Download pdf - Modulhandbuch Bachelor Mathematik · Technische Universität Kaiserslautern Modulhandbuch Bachelorstudiengang Mathematik - 1 - Modulhandbuch für den Bachelorstudiengang Mathematik

Technische Universität Kaiserslautern Modulhandbuch Bachelorstudiengang Mathematik

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Modulhandbuch für den

Bachelorstudiengang Mathematik

an der Technischen Universität Kaiserslautern

Stand: WS 2019/20

1. Block: Grundlagen ............................................................................................................................. 4 Grundlagen der Mathematik ........................................................................................................................... 4

2. Block: Aufbau Reine Mathematik ..................................................................................................... 7

2.1 Module ............................................................................................................................................ 7 Modul: Reine Mathematik A ......................................................................................................................... 7 Modul: Reine Mathematik B ......................................................................................................................... 9 Modul: Reine Mathematik C ....................................................................................................................... 11 Modul: Proseminar (Reine Mathematik) ..................................................................................................... 13

2.2 Lehrveranstaltungskatalog zur Reinen Mathematik ....................................................................... 15 Einführung: Algebra ..................................................................................................................................... 15 Einführung: Funktionalanalysis..................................................................................................................... 16 Einführung: Funktionentheorie ..................................................................................................................... 17 Einführung: Gewöhnliche Differentialgleichungen ........................................................................................ 18 Einführung: Topologie .................................................................................................................................. 19 Elementare Zahlentheorie ............................................................................................................................ 20 Maß- und Integrationstheorie....................................................................................................................... 21 Vektoranalysis .............................................................................................................................................. 22

3. Block: Aufbau Praktische Mathematik ........................................................................................... 23

3.1 Module .......................................................................................................................................... 23 Modul: Praktische Mathematik A ............................................................................................................... 23 Modul: Praktische Mathematik B ............................................................................................................... 25 Modul: Praktische Mathematik C................................................................................................................ 27 Modul: Proseminar (Praktische Mathematik) .............................................................................................. 29

3.2 Lehrveranstaltungskatalog zur Praktischen Mathematik ................................................................ 31 Einführung in die Numerik ........................................................................................................................... 31 Stochastische Methoden .............................................................................................................................. 32 Lineare und Netzwerkoptimierung ............................................................................................................... 33 Einführung in das Symbolische Rechnen ...................................................................................................... 34

4. Block: Modellierung ........................................................................................................................ 35

4.1 Modul ............................................................................................................................................ 35 Modul: Mathematische Modellierung ......................................................................................................... 35

5. Block: Fachpraktikum / Wahlbereich ............................................................................................. 38

5.1 Fachpraktikum ............................................................................................................................... 38 Modul: Fachpraktikum ............................................................................................................................... 38 Modul: Fachpraktikum (erweitert) .............................................................................................................. 40


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5.2 Module für den Wahlbereich .......................................................................................................... 42 Analysis and Modelling of Cognitive Processes ............................................................................................. 42 Arbeitstechniken in der Mathematik ............................................................................................................. 44 Grundlagen der Finanzmathematik ............................................................................................................... 45 Wahlmodul Vertiefung ................................................................................................................................. 47 Wahlmodul Vertiefung (erweitert) ................................................................................................................ 49

6. Block: Vertiefung ............................................................................................................................. 51

6.1 Module .......................................................................................................................................... 51 Modul: Vertiefung A .................................................................................................................................. 51 Modul: Vertiefung B .................................................................................................................................. 53 Bachelorarbeit ............................................................................................................................................. 55

6.2. Lehrveranstaltungskatalog zum Vertiefungsblock ......................................................................... 56

6.2.1. Fachgebiet Algebra, Geometrie und Computeralgebra ............................................................................. 56

Lehrveranstaltungen, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden: ................................................................. 56 Commutative Algebra (Kommutative Algebra) .............................................................................................. 56 Cryptography (Kryptographie) ....................................................................................................................... 57 Plane Algebraic Curves (Ebene algebraische Kurven) .................................................................................... 58

Lehrveranstaltungen, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden: ............................................................. 60 Character Theory of Finite Groups (Charaktertheorie endlicher Gruppen) – vor 2016: Foundations in

Representation Theory ................................................................................................................................. 60 p-adic Numbers (p-adische Zahlen) – vor 2016: Foundations in Number Theory ........................................... 61 Quadratic Number Fields (Quadratische Zahlkörper) ..................................................................................... 62

6.2.2. Fachgebiet Analysis und Stochastik ........................................................................................................ 63

Lehrveranstaltungen, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden: ................................................................. 63 Differential Equations: Numerics of ODE & Introduction to PDE (Differentialgleichungen: Numerik GDGL &

Einführung in PDGL) ..................................................................................................................................... 63 Foundations in Mathematical Image Processing (Grundlagen der mathematischen Bildverarbeitung) ............ 65 Functional Analysis (Funktionalanalysis) ....................................................................................................... 67 Monte Carlo Algorithms (Monte-Carlo-Algorithmen) ..................................................................................... 68 Nonlinear Optimization (Nichtlineare Optimierung) ...................................................................................... 69 Probability Theory (Wahrscheinlichkeitstheorie) ........................................................................................... 70

6.2.3. Fachgebiet Modellierung und Wissenschaftliches Rechnen (Technomathematik) ..................................... 71

Lehrveranstaltungen, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden: ................................................................. 71 Differential Equations: Numerics of ODE & Introduction to PDE (Differentialgleichungen: Numerik GDGL &

Einführung in PDGL) ..................................................................................................................................... 71 Foundations in Mathematical Image Processing (Grundlagen der mathematischen Bildverarbeitung) ............ 73 Introduction to Systems and Control Theory (Einführung in die System- und Kontrolltheorie) ....................... 75

Lehrveranstaltungen, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden: ............................................................. 76 Differential-Algebraic Equations (Differential-Algebraische Gleichungen) ..................................................... 76 Dynamical Systems (Dynamische Systeme) ................................................................................................... 77

6.2.3. Fachgebiet Optimierung und Stochastik (Wirtschaftsmathematik) ........................................................... 78

Lehrveranstaltungen, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden: ................................................................. 78


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Integer Programming: Polyhedral Theory and Algorithms (Ganzzahlige Optimierung: Polyedertheorie und

Algorithmen) ................................................................................................................................................ 78 Nonlinear Optimization (Nichtlineare Optimierung) ...................................................................................... 80 Probability Theory (Wahrscheinlichkeitstheorie) ........................................................................................... 81 Regression and Time Series Analysis (Regression und Zeitreihenanalyse) ...................................................... 82

7. Block: Anwendungsfach / Informatik ............................................................................................. 84 Informatik für Mathematiker ........................................................................................................................ 84


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1. Block: Grundlagen

Grundlagen der Mathematik

Modulnummer

MAT-10-1-M-2

Aufwand

840 h

LP (Credits)

28 LP

Semester

1 und 2

Häufigkeit des Angebots

jedes Semester

Dauer

2 Semester

1 Lehrveranstaltungen Kontaktzeit Selbststudium Geplante Gruppengröße

Grundlagen der Mathematik I 6 SWS / 90 h Vorlesung

3 SWS / 45 h Übung

3 SWS / 45 h Tutorien

270 h 150-250 Studierende,

ca. 20 Studierende

ca. 20 Studierende

Grundlagen der Mathematik II 6 SWS / 90 h Vorlesung

2 SWS / 30 h Übung

1 SWS / 15 h Tutorien


ca. 20 Studierende

ca. 20 Studierende

insgesamt:

21 SWS / 315 h

insgesamt:

525 h

2 Lernergebnisse / Kompetenzen:

Die Studierenden kennen und verstehen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Analysis und

der Linearen Algebra. Sie erkennen die Zusammenhänge zwischen Analysis und Linearer Algebra. Ihr

Abstraktionsvermögen wurde gefördert. Sie sind im analytischen Denken geschult und ihre mathematische

Phantasie wurde angeregt. Anhand eines beweis- und strukturorientierten Zugangs haben sie gelernt,

mathematische Beweise nachzuvollziehen und in einfachen Beispielen selbstständig mathematische Aussagen

zu beweisen bzw. zu widerlegen.

In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen,

Aussagen und Methoden aus den Vorlesungen erarbeitet.

In den Übungen und Tutorien wurde zudem die Präsentations- und Kommunikationsfähigkeit der Studierenden

durch schriftliche Arbeiten und selbst gehaltene Vorträge geschult; die Studierenden sind in der Lage, sich

durch Selbststudium Wissen anzueignen und gleichzeitig wurde ihre Teamfähigkeit durch Arbeit in kleineren

Gruppen gefördert.

3 Inhalte:

• Reelle und komplexe Zahlen (axiomatisch),

• Folgen, Grenzwerte und Reihen; Potenzreihen; elementare Funktionen,

• Stetigkeit,

• Differenziation (insbes.: Taylorentwicklung, Kurven, Satz über implizite Funktionen, Satz von der

Umkehrfunktion, Extrema unter Nebenbedingungen),

• Integration (ein- und mehrdimensional; insbesondere Satz von Fubini, Variablentransformation),

• Topologische Grundbegriffe (metrische Räume, Zusammenhang, Kompaktheit),

• Vektorräume; Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme; Dualraum; Determinanten,

• Geometrie des euklidischen Raumes (insbes.: orthogonale Transformationen, Projektionen),

• Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation, Berechnung der Jordan-Normalform.


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Davon beinhalten die Lehrveranstaltungen

Grundlagen der Mathematik I:

Reelle und komplexe Zahlen; Folgen, Grenzwerte und Reihen; Potenzreihen; elementare Funktionen; Stetigkeit

und Differenziation im eindimensionalen Fall; Integration im eindimensionalen Fall; Vektorräume; Lineare

Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme.

Grundlagen der Mathematik II:

Metrische Räume; Differenziation und Integration im mehrdimensionalen Fall; Geometrie des euklidischen

Raumes; Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation, Berechnung der Jordan-Normalform.

4 Lehrformen:

Vorlesungen, Übungen und Tutorien in Kleingruppen

5 Teilnahmevoraussetzungen:

Keine

6 Prüfungsform(en):

schriftliche Abschlussklausuren zu den Übungen, mündliche Modulprüfung (Einzelprüfung, Dauer: 30-45

Minuten).

7 Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten, Prüfungsvorleistungen:

Übungsschein zu „Grundlagen der Mathematik I“ durch die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen und

Tutorien sowie aufgrund je einer Klausur zur Mitte und ca. zwei bis drei Wochen nach Ende der Vorlesungszeit;

der Übungsschein kann auch in Form von zwei Teilleistungen (Übungsscheine zu „Grundlagen der Mathematik

I: Analysis“ und „Grundlagen der Mathematik I: Lineare Algebra“) erbracht werden.

Übungsschein zu „Grundlagen der Mathematik II“ durch die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen und

Tutorien sowie aufgrund einer Klausur gegen Ende der Vorlesungszeit;

Mündliche Modulprüfung über beide Lehrveranstaltungen; bei der Meldung zur Prüfung muss mindestens

einer der beiden Übungsscheine nachgewiesen werden.

Dabei gilt folgende Aufteilung der Leistungspunkte auf die zu erbringenden Studien- und Prüfungsleistungen:

• Übungsschein zu „Grundlagen der Mathematik I“: 6 LP (erbringbar als Übungsscheine zu „Grundlagen

der Mathematik I: Analysis“ (4 LP) und „Grundlagen der Mathematik I: Lineare Algebra“ (2 LP)),

• Übungsschein zu „Grundlagen der Mathematik II“: 6 LP,

• Mündliche Modulprüfung: 16 LP.

8 Verwendbarkeit des Moduls:

Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik und im Bachelorstudiengang Wirtschaftsmathematik.

Die Lehrveranstaltungen sind Pflichtveranstaltungen für das Fach Mathematik im lehramtsbezogenen

Bachelorstudiengang mit Schwerpunkten Lehramt an Gymnasien, Lehramt an Realschulen Plus und Lehramt an

berufsbildenden Schulen.

Die Lehrveranstaltungen sind Pflichtveranstaltungen im Bachelorstudiengang Physik und im Diplomstudien-

gang Physik.

Die Lehrveranstaltung „Grundlagen der Mathematik I“ ist inhaltliche Voraussetzung für alle (Teil-)Module des

2. Semesters, das gesamte Modul ist inhaltliche Voraussetzung für alle Module ab dem 3. Semester.

9 Notenermittlung / Stellenwert der Note für die Endnote:

Die Modulnote ergibt sich aus dem Ergebnis der mündlichen Modulprüfung. Sie hat einen Stellenwert von ca.

18,8% für die Note der Bachelorprüfung.


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10 Hinweise zur Vorbereitung auf das Modul:

Literaturhinweise: O. Forster: Analysis 1, Analysis 2,

H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1 und Teil 2,

M. Barner, F. Flohr: Analysis I, Analysis II,

K. Königsberger: Analysis 1, Analysis 2,

G. Fischer: Lineare Algebra,

H.-J. Kowalsky, G.O. Michler: Lineare Algebra,

S. Bosch: Lineare Algebra,

K. Jänich: Linear Algebra.

Lernunterlagen,

weitere Materialien:

Zur Vorbereitung auf das Modul wird die Teilnahme an dem Online Mathematik

Brückenkurs (OMB+) empfohlen, siehe http://www.mathematik.uni-kl.de/omb

Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben; Übungsmaterial wird gestellt.

11 Modulbeauftragte und Lehrende:

Modulbeauftragter: Dr. habil. C. Lossen

Lehrende: Dozentinnen und Dozenten des Fachbereichs Mathematik

12 Sonstige Informationen:

Die Lehrveranstaltungen werden im Rahmen des Programms „Früheinstieg in das Mathematikstudium“ (FiMS)

auch im Fernstudium angeboten, siehe http://fims.mathematik.uni-kl.de

http://www.mathematik.uni-kl.de/omb

http://fims.mathematik.uni-kl.de/


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2. Block: Aufbau Reine Mathematik

2.1 Module

Modul: Reine Mathematik A

Modulnummer

MAT-12-10A-M-2

Aufwand

300 h

LP (Credits)

10 LP

Semester1)

1 und 2


jedes Semester

Dauer

2 Semester

1 Lehrveranstaltungen Kontaktzeit Selbststudium Geplante Gruppengröße

Algebraische Strukturen 2 SWS / 30 h Vorlesung

2 SWS / 30 h Übung


ca. 20 Studierende

Reine Mathematik A1:

Lehrveranstaltung aus dem

Katalog zur Reinen

Mathematik (siehe 2.2)

2 SWS / 30 h Vorlesung

1 SWS / 15 h Übung


ca. 20 Studierende

insgesamt:

7 SWS / 105 h

insgesamt:

195 h


Die Studierenden kennen und verstehen die axiomatische Methodik der Mathematik sowie die grundlegenden

Strukturen und Methoden der Algebra. Zudem haben sie – aufbauend auf den im ersten Semester vermittelten

Kenntnissen – Grundkenntnisse in einem Teilgebiet der Reinen Mathematik erworben. Sie haben gelernt,

allgemeine mathematische Strukturen zu erkennen und Aussagen darüber exakt zu formulieren. Ihre

Kreativität im Umgang mit abstrakten Strukturen wurde gefördert. Sie haben gelernt, mathematische Beweise

nachzuvollziehen und in einfachen Beispielen selbstständig mathematische Aussagen zu beweisen bzw. zu

widerlegen.


Aussagen und Methoden aus den Vorlesungen erarbeitet. Besondere Beachtung fand dabei das Erlernen einer

logisch richtigen, lückenlosen Argumentation.

3 Inhalte:

Algebraische Strukturen:

• Algebraische Grundstrukturen: Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)

• Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)

• Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: Euklidischer Algorithmus)

Reine Mathematik A1:

Einführung in ein Themengebiet der Reinen Mathematik nach Wahl aus:

Algebra, Differentialgleichungen, Elementare Zahlentheorie, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Maß- und

Integrationstheorie, Topologie, Vektoranalysis oder anderes Themengebiet der Reinen Mathematik

4 Lehrformen:

Vorlesungen, Übungen und Tutorien in Kleingruppen – die Lehrveranstaltungen „Algebraische Strukturen“,

„Elementare Zahlentheorie“ und „Einführung: Algebra“ werden im Rahmen von FiMS auch im Fernstudium

angeboten


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Keine

6 Prüfungsformen:

schriftliche Abschlussklausur zu den Übungen zu „Algebraische Strukturen“, mündliche Modulprüfung

(Einzelprüfung, Dauer 20-30 Minuten).

7 Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten, Prüfungsvorleistungen:

Übungsschein zu „Algebraische Strukturen“ durch die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen und an einer

Klausur;

Übungsschein zu „Reine Mathematik A1“ durch die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen;

Modulprüfung über beide Lehrveranstaltungen; bei der Meldung zur Modulprüfung muss der Übungsschein zu

„Algebraische Strukturen“ nachgewiesen werden.


Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik;

Lehrveranstaltungen sind verwendbar für das Fach Mathematik im lehramtsbezogenen Bachelorstudiengang

mit Schwerpunkten Lehramt an Gymnasien und Lehramt an Realschulen Plus;

Lehrveranstaltungen sind verwendbar für das Fach Mathematik im Masterstudiengang Lehramt an

berufsbildenden Schulen;

die Lehrveranstaltung „Algebraische Strukturen“ ist inhaltliche Voraussetzung für alle Lehrveranstaltungen im

Bereich der Algebra.



6,4 % für die Note der Bachelorprüfung.


Literaturhinweise: siehe Lehrveranstaltungsbeschreibungen in Abschnitt 2.2.

Lernunterlagen,






1) Bei Wahl des Anwendungsfachs Physik kann es bei einem Studienbeginn zum Wintersemester

empfehlenswert sein, mit diesem Modul erst im zweiten Studiensemester zu beginnen.


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Modul: Reine Mathematik B

Modulnummer

MAT-12-10B-M-3

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

3 oder 4


jedes Semester

Dauer1)

1 Semester

1 Lehrveranstaltungen: Kontaktzeit Selbststudium Geplante Gruppengröße

Reine Mathematik B1:


Katalog zur Reinen



1 SWS / 15 h Übung


ca. 20 Studierende

Reine Mathematik B2:


Katalog zur Reinen



1 SWS / 15 h Übung


ca. 20 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h


Die Studierenden haben – aufbauend auf den im ersten Studienjahr vermittelten Kenntnissen –

Grundkenntnisse in zwei weiteren Themengebieten der Reinen Mathematik erworben. Dabei wurde die

Vertrautheit mit der axiomatischen Methodik der Mathematik verstärkt, sowie die Fähigkeit gefördert,

allgemeine mathematische Strukturen zu erkennen, Aussagen darüber exakt zu formulieren, kreativ mit

abstrakten Strukturen umzugehen und selbstständig mathematische Aussagen zu beweisen bzw. zu

widerlegen.

In den Übungen haben die Studierenden sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den

Begriffen, Aussagen und Methoden aus den Vorlesungen erarbeitet. Besondere Beachtung fand dabei das

Erlernen einer logisch richtigen, lückenlosen Argumentation.

3 Inhalte:

Einführung in zwei weitere Themengebiete der Reinen Mathematik nach Wahl aus:

Vektoranalysis, Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Maß- und Integrationstheorie,

Algebra, Elementare Zahlentheorie, Topologie oder anderes Themengebiet der Reinen Mathematik

4 Lehrformen:

Vorlesungen, Übungen in Kleingruppen


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“; weitere Voraussetzungen je nach Wahl der

Lehrveranstaltungen aus dem Katalog zur Reinen Mathematik (siehe Abschnitt 2.2)

Formal: Übungsschein zu „Grundlagen der Mathematik I“ oder „Grundlagen der Mathematik II“ ist

Teilnahmevoraussetzung für Modulprüfung.

6 Prüfungsformen:

i.d.R. mündliche Modulprüfung (Einzelprüfung, Dauer 20-30 Minuten).

7 Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten:

Je ein Übungsschein zu jeder Lehrveranstaltung durch die erfolgreiche Teilnahme an den zugehörigen

Übungen;

Modulprüfung über beide Lehrveranstaltungen.


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Lehrveranstaltungen sind verwendbar für das Fach Mathematik in den Masterstudiengängen für das Lehramt

an Gymnasien, für das Lehramt an Realschulen Plus und für das Lehramt an berufsbildenden Schulen;

je nach Wahl der Lehrveranstaltungen kann das Modul als Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Physik oder

als Wahlpflichtmodul für das Nebenfach Mathematik des Bachelorstudiengangs Informatik eingebracht

werden.






Lernunterlagen,






1) Je nach Wahl der Lehrveranstaltungen kann sich das Modul über 2 Semester erstrecken.


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Modul: Reine Mathematik C

Modulnummer

MAT-12-10C-M-3

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

3, 4 oder 5


jedes Semester

Dauer1)

1 Semester


Reine Mathematik C1:


Katalog zur Reinen



1 SWS / 15 h Übung


ca. 20 Studierende

Reine Mathematik C2:


Katalog zur Reinen



1 SWS / 15 h Übung


ca. 20 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h


Die Studierenden haben – aufbauend auf den im ersten Studienjahr vermittelten Kenntnissen –

Grundkenntnisse in zwei weiteren Themengebieten der Reinen Mathematik erworben. Dabei wurde die

Vertrautheit mit der axiomatischen Methodik der Mathematik verstärkt, sowie die Fähigkeit gefördert,

allgemeine mathematische Strukturen zu erkennen, Aussagen darüber exakt zu formulieren, kreativ mit

abstrakten Strukturen umzugehen und selbstständig mathematische Aussagen zu beweisen bzw. zu

widerlegen.


Begriffen, Aussagen und Methoden aus den Vorlesungen erarbeitet. Besondere Beachtung fand dabei das

Erlernen einer logisch richtigen, lückenlosen Argumentation.

3 Inhalte:

Einführung in zwei weitere Themengebiete der Reinen Mathematik nach Wahl aus:

Vektoranalysis, Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Maß- und Integrationstheorie,

Algebra, Elementare Zahlentheorie, Topologie oder anderes Themengebiet der Reinen Mathematik

4 Lehrformen:

Vorlesungen, Übungen in Kleingruppen



Lehrveranstaltungen aus dem Katalog zur Reinen Mathematik (siehe Abschnitt 2.2)


Teilnahmevoraussetzung für Modulprüfung.

6 Prüfungsformen:


7 Voraussetzungen für die Vergabe von Leistungspunkten:

Je ein Übungsschein zu jeder Lehrveranstaltung durch die erfolgreiche Teilnahme an den zugehörigen

Übungen;

Modulprüfung über beide Lehrveranstaltungen.


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Lehrveranstaltungen sind verwendbar für das Fach Mathematik in den Masterstudiengängen für das Lehramt

an Gymnasien, für das Lehramt an Realschulen Plus und für das Lehramt an berufsbildenden Schulen;

je nach Wahl der Lehrveranstaltungen kann das Modul als Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Physik oder

als Wahlpflichtmodul für das Nebenfach Mathematik des Bachelorstudiengangs Informatik eingebracht

werden.






Lernunterlagen,






1) Je nach Wahl der Lehrveranstaltungen kann sich das Modul über 2 Semester erstrecken.


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Modul: Proseminar (Reine Mathematik)

Modulnummer

MAT-16-10R-S-3

Aufwand

90 h

LP (Credits)

3 LP

Semester

3 oder 4


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Proseminar nach Wahl aus

dem vorhandenen

Lehrangebot

2 SWS / 30 h Proseminar 60 h 10-25 Studierende,


Die Studierenden haben gelernt, sich ein mathematisches Thema selbstständig zu erarbeiten und dieses in

geeigneter Form zu präsentieren.

3 Inhalte:

Proseminar in einem Gebiet der Reinen Mathematik nach Wahl aus dem vorhandenen Lehrangebot

4 Lehrformen:

Seminar


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“

Formal: vorherige Anmeldung.

6 Prüfungsformen:

i.d.R. Kombination aus mündlichem Vortrag und schriftlicher Ausarbeitung (Studienleistung)

7 Vergabe von Leistungspunkten, Prüfungen:

Proseminarschein durch die erfolgreiche Teilnahme am Proseminar. Die Art der zu erbringenden Leistung wird

jeweils vor Beginn des Proseminars von dem Veranstaltungsleiter bekannt gegeben; sie besteht in der Regel

aus der Kombination eines mündlichen Vortrags (Dauer 30-90 Minuten) und einer schriftlichen Ausarbeitung

(Hausarbeit).


Wahlpflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik. Insgesamt muss ein Proseminar erbracht werden.

Alternativ zu dem Proseminar im Block „Aufbau Reine Mathematik“ kann auch ein Proseminar im Block „Aufbau

Praktische Mathematik“ erbracht werden.

Je nach Themenwahl ist das Proseminar ebenfalls verwendbar für das Fach Mathematik im lehramtsbezogenen

Bachelorstudiengang.


Das Modul geht unbenotet in die Bachelorprüfung ein; es hat somit einen Stellenwert von 0 % für die Note der

Bachelorprüfung.


Literaturhinweise: Die Literatur wird in der jeweiligen Veranstaltung (bzw. deren Vorbesprechung) bekannt

gegeben.

Lernunterlagen,


11 Modulbeauftragte und hauptamtlich Lehrende:


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Modulbeauftragte: Dr. habil. C. Lossen



Gegen Ende der Vorlesungszeit jedes Semesters werden die im folgenden Semester angebotenen Proseminare

im Rahmen der „Proseminarbörse“ vorgestellt und die Teilnahme- und Anmeldemodalitäten bekannt gegeben.


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2.2 Lehrveranstaltungskatalog zur Reinen Mathematik

Einführung: Algebra

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung

Aufwand / Leistungspunkte

siehe Modulbeschreibung

Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester

1 Spezielle Lernergebnisse / Kompetenzen:

Die Studierenden verstehen (am Beispiel der Körpertheorie), wie das Zusammenspiel verschiedener Teilgebiete

der Algebra zu neuen Erkenntnissen führt (insbesondere auch zu Antworten auf klassische Fragestellungen der

Antike). Dabei wurde die Grunderkenntnis vertieft, dass oftmals verschiedene Gebiete der Mathematik

zusammenwirken müssen, um konkrete Probleme zu lösen.

2 Inhalte:

• Hauptidealringe, ZPE-Ringe

• Gruppen, Operationen, Sylowsätze

• Stamm- und Zerfällungskörper

• Hauptsatz der Galoistheorie

• Auflösbarkeit von Gleichungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

3 Spezielle inhaltliche Voraussetzungen für die Teilnahme:

Lehrveranstaltung „Algebraische Strukturen“

4 Häufigkeit des Angebots:

Jedes Jahr (im Wintersemester)

5 Hinweise zur Vorbereitung auf die Lehrveranstaltung:

Literaturhinweise: F. Lorenz: Einführung in die Algebra,

B.L. van der Waerden: Algebra,

G. Wüstholz: Algebra.

Lernunterlagen,



6 Hauptamtlich Lehrende:

Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. A. Gathmann, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. M. Schulze, Prof. Dr. U. Thiel


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Einführung: Funktionalanalysis

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Funktionalanalysis;

insbesondere wurden sie in die Theorie unendlich-dimensionaler Räume eingeführt und damit das

fortgeschrittene Abstraktionsvermögen gefördert.

2 Inhalte:

• Beispiele für Banachräume und Hilberträume;

• Kompaktheit, Heine-Borel, Arzela-Ascoli;

• beschränkte lineare Operatoren, adjungierte Operatoren, Neuman-Reihe;

• Orthogonalität, Hilbertraum-Basis, Riesz-Darstellung, Lax-Milgram, selbstadjungierte Operatoren,

Spektraltheorie.




Literaturhinweise: H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis,

H. Heuser: Funktionalanalysis.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. M. Grothaus, Prof. Dr. K. Ritter


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Einführung: Funktionentheorie

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Funktionentheorie. Sie

wissen und verstehen, wie sich die Konzepte der reellen Analysis ins Komplexe übertragen lassen, und haben

insbesondere ein tieferes Verständnis für die elementaren Funktionen erworben. Sie haben gelernt, dass eine

elegante mathematische Theorie Ergebnisse von großer Tragweite liefern kann.

2 Inhalte:

• Komplexe Differentialrechnung: Holomorphe Funktionen, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

• Komplexe Integralrechnung: Kurvenintegrale, Cauchyscher Integralsatz und Anwendungen

• Singularitäten holomorpher Funktionen: Laurentreihen, Hebbarkeitssatz

• Residuensatz und Anwendungen




Literaturhinweise: W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie -Komplexe Analysis in einer Veränderlichen,

R. Remmert, Funktionentheorie 1.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. A. Gathmann, Jun. Prof. Dr. C. Lassueur, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. M. Schulze, Prof. Dr. U. Thiel


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Einführung: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Theorie gewöhnlicher

Differentialgleichungen. Sie sind in der Lage, durch die Kombination von Resultaten aus der Analysis und

Linearen Algebra fortgeschrittene Fragestellungen zu untersuchen und kleinere Anwendungsprobleme aus

Wissenschaft und Technik mittels mathematischer Methoden zu bearbeiten.

2 Inhalte:

In dieser Vorlesung werden die grundlegenden Konzepte zur Behandlung gewöhnlicher

Differentialgleichungen behandelt:

• Differentialgleichungen erster Ordnung: Autonome Differentialgleichungen erster Ordnung, Variation der

Konstanten, Explizit lösbare Fälle, Anfangswertprobleme

• Existenz und Eindeutigkeit: Funktionalanalytische Grundlagen, Banachscher Fixpunktsatz, Satz von Picard-

Lindelöf, Fortsetzbarkeit von Lösungen, Existenzsatz von Peano

• Qualitatives Verhalten: Lemma von Gronwall, Stetige Abhängigleit von den Daten, Ober- und

Unterfunktionen

• Lineare Differentialgleichungen: Homogene lineare Systeme, Matrix--Exponentialfunktion, Variation der

Konstanten, Differentialgleichungen n-ter Ordnung

• Stabilität: Dynamische Systeme, Phasenraum, Hamiltonsche Systeme, Asymptotisches Verhalten,

Stabilitätstheorie nach Lyapunov


Jedes Jahr (im Sommersemester)


Literaturhinweise: V.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen,

L. Grüne, O. Junge: Gewöhnliche Differentialgleichungen,

H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen,

J.W. Prüss, M. Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme,

W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen,

G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamic Systems.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. T. Damm, Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. G. Steidl, Prof. Dr. C.

Surulescu


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Einführung: Topologie

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der mengentheoretischen

Topologie. Sie haben gelernt, wie sich das Konzept der Stetigkeit auf metrischen Räumen verallgemeinern

lässt auf abstrakte topologische Räume, wodurch das fortgeschrittene Abstraktionsvermögen gefördert wurde.

Die Studierenden sind in der Lage, topologische Konzepte in verschiedenen Bereichen der Mathematik

anzuwenden. Insbesondere wurde ihnen vermittelt, wie man anschauliche Argumente in mathematische

Beweise umsetzen kann. Durch die Behandlung der Fundamentalgruppe als topologische Invariante haben die

Studierenden exemplarisch den Einsatz algebraischer Methoden zur Beantwortung rein topologischer

Fragestellungen kennen gelernt. Insbesondere wurde ihnen dabei ein vertieftes Verständnis für das

Zusammenspiel mathematischer Disziplinen vermittelt.

2 Inhalte:

• Mengentheoretische Topologie: Topologische Räume und stetige Abbildungen, Zusammenhang,

Trennungsaxiome, Kompaktheit, Konstruktionen (insbes. Produkte, Quotienten)

• Homotopie von Abbildungen

• Fundamentalgruppe






Literaturhinweise: M.A. Armstrong: Basic Topology,

A.T. Fomenko: Visual Geometry and Topology,

D.B. Fuks, V.A. Rokhlin: Beginner`s Course in Topology,

K. Jänich: Topologie,

H. Seifert, W. Threlfall: Lehrbuch der Topologie.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. A. Gathmann, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. U. Thiel


- 20 -

Elementare Zahlentheorie

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Zahlentheorie. Dabei wurde

insbesondere das fortgeschrittene Abstraktionsvermögen gefördert.

2 Inhalte:

• Eindeutige Primzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen

• Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)*

• Gaußsches Reziprozitätsgesetz

• Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten






Literaturhinweise: R. Remmert, P. Ullrich: Elementare Zahlentheorie,

R. Schulze-Pillot: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie,

T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. C. Fieker, Jun. Prof. Dr. C. Lassueur, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. M. Schulze, Prof. Dr. U. Thiel


- 21 -

Maß- und Integrationstheorie

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Konstruktionen, Ergebnisse und Beweismethoden der

Maß- und Integrationstheorie. Die Inhalte sind Grundlage für alle weiterführenden Veranstaltungen aus den

Bereichen Stochastik und Funktionalanalysis.

2 Inhalte:

• Mengensysteme, Satz von Caratheodory

• d-dimensionales Lebesgue-Maß

• messbare Funktionen, Integral bzgl. eines Maßes, Konvergenzsätze

• Lp -Räume

• Produkt-Maße, Satz von Fubini

• Transformationssatz

• Satz von Radon-Nikodym




Literaturhinweise: J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie,

H. Bauer: Maß- und Integrationstheorie.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. M. Grothaus, Prof. Dr. R. Korn, Prof. Dr. C. Redenbach, Prof. Dr. K. Ritter, Prof. Dr. J. Saß


- 22 -

Vektoranalysis

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

2, 3 oder 4

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Vektoranalysis. In

Ergänzung der Vorlesungen des 1. Studienjahres haben sie gelernt, Techniken und grundlegende Sätze der

Integration skalarer und vektorieller Funktionen über Flächen und Kurven anzuwenden und ihre Richtigkeit zu

beweisen.

2 Inhalte:

• Parametrisierung von Kurven und Flächen im Rn

• Berechnung von Oberflächen- und (skalaren und vektoriellen) Kurvenintegralen im Rn

• Tangentialräume und Differential differenzierbarer Abbildungen

• Klassische Operatoren auf Vektorfeldern: div, rot, grad

• Integralsätze von Gauß und Stokes, Green’sche Formeln, Anwendungen im R3




Literaturhinweise: K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis,

K. Jänich: Vektoranalysis.,

D.E. Bourne, P.C Kendall: Vektoranalysis,

F.E. Marsden, A.J. Tromba: Vektoranalysis.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. G. Steidl, Prof. Dr. C. Surulescu


- 23 -

3. Block: Aufbau Praktische Mathematik

3.1 Module

Modul: Praktische Mathematik A

Modulnummer

MAT-14-10A-M-3

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

3, 4 oder 5


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Praktische Mathematik A:


Katalog zur Praktischen



2 SWS / 30 h Übung


ca. 20 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h


Die Studierenden haben – aufbauend auf den im ersten Studienjahr vermittelten Kenntnissen – theoretische

und praktische Grundkenntnisse in einem Themengebiet der Praktischen Mathematik erworben. Dabei haben

sie exemplarisch gelernt, wie Probleme aus Wissenschaft und Technik mittels mathematischer Methoden

bearbeitet und gelöst werden können.


Begriffen, Aussagen und Methoden aus den Vorlesungen erarbeitet. Die praktische Umsetzung der Algorithmen

wurde parallel im Rahmen von Programmierprojekten (siehe Modul „Mathematische Modellierung“) erlernt.

3 Inhalte:

Einführung in ein Themengebiet der Praktischen Mathematik nach Wahl aus:

Numerische Methoden, Stochastische Methoden, Lineare und Netzwerkoptimierung, Symbolisches Rechnen

oder anderes Themengebiet der Praktischen Mathematik

4 Lehrformen:

Vorlesung, Übungen in Kleingruppen




Teilnahmevoraussetzung für die Modulprüfung.

6 Prüfungsformen:


7 Voraussetzungen für die Vergabe von Leistungspunkten, Prüfungen:

Übungsschein durch die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen;

Modulprüfung über die Lehrveranstaltung.


- 24 -



die Lehrveranstaltungen sind verwendbar für das Fach Mathematik in den Masterstudiengängen für das

Lehramt an Gymnasien, für das Lehramt an Realschulen Plus und für das Lehramt an berufsbildenden Schulen;

je nach Wahl der Lehrveranstaltungen kann das Modul als Wahlpflichtmodul für das Nebenfach Mathematik

des Bachelorstudiengangs Informatik eingebracht werden.






Lernunterlagen,






- 25 -

Modul: Praktische Mathematik B

Modulnummer

MAT-14-10B-M-3

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

3, 4 oder 5


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Praktische Mathematik B:





2 SWS / 30 h Übung


ca. 20 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h



und praktische Grundkenntnisse in einem weiteren Themengebiet der Praktischen Mathematik erworben.

Dabei haben sie exemplarisch gelernt, wie Probleme aus Wissenschaft und Technik mittels mathematischer

Methoden bearbeitet und gelöst werden können.




3 Inhalte:




4 Lehrformen:






6 Prüfungsformen:












- 26 -






Lernunterlagen,






- 27 -

Modul: Praktische Mathematik C

Modulnummer

MAT-14-10C-M-3

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

3, 4 oder 5


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Praktische Mathematik C:





2 SWS / 30 h Übung


ca. 20 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h



und praktische Grundkenntnisse in einem weiteren Themengebiet der Praktischen Mathematik erworben.

Dabei haben sie exemplarisch gelernt, wie Probleme aus Wissenschaft und Technik mittels mathematischer

Methoden bearbeitet und gelöst werden können.




3 Inhalte:




4 Lehrformen:






6 Prüfungsformen:












- 28 -






Lernunterlagen,






- 29 -

Modul: Proseminar (Praktische Mathematik)

Modulnummer

MAT-16-10P-S-3

Aufwand

90 h

LP (Credits)

3 LP

Semester

3 oder 4


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Proseminar nach Wahl aus

dem vorhandenen

Lehrangebot

2 SWS / 30 h Proseminar 60 h 10-25 Studierende,


Die Studierenden haben gelernt, sich ein mathematisches Thema selbstständig zu erarbeiten und dieses in

geeigneter Form zu präsentieren.

3 Inhalte:

Proseminar in einem Gebiet der Praktischen Mathematik nach Wahl aus dem vorhandenen Lehrangebot

4 Lehrformen:

Seminar



Formal: vorherige Anmeldung.

6 Prüfungsformen:

i.d.R. Kombination aus mündlichem Vortrag und schriftlicher Ausarbeitung (Studienleistung)

7 Vergabe von Leistungspunkten, Prüfungen:

Proseminarschein durch die erfolgreiche Teilnahme am Proseminar. Die Art der zu erbringenden Leistung wird

jeweils vor Beginn des Proseminars von dem Veranstaltungsleiter bekannt gegeben; sie besteht in der Regel

aus der Kombination eines mündlichen Vortrags (Dauer 30-90 Minuten) und einer schriftlichen Ausarbeitung

(Hausarbeit).


Wahlpflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik. Insgesamt muss ein Proseminar erbracht werden.

Alternativ zu dem Proseminar im Block „Aufbau Praktische Mathematik“ kann auch ein Proseminar im Block

„Aufbau Reine Mathematik“ erbracht werden.

Je nach Themenwahl ist das Proseminar ebenfalls verwendbar für das Fach Mathematik im lehramtsbezogenen

Bachelorstudiengang.



Bachelorprüfung.


Literaturhinweise: Die Literatur wird in der jeweiligen Veranstaltung (bzw. deren Vorbesprechung) bekannt

gegeben.

Lernunterlagen,




- 30 -

Modulbeauftragte: Dr. habil. C. Lossen



Gegen Ende der Vorlesungszeit jedes Semesters werden die im folgenden Semester angebotenen Proseminare

im Rahmen der „Proseminarbörse“ vorgestellt und die Teilnahme- und Anmeldemodalitäten bekannt gegeben.


- 31 -

3.2 Lehrveranstaltungskatalog zur Praktischen Mathematik

Einführung in die Numerik

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

3, 4 oder 5

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Methoden und Algorithmen zur numerischen Lösung von

Fragestellungen der Linearen Algebra und Analysis. Sie können die Möglichkeiten und Grenzen des Einsatzes

numerischer Algorithmen kritisch beurteilen, und sie sind in der Lage, kleinere Probleme aus Wissenschaft und

Technik mittels numerischer Methoden zu bearbeiten.

2 Inhalte:

In dieser Vorlesung werden die grundlegenden Konzepte und Algorithmen zur numerischen Lösung von

Fragestellungen aus der Analysis und Linearen Algebra behandelt:

• Approximationstheorie, Interpolation von stetigen und differenzierbaren Funktionen durch Polynome oder

Spline-Funktionen

• Numerische Integration: Interpolations- und Gaußquadratur

• Numerische Verfahren für lineare Gleichungssysteme: Gaußelimination, Choleskyverfahren, QR-Zerlegung,

Störungstheorie

• Lineare Ausgleichsprobleme

• Nichtlineare und parameterabhängige Gleichungssysteme

• Eigenwertprobleme




Literaturhinweise: P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I,

J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische Mathematik,

J. Werner: Numerische Mathematik.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. T. Damm, Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. K. Ritter, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. G. Steidl,

Prof. Dr. C. Surulescu


- 32 -

Stochastische Methoden

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

3, 4 oder 5

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen und verstehen stochastische Begriffsbildungen, die Grundbegriffe der

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sie sind in der Lage, stochastische Methoden auf einfache praktische

Probleme anzuwenden.

2 Inhalte:

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik:

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie:

• Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsraum, Zufallsvariable, Verteilung)

• Verteilung reellwertiger Zufallsvariablen (Binomial-, Poisson-, Exponential- und Normalverteilung u.a.)

• Erwartungswert, Varianz, Kovarianz

• Verteilung von Zufallsvektoren, multivariate Normalverteilung als Beispiel

• Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

• Gesetz der großen Zahlen

• Monte-Carlo-Simulation

• Zentraler Grenzwertsatz

Grundlagen der Statistik:

• Parameterschätzer

• Intervallschätzer

• Tests




Literaturhinweise: D. Williams: Weighing the Odds - A Course in Probability and Statistics,

H.O. Georgii: Stochastik - Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik,

U. Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik,

K.L. Chung: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und stochastische Prozesse.

Lernunterlagen,




Prof. Dr. R. Korn, Prof. Dr. C. Redenbach, Prof. Dr. K. Ritter, Prof. Dr. J. Saß


- 33 -

Lineare und Netzwerkoptimierung

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

3, 4 oder 5

Dauer

1 Semester


Die Studierenden kennen die grundlegenden Methoden und Algorithmen zur Behandlung von linearen

Optimierungsproblemen und Optimierungsproblemen auf Netzwerken. Sie sind in der Lage, einfache

praktische Probleme in die Sprache der Mathematik zu übersetzen und Lösungsverfahren mit Hilfe der

Modellierungstechniken der Optimierung zu entwickeln

2 Inhalte:

• Simplex-Methode

• Lineare Programme in Standard-Form

• Fundamentalsatz der Linearen Optimierung

• Degeneriertheit

• Varianten der Simplex-Methode

• Dualitätssatz und Complementary Slackness

• Innere-Punkte-Verfahren

• Graphentheoretische Grundbegriffe

• Minimale aufspannende Bäume

• Kürzeste-Wege-Probleme

• Maximale Flüsse

• Kostenminimale Flüsse


Lineare Optimierung:

Simplex-Methode; Lineare Programme in Standard-Form; Fundamentalsatz der Linearen Optimierung;

Degeneriertheit; Varianten der Simplex-Methode; Dualitätssatz und Complementary Slackness; Innere-Punkte-

Verfahren

Netzwerk-Optimierung:

Graphentheoretische Grundbegriffe; Minimale aufspannende Bäume; Kürzeste-Wege-Probleme; Maximale

Flüsse; Kostenminimale Flüsse




Literaturhinweise: H.W. Hamacher, K. Klamroth: Lineare und Netzwerkoptimierung - Linear and Network

Optimization (ein bilinguales Lehrbuch),

M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis, H.D. Sharli: Linear Programming and Network Flows, 2nd edition,

V. Chvátal: Linear Programming,

S.O. Krumke, H. Noltemeier: Graphentheoretische Konzepte und Anwendungen.

Lernunterlagen,


Weitere Literatur wird in der Lehrveranstaltung bekanntgegeben; Übungsmaterialien

werden gestellt. Vorlesungsmitschnitte verfügbar unter https://videoportal.uni-kl.de/


Dr. F. Kämmerer, Prof. Dr. S. Krumke, Prof. Dr. S. Ruzika, Prof. Dr. A. Schöbel

https://videoportal.uni-kl.de/


- 34 -

Einführung in das Symbolische Rechnen

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

3, 4 oder 5

Dauer

1 Semester


Die Studierenden sind mit modernen Methoden des symbolischen Rechnens und deren Komplexität vertraut.

Insbesondere haben sie dabei ein Gefühl entwickelt für den Entwurf algebraischer Algorithmen sowie deren

praktische Umsetzung. Letzteres wird in dem optionalen Praktikum vertieft.

2 Inhalte:

• Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zahlen,

• Polynomarithmetik (schnelle Polynommultiplikation, modulare ggT-Berechnung, Faktorisierung),

• Moduln über Hauptidealringen (Struktursatz, Hermite- und Smith-Normalform),

• Gröbnerbasen für Ideale und Moduln,

• Gitter (Rationale Rekonstruktion, LLL-Algorithmus, Anwendung auf Polynomfaktorisierung).


Jedes Jahr




Literaturhinweise: H. Cohen: A Course in Computational Algebraic Number Theory,

D. A. Cox, J. Little, D. O'Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms,

W. Decker, G. Pfister: A First Course in Computational Algebraic Geometry,

J. von zur Gathen, J. Gerhard: Modern Computer Algebra,

D. Knuth: The Art of Computer Programming. Volumes 1,2,3,

R. Lidl, H. Niederreiter: Introduction to Finite Fields and Their Applications,

G.-M. Greuel, G. Pfister: A SINGULAR Introduction to Commutative Algebra.

Lernunterlagen,




Dr. J. Böhm, Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. M. Schulze, Prof. Dr. U. Thiel


- 35 -

4. Block: Modellierung

4.1 Modul

Modul: Mathematische Modellierung

Modulnummer

MAT-14-00-M-3

Aufwand

480 h

LP (Credits)

16 LP

Semester

2, 3 und 4


jedes Semester

Dauer

3 Semester


Einführung in

wissenschaftliches

Programmieren


2 SWS / 30 h Übungen


ca. 20 Studierende

Mathematische

Modellierung

2 SWS / 30 h Vorlesung mit

integrierten Übungen oder

2 SWS / 30 h Proseminar


ca. 25 Studierende

Praktikum

Praktische Mathematik 1

2 SWS / 30 h Projektarbeiten 90 h ca. 20 Studierende

Praktikum

Praktische Mathematik 2

2 SWS / 30 h Projektarbeiten 90 h ca. 20 Studierende

insgesamt:

10 SWS / 150 h

insgesamt:

330 h


Die Studierenden sind in der Lage, selbstständig Teilaspekte exemplarischer Anwendungsprobleme aus

Industrie und Wirtschaft zu behandeln; dies betrifft insbesondere die Wahl des mathematischen Modells, die

Wahl geeigneter Lösungsverfahren sowie die Interpretation der Ergebnisse.

Durch die Teilnahme am Programmierkurs wurden die Studierenden mit einer Programmiersprache,

grundlegenden Programmiertechniken und Datenstrukturen vertraut gemacht.

Durch die Teilnahme an der Vorlesung oder dem Proseminar „Mathematische Modellierung“ haben die

Studierenden die Grundprinzipien der mathematischen Modellierung kennen gelernt. Dabei haben sie erkannt,

wie die in dem Modul „Grundlagen der Mathematik“ erlernten Konzepte wie Norm, Vektorraum, Folgen und

Reihen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit sowie Extremwerte in einem anwendungsbezogenen Kontext eingesetzt

werden können.

In den zwei Praktika zu Veranstaltungen der Praktischen Mathematik haben die Studierenden gelernt, wie sich

mathematische Fragestellungen durch Umsetzung von Algorithmen am Computer lösen lassen. Zudem wurden

dort die erworbenen theoretischen und praktischen Grundkenntnisse in mathematischer Modellierung anhand

jeweils eines von einer Modellierungsfragestellung ausgehenden Programmierprojektes vertieft.


- 36 -

3 Inhalte:

Theoretische und Praktische Grundlagen der mathematischen Modellierung und Modellbildung


Einführung in wissenschaftliches Programmieren:

Erlernen einer modernen Programmiersprache anhand von mathematischen Fragestellungen

Mathematische Modellierung:

Exemplarische Darstellung des Modellierungsyzklus anhand von spezifischen Problemen aus Industrie und

Technik

Praktikum Praktische Mathematik 1&2:

Lösen von mathematischen Fragestellungen durch Umsetzung von Algorithmen am Computer. Dabei soll

jeweils eines der Programmierprojekte von einer Modellierungsfragestellung ausgehen.

Implementierung von Algorithmen aus zwei verschiedenen Gebieten der praktischen Mathematik mit Hilfe

höherer Programmiersprachen und spezieller mathematischer Softwarepakete.

4 Lehrformen:

Vorlesung, Projektarbeiten (Programmierarbeiten), Seminar


Inhaltlich: Vorlesung „Grundlagen der Mathematik I“ (für die Teilnahme an der Lehrveranstaltung „Einführung

in wissenschaftliches Programmieren“) bzw. „Grundlagen der Mathematik I“ und „Grundlagen der Mathematik

II“ für die übrigen Lehrveranstaltungen.;

Formal: Voraussetzung für die Teilnahme an den Praktika ist jeweils die Teilnahme am zugehörigen Modul der

Praktischen Mathematik; für die Teilnahme an der Lehrveranstaltung „Mathematische Modellierung“ kann das

Bestehen der Modulprüfung zu „Grundlagen der Mathematik“ vorausgesetzt werden.

6 Prüfungsformen:

Testate zu Programmieraufgaben, Portfolio bzw. schriftliche Ausarbeitungen und/oder Präsentationen (jeweils

Studienleistung)

7 Voraussetzungen für die Vergabe von Leistungspunkten:

Übungsschein zu „Einführung in wissenschaftliches Programmieren“ (Testate);

Übungsschein oder Proseminarschein zu „Mathematische Modellierung“;

Je ein Praktikumsschein zu den Praktika (Programmieraufgaben, Testate).


Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik.

Die Lehrveranstaltung „Einführung in wissenschaftliches Programmieren“ ist Pflichtlehrveranstaltung für das

Fach Mathematik im lehramtsbezogenen Bachelorstudiengang mit Schwerpunkten Lehramt an Gymnasien,

Lehramt an Realschulen Plus und Lehramt an berufsbildenden Schulen.

Die Lehrveranstaltung „Mathematische Modellierung“ und/oder die Praktika zur Praktischen Mathematik

können in dem Modul „Mathematik als Lösungspotenzial A“ des Fachs Mathematik im lehramtsbezogenen

Bachelorstudiengang mit Schwerpunkten Lehramt an Gymnasien und Lehramt an Realschulen Plus sowie im

Masterstudiengang für das Lehramt an berufsbildenden Schulen eingebracht werden.



Bachelorprüfung.



- 37 -

Literaturhinweise: Die Literatur wird in den Veranstaltungen bekannt gegeben bzw. zum Download

verfügbar gemacht.

Lernunterlagen,


Übungsmaterialien werden gestellt.





Die Veranstaltung „Einführung in wissenschaftliches Programmieren“ und „Mathematische Modellierung“

werden jedes Semester angeboten;

die Praktika zur Praktischen Mathematik werden jeweils parallel zu den entsprechenden Lehrveranstaltungen

(siehe Abschnitt 3.2) angeboten.


- 38 -

5. Block: Fachpraktikum / Wahlbereich

5.1 Fachpraktikum

Modul: Fachpraktikum

Modulnummer

MAT-25-10-P-4

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

5 oder 6


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Fachpraktikum Projekt 2 SWS / 30 h

Projektbegleitung

240 h 2-3 Studierende


Die Studierenden haben gelernt, einen mathematischen Sachverhalt zu durchdringen, einschließlich der

Erstellung eines Zeitplans sowie der Festlegung von Meilensteinen.

Sie sind in der Lage, ein in sich geschlossenes Programmier-Projekt durchzuführen, inklusive der Erstellung

einer vollständigen Dokumentation sowie einer abschließenden Validierung, der Projektplanung, des

Teammanagements und der Präsentation des fertigen Produkts

3 Inhalte:

Exemplarisch soll anhand eines ausgewählten Themas ein Sachverhalt aus der Mathematik bis zur praktischen

Umsetzung in Form eines Programms / Programmpakets behandelt werden. Das bedeutet, dass nach

weitgehend selbstständiger Erarbeitung des Sachverhaltes die Realisierung des Projektes geplant,

durchgeführt und durch Präsentation zum Abschluss gebracht werden soll.

Das Praktikumsthema soll die unterschiedliche Vorbildung der Studierenden berücksichtigen, die darauf

beruht, dass individuell verschiedene Auswahlen bei den Wahlpflichtfächern des zweiten Studienjahres

getroffen wurden.

Ein einzelnes Projekt soll in der Regel von zwei bis drei Studierenden gemeinsam bearbeitet werden.

Die Durchführung des Projektes wird begleitet von der Vermittlung bzw. Erarbeitung der notwendigen

Grundlagen in den Softskills (wie Projektplanung und Teammanagement).

4 Lehrformen:

Projektarbeiten (in Gruppenarbeit)


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“; Vorlesungen „Einführung in die mathematische Modellierung“

und „Einführung in wissenschaftliches Programmieren“ aus dem Modul „Mathematische Modellierung“;

Kenntnisse aus Veranstaltungen der Praktischen Mathematik; je nach Projekt können weitere inhaltliche

Voraussetzungen hinzukommen.

Formal: Anmeldung bei der oder dem zuständigen Fachpraktikumsbeauftragten erforderlich; bei Praktika, die

außerhalb des Fachbereichs Mathematik durchgeführt werden, muss die Anmeldung mindestens einen Monat

vor Beginn des Praktikums erfolgt sein. Als Zulassungsvoraussetzung für ein konkretes Fachpraktikum kann der

Nachweis eines bestimmten Praktikumsscheins aus dem Modul „Mathematische Modellierung“ verlangt

werden.


- 39 -

6 Prüfungsformen:

schriftlicher Praktikumsbericht und Präsentation (Studienleistung).

7 Vergabe von Leistungspunkten:

Praktikumsschein durch die erfolgreiche Teilnahme.


Wahlpflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik; alternativ kann auch das Modul „Fachpraktikum

(erweitert)“ erbracht werden.

Das Modul ist mit Genehmigung des Prüfungsausschusses des Fachbereichs Mathematik ersetzbar durch ein

vom Umfang (ca. 7 Wochen Vollzeit) vergleichbares Industriepraktikum, welches das Erreichen der

Qualifikationsziele sicherstellt.



Bachelorprüfung.

10 Modulbeauftragte:

Fachpraktikumsbeauftragte der Schwerpunkte:

• Algebra, Geometrie und Computeralgebra: Dr. J. Böhm,

• Analysis und Stochastik: Dr. T. Fattler,

• Modellierung und Wissenschaftliches Rechnen: Dr. M. Bracke,

• Optimierung und Stochastik: Dr. F. Kämmerer (Optimierung), Dr. J.-P. Stockis (Stochastik).


Gegen Ende der Vorlesungszeit jedes Semesters werden die im folgenden Semester angebotenen Fachpraktika

im Rahmen der „Praktikumsbörse“ vorgestellt und die Teilnahme- und Anmeldemodalitäten bekanntgegeben.


- 40 -

Modul: Fachpraktikum (erweitert)

Modulnummer

MAT-25-10-PL-4

Aufwand

450 h

LP (Credits)

15 LP

Semester

5 und/oder 6


jedes Semester

Dauer

1-2 Semester


Fachpraktikum Projekt 3 SWS / 45 h

Projektbegleitung



Die Studierenden haben gelernt, einen mathematischen Sachverhalt zu durchdringen, einschließlich der

Erstellung eines Zeitplans sowie der Festlegung von Meilensteinen.

Sie sind in der Lage, ein in sich geschlossenes Programmier-Projekt durchzuführen, inklusive der Erstellung

einer vollständigen Dokumentation sowie einer abschließenden Validierung, der Projektplanung, des

Teammanagements und der Präsentation des fertigen Produkts

3 Inhalte:

Exemplarisch soll anhand eines ausgewählten Themas ein Sachverhalt aus der Mathematik bis zur praktischen

Umsetzung in Form eines Programms / Programmpakets behandelt werden. Das bedeutet, dass nach

weitgehend selbstständiger Erarbeitung des Sachverhaltes die Realisierung des Projektes geplant,

durchgeführt und durch Präsentation zum Abschluss gebracht werden soll.

Das Praktikumsthema soll auch die unterschiedliche Vorbildung der Studierenden berücksichtigen, die darauf

beruht, dass individuell verschiedene Auswahlen bei den Wahlpflichtfächern des zweiten Studienjahres

getroffen wurden.

Ein einzelnes Projekt soll in der Regel von zwei bis drei Studierenden gemeinsam bearbeitet werden.

Die Durchführung des Projektes wird begleitet von der Vermittlung bzw. Erarbeitung der notwendigen

Grundlagen in den Softskills (wie Projektplanung und Teammanagement).

4 Lehrformen:

Projektarbeiten (in Gruppenarbeit).


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“; Vorlesungen „Einführung in die mathematische Modellierung“

und „Einführung in wissenschaftliches Programmieren“ aus dem Modul „Mathematische Modellierung“;

Kenntnisse aus Veranstaltungen der Praktischen Mathematik; je nach Projekt können weitere inhaltliche

Voraussetzungen hinzukommen.

Formal: Anmeldung bei der oder dem zuständigen Fachpraktikumsbeauftragten erforderlich; bei Praktika, die

außerhalb des Fachbereichs Mathematik durchgeführt werden, muss die Anmeldung mindestens einen Monat

vor Beginn des Praktikums erfolgt sein. Als Zulassungsvoraussetzung für ein konkretes Fachpraktikum kann der

Nachweis eines bestimmten Praktikumsscheins aus dem Modul „Mathematische Modellierung“ verlangt

werden.

6 Prüfungsformen:

schriftlicher Praktikumsbericht und Präsentation (Studienleistung).

7 Vergabe von Leistungspunkten:

Praktikumsschein durch die erfolgreiche Teilnahme.


- 41 -


Wahlpflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik; alternativ kann auch das Modul „Fachpraktikum“

erbracht werden.

Das Modul ist mit Genehmigung des Prüfungsausschusses des Fachbereichs Mathematik ersetzbar durch ein

vom Umfang (ca. 12 Wochen Vollzeit) vergleichbares Industriepraktikum, welches das Erreichen der

Qualifikationsziele sicherstellt.


Das Modul geht unbenotet in die Bachelorprüfung ein ; es hat somit einen Stellenwert von 0 % für die Note

der Bachelorprüfung.

10 Modulbeauftragte:

Fachpraktikumsbeauftragte der Schwerpunkte:

• Algebra, Geometrie und Computeralgebra: Dr. J. Böhm,

• Analysis und Stochastik: Dr. T. Fattler,

• Modellierung und Wissenschaftliches Rechnen: Dr. M. Bracke,

• Optimierung und Stochastik: Dr. F. Kämmerer (Optimierung), Dr. J.-P. Stockis (Stochastik).


Gegen Ende der Vorlesungszeit jedes Semesters werden die im folgenden Semester angebotenen Fachpraktika

im Rahmen der „Praktikumsbörse“ vorgestellt und die Teilnahme- und Anmeldemodalitäten bekanntgegeben.


- 42 -

5.2 Module für den Wahlbereich

Analysis and Modelling of Cognitive Processes

Modulnummer

MAT-60-16U-M-4

Aufwand

90 h

LP (Credits)

3 LP

Semester

4, 5 oder 6


unregelmäßig, letztmalig im

WS 16/17

Dauer

1 Semester


Analysis and Modelling of

Cognitive Processes

2 SWS / 30 h Vorlesung oder

Seminar mit integrierten

Übungen



Die Studierenden kennen und verstehen stochastische Standardmodelle für Lernprozesse sowie Schätz-, und

Testverfahren zur Anpassung dieser Modell an Daten. Sie haben exemplarisch fortgeschrittene statistische

Verfahren zur Analyse und Interpretation komplexer Daten aus dem Gebiet der Signalverarbeitung,

insbesondere in den Biowissenschaften, kennengelernt.

3 Inhalte:

• Markowketten zur Darstellung psychologischer Prozesse,

• Eigenschaften von Markowketten mit diskretem Zustandsraum,

• Schätzen und Testen von Modellparametern,

• neuronale Netze und ihre Anwendungen in Klassifikation und Regression,

• Grundlagen der multivariaten Signal- und Zeitreihenanalyse,

• Spektralanalyse von Zeitreihen.

4 Lehrformen:

Vorlesung oder Seminar mit integrierten Übungen


Inhaltlich: Lehrveranstaltung „Stochastische Methoden“.

Formal: keine.

6 Prüfungsformen:

mündliche Prüfung.


Bestehen der mündlichen Prüfung.


Wahlpflichtmodul für den Wahlbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik; insbesondere verwendbar zur

Vorbereitung auf ein Fachpraktikum im Bereich Statistik.

Die Lehrveranstaltung ist ebenfalls als Wahlpflichtveranstaltung im Masterstudiengang „Cognitive Science“

einbringbar.



Bachelorprüfung.


- 43 -


Literaturhinweise: T. D. Wickens: Models for Behavior – Stochastic Processes in Psychology.

Lernunterlagen,


Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben.


Modulbeauftragter: Prof. Dr. J. Franke

Lehrende: Prof. Dr. J. Franke, Prof. Dr. C. Redenbach, weitere Dozentinnen und Dozenten des

Fachbereichs Mathematik


- 44 -

Arbeitstechniken in der Mathematik

Modulnummer

MAT-AT-10-M-0

Aufwand

90 h

LP (Credits)

3 LP

Semester

3, 4, oder 5


jedes Wintersemester

Dauer

1 Semester


Arbeitstechniken in der

Mathematik

2 SWS / 30 h Kurs mit

integrierten Übungen



Die Studierenden sind in der Lage fachspezifische und grundlegende Schreib- und Arbeitstechniken zu nutzen

sowie – insbesondere zu mathematischen Sachverhalten – Präsentations- und Diskussionstechniken

anzuwenden.

3 Inhalte:

• Strukturierung einer mathematischen Ausarbeitung

• Literaturrecherche

• Erstellung eines mathematischen Textes mit Hilfe eines mathematischen Textverarbeitungssystems

• Präsentationstechniken

• exemplarische Analyse an Beispielen, Diskussion und Kritik

4 Lehrformen:

Vorträge, Seminar, Übungen



Formal: für die Teilnahme an der Lehrveranstaltung kann das Bestehen der Modulprüfung zu „Grundlagen der

Mathematik“ vorausgesetzt werden.

6 Prüfungsformen:

Hausarbeiten, Präsentationen (Studienleistung)


Übungsschein durch die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen


Wahlpflichtmodul für den Wahlbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik



Bachelorprüfung.


Literaturhinweise: Die Literatur wird in der Lehrveranstaltung bekannt gegeben.


Modulbeauftragter: Dr. A.L. Birkmeyer



- 45 -

Grundlagen der Finanzmathematik

Modulnummer

MAT-60-15U-M-4

Aufwand

90 h

LP (Credits)

3 LP

Semester

4, 5 oder 6


jedes Sommersemester

Dauer

1 Semester


Grundlagen der

Finanzmathematik

2 SWS / 30 h Vorlesung mit

integrierten Übungen



Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Finanzmathematik. Sie

verstehen insbesondere, wie Preisprozesse und Handelsstrategien in diskreter Zeit stochastisch modelliert

werden. Sie kennen und verstehen die fundamentalen Konzepte der risikoneutralen Bewertung und sind in der

Lage, diese auf konkrete Finanzprodukte anzuwenden.

3 Inhalte:

In dieser Veranstaltung werden die grundlegenden Konzepte der Finanzmathematik in diskreter Zeit

behandelt:

• Ein-Perioden-Modell,

• Stochastische Modellierung von Finanzmärkten,

• Risikoneutrale Bewertung,

• Fundamentalsätze der Preistheorie.

4 Lehrformen:

Vorlesung mit integrierten Übungen


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“, Lehrveranstaltung „Stochastische Methoden“.



6 Prüfungsformen:

Modulprüfung in Form einer Klausur (Dauer 60-120 Minuten).


erfolgreiche Teilnahme an den Übungen; Modulprüfung.


Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Wirtschaftsmathematik;

Wahlpflichtmodul für den Wahlbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik; insbesondere verwendbar zur

Vorbereitung auf ein Fachpraktikum im Bereich Finanzmathematik.

Studierende, die sich nicht im Bereich der Finanzmathematik oder Statistik vertiefen, können die

Lehrveranstaltung auch für die Blöcke Allgemeine Mathematik oder Angewandte Mathematik der

Masterstudiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik oder Mathematics International einbringen.


Das Modul geht unbenotet in die Bachelorprüfung im Studiengang Mathematik ein; es hat somit einen

Stellenwert von 0 % für die Note der Bachelorprüfung.


- 46 -


Literaturhinweise: J. Kremer: Einführung in die diskrete Finanzmathematik,

S. Pliska, S.: Introduction to Mathematical Finance,

J. Hull: Optionen, Futures und andere Derivate.

Lernunterlagen,


Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben.


Modulbeauftragter: Prof. Dr. J. Saß

Lehrende: Prof. Dr. R. Korn, Prof. Dr. J. Saß; weitere Dozentinnen und Dozenten des Fachbereichs

Mathematik


- 47 -

Wahlmodul Vertiefung

Modulnummer

MAT-25-20-M-4

Aufwand

90 h

LP (Credits)

3 LP

Semester

4, 5 oder 6


jedes Semester

Dauer

1 Semester



zur Vertiefung gewählten

Fachgebiet nach Wahl aus

dem Lehrangebot des

jeweiligen Schwerpunkts

(siehe auch Abschnitt 6.2)




Die Studierenden haben vertieftes Wissen in einem Teilbereich der Mathematik erlangt. Sie haben gelernt,

eigenständig wissenschaftlich zu arbeiten, und sie haben weitere Erfahrungen in der Präsentation und

Vermittlung mathematischer Themen gesammelt.

3 Inhalte:

Siehe Abschnitt 6.2 bzw. Modulhandbuch für die Masterstudiengänge

4 Lehrformen:

Vorlesung


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“; weitere Voraussetzungen je nach Wahl der Lehrveranstaltung



6 Prüfungsformen:





Wahlpflichtmodul für den Wahlbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik;

die Lehrveranstaltungen sind verwendbar für das Vertiefungsmodul im Fach Mathematik des

Masterstudiengangs für das Lehramt an Gymnasien;


des Bachelorstudiengangs Informatik oder des Diplomstudiengangs Physik eingebracht werden.






Lernunterlagen,



- 48 -





- 49 -

Wahlmodul Vertiefung (erweitert)

Modulnummer

MAT-25-20E-M-4

Aufwand

180 h

LP (Credits)

6 LP

Semester

4, 5 oder 6


jedes Semester

Dauer

1 Semester



zur Vertiefung gewählten

Fachgebiet nach Wahl aus

dem Lehrangebot des

jeweiligen Schwerpunkts

(siehe auch Abschnitt 6.2)






Vermittlung mathematischer Themen gesammelt.

3 Inhalte:

Siehe Abschnitt 6.2 bzw. Modulhandbuch für die Masterstudiengänge

4 Lehrformen:

Vorlesung


Inhaltlich: Modul „Grundlagen der Mathematik“; weitere Voraussetzungen je nach Wahl der Lehrveranstaltung



6 Prüfungsformen:





Wahlpflichtmodul für den Wahlbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik;










Lernunterlagen,



- 50 -





- 51 -

6. Block: Vertiefung

6.1 Module

Modul: Vertiefung A

Modulnummer

MAT-30-10A-M-4

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

4, 5 oder 6


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Lehrveranstaltung(en) aus

dem zur Vertiefung

gewählten Fachgebiet nach

Wahl aus dem Katalog zum

Vertiefungsblock (siehe

Abschnitt 6.2)


2 SWS / 30 h Übung


15-25 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h




Vermittlung mathematischer Themen gesammelt. Sie sind in der Lage, die wesentlichen Aussagen der

Vorlesungen zu benennen und zu beweisen sowie die dargestellten Zusammenhänge einzuordnen und zu

erläutern.


Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Sie haben dabei gelernt, die Methoden auf neue

Probleme zu übertragen, diese zu analysieren und Lösungsstrategien alleine oder im Team zu entwickeln.

3 Inhalte:

Siehe Abschnitt 6.2

4 Lehrformen:




Lehrveranstaltungen aus dem Katalog zum Vertiefungsblock (siehe Abschnitt 6.2).



6 Prüfungsformen:






- 52 -












Lernunterlagen,






- 53 -

Modul: Vertiefung B

Modulnummer

MAT-30-10B-M-4

Aufwand

270 h

LP (Credits)

9 LP

Semester

4, 5 oder 6


jedes Semester

Dauer

1 Semester


Lehrveranstaltung(en) aus

dem zur Vertiefung

gewählten Fachgebiet nach

Wahl aus dem Katalog zum

Vertiefungsblock (siehe

Abschnitt 6.2)


2 SWS / 30 h Übung


15-25 Studierende

insgesamt:

6 SWS / 90 h

insgesamt:

180 h




Vermittlung mathematischer Themen gesammelt. Sie sind in der Lage, die wesentlichen Aussagen der

Vorlesungen zu benennen und zu beweisen sowie die dargestellten Zusammenhänge einzuordnen und zu

erläutern.


Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Sie haben dabei gelernt, die Methoden auf neue

Probleme zu übertragen, diese zu analysieren und Lösungsstrategien alleine oder im Team zu entwickeln.

3 Inhalte:

Siehe Abschnitt 6.2

4 Lehrformen:




Lehrveranstaltungen aus dem Katalog zum Vertiefungsblock (siehe Abschnitt 6.2).



6 Prüfungsformen:






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Lernunterlagen,






- 55 -

Bachelorarbeit

Modulnummer

----

Aufwand

300 h

LP (Credits)

10 LP

Semester

5 oder 6


jedes Semester

Dauer

2 Monate


keine ----- 300 h Eine Person, in

Ausnahmefällen kleine

Gruppen (nach näherer

Regelung in der

Prüfungsordnung)

2 Lernergebnisse/Kompetenzen:

Die Studierenden

• sind in der Lage innerhalb einer vorgegebenen Frist eine begrenzte Aufgabenstellung selbstständig nach

wissenschaftlichen Methoden zu bearbeiten und können dabei die im Studium erworbenen Fach- und

Methodenkompetenzen erkennbar anwenden,

• sind in der Lage, ihre Ergebnisse nach den Grundsätzen guter wissenschaftlicher Praxis schriftlich

darzustellen.

3 Inhalte:

Begrenzte Aufgabenstellung aus dem gewählten Vertiefungsgebiet der Mathematik.

4 Lehrformen:

Abschlussarbeit: die Studierenden haben unter Anleitung durch eine Betreuerin oder einen Betreuer eine

begrenzte mathematische Aufgabenstellung aus dem gewählten Vertiefungsgebiet mit wissenschaftlichen

Methoden zu bearbeiten und schriftlich darzustellen.


Pflichtmodul im Bachelorstudiengang Mathematik


Inhaltlich: Grundlagen der Mathematik, Aufbaumodule in Reiner und Praktischer Mathematik, mindestens eine

einführende Lehrveranstaltung in das zur Vertiefung gewählte Fachgebiet,

Formal: Die Bachelorarbeit darf erst ausgegeben werden, wenn mindestens 120 Leistungspunkten in der

Bachelorprüfung erworben wurden,

6 Prüfungsform:

benotete schriftliche Ausarbeitung


Fristgemäße Einreichung der Abschlussarbeit; Bewertung mit der Note 4,0 oder besser durch die Prüferinnen

und/oder Prüfer.


Die Modulnote ergibt sich aus der Bewertung der schriftlichen Arbeit. Sie hat einen Stellenwert von ca. 6,4 %

für die Note der Bachelorprüfung.

9 Modulbeauftragte und Lehrende

Dozentinnen und Dozenten des Fachbereichs Mathematik


- 56 -

6.2. Lehrveranstaltungskatalog zum Vertiefungsblock

6.2.1. Fachgebiet Algebra, Geometrie und Computeralgebra

Lehrveranstaltungen, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden:

Commutative Algebra (Kommutative Algebra)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Algebra, Geometrie und Computeralgebra


Die Studierenden kennen und verstehen die Sprache und die Methoden der kommutativen Algebra, welche

zum Studium der Bereiche Algebraische Geometrie, Computeralgebra sowie Zahlentheorie notwendig sind. Sie

erkennen, wie das Einnehmen eines höheren Standpunktes, sprich die Abstraktion der Problemstellung, es

erlaubt, auf den ersten Blick vollkommen verschiedene Fragestellungen gleichzeitig zu behandeln und zu

lösen.

2 Inhalte:

• Ringe, Moduln, Lokalisierung, Lemma von Nakayama,

• Noethersche / Artinsche Ringe und Moduln,

• Primärzerlegung,

• Krulls Hauptidealsatz, Dimension,

• Ganze Ringerweiterungen, Going-up, Going-down, Normalisierung,

• Noethernormalisierung, Hilbertscher Nullstellensatz,

• Dedekindringe, invertierbare Ideale.


Lehrveranstaltungen „Algebraische Strukturen“ und „Einführung: Algebra“




Literaturhinweise: M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra,

H. Matsumura: Commutative Ring Theory,

H. Matsumura: Commutative Algebra,

D. Eisenbud: Commutative Algebra with a View towards Algebraic Geometry,

G.-M. Greuel, G. Pfister: A Singular Introduction to Commutative Algebra.

Lernunterlagen,


Weitere Literatur wird in der Lehrveranstaltung bekannt gegeben; Übungsmaterialien

werden gestellt.


Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. A. Gathmann, Dr. M. Kunte, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. M. Schulze, Prof. Dr. U. Thiel


- 57 -

Cryptography (Kryptographie)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden verstehen, wie grundlegende Resultate der Algebra und Zahlentheorie in der modernen

Kryptographie Anwendung finden. Sie wissen, wie diese Resultate in Algorithmen umgesetzt werden können,

und sie sind in der Lage, die Möglichkeiten und Grenzen der Algorithmen kritisch zu beurteilen.

2 Inhalte:

Symmetrische Kryptosysteme (SKC):

• Strom- und Blockchiffren,

• Häufigkeitsanalyse,

• Moderne Chiffren.

Asymmetrische Kryptosysteme (PKC):

• Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA,

• Primzahltests,

• Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen,

Signatur,

• Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC),

• Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem,

• Faktorisierungsalgorithmen (z.B. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra).

3 Spezielle Inhaltliche Voraussetzungen für die Teilnahme:

Lehrveranstaltungen „Algebraische Strukturen“ und „Elementare Zahlentheorie“




Literaturhinweise: D.R. Kohel: Cryptography,

J. Buchmann: Einführung in die Kryptographie.

Zur Wiederholung der algebraischen und zahlentheoretischen Voraussetzungen bieten

sich zudem die folgenden beiden Bücher an:

N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography,

N. Koblitz: Algebraic Aspects of Cryptography.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle


- 58 -

Plane Algebraic Curves (Ebene algebraische Kurven)

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden haben grundlegende Begriffe der algebraischen Geometrie an einer ausgewählten und mit

einfachen Methoden zugänglichen Klasse algebraischer Varietäten kennengelernt.

2 Inhalte:

Verpflichtende Inhalte:

• affine und projektive Räume, insbesondere die projektive Gerade und die projektive Ebene,

• ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen,

• glatte und singuläre Punkte,

• der Satz von Bézout für projektive ebene Kurven

• das topologische Geschlecht einer Kurve und die Geschlechts-Formel,

• rationale Abbildungen zwischen ebenen Kurven und die Riemann-Hurwitz-Formel.

Zudem wird eine Auswahl aus folgenden Themen behandelt:

• Polare und Hesse-Kurven,

• duale Kurven und Plückerformeln,

• Linearsysteme und Divisoren auf ebenen Kurven,

• reelle projektive Kurven,

• Puiseux-Parametrisierungen ebener Kurvensingularitäten,

• Invarianten ebener Kurvensingularitäten,

• elliptische Kurven,

• weitere Aspekte ebener algebraischer Kurven.


Lehrveranstaltungen „Algebraische Strukturen“; weiterführende Kenntnisse aus den Lehrveranstaltungen

„Einführung: Algebra“ und „Einführung: Topologie“ sind von Vorteil.




Literaturhinweise: G. Fischer: Ebene algebraische Kurven,

E. Brieskorn, H. Knörrer: Plane Algebraic Curves,

E. Kunz: Introduction to Plane Algebraic Curves,

F. Kirwan: Complex Algebraic Curves,

R. Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. A. Gathmann, Prof. Dr. M. Schulze


- 59 -


Die Lehrveranstaltung kann zusammen mit einer der Lehrveranstaltungen „Character Theory of Finite Groups“

„p-adic Numbers“ oder „Quadratic Number Fields“ für eines der Module „Vertiefung A“ oder „Vertiefung B“

eingebracht werden.

In jedem Sommersemester wird mindestens eine der Lehrveranstaltungen „Character Theory of Finite Groups“

„p-adic Numbers“ oder „Quadratic Number Fields“ angeboten.


- 60 -

Lehrveranstaltungen, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden:

Character Theory of Finite Groups (Charaktertheorie endlicher Gruppen) – vor 2016:

Foundations in Representation Theory

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden haben grundlegende Begriffe, Aussagen und Methoden der Darstellungstheorie am Beispiel

der Charaktertheorie endlicher Gruppen kennengelernt. Dabei haben sie insbesondere gelernt, mit

gewöhnlichen Charakteren und Charaktertafeln von Gruppen umzugehen.

2 Inhalte:

• Satz von Maschke,

• Charaktertafeln,

• Orthogonalitätsrelationen,

• Rationalitätsfragen,

• Satz von Burnside,

• induzierte Charaktere,

• Frobeniusgruppen.


Lehrveranstaltungen „Algebraische Strukturen“ und „Einführung: Algebra“.


unregelmäßig (im Sommersemester); in jedem Sommersemester wird mindestens eine der Lehrveranstal-

tungen „Character Theory of Finite Groups“, „p-adic Numbers“ oder „Quadratic Number Fields“ angeboten.


Literaturhinweise: M. Isaacs: Character Theory of Finite Groups,

G. James, M. Liebeck: Representations and Characters of Finite Groups,

J. Alperin, R. Bell: Groups and Representations.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. C. Fieker, Jun. Prof. Dr. C. Lassueur, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. U. Thiel


Die Lehrveranstaltung kann zusammen mit der Lehrveranstaltung „Plane Algebraic Curves“ oder einer der

Lehrveranstaltungen „p-adic Numbers“ oder „Quadratic Number Fields“ für eines der Module „Vertiefung A“

oder „Vertiefung B“ eingebracht werden.


- 61 -

p-adic Numbers (p-adische Zahlen) – vor 2016: Foundations in Number Theory

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden haben die für die Zahlentheorie fundamentalen Zahlbereichserweiterungen der p-adischen

Zahlen, ihre wichtigsten Eigenschaften und einfache Anwendungsmöglichkeiten kennengelernt.

2 Inhalte:

• Konstruktion der p-adischen Zahlen,

• ganze p-adische Zahlen, Einheiten,

• p-adische Topologie,

• Henselsches Lemma,

• algebraischer Abschluss,

• Newtonpolygon,

• Trägheits- und Verzweigungsgruppen.



„Elementare Zahlentheorie“ und „Einführung: Algebra“ sind von Vorteil.


unregelmäßig (im Sommersemester); in jedem Sommersemester wird mindestens eine der Lehrveranstal-



Literaturhinweise: F. Lorenz: Einführung in die Algebra II,

N. Koblitz: p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions,

I.B. Fenseko, S.V. Vostokov: Local Fields and their Extensions.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle



Lehrveranstaltungen „Character Theory of Finite Groups“ oder „Quadratic Number Fields“ für eines der Module

„Vertiefung A“ oder „Vertiefung B“ eingebracht werden.


- 62 -

Quadratic Number Fields (Quadratische Zahlkörper)

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden haben die für die Zahlentheorie fundamentalen Zahlbereichserweiterungen der

quadratischen Zahlkörper sowie die darin enthaltenen Ringe, ihre wichtigsten Eigenschaften und einfache

Anwendungsmöglichkeiten kennengelernt.

2 Inhalte:

• Struktur imaginär quadratischer Zahlkörper,

• Ideale und Idealklassengruppen,

• Ideale als geometrische Gitter,

• Endlichkeit der Klassengruppe.



„Elementare Zahlentheorie“ und „Einführung: Algebra“ sind von Vorteil.


unregelmäßig (im Sommersemester) ; in jedem Sommersemester wird mindestens eine der Lehrveranstal-



Literaturhinweise: I.N. Stewart, D.O. Tall: Algebraic Number Theory,

M. Trifković: Algebraic Theory of Quadratic Numbers.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. U. Thiel



Lehrveranstaltungen „Character Theory of Finite Groups“ oder „p-adic Numbers“ für eines der Module

„Vertiefung A“ oder „Vertiefung B“ eingebracht werden.


- 63 -

6.2.2. Fachgebiet Analysis und Stochastik


Differential Equations: Numerics of ODE & Introduction to PDE (Differentialgleichungen:

Numerik GDGL & Einführung in PDGL)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiete: Analysis und Stochastik, Modellierung und wissenschaftliches Rechnen


Die Studierenden kennen und verstehen die grundlegenden Konzepte zur numerischen Behandlung von

Anfangswertproblemen, die mathematischen Techniken zur Analyse der Verfahren sowie die Erweiterung der

Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen auf partielle Differentialgleichungen.

2 Inhalte:

Weiterführung der Vorlesung Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen. Es werden numerische

Methoden zur Behandlung von Anfangswertproblemen behandelt und eine Einführung in die klassische

Theorie der Differentialgleichungen gegeben. Speziell werden folgende Inhalte vermittelt:

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen:

• Einschrittverfahren (explizit/implizit): Konsistenz, Konvergenz, Stabilität,

• Runge-Kutta-Verfahren,

• Schrittweitensteuerung,

• Verfahren für steife Probleme: Gauß-Verfahren, Kollokationsverfahren.

Einführung in die partiellen Differentialgleichungen:

• Klassifikation und Wohlgestelltheit,

• Quasilineare Gleichungen: Cauchy-Problem,

• Wellengleichung: Existenz, Eindeutigkeit, Stabilität, Maximumprinzip,

• Poissongleichung: Separationsansatz, Fundamentallösungen, Greensche Funktionen, Maximumprinzip,

Existenz und Eindeutigkeit,

• Wärmeleitungsgleichung: Separationsansatz, Fouriertransformation, Halbgruppen, Maximumprinzip,

Existenz und Eindeutigkeit.


Lehrveranstaltung „Einführung in die Numerik“, Lehrveranstaltung „Einführung: Gewöhnliche

Differentialgleichungen“; wünschenswert sind ebenfalls Kenntnisse aus der Lehrveranstaltung

„Vektoranalysis“.





- 64 -

Literaturhinweise: P. Deuflhard, F. Bornemann: Numerische Mathematik II,

J. Stoer, R. Bulirsch: Einführung in die Numerische Mathematik II,

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerische Mathematik I, II,

E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, II,

H. Heuser: Ordinary Differential Equations,

W. Walter: Ordinary Differential Equations,

G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems,

L.C. Evans: Partial differential equations,

F. John: Partial differential equations.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. C. Surulescu


- 65 -

Foundations in Mathematical Image Processing (Grundlagen der mathematischen

Bildverarbeitung)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe und Methoden der mathematischen Bildverarbeitung.

Anhand von Beispielen haben Sie eine anschauliche Vorstellung für die Begriffe und den Einsatz der Methoden

gewonnen. Sie verstehen die mathematischen Hintergründe der eingesetzten Methoden (insbesondere:

Intensitätstransformationen, Lineare und Nichtlineare Filter) und können die Möglichkeiten und Grenzen des

Einsatzes dieser Methoden kritisch beurteilen.

Zudem haben die Studierenden die grundlegenden Problemstellungen und Konzepte der klassischen

Fourieranalysis, einem immer noch aktuellen, Teilgebiet der Analysis mit vielfältigen praktischen

Anwendungen kennengelernt. Sie beherrschen die wichtigsten und gängigen Methoden und sind in der Lage,

diese auf ausgewählte Aufgabenstellungen aus der Bildverarbeitung anzuwenden.

2 Inhalte:

• Digitale Bilder (Formate, Farbräume, Abtastung, Quantisierung, Grundaufgaben der Bildverarbeitung),

• grundlegende Cluster- und Segmentierungsalgorithmen (Mittel, K-means-Algorithmus),

• Intensitätstransformationen (Gamma-Korrektur, Histogrammspezifikation),

• Filter (Lineare Filter, Bilaterale Filter, M-Glätter, insbesondere: Median-Filter),

• Fourier-Reihen und die diskrete Fourier-Transformation (Konvergenz der Reihen, DFT, FFT),

• mehrdimensionale Fourier-Reihen (DFT, Anwendungen in der Bildverarbeitung),

• kontinuierliche Fourier-Transformation,

• gefensterte Fourier-Transformation (Heisenbergsche Unschärfe-Relation, Gabor-Transformation).


Lehrveranstaltungen „Einführung in die Numerik“, „Einführung: Funktionalanalysis“ und „Stochastische

Methoden“


letztmalig im Sommersemester 2017


Literaturhinweise: Literatur zu mathematischen Grundlagen:

K. Bredies, D. Lorenz: Mathematische Bildverarbeitung. Einführung in Grundlagen und

moderne Theorie,

T. Chan, J. Shen: Image processing and analysis. Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic

Methods,

O. Scherzer, M. Grasmair, H. Grossauer, M. Haltmeier, F. Lenzen: Variational Methods in

Imaging.


- 66 -

Literatur aus der Informatik:

R. C. Gonzalez, R. E. Woods: Digital Image Processing,

B. Jähne: Digital Image Processing,

C. Solomon, T. Breckon: Fundamentals of Digital Image Processing. A Practical Approach

with Examples in Matlab.

Literatur zur Fourieranalysis:

G. Folland: Fourier Analysis and its Applications,

G. Folland: Real Analysis,

T. Körner: Fourier Analysis,

H. Nussbaumer: Fast Fourier Transforms and Convolution Algorithms,

J. Ramanathan: Methods of Applied Fourier Analysis.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. G. Steidl


- 67 -

Functional Analysis (Funktionalanalysis)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Analysis und Stochastik


Die Studierenden kennen und verstehen mathematische Konzepte in unendlich-dimensionalen Räumen unter

besonderer Betonung des analytischen Aspekts. Sie beherrschen grundlegende analytische Werkzeuge zum

Lösen von Differential- und Integralgleichungen in Theorie und Anwendung.

2 Inhalte:

• Satz von Hahn-Banach und Anwendungen,

• Baire'scher Kategoriensatz und Anwendungen (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz von

Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz von der inversen Abbildung, Satz vom

abgeschlossenen Graphen),

• Schwache Konvergenz (Satz von Banach-Alaoglu, reflexive Banach-Räume, Lemma von Mazur und

Anwendungen),

• Projektionen (Satz vom abgeschlossenen Komplement),

• Beschränkte Operatoren (adjungierter Operator, Spektrum, Resolvente, normale Operatoren),

• Kompakte Operatoren (Fredholm-Operatoren, Fredholm-Alternative und Anwendungen, Spektralsatz

(Riesz-Schauder) und Anwendung auf normale Operatoren),

• Unbeschränkte Operatoren (Graph, symmetrische und selbstadjungierte Operatoren).

3 Inhaltliche Voraussetzungen für die Teilnahme:

Lehrveranstaltungen „Einführung: Funktionalanalysis“ und „Maß- und Integrationstheorie“




Literaturhinweise: H.-W. Alt: Lineare Funktionalanalysis,

H. Heuser: Funktionalanalysis,

M. Reed, M, B. Simon: Functional Analysis I,

D. Werner: Funktionalanalysis.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Dr. T. Fattler, Prof. Dr. M. Grothaus


- 68 -

Monte Carlo Algorithms (Monte-Carlo-Algorithmen)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Analysis und Stochastik


Die Studierenden haben ein Grundverständnis für die Konstruktion, Analyse und Einsatzmöglichkeiten von

Monte-Carlo-Algorithmen entwickelt. Sie haben praktische Erfahrung beim Einsatz solcher Algorithmen und

Einblicke in unterschiedliche Anwendungsfelder gewonnen, und sie sind in der Lage, die Möglichkeiten und

Grenzen des Einsatzes kritisch zu beurteilen.

2 Inhalte:

Monte-Carlo-Algorithmen sind Algorithmen, die den Zufall benutzen. Die Vorlesung gibt eine Einführung in

diese wichtige algorithmische Grundtechnik der Mathematik und Informatik.

Behandelt werden die Themen:

• Direkte Simulation,

• Simulation von Verteilungen,

• Varianzreduktion,

• Markov-Chain-Monte-Carlo-Algorithmen,

• Hochdimensionale Integration,

• Was sind Zufallszahlen?

sowie Anwendungen in der Physik und der Finanz- und Versicherungsmathematik.

3 Inhaltliche Voraussetzungen für die Teilnahme:

Lehrveranstaltungen „Stochastische Methoden“ und Grundkenntnis in numerischen Methoden.




Literaturhinweise: T. Müller-Gronbach, E. Novak, K. Ritter: Monte Carlo-Algorithmen,

S. Asmussen, P.W. Glynn: Stochastic Simulation,

E.Behrends: Introduction to Markov Chains,

P. Brémaud: Markov Chains,

P. Glasserman: Monte Carlo Methods in Financial Engineering,

C. Lemieux: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Sampling,

R. Motwani, P. Raghavan: Randomized Algorithms,

J.F. Traub, G.W. Wasilkowski, H. Wozniakowski: Information-based Complexity.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. K. Ritter


- 69 -

Nonlinear Optimization (Nichtlineare Optimierung)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Analysis und Stochastik, Optimierung und Stochastik


Die Studierenden kennen und verstehen verschiedene Methoden und Algorithmen zur Lösung nichtlinearer

Optimierungsprobleme. Sie haben gelernt, reale Probleme aus wirtschaftswissenschaftlichen, technischen und

physikalischen Bereichen mittels mathematischer Methoden als nichtlineare Optimierungsprobleme zu

modellieren und zu lösen. Sie können die Möglichkeiten und Grenzen des Einsatzes dieser Methoden kritisch

beurteilen.

2 Inhalte:

• Optimalitätsbedingungen für unrestringierte und restringierte Optimierungsprobleme,

• Eindimensionale Minimierung; direkte Suchmethoden,

• Abstiegsverfahren in höheren Dimensionen,

• CG-Verfahren,

• Trust-Region-Algorithmen,

• Penaltymethoden,

• Erweiterte Lagrangefunktionen,

• SQP-Verfahren,

• Barrieremethoden und Primal-Duale Verfahren.


Lehrveranstaltung „Lineare und Netzwerkoptimierung“




Literaturhinweise: R. Fletcher: Practical methods of optimization,

D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming,

J. Stoer, C. Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions,

M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms,

K.H. Borgwardt: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie: Mathematische Grund-

lagen,

R. Horst, P.M. Pardalos, M.V. Thoai: Introduction to Global Optimization,

H. Tuy: Convex Analysis and Global Optimization.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. S. Krumke, Prof. Dr. S. Ruzika, Prof. Dr. A. Schöbel


- 70 -

Probability Theory (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiete: Analysis und Stochastik, Optimierung und Stochastik


Die Studierenden haben vertiefende Kenntnisse in der Stochastik und Grundlagen für die Forschung im Bereich

der Stochastischen Prozesse erworben.

Die vermittelten Lehrinhalte sind Grundlage für alle weiterführenden Veranstaltungen im Bereich der

Stochastik und der Finanzmathematik in den Masterstudiengängen Mathematik, Wirtschaftsmathematik und

Mathematics International.

2 Inhalte:

• Konvergenzbegriffe (stochastische, fast sichere, schwache, Lp-Konvergenz, Konvergenz in Verteilung),

• Charakteristische Funktion,

• Summen unabhängiger Zufallsvariablen,

• Starke Gesetze der großen Zahl, Varianten des zentralen Grenzwertsatzes,

• Bedingte Erwartung,

• Martingale in diskreter Zeit,

• Brownsche Bewegung.


Lehrveranstaltungen „Stochastische Methoden“ und „Maß- und Integrationstheorie“

4 Angebotsturnus:



Literaturhinweise: H. Bauer: Probability Theory,

P. Billingsley: Probability and Measure,

P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie,

A. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie.

Lernunterlagen,



werden gestellt.




- 71 -

6.2.3. Fachgebiet Modellierung und Wissenschaftliches Rechnen (Technomathematik)


Differential Equations: Numerics of ODE & Introduction to PDE (Differentialgleichungen:

Numerik GDGL & Einführung in PDGL)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden kennen und verstehen die grundlegenden Konzepte zur numerischen Behandlung von

Anfangswertproblemen, die mathematischen Techniken zur Analyse der Verfahren sowie die Erweiterung der

Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen auf partielle Differentialgleichungen.

2 Inhalte:

Weiterführung der Vorlesung Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen. Es werden numerische

Methoden zur Behandlung von Anfangswertproblemen behandelt und eine Einführung in die klassische

Theorie der Differentialgleichungen gegeben. Speziell werden folgende Inhalte vermittelt:

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen:

• Einschrittverfahren (explizit/implizit): Konsistenz, Konvergenz, Stabilität,

• Runge-Kutta-Verfahren,

• Schrittweitensteuerung,

• Verfahren für steife Probleme: Gauß-Verfahren, Kollokationsverfahren.

Einführung in die partiellen Differentialgleichungen:

• Klassifikation und Wohlgestelltheit,

• Quasilineare Gleichungen: Cauchy-Problem,

• Wellengleichung: Existenz, Eindeutigkeit, Stabilität, Maximumprinzip,

• Poissongleichung: Separationsansatz, Fundamentallösungen, Greensche Funktionen, Maximumprinzip,

Existenz und Eindeutigkeit,

• Wärmeleitungsgleichung: Separationsansatz, Fouriertransformation, Halbgruppen, Maximumprinzip,

Existenz und Eindeutigkeit.



Differentialgleichungen“; wünschenswert sind ebenfalls Kenntnisse aus der Lehrveranstaltung

„Vektoranalysis“.





- 72 -

Literaturhinweise: P. Deuflhard, F. Bornemann: Numerische Mathematik II,

J. Stoer, R. Bulirsch: Einführung in die Numerische Mathematik II,

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerische Mathematik I, II,

E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, II,

H. Heuser: Ordinary Differential Equations,

W. Walter: Ordinary Differential Equations,

G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems,

L.C. Evans: Partial differential equations,

F. John: Partial differential equations.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. C. Surulescu


- 73 -

Foundations in Mathematical Image Processing (Grundlagen der mathematischen

Bildverarbeitung)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester



Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe und Methoden der mathematischen Bildverarbeitung.

Anhand von Beispielen haben Sie eine anschauliche Vorstellung für die Begriffe und den Einsatz der Methoden

gewonnen. Sie verstehen die mathematischen Hintergründe der eingesetzten Methoden (insbesondere:

Intensitätstransformationen, Lineare und Nichtlineare Filter) und können die Möglichkeiten und Grenzen des

Einsatzes dieser Methoden kritisch beurteilen.

Zudem haben die Studierenden die grundlegenden Problemstellungen und Konzepte der klassischen

Fourieranalysis, einem immer noch aktuellen, Teilgebiet der Analysis mit vielfältigen praktischen

Anwendungen kennengelernt. Sie beherrschen die wichtigsten und gängigen Methoden und sind in der Lage,

diese auf ausgewählte Aufgabenstellungen aus der Bildverarbeitung anzuwenden.

2 Inhalte:

• Digitale Bilder (Formate, Farbräume, Abtastung, Quantisierung, Grundaufgaben der Bildverarbeitung),

• grundlegende Cluster- und Segmentierungsalgorithmen (Mittel, K-means-Algorithmus),

• Intensitätstransformationen (Gamma-Korrektur, Histogrammspezifikation),

• Filter (Lineare Filter, Bilaterale Filter, M-Glätter, insbesondere: Median-Filter),

• Fourier-Reihen und die diskrete Fourier-Transformation (Konvergenz der Reihen, DFT, FFT),

• mehrdimensionale Fourier-Reihen (DFT, Anwendungen in der Bildverarbeitung),

• kontinuierliche Fourier-Transformation,

• gefensterte Fourier-Transformation (Heisenbergsche Unschärfe-Relation, Gabor-Transformation).


Lehrveranstaltungen „Einführung in die Numerik“, „Einführung: Funktionalanalysis“ und „Stochastische

Methoden“


letztmalig im Sommersemester 2017


Literaturhinweise: Literatur zu mathematischen Grundlagen:

K. Bredies, D. Lorenz: Mathematische Bildverarbeitung. Einführung in Grundlagen und

moderne Theorie,

T. Chan, J. Shen: Image processing and analysis. Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic

Methods,

O. Scherzer, M. Grasmair, H. Grossauer, M. Haltmeier, F. Lenzen: Variational Methods in

Imaging.


- 74 -

Literatur aus der Informatik:

R. C. Gonzalez, R. E. Woods: Digital Image Processing,

B. Jähne: Digital Image Processing,

C. Solomon, T. Breckon: Fundamentals of Digital Image Processing. A Practical Approach

with Examples in Matlab.

Literatur zur Fourieranalysis:

G. Folland: Fourier Analysis and its Applications,

G. Folland: Real Analysis,

T. Körner: Fourier Analysis,

H. Nussbaumer: Fast Fourier Transforms and Convolution Algorithms,

J. Ramanathan: Methods of Applied Fourier Analysis.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. G. Steidl


- 75 -

Introduction to Systems and Control Theory (Einführung in die System- und Kontrolltheorie)

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 oder 2

Semester

Fachgebiet: Modellierung und wissenschaftliches Rechnen


Die Studierenden kennen und verstehen grundlegende Konzepte zur Beschreibung von dynamischen Systemen

sowie mathematische Techniken zur Analyse dieser Systeme und zum Entwurf von Reglern. Des Weiteren

kennen sie die Anwendungsmöglichkeiten, die sich aus der Verwendung der mathematischen Kontrolltheorie

ergeben.

2 Inhalte:

Es werden grundlegende Begriffe und Ideen der Kontrolltheorie sowie deren Anwendungen behandelt. Speziell

werden folgenden Inhalte vermittelt:

• Darstellung zeitdiskreter sowie zeitkontinuierlicher linearer und nichtlinearer dynamischer Systeme,

• Stabilität dynamischer Systeme,

• Erreichbarkeit, Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit,

• Feedback-Regelung.



Differentialgleichungen“




Literaturhinweise: E. Zerz: Introduction to Systems and Control Theory,

J.W. Polderman, J. Willems,: Introduction to Mathematical Systems Theory,

H.W. Knobloch, H. Kwakernaak, Lineare Kontrolltheorie,

D. Hinrichsen, A.J. Pritchard, Mathematical Systems Theory I,

E.D. Sontag, Mathematical Control Theory.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. T. Damm


Die Lehrveranstaltung kann zusammen mit einer der Lehrveranstaltungen „Differential-Algebraic Equations“

oder „Dynamical Systems“ für eines der Module „Vertiefung A“ oder „Vertiefung B“ eingebracht werden.

In jedem Sommersemester wird mindestens eine der Lehrveranstaltungen „Differential-Algebraic Equations“

oder „Dynamical Systems“ angeboten.


- 76 -

Lehrveranstaltungen, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden:

Differential-Algebraic Equations (Differential-Algebraische Gleichungen)

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 oder 2

Semester



Die Studierenden kennen und verstehen grundlegende Konzepte zur Theorie und Numerik von differential-

algebraischen Gleichungen.

2 Inhalte:

Behandelt wird die Theorie der differential-algebraischer Gleichungen, insbesondere:

• Anwendungsfelder (elektrische Schaltkreise und mechanische Mehrkörpersysteme),

• Zusammenhang mit singulär gestörten Problemen,

• Lösungstheorie und Indexbegriffe,

• Normalformen für lineare DAEs,

• Numerische Aspekte.


Lehrveranstaltung „Einführung: Gewöhnliche Differentialgleichungen“


unregelmäßig (im Sommersemester)


Literaturhinweise: P. Kunkel, V. Mehrmann: Differential-Algebraic Equations. Analysis and Numerical Solu-

tion,

B. Simeon: Computational Flexible Multibody Dynamics,

S. Trenn: Solution concepts for linear DAEs: a survey; in: Surveys in Differential-Algebraic

Equations I (Eds. A. Ilchmann, T. Reis).

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. B. Simeon


Die Lehrveranstaltung kann zusammen mit einer der Lehrveranstaltungen „Introduction to Systems and

Control Theory“ oder „Dynamical Systems“ für eines der Module „Vertiefung A“ oder „Vertiefung B“ eingebracht

werden.


- 77 -

Dynamical Systems (Dynamische Systeme)

Kontaktzeit


1 SWS / 15 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 oder 2

Semester



Die Studierenden haben Methoden zur qualitativen Behandlung von dynamischen Systemen kennengelernt

und sind in der Lage, diese anzuwenden. Dabei liegt der Fokus auf dem Verhalten von Lösungen gewöhnlicher

Differentialgleichungen unter dem Einfluss variierender Parameter in einem System. Die erlernten Methoden

sind u.a. beim Studium von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und Kontrolltheorie sowie bei der

Untersuchung praxisrelevanter Probleme, die mit Differentialgleichungen modelliert werden, sehr hilfreich.

2 Inhalte:

• Grundlagen: Existenz und Eindeutigkeit,

• Autonome Gleichungen,

• Stabilitätstheorie,

• Nichtlineare Systeme, lokale Theorie, Satz von Hartman-Grobman, nichthyperbolische

Gleichgewichtspunkte und Lyapunov-Theorie,

• Periodische Orbits, Poincaré-Bendixon u. Anwendungen, invariante Mengen,

• Verzweigungstheorie,

• Anwendungen.


Lehrveranstaltung „Einführung: Gewöhnliche Differentialgleichungen“


unregelmäßig (im Sommersemester)


Literaturhinweise: J.K. Hale, H. Kocak: Dynamics and Bifurcations.

H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen.

B. Marx, W. Vogt: Dynamische Systeme,

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme.

K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band III:

Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


Prof. Dr. T. Damm, Prof. Dr. A. Klar


Die Lehrveranstaltung kann zusammen mit einer der Lehrveranstaltungen „Introduction to Systems and

Control Theory“ oder „Differential-Algebraic Equations“ für eines der Module „Vertiefung A“ oder „Vertiefung B“

eingebracht werden.


- 78 -

6.2.3. Fachgebiet Optimierung und Stochastik (Wirtschaftsmathematik)


Integer Programming: Polyhedral Theory and Algorithms (Ganzzahlige Optimierung:

Polyedertheorie und Algorithmen)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Optimierung und Stochastik


Die Studierenden kennen und verstehen verschiedene Methoden und Algorithmen zur Lösung ganzzahliger


physikalischen Bereichen mittels mathematischer Methoden als ganzzahlige Optimierungsprobleme zu


beurteilen.

2 Inhalte:

• Modellierung mit ganzzahliger Optimierung,

• Polyeder und Polytope,

• Komplexität,

• Formulierungen,

• Verbindungen zwischen ganzzahliger Programmierung und Polyedertheorie,

• Ganzzahligkeit von Polyedern: Unimodularität, totale duale Integralität,

• Matchings,

• Dynamische Programmierung,

• Relaxierungen,

• Branch-and-Bound Methoden,

• Schnittebenen,

• Spaltengenerierung.


Integer Programming: Polyhedral Theory:

Modellierung mit ganzzahliger Optimierung; Polyeder und Polytope; Komplexität; Formulierungen;

Verbindungen zwischen ganzzahliger Programmierung und Polyedertheorie; Ganzzahligkeit von Polyedern;

Matchings.

Integer Programming: Algorithms:

Dynamische Programmierung; Relaxierungen; Branch-and-Bound Methoden; Schnittebenen;

Spaltengenerierung.







- 79 -

Literaturhinweise: G. Nemhauser and L. Wolsey: Integer and Combinatorial Optimization

A. Schrijver: Combinatorial Optimization - Polyhedra and Efficiency

A. Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming

L. Wolsey: Integer Programming.

Lernunterlagen,



werden gestellt.




- 80 -

Nonlinear Optimization (Nichtlineare Optimierung)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Analysis und Stochastik, Optimierung und Stochastik


Die Studierenden kennen und verstehen verschiedene Methoden und Algorithmen zur Lösung nichtlinearer


physikalischen Bereichen mittels mathematischer Methoden als nichtlineare Optimierungsprobleme zu


beurteilen.

2 Inhalte:

• Optimalitätsbedingungen für unrestringierte und restringierte Optimierungsprobleme,

• Eindimensionale Minimierung; direkte Suchmethoden,

• Abstiegsverfahren in höheren Dimensionen,

• CG-Verfahren,

• Trust-Region-Algorithmen,

• Penaltymethoden,

• Erweiterte Lagrangefunktionen,

• SQP-Verfahren,

• Barrieremethoden und Primal-Duale Verfahren.






Literaturhinweise: R. Fletcher: Practical methods of optimization,

D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming,

J. Stoer, C. Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions,

M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms,

K.H. Borgwardt: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie: Mathematische Grund-

lagen,

R. Horst, P.M. Pardalos, M.V. Thoai: Introduction to Global Optimization,

H. Tuy: Convex Analysis and Global Optimization.

Lernunterlagen,



werden gestellt.




- 81 -

Probability Theory (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiete: Analysis und Stochastik, Optimierung und Stochastik


Die Studierenden haben vertiefende Kenntnisse in der Stochastik und Grundlagen für die Forschung im Bereich

der Stochastischen Prozesse erworben.

Die vermittelten Lehrinhalte sind Grundlage für alle weiterführenden Veranstaltungen im Bereich der

Stochastik und der Finanzmathematik in den Masterstudiengängen Mathematik, Wirtschaftsmathematik und

Mathematics International.

2 Inhalte:

• Konvergenzbegriffe (stochastische, fast sichere, schwache, Lp-Konvergenz, Konvergenz in Verteilung),

• Charakteristische Funktion,

• Summen unabhängiger Zufallsvariablen,

• Starke Gesetze der großen Zahl, Varianten des zentralen Grenzwertsatzes,

• Bedingte Erwartung,

• Martingale in diskreter Zeit,

• Brownsche Bewegung.


Lehrveranstaltungen „Stochastische Methoden“ und „Maß- und Integrationstheorie“

4 Angebotsturnus:



Literaturhinweise: H. Bauer: Probability Theory,

P. Billingsley: Probability and Measure,

P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie,

A. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie.

Lernunterlagen,



werden gestellt.




- 82 -

Regression and Time Series Analysis (Regression und Zeitreihenanalyse)

Kontaktzeit


2 SWS / 30 h Übung

Selbststudium

siehe Modulbe-

schreibung



Semester

4, 5 oder 6

Dauer

1 Semester

Fachgebiet: Optimierung und Stochastik


Die Studierenden kennen und verstehen Standardmodelle sowie Schätz-, Test- und Prognoseverfahren der

Regressions-, Varianz- und Zeitreihenanalyse. Sie haben exemplarisch mathematische Methoden zur

datengesteuerten Auswahl und Validierung von Modellen in komplexen Anwendungssituationen

kennengelernt.

In den Übungen haben die Studierenden die Nutzung von Statistiksoftware kennengelernt. Sie sind in der

Lage, selbstständig die Modelle und Methoden aus der Vorlesung auf reale und simulierte Daten anzuwenden.

2 Inhalte:

• Lineare Regressionsmodelle

• Kleinste-Quadrate- und Maximum-Likelihood-Schätzer

• Konfidenzbänder für Regressionskurven

• Tests für Regressionsparameter (t- und F-Tests), Likelihood-Quotienten-Tests

• Modellvalidierung mit Residuenanalyse

• datenadaptive Modellwahl (stepwise regression, R² und Mallows Cp)

• Varianzanalyse (ANOVA)

• stationäre stochastische Prozesse in diskreter Zeit

• Autokovarianzen, Spektralmaß und Spektraldichte

• lineare Prozesse, insbesondere ARMA-Modelle

• Schätzer für ARMA-Parameter (Yule-Walker, Kleinste Quadrate, CML)

• datenadaptive Modellwahl mit AIC, BIC und FPE

• Zeitreihen mit Trend oder Saisonalität (SARIMA)

• Vorhersage von Zeitreihen


Lehrveranstaltung „Stochastische Methoden“




Literaturhinweise: J. Franke: Grundlagen der Statistik,

J. Franke: Time Series Analysis;

L. Breiman: Statistics,

P. Bickel, K. Doksum: Mathematical Statistics,

P.J. Brockwell, R.A. Davis: Time Series: Theory and Methods.

Lernunterlagen,



werden gestellt.


- 83 -


Prof. Dr. R. Korn, Prof. Dr. C. Redenbach, Prof. Dr. J. Saß


- 84 -

7. Block: Anwendungsfach / Informatik

Informatik für Mathematiker

Modulnummer

MAT-INF-10-M-4

Aufwand

240 h

LP (Credits)

8 LP

Semester

3, 4, 5 oder 6


bis WS 18/19: jedes

Wintersemester

ab SS 2019: jedes

Sommersemester

Dauer

1 Semester


Entwurf und Analyse von

Algorithmen (ab SS 2019:

Algorithmen und Daten-

strukturen)


2 SWS / 30 h Übung


15-20 Studierende


Die Studierenden kennen und verstehen allgemeine Strategien für den Entwurf und die Analyse von

Algorithmen sowie wesentliche algorithmische Grundlagen der Diskreten Mathematik und Informatik. Sie sind

in der Lage, Probleme nach ihrer Komplexität und Struktur zu klassifizieren und geeignete grundlegende

Algorithmen auf sie anzuwenden.


Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet.

3 Inhalte:

• Pseudocode-Notation von Algorithmen;

• Wachstum von Funktionen, Rekursionen;

• Grundlegende Konzepte und Methoden der Algorithmenanalyse: Aufwandsanalyse, Laufzeitabschätzung;

• Komplexitätstheorie: Eingabegröße, Reduktion, Komplexitätsklassen, P. NP, vollständige Probleme;

• Algorithmen-Entwurfsprinzipien: Divide and Conquer, Dynamische Programmierung, Greedy-Algo-

rithmen, Backtracking;

• Grundlegende Algorithmen und Datenstrukturen: Suchverfahren, Sortierverfahren, balancierte Such-

bäume, Prioritäts-Warteschlangen, Hashing.

4 Lehrformen:

Vorlesung mit Übungen


Inhaltlich: Lehrveranstaltungen „Grundlagen der Mathematik I“ (aus dem Modul „Grundlagen der Mathematik“),

„Algebraische Strukturen“ (aus dem Modul „Reine Mathematik A“) und „Einführung in wissenschaftliches

Programmieren“ (aus dem Modul „Mathematische Modellierung“).

Formal: keine.

6 Prüfungsformen:

schriftliche Prüfung


Bestehen der schriftlichen Abschlussprüfung; Prüfungsvorleistung: erfolgreiche Bearbeitung von

Übungsaufgaben („Übungsschein“).


- 85 -


Pflichtmodul für Bachelorstudiengang Mathematik.

9 Stellenwert der Note für die Endnote:

Ca. 5,5%

10 Modulbeauftragter:

Prof. Dr. S.O. Krumke


In den ersten beiden Wochen der Lehrveranstaltung wird ein Kompaktkurs zur Vertiefung der für die

Lehrveranstaltung benötigten grundlegenden Programmierkenntnisse und Grundbegriffe der

Berechnungstheorie angeboten.