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5/14/2018 oscilacion armonica - slidepdf.com

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Oscilador armónicoFísica 2º Bachillerato

Tema 6. Movimiento oscilatorio. El oscilador armónico

1. Movimiento oscilatorio armónico simple.

Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, x, velocidad v

y aceleración a de su movimiento toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo ctedenominado periodo. Ej: Movimiento circular uniforme, el péndulo o un cuerpo unido a un muelle.En los dos últimos casos el movimiento de vaivén se produce sobre la misma trayectoria ( arco orecta). Decimos que es un movimiento oscilatorio o vibratorio.

Movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno yotro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variablescinemáticas.

Oscilación es lo mismo que vibración. Sin embargo se suele hablar de vibración para designar

oscilaciones rápidas o de alta frecuencia.

Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar elequilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posición.

Ej: Un cuerpo suspendido de un hilo permanecerá en equilibrio estable en la vertical. Si es apartadode la posición de equilibrio y se suelta oscilará alrededor de su posición de equilibrio. Se detendrá por la fricción del aire.

Supongamos un muelle que se aparta de su posición de equilibrio estable. Sobre él aparecenfuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su posición de equilibrio.

En este caso la rest F es la ley de Hooke.

rest F =-k k es una cte característica de cada muelle (N/m)

Una partícula tiene un movimiento oscilatorio armónico simple (MAS) cuando oscila bajo laacción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición deequilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio. Cualquier cuerpo con MAS se le llama

oscilador armónico.

2. Ecuaciones del movimiento armónico simple.

2.1 Características de un movimiento armónico simple.

Vibración u oscilación : Distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén. Centro de oscilación , O: Pto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas

alcanzadas por la partícula móvil Elongación , y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O,

tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en unmomento dado . Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O ynegativos a la izquierda.

Amplitud A, valor máximo de la elongación.

1




Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa. Frecuencia , f o ν, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f

= 1/T ( Hz) Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular , w, Nº de periodos comprendidos entre 2π

unidades de tiempo. seg frad T

/22

π π

ω ==

2.2 Ecuación fundamental del movimiento armónico simple.

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sidodesplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilacionescompletas.

Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos unagráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda aun seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posicióninicial de oscilación.

Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe unmovimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo ( es decir,

ajustamos la w de la partícula para que coincida el T).

Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es x = A cos (wt).

Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuacióndescribe los dos movimientos.

En general, si la elongación no es A, basta con introducir unafase que ajuste la posición inicialx = A cos ( wt + δ ). Para t = 0 x = A cos δ

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.

En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos

2

Ap




x =A cos(wt + δ) wt + δ→ fase del movimiento. Al cabo de una oscilación completa la fase aumentaen 2π rad y vuelve a la misma posición cos (wy + δ ) = cos (wt + δ + 2π )δ →cte de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posición inicial xo= A cos δ

La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A sen (wt+δ)

A veces conviene usar una u otra:

1. Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que xo = A en t=0→Ecuación más sencilla es x = A cos wt ya que cos 0 = 1 También se podría escribir x = A sen (wt +π/2) ya que en t = 0 x = Asen π/2 = A.

2. Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que x0= 0 en t= 0. Lo más sencilloes x = A sen wt pero también x = A cos ( wt ± π/2 )

3. Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular δ a partir de xo, A y w.

2.3 Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple.

x = A cos (wt + δ)

)( δ +−== wt wasen

dt

dxv

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de formaarmónica ( sinusoidal).

Sabemos que 1)(cos)( 22 =+++ δ δ wt wt sen

sen(wt +δ)= )(cos1 2δ +− wt

v = -wA sen (wt + δ) = -wA 222222 )(cos)(cos1 x Awwt A Awwt −−=+−−=+− δ δ .

Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v ( ida y vuelta) v= 22 x Aw −±

• La velocidad es cero cuando x = A± ( extremos)

3




• La velocidad es máxima cuando x = 0 ( centro) v = wA±

• Las gráficas de x y v están desfasadas π/2 →cos ( wt + π/2)=- senwt

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo

2.4 Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple.

v= -wA sen (wt +δ )

).cos(2δ +−== wt Aw

dt

dva Sabemos que )cos( δ += wt av

a = -w2x La aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo.

• La aceleración es nula en la posición de equilibrio ( x= 0)• Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w2A

• Sentido opuesto a x

La gráfica está desfasada π respecto de la posición x →cos ( wt +δ) = - cos (wt)

4

)2

(

)2cos(cos

t T

wAsen Awsenwt v

t T

Awt A x

π

π

−=−=

==

t

T

Awa

t T

wAsenv

t T

a x

π

π

π

2cos

2

2cos

2−=

−=

=

x=-A x=0 x=Av=0 v=-wA v=0a=w2A a=0 a= -w2A

vv

x=-A x=0 x=Av=0 v=wA v=0a=w2A a=0 a=-w2A

vv

a a

a a




3. El oscilador armónico simple

3.1 Dinámica del oscilador armónico simple

Supongamos un oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpoes apartado de la posición de equilibrio, la Kx F rest −= tiende a devolverlo en dicha posición

Esta fuerza producirá una aceleración ma ma= -Kx x

m

K a −= Como xwa 2−= ; x

m

K xw −=− 2 ;

La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este.

ComoT

wπ 2

= ;

La f sería

3.2 Energía del oscilador armónico simple.

5

w =m

K

K

m

W T ·2

2π

π ==

El periodo de un oscilador armónico depende de la masadel oscilador y de la cte restauradora del sistema, pero es

independiente de la amplitud.

m

K f

π 21

=




Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es 2

21

mv E c = . Como

)( δ +−= wt wAsenv ; )(21 222

δ += wt sen Amw E c . Comom

K w =2

Energía potencial; Sabemos que W = -Aep. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscilahorizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es

200 2

21

2 Kx

x K Kxdxw

x x

∫ ∫ =−=−=

)()()( x Ep x Ep EpCo AEpw =−−=−= Como x = Acos(wt+δ )

Energía mecánica total; )(

2

1)(cos

2

1 2222δ δ +++=+= wt sen KAwt KA Ec Ep E

4. El péndulo simple

6

)(2

1 22

δ += wt sen KA E c

La energía cinética de un oscilador armónico varía periódicamente

entre un valor mínimo en los extremos )0( =c E y máximo en la

posición de equilibrio 2

21

KA E c =

2

2

1)( Kx x Ep =

)(cos21 22

δ += wt KA EpLa energía potencial de un oscilador armónico varia desde un valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor máximo en

los extremos 2

21

KA Ep =

2222

21

)()((cos21

KAwt senwt KA E =+++= δ δ

La energía mecánica de un oscilador armónico permanece constante si no actúan fuerzasdisipativas y su valor es directamente

proporcional al cuadrado de la amplitud2

21

KA E =




Péndulo simple es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable.Si el péndulo se suelta despues de haberlo separado de la posición de equilibrio comienza aoscilar alrededor de dicha posición.

Sobre el péndulo actúan el P y la tensión. Podemos decir que el peso se descompone en una

Esta componente tangencial es la que actúa como fuerza restauradora. ϑ mgsen F −=

Si no es demasiado grande (15º- 20º) sen ϑ es aproximadamente ϑ si lo expresamos en radianes.

Por tanto ϑ ϑ mg mgsen F −≅−=

El arco de circunferencia es como una recta y por tanto

Como ⇒−=−⇒−=l

x g xw xwa 22 y como

l

g

T T w =⇒= 2

242 π π ;

El periodo de un péndulo simple que oscila bajo pequeños ángulos de separación depende de lalongitud del péndulo, pero es independiente de la masa.

Un péndulo simple es un oscilador armónico solo si el ángulo es pequeño.

4.1 Estudio energético del péndulo.

7

componenete normal mg cosϑ , y una componente tangencial de valor mg senϑ . Este es positivo si estamos desplazado el cuerpo hacia

posiciones negativas y negativo cuando el pendulo se desplaza hacia posiciones positivas.

l

xmg F

l

x sen −=⇒=≅ϑ ϑ

Comol

x g a

l

xmg mama F −=⇒−=⇒=

l

g w =2

g l T π 2=

Sabiendo que el periodo de oscilación de un péndulo en la Tierra es de 1,5 s determina:a) El periodo de oscilación de dicho péndulo en la luna, donde gL=g/6

b) Longitud del péndulo.

m gT l g l T

sT g

l

g

l

g

l

g

l T

g

l T

T

T T T L

L

T

T

558,04

2

67,35,1·66266

2

6

22

2

22 ==⇒=

=======

=

π π

π π π π

π

Si tomamos como origen de Ep el punto de equilibrio, en el punto más alto es

el de desviación máxima donde v = 0 Ep = mgh.

En el punto bajo solo hay 2

21

mv Ec = . En cualquier otro punto será la suma de

Ep + Ec. Si igualamos por principio de conservación de la energía2

21

mvmgh = y . Es la misma expresión que la de caída libre

de un cuerpo desde una altura h.




Si la amplitud es menor, el péndulo alcanza menos altura y también será menos su v máxima. Aunquehaya menor distancia recorrida el tiempo empleado es el mismo. El periodo del péndulo no dependede la amplitud.

5. Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.

En los sistemas reales, la amplitud de los oscilaciones decrece, no dura indefinidamente.Llamamos a estas oscilaciones amortiguadas.

Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la energía mecánica de su movimientodisminuye gradualmente. Las oscilaciones disminuyen su amplitud en el tiempo.

Esto es lo que le ocurre a un niño que no ha aprendido a columpiarse. Si dejamos de empujarleacaba su juego, debido a la fricción con el aire.

Nota: Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales ala velocidad del cuerpo y de sentido contrario. F = - bv

b : cte de amortiguamiento. Si b es cero no hayamortiguamiento. A medida que b aumenta disminuye laamplitud. Si b es muy grande ya que el cuerpo vuelve a su

posición de equilibrio y no oscila. La fuerza recuperadora seiguala con la restauradora y el sistema se amortigua.

Podemos mantener la amplitud de las oscilaciones si un agente externo

8

ghV 2=

Edebe 110

h




proporciona la energía que se pierde por rozamiento. Por ejemplo en el niño en el columpio , paraconseguir que siga columpiándose y elevándose cada vez a mayor altura hay que empujarleacompañando nuestro impulso a su movimiento. Decimos que las oscilaciones son forzadas.

Llamamos oscilaciones forzadas a las producidas en un sistema oscilante debido a la energíasuministrada desde el exterior.

Esta fuerzas pueden ser de la forma Fext = Fmax cosw’t. El papel de esta fuerza es aportar mediante su trabajo la energía que disipa el sistema. En general la frecuencia angular w’ de estafuerza es distinta de la frecuencia del sistema w = √ k/m

Cuando estas frecuencias coinciden el sistema comienza a oscilar y la amplitud aumentadrásticamente. Esto se conoce como resonancia.

El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externacoincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema , con un aumento de la amplitud.

Ejemplos de esto son un muelle que haces oscilar moviendo la mano de arriba hacia abajo y consiguesque oscile con gran amplitud, o el hecho de empujar el columpio que consigues que se mueva congran amplitud

Ojo: La resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden lasfrecuencias.Ejemplos: En 1850 un batallón de soldados franceses atravesaba un puente en formación y marcandoel paso y el puente se hundió. Esto fue debido a que el paso rítmico de la marcha militar coincidió conla frecuencia de oscilación del puente de modo que el aumento de la amplitud provocó que serompiera. Desde entonces los soldados rompen la formación al cruzar un puente.

En 1940 se inauguró en Tacoma, estado de Washington, en el Pacífico un puente de nuevo diseño. Enun día de viento suave sufrió una serie de oscilaciones y torsiones y se cayó. Eso fue debido a que lafrecuencia del viento coincidió con la de oscilación del puente, aumentó la amplitud y se cayó.También son fenómenos resonantes los sonidos de la guitarra o la sintonización de emisoras de radioo TV.

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