LEKCIJEIZELEMENTARNEGEOMETRIJEBANJALUKA,2010.iiiSadrzaj:v1 Prvalekcija 11.1 OEuklidovimElementima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Osnovnipojmoviugeometriji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Aksiomeincidencijeinjihoveposljedice. . . . . . . . . . . . . 41.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Drugalekcija 72.1 Aksiomerasporedaiposljedice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Duz-Poligon-Poluprava-Poluravan-Poluprostor . . . . . . . . . 82.3 Aksiomepodudarnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Izometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Trecalekcija 153.1 Podudarnosttrouglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2Cetiriznacajnetackeutrouglu . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Cetvrtalekcija 194.1 Vektoriuravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 OTalesovojteoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Slicnitrouglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Petalekcija 235.1 Okruguikruznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Kruznicaimnogouglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Potencijatackeobziromnakruznicu . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25iiiSadrzaj:6Sestalekcija 276.1 Nekekarakteristicneteoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Sedmalekcija-ponavljanje. 318 Osmalekcija 338.1 Poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33ivvviLEKCIJA1Prvalekcija1.1 OEuklidovimElementima.Geometrijaje(zajednosaaritmetikom)prvaoblastmatematikekojaje(izcistoprakticnihrazloga)zanimalaljude. Najranijaznanjaizgeometrijesukolekcijazapazanjaoduzinama, uglovima, povrsinama, itd. . . . Nekaodtihznanjasubilavrlokomplikovana: verzijePitagorineteoreme,zapreminazarubljenepiramide,nekevrstetrigonometrijskihtablica. . . .Takode, znanjaizgeometrijesuljudimapomagaladarazumijusvijet okosebeAristotelibrod-zemljajeokruglaEratosteni stap-obimzemljeSmatra se da je Tales iz Mileta prvi koji je osjetio potrebu da dokazujegeometrijskatvrdenja.visinapiramideugaonadprecnikomjepravAkoparalelnepravesijekuugaopOqutackamaA, BodnosnoCi DtadajeABCD=OAOC=OBOD.NjegovucenikjePitagora, zakojegsesmatradanijesmislioteoremukojanosinjegovoime,alidajujeprvidokazao. Dalje,Pitagorajeotkrionesamjerljiveduziiiracionalnebrojeve.11.1. OEuklidovimElementima.TEOREMA 1.1.Povrsina kvadrata nad hipotenuzom je ravna zbiru povrsinakvadratanadkatetama.DOKAZ. NekidokaziPitagorineteoremeDokazpomocupovrsinaDokazpomocuslicnostiDokazEuklidaDokazrasjecanjemVrijediiobrnutaPitagorinateorema.TEOREMA1.2. Stranice trougla ABCsua, b i c. Akovrijedi c2=a2+b2,tadaje ABCpravougli.Uizgradnji nekenaucneteorijenijemogucesvetvrdnjedokazati i svepojmove denisati. Precutno prihvatamo neke tvrdnje za istinite i nazivamoihaksiome; takodezanekepojmovesmatramodajepotpunoociglednostaznace. Takvipojmovisenazivajuosnovnipojmovi.Sveostalepojmove cijisadrzajdenisemonazivamoizvedenim. Takode,sva tvrdenja koja nisu aksiome potrebno je dokazati pomocu pravila izvodenjai ranije dokazanihtvrdenja i aksioma. Te dokazane tvrdnje se nazivajuteoreme. Ovakavnacinzasnivanjanekeoblasti nazivasededuktivni ili ak-siomatski. Bilo je vise pokusaja da se znanja iz geometrije uoblice kao deduk-tivna teorija. No,rasprava sa naslovom Elementi,Euklida iz Aleksandrije jenajuspjesniji,najuticajniji,najznacajnijiinajcitanijiudzbenikikadnapisan(ubilokojoj nauci!). Jedinaknjigauistoriji saviseizdanjajeBiblija. Idanas, skoro2500godinaodnastanka, Elementi sudioliteraturekursaizgeometrije.U trinaest knjiga Elemenata,Euklid je postupno izlozio sva geometrijskaznanjaiztogvremena. Prvihsest knjigasebavi planimetrijom, narednecetiri sebavegeometrijskomteorijombrojeva, aposlednjetri seodnosenastereometriju.PrvaknjigaElemenatapocinjesa23denicijekojimaseuvodeosnovnipojmovi. Unekoj deduktivnoj teoriji, svi pojmovi senemogudenisati.Ovorazumjeti jeteskojednakokaoi shvatiti cinjenicudasenemogusvatvrdenjaunekoj deduktivnoj teoriji dokazati. Euklidjetoprimjetio, i os-novnatvrdenjageometrijeizlazeupetpostulataidevetaksioma.21.2. Osnovnipojmoviugeometriji.Kakvajerazlikaizmedupostulataiaksioma?Postulati sutvrdenjakojaseuglavnomodnosenageometriju, dokvecinaaksiomavrijedi(iprimjenjujese)iudrugimoblastimamatematike.Primjeri:Postulat: Odtackedotackesemozepovucipravalinija.Aksioma: Ako se jednakim (velicinama) doda jednako, onda ce i rezultatbitijednak.Danas-skoronikakva. Takodamidanasgovorimosamooaksiomama.(peti postulat)Svakiputkadapravapripresjekusadvijedrugepraveobrazujeuglovesaistestrane,cijijezbirmanjioddvapravaugla,tepravesesijekusaonestranesakojejetajzbiruglovamanjioddvaprava.Previsekomplikovan. Dali jemozdatoposljedicaostalihpostulataiaksioma?1.2 Osnovnipojmoviugeometriji.Vec uHilbertovim Osnovama geometrije,pojmovi tacka,prava iravan se nedenisu. Osnovnipojmoviugeometrijikojisenedenisusu:neprazanskupS(kojinazivamoprostor,anjegovielementisutacke);klasa TpodskupovaodS(cijeelementenazivamoprave);klasa 1podskupovaodS(cijeelementenazivamoravni).Porednjih,nedenisuseidvijeosnovnerelacije:(1) relacijaizmedurelacijaporetkatacakanapravoj;A B CcitamotackaBjeizmedutacakaAiC(2) relacijapodudarnosti(A, B) =(C, D)citamopartacaka(A, B)jepodudaranparu(C, D).Odnosi izmeduosnovnihpojmovai ovihrelacijaseopisujuaksiomama. Teaksiome danas dijelimo u pet grupa: aksiome incidencije, aksiome rasporeda,aksiomepodudarnosti,aksiomeneprekidnostiiaksiomaparalelnosti.Geometrijazasnovananaprvecetiri grupeaksiomasenazivaapsolutnageometrija. U zavisnosti da liza aksiomu paralelnostiodaberemo PlejferovuiliaksiomuLobcevskog,dobijamoeuklidskuilihiperbolickugeometriju.31.3. Aksiomeincidencijeinjihoveposljedice.1.3 Aksiomeincidencijeinjihoveposljedice.Zanekolikotacakakazemodasukolinearane akosve pripadajujednojpravoj; inacesunekolinearne. Dalje, nekolikotacakajekoplanarnoakosve pripadaju jednoj ravni; inace su nekoplanarne. Takode, nekoliko pravihjekoplanarnoakosvepripadajujednojravni; inacesunekoplanarne. Dvijenekoplanarne prave nazivamo mimoilaznim. Nekoliko pravih ili ravni nazi-vamokonkurentnimakojenjihovpresjekjednatacka.Likiligurajeneprazanpodskupskupatacaka.AksiomeincidencijeI1 SvakapravasadrzinajmanjedvijerazlicitetackeI2 PostojibarjednapravakojasadrzidvijeproizvoljnetackeI3 PostojinajvisejednapravakojasadrzidvijeproizvoljnetackeI4 SvakaravansadrzinajmanjetrinekolinearnetackeI5 PostojinajmanjejednaravankojasadrzitrinekolinearnetackeI6 PostojinajvisejednaravankojasadrzitrinekolinearnetackeI7 Akodvijetackenekepravepripadajunekojravni,tadasvetacketepravepripadajutojravni.I8 Akodvijerazliciteravniimajujednuzajednickutacku,tadaoneimajujosjednuzajednickutacku.I9 Postoje cetirinekoplanarnetacke.Iz aksioma incidencije ne mozemo zakljuciti da postoji vise od cetiri tacke,sestpravihi cetiriravni! Nekeocigledneposlediceaksiomaincidencije:Postoji jedinstvena prava koja sadrzi dvije razlicite tacke; pravu odredenusatackamaAiBoznacavacemosap(AB),ilimanjeformalno,ABPostoji jedinstvena ravan koja sadrzi tri nekolinearne tacke; ravanodredenusatackamaA,BiCoznacavacemosa(ABC),ilisaABCPostoji jedinstvena ravan koja sadrzi pravu i tacku koja joj ne pripada;ravan odredenu sa pravom a i tackom A oznacavacemo sa (aA), ili saaA41.4. ZadaciPostoji jedinstvena ravan koja sadrzi dvije razlicite prave koje se sijeku;ravanodredenusapravimaiboznacavacemosa(ab),ilisaabPostojedvijemimoilaznepravePresjekdvijerazlicitepravejenajvisejednatackaPresjekravniipravekojanepripadatojravnijenajvisejednatacka.TEOREMA1.3. Akodvijerazliciteravni imajujednuzajednickutacku,ondaseonesijekupopravoj.Silvesterovproblem:Uravnijezadanontacakakojenisusvenaistojpravoj. Dokazidapostojipravakojasadrzitacnodvijeodzadanihtacaka!1.4 ZadaciZANIMLJIVIZADACI1. Oko ekvatora je namotan konopac. Nakon toga, konopac je prosiren zajedan metar i ponovo omotan oko ekvatora, tako da se centar tog novogkruga podudara sa sredistem zemlje. Da li izmedu konca i zemlje mozedaseprovucemis?2. Dalipostojin-tougaosa cetiriostraugla?3. Da li postoji konveksan poliedar u kojem sve strane imaju razlicit brojivica?4. Nadizbiruglovanaslici(3 1pravougaonik)5. DalijemogucekockupodijelitinamanjekockicetakodasvetemalebudurazlicitihivicaPITAGORINATEOREMA1. Utrouglu ABCtackaEjenavisiniAD. DokazidajetadaAC2CE2= AB2BE2.DokazidatvrdenjevrijediiakojetackaEizaD.StasedesiakojetackaEispredtackeA?51.4. Zadaci2. IzmedustranicaAB=7i AC=50utrouglu ABCjeugaood135. OdredistranicuBC.Nadi opstu formulu za BC kada su duzine stranica AB i AC proizvoljne.Nadiopstuformulukadajetajugao120i150.3. UcetverougluABCDjeAB=9, BC=12, CD=13, DA=14, idijagonala AC= 15. Normale iz Bi Dna ACsijeku ACu Pi Q,timredom. NadiPQ.AKSIOMEINCIDENCIJE1. Dokazidapostojebardvijemimoilazneprave!2. Nekaje Tnekafamilijapravih. Akosesvakedvijepraveiz Tsijeku,dokazidasusvepraveiz Tkonkurentneilikoplanarne!3. TackaCpripadapravojAB. Dokazi dasuravni odredenesaABDiACDiste.4. Datesudvijemimoilaznepravepi qi tackaA. Dali uvijekpostojiprava koja sadrzi A i koja sijece prave p i q?Da li mogu postojati dvijetakveprave?6LEKCIJA2Drugalekcija2.1 Aksiomerasporedaiposljedice.Gaus- 1832. g. prvi primjetiodarasporedtacakanapravoj trebaopisatiaksiomama. PrvijeopisaoMorisPas1882. g.Aksiomerasporedaopisujuosnovnasvojstvarelacije A B Cbitiizmedu.AksiomerasporedaR1 AkojeA B CtadasuA, BiCtrirazlicitekolinearnetackeR2 AkojeA B CtadajeiC B AR3 AkojeA B CtadanijeiA C BR4 AkosuAiBdvijerazlicitetacketadapostojitackaCtakvadajeA B CR5 AkosuA, BiCtrikolinearnetacketadajeiliA B CiliB C AiliC A BR6 Pasovaaksioma: AkosuA, BiCtrinekolinearnetackeippravauravniABCkojanesadrziA,sijeceBCutackiDtakodajeB D C,tadapravapsijeceCAutackiQtakodajeC QAilipsijeceAButackiRtakodajeA R B.TEOREMA 2.1.Za kolinearne tacke A, B, Cvrijedi tacno jedna od relacijaA B CiliB C AiliC A B.POSLEDICA2.2. AkosuAi Brazlicite tacke, tadatackaXpripadapravojABakoisamoakojeX= AiliX= BiliX ABiliAX BiliA B X.72.2. Duz-Poligon-Poluprava-Poluravan-PoluprostorTEOREMA2.3. AkosuAiBrazlicitetacketadapostojitackaCtakodajeA C B.Za konacan skup kolinearnih tacaka A1, A2, . . . , Ankazemo da je linearnouredenakojeAiAj Akzasve1 i < j< k n. TozapisujemosaA1A2 An.TakodejetadaiAnAn1 A1.TEOREMA2.4. AkojeA B CiB C DtadajeiA B C D.TEOREMA2.5(bezdokaza). AkojeA B CiA C DtadajeiA B C D.TEOREMA2.6(bezdokaza). AkojeA B CiA B DtadajeA B C DiliA B D C.TEOREMA 2.7 (Silvester).Ako n tacaka ravni ne pripada jednoj pravoj,tadapostojipravakojasadrzitacnodvijeodtihtacaka.RjesenjeSilvesterovogproblemapomocuudaljenosti. DZ:Lucic:Silvesterizrasporeda.2.2 Duz-Poligon-Poluprava-Poluravan-PoluprostorZatvorenaduz AB(ili ABili [AB]) je skupsvihtacakakoje suizmedutacakaAi B, ukljucujuci i njih. TackeAi Bsukrajevi duzi. Naslicannacindenisemoiotvorene,odnosnopoluotvoreneduzi.Geometrijskilikjepodskupravni. Zalikkazemodajekonveksanakosadrzisvetackesvihduzi cijikrajevipripadajuTEOREMA2.8. Presjekproizvoljnefamilijekonveksnihlikovajekonvek-sanlik.DEFINICIJA2.9. NekajeOtackanapravojp. AkosuAiBtackesateprave(razliciteodO), i akonijeA O BkazemodasutackeAi BsaistestranetackeOipisemoA, BO. Inace,kazemodasuAiBsaraznihstranatackeOitooznacavamosaA, B O.82.2. Duz-Poligon-Poluprava-Poluravan-PoluprostorTEOREMA2.10. RelacijasaistestranetackeOjerelacijaekvivalencije.Skupsvihostalihtacakaprave p(osimtacke O) se razlozi nadvije klaseekvivalencije.Otvorena poluprava je jedna od tih klasa ekvivalencije, a tacka O je tjemepoluprave. PolupravuodredenusatackomAoznacavamosa[OA)iliOA.Nekajedatskupn + 1tacakaA1, A2, . . . , An, An+1.PoligonskalinijaA1A2. . . AnAn+1jeskupkojisesastojiodduziA1A2, A2A3, . . . , AnAn+1. Tacke A1, A2, . . . , An, An+1sutjemana, aduziA1, A2,A2A3, . . . , AnAn+1sustranicepoligonskelinije.Ako su tacke A1i An+1iste, a neka tri uzastopna tjemena nisu kolinearnaA1A2. . . AnAn+1 je zatvorena poligonska linija (poligon ili mnogougao), inacejepoligonskalinijaotvorena. Dijagonalaupoligonujeduzkojaspajadvanesusjednatjemena.Poligonskalinija-povezanostuEuklidskojgeometriji.Poligon sa n ivica se naziva n-tougao. Poligon je slozen ako neke dvije njegoveiviceimajuzajednickihtacaka(osimeventualnotjemena);inacejeprost.DEFINICIJA2.11. NekajeppravauravniinekasuAiBtackeizkojenelezenap. AkopnesijeceduzABkazemodasutackeAiBsaistestrane prave p i pisemo A, Bp. Inace, kazemo da su A i Bsa raznih stranapravepitooznacavamosaA, B p.TEOREMA2.12(bezdokaza). Relacijasaistestranepravepuravnijerelacijaekvivalencijena p,kojatajskuprazlozinadvijeklaseekviva-lencije.Svakuodtihklasa nazivamo otvorena poluravan, a prava p je njenagranica. PoluravankojajeodredenasapravompitackomAoznacavacemosa[pA).DEFINICIJA2.13. Nekajeravanuprostoru. AkosuAiBtackekojenepripadaju,iakonesijeceduzAB,kazemodasutackeAiBsaistestrane ravni i pisemo A, B. Inace, kazemo da su A i Bsa raznih stranaravniitooznacavamosaA, B .TEOREMA2.14(bezdokaza).Relacija sa iste strane ravni je relacijaekvivalencije koja skup S (sve tacke prostora osim onih koje su u ) razlazenadvijeklaseekvivalencije.92.2. Duz-Poligon-Poluprava-Poluravan-PoluprostorKlaseekvivalencijesuotvorenipoluprostoriogranicenisa.Ugaonalinijajeskupsvihtacakadvijezatvorenepolupravepi qsaza-jednickimtjemenomO. Polupravepiqsukraci,aOjetjemeugaonelinijepq. Ako je pqugaona linija u ravni , a A i Btacke te ravni koje nisu naugaonojliniji,denisemorelacijubitisaistestraneugaonelinije:A, BpqakkopostojipoligonskalinijakojaspajaAiBanesijecepqTEOREMA2.15(bezdokaza). Relacijajerelacijaekvivalencijekojaskupsvihtacakaravnikojenisuu pqpodjeliudvijeklase.Svakaodtihklasasenazivaugao.102.3. Aksiomepodudarnosti2.3 AksiomepodudarnostiOVOJEIZOSTAVLJENOnaPREDAVANJUAksiome podudarnosti opisuju osnovna svojstva relacije =biti podu-daran.AksiomepodudarnostiP1 AkosuA, B, C, Dtacketakvedaje(A, B)= (C, D)iakojeA = BtadajeiC= DP2 ZabilokojedvijetackeAiBvrijedi(A, B)= (B, A)P3 AkosuA, B, C, D, E, Ftacketakvedaje(A, B)= (C, D)i(A, B)= (E, F)tadaje(C, D)= (E, F)P4 AkosuCiC

tackeotvorenihduziABiACtakvedaje(A, C)= (A

, C

)i(C, B)= (C

, B

)tadajei(A, B)= (A

, B

)P5 AkosuAiBdvijerazlicitetackeiakojeCpocetaknekepoluprave,tadanatojpolupravojpostojitackaDtakvadaje(A, B)= (C, D)P6 AkosuA, B, CtrinekolinearnetackeiakosuA

iB

tackenagranicinekepoluravnitakvedaje(A, B)= (A

B

)tadaupoluravnipostojijedinstvenatackaC

takodaje(A, C)= (A

C

)i(B, C)= (B

, C

)P7 AkosuA, B, CiA

, B

, C

dvijetrojkenekolinearnihtacakaiakosuDiD

tackenapolupravimBCiB

C

takodavrijedi(A, B)= (A

, B

),(A, C)= (A

, C

),(B, C)= (B

, C

)i(B, D)= (B

, D

)tadajei(A, D)= (A

, D

)TEOREMA2.16. Podudarnostparovatacakajerelacijaekvivalencije.TEOREMA2.17. AkosuAi Bdvijerazlicitetackei akojeCpocetaknekepoluprave, tadanatoj polupravoj postoji jedinstvenatackaDtakvadaje(A, B)= (C, D).TEOREMA2.18. AkosuA, BiCrazlicitetackenekepravepiakosuA

iB

tackepravep

takvedaje(A, B) =(A

, B

), tadapostojitackaC

takodaje(A, C) =(A

, C

) i (B, C) =(B

, C

). Dalje, C

lezi nap

i raspredtacakajesacuvan:akojeA B CondajeA

B

C

;akojeB C AondajeB

C

A

;akojeC A BondajeC

A

B

.Akosu(A1, A2, . . . , An)i(A

1, A

2, . . . , A

n)dvijeuredenen-torketacakaiakoje(Ai, Aj)= (A

i, A

j)zasvei, jrecicemodasuten-torkepodudarne:(A1, A2, . . . , An)= (A

1, A

2, . . . , A

n).112.4. IzometrijeTEOREMA2.19. NekasuA, B, Ctri nekolinearnetackenekeravni ineka su A

, B

, C

tri nekolinearne tacke neke ravni

takve da je (A, B, C)=(A

, B

, C

). TadazasvakutackuXuravni postoji tackaX

takvadaje(A, B, C, X)= (A

, B

, C

, X

). Dalje, tacka X

je u ravni

i ima isti polozajuodnosunaA

B

,A

C

iB

C

kaoitackaXuodnosunapraveAB,ACiBC.2.4 IzometrijeDEFINICIJA2.20. Bijekcija prave, ravni ili prostora na sebe koje cuvarelaciju podudarnosti (za sve A i Bje (A, B)= ((A), (B))) je izometrija.Uslovdaje bijekcijajesuvisan.TEOREMA2.21.Sve izometrije prave,ravni ili prostora obzirom na kom-pozicijucinegrupu.TEOREMA2.22. Izometrijomsepravaslikaupravu,polupravaseslikaupolupravu,aduzseslikauduz.TEOREMA 2.23 (bez dokaza).Izometrijom se ravan slika u ravan, polu-ravanseslikaupoluravan,augaoseslikauugao.IOVOJEIZOSTAVLJENONAPREDAVANJUPojamorijentacije-intuitivno!TEOREMA2.24. Izometrijompraveseistosmjerneduzislikajuuistosm-jerneduzi. Izometrijomravni seistosmjerni trouglovi slikajuuistosmjernetrouglovi. Izometrijomprostoraseistosmjerni tetraedri seslikajuuistosm-jernetetraedre.Dakle, ako izometrija prave (ravni, prostora) promjeni orijentaciju jednojduzi (trouglu, tetraedru) touradi sasvima. Izometrijekojenemijenjajuorijentacijunazivamodirektne, aizometrijekojemijenjajuorijentacijusuindirektne.TEOREMA2.25. AkosuAiBdvijerazlicitetackenekepravep, aA

iB

tacke te prave takve da je (A, B)= (A

, B

), postoji jedinstvena izometrijapravepnasamusebetakvadaseAiBslikajuuA

iB

.TEOREMA2.26(bezdokaza). AkosuA,BiCtrinekolinearnetackeneke ravni , a A

, B

i C

tacke te ravni takve da je (A, B, C)= (A

, B

, C

),tadapostojijedinstvenaizometrijaravninasamusebetakvadaseA,BiCslikajuredomuA

,B

iC

.122.4. IzometrijeTEOREMA2.27(bezdokaza). AkosuA,B,CiDcetirinekoplanarnetacke, aA

, B

, C

i D

tacketakvedaje(A, B, C, D) =(A

, B

, C

, D

),tadapostojijedinstvenaizometrijaprostoratakvadaseA,B,CiDslikajuredomuA

,B

,C

iD

.POSLEDICA 2.28.Ako neka izometrija prave ima dvije ksne tacke, ondaje ona identiteta. Ako neka izometrija ravni ima tri nekolinearne ksne tacke,onda je ona identiteta. Ako neka izometrija prostora ima cetiri nekoplanarnetackeondajeonaidentiteta.-OVOJESMORADILINAPREDAVANJU-Paralelneprave-koplanarnepravekojesenesijeku. Podudarnostuglova.CTAB:Uglovisaparalelnimkracimasuilipodudarniilisuplementni.CTAB:Unakrsniuglovisupodudarni.CTAB:Uglovisanormalnimkracimasupodudarniilisuplementni.TEOREMA2.29. Zbirunutrasnjihuglovautrouglujejednak180.Zbirunutrasnjihuglovaun-touglujejednak(n 2)180.Zbir spoljnihuglovaun-tougluje jednak 360. Spoljni ugaoutrouglujejednakzbirudvaunutrasnjenjemunesusjednaugla.132.5. Zadaci2.5 Zadaci1. Dokazidasvakapravaimabeskonacnomnogotacaka.2. Kolikodijagonalaimakonveksanmnogougao?3. Kadajeskup A, Bkonveksan?4. Dokazidasusimetraledvasuplementnauglasunormalne!5. Odrediti ugao koji je od njemu suplementnog manji za onoliko za kolikojeveciodnjemukomplementnog?6. Dokazatidasusvepravekojesenalazeujednojpoluravniparalelne.7. U ABCtackeEi DsutackenastranamaACi BC. DuzAFjesimetralaugla CADaBFjesimetrala CBE. DokazidajeAEB +ADB= 2AFB.8. Akosusimetraledvasusjednauglaortogonalne,dokazidasutiugloviuporedni.9. Dokazidasesvaki(nenuznokonveksan)n-tougaomozedijagonalamapodijelitinatrouglove.14LEKCIJA3Trecalekcija3.1 PodudarnosttrouglovaDEFINICIJA3.1. Ugaokoji jejednaksvomuporednomnazivasepraviugao. (iostaledenicije)LEMA3.2. Za tackuAi pravupu ravnipostoji jedinstvena pravankojasadrziAikojajenormalnanap.Dvatrouglauravni E2supodudarnaakopostojiizometrija 1: E2E2kojomsejedanslikaudrugi. Oznaka =. NekasuA, B, Ctri nekolinearnetackeinekaje 1: E2E2izometrijaravni. Akoje 1(A) = A

, 1(B) = B

i1(C) = C

,tadajeAB = A

B

, AC = A

C

, BC = B

C

i A= A

, B = B

, C = C

Stavoviopodudarnostitrouglova:SSSSUSUSUSSUTEOREMA3.3. Utrouglu ABCvrijediA = B BC= AC.153.2.CetiriznacajnetackeutrougluTEOREMA3.4. Utrouglu ABCvrijedi:naspramvecestranicesenalaziveciugaoiobrnuto.TEOREMA3.5. Zbirdvijestranicetrouglajeuvijekveciodtrece.TEOREMA3.6. NekajeB1sredistestraniceACaC1sredistestraniceAB. TadajeB1C1paralelnasaBCiB1C1=12BC.DEFINICIJA3.7. Simetraladuzi. Simetralaugla.LEMA 3.8.Tacka A lezi na simetrali duzi XYako i samo ako je AX = AY .Tacka A lezi na simetrali ugla ako i samo ako je jednako udaljena od krakovaugla.Vrste cetverouglova. Za cetverougaoABCDkazemodajeparalelogramAB[[CDiAD[[BC.TadajeAB = CDiAD = BC.TEOREMA3.9. Ekvivalentnoje1. ABCDjeparalelogram.2. susjedniugloviuABCDsusuplementni.3. parovinaspramnihstranicasupodudarni.4. AB = CDiAB[[CD5. dijagonaleACiBDsepolove.kvadrat,pravougaonikromb,romboidtrapez3.2Cetiriznacajnetackeutrouglusimetralauglasimetralastranicevisinatezisnaduz163.2.CetiriznacajnetackeutrougluDZ:Kakosekonstruisu?TEOREMA3.10. Tezisneduzitrougla ABCsesijekuujednojtackiT.Ta tacka se naziva teziste trougla ABC. Teziste dijeli tezisne duzi u omjeru2 : 1AT: TA1= 2 : 1.TEOREMA3.11. SimetralestranicautrouglusesijekuujednojtackiO.Tatackajecentaropisanekruznice.TEOREMA 3.12.Simetrale uglova u trouglu se sijeku u jednoj tacki S. Tatackajecentarupisanekruznice.TEOREMA3.13. VisineutrouglusesijekuujednojtackiH. Tatackasenazivaortocentar.173.3. Zadaci3.3 Zadaci1. Gdjesenalazicentaropisanekruzniceupravouglomtrouglu?2. Dokazidasudijagonalerombamedusobnonormalne.3. Neka su P, Q, R, Spolovista stranica proizvoljnog cetverougla ABCD.DokazidajePQRSparalelogram.4. U ABCtackaDsenalazinaduziACtakodajeAB= AD. AkojeABC ACB= 30kolikije CBD?5. Dvije medusobno ortogonalne prave sijekustranice kvadrataAB,BC,CDiADutackamaP, Q, R, S. DokazidajePR= QS.6. Simetralaugla ABCisimetralavanjskoguglaCu ABCsesijekuuD. PravaparalelnasaBCkroztackuDsijeceACuLi ABuM.AkojeLC= 5aMB= 7kolikojeLM?StasedesisaLMakoje ABCjednakostranican?7. Akojezbirduzi kojespajajusredistanaspramnihstranacetverouglajednakpoluobimu,taj cetverougaojeparalelogram. Dokazati!8. Upravouglomtrouglu ABCduzCFjetezisnaduznahipotenuzu,CEjesimetralapravoguglaaCDjevisina. Dokazi daje DCE =ECF. Akoje DCE = ECFdokazidaje ABCpravougli.9. NekasuAA

, BB

i CC

visineuostrouglom ABC. Dokazi dajeortocentarHtrougla ABCcentarupisanekruzniceu A

B

C

.10. TackaEsenalazi ukvadratuABCDtakodaje EDC= ECD=15. Dokazidaje ABEjednakostranican!18LEKCIJA4Cetvrtalekcija4.1 VektoriuravniDEFINICIJA4.1. Vektor=usmjerenaduz. Nulavektor. Pravac, smjeriintenzitet. Dvavektorasujednakaakosuistogpravca,smjeraiintenziteta.Vektor ABje predstavnik svihusmjerenihduzikojesuistogpravca,sm-jeraiintenziteta.ZaproizvoljnutackuXuprostorupostojijedinstvenatackaY takvadaje AB=XY .Operacije sa vektorima (mnozenje vektora sa skalarom i sabiranje vektoraponovitiizanalitickegeometrije). Dvijevazne cinjenice:Nadovezujuci vektore a,

b, c se moze formirati trougao ako i samo akoje a +

b +c =

0.ZaproizvoljnetackeA, BiCvrijediAB=AC +CB.Zadatak: Dokazatidaseodtezisnicatrougla ABCmozekonstruisatitrougao.4.2 OTalesovojteoremiDEFINICIJA4.2(Paralelnaprojekcija). Nekasupi qdvijepraveunekoj ravni i neka je t prava koja sijece i p i q. Ako je P p, sa P

oznacimotacku na qu kojoj prava paralelna sa t sijece pravu q. Preslikavanje P P

senazivaparalelnaprojekcijapnaqupravcupravet.194.3. SlicnitrougloviTEOREMA4.3. Paralelnaprojekcijajebijekcija. Paralelnomprojekcijomsepodudarneduzislikajuupodudarne.Podjeladuziuzadanomomjeru.TEOREMA4.4(Tales). Nekasupi qdvijekoplanarnepravei nekasut1, t2, t3paralelne prave koje sijeku p u tackama A, B, Ci qu A

, B

, C

. TadajeABBC=A

B

B

C

.Paralelnaprojekcija cuvaodnosduzinadisjunktnihduzi.POSLEDICA4.5. DvijeposljediceTalesoveteoremeNekasepravepi q sijekuuO(p q =O). Akosupresjecenesaparalelnimpravimt1it2uP1, Q1odnosnoP2, Q2tadajeOP1OQ1=OP2OQ2,OP1P1Q1=OP2P2Q2,OQ1Q1P1=OQ2Q2P2Simetrala unutrasnjeg ugla dijeli naspramnu stranicu u odnosu u kojemsupreostaledvijestranice.4.3 SlicnitrougloviSlicnost: Dvijegeometrijskeguresuslicneakosehomotetijom(ravnom-jernimsmanjivanjemili povecavanjem)odjednemozedobiti drugagura.Svikrugoviisvikvadratisuslicni. Sveelipsenisuslicne.DEFINICIJA4.6. Zatrouglove ABCi A

B

C

kazemodasuslicniakosuimsviuglovijednakiisvestraniceproporcionalne. DrugimrijecimaABC A

B

C

akoisamoakojeA = A

, B= B

, C= C

iABA

B

=ACA

C

=BCB

C

.Odnosodgovarajucihstranicauposmatranimtrouglovimasenazivako-ecijentslicnosti.Podudarnitrouglovisuslicni.204.3. SlicnitrougloviTeoremeoslicnostitrouglovaAko su svi odgovarajuci uglovi u dva trougla podudarni, ti trouglovi suslicni.Ako su svi odgovarajuce stranice u dva trougla proporcionalne, ti trou-glovisuslicni.Dva trougla suslicna ako suimproporcionalnedvijestranice,augloviizmedunjihpodudarni.Dva trougla suslicna ako suimproporcionalnedvijestranice,auglovinaspramveceodnjihpodudarni.214.4. Zadaci4.4 Zadaci1. Koristecivektoredokaziteoremuosrednjojlinijiutrouglu.2. Neka su M, N, P, Q, R, S redompolovista stranica nekogsestougla.Dokazidaje MN+PQ+RS=

0.3. Zbircetiri jedinicnavektorajenulavektor. Dokazi dasuti vektorimogupodijelitiudvaparasuprotnihvektora!4. U ABCjeDE[[BC,FE[[DC, pricemujeD, F AB, E, G AC.AkojeAF= 4aFD = 6nadiDB.5. U ABCtackaOiepolovistetezisneduziBE. PravaAOsijeceBCuD,apravaCOsijeceABuF. AkojeCO= 15, OF= 5, AO= 12,nadiOD. OdreditivezuizmeduAOiOD.6. Nastrani BCu ABCjezadanatackaA1takodajeBA1:A1C=2 : 1. UkojemomjerutezisnaduziztjemenaCdijeliAA1?7. Duz BE dijeli ABC na dva slicna trougla sa koecijentom3. Odrediugloveutrouglu ABC.8. UparalelogramuABCD, tackaEjenaduzi BC. PravaAEsijecedijagonaluBDutacki Gi pravuDCutacki F. AkojeAG=6iGE= 4,nadiEF.9. Duz ABje podijeljena tackama Ki L tako da je AL2= AK AB. DuzAPjepodudarnasaAL. DokazidajePLsimetralaugla KPB.10. U ABC,tackaDsenalazinaBAivrijediBD: DA = 1 : 2. TackaEjenastrani CBtakodajeCE: EB=1: 4. Duzi DCi AEsesijekuuF. OdreditiCF: FD.22LEKCIJA5Petalekcija5.1 OkruguikruzniciDEFINICIJA5.1. Kruznica sa centrom O i poluprecnikom r je skupsvihtacakauravnikojesuodtackeOudaljenetacnor.k(O, r) = X E2d(O, X) = rTetivakruznicekjeduzkojojkrajnjetackelezenak.Precnikjetetivakojasadrzicentar.Kruzniluk,centralniiperiferijskiugao.TEOREMA5.2. Periferijskuiugaojejednakpolovinicentralnoguglanadistimlukom.PosljediceoveteoremesuSviperiferijskiuglovinadistimlukomsujednaki.Ugaonadprecnikomjepravi.UgaoizmedutangenteABi tetivejejednakperiferijskomuglunadlukomAB.Centaropisanekruzniceu ABCjeunutartrouglaakkojetrougaoostrougli; napolovini hipotenuze akkoje ABCpravougli aizvantrouglaakkoje ABCtupougli.Zadatak: Odrediti geometrijskomjestotacakaizkojihseduzABvidi poduglom.235.2. Kruznicaimnogouglovi5.2 KruznicaimnogougloviTangentnimnogougao=svestranicedodirujukruznicu.TEOREMA5.3. Tangentneduziizistetackesupodudarne.Zadatak: Neka upisana kruznica dodiruje stranice AB, BC, CAu tackamaR, P, Q. IzraziduziAQ, . . . , CQprekostranicatrouglaa, b, c.TEOREMA5.4.CetverougaoABCDjetangentanakkosusumeduzinanaspramnihstranicajednake.Tetivnimnogougao=svatjemenapripadajukruznici.TEOREMA5.5.CetverougaoABCDjetetivanakkojesumanaspramnihuglovajednaka180.5.3 PotencijatackeobziromnakruznicuNekajezadanakruznicak(O, r)i nekajeTtackauravni kruznicek. AkopravepiqkojesadrzeTsijekukuP1iP2,odnosnoQ1iQ2. TadajeTP1 TP2= TQ1 TQ2.Dakle, ovajproizvodzavisi samoodtackeTi odkruznice, nezavisi odprave. TuvrijednostnazivamopotencijatackeTobziromnakruznicuk.Potencijatckeobziromnakruznicujefunkcija Ttk(O,r): E2 Rdenisanasa Ttk(O,r)(T) = OT2r2TEOREMA5.6. U ABCvrijediOS2= r22r245.4. Zadaci5.4 Zadaci1. Dokazi dajeupravouglomtrougluzbirkatetajednakzbiruprecnikaupisanogiopisanogkruga.2. Nekajekpripisanakruznicaza ABCkojadodirujestranicuBCiprave AB i AC. Odrediti duzinu tangentnih duzi iz tacke A na kruznicuk.3. Oko ostrouglog trougla ABCje opisana kruznica k. Visine iz A, B, CsijekukutackamaM, N, P. Dokazi dajeortocentartrougla ABCcentarupisanekruzniceza MNP.4. TangenteACiDBsunormalnejednanadruguisijekuseutackiG.U AGDvisinaizGsijeceADuE, akadaseproduzi sijeceBCutackiP. DokazidajeBP= PC.5. TetiveABi CDsunormalnei sijekuseutacki E. AkojeAE=2, EB= 12, CE= 4nadiudaljenosttackeEodkruznice.6. OkokvadrataABCDstraniceajeopisankrug. AkojeEproizvoljnatackanatomkruguodrediAE2+BE2+CE2+DE2.7.CetverougaoABCDjeupisanukruznicu. PoznatojedadijagonalaBDpoloviAC. AkojeAB= 10, AD = 12, DC= 11,nadiBC.8. PravapsijecekrugudijametralnosuprotnimtackamaAiC. Pravaqsijece krug u tackama Bi D i pravu p u tacki Pizvan kruga. Na pravuqsupovucenenormaleAEi CF. AkojeEB=2, aBD=6, odrediDF.9. U krug je upisan jednakostranican trougao ABC. Tacka Mse nalazina luku BCkojem ne pripada tacka A. Dokazi da je MB+MC= MA.255.4. Zadaci26LEKCIJA6Sestalekcija6.1 NekekarakteristicneteoremeTEOREMA 6.1 (Simsonova prava).Neka je Ptacka na opisanoj kruznicioko ABC. AkosuA

, B

, C

podnozjanormalaiPnaBC, CAiABtadasutetackekolinearne. PravakojaihsadrzinazivaseSimsonovaprava.Zadatak: Tackesimetricneortocentruobziromnastranicetrouglalezenaopisanojkruznici.Tackesimetricneortocentruobziromnapolovistastranicatrouglalezenaopisanojkruznici.TEOREMA6.2(Ojlerovaprava). Ortocentar, tezistei centaropisanekruzniceu ABClezenaistoj pravoj, TjeizmeduHi O, i vrijedi HT=2TO. PravakojasadrziH, T, OsenazivaOjlerovaprava.TEOREMA6.3(kruznicadevet tacaka). Sredistastranica, podnozjavisinai sredistaduzi kojespajajuortocentarsatjemenimalezenakruznicikojojjecentarsredisteduziHO.TEOREMA6.4(Apolonius). AkojetackaXnastrani BCu ABCtakvadajeBX: CX= m : nondajenAB2+mAC2= nBX2+mCX2+(m+n)AX2= (m+n)(AX2+BX CX)TEOREMA6.5(Ceva). AkosuP, QiRtackenastranicamaBC, CA,ABu ABCtadasupraveAP,BQiCRkonkurentneakoiamoakojeBPPC

CQQA

ARRB= 1276.2. zadaciTEOREMA6.6(Menelaj). NekasuP, QiRtackenastranicamaBC,CA,ABu ABC. TetackesukolinearneakoiamoakojeBPPC

CQQA

ARRB= 1TEOREMA6.7(Ptolomej). AkojeABCDtetivancetverougaotadajeACBD = ABCD +ADBC.6.2 zadaci1. Dokazi dasepresjeksimetraleuglai simetraleodgovarajucestranicenalazinaopisanojkruznici.2. Neka su AA

, BB

i CC

visine u ABC. Ako su P, Q, R i Spodnozjanormala iz A

na AB, AC, BB

i CC

, dokazi da su te tacke kolinearne.3. NekajetatezisnaduziztjemenaA. Akosuduzinestranicatrouglaa, bic,dokazidajet2a=b22+c22 a24 .4. Lajbnicovateorema:AkojeTteziste trougla ABC,aPproizvoljnatackauravnitadajePA2+PB2+PC2= TA2+TB2+TC2+ 3PT2.5. Stjuardovateorema:AkojeXtackanaBCu ABCtadajeBCAX2= BXAC2+CXAB2BCCXBX.6. Karnoovateorema:Ako su P, Q, R tacke na stranicama BC, AC, ABu ABC, prave nor-malnenastranicetrouglautimtackamasukonkurentneakoi samoakojeBP2PC2+CQ2QA2+AR2RB2= 0.7. Neka upisana kruznica dodiruje stranice BC, AC, AB u ABC u P, Q, R.DokazidasuAP,BQiCRkonkurentne.286.2. zadaci8. Dezargovateorema:Nekasu ABCi A

B

C

trouglovi uistoj ravni. AkosuP, Qi Rredompresjeci pravihBCi B

C

, ACi A

C

teABi A

B

. DokazatidasutackeP, Qi Rkolinearneakoi samoakosupraveAA

, BB

iCC

konkurentne.296.2. zadaci30LEKCIJA7Sedmalekcija-ponavljanje.3132LEKCIJA8Osmalekcija8.1 PoligoniDenicije pojmova: poligonska linija, zatvorena poligonska linija, prostapoligonskalinija.TEOREMA8.1(bez dokaza). Svakazatvorenapoligonskalinijadijeliravannatacnodvadijela.Ogranizendioravnisapoligonskomlinijomsenazivapoligon.Napomena: Kako pogoditi da li je neka tacka ravni u unutrasnjosti ili nije?AkosupoligoniPiQtakvisunjihoveunutrasnjostidisjunktniskupovi,denisemonjihovusumuP+Qkaounijutadvapoligona.TEOREMA 8.2.Svaki poligon se moze napisati kao zbir trouglova u kojimasustranicejedinostraniceilidijagonaleposmatranogpoligona.Podjelapoligonananacinopisanuprethodnoj teoremi senazivatrian-gulacijabezdodatnihtjemena.POSLEDICA8.3. Zbirunutrasnjihuglovaun-tougluje(n 2)180.Pravilni poligoni-denicija. Zasvaki n N, n 3, postoji pravilann-tougao. Polupravilanpoligon(jednakoivicni-sveivice)33