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%

例題 1 < a1 < 5、an+1 = 3 +√

an − 1 で定められる数列 {an}がある。　 (1) 自然数 nに対し、1 < an < 5 を示せ。

　 (2) 自然数 nに対し、5 − an+1 <12(5 − an) を示せ。

　 (3) limn→∞

an を求めよ。

Point・・・不等式を利用して極限をはさみうちするパターンです。

解

(1) 数学的帰納法で示す。

　 [1] n = 1のとき 1 < a1 < 5 は問題文から成立。

　 [2] 1 < ak < 5 の仮定の下で、√

1 − 1 <√

ak − 1 <√

5 − 1 ⇔ 0 <√

ak − 1 < 2

このとき 1 < 3 < 3 +√

ak − 1 = ak+1 < 3 + 2 = 5 より 1 < ak+1 < 5 が成立。

　 [1], [2]より 1 < an < 5 は成り立つ。

(2) 5 − an+1 = 2 −√

an − 1 =4 − (an − 1)2 +

√an − 1

=5 − an

2 +√

an − 1

　 (1)から 1 < an なので、2 +√

an − 1 > 2 であり、5 − an

2 +√

an − 1<

12(5 − an)　

　となり題意は成り立つ。

(3) (2)から 5 − an <12(5 − an−1) <

(12

)2

(5 − an−2) <・・・<

(12

)n−1

(5 − a1)

　 (1)と合わせると 0 < 5 − an <

(12

)n−1

(5 − a1) ここで limn→∞

(12

)n−1

(5 − a1) = 0

　よって、はさみうちの原理から limn→∞

(5 − an) = 0 ∴ limn→∞

an = 5

一般項が求められないパターンの解法を原則としておきましょう。

■Principle Piece６■　

一般項不明の漸化式の極限　[1] an+1 = an = α とおいた式の解 αが極限「候補」[2] |an − α|に関する「等比数列的」不等式で挟み撃ち

最初の漸化式は、単純な形の漸化式でしたが、「数学 B」で習う漸化式は全てこの分野で出題

される可能性があります (隣接 3項間、連立漸化式、分数型など)。解法があいまいな漸化式が

ある場合は、必ず見直しておきましょう。

– 1 –

¾½

»¼例題 lim

x→2

x2 − 4x − 2

を求めよ。

Point・・・代入すると、0/0　 (不定形)となってしまいます。

解

　 limx→2

x2 − 4x − 2

= limx→2

(x − 2)(x + 2)x − 2

= limx→2

(x + 2) = 2 + 2 = 4

この例題のとおり、分数の形になっており、代入すると「0/0」になってしまうような場合

は、いきなり代入することができません。しかし、分子と分母で約分できたため、最後には代

入してもよい形に変形できました。

これは偶然なのでしょうか？実は、このような状況が起こりうるなら、必ず分母と分子には何

らかの形で共通因数が現れます。分子も分母も 2を代入すると 0になるなら、どちらも x−2で

割り切れるということです。「因数定理」ですね。(因数定理があやふやなら、すぐに数学IIの「

複素数と方程式」に戻って復習しましょう！)

ここから、次の原則が導かれます。

■Principle Piece１３■　

limx→α

g(x)

f(x)　 f(α) = g(α) = 0　なら約分

この原則を適用する問題を見ていきましょう。'&

$%

例題 次の極限値を求めよ。

　 (1) limx→2

x3 − 8x − 2

　　 (2) limx→−1

x3 + 1x2 − x − 2

　　 (3) limx→3

x −√

x + 6x − 3

Point・・・(3)は、Principle Piece４を使えば、約分できます。

(1) (与式) = limx→2

(x − 2)(x2 + 2x + 4)x − 2

= limx→2

(x2 + 2x + 4) = 22 + 2・2 + 4 = 12

※ 微分の定義に従えば、f(x) = x3とおいて、(与式) = f ′(2) = 12　でもOK。

(2) (与式) = limx→−1

(x + 1)(x2 − x + 1)(x + 1)(x − 2)

= limx→−1

x2 − x + 1(x − 2)

=1 + 1 + 1−1 − 2

= −1

(3)x −

√x + 6

x − 3=

x2 − (x + 6)(x − 3)(x +

√x + 6)

=(x − 3)(x + 2)

(x − 3)(x +√

2x + 6)=

x + 2x +

√x + 6

　よって (与式) = limx→3

x + 2x +

√x + 6

=3 + 2

3 +√

3 + 6=

5

6

– 2 –

º¹

·¸例題 lim

x→0

1 − cos x

x2を求めよ。

Point・・・極限の公式は sinです。これが出てくるにはどうすればいいでしょう。

解

　1 − cos x

x2=

(1 − cos x)(1 + cos x)x2(1 + cos x)

=1 − cos2 x

x2(1 + cos x)=

sin2 x

x2(1 + cos x)

　∴ (与式) = limx→0

( sinx

x

)2

・1

(1 + cos x)= 12・

12

=1

2

1 − cos xを含む場合は頻出なので、原則としておきましょう。

■Principle Piece１６■　

1 − cosx → 1 + cosx　をかける

なお、準公式とは、よほど簡単な問題でない限りは、いきなり答えを書いても構わない式の

ことです。これを書かないことで解答が 1,2行で終わってしまうのであれば、書いた方がいい

ですし、これ以外ですでに解答が 20 行もあるのであれば、書く必要はないでしょう。要は、

「空気を読む」ことが大事です。

さて、ここからは、三角関数の極限を求める練習をします。たったこれだけの公式で、どれ

だけ幅が広がるか、三角関数の (問題としての)威力をご覧下さい。'

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%

例題 次の極限を求めよ。ただし、用いて良いものは limx→0

sinx

x= 1 のみとする。

　 (1) limx→0

tanx

x　　　 (2) lim

x→0

sinx + sin 5x

sin 2x + sin 4x　　　 (3) lim

x→0

tanx◦

x

　 (4) limx→0

tanx − sinx

x3　　 (5) lim

x→0

cos 2x − cos 4x

x2　　 (6) lim

x→0

1x2

( sin 2x

2x− sin 3x

3x

)　 (7) lim

x→∞x sin

1x　　 (8) lim

x→π2

(2x − π) cos 5x

cos2 x　　 (9) lim

x→π

1x − π

n∑k=1

sin(2k − 1)x

Point・・・相互関係や倍角の公式などを用い、公式の形にムリヤリ変形します。

– 3 –