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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS

PROBABILIDAD DE OSCILACION DENEUTRINOS Y TEORIA DE CAMPOS

Autor: Cesar Alfonso Agon Quintero

TutorDr. Juan Carlos D’Olivo

October 19, 2011

Cesar Alfonso Agon Quintero

OSCILACIONES DE NEUTRINOS


TABLA DE CONTENIDO

1 RESUMEN

2 INTRODUCCION

3 ESTADOS DE PONTECORVO

4 ESTADOS DE BOGOLIUBOV

5 REFERENCIAS




RESUMEN

En el presente trabajo llevamos a cabo un estudio del fenomeno de lasoscilaciones de neutrinos desde el punto de vista de la teorıa cuantica decampos con el proposito de entender algunos aspectos relativos altratamiento con paquetes de onda en la obtencion de la probabilidad detransicion de sabor entre los neutrinos.

Entre algunos de los puntos tratados, se encuentra

La caracterizacion de los paquetes desde el punto de vista de lanocion de partıculas localizadas

El rol de la teorıa de campos en la correcta definicion de los estadosde sabor

Equivalencia entre las probabilidades de transicion de sabor basadasen la funcion de onda y el valor esperado de la carga de sabor.




PROBLEMA DE LA MEZCLA

Los neutrinos participan unicamente en las interacciones debiles, de lamanera descrita por el lagrangiano

LI =g

2√

2[W +

µ νe(x)γµ(1− γ5)e(x) + W +µ νµ(x)γµ(1− γ5)µ(x)

+W +µ ντ (x)γµ(1− γ5)τ(x) + h.c .]

− g

4 cos(θW )[νe(x)γµ(1− γ5)νe(x)Zµ + νµ(x)γµ(1− γ5)νµ(x)Zµ

+ντ (x)γµ(1− γ5)ντ (x)Zµ + h.c .]+ (1)

donde g es la constante de acoplamiento, y θW es el angulo deWeimberg.




A partir de este lagrangiano los unicos procesos posibles a nivel arbol son

W + → e+ + νe , W− → e− + νe , Z → νe + νe ,

W + → µ+ + νµ, W− → µ− + νµ, Z → νµ + νµ,

W + → τ+ + ντ , W− → τ− + ντ , Z → ντ + ντ . (2)

lo cual implica la conservacion del numero leptonico de sabor a este nivel.Sinembargo experimentalmente se ha observado violacion del numeroleptonico con la distancia entre fuente y detector en neutrinos.




TRATAMIENTO ESTANDAR

Una manera de describir tales efectos esta basada en la suposicion de quelos estados de sabor son combinaciones lineales de los estados masivos

|να(p, s)〉 =∑

i

U∗α,i |νi (p, s)〉 (3)

donde |να〉, representa los autoestados de sabor con α = e, µ, τ , y |νj〉los autoestados de masa con j = 1, 2, 3 y U∗α,i la matriz (Pontecorvo,Maki, Nakagawa, Sakata).La evolucion en el tiempo de los estados de sabor esta determinado por elHamiltoniano libre

|να(t)〉 = e−iHt |να〉 =∑

j

e−iEj tU∗αj |νj〉 , (4)




Ası la amplitud de probabilidad de que el neutrino α, al tiempo t seencuentre en el estado β, es

Aα→β(t) ≡ 〈νβ |να(t)〉 (5)

luego teniendo en cuenta que los neutrinos son ultrarelativistas, podemoshacer t ≈ L y con ello

Pα→β(L) = |Aα→β(L)|2

=∣∣∣∑

j

U∗αjUβje−iEjL

∣∣∣2=

∑ij

UαiU∗βiU∗αjUβje

i(Ei−Ej )L (6)

Ei =√

p2 + m2i luego E ≈ Ei en el lımite ultrarelativista

Ei − Ej =(Ei − Ej)(Ei + Ej)

(Ei + Ej)∼=

(m2i −m2

j )

2E(7)




Problemas en la derivacion

Pα→β(L) =∣∣∣∑

i

U∗αieim2

i L/EUβi

∣∣∣2, (8)

Descripcion en autoestados de momento

Definicion de estados de sabor

Ausencia del caracter de espin en la descripcion de los estados

Ausencia de la teorıa de campos en la descripcion

En la literatura se encuentran trabajos que se basan en elementos quevan desde:Mecanica Cuantica NR, R, → Diagramas de Feynman




En el marco del modelo estandar (con neutrinos masivos), los terminosmasivos asociado a los neutrinos no pueden diagonalizarse al mismotiempo que los terminos de interaccion, lo cual implica que los estados desabor y de masa no coinciden entre sı.

L0 = Ψ(x)(iΓµDµ −M)Ψ(x), (9)

donde

Ψ(x) =

νe(x)νµ(x)ντ (x)

y M =

mee meµ meτ

mµe mµµ mµτ

mτe mτµ mττ

, (10)

Γµ = γµ1, Dµ = 1∂µ, con 1 la identidad en 3 dimensiones.




La transformacion Ψ ≡ UΨM , hace que el nuevo lagrangiano tome laforma

L0 = ΨM(x)(iΓµDµ − M)ΨM(x), (11)

con

ΨM(x) =

ν1(x)ν2(x)ν3(x)

y M =

m1 0 00 m2 00 0 m3

, (12)

La relacion fundamental es por tanto

Ψα(x) =∑

j

UαjΨj(x) (13)

donde Uα,i son los elementos de la matriz de (Pontecorvo, Maki,Nakagawa, Sakata).




DESARROLLO DE LOS CAMPOS

Un campo espinorial libre, se puede escribir en cualquier base completade funciones que satisfagan la ecuacion de Dirac libre. Por tanto:

Ψ(x) =

∫d3p

∑s

[Up,s(x)α(p, s) + Vp,s(x)β†(p, s)] , (14)

donde Up,s(x) y Vp,s(x) son ondas planas construidas a partir de lassoluciones de la ecuacion de Dirac en el espacio de momentos defrecuencias positiva u(p, s) y negativa v(p, s) respectivamente

Up,s(x) =1

(2π)3/2u(p, s)e−ipx y Vp,s(x) =

1

(2π)3/2v(p, s)e ipx .




Estos espinores base se escogen completos y ortogonales lo cual puederesumirse en∑

s

{ua(p, s)u†b(p, s) +va(−p, s)v†b (−p, s)

}= δa,b

u†(p, s)u(p, s) = δs,s′ , v†(p, s)v(p, s) = δs,s′

u†(p, s)v(−p, s) = 0. v†(−p, s)u(p, s) = 0. (15)

para garantizar las siguientes relaciones de anticonmutacion{α(p, s), α†(p′, s ′)

}= δ(p,p′)δs,s′ ,

{β(p, s), β†(p′, s ′)

}= δ(p,p′)δs,s′




Por otra parte, el campo Ψin(x) se puede desarrollar tambien en terminosde cualquier otro conjunto completo y ortogonal de soluciones de laecuacion de Dirac

Ψ(x) =∑n,s

[fn(x , s)α(n, s) + gn(x , s)β†(n, s)] (16)

donde las paquetes de onda fn(x , s) y gn(x , s) se contruyen a apartir delas ondas planas del anterior desarrollo

fn(x , s) =

∫d3pf (n,p)Up,s(x)

y gn(x , s) =

∫d3pf (n,p)Vp,s(x).




los paquetes satisfacen las propiedades de ortogonalidad y completez∫d3pf ∗(n,p)f (n′,p) = δn,n′ ,

∑n

f ∗(n,p)f (n,p′) = δ(p,p′),

que garantiza las relaciones de conmutacion{α(n, s), α†(n′, s ′)

}= δn,n′δs,s′ ,

{β(n, s), β†(n′, s ′)

}= δn,n′δs,s′ (17)




PAQUETES DE ONDA Y ESTADOS DE PONTECORVO

Los campos masivos y los campos de sabor, descritos por el ModeloEstandar estan relacionados de la manera siguiente:

Ψα(x) =∑

j

UαjΨj(x) , (18)

donde α = e, µ, τ . Expandiendo el campo en una base de ondas planas, ydefiniendo a los autoestados de sabor y trimomento |να(p, s)〉 de lamanera establecida por Pontecorvo tenemos

|να(p, s)〉 ≡∑

j

U∗αj |νj(p, s)〉 , (19)




Los operadores de sabor y masa localizados estan relacionados con susrespectivos autoestados de momento por

|ν(l)j (n, s)〉 ≡

∫d3pf

(l)j (n,p)|νj(p, s)〉 . (20)

|ν(l)α (n, s)〉 ≡

∫d3pf (l)

α (n,p)|να(p, s)〉 . (21)

y de estas se obtiene que

|νj(p, s)〉 =∑

n

f ∗j (n,p)|νj(n, s)〉 , (22)

de manera que la relacion de Pontecorvo para estos estados es

|να(n, s)〉 =∑

j

U∗αj

∑n′

∫d3pfα(n,p)f ∗j (n′,p)|νj(n

′, s)〉 . (23)




AMPLITUD Y PROBABILIDAD DE TRANSICION

A partir del campo libre Ψj(x) en el espacio de coordenadas, la funcionde onda asociada con el estado localizado de una partıcula de masa mj

resulta

ψnj (x)δij = 〈0|Ψj(x)|νi (n, s)〉 = f j

n (x , s)δij , (24)

osea, corresponde a la funcion espinorial que, en el desarrollo del campomasivo, multiplica al operador que crea dicho estado. La ecuacion (24)nos da la amplitud de probabilidad de encontrar un neutrino de masa mi

en la posicion x, al tiempo t.




Para los estados de sabor, la definicion dada en (24) puede sergeneralizada como sigue

ψnα→β(x) = 〈0|Ψβ(x)|να(n, s)〉 , (25)

donde los ındices α y β, no estan restringidos a ser iguales paragarantizar una amplitud distinta de cero. La funcion de onda definida en(25), representa la amplitud de probabilidad de encontrar un neutrino desabor β, en la posicion x al tiempo t.




La funcion de onda de sabor obtenida a partir de la definicion anterior es

ψnα→β(x) =

∑i,j

UβiU∗αj

∑n′

∫d3pfα(n,p)f ∗j (n′,p)〈0|Ψi (x)|νj(n

′, s)〉,

=∑

j

UβjU∗αj

∫d3p

(2π)3/2fα(n,p)uj(p, s)e−ipx . (26)

y la probabilidad de transicion

Pnα→β(t) ≡

∫d3x |ψn

α→β(x)|2 (27)

=∑j,i

UβjU∗αjU

∗βiUαi

∫d3p|fα(n,p)|2 Ui,j(p)e−i(ωj−ωi )t




donde Ui,j(p) = u†i (p, s)uj(p, s).que en la base quiral es

uj(p, s) = χj

(1 + σ·p

mj +ωj

)ξs(

1− σ·pmj +ωj

)ξs

donde χj =

(mj + ωj

4ωj

)1/2

(28)

los ξs son espinores bidimensionales y estan ortonormalizados de lamanera usual como ξ†r ξs = δrs . Ademas

Uj,j(p) = u†j (p, s)uj(p, s) = 1

Ui,j(p) = u†i (p, s)uj(p, s) =1

2

[√1 +

mi

ωi

√1 +

mj

ωj

+

√1− mi

ωi

√1− mj

ωj

].




0.00 0.01 0.02 0.03 0.04p@eVD

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1U12@eVD

Figure: |U12(p)| como funcion de |p|, en puntos para m1 = 10−2[eV ] ym2 = 10−3[eV ], lınea a trazos m1 = 10−2[eV ] y m2 = 10−4[eV ], lıneacontinua para m1 = 10−2[eV ] y m2 = 0[eV ].




La probabilidad puede escribirse como

Pnα→β(t) =

∫d3p|fα(n,p)|2Pp

α→β(t) , (29)

Ppα→β(t) representa la probabilidad de transicion de sabor derivada de

una descripcion en terminos de ondas planas:

Ppα→β(t) =

∑j,i

UβjU∗αjU

∗βiUαi Ui,j(p)e−i(ωj−ωi )t . (30)

La probabilidad obtenida por el tratamiento estandar fue

Ppα→β(t) =

∑j,i

UβjU∗αjU

∗βiUαie

−i(ωj−ωi )t . (31)

La normalizacion de la probabilidad se mantiene en el tiempo, en efectosumando sobre los estados finales, dada la normalizacion de los espinores,resulta ∑

β

Ppα→β(t) =

∑j

UαjU∗αj Uj,j(p) = 1. (32)




Sin embargo, en t = 0,

Ppα→β(0) =

∑i

|U∗βi |2|Uαi |2 +∑i>j

2<{U∗βiUβjUαiU∗αj} Ui,j(p) ,

Ppα→β(0) = δαβ +

∑i>j

2( Ui,j(p)− 1)<{U∗βiUαiUβjU∗αj}. (33)

Si al momento de la producion de los neutrinos, los estadoscorrespondientes son autoestados de sabor entonces es deseable que

Ppα→β(0) = δαβ . (34)

lo cual implica violacion del numero leptonico en el vertice de produccion,conocido como violacion intrinseca de la carga de sabor [Nishi, Phys RevD 78].




Por otra parte, en el caso estandar∑β

Ppα→β(t) = 1, Pp

α→β(0) = δαβ . (35)

En el regimen ultrarelativista, es decir en el lımite en que mi/ωi � 1, quees caracterıstico de los neutrinos, Ui,j(p) = 1 + O((mi/ωi )

2) y por tanto

Ppα→β(0) = δαβ + O((mi/ωi )

2) . (36)

vemos con ello que el termino de violacion de carga es despreciable. Sinembargo parece tener mayor consistencia el tratamiento estandar.




DEPENDENCIA ESPACIAL DE LAS OSCILACIONES

La dependencia de la probabilidad de transicion en la distancia recorridadebe extraerse del comportamiento de la funcion de onda de sabor, paraello partimos de

ψnα→β(x) =

∑j

UβjU∗αj

∫d3p

(2π)3/2|fα(n,p)|uj(p, s)e−ipxe iΦ(l)

α (n,p) ,

La maxima contribucion a esta integral representara las posiciones masprobables de las partıculas que se propagan xj(t) lo cual sucede cuando la

fase total es estacionaria en el punto en que la amplitud |fα(n,p)| esmaxima. Es decir

∇p(−ωj t + p·x + Φ(l)α (n,p))|Pn

= 0 , en x = xj(t) , (37)

de donde se deduce que

xj(t) = ∇p(ωj t − Φ(l)α (n,p))|Pn

,




Haciendo una aproximacion lineal de la fase total se obtiene

ψnα→β(x) ∼= e iΦ(l)

α (n,P)∑

j

UβjU∗αje−iPjxj

×∫

d3p

(2π)3/2|fα(n,p)|uj(p, s) e ip·(x−xj (t)), (38)

siendoxj(t) =

Pt

ωPj−∇pΦ(l)

α (n,p)∣∣∣P

=Pt

ωPj+ x0 .

Es decir, la funcion de onda es una superposicion de paquetes de ondamasivos, que se propagan a distintas velocidades de grupo vj = P/ωPj

casi degeneradas cada uno compuesto por una onda plana con momentoigual al momento central del paquete.




En la region en que es valido pensar en oscilaciones, es decir en la regionen que los paquetes estan suficientemente cercanos, por ejemplo

-4 -2 0 2 4x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

jΑΒ HxL

podemos definir la posicion de la partıcula de sabor de forma semiclasicapromediando las posiciones de los paquetes masivos con las energıas deestos estados

L ≡∑

i ωPiLi∑j ωPj

(39)




Sin embargo, el lımite semiclasico de partıculas con mezcla no seentiende aun dado que estas partıculas surgen de un fenomenopuramente cuantico. Para las partıculas masivas tenemos

〈x(t)〉 = 〈x(0)〉+⟨pt

E

⟩(40)

la cual coincide con su equivalente clasico cambiando simplemente devalores esperados a cantidades clasicas.




VALOR ESPERADO Y MEZCLA

Teniendo en cuenta que a partir de la funcion de onda de sabor se tiene∑β

∫d3x |ψα→β(x)|2 = 1, (41)

Podemos proponer como valor esperado del operador de posicion de estapartıcula

〈x〉 ≡∑β

∫d3xψ∗nα→β(x) xψn

α→β(x) , (42)

=∑

j

|Uαj |2∫

d3xψ∗nj,α(x) xψnj,α(x) . (43)

donde hemos definido a

ψnj,α(x) ≡

∫d3p

(2π)3/2fα(n,p)uj(p, s)e−ipx (44)




con ello tenemos

〈x〉 =∑

j

|Uαj |2〈x〉j , (45)

Esta definicion es mas fiel a la figura anterior, y ademas en el lımite enque θ → 0, Le → L1 y Lµ → L2. Sin embargo, la diferencia entre estasdos definiciones afecta tan poco los datos observables que serıanindistinguibles.A partir de nuestra primera definicion tenemos

t =ωP|L||P|

, , ωP ≡∑

j

ωPj

N, (46)

pero dado que este tratamiento no reprodujo las propiedades requeridaslo dejaremos hasta este punto.




CASO DE DOS NEUTRINOS

Consideramos el caso mas sencillo de mezcla entre dos neutrinos, que enel tratamiento estandar da lugar a las siguientes probabilidades detransicion

Pe→µ(L) = sin2 2θ[1− cos

((m2

2 −m21)L

2E

)].

Pe→e(L) = 1− sin2 2θ[1− cos

((m2

2 −m21)L

2E

)],




Suponiendo que las funciones gaussianas aproximan suficientemente biena alguna eleccion de paquetes ortogonales y completos, tendremos

PPe→µ(L)∼=

sin2(2θ)

2

(1− |U12(P)| cos(2πL/λ)e−L2/L2

coh

),

PPe→e(L)∼= 1− sin2(2θ)

2

(1− |U12(P)| cos(2πL/λ)e−L2/L2

coh

), (47)

donde

|fe(n,p)|2 =1

(2πσ2)3/2e−

(p−P)2

2σ2 , (48)




σ representa la incertidumbre en el momento central, λ la longitud deonda del termino oscilante de las probabilidades de transicion y Lcoh sulongitud de coherencia.

σp �(m2

1 −m22)

2π|P|, σx �

λ

2π. (49)

Estas cantidades estan dadas por

λ =4π|P|

(m21 −m2

2), Lcoh =

2√

2ωP1ωP2

σ(m21 −m2

2). (50)

Tomando como datos para sin2θ23 =0.5, sin2θ12 =0.3, m1 = 0.,m2 = 10−2 y m3 = 5 · 10−1, graficamos la probabilidad de transicionentre neutrinos del electron y neutrinos del muon.




0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012L@mD

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Pe®ΜP HLL

Figure: PPe→µ(L) para σ = 0.01[eV ] y P = 0.1[eV ].




0.002 0.004 0.006 0.008L@mD

-0.001

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

De®ΜP-EHLL, Re®Μ

P-EHLL

0.002 0.004 0.006 0.008L@mD

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0.0002

0.0004

0.0006

De®ΜP-EHLL, Re®Μ

P-EHLL

Figure: DP−Ee→µ (L) en lınea continua y RP−E

e→µ (L) en lınea a trazos, conσ = 0.01[eV ] y P = 0.1[eV ]. Cada grafica tiene distinto rango.




ESTADOS DE BOGOLIUBOV

Partiendo de la relacion entre los campos(Ψe(x)Ψµ(x)

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(Ψ1(x)Ψ2(x)

),

es posible construir un operador unitario tal que(Ψe(x)Ψµ(x)

)= G−1

θ (t)

(Ψ1(x)Ψ2(x)

)Gθ(t) (51)

donde

Gθ(t) = exp

[θ

∫d3x(Ψ†1(x)Ψ2(x)−Ψ†2(x)Ψ1(x))

]. (52)




Expresamos los campos en terminos de las soluciones de ondas planas dela ecuacion de Dirac con condiciones periodicas en una cajaarbitrariamente grande tenemos.

Ψi (x) =1√V

∑k,r

[ur

k,iαrk,i (t) + v r

−k,iβr†−k,i (t)

]e ik·x, i = 1, 2 (53)

donde αrk,i (t) = e−iωi tαr

k,i , y βrk,i (t) = e iωi tβr

k,i operadores deaniquilacion de partıcula y antipartıcula.

Ψi (x) =∑n,r

[f rn,i (x)αr

n,i (t) + g rn,i (x)βr†

n,i (t)], i = 1, 2 , (54)

siendo

f rn,i (x) =

∑k

f in,k

urk,i√V

e ik·x g rn,i (x) =

∑k

f in,k

v r−k,i√V

e ik·x . (55)




De manera equivalente escribimos a los campos de sabor

Ψσ(x) =∑n,r

[f rn,σ(x)αr

n,σ(t) + g rn,σ(x)βr†

n,σ(t)], σ = e, µ ,

donde f rn,σ(x) y g r

n,σ(x) son soluciones de la ecuacion de Dirac para unparametro de masa arbitrario mσ.Las cantidades observables derivadas de estos campos no deben dependerdel parametro de masa.

αsn,σ(t) =

∫d3xf s†

n,σ(x)Ψσ(x), βs†n,σ(t) =

∫d3xg s†

n,σ(x)Ψσ(x) ,

y Ψσ(x) = G−1θ (t)Ψj(x)Gθ(t),(

αsn,σ(t)βs†

n,σ(t)

)= G−1

θ (t)

{∫d3x

(f s†n,σ(x)

g s†n,σ(x)

)Ψj(x)

}Gθ(t) .




si se usan bases para los espinores ur , v r† y us , v s†, ortogonales para r 6= s∫d3xf s†

n,σ(x)Ψj(x) =∑

k

f σ∗n,k [us†k,σu

sk,jα

sk,j(t) + us†

k,σvs−k,jβ

s†−k,j(t)] ,∫

d3xg s†n,σ(x)Ψj(x) =

∑k

f σ∗n,k [v s†−k,σu

sk,jα

sk,j(t) + v s†

−k,σvs−k,jβ

s†−k,j(t)] ,

e identificamos a cos(χj) = |k|/ωj y cos(χσ) = |k|/ωσ, podemos escribir

us†k,σu

sk,j = v s†

−k,σvs−k,j = ρσ,j = cos

(χσ − χj

2

), (56)

us†k,σv

s−k,j = v s†

−k,σusk,j = iλσ,j = i sin

(χσ − χj

2

). (57)




Con ello la relacion entre operadores de creacion se vuelve(αs

k,σ(t)

βs†−k,σ(t)

)= G−1

θ (t)

(ρσ,j iλσ,jiλσ,j ρσ,j

)(αs

k,j(t)

βs†−k,j(t)

)Gθ(t) .

esta rotacion puede igualmente generarse a traves de un operadorunitario I (t)(

ρσ,j iλσ,jiλσ,j ρσ,j

)(αs

k,j(t)

βs†−k,j(t)

)= I−1(t)

(αs

k,j(t)

βs†−k,j(t)

)I (t) , (58)

con I (t) dado por [Fuji, et al, Phys. Rev. D 59, (1999), Phys. Rev. D64(2001)]

I (t) = exp

{i∑k′s′

∑(σ,j)

ζσ,j(k′)[αs′†

k′,j(t)βs′†−k′,j(t) + βs′

−k′,j(t)αs′

k′,j(t)]

},




Los operadores de sabor quedan relacionados con los operadores de masapor (

αsk,σ(t)

βs†−k,σ(t)

)= K−1(t)

(αs

k,j(t)

βs†−k,j(t)

)K (t) , (59)

con K (t) = I (t)Gθ(t). Esta es la transformacion de Bogoliubov entre losoperadores de sabor y los operadores de masa.Interpretando a αs

k,σ(t) y βs−k,σ(t), a t = 0, como los operadores de

aniquilacion de sabor

αsk,σ(0)K−1(0)|0〉1,2 = K−1(0)αs

k,j |0〉1,2 = 0 ,

βs−k,σ(0)K−1(0)|0〉1,2 = K−1(0)βs

−k,j |0〉1,2 = 0 , (60)

de allı concluımos que el vacıo aniquilado por los operadores de sabor es

|0〉e,µ ≡ K−1(0)|0〉1,2 . (61)




Los estados que describen los neutrinos del electron y del muon son

|νe(k, s)〉 ≡ αs†k,e(0)|0〉e,µ ,

|νµ(k, s)〉 ≡ αs†k,µ(0)|0〉e,µ . (62)

debido a la arbitrariedad en la masa escogemos para los campos de saborlos parametros mj , con ello(

αsk,σ(t)

βs†−k,σ(t)

)= G−1

θ (t)

(αs

k,j(t)

βs†−k,j(t)

)Gθ(t)

(αs

k,e(t)

βs†−k,e(t)

)=

∫d3x

∑n

f 1n,k

(f s†n,1(x)

g s†n,1(x)

)G−1θ (t)Ψ1(x)Gθ(t),




reabsorbiendo las fases de los operadores masivos provenientes de suevolucion temporal, la evaluacion resultante es

αrk,e(t) = cos θ αr

k,1 + sin θ(U∗k (t) αr

k,2 + εr Vk(t) βr†−k,2

)αr

k,µ(t) = cos θ αrk,2 − sin θ

(Uk(t) αr

k,1 − εr Vk(t) βr†−k,1

)βr−k,e(t) = cos θ βr

−k,1 + sin θ(U∗k (t) βr

−k,2 − εr Vk(t) αr†k,2

)βr−k,µ(t) = cos θ βr

−k,2 − sin θ(Uk(t) βr

−k,1 + εr Vk(t) αr†k,1

)donde εr = (−1)r




Uk(t) ≡ ur†k,2(t)ur

k,1(t) = v r†−k,1(t)v r

−k,2(t) = |Uk| e i(ω2−ω1)t

Vk(t) ≡ εr ur†k,1(t)v r

−k,2(t) = −εr ur†k,2(t)v r

−k,1(t) = |Vk| e i(ω2+ω1)t

|Uk| =|k|2 + (ω1 + m1)(ω2 + m2)

2√ω1ω2(ω1 + m1)(ω2 + m2)

|Vk| =(ω1 + m1)− (ω2 + m2)

2√ω1ω2(ω1 + m1)(ω2 + m2)

|k|

|Uk|2 + |Vk|2 = 1.




Utilizando la definicion de funcion de onda de sabor, asi como los estadosde Bogoliubov, obtenemos

ψnρ→σ(x) = 〈0|Ψσ(x)|νρ(n, s)〉 ,

=∑kk′,r

f jn,k

urk′,i√V

e ik′·x〈0|αrk′,σ(t)αs†

k,ρ(0)|0〉

+∑kk′,r

f jn,k

v r−k′,i√

Ve ik′·x〈0|βr†

−k′,σ(t)αs†k,ρ(0)|0〉 ,

=∑

k

f jn,k

e ik·x√

V

[us

k,i

{αs

k,σ(t), αs†k,ρ(0)

}+ v s−k,i

{βs†−k,σ(t), αs†

k,ρ(0)}]

.




La probabilidad sera el cuadrado de esta cantidad integrada sobre todo elespacio, es decir

Pnρ→σ(t) =

∫d3x |Ψn

ρ→σ(x)|2 =∑

k

|f jn,k|

2Pkρ→σ(t)

donde Pkρ→σ(t) =

∣∣∣{αsk,σ(t), αs†

k,ρ(0)}∣∣∣2 +

∣∣∣{βs†k,σ(t), αs†

k,ρ(0)}∣∣∣2. (63)




{αr

k′,e(t), αs†k,e(0)

}= δrsδk′k

[cos2 θ + sin2 θe iω1t(|Uk|2e−iω2t + |Vk|2e iω2t)

],{

βr†k′,e(t), αs†

k,e(0)}

= δrsδk′k[2iεs |Uk||Vk| sin2 θ sin(ω2t)e−iω1t

],{

αrk′,µ(t), αs†

k,e(0)}

= δrsδk′k[sin θ cos θ|Uk|e−iω1t(e iω1t − e iω2t)

],{

βr†k′,µ(t), αs†

k,e(0)}

= δrsδk′k[εs sin θ cos θ|Vk|e−iω1t(e iω1t − e−iω2t)

].

y con ello se tiene

Pke→e(t) = 1 − sin2(2θ)

[|Uk|2 sin2

(ω2 − ω1

2t

)+ |Vk|2 sin2

(ω2 + ω1

2t

)],

Pke→µ(t) = sin2(2θ)

[|Uk|2 sin2

(ω2 − ω1

2t

)+ |Vk|2 sin2

(ω2 + ω1

2t

)],




la cual esta claramente normalizada, es decir, para todo t, se cumple que

Pke→e(t) + Pk

e→µ(t) = 1. (64)

al igual que para los estados de paquetes de onda

Pne→e(t) + Pn

e→µ(t) =∑

k

|f 1n,k|2

(Pk

e→e(t) + Pke→e(t)

)= 1 . (65)

y satisface la condicion inicial de sabor

Pne→e(0) = 1 ,

Pne→µ(0) = 0 , (66)

es decir, nuestros estados de neutrino son correctos autoestados de sabor.




CARGA DE SABOR Y PROBABILIDAD DE TRANSICION

Blasone y Vitiello , definen la probabilidad de transicion de un neutrinode un sabor α a otro de sabor β, como el valor esperado del operador decarga al tiempo t respecto al estado inicial del neutrino a tiempo t = 0,es decir

Pkα→β(t) ≡ 〈να|Qβ(t)|να〉 , (67)

donde Qβ(t), es el operador de carga de sabor al tiempo t, el cual estadado por

Qβ(t) =

∫d3x : Ψ†β(x)Ψβ(x) : , (68)

luego la probabilidad es

Pkα→β(t) =

∫d3x〈να| : Ψ†β(x)Ψβ(x) : |να〉 . (69)




El operador de carga en la base de ondas planas tiene la misma formaque en la base de paquetes de onda y por tanto los estados de sabor ymomento definido son autoestados de este operador a t = 0.

Qσ(t) =∑k,r

(αr†

k,σ(t)αrk,σ(t) − βr†

−k,σ(t)βr−k,σ(t)

). (70)

en terminos de los operadores de creacion y aniquilacion deducidos deltratamiento anterior se tiene

Pnα→β(t) =

∑k

|f en,k|2Qk,β(t) donde

Pkα→β(t) =

∣∣∣{αsk,β(t), αs†

k,α(0)}∣∣∣2 +

∣∣∣{βs†−k,β(t), αs†

k,α(0)}∣∣∣2 + 〈0|Qσ(t)|0〉

=∣∣∣{αs

k,β(t), αs†k,α(0)

}∣∣∣2 +∣∣∣{βs†−k,β(t), αs†

k,α(0)}∣∣∣2




Nuestra expresion para la probabilidad de transicion de sabor

Pkα→β(t) =

∫d3x〈να|Ψ†β(x)|0〉〈0|Ψβ(x)|να〉, (71)

cuando se evalua es igual a la anterior como se mostro antes.Dado que las probabilidades son iguales resulta de interes ver si ladensidad de probabilidad de transicion tambien coincide con la derivadadel formalısmo de la carga de sabor. Es decir si la expresion anteriorcoincide con

Pkα→β(t) =

∫d3x〈να| : Ψ†β(x)Ψβ(x) : |να〉 . (72)

antes de integrar en x




EQUIVALENCIA ENTRE DENSIDADES

La densidad de probabilidad obtenida en el marco de la funcion de ondade sabor, para un neutrino que es inicialmente del electron es

〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 , (73)

En funcion de un completo de estados de neutrinos de sabor.

I = |0〉〈0|+∑α

∫d3k|να〉〈να|+

1

2

∑α,β

∫d3kd3k ′|νανβ〉〈νανβ |+ · · · , (74)

donde α, β son ındices que representan tanto a partıculas como aantipartıculas de sabor. Del segundo termino en adelante podemosescribir sus contribuciones en funcion de los estados de masa como

I = |0〉〈0| +∑

i

∫d3k G−1

θ (0)|νi 〉〈νi |Gθ(0)

+1

2

∑i ,j

∫d3kd3k ′ G−1

θ (0)|νiνj〉〈νiνj |Gθ(0) + · · · (75)




Insertamos el operador |0〉〈0|, tomado de la ecuacion (75) en la ecuacion(73)

〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe |Ψ†σ(x)I Ψσ(x)|νe〉

−∑

i

∫d3k 〈νe |Ψ†σ(x)G−1

θ (0)|νi 〉〈νi |Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉

− 1

2

∑i ,j

∫d3kd3k ′ 〈νe |Ψ†σ(x)G−1

θ (0)|νiνj〉〈νiνj |Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉

− · · · (76)




Con el calculo detallado se llega a la relacion

〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 −∑

s

[δ(0)]2 ,

pero la densidad de probabilidad se define en orden normal, y estacandirar , esta relacionado con su valor esperado sin orden normal por

〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉+∑

s

[δ(0)]2 .

Considerando estos dos resultados se deduce que en efecto lasdensidades de probabilidad definidas con la densidad de carga ycon la funcion de onda coinciden entre sı,

〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψνσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉 .




Usando un paquete gausiano para la localizacion de los estados,obtenemos

PBe→µ(L)∼=

sin2(2θ)

2

(1− |UP|2 cos(2πL/λ)e−L2/L2

coh

−|VP|2 cos(2πL/λ)e−L2/L2coh

), (77)

donde

|UP|2 ∼= 1− (m2 −m1)2

4|P|+ O((mi/|P|)4)

|VP|2 ∼=(m2 −m1)2

4|P|+ O((mi/|P|)4) . (78)




0.00 0.01 0.02 0.03 0.04p@eVD

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1UP

2@eVD

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04p@eVD

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6VP

2@eVD

Figure: |Up|2 y |Up|2 como funcion de |p|, en puntos para m2 = 10−2[eV ]y m1 = 10−3[eV ], lınea a trazos para m2 = 10−2[eV ] y m1 = 10−4[eV ],lınea continua para m2 = 10−2[eV ] y m1 = 0[eV ].




0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012L@mD

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Pe®ΜB HLL

Figure: PBe→µ(L) con σ = 0.01[eV ], m2 = 10−2[eV ], m1 = 0[eV ] y

P = 0.1[eV ].




0.002 0.004 0.006 0.008L@mD

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

De®ΜB-EHLL, Re®Μ

B-EHLL

0.002 0.004 0.006 0.008L@mD

-0.0015

-0.0010

-0.0005

0.0005

0.0010


B-EHLL

Figure: DB−Ee→µ (L) en lınea continua , RB−E

e→µ (L) en lınea a trazos, con

m2 = 10−2[eV ], m1 = 0[eV ] y P = 0.1[eV ].




0 5. ´ 10-6 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003L@mD

100

200

300

400


B-EHLL

0 5. ´ 10-6 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003L@mD

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020


B-EHLL

Figure: DB−Ee→µ (L) en lınea continua , RB−E

e→µ (L) en lınea a trazos, con

m2 = 10−2[eV ], m1 = 0[eV ] y P = 0.1[eV ].




CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO

Se realizo un estudio detallado de las oscilaciones de neutrinostomando como punto de partida la funcion de onda definida a partirde la teorıa cuantica de campos

Estudiamos dos posibles definiciones para los estados de sabor de locual concluımos que para la consistencia de nuestro tratamiento serequieren estados de Bogoliubov

Presentamos dos distintos metodos de transformacion tiempo adistancia.

Establecimos una prescripcion para el calculo de valores esperadosde observables fısicos a partir de la funcion de onda de sabor.

Demostramos la equivalencia entre las probabilidad de transicionbasadas en nuestro formalismo y aquel del valor esperado deloperador de carga de sabor.




Poner en un marco de funciones de onda el fenomeno de oscilacion desabor incluyendo la estructura no trivial de el vacıo de sabor tiene comoventajas:

Posibilidad de tratar a los neutrinos de Mayorana en este mismoformalısmo (Blasone utiliza valor esperado de momento)

Facilmente generalizable a tres neutrinos en cuyo caso abre laposibilidad del estudio de la violacion de CP

Posibilidad de obtencion de la probabilidad de transicion en medios

Otros posibles estudios de las oscilaciones de neutrinos en los cualescabrıa la posibilidad de un aumento en los efectos propios de esteformalısmo.




BLOQUE DE PREGUNTAS

Agradecimientos:

Instituto de Ciencias Nucleares Universidad Nacional Autonoma

de Mexico




En la ecuacion anterior los terminos adicionales al termino de la ecuacion(73) que proviene del termino |0〉〈0| del desarrollo de la identidad. Y laparte adicional de la identidad la denotaremos como [· · · |0〉〈0| · · · ],sepuede escribir los campos de sabor en terminos de los campos de masa ylos estados de neutrino del electron en terminos del neutrino ν1.

1

n!

Xi,...,in

Zd3k...d3kn 〈νe |Ψ†σ(x)G−1

θ (0)[· · · |0〉〈0| · · · ]Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉

=1

n!

Xi,...,in

Zd3k...d3kn |Uσ,j 〈0| · · · ]Gθ(0)Ψj (x)G−1

θ (0)|ν1〉|2

El valor esperado

〈0| · · · ]Gθ(0)Ψj (x)G−1θ (0)|ν1〉 =

Xs

Zd3k

(2π)3/2e ikxus

k,j (t)〈0| · · · ]Gθ(0)αsk,jG

−1θ (0)αr†

p,1|0〉

+X

s

Zd3k

(2π)3/2e ikxv s

−k,j (t)〈0| · · · ]Gθ(0)βs†−k,jG

−1θ (0)αr†

p,1|0〉

(79)




Dado que que G−1θ (0) = G−θ(0) y que αr

p,σ(0) = G−1θ (0)αr

p,jGθ(0),apartir de

αrk,e(t) = cos θ αr

k,1 + sin θ“U∗k (t) αr

k,2 + εr Vk(t) βr†−k,2

”αr

k,µ(t) = cos θ αrk,2 − sin θ

“Uk(t) αr

k,1 − εr Vk(t) βr†−k,1

”βr†−k,e(t) = cos θ βr†

−k,1 + sin θ“Uk(t) βr†

−k,2 − εr V∗k (t) αrk,2

”βr†−k,µ(t) = cos θ βr†

−k,2 − sin θ“U∗k (t) βr†

−k,1 + εr V∗k (t) αrk,1

”(80)

Se obtiene el resultado de G al actuar sobre los operadores de creacion yaniquilacion (79),

Gθ(0)αrk,1G

−1θ (0) = cos θ αr

k,1 − sin θ“|Uk| αr

k,2 + εr |Vk| βr†−k,2

”Gθ(0)αr

k,2G−1θ (0) = cos θ αr

k,2 + sin θ“|Uk| αr

k,1 − εr |Vk| βr†−k,1

”Gθ(0)βr†

−k,1G−1θ (0) = cos θ βr†

−k,1 − sin θ“|Uk| βr†

−k,2 − εr |Vk| αrk,2

”Gθ(0)βr†

−k,2G−1θ (0) = cos θ βr†

−k,2 + sin θ“|Uk| βr†

−k,1 + εr |Vk| αrk,1

”(81)




De todos los terminos representados por 〈0| · · · ] solo contribuiran los quetienen dos operadores; para identificar el conjunto de estados quecontribuyen en cada caso, desarrollamos cada termino por separado

〈0| · · · ]Gθ(0)αsk,1G

−1θ (0)αr†

p,1|0〉 = cos θ 〈0| · · · ]αsk,1 α

r†p,1|0〉

− sin θ“|Uk| 〈0| · · · ]αs

k,2 αr†p,1|0〉

+ εs |Vk| 〈0| · · · ]βs†−k,2α

r†p,1|0〉

”,

= −εs sin θ |Vk| 〈0| · · · ]βs†−k,2α

r†p,1|0〉 ,

〈0| · · · ]Gθ(0)βs†−k,1G

−1θ (0)αr†

p,1|0〉 = cos θ 〈0| · · · ]βs†−k,1 α

r†p,1|0〉

− sin θ |Uk| 〈0| · · · ]|βs−k,2 α

r†p,1|0〉 ,

〈0| · · · ]Gθ(0)αsk,2G

−1θ (0)αr†

p,1|0〉 = −εs sin θ |Vk| 〈0| · · · ]βs†−k,1α

r†p,1|0〉 ,

〈0| · · · ]Gθ(0)βs†−k,2G

−1θ (0)αr†

p,1|0〉 = cos θ 〈0| · · · ]βs†−k,2 α

r†p,1|0〉

+ sin θ |Uk| 〈0| · · · ]βs†−k,1 α

r†p,1|0〉 , (82)




definimos la amplitud

Aσ ≡ Uσ,j 〈0| · · · ]Gθ(0)Ψj (x)G−1θ (0)|ν1〉

= Uσ,1〈0| · · · ]Gθ(0)Ψ1(x))G−1θ (0)|ν1〉+ Uσ,2〈0| · · · ]Gθ(0)Ψ2(x)G−1

θ (0)|ν1〉

y desarrollando los campos

Aσ =X

s

Zd3k

(2π)3/2e ikx

hUσ2 cos θv s

−k,2(t)− Uσ1 sin θ(εs |Vk|usk,1(t) + |Uk|v s

−k,1(t))i

×〈0| · · · ]βs†−k,2 α

r†p,1|0〉

+X

s

Zd3k

(2π)3/2e ikx

hUσ1 cos θv s

−k,1(t)− Uσ2 sin θ(εs |Vk|usk,2(t)− |Uk|v s

−k,2(t))i

×〈0| · · · ]βs†−k,1 α

r†p,1|0〉 (83)

Escrito de esta forma el cuadrado de esta amplitud se parte en dospartes, dado que los estados 〈0| · · · ] seleccionan solo una de las dospartes de la amplitud.




De esta forma se puede computar el termino de interes, que consiste decontribuciones de dos estados que son 〈0|αr

k′,1βs−k′′,2 y 〈0|αr

k′,1βs−k′′,1

respectivamente y se obtiene

1

2

Xi ,j

Zd3k ′d3k ′′ 〈νe |Ψ†σ(x)G−1

θ (0)|νiνj 〉〈νiνj |Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉 =X

s

[δ(0)]2. (84)

Apartir de la cual se deriva la relacion

〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 −X

s

[δ(0)]2 , (85)

pero la densidad de probabilidad Blasone y Vitiello, se define su ordennormal, el cual, esta relacionado con su valor esperado sin orden normalpor

〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉+X

s

[δ(0)]2 , (86)




Considerando estos dos resultados se deduce que en efecto lasdensidades de probabilidad definida con la densidad de carga y conla funcion de onda coinciden entre sı,

〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψνσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉 .(87)




REFERENCIAS

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