MODUL 1BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Kompetensi Dasar :1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah. 2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma. 3. Merancang model matematika yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

Indikator : 1. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya. 2. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya. 3. Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya. 4. Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma. 5. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional. 6. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma. 7. Merasionalkan bentuk akar. 8. Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma. 9. Menjelaskan karakteristik masalah yang mempunyai model matematika bentuk pangkat, akar dan logaritma. 10.Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel bentuk pangkat, akar dan logaritma. 11.Merumuskan bentuk pangkat, akar dan logaritma yang merupakan model matematika dari masalah. 12.Menentukan penyelesaian dari model matematika. 13.Memeberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

1. Bentuk Pangkat.

Bentuk Umum : an dengan a=bilangan pokok (basis) n=pangkat bilangan rasional

Sifat-sifat Bentuk Pangkat.

1. ap x aq = ap + q

11

Contoh : 22 x 23 = ap+q

= 22 + 3

= 25

= 32

2. a –n = a 0

3.ap : aq = ap – q

Contoh :

4.(ap)q = apxq

Contoh:

22

5. ao = 1

2. Bentuk Akar.a. Menyederhanakan, mengalikan dan Membagi.b. Penjumlahan dan Pengurangan.c. Menarik Akar kuadrat.d. Akar Pangkat n suatu bilangan.e. Kesekawanan Bentuk Akar.f. .Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar.

a.Menyederhanakan, Mengalikan dan Membagi 1). Menyederhanakan

Contoh:

2). Mengalikan

Contoh:

3). Membagi

Contoh:

33

b. Penjumlahan dan Pengurangan. 1). Penjumlahan

Contoh:

2). Pengurangan

Contoh:

c. Menarik Akar Kuadrat

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

Contoh:

(x-y)2 = x2 - 2xy + y2

Contoh:

44

d. Akar Pangkat n suatu bilangan

Akar Pangkat n suatu bilangan (bentuk akar) dapat dinyatakan dengan pangkat rasional.

Contoh:

e. Kesekawanan Bentuk Akar. Kesekawanan Bentuk Akar adalah pasangan bentuk akar (bilangan irasional) yang hasil kalinya bukan bentuk akar (bil.rasional). Untuk a, b, m dan n bilangan rasional selain nol, maka :

Bentuk Akar Bentuk Sekawan Hasil Kali

ba 2ba

Contoh: 1).Sekawan dari 3+ adalah 3 - Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya: - 2 = 7

2).Sekawan dari adalah Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya

3).Sekawan dari ) adalah Hasil kali bentuk akar dengan sekawan: = 2

f. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengubah penyebut pecahan bentuk akar ( bilangan irasan) menjadi bilangan rasional, tetapi tidak mengubah nilai pecahan tersebut.

55

1).Pecahan bentuk :

Menyelesaikan bentuk : *

Contoh:

Menyelesaikan bentuk : **

Contoh:

2).Pecahan bentuk : *)

Menyelesaikan bentuk:

Contoh:

66

Menyelesaikan bentuk :

Contoh:

3).Pecahan bentuk

Menyelesaikan bentuk :

Contoh:

Menyelesaikan bentuk :

Contoh:

77

3. Logaritma.

a. Logaritma suatu bilangan.

Bentuk Umum : Syarat : p > 0 dan p 1 a > 0p = bilangan pokok jika tidak ditulis artinya p=10a = numerusb = hasil logaritma.Jika p=10 dan a= 10m maka log 10m = m

log 1 = log 100 = olog 10 = log 101 = 1log 100 = log 102 = 2log 1000 = log 103 = 3

b. Sifat-sifat Logaritma.

Contoh :6log 72 + 6log 3 = 6log (72x3) = 6log 216

= 6log 63

= 3. 6log 6 = 3.1

= 3

88

Contoh:

Contoh:

Contoh:

99

Contoh:

Contoh:

c. Persamaan Logaritma.1). alog f(x)=alog p f(x)=p dengan syarat f(x)>0 Contoh 1 :

1010

2). alog f(x)=blog f(x)Contoh 2 :3log(x2-x-3)=2 =3log32

=3log 9 (x2-x-3) = 9 x2 +x -12 = 0 (x+4)(x-3)=0x+4=0 atau x-3=0x= - 4 x=3Syarat : f(x) > 0x2 + x - 3 > 0

x= - 4 (-4)2 +(-4) – 3>0 | x=3 32 +3 -3>0 16 - 4 -3 > 0 | 9 > 0 memenuhi 16 - 7 > 0 9 > 0 memenuhi Hp={-4 , 3}

2). alog f(x)=blog f(x) f(x)=1 syarat : a b

Contoh 1 :5log (2x-3)=7log(2x-3) Syarat f(x)=1 2x – 3 = 1 2x = 4 x = 2Syarat : a b 5 7 memenuhi maka Hp={2}

Contoh 2 :

3log (x2 +2x-2)=4log (x2 +2x-2)Syarat f(x)=1 x2+2x-2=1 x2 +2x-3=0

1111

(x+3)(x-1)=0 x + 3=0 atau x -1=0 x = -3 x= 1Syarat : a b 3 4 memenuhi Hp={-3, 1}

3). alog f(x)=alog g(x) f(x) = g(x) Syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0

Contoh 1 :

log (x2 +3x-7)=log (x+8) (x2+3x-7)= (x+8) x2 +2x -15=0 (x+ 5)(x- 3)=0 x + 5 = 0 atau x – 3=0 x = - 5 x=3 Syarat : f(x) > 0 x2+3x-7>0 x=-5 (-5)2+3(-5)-7>0 | x=3 (3)2+3(3)-7>0 25 -15 -7 >0 9 + 9 -7 >0 3 > 0 memenuhi 11 >0 memenuhi Syarat : g(x) > 0 x + 8 > 0 x=-5 (-5)+8 > 0 | x=3 (3)+8 > 0 3 >0 memenuhi 11 > 0 memenuhi Maka Hp={ -5, 3 }

Contoh 2 :

log log 2x = log(log 2x + 6)-log 4

log log 2x = log

log 2x =

4log 2x = log 2x + 6 3log 2x = 6 log 2x= 2 2x= 102

2x= 100 x= 50 Syarat f(x)>0 | Syarat g(x)>0

log 2x > 0

log 2.50>0

log 100 >0

1212

2 > 0

Hp = { 50 }

d. Persamaan Pangkat Sederhana 1). Bentuk : af(x)= ap f(x)=p dan a 0

Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan: 9x+1 =243 Peneyelesaian : 9x+1 =243

2). Bentuk : af(x) = ag(x) f(x)=g(x) dan a 0 Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan:

1313