PERSAMAAN

DIFERENSIAL(DIFFERENTIAL EQUATION)(DIFFERENTIAL EQUATION)

metode euler

metode runge-kutta

Persamaan Diferensial

• Persamaan paling penting dalam bidang

rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang

terjadi dalam sistem fisik.

• Menghitung jarak terhadap waktu dengan • Menghitung jarak terhadap waktu dengan

kecepatan tertentu, 50 misalnya.

50=dt

dx

Rate equations

Persamaan Diferensial

• Solusinya, secara analitik dengan integral,

• C adalah konstanta integrasi

∫∫ = dtdx 50 Ctx += 50

• C adalah konstanta integrasi

• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari

banyak ‘alternatif’

• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x dan

t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika x(0) = (x

saat t=0) = 0, maka C = 0

Klasifikasi Persamaan Diferensial

Persamaan yang mengandung turunan dari satu

atau lebih variabel tak bebas, terhadap satu atau

lebih variabel bebas.

• Dibedakan menurut:• Dibedakan menurut:

– Tipe (ordiner/biasa atau parsial)

– Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang ada

– Liniarity (linier atau non-linier)

PDOPers.dif. Ordiner = pers. yg mengandung sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

tetytdy

ttyd

=++ )(5)()(2

y(t) = variabel tak bebas

t = variabel bebas

dan turunan y(t)

Pers di atas: ordiner, orde dua, linier

tetydt

tdt

=++ )(52

PDO

• Dinyatakan dalam 1 peubah dalam menurunkan

suatu fungsi

• Contoh:

kPPkPdt

dP

xyxdx

dy

=>−=

=>−=

'

sin'sin

Partial Differential Equation• Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah, disebut sebagai persamaan diferensial parsial

• Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas.

• Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan • Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan (adveksi, dispersi, diffusi)

0),(),(

2

2

2

2

=+t

txy

x

txy

δ

δ

δ

δ

PDO

dt

sd

yy

−=

=+

32

24'''

2

2

Ordiner, linier, orde 3

Ordiner, linier, orde 2

xeyy

dt

=−

−=

3)'(

32

2

2Ordiner, linier, orde 2

Ordiner, non linier, orde 1

Solusi persamaan diferensial

• Secara analitik, mencari solusi persamaan

diferensial adalah dengan mencari fungsi

integral nya.

• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara • Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara

eksponensial, persamaan umum:

kPdt

dP=

Rate equations

But what you really want to know is…

the sizes of the boxes (or state variables) and how they change through time

That is, you want to know:

the state equations

There are two basic ways of finding the state equations for the state variables based on your known rate equations:

1) Analytical integration

2) Numerical integration

Suatu kultur bakteria tumbuh dengan

kecepatan yang proporsional dengan jumlah

bakteria yang ada pada setiap waktu. Diketahui

bahwa jumlah bakteri bertambah menjadi dua

kali lipat setiap 5 jam. Jika kultur tersebut kali lipat setiap 5 jam. Jika kultur tersebut

berjumlah satu unit pada saat t = 0, berapa

kira-kira jumlah bakteri setelah satu jam?

• Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k = (ln 2)/5

• Jika P0 = 1 unit, maka setelah satu jam…

Solusi persamaan diferensial

kPdP

= ktePtP )( =kPdt

dP=

dtkP

dPt

t

P

P

∫∫ =1

0

1

0

)(ln 0

0

ttCkP

P−=

ktePtP 0)( =

)(1)1()1)(

5)2(ln

(eP =

1487.1=

The Analytical Solution of the Rate Equation is

the State Equation

Rate equation State equation(dsolve in Maple)

There are very few models in

ecology that can be solved

analytically.analytically.

Solusi Numerik

• Numerical integration

– Eulers

– Runge-Kutta

Numerical integration makes use of this relationship:

Which you’ve seen before…

tdt

dyyy ttt ∆+≈∆+

Relationship between continuous and discrete time models

*You used this relationship in Lab 1 to program the

logistic rate equation in Visual Basic:

1 where,11 =∆∆

−+=+ ttK

NrNNN t

ttt

Fundamental Approach of Numerical Integration

y = f(t), unknown

y , estimated

tdt

dyyy ttt ∆+≈∆+

yt+∆t,

, known

∆t, specified

y

t

yt, known

dt

dy

yt+∆t, estimatedunknown

1 where,1 =∆∆

−+=∆+ ttK

NrNNN t

tttt

dtdN

Nt/K with time, lambda = 1.7, time step = 1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Nt/K

Euler’s Method: yt+ ∆t ≈ yt + dy/dt ∆t

Calculate dN/dt*1 at

Nt

Add it to Nt to

estimate Nt+ ∆t

Nt+ ∆t becomes the new Nt

Calculte dN/dt * 1 at new Nt

Use dN/dt to estimate next Nt+ ∆t

Repeat these steps to estimate the state

function over your desired time length

(here 30 years)

0

0.05

0.1

0 10 20 30 40 50

time (years)

Example of Numerical Integration

dy

dty y= −6 007 2.

Analytical solution to dy/dt

point to estimate

Y0 = 10

∆ t = 0.5

Euler’s Method: yt+ ∆t ≈ yt + dy/dt ∆t

m1 = dy/dt at yt

m = 6*10-.007*(10)2

analytical y(t+ ∆t)

dy

dty y= −6 007 2.

y

yt = 10

m1 = 6*10-.007*(10)2

∆y = m1*∆t

yest=yt + ∆y

∆ t = 0.5

∆y

estimated y(t+ ∆t)

Runge-Kutta Example

dy

dty y= −6 007 2.

point to estimate

Problem: estimate the slope to

calculate ∆y

∆y

∆ t = 0.5

∆y

Runge-Kutta Example

Unknown point to

estimate, yt+∆t

estimated yt+∆t

yt

½ ∆t ∆t t

estimated yt+∆t

estimated yt+∆t

∆ t = 0.5

Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4) within ∆t:

Runge-Kutta, 4th order

)2/,2/(

),(1

tmyttfm

ytfm

∆+∆+′=

′=

),(at derivative),( ytytf =′

),(

)2/,2/(

)2/,2/(

34

23

12

tmyttm

tmyttfm

tmyttfm

∆+∆+=

∆+∆+′=

∆+∆+′=

tmmmmyy ttt ∆++++=∆+ )22(6

14321

These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the state

function between t and t + ∆t, which is used to estimate yt+ ∆t:

y

Step 1:

Evaluate slope at current value of state

variable.

y0 = 10

m1 = dy/dt at y0

m = 6*10-.007*(10)2y m1 = 6*10-.007*(10)2

m1 = 59.3m1=slope 1

y0

Step 2:

A) Calculate y1at t +∆t/2 using m1.

B) Evaluate slope at y1.

A) y1 = y0 + m1* ∆t /2

y1 = 24.82

B) m2 = dy/dt at y1

m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2

m2 = 144.63 m2=slope 2

∆ t = 0.5/2

y1

Step 3:

Calculate y2 at t +∆t/2 using k2.

Evaluate slope at y2.

y2 = y0 + k2* ∆t /2

y2 = 46.2

k3 = dy/dt at y2

k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2

k3 = slope 3

k3 = 6*46.2-.007*(46.2)

k3 = 263.0

∆ t = 0.5/2

y2

Step 4:

Calculate y3 at t +∆t using k3.

Evaluate slope at y3.

y3 = y0 + k3* ∆t

y3 =141.5

k4 = dy/dt at y3

k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2

k4 = slope 4y3

k4 = 6*141.0-.007*(141.0)

k4 = 706.9

∆ t = 0.5

y2

m4 = slope 4

m3 = slope3

Now you have 4 calculations of the slope of the state equation between t and

t+∆t

∆ t = 0.5

m3 = slope3

m2 = slope 2

m1 = slope 1

Step 5:

Calculate weighted slope.

Use weighted slope to estimate y at t +∆t

weighted slope =

tmmmmyy ttt ∆++++=∆+ )22(6

14321

)22(6

14321 mmmm +++

∆ t = 0.5

true value

estimated valueweighted slope

Conclusions

• 4th order Runge-Kutta offers

substantial improvement over Eulers.

• Both techniques provide estimates, not

“true” values.

• The accuracy of the estimate depends

on the size of the step used in the

Runge-Kutta

Analytical

Eulers

on the size of the step used in the

algorithm.