Download ppt - Realni brojevi-VII

Realni brojeviRealni brojevi• Nastavna jedinica: Realni brojevi (5+7)Nastavna jedinica: Realni brojevi (5+7)• Ova nastavna jedinica moze se podeliti Ova nastavna jedinica moze se podeliti

na nekoliko celina:na nekoliko celina:– Kvadrat racionalnog brojaKvadrat racionalnog broja– Resenje jednacine xResenje jednacine x22=a =a

(a(a0).Kvadratni koren.Iracionalni broj0).Kvadratni koren.Iracionalni broj– Realni brojevi.Brojevna prava.Realni brojevi.Brojevna prava.– Priblizna vrednost realnog brojaPriblizna vrednost realnog broja– Osnovna svojstva operacija sa Osnovna svojstva operacija sa

realnim brojevimarealnim brojevima

– Shvate pojam kvadrata racionalnog Shvate pojam kvadrata racionalnog brojabroja

– Umeju da odrede pribliznu vrednost Umeju da odrede pribliznu vrednost kvadratnog korena broja a (akvadratnog korena broja a (aQ,a>0)Q,a>0)

– Upoznaju skup realnih brojeva kao uniju Upoznaju skup realnih brojeva kao uniju skupa racionalnih i skupa iracionalnih skupa racionalnih i skupa iracionalnih brojevabrojeva

– Umeju da koriste tablice i druga Umeju da koriste tablice i druga pomocna sredstva za racunanje u raznim pomocna sredstva za racunanje u raznim zadacima iz matematike i prakse.zadacima iz matematike i prakse.

Cilj izucavanja i obrade ove Cilj izucavanja i obrade ove nastavne jedinice je da se nastavne jedinice je da se

ucenici osposobe da :ucenici osposobe da :

Sematski prikaz Sematski prikaz strukture casastrukture casa

STRUKTURA CASA

STRUKTURA CASA

PROVERA DOMACEG

RADA

PROVERA DOMACEG

RADA

PONAVLJA-NJE

PREDJENOG GRADIVA

PONAVLJA-NJE

PREDJENOG GRADIVA

NOVO GRADIVO

NOVO GRADIVO

Podsetnik:Podsetnik:• Kvadrat racionalnog broja i razlozi za Kvadrat racionalnog broja i razlozi za

njegovo uvodjenje (povrsina kvadrata njegovo uvodjenje (povrsina kvadrata cija je poznata duzina stranice)cija je poznata duzina stranice)

• Kako se oznacava kvadrat Kako se oznacava kvadrat racionalnog broja x?racionalnog broja x?

• Zakljucak: Kvadrat racionalnog broja Zakljucak: Kvadrat racionalnog broja je pozitivan rac.broj ili nula,tj.za bilo je pozitivan rac.broj ili nula,tj.za bilo koji rac.broj x vazi: xkoji rac.broj x vazi: x22=x=xx x 0.0.

Podsetimo se primera sa prethodnog casa:Primer1: Izracunati povrsinu kvadrata cije su stranice duzine 4cm.Trazena povrsina kvadrata je 16cm2,odnosno 44,a 44 smo oznacili sa 42,pa je44=42=16.Primer2: Izracunati kvadrat broja,suprotnog broju 4?Broj suprotan broju 4 je broj –4,a kvadrat tog broja je (- 4) (- 4) = (- 4)2

= 16

Resenje jednacine x2=a (a0). Kvadratni koren. Iracionalni broj.

Iz prethodna 2 primera mozemo primetiti da je4 4= 42 = 16,a i da je (-4) (-4) = (-4)2

= 16.-Ako je povrsina nekog kvadrata 16cm2,na osnovu prethodnog,kolika je duzina stranice tog kvadrata? 4cm. Zasto?-A sta ako je povrsina kvadrata neki drugi broj? Kako onda odrediti duzinu njegove stranice?Obelezimo sa x duzinu stranice nekog kvadrata.Povrsina tog kvadrata je x x = x2,


tj.povrsina kvadrata u nasem primeru je 16cm2

16cm2

x

xZnaci da bismo izracunali duzinu stranice x datog kvadrata potrebno je resiti jednacinu x2 = 16.Na osnovu prva dva primera videli smo

da postoje 2 vrednosti promenljive ciji je kvadrat 16. To su 4 i – 4,pa su brojevi 4 i – 4 resenja jednacine x2 = 16.U ovom slucaju trazena duzina stranice kvadrata je samo jedno (i to pozitivno) resenje,tj.4cm.


-Pozitivno resenje (koren) te jednacine,tj.broj 4,naziva se (aritmeticki) kvadratni koren broja 16.-Kvadratni koren broja 16 zapisujemo sa: 16Dakle, 16=4 jer je 42 = 16.-Takodje,kvadratni koren broja 9 zapisujemo sa =3 jer je 32 = 9.-Kvadratni koren broja 0 zapisujemo sa = 0 jer je 02 = 0.-Uopste,kvadratni koren broja a (a0), zapisujemo sa

9

0

a


- Znak je oznaka za kvadratni koren. Verovatno se pitate zasto se bas taj znak koristi kao oznaka za koren?! Zato sto taj znak predstavlja stilizovano pocetno slovo r latinske reci radix sto znaci koren,pa se zbog toga znak koristi kao oznaka za kvadratni koren racionalnog broja.- Za a ,broj a je osnova korena (potkorena velicina)Kvadratni koren broja a (a0) je nenegativan broj ciji je kvadrat jednak broju a


Razmotrimo sada jednacinu x2 = a,gde je x –

nepoznata,a a neki poznati broj:1)Ako je a > 0,npr.a=9,jednacina x2=9

ima 2 resenja:3 i –3,jer je 32=9 i (-3)2=9. Pise se: x2=9 x= 9 ili x=- 9 x=3 ili x=-3 Skup resenja je {3,-3}2) Ako je a=0,jednacina x2=0 ima

jedinstveno resenje:x=0.3) Ako je a<0,npr.a=-9.Koliki je

kvadratni


koren broja –9? E,to ne moze,jer ne postoji racionalan broj ciji je kvadrat –9,pa jednacinu x2=-9 ne resavamo sada.Primer3:Povrsina kvadrata je 2cm2.Kako izracunati duzinu njegove stranice?! 2cm2 x

x

Duzina stranice kvadrata se dobijaresavanjem jednacine x2=2.Dakle ocekujemo da x bude broj oznacen sa 2. Da li takav broj postoji u skupu racionalnih brojeva?


Primetimo da on sigurno ne moze biti ceo brojjer je 12=1, tj. 12<2 i 22=4, tj. 22>2, pa 2 ,ako postoji mora da zadovoljava 1< 2<2.Takodje,nijedan racionalan broj nije resenje jednacine x2=2.Drugacije receno,broj 2 se ne moze predstaviti u obliku: (pZ,qN).Dokazimo tvrdjenje da 2 nije racionalan broj.Pretpostavimo da vazi jednakost 2= ,gde su p i q uzajamno prosti brojevi.(Za koje brojeve kazemo da su uzajamno prosti?)

pq

pq


Iz ove nejednakosti sledi da je p2 paran broj, pa je prema tome i p paran broj,tj.p=2k(kN)2q2=(2k)2,odnosno 2q2=4k2,q2=2k2,tj. q2 je paran broj,odnosno q-paran broj,pa je q=2m (mN).Tako dobijamo da su u jednakosti 2= ,p i q parni brojevi,sto je protivrecno polaznoj pretpostavci da su p i q uzajamno prosti brojevi.

p2

q2

Onda je:

( 2 )2=( )2, tj. 2= ,tj. 2q2=p2pq

p2

q2


Dakle,p i q ne mogu biti parni.Prema tome,navedena jednakost nije tacna ni za jedan racionalan broj ,tj. 2 .Zakljucujemo da ne postoji racionalan broj ciji je kvadrat jednak 2.Ovim smo dokazali da 2 nije racionalan.Kom skupu pripada broj 2 ?Prethodni primer o kome smo raspravljali pokazuje da nas operacija korenovanja obavezuje da uvedemo novu vrstu brojeva.Ti brojevi se nazivaju IRACIONALNI BROJEVI.

qpp

q


U prethodnim razredima upoznali smo neke skupove brojeva:

1)Skup prirodnih brojeva, N = {1,2,3,…}

2) Skup celih brojeva, Z = {-…,-2,-1,0,1,2,…}

3) Skup racionalnih brojeva, Q={x|x= ,p,qZ,q0}.Za navedene skupove vazi odnos:NZQ

pq

N Z Q. 1

. 2. 3

. -1

. -2

. 0 . 1

. 2. -1/2

. 1/2

. 1/3


Za iracionalne brojeve znalo se jos u V i IV veku p.n.e.(Matematicari i fizicari skole Pitagorejaca,a i neki kasnije,uvideli su da pored racionalnih postoje i drugi-iracionalni brojevi.Svaki broj koji se ne moze predstaviti u obliku (pZ,qN) je iracionalni broj.Znaci,duzina stranice kvadrata cija je povrsina 2cm2 je iracionalan broj 2.Takodje,moze se pokazati da su iracionalni brojevi i 3 , 5 , 1.2 …

pq


Racionalni i iracionalni brojevi zajedno cine novi skup - skup REALNIH BROJEVA.Ako sa I oznacimo skup svih iracionalnih brojeva,onda je unija skupova Q i I skup realnih brojeva koji oznacavamo sa R. Dakle, R=QUI

IR

Q

Skupovi Q i I nemajuzajednickih eleme-nata,QI=,tj.svaki realan brojje ili racionalan ili iracionalan.


U tom novom skupu,skupu realnih brojeva R bice moguce resavati sve jednacine oblika x2=a, a0.Nenegativno resenje takve jednacine zvacemo kao i do sada,koren iz a i oznacavacemo ga sa a .Pritom,broj a ce nekad biti racionalan (npr. 9 =3, 6.25 =2.5)ali cesto nece ( 2 , 3 ,…).


Primer 4: Resimo jednacine:a) x2=16; b) x2=7

a)x2=16 ako i samo ako je x = 16 ili x= - 16,

tj. x = 4 ili x = - 4 Skup resenja ove jednacine je skup

racionalnih brojeva {-4,4}b) x2=7 ako i samo ako je x= 7 ili x=-

7 Skup resenja ove jednacine je skup

iracionalnih brojeva {- 7, 7 }Uopste,jednacina oblika x2=a (a0) imaracionalna ili iracionalna resenja. Skupresenja te jednacine je {- a, a }


Za izracunavanje kvadratnog korena nenegativnih racionalnih brojeva mogu se koristiti tablice i racunari (kalkulatori).Na kraju knjige date su tablice u kojima su navedene vrednosti kvadratnih korena brojeva od 1 do 1000 sa dve decimale.Narednog casa upoznacemo te dve vrste odredjivanja kvadratnih korena.


Domaci zadatak:

1)Da li je ili ne: a) 6 aritmeticki koren broja 36 ; b) aritmeticki koren broja ;

c) 0,3 aritmeticki koren broja 0,09 ; d) – 4 aritmeticki koren broja 16 ; Obrazloziti!2) Iz skupa brojeva {-8 ; ; 0,7 ; 13 ;

0 ; 6 ; 2 ; -2.5 } izdvoj podskupove prirodnih,celih i racionalnih brojeva.

2 5

4

25

451

2

Domaci zadatak:

3) Uporediti brojeve: a) 16 i 16 ; b) i

c) 0,36 i 0,36 ; d) a i a,za 0<a< 1,a R ;

e) a i a , za 1 a, a R.4) Izmedju kojih prirodnih brojeva se

nalazi aritmeticki kvadratni koren broja:

a)20 ; b) 69 ?5) Ako dvostrukom kvadratu nekog

broja dodamo 18 dobijamo 90.Odrediti taj broj.

6) Izracunati duzinu katete jednakokrako-pravouglog trougla ako je njegova povrsina 18cm2 .

14

14