g), d), ), 787, 788, 796, 797, 807,809, 810.

Domai zadatak: Radna sveska: Osma kontrolna veba (str. 39.

do 42.)



128 Razlomci

100. QAS

Osma kontrolna veba.(Izrazi, jednaqine, nejednaqine)

Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Rexi jednaqine: a) 2 13 − x = 1 56 ; b) 5 16 = x + 3 512 .

2. Rexi nejednaqinu 21

2 ≥ 4, 25 − x, pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.

3. Ako je m = 21

2, n = 1

1

3, p = 2

1

6, q = 1

1

4, izraqunaj

m + p − n − q − 0, 75.

4. Izraqunaj: 7, 5 · 51

3 · 1

1

5 · 0, 125 · 1

1

6.

Grupa B)

1. Rexi jednaqine: a) 5, 6 − x = 2 12

; b) x − 2 518

= 2 13

.

2. Rexi nejednaqinu x + 3, 15 < 51

4, pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.3. Ako je k = 23, 037, m = 9, 43 i n = 22, 937 izraqunajm + n − k − 4, 13.

4. Izraqunaj: 61

4 ·

1

30 · 2, 4 · 3 · 4

2

3.

Grupa V)

1. Rexi jednaqine: a) 5 38

− x = 2, 25; b) 18, 24 − 7, 03 = x + 6, 3.

2. Rexi nejednaqinu 4, 375 − x ≥ 11

8, pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.

3. Ako je a = 1 7

12 + 2, 25 − 1

5

6, b = 2

1

2 − 1

1

6, c = 1

3

8, d = 2, 5 − 1

1

3izraqunaj a − b − c + d.

4. Izraqunaj: 7

22 · 8 · 1

19

21 · 2, 75.



Razlomci 129

Grupa G)

1. Rexi jednaqine: a) 21

4 − x = 0, 35; b) x − 2

5

18 = 2

1

3.

2. Rexi nejednaqinu: 21

4 − x > 0, 625 pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.3. Ako je x = 32, 03 − 9, 75, y = 2, 043 − 14, 557, z = 73, 42 − 64, 02

izraqunaj x − y + z.

4. Izraqunaj: 51

4 · 2, 4 ·

5

7 · 1

7

9 · 0, 25.

Grupa D)

1. Rexi jednaqine: a) x + 31

4 = 4, 5; b) 2, 05 − x = 2, 31 − 1, 81.

2. Rexi nejednaqinu x − 23

4 ≤ 5, 5 pa rexeǌe predstavi na bro-

jevnoj polupravoj.

3. Ako je m = 0, 6 + 3

5; n = 1

1

2 − 0, 125; p = 1, 4 −

9

10, q = 2, 25 −

3

2,

izraqunaj m + q − (n + p).

4. Izraqunaj: 51

3 · 7, 5 · 1

1

6 · 0, 125 · 1

1

5.



130 Razlomci

101. QAS

Deǉeǌe razlomaka oblika a

b Obrada


Ciǉ Definisati deǉeǌe razlomkom kao mnoeǌe reciproqnom

vrednoxu tog razlomka.


Polazei od primera proizvoda 3

4 · 1

1

3, kao xto je opisano na

138. strani ubenika, uvodimo pojam reciproqne vrednosti broja,razliqitog od nule. Zatim, reximo primer 1 na dnu 138. strane.

Podsetimo se da koliqnik definixemo preko proizvoda, pa

prema toj definiciji izraqunamo koliqnik 9

4 :

15

8 . Postupamo kao u

tekstu na 139. strani ubenika. Zatim primenimo isti postupak na

koliqnik a

b : c

d, za c = 0. Dobijamo pravilo za mnoeǌe razlomaka.

za c = 0 je a

b :

c

d =

a

b ·

d

c,

gde je d

c reciproqna vrednost delioca

c

d.

Izraqunajmo, potom, koliqnik 17

8 : 6

1

4.

Zatim, delimo razlomak celim brojem. Moemo primeniti na-vedeno pravilo, jer je reciproqna vrednost prirodnog broja n raz-

lomak 1

n. Pokaemo to na primeru

8

5 : 6, prikazanom u ubeniku.

U sluqaju da je brojilac razlomka deǉiv prirodnim brojem,onda se skraivaǌem brojilac ustvari deli prirodnim brojem. On-da moemo deliti direktno kao u primeru:

24

7 : 6 =

24 : 6

7 =

4

7.

Reximo primere 2, 3, 4 i 5 sa 140. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 821, 822 a), b), v), 823 a), b), v), 824.



Razlomci 131

102. QAS

Deǉeǌe razlomaka Uvebavaǌe


Ciǉ Deǉeǌe u raznim kombinacijama izmeu razlomaka i celih

brojeva.


Obnavǉamo pojmove i pravila nauqena prethodnog qasa.1◦ Reciproqna vrednost (uqenici odreuju reciproqne vredno-

sti brojeva: 4

9, 1

3

8, 1, 2

1

2, 0 i 2,75).

2◦ Pravilo za deǉeǌe razlomaka (rexavamo zadatke: 824 ), e),) i 825).

3◦ Deǉeǌe razlomka celim brojem (rexavamo zadatke: 822 g), d),) i 823 g), d), )).

Na kraju, rexavamo zadatke 828 i 830.

Domai zadatak: Zbirka: 822 e), ), z), i), 823 e), ), z), i), 826,

827, 829.



132 Razlomci

103. QAS

Izrazi. Dvojni razlomci Obrada

Frontalni rad Heuretiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Sreivaǌe izraza u kojim figurixu sve qetiri osnovne

raqunske operacije. Definisati dvojni razlomak kao koliqnik dva

razlomka.


Na poqetku definixemo brojevni izraz i definiciju ilustrujemo sa vixe primera. Uqenici takoe zadaju primere brojevnihizraza, kao na poqetku 141. strane ubenika.

Pri sreivaǌu izraza bitno je poxtovati redosled operacija: ako nema zagrada, prednost imaju operacije mnoeǌa i deǉeǌa(”starije” su od sabiraǌa i oduzimaǌa); ako ima zagrada, onda seprvo raquna u zagradi, a ako postoji zagrada u zagradi, prednostima unutraxǌa.

Vrednost izraza je broj, najqexe razlomak, koji se dobija po-sle izvrxenih operacija.

Izraqunavamo vrednosti izraza navedenih na 141. strani, arexavamo i primere koje su zadali uqenici.

Zatim, definixemo izraz koji predstavǉa koliqnik dva raz-lomka , koji nazivamo dvojnim razlomkom (strana 142.). U ubenikusu data dva pravila za izraqunavaǌe vrednosti dvojnog razlomka(svoeǌe na obiqan razlomak), opisano je na 142. strani. Tu su na-vedena tri dvojna razlomka (primer 5), koje rexavamo na sledeojstrani. Zatim, izraqunamo vrednost izraza u primeru 6, ili ihdamo za domai rad.

Domai zadatak: Zbirka: 831 a), b), v), 832 a), b), v), 833 a), b),834 a), b).



Razlomci 133

104. QAS

Izrazi. Dvojni razlomci Uvebavaǌe


Ciǉ Usavrxiti tehniku sreivaǌa izraza sa razlomcima.


Obnovimo pojmove brojevni izraz i dvojni razlomak i dve vari- jante sreivaǌa dvojih razlomaka.

Rexavamo redom zadatke: 831 g), d), 832 g), ), 833 e), 834 d),835 a), b), d).

Zatim, rexavamo zadatak 836 a), b) i 837 a).Na kraju reximo i zadatak 837 v), koji svodimo na koliqnik:

21

2 −

1

6

:

2

1

2 +

5

6

.

Domai zadatak: Zbirka 831 b), v), ), 832 d), e), 833 v), 836 d),e), ).



134 Razlomci

105. QAS


Rad u homogenim grupama Dijalog

Ciǉ Kratak pregled o razlomcima.


Nastavnik postupa kao xto je opisano u ”Pripremi za (prvi)pismeni zadatak” (tok 36. qasa). O izboru zadataka za vebaǌeodluquje se kad se pripreme zadaci za trei pismeni zadatak . Tomogu biti i zadaci koji su rexavani na nekom od prethodnih qaso-va (ako su nam mnogo vani), kao i oni koji su zadavani za domairad. Ponoviti i potrebne pojmove, kao decimalni razlomak i ǌegovzapis u obliku decimalnog broja.

Obnavǉaǌe pojmova, ilustrovano jednostavnim primerima, ra-dimo u prvoj polovini qasa.

Za drugi deo qasa, nastavnik podeli odeǉeǌe na homogene gru-pe od 4-6 uqenika, u tri nivoa znaǌa. Svaka grupa radi zadatke(4-5 zadataka) izabrane u tri nivoa. Prva grupa (elementarni ni-vo) rexava zadatke oznaqene u Zbirci sa . Druga grupa (sredǌinivo) rexava dva zadatka oznaqena sa i 2-3 zadatka oznaqenasa . Trea grupa (vixi nivo) radi jedan zadatak oznaqena sa ,dva zadatka oznaqena sa i dva zadatka oznaqena sa . Konkret-ne zadatke, prema proceni nivoa znaǌa uqenika, bira nastavnikiz Zbirke i pripremi listie sa tekstovima ili koristi na qasuZbirku zadataka.

Dok uqenici rade zadatke, nastavnik ih obiliza i kontrolixe,po potrebi intervenixe. Posledǌnih petnaest minuta qasa kori-sti da se na xkolskoj tabli demonstriraju rexeǌa pojedinih ka-rakteristiqnih zadataka, bar po jedan iz svake od tri grupe.

Domai zadatak: Radna sveska: Trei pismeni zadatak (str.

43. do 45.)



Pismeni zadatak 135

106. QAS

Trei pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Uprosti dvojni razlomak 9

22

5

.

2. Koliko iznose qetiri treine od 13

5 : 5

1

3?

3. Odredi nepoznati broj x ako je 3 18

= 5, 375 − x.

4. Za koliko treba umaǌiti zbir brojeva 4,026 i 13,74 da bise dobio broj jednak razlici brojeva 24,7 i 14,904?

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve a i b, tako da jea

b =

6, 75 − 3

1

8

· 1

1

3 − 3

1

3.

Grupa B)

1. Uprosti dvojni razlomak2

1

23, 75

.

2. Koliko iznose tri polovine od 21

3 : 51

4 ?

3. Odredi nepoznati broj x ako je 44

9 = x − 2

7

18.

4. Koliko se moe oduzeti broju 16,3425, pa da dobijena re-

zlika ne bude maǌa od zbira brojeva 8

5 i 11,1025?

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve m i n, tako da jem

n = 3

1

3 ·

1, 8 + 7

1

2 −

9

10

.

Grupa V)

1. Uprosti dvojni razlomak 3, 6

2 25

.

2. Koliko iznosi pet treina od 11

9 : 2

7

9?

3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 3

10 − x = 1, 5.

4. Koji broj treba uveati za 33

4 da bi dobijeni zbir bio jed-

nak razlici brojeva 6,125 i 11

4?



136 Pismeni zadatak

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve x i y, tako da jex

y = 1

1

3 :

3

3

4 + 2

2

3 + 4, 25

.

Grupa G)


3

105, 2

.

2. Koliko iznose qetiri treine od 41

6 : 2

2

9?

3. Odredi nepoznati broj x ako je 4 12 = x − 1 16 .

4. U kanti ima 142

3 litara vode. Koliko litara moemo da

prospemo, pa da u kanti ne bude vixe od 1011

12 litara vode?.

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve p i q , tako da je p

q = 3

1

3 :

2

2

5 : 1, 8 + 1

1

9 · 0, 6

.

Grupa D)

1. Uprosti dvojni razlomak 7

51

4

.

2. Koliko iznosi pet qetvrtina od 21

4 : 5

5

8?

3. Odredi nepoznati broj x ako je 13

4 + x = 2, 125.

4. Za koliko treba poveati razliku brojeva 8,206 i 1,53, dabi ona bila za 2,106 maǌa od zbira brojeva 3,09 i 7,603?

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve k i n, tako da jen

k =

4

1

2 − 2

2

3

:

8

2

3 + 4, 5 · 1

1

3

.



Pismeni zadatak 137

107. QAS



Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne pojedinaqne

grexke, uz uputstva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasa

Uobiqajen, standardan naqin analize rezultata.



138 Razlomci

108. QAS

Mnoeǌe decimalnih brojeva. Obrada


Ciǉ Mnoeǌe decimalnih brojeva svesti na proizvod celih bro-

jeva.


Kao xto je prikazano na 143. strani ubenika, rexavaǌem pri-mera 1 uoqavamo kako se mnoi ceo broj sa decimalnim (15 · 27, 36).Zatim, u primeru 2, na sledeoj strani, vidimo kako se mnoe dvadecimalna broja. Posle razmatraǌa i primera 3, izvlaqimo za-kǉuqak – definixemo jednostavno pravilo za mnoeǌe decimalnihbrojeva.

Mnoeǌe decimalnih brojeva sa konaqnim brojem decimalasvodi se na mnoeǌe celih brojeva.

Izraqunajmo proizvode zadate u primeru 2 na 145. strani.

Zatim, navodimo jednostavno pravilo za mnoeǌe decimalnihbrojeva dekadnim jedinicama, pa izraqunajmo proizvode iz prime-ra 6.

Domai zadatak: Zbirka: 841, 843 a), b), v), g), 847 a), b), v), g).



Razlomci 139

109. QAS

Mnoeǌe decimalnih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Istai praktiqnu primenu mnoeǌa decimalnih brojeva.


Ponovimo pravilo za mnoeǌe decimalnih brojeva, posebno,ako je jedan mnoilac dekadna jedinica. Onda rexavamo zadatke:844, 845, 842.

Zatim, rexavamo zadatak 843 d), ), e), ).Na kraju, rexavamo zadatak 846 a), g), d).




140 Razlomci

110. QAS

Deǉeǌe decimalnog broja celim brojem. Obrada


Ciǉ Priprema ”terena” za decimalni delilac.


Prilikom odreivaǌa decimalnog zapisa proizvoǉnog razlom-ka (videti 73. qas), poxto podelimo brojilac (ceo broj) imeni-ocem, ne zadravamo ostatak deǉeǌa, nego ”spuxtamo” nule (jerdrugih cifara nema) i daǉim deǉeǌem dobijamo decimale u novomzapisu.

Sliqno, decimalni broj delimo celim, tako xto kad zavrxi-mo deǉeǌe celog dela, u koliqniku stavimo decimalnu zapetu inastavimo deǉeǌe. Ovog puta, za razliku od deǉeǌa na 73. qasu,spuxtamo decimale - cifre iza zapete decimalnog deǉenika.

Na 146. strani ubenika naveden je primer 1 koji uradimo ina xkolskoj tabli, a onda sledi primer 2, koji rexavaju uqenicina qasu.

Na sledeoj strani navedeno je jednostavno deǉeǌe decimalnogbroja dekadnom jedinicom, koje se svodi na jednostavno pomeraǌedecimalne zapete ulevo. To ilustrujemo primerom 3, a onda zajed-no rexavamo primer 4.




Razlomci 141

111. QAS

Deǉeǌe decimalnog broja decimalnim brojem. Obrada

Frontalni rad Dijaloxka i heuristiqka metoda

Ciǉ Usvajaǌe tehnike deǉeǌe decimalnim deliocem (decimalni

delilac transformisati u ceo broj).


Koristiemo osobinu koliqnika: proxirivaǌem, tj. mnoe-ǌem deǉenika i delioca istim brojem razliqitim od nule, koli-qnik se ne meǌa (147. strana ubenika). Ovaj postupak je znatnoolakxan kad su u pitaǌu decimalni brojevi sa konaqnim brojemdecimala. Tada proxirivaǌe vrximo odgovarajuom dekadnom je-dinicom, jer, kao xto smo ve uqili, time se samo pomere ude-sno decimalne zapete. Reximo na tabli primer 1 sa 148. strane:

Daǉe se deli celim brojem, a to znamo

da radimo.Sledei, primer 2, uz eventualnu podrxku nastavnika, rexa-va neki uqenik na xkolskoj tabli.

Zanimǉivo je deǉeǌe (i rezultat deǉeǌa) kada je delilac ne-ki od brojeva: 0,1 ili 0,001 itd. Reximo primer 3 sa 149. strane,uz izvoeǌe odgovarajueg zakǉuqka.

Posle toga, reximo primer 4.Ne treba zaobilaziti ni periodiqne decimalne brojeve, jer

se oni lako svode na oblik a

b i dobijamo deǉeǌe sa razlomcima.

Dakle, rexiemo jox i primere 5 i 6.




142 Razlomci

112. QAS

Deǉeǌe decimalnih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe koliqnika a : b, u raznim kombinacijama sa

celim brojevima, razlomcima i decimalnim brojevima.


Ponovimo pravilo o deǉeǌu sa decimalnim deliocem.Rexavamo zadatak 857.Zatim, vebamo sluqajeve sa deliocem 0,1, odnosno 0,01 itd.

Radimo zadatak 859.Onda, kombinujemo razlomke i decimalne brojeve. Rexavamo

zadatke 861 b), 867 a) i 868 a).Na kraju reximo i zadatke 864 a), ).

Domai zadatak: Zbirka: 858, 860 a), b), 861 v), 867 b), 868 b),

864 b), v).



Razlomci 143

113. QAS

Mnoeǌe i deǉeǌe deci-malnih brojeva.

Sistematizacija


Ciǉ Kombinovati operacije mnoeǌa i deǉeǌa decimalnih bro-

jeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 135. do 139. strane.

Rexavamo jednostavnije izraze, uz podseaǌe da su mnoeǌe ideǉeǌe operacije ”starije” od sabiraǌa i oduzimaǌa.

Rexavamo zadatke: 861 a), 862 b), 867 v), 866, 868 b).

Domai zadatak: Zbirka: 860, 864 d), e), 865, 869.



144 Razlomci

114. QAS

Jednaqine oblika: ax = b, x : a = b, a : x = b,ax ± b = c

Obrada


Tok qasa Osnovni tekst Ubenik, od 150. do 152.

Kao xto je opisano u ubeniku, koristei se osobinama mno-eǌa i deǉeǌa i koristei iskustva sa jednaqinama obraenim na92. qasu, rexavamo jednaqine zadatih oblika.

Nastavnik postavi problem iz primera 1 i navodi uqenike daodrede nepoznatu veliqinu i postave odgovarajuu jednaqinu. Sa-da, a tako je bilo i ranije i treba poxtovati i ubudue, svakorexeǌe jednaqine se proverava.

Rexavajui jox i primere 2 i 3, dolazimo do postupka za re-xavaǌe jednaqina oblika: ax = b i x : a = b. Nastavnik naglaxavazbog qega je u oba sluqaja a = 0 (jer deǉeǌe nulom nije definisa-

no).Zatim, rexavamo jednaqinu oblika a : x = b, koristei se de-

finicijom deǉeǌa. Onda, nastavnik izvede na tablu jednog uqenikada rexi navedeni primer na 151. strani.

Na kraju, rexavamo i jednaqine kod kojih se uz nepoznatu poja-vǉuje i sabirak, tj. rexavamo jednaqinu oblika ax ±b = c. Koristi-mo se iskustvima koje smo stekli pri rexavaǌu ranije prouqenih

jednaqina (na primer: x − a = b).Primer 4 rexavaju uqenici na tabli. Takoe reximo i pri-

mer 5 sa 152. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 871 a), b), 872 a), b), 873 a), b), 874 a),

b), 875 a), 876 b).



Razlomci 145

115. QAS

Jednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe jednaqina navedenih tipova i primena jednaqina.


Za svaki od oblika jednaqina obraenih prethodnog qasa, po-novimo postupak rexavaǌa i rexavamo zadatke iz Zbirke.

ax = b: zadatak 871 v), g), d).

x : a = b

odnosno x

a = b

: zadatak 872 v), e).

a : x = b

odnosno a

x = b

: zadatak 874 v), g).

ax ± b = c: zadaci 875 b) i 876 a).Zatim, rexavamo zadatke 873 v), e), ), 879, 881.

Domai zadatak: Radna sveska: Deveta kontrolna veba (str.46. do 49.)



146 Razlomci

116. QAS

Deveta kontrolna veba. (Mnoeǌei deǉeǌe. Jednaqine.)

Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Izraqunaj: 0, 21 : (0, 75 − 0, 012 : 0, 02) − 1, 73 · 0, 16.

2. Izraqunaj:

4

1

2 · 17, 04

: 21, 6 + 4, 49 : 2

2

3.


3

4

52

3 − 3

1

6

.

4. Rexi jednaqinu: 4, 5 = 21

4 · x −

3

8.

Grupa B)

1. Izraqunaj: (1, 53 : 1, 5 + 17, 4 : 29) · 0, 25 − 0, 005.

2. Izraqunaj:

3

3

4 + 2, 625

: 1

1

4 − 2, 55 : 1, 25.

3. Uprosti dvojni razlomak:1

1

2 + 1

5

65

6

.

4. Rexi jednaqinu: 1, 2 · x − 31

4 = 1, 25.

Grupa V)

1. Izraqunaj: (21, 85 : 43, 7 + 2, 5 − 7, 2 · 0, 25) · 2, 25.

2. Izraqunaj: 2, 7 :

3, 5 − 1

1

4

+

3

4 : 0, 375.


5

8

21

6 + 1

1

3

.

4. Rexi jednaqinu: 21

4 − 1

1

4 · x = 1, 5.



Razlomci 147

Grupa G)

1. Izraqunaj: 460, 08 : 129, 6 + (21, 018 − 7, 548) : 8.

2. Izraqunaj:

2, 75 + 3

1

2

: 1

1

4 − 17

1

2 :

6

3

4 + 5, 5

.


1

6 − 2

1

2

22

3 + 1

1

2

.


4 = 2, 75 − 2

1

2 · x.

Grupa D)

1. Izraqunaj: ((7, 803 + 8, 547) · 2, 5 − 3, 2) : 4, 5.

2. Izraqunaj: 5631

4 : 15, 02

3

3

4 − 1, 5

:

2

2

5 − 1, 9

.


1

2 − 1, 2

51

5

.


4 = 4

1

7 − 0, 625x.



148 Razlomci

117. QAS

Nejednaqine oblika: ax ≷ b, x : a ≷ b, a : x ≷ b Obrada


Ciǉ Rexavaǌe nejednaqina navedenih tipova, analogno rexava-

ǌu odgovarajuih jednaqina.


Nejednaqine navedenih oblika rexavamo sliqno odgovarajuim jednaqinama, koristei se osobinama mnoeǌa i deǉeǌa. U to seuverimo rexavajui primere 1 i 2.

U primeru 1 ograniqili smo rexavaǌe zahtevom da se trae

rexeǌa u skupu prirodnih brojeva. Zbog toga iz n ≤ 23

4, zakǉuqu-

jemo da je n = 1 ili n = 2.Na kraju reximo i primere 3, 4 i 5 sa 154. strane. U prime-

ru 5 ponovo ograniqavamo rexeǌa na prirodne brojeve, a rexeǌe

suavamo jox vixe nego u primeru 1, jer traimo samo prostebrojeve.

Domai zadatak: Zbirka: 891 a), b), v), 892 a), b), v), 895 a), v).



Razlomci 149

118. QAS

Nejednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe nejednaqina navedenih tipova i ǌihova primena.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka: 142. i 143. strana

Ponovimo postupak rexavaǌa za svaki od upoznatih oblika nejednaqine.

ax ≷ b: zadatak 891 g), d), ).x : a ≷ b: zadatak 892 g), d), ).a : x ≷ b: zadatak 895 b), e).Reximo jox i nejednaqine iz zadataka 893 a), v), 894 b) i g).Zatim, reximo tekstualni zadatak 896 i na kraju zadatak 898

a), v).

Domai zadatak: 897, 898 b), g), 900 a).



150 Razlomci

119. QAS

Izrazi. Jednaqine. Nejednaqine. Uvebavaǌe


Ciǉ Uvebavaǌe tehnike.


Kao kod qasova pripreme za pismeni zadatak, nastavnik ne pla-nira precizno sadraj ovog qasa unapred, ve neposredno pred re-alizaciju. Kad sagleda efekte dosadaxǌe nastave i rada uqenikai odredi zadatke za kontrolnu vebu, nastavnik izabere zadatke zaobradu na danaxǌem qasu.

Mogu izbor zadataka iz Zbirke: 808, 809, 810, 830, 833 g), d),834 v), g), 835 v), g), 837 e), ), 840, 847, 850, 855, 863, 870, 885,886, 890, 899.

Domai zadatak: Zadaci sa posledǌeg spiska, koji nisu rexava-

ni na qasu.



Razlomci 151

120. QAS

Razlomci, jednaqine, nejednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Priprema za kontrolnu vebu.


Nesporan je znaqaj dobre tehnike rada sa razlomcima i primenekroz jednaqine i nejednaqine.

Qas se organizuje u dva dela.Prva polovina qasa koristi se za obnavǉaǌe na elementarnom

nivou. Oblik rada je frontalni. (Mogui izbor zadataka za ovunamenu je iz Zbirke, i to: 809 g), d), 810 d), 104 g), 834 v), 839,875 g), 893 g)).

Onda, nastavnik razvrsta uqenike u tri grupe, po nivou znaǌa:A) elementarni nivo, B) sredǌi nivo i V) vixi nivo. Poeǉno je

da se sami uqenici opredeǉuju o izboru grupe. Onda se ove grupe”usitne” na maǌe homogene grupe od 4 do 6 uqenika. Maǌe grupe serasporede u susedne klupe.

Naqin izbora zadataka i organizovaǌe rada do kraja qasa opi-san je u planu rada za 103. qas.



152 Razlomci

121. QAS

Aritmetiqka sredina Obrada


Ciǉ Povezati pojmove: proseqna vrednost, koliqnik i razlomak.


Pojam proseka , odnosno proseqne vrednosti qesto se pomiǌe. Sobzirom na naqin izraqunavaǌa, u matematici se to naziva arit-metiqka sredina .

Navoeǌem primera, kao xto je dato na 154. strani ubenika,uqenici se navode da problematiku shvate svakodnevnom pojavom itime se zainteresuju.

Najpre izvedemo pravilo za aritmetiqku sredinu dva broja:

s = a + b

2 .

Prikazivaǌem taqaka A(a), B(b) i S (s) na brojevnoj polupra-voj za konkretno izabrane brojeve a i b, nalazimo jedan od razlogazaxto se to zove sredina . (Poeǉno je koristiti se leǌirom.)

Izraqunajmo jox nekoliko sluqajeva aritmetiqke sredine (pro-seqne vrednosti), na primer, za brojeve:

a) 7 i 25; b) 6 i 19; v) 1,8 i 8,1; g) 35

6 i 5

2

3; d) 3, 2 i

1 5

15.

Zatim, nastavnik na xkolskoj tabli dokazuje vanu osobinuaritmetiqke sredine. Ako je a < b, onda je:

a < a + b

2 < b

Ova osobina pokazuje da se izmeu svaka dva razliqita brojanalazi jedan broj. Sledi da je skup razlomaka (na brojevnoj polu-

pravoj) svuda gust , jer se za bilo koja dva, ma koliko bliska broja(taqke na brojevnoj polupravoj), uvek izmeu ǌih moe smestitiǌihova aritmetiqka sredina.

Zatim, pokaemo xta predstavǉa (kako se raquna) aritmeti-qka sredina za vixe od dva broja (156. i 157. strana u ubeniku).Navedene formule ilustrujemo primerima 1 i 2.

Na kraju, reximo zadatke od 1 do 5 na 156. i 157. strani.

Domai zadatak: Zbirka: 901 a), g), ), z), 902 a), 904.



Razlomci 153

122. QAS

Aritmetiqka sredina Uvebavaǌe


Ciǉ Primene aritmetiqke sredine (proseqne vrednosti).


Ponovimo pojam: aritmetiqka sredina (proseqna vrednost) zadva broja. Reximo zadatke 901 b), d), e), ), 902 g) i 905.

Ponovimo pojmove: aritmetiqka sredina za tri, qetiri, petbrojeva. Reximo zadatak 902 b), v).

Zatim, rexavamo tekstualne zadatke (primene aritmetiqke sre-dine): 903, 906, 907, 909, 910 a).

Domai zadatak: Zbirka: 908, 910 b).



154 Razlomci

123. QAS

Razmera Obrada


Ciǉ Praktiqno znaqeǌe razmere povezati sa pojmovima razlo-

mka i koliqnika.


Navodei primere kao u ubeniku (strana 157) nastavnik dajematematiqko znaqeǌe pojma razmere , koji se quje svakodnevno.

Vrlo je bitno da uqenici shvate da razmera (u matematiqkom

smislu koliqnik a : b, a to je i razlomak a

b) ima stvarnog smisla

samo ako brojevi a i b oznaqavaju iste jedinice iste mere . Trebanavesti primere pravilno i nepravilno postavǉene razmere (kaona 158. strani ubenika).

Zatim se navode primeri praktiqne primene razmera u karto-

grafiji i crtaǌu planova (primeri 3 i 6 na 159. i 160. strani).Daǉe, uvodi se pojam produene razmere (primer 4) i ǌena

primena u odreivaǌu sastava smexe ili rastvora (primer 5).Na kraju, objaxǌavamo pojam razmere u geometriji (linijska

razmera i razmernik ), kao xto je opisano na 161. strani ubenika.Onda, izlagaǌe o razmeri ilustrujemo rexavajui zadatke od

5 do 8 na kraju 161. strane.

Domai zadatak: Zbirka: 911, 912 a), 914 i sledei zadatak:

Uprosti produenu razmeru 8

15 : 1

1

3 : 2

2

15 :

2

3.



Razlomci 155

124. QAS

Razmera – primene Uvebavaǌe


Ciǉ Primena razmera.


Ponovimo znaqeǌe pojma razmere dva broja (koliqnik dva uzajamno prosta broja ili neskrativ razlomak) i navedemo nekolikoprimera kao:

504 : 112, 51

7 : 4

4

5, 3, 75 : 4

1

6 i sliqno.

Nastavnik insistira na zakǉuqku: razmera imenovanih brojeva ima smisla samo ako brojeve a i b izraavaju iste jedinice mere.Onda, reximo zadatak 912.

Onda, ponovimo primenu razmere u odreivaǌu mexaǌa, naprimer: ”Ako je a : b = 7 : 2, onda je a = 7k i b = 2k.” Za ilu-straciju reximo zadatke 913 a), 914 i 916.

Ponovimo pojam produene razmere i ǌeno znaqeǌe (na primer:ako je a : b : c = 5 : 1 : 9, onda je a = 5k, b = k i c = 9k). Reximozadatke 913 b) i 915.

Zatim, rexavamo zadatke primene razmere u kartografiji icrtaǌu planova: 917, 918, 920, 921.

Reximo i problemski zadatak 922.




156 Razlomci

125. QAS

Aritmetiqka sredina i razmere Uvebavaǌe


Ciǉ Sistematizovaǌe ove primene operacija sa racionalnim

brojevima, sa teixtem na ”praktiqne” primere.


Obnovim pojam aritmetiqke sredine (i formule) za dva, tri,qetiri broja. Za svaki sluqaj uqenici sami sastave ”zadatak” irexavaju ga na tabli.

Zatim, rexavamo zadatke: 901 v), 902 b), v), d), d).Onda rexavamo problem iz odeǉeǌa. Nastavnik proqita ocene

sa posledǌe pismene vebe, a uqenici raqunaju proseqnu ocenu .

Podsetimo se na osobinu: ako je a < b, onda je a < a + b

2 < b, pa

rexavamo zadatak.

1

◦

Koristei se osobinama aritmetiqke sredine odredi tribroja a, b, c, tako da je m < a < b < c < n, gde su brojevi m i n

dati: a) m = 0, 7 i n = 0, 8; b) m = 3

7 i n =

4

7.

Ponovimo pojam razmere a : b i produene razmere a : b : c, parexavamo zadatke.

2◦ Uglovi α i β su komplementni. Ako je α : β = 8

8

9 : 11

1

3,

odredi α i β .3◦ ”Naqiǌena je legura mexaǌem antimona, bakra i kalaja u

razmeri 1 : 7 : 3. Koliko je potrebno svakog od ovih metala za 5,5 kglegure?

Domai zadatak: Na autokarti, koja je nacrtana u razmeri1 : 400000, vexataqko jezero na Drini, uzvodno od Zvornika, dugo

je 47,5 mm. Kolika je stvarna duina Zvorniqkog jezera?



Osna simetrija 157

126. QAS

Osna simetrija u ravni Obrada

Frontalni rad Demonstrativna i heuristiqka metoda

Ciǉ Povezati simetriju iz prirode sa preslikavaǌem taqaka i

figura.


Nastavnik objaxǌava znaqeǌe pojma simetrije i ǌen velikiznaqaj u nauci i prirodi (162. strana). Zatim, pokazuje pripre-mǉene modele iz prirode, na kojim se istiqe lepota i sklad sime-trije (kao na slikama 1, 2 i 3). Navesti primer preslikavaǌa likau ogledalu kao simetriju u prostoru.

Nastavnik naglaxava: baviemo se simetriqnim preslikava-ǌem likova i osobinama simetriqkih likova. Ponovo pokazuje sl.1, 2 i 3 (i eventualno jox neke pripremǉene crtee) i pokazujepravu s, koja ima ulogu ogledala - likovi se preslikavaju preko”ogledala” s. Zato ovo preslikavaǌe nazivamo simetrija u odno-su na pravu ili osna simetrija. Prava s je osa te simetrije.

Sada pokaemo kako se lik nacrtan na papiru preslikava usimetriqan, savijaǌem papira (slika 4).

Zatim, definixemo osnu simetriju preko simetriqnih taqaka(strana 163).

Daǉe, na primerima, vebamo preslikavaǌe simetrijom u od-nosu na datu pravu. Preslikavamo prvo taqke (primeri 1 i 2),zatim dui i prave (primeri 3 i 4) i trouglove (primer 5).

U poqetku poeǉno je forsirati crtaǌe u sveskama sa kvadra-tiima, dok se uqenici ne nauqe da je osa normalna na dui kojespajaju simetriqne taqke.

Veoma je vano stalno isticati da su osno simetriqne figurepodudarne (mogu se poklopiti, na primer, savijaǌem papira).

Na kraju konstruixemo simetriqne likove u zadatku 6.




158 Osna simetrija

127. QAS

Osna simetrija Uvebavaǌe


Ciǉ Konstruktivni aspekt osne simetrije.


Prvu polovinu qasa iskoristimo za boǉe upoznavaǌe simetrije tako xto odreujemo simetriqne likove i vrximo preslikavaǌesimetrijom na karo papiru.

Rexavamo redom zadatke 929, 930, 928.Zatim, nastavnik postavi zadatak: ”Svaki uqenik neka nacrta

jedan trougao u svesku (na karo papiru) i izabere za osu simetrije jednu liniju koja postoji na karo papiru. Tu liniju pojaqa olovkomu boji. Zatim, nacrta simetriqan trougao.”

Nastavnik obilazi uqenike, kontrolixe, ispravǉa, ohrabri,

pohvali.Onda rexavamo zadatke 932 i 933.Na kraju, uqenici preslikaju ”pristanixte” iz zadatka 934 u

odnosu na horizontalnu liniju (u sredini slike, pojaqana), kao osusimetrije, crtaju refleks (simetriqnu sliku). Nastavnik ponovokontrolixe rad uqenika na mestu.

Domai zadatak: Zbirka: 935 i specijalni zadatak: ”Svaki uqe-

nik da nacrta neki jednostavan pejza, po ugledu na zadatak 934, paodredi simetriqan lik u odnosu na neku horizontalnu i u odnosuna neku vertikalnu pravu (kao elektriqni stub).”

Najinteresantnijim zadacima sleduje nagrada u xkolskom dnev-

niku.



Osna simetrija 159

128. QAS

Osno simetriqne figure Obrada


Ciǉ Uoqiti figure koje imaju ose simetrije.


Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli jedan krug (uqenici gaslede crtajui u svojim sveskama). Zatim nacrta jednu pravu krozcentar kruga. Postavǉa pitaǌe:

”Vidite li ovde neku simetriqnost?”Uqenici otkrivaju da je nacrtana prava osa simetrije, a po-

lukrugovi koje ona odreuje, simetriqni likovi. To isto uoqavajui na svojim crteima.

Zatim, uqenici crtaju taqke simetriqne taqkama A, B, C , kojenastavnik uzima na nacrtanoj krunici (Uqenici izlaze jedan po

jedan na tablu, ali crtaju i u svojim sveskama).Pitaǌima nastavnik navodi uqenike da zakǉuqe: taqkama A, B ,C na krunici odgovaraju simetriqke taqke A1, B1, C 1, koje su naistoj krunici.

Ovakve figure, koje se preslikavaju u sebe, su osno simetriqne (tekst na 166. strani).

Daǉe, prouqavamo osno simetriqne figure, koje smo ranijeupoznali. (Uqenici sami otkrivaju ili utvrde posle pitaǌa na-stavnika: ”Da li je figura ”ta i ta” osno simetriqna?”.) Takoe,uoqavaju koliko osa simetrije ima svaka od ǌih i identifikuju teose. (Pratimo tekst na 167. i 168. strani.) Usput reximo primere1, 2 i 3.

Na kraju reximo zadatke od 4 do 8 na 168. strani.




160 Osna simetrija

129. QAS

Osno simetriqne figure Uvebavaǌe


Ciǉ Ispitivaǌe osno simetriqnih figura.


Prouqavaǌe simetriqnosti figura poqiǌemo rexavaǌem zadatka 939.

Zatim, rexavamo zadatke 940, 941, 942.Onda, rexavamo enigmatski zadatak 943.Upoznajemo simetriqnost ravnih geometrijskih figura. Rexa-

vamo zadatke 945, 946, 947, 948.Na kraju reximo i zadatak 949.

Domai zadatak: Radna sveska: Deseta kontrolna veba (str.

50. do 53.)



Osna simetrija 161

130. QAS

Deseta kontrolna veba (razmere,aritmetiqka sredina, simetrija)

Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 5,2; 13

5; 10; 2

3

4.

2. Razmeru 4, 2 : 3 12

dovedi na najjednostavniji oblik.


8 : 0, 5 < 3

3

4. Rexeǌe prikai na bro-

jevnoj pravoj.4. Nacrtaj trougao ABC i pravu s, kao xto je ovde na slici.

Zatim, trougao ABC preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici qine dva jednaka kruga. Olovkom u boji

nacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Grupa B)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 3

4;

4

5;

5

8;

13

40.

2. Odredi brojeve a, b i c, ako je a : b : c = 2 : 7 : 6 i a + b + c = 18.

3. Rexi nejednaqinu 2, 5x − 32

3 ≤ 2

1


jevnoj pravoj.



162 Osna simetrija

4. Nacrtaj qetvorougao KLMN i pravu s, kao ovde na slici.Zatim, qetvorougao KLMN preslikaj simetrijom u odnosu na pravus.

5. Na slici je kvadrat sa jednom dijagonalom. Olovkom u bojinacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Grupa V)


5; 8; 4,7; 2

1

5; 6.

2. Razmeru 81

3 : 4

4

9 dovedi na najjednostavniji oblik.

3. Rexi nejednaqinu 9, 5 − 3

4x ≥ 1

3


jevnoj pravoj.4. Nacrtaj trougao P QR i pravu s, kao ovde na slici. Zatim,

trougao P QR preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici predstavǉaju dva jednaka kvadrata. Olovkom

u boji nacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Grupa G)


2; 4; 6

3

4; 7,8.

2. Odredi brojeve x, y i z, ako je x : y : z = 5 : 8 : 7 i x+y−z = 24.

3. Rexi nejednaqinu 3, 5x : 41

5 < 1

7


jevnoj pravoj.



Osna simetrija 163

4. Nacrtaj qetvorougao ABCD i pravu s, kao ovde na slici. Za-tim, qetvorougao ABCD preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Na slici je krug sa jednim svojim preqnikom. Olovkom u bojioznaqi sve ose simetrije ove figure.

Grupa D)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 43

5; 2

7

10; 5,2.

2. Razmeru 7, 2 : 252

5 dovedi na najjednostavniji oblik.


8 : x + 2, 4 ≤ 4

1

5. Rexeǌe prikai na

brojevnoj pravoj.4. Nacrtaj trougao XY Z i pravu s, kao xto je ovde na slici.Zatim, trougao XY Z preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici obrazuju dva jednaka kvadrata. Olovkom uboji oznaqi sve ose simetrije ove figure.



164 Osna simetrija

131. QAS

Simetrala dui Obrada


Ciǉ Uoqiti osobine i konstrukciju simetrale dui.


Nacrtamo neku kosu pravu s. (Svi crtaju – jedan uqenik naxkolskoj tabli, a ostali u svojim sveskama.) Nastavnik izaberetaqku A van prave s (i uqenici na svojim crteima) i zahteva dase konstruixe taqka B, koja je simetriqna sa A u odnosu na s.Oznaqimo preseqnu taqku S prave s i dui AB.

Definixemo simetralu date dui (koristimo nacrtanu duAB i pravu s).

Odmah uoqavamo osnovne osobine:1◦ Simetrala je normalna na du (s normalna na AB).

2◦

Simetrala polovi du (AS = SB).3◦ Svaka taqka M simetrale jednako je udaǉena od krajeva du-i (AM = M B, gde je M ∈ s).

Zatim, rexavamo zadatak: konstruisati simetralu date dui(slika 19).

Razmatramo neke osnovne konstrukcije u kojima se koriste oso-bine simetrale dui. Treba istai da simetrale omoguavaju po-dele dui na polovine, qetvrtine itd. To postiemo rexavaǌemprimera 1 (konstrukcija normale iz date taqke na datu pravu),primera 2 i primera 3. Radi uvebavaǌa konstrukcije normaleiz primera 1, preporuqǉivo je rexiti i po jedan sluqaj kad jeprava p vertikalna ili kosa, a ne kao na slikama 20. i 21.

Takoe, rexavamo interesantan problem: Konstruisati taqkuM simetriqnu datoj taqki N u odnosu na datu pravu p, koristeise samo xestarom (slika 21).

Na kraju reximo i zadatke 4 i 5 na 171. strani.

Domai zadatak: Zbirka: 961, 967, 965 a), i poseban zadatak:

Nacrtaj kosu pravu p i oznaqi taqku A na pravoj i taqku B vanprave. Zatim, koristei se simetralom dui konstruixi pravu akroz A i pravu b kroz B, normalne na p.



Osna simetrija 165

132. QAS

Simetrala dui Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti primenu simetrale dui.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 155. i 156. strana.

Ponovimo definiciju simetrale dui i ǌene osobine.Rexavamo elementarne konstrukcije, koje nastavnik postavǉa

na xkolskoj tabli, a uqenici crtaju u svojim sveskama.1. Datoj dui AB (nastavnik nacrta du) konstruixi sime-

tralu.2. Iz date take N konstruixi normalu na datu pravu p (na-

stavnik nacrta pravu p i taqku N ). Poeǉno je izabrati nekolikorazliqitih poloaja prave i taqke.

Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 961, 962, 963, 964, 966,967

.

Domai zadatak: Zbirka: 965 b), 968, 969, 970, 971, 973.



166 Osna simetrija

133. QAS

Simetrala ugla Obrada


Ciǉ Uoqiti osobine simetrale ugla.


Nacrtamo pravu s i taqke P i Q koje su simetriqne u odnosuna s. Izaberemo taqku O prave s, tako da O nije na dui AB (sli-ka 1 na 171. strani). Konstruixemo poluprave Op i Oq . Pravu snazivamo simetralom ugla P OQ.

Uqenici lako, na osnovu osobina simetrije zakǉuqke da sime-trala polovi ugao.

Nastavnik, koristei se oqiglednoxu simetrije i do sadasteqenim znaǌima dokazuje tvreǌe da simetrala polovi ugao. (Ko-ristiti tekst oznaqen crvenom zvezdicom na 172. strani). Dobro

bi bilo da se uqenicima naglasi da je to dokaz tvreǌa i da emosledee xkolske godine qesto biti u prilici da dokazujemo vanatvreǌa.

Zatim, nauqimo kako se konstruixe simetrala ugla (primer1, slika 25).

Koristei se simetralom moemo konstruisati polovinu ugla,zatim qetvrtinu (polovina polovine), osminu itd. Rexavaǌem pri-mera 2 pokazujemo kako moemo bez uglomera konstruisati ugloveod 45◦ (polovina pravog ugla) i od 22◦30 (polovina ugla od 45◦).

Zatim, pokaemo (dokaemo) da je svaka taqka simetrale ugla jednako udaǉena od krakova (slika 27).

Reximo jox i primere 3 i 4 (173. i 174. strana).




Osna simetrija 167

134. QAS

Simetrala ugla Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti primenu osobina simetrale ugla.


Ponovimo pojam simetrala ugla .Ponovimo osobine simetrale ugla:1) Simetrala polovi ugao.2) Svaka taqka simetrale jednako je udaǉena od krakova.Ponovimo konstrukciju simetrale ugla.Nastavnik postavi zadatak: Nacrta jedan oxtar ugao i trai

da mu se konstruixe simetrala s. Zatim, na simetrali izaberetaqku S , koja je razliqita od temena i trae da se konstruixurastojaǌa taqke S od krakova ugla. Xestarom proveriti da li jeSM = SN

. Uqenici moraju shvatiti da se rastojaǌa taqke S

od krakova konstruixu kao dui SM i SN koje su normalne na kra-kove ugla.

Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 981, 979, 980.Onda rexavamo zadatke 982 i 983.Na kraju, reximo i zadatak 987.




168 Osna simetrija

135. QAS

Osna simetrija Sistematizovaǌe


Ciǉ Povezati nauqene osobine osne simetrije.


Osnovni je zadatak da se obnove i utvrde sledei pojmovi.1. Pojam osne simetrije. Konstrukcija taqke koja je simetri-

qna datoj taqki.2. Datu figuru preslikati simetriqno u odnosu na datu pravu.3. Odrediti da li je figura osno simetriqna i ako jeste, koje

su joj ose simetrije.4. Simetrala dui: konstruisaǌe i osobine.5. Simetrala ugla: konstruisaǌe i osobine.Za svaki obnovǉeni pojam postavǉa se elementarni problem

(po potrebi i vixe primera, kao kod deǉeǌa dui i uglova na po-lovine, qetvrtine itd). Primeri za ovu svrhu mogu se uzeti i izZbirke.

Naqin izbora zadataka i rexavaǌa opisan je u okviru planarada 103. qasa.



Pismeni zadatak 169

136. QAS



Ciǉ Priprema uqenika za pismeni zadatak.


Na osnovu planirane provere znaǌa na pismenom zadatku, nas-tavnik izabere desetak zadataka i rexava ih na ovom qasu. Izborzadatka je takav da uqenike direktno upuuje na ponavǉaǌe potreb-nih znaǌa.

Zadaci se mogu uzeti preteno (ili svi) iz Zbirke.Prvih pet zadataka su lakxi i slue da se svi uqenici podsete

na neophodne pojmove.Zatim, nastavnik formira homogene grupe i daǉe radi na naqin

predvien za ovakve grupe.

Uputstvo je dato u okviru plana za 103. qas

.

Domai zadatak: Radna sveska: Qetrti pismeni zadatak (str.

54. do 56.)



170 Pismeni zadatak

137. QAS

Qetvrti pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Uprosti izraz 171

2 :

6

3

4 + 5

1

2

.

2. Rexi jednaqinu: 2, 1 + x : 31

3 = 4

1

2.

3. U xkoli ima nastavnika i uqenika ukupno 1444. Broj devo- jqica prema broju deqaka je 5 : 4. Deqaka ima osam puta vixe negonastavnika. Koliko je u toj xkoli nastavnika?

4. Preslikaj poluprave Oa, Ob i Ocsa slike. Zatim, konstruixi simetralu pugla aOb i simetralu q ugla bOc. Ako jeaOb = 27◦ i bOc = 48◦, koliki je pOq ?

5. Nacrtaj du M N = 7 cm. Zatim,koristei xestar i leǌir (bez mereǌaduine), odredi taqku P na dui M N ,

tako da je M P = 3

8M N .

Grupa B)

1. Uprosti izraz1

7

15 + 2

5

64, 3

.


4 − 1, 4x ≤ 2

1

2.

3. Za 6 kg jabuka i 9 kg kruxaka plaeno je 630 dinara. Cene jabuka i kruxaka obrazuju razmeru 3 : 5. Kolike su cene jabuka ikruxaka?

4. Izaberi proizvoǉnu taqku S . Zatim,nacrtaj jedan ugao, tako da taqka S bude u tomuglu i to na ǌegovoj simetrali.

5. Nacrtaj ugao β kao na slici. Zatim, bezupotrebe uglomera, konstruixi ugao α, tako da je α =

1

4β . Osenqi

unutraxnost ugla α.

Grupa V)

1. Uprosti izraz

2

5

6 −

1

2

:

1, 5 + 1

5

6

.


4 − 1

1

2x = 0, 35.



Pismeni zadatak 171

3. Na karti, qija je razmera 1 : 80000, rastojaǌe izmeu dvamesta predstavǉa du od 12,5 cm Za koje e vreme biciklistaprei ovo rastojaǌe, ako vozi brzinom od 15 km na sat?

4. Nacrtaj prav ugao aOb i ǌegovu simetralu s. Koliki je ugaoaOs? Bez uglomera nacrtaj ugao od 22◦30.

5. Nacrtaj du C D = 7, 5 cm. Zatim, koristei xestar i leǌir(bez mereǌa duine), odredi taqku P na dui CD, tako da je

DP = 3

8CD.

Grupa G)

1. Uprosti izraz1

3

5 : 1

1

5

11

3 · 0, 5

.


5 − 3, 5x ≥ 1

4

5.

3. Mexaǌem bakra i kalaja u razmeri 3 : 2 dobili smo 105 kgbronze. Koliko je upotrebǉeno bakra?

4. Nacrtaj par uporednih uglova xOy i yOz . Za-tim, nacrtaj simetralu p ugla xOy i simetralu q uglayOz. Kojoj vrsti uglova pripada pOq . Obrazloiodgovor.

5. Nacrtaj krunicu k sa centrom O i izaberi uǌoj taqku S , kao xto je prikazano na slici. Zatim,konstruixi tetivu AB krunice k, tako da je S sre-dixte tetive.

Grupa D)

1. Uprosti izraz

4

2

7 · 3

3

8

:

1, 8 · 3

3

14

.

2. Rexi jednaqinu: 4, 5 = 21

4 : x − 1

1

8.

3. Lana, Milica i Stefan uplatili su tiket za LOTO. Lana je dala 120 dinara, Milica 150 dinara i Stefan 90 dinara. Do-

bili su 30 000 dinara. Kako e poxteno podeliti dobitak?4. Nacrtaj pravu p, taqku S na pravoj i taqkuM van prave, kao na slici. Zatim, odredi taqkuN , tako da prava p bude simetrala ugla M SN .

5. Na slici je prav ugao β . Koristei samoleǌir i xestar bez korixeǌa uglomera, kon-struixi ugao od 77◦30.



172 Pismeni zadatak

138. QAS



Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne grexke uz uput-

stva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasa

Uobiqajen, standardan naqin analize postignutih rezultata.Preostali qasovi do zavrxetka nastave ostavǉeni su u rezer-

vi. O naqinu realizacije ovih qasova odluqie nastavnik, premaproceni trenutne situacije.



Osna simetrija 173

139. QAS

Konstrukcije na osnovu simetrije Obrada


Ciǉ Primene osobina osne simetrije u rexavaǌu konstruktiv-

nih zadataka.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik, od 174. do 176. strane.

Na poqetku qasa istiqemo vane osobine simetrije koje ebiti korisne za rexavaǌe konstruktivnih zadataka.

1◦ Ako su A i B taqke simetriqne u odnosu na pravu s onda jeAB normalno na s i prava s polovi du AB. Ako je M taqka praves, onda je AM = M B, jer je taqka M simetriqna samoj sebi. (Ovosu ujedno i osobine simetrale s dui AB.

2◦ Ako su a i b prave simetriqne u odnosu na pravu s, onda seone seku u taqki na pravoj s, ili su a, b i s tri paralelne prave.

3◦ Sve taqke koje su jednako udaǉene od dve date taqke A i B

jesu taqke simetrale s dui AB.4◦ Sve taqke koje su jednako udaǉene od dve date prave a i b

jesu taqke koje pripadaju simetralama dva para unakrsnih uglova,odreenih presekom pravih a i b.

U ubeniku na stranama od 174. do 176. detaǉno su rexeniprimeri od 1 do 6. Ove primere treba rexavati na qasu. Sve xtotreba komentarisati napisano je u ubeniku.

Ako ima vremena treba rexavati na qasu i zadatke 7, 8 i 9(na kraju 176. strane). Ako nema vremena za rad, ostavǉamo ih zadomai rad.




174 Osna simetrije

140. QAS

Konstrukcije Uvebavaǌe

Rad u parovima Heuristiqka metoda

Ciǉ Primena osobina simetrale dui i simetrale ugla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 159. strana.

Ponovimo osobine simetrale dui i izvrximo dve elemenatarnekonstrukcije.

1◦ Simetralu date dui AB (du odredi nastavnik).2◦ Normalu iz date taqker N na datu pravu p, bez korixeǌa

pravouglog trougla. (Nastavnik na tabli nacrta pravu p i izabereN )