Transcript

Robotikte Matlab KullanmRobotikte Matlab Kullanm(Robotics Toolbox)(Robotics Toolbox)HazrlayanHazrlayanAr. Gr. Tolga YKSELAr. Gr. Tolga YKSELDanmanDanmanYrd. Do. Dr. Abdullah SEZGNYrd. Do. Dr. Abdullah SEZGN Robot Nedir?Robot Nedir?Robot,birdiziverilengrev Robot,birdiziverilengrev erevesindeeitliprogramlanm erevesindeeitliprogramlanm hareketlerilemateryalleri, hareketlerilemateryalleri, paralar,aletleriveyazel paralar,aletleriveyazel donanmlarhareketettirmekiin donanmlarhareketettirmekiin tasarlanmprogramlanabilirok tasarlanmprogramlanabilirok ilevlimaniplatrdr.(Robot ilevlimaniplatrdr.(Robot Institute of America-RIA)Institute of America-RIA) Robotu Oluturan Robotu Oluturan ParalarParalarBir mekanik yap yada eklemlerle birbirine Bir mekanik yap yada eklemlerle birbirine balanmsralrijid balanmsralrijid cisimlerden(uzuvlardan)oluan cisimlerden(uzuvlardan)oluan maniplatr;maniplatrserbestlii maniplatr;maniplatrserbestlii salayan bir kol(arm) , el becerisi salayan salayan bir kol(arm) , el becerisi salayan birbilek(wrist)verobotunyapmas birbilek(wrist)verobotunyapmas gerekengrevitamamlayan gerekengrevitamamlayan sonlandrc(end effector)sonlandrc(end effector)Eklemlerinhareketlenmesiyle Eklemlerinhareketlenmesiyle maniplatrnhareketinisalayan maniplatrnhareketinisalayan hareketlendiriciler(actuators-motors)hareketlendiriciler(actuators-motors)Maniplatrnveyaevrenindurumunu Maniplatrnveyaevrenindurumunu gzleyen alglayclar(sensors)gzleyen alglayclar(sensors)Maniplatrhareketinikontroledenve Maniplatrhareketinikontroledenve yneten bir kontrol sistemiyneten bir kontrol sistemi Eklem YaplarEklem YaplarDner ( Revolute R ) : Dner ( Revolute R ) : Menteeye benzer ve iki Menteeye benzer ve iki uzuv arasnda dnme uzuv arasnda dnme hareketine izin verir .hareketine izin verir .Kayar ( Prismatic P ) : Kayar ( Prismatic P ) : ki uzuv arasnda ki uzuv arasnda dorusal harekete izin dorusal harekete izin verir.verir. Maniplatrlerin Maniplatrlerin SnflandrlmasSnflandrlmasKartezyen(CartesiaKartezyen(Cartesian)n)Silindirik(CylindiricSilindirik(Cylindirical)al)Kresel(Spherical)Kresel(Spherical) Maniplatr YaplarManiplatr YaplarEklemli (Articulated)-nsan Kolu Eklemli (Articulated)-nsan Kolu ((Anthropomorphic) Robotikte Genel KavramlarRobotikte Genel KavramlarDnmler :Dnmler :Dnme Matrisi Dnme Matrisi teleme Vektrteleme VektrHomojen DnmHomojen DnmDz Kinematikler :Dz Kinematikler :DH DnmDH DnmTers KinematiklerTers KinematiklerHz Kinematikleri :Hz Kinematikleri :JakobyenJakobyenSinglerliklerSinglerliklerDinamikler : Lagrange DenklemleriDinamikler : Lagrange Denklemleri

Newton-Euler(NE) Newton-Euler(NE) DenklemleriDenklemleri DnmlerDnmlerBir rijid cismin konumunu ve Bir rijid cismin konumunu ve ynelimini belirtmek iin bir ynelimini belirtmek iin bir dnme(rotation) ve dnme(rotation) ve teleme(translation) matrisi teleme(translation) matrisi olutururuz.olutururuz. Dnmler-Dnme Dnmler-Dnme MatrisiMatrisi Dnmler-Dnme Dnmler-Dnme MatrisiMatrisicoscos = c= c , sin, sin = s= s olmak zereolmak zere1 0.1 0 000111]1

111]1

111]1

zyxc ss czyx 111]1

1 0 000, c ss cRz Dnmler-Dnme Dnmler-Dnme MatrisiMatrisiEuler Alar ve GsterilimiEuler Alar ve Gsterilimi Dnmler-Dnme Dnmler-Dnme MatrisiMatrisiEuler Alar ve GsterilimiEuler Alar ve Gsterilimi , , ,10 z y zR R R R111]1

+ + 111]1

111]1

111]1

c s s c ss s c c s c s s c c c ss c c s s c c s s c c cc ss cc ss cc ss c1 0 00000 1 001 0 000 Dnmler-Dnme Dnmler-Dnme MatrisiMatrisiRoll/Pitch/Yaw Alar ve GsterilimiRoll/Pitch/Yaw Alar ve Gsterilimi Dnmler-Dnme Dnmler-Dnme MatrisiMatrisiRoll/Pitch/Yaw Alar ve Roll/Pitch/Yaw Alar ve GsterilimiGsterilimi , , ,10 x y zR R R R111]1

+ ++ + 111]1

111]1

111]1

c c s c sc s s s c s s s c c c sc s c s s s s c c s c cc ss cc ss cc ss c000 0 100 1 001 0 000 Dnmler-teleme Dnmler-teleme VektrVektrteleme teleme Dnmler-teleme Dnmler-teleme VektrVektrteleme Vektrteleme Vektr111]1

zyxdddd10 Dnmler-Homojen Dnmler-Homojen DnmDnmHomojen Dnm GsterilimiHomojen Dnm Gsterilimi4 41010 101 0 0 0xd RT1111]1

Dnmler-Homojen Dnmler-Homojen DnmDnmTemel Homojen DnmlerTemel Homojen Dnmler1111]1

1111]1

1111]1

1111]1

1111]1

1111]1

1 0 0 01 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 00 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 11 0 0 00 1 0 00 00 01 0 0 00 00 0 1 00 01 0 0 00 00 00 0 0 1, , ,, , ,cTransbTransaTransc ss cRotc ss cRotc ss cRotc z b y a xz y x Dz KinematiklerDz KinematiklerSoru : Dz kinematik problemi nedir?Soru : Dz kinematik problemi nedir?Cevap :Cevap :Verilen eklem deiken Verilen eklem deiken deerleri iin deerleri iin sonlandrcnn sonlandrcnn konumunu ve konumunu ve ynelimini ynelimini belirlemekbelirlemek Dz KinematiklerDz KinematiklerSoru : Eklem deikeni nedir ?Soru : Eklem deikeni nedir ?Cevap : Cevap : 1.Dner eklemler iin 1.Dner eklemler iin uzuvlar uzuvlar arasndaki aarasndaki a2.Kayar eklemler iin uzvun 2.Kayar eklemler iin uzvun uzanma uzanma miktarmiktar)'iin eklem kayar diin eklem dnerqiii Dz KinematiklerDz Kinematiklernn+1 uzva sahipkinematik zincir oluturan +1 uzva sahipkinematik zincir oluturan bir maniplatrmz olduunu dnelim.bir maniplatrmz olduunu dnelim.Uzuv 0Uzuv 1Uzuv i-1Uzuv iUzuv nEklem 1Eklem i-1Eklem 2Eklem iEklem i+1Eklem n Dz KinematiklerDz KinematiklerBu kinematik zincire bal olarak Bu kinematik zincire bal olarak sonlandrcnn konumunu ve sonlandrcnn konumunu ve ynelimini temel(base) koordinat ynelimini temel(base) koordinat erevesinde u ekilde ifade erevesinde u ekilde ifade edebiliriz.edebiliriz.nnnT T T T H12110 0.... . Dz Kinematikler-DH Dz Kinematikler-DH DnmDnmBu dnm kolay gibi grnse de Bu dnm kolay gibi grnse de her bir eklem iin koordinat her bir eklem iin koordinat erevesinin yerletirilmesi ve erevesinin yerletirilmesi ve birbirlerine gre durumlarnn birbirlerine gre durumlarnn yorumlanmas karmaaya yol yorumlanmas karmaaya yol amaktadr.amaktadr.Denavit ve Hartenberg 1955 ylnda Denavit ve Hartenberg 1955 ylnda bu sorunu zmek iin sistematik bir bu sorunu zmek iin sistematik bir yntem nermilerdir.yntem nermilerdir. Dz Kinematikler-DH Dz Kinematikler-DH DnmDnmBu yntemde aadaki kurallara gre nceBu yntemde aadaki kurallara gre nce koordinat ereveleri atanr , daha sonra uzuvkoordinat ereveleri atanr , daha sonra uzuv ve eklem parametreleri bulunur. ve eklem parametreleri bulunur.1.Eklem eksenleri z 1.Eklem eksenleri z0 0z zn n-1 -1i i konumlandr. konumlandr.2.Temel ereveyi sa el kuralna gre dzenle. 2.Temel ereveyi sa el kuralna gre dzenle.ii =1,, =1,,n n-1 iin adm 3-5i tekrarla. -1 iin adm 3-5i tekrarla.3.Merkez o 3.Merkez oii yi yerletir.Eer z yi yerletir.Eer zi i z zi i-1 -1 ile kesiiyorsa o ile kesiiyorsa oii yiyi bu noktaya bu noktayayerletir.Eer z yerletir.Eer zi i z zi i-1 -1 paralelse o paralelse oii yi eklemyi eklem i i zerinezerine yerletir. yerletir.4.x 4.xii yi yerletir.Eer z yi yerletir.Eer zi i z zi i-1-1 kesiiyorsa ikisininkesiiyorsa ikisinin oluturduu dzleme oluturduu dzlemedik olarak x dik olarak xii yi yerletir.Eer z yi yerletir.Eer zi i z zi i-1 -1 paralelseparalelse bunlarn ortak bunlarn ortaknormalleri boyunca o normalleri boyunca oi i ye doru x ye doru xi i yi yerletir. yi yerletir.5.Sa el erevesini tamamlayacak ekilde y 5.Sa el erevesini tamamlayacak ekilde yi i yiyi yerletir. yerletir. Dz Kinematikler-DH Dz Kinematikler-DH DnmDnm6.Sonlandrc erevesi o 6.Sonlandrc erevesi on nx xn ny yn nz znn i yerletir.Bui yerletir.Bu yerleim sonlandrc yerleim sonlandrctipine gre deiir. tipine gre deiir.7.Daha sonra eklem ve uzuv parametreleri belirle.Bu7.Daha sonra eklem ve uzuv parametreleri belirle.Bu parametreler aadaki gibidir ve ekil zerindeparametreler aadaki gibidir ve ekil zerinde belirtilmitir. belirtilmitir. uzuv uzunluu uzuv uzunluu a ai i : x : xi i boyunca o boyunca oi i den x den xi i ve z ve zi i-1 -1ninnin kesiimlerine olan uzaklk kesiimlerine olan uzaklk uzuv ofsetiuzuv ofseti d di i : z : zi i-1 -1 boyunca o boyunca oi i-1 -1den x den xi i veve z zi i-1 -1ininkesiimlerine olan kesiimlerine olan uzaklk. uzaklk. uzuv bkm uzuv bkm i i : x : xi i etrafnda z etrafnda zi i-1 -1 z zi i arasndaki a arasndaki a eklem as eklem as i i : z : zi i-1 -1 etrafnda x etrafnda xi i-1 -1 x xi i arasndaki a arasndaki a Dz Kinematikler-DH Dz Kinematikler-DH DnmDnmeklem i+1eklem ieklem i-1uzuv iuzuv i-1 Dz Kinematikler-DH Dz Kinematikler-DH DnmDnm8.Aadaki matrise bal olarak iki ereve8.Aadaki matrise bal olarak iki ereve arasndaki homojen dnm matrisini hesapla. arasndaki homojen dnm matrisini hesapla.9.Daha sonra sonlandrc koordinat erevesinden9.Daha sonra sonlandrc koordinat erevesinden temel erevesine dnm matrisini hesapla. temel erevesine dnm matrisini hesapla.1111]1

1 0 0 00, , , ,i i ii i i i i ii i i i i i ix a x d z z id c ss a c c c sc a s s c s cRot Trans Trans Rot Ai i i i nnA A T ....1 0 Dz KinematiklerDz KinematiklerDH dnmleri ile ilgili bir rnekDH dnmleri ile ilgili bir rnekuzuv aiidii1230000-900d1d2*d3*1*00DH parametreleri Dz KinematiklerDz KinematiklerKarlk gelen Karlk gelen AA11 , , AA22 , , AA33 ve ve TT matrislerimatrisleri1111]1

+ 1111]1

1111]1

1111]1

1 0 0 00 1 0001 0 0 01 0 00 0 1 00 0 0 1,1 0 0 00 1 00 1 0 00 0 0 1,1 0 0 01 0 00 00 02 13 1 1 13 1 1 13 2 130332211 11 11d dd c c sd s s cA A A TdAdAdc ss cA Ters KinematiklerTers KinematiklerSoru : Ters kinematik problemi Soru : Ters kinematik problemi nedir ?nedir ?Cevap : Cevap : Verilen sonlandrc Verilen sonlandrc konumu ve konumu ve ynelimi ynelimi iin eklem deikenlerinin iin eklem deikenlerinin deerlerini bulmak deerlerini bulmak Ters kinematik problemlerinde dz Ters kinematik problemlerinde dz kinematiklerin tersi biimde homojen kinematiklerin tersi biimde homojen dnm matrisleriyle oluturulan dnm matrisleriyle oluturulan dorusal olmayan denklemlerin dorusal olmayan denklemlerin zmlenmesi istenir.zmlenmesi istenir. Ters KinematiklerTers Kinematikler1111]1

1 0 0 033 32 3123 22 2113 12 1160zyxd r r rd r r rd r r rTStanford arm maniplatr iin Stanford arm maniplatr iin incelersek aada verilen homojen incelersek aada verilen homojen matris deerleri iin u denklemler matris deerleri iin u denklemler zlmelidir.zlmelidir.

Ters KinematiklerTers Kinematiklerzyxd s s c c c d d cd s s c s s c c s s c d d c d s sd s s s s c c s c c c d d s d s cr c c s c sr s s c c s s c c sr s s s c s s c c cr c s c c s s c c sr c c c c s c c s s s s c c c c sr c c c c s s c s s s s c c c c cr c s c s s c c c sr s c c c s c c s s s s c c c c sr s c c c s s c s s s s c c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ) () () () () () () ( ] ) ( [) ( ] ) ( [) () ( ] ) ( [) ( ] ) ( [5 2 4 5 2 6 3 22 1 5 5 1 4 2 5 4 1 6 2 1 3 2 15 4 1 2 5 1 5 4 2 1 6 2 1 3 2 133 5 2 5 4 223 5 4 1 5 2 5 4 2 113 5 4 1 5 2 5 4 2 132 6 5 2 6 4 6 5 4 222 6 4 6 5 4 1 6 5 2 6 4 6 5 4 2 121 6 4 6 5 4 1 6 5 2 6 4 6 5 4 2 131 6 5 2 6 4 6 5 4 221 6 4 6 5 4 1 6 5 2 6 4 6 5 4 2 111 6 4 6 5 4 1 6 5 2 6 4 6 5 4 2 1 Ters KinematiklerTers KinematiklerBu denklemlerin zm iin iki ana Bu denklemlerin zm iin iki ana yaklam mevcuttur.yaklam mevcuttur.1.Kapal Form Yaklam (Cebirsel ve 1.Kapal Form Yaklam (Cebirsel ve Geometrik)Geometrik)2.Saysal Yaklam (teratif)2.Saysal Yaklam (teratif) Ters Kinematikler Ters Kinematikler uzuvlu dzlemsel kol zerinde cebirsel uzuvlu dzlemsel kol zerinde cebirsel ve geometrik yaklamlar inceleyelim.ve geometrik yaklamlar inceleyelim.12 Ters KinematiklerTers KinematiklerCebirsel yaklamCebirsel yaklam; 1;2; 2;;;22 22 122212 222 2 122212 212 2 1 1 312 2 1 1 33 2 1c sa aa a pw pwcc a a a a pw pws a s a s a p pwc a c a c a p pwy xy xy yx x t ++ + ++ + + + Ters KinematiklerTers KinematiklerCebirsel yaklamCebirsel yaklamBuradaki Buradaki dirsek yukar ve aa durulara dirsek yukar ve aa durulara karlkkarlkgelmektedir.Devam edersekgelmektedir.Devam edersekw w noktas deerleri iin elde ettiklerimizi noktas deerleri iin elde ettiklerimizi yerine koyarsakyerine koyarsak) , tan(2 2 2c s A ;) (;) (2 22 2 2 2 112 22 2 2 2 11y xy xy xx ypw pwpw s a pw c a acpw pwpw s a pw c a as++ ++ + Ters KinematiklerTers KinematiklerCebirsel yaklamCebirsel yaklam olur.olur.( ) 2 1 31 1 1 c s A , tan Ters KinematiklerTers KinematiklerGeometrik yaklam : Geometrik yaklam : Oluturulan gende kosins teoremini Oluturulan gende kosins teoremini uygularsakuygularsak;;;12 2 1 112 2 1 13 2 1s a s a pwc a c a pwyx+ + + + ); cos(;22 22 122212 22c Aa aa a pw pwcy x + Ters KinematiklerTers KinematiklerBuradaBurada dirsek yukar , dirsek yukar ,

dirsek aa duruuna karlk gelmektedir.dirsek aa duruuna karlk gelmektedir. ) 0 , (2 ) , 0 (2 ;;2cos;; tan2 1 312 2122212 22 2 12 2 t

,_

+ + ++ +

,_

y xy xy xxypw pw aa a pw pwAc a a pw pw cpwpwA Ters KinematiklerTers KinematiklerTers kinematik problemini iki alt Ters kinematik problemini iki alt probleme ayrmak da mmkndr :probleme ayrmak da mmkndr :1.1.Ters konum kinematiiTers konum kinematii : Bu : Bu problemin zm iin geometrik problemin zm iin geometrik yaklam tercih edilir.yaklam tercih edilir.2.2.Ters ynelim kinematiiTers ynelim kinematii : Bu : Bu problemin zm iin cebirsel problemin zm iin cebirsel yaklam tercih edilir.yaklam tercih edilir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyenMatematiksel olarak dz kinematikler Matematiksel olarak dz kinematikler , kartezyen konum ve ynelim uzay , kartezyen konum ve ynelim uzay ile eklem konumlar arasnda bir ilev ile eklem konumlar arasnda bir ilev tanmlar. Hz kinematiklerini tanmlar. Hz kinematiklerini (sonlandrcnn dorusal ve asal (sonlandrcnn dorusal ve asal hzlar) bu ilevin Jakobyenini hzlar) bu ilevin Jakobyenini belirleyerek elde edebiliriz.belirleyerek elde edebiliriz.Jakobyen , matris deerli bir ilevdir Jakobyen , matris deerli bir ilevdir ve skaler bir ilevin trevinin vektr ve skaler bir ilevin trevinin vektr hali olarak dnlebilir.hali olarak dnlebilir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyenJakobyen matrisi robotikte aadaki Jakobyen matrisi robotikte aadaki alanlarda byk nem tamaktadr :alanlarda byk nem tamaktadr :1.Dzgn yrnge(smooth 1.Dzgn yrnge(smooth trajectory)tasarlanmas 2.Singler trajectory)tasarlanmas 2.Singler konfigrasyonlarn bulunmas konfigrasyonlarn bulunmas 3.Hareket denklemlerinin tretilmesi 3.Hareket denklemlerinin tretilmesi 4.Sonlandrc kuvvet ve torklarnn 4.Sonlandrc kuvvet ve torklarnn maniplatrmaniplatr

eklemlerine tanmaseklemlerine tanmas Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyenn n eklemli bir maniplatr iin eklemli bir maniplatr iin Jakobyen , eklem hzlarnn Jakobyen , eklem hzlarnn nn-vektr -vektr ile sonlandrcnn 6 vektrden oluan ile sonlandrcnn 6 vektrden oluan dorusal ve asal hzlar arasndaki dorusal ve asal hzlar arasndaki ilikiyi verir. ilikiyi verir. Buna gre Buna gre nn eklemli bir maniplatr eklemli bir maniplatr iin Jakobyen 6 x iin Jakobyen 6 x n n boyutunda bir boyutunda bir matristir.matristir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyenJakobyen iin genel ifadeJakobyen iin genel ifade;; qv; q ; q v1]1

11]1

JJJJJJv nnnnnvn000000 Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyenJakobyen matrisinin oluturulmas : Jakobyen matrisinin oluturulmas : Her bir eklem bir stun belirtir ve Her bir eklem bir stun belirtir ve aadaki kurallara gre dzenlenir.aadaki kurallara gre dzenlenir.wv iiwvii n iiJJ zJi iJJzo o zJi i1]1

1]1

0stun) (prismatic kayarsa 2.Eklemstun (revolute) dnerse 1.Eklem111 1) ( Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyenki uzuvlu dzlemsel maniplatr ki uzuvlu dzlemsel maniplatr ele alalm. Jakobyen 6 x 2 ele alalm. Jakobyen 6 x 2 boyutundadr ve u ekilde ifade boyutundadr ve u ekilde ifade edilir.edilir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-JakobyenJakobyen11111111]1

+ 111]1

111]1

++111]1

111]1

1]1

1 10 00 00 01000

0

00012 2 12 2 1 112 2 12 2 1 11 012 2 1 112 2 1 12 1 11 11 01 01 2 1 0 2 0c a c a c as a s a s aJz zs a s ac a c ao s a c ao oz zo o z o o zq J) ( ) () ( Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-SinglerliklerSinglerliklerJakobyen matrisin ranknn Jakobyen matrisin ranknn azald(det(azald(det(JJ)=0) maniplatr )=0) maniplatr konfigrasyonlar singlerlikler yada konfigrasyonlar singlerlikler yada singler konfigrasyonlar olarak singler konfigrasyonlar olarak adlandrlr. Ranktaki bu azalma adlandrlr. Ranktaki bu azalma serbestlik derecesinde azalma olarak serbestlik derecesinde azalma olarak da kabul edilebilir.da kabul edilebilir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-SinglerliklerSinglerliklerSinglerliklerin belirlenmesi u Singlerliklerin belirlenmesi u sebeplerden nemlidir :sebeplerden nemlidir :1.Singlerlikler yaplamayacak 1.Singlerlikler yaplamayacak hareketleri veya ulalamayacak hareketleri veya ulalamayacak noktalar belirtebilir.noktalar belirtebilir.2.Singlerliklerde kk sonlandrc 2.Singlerliklerde kk sonlandrc hzlar byk eklem hzlarna sebep hzlar byk eklem hzlarna sebep olabilir.olabilir.3.Singlerliklerde ters kinematik 3.Singlerliklerde ters kinematik problemleri iinzm olmayabilir problemleri iinzm olmayabilir veya sonsuz sayda zm olabilir.veya sonsuz sayda zm olabilir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-SinglerliklerSinglerliklerSinglerlikler iki ksma ayrlabilir :Singlerlikler iki ksma ayrlabilir :1.Kol singlerlikleri : Kolun hareketi 1.Kol singlerlikleri : Kolun hareketi sonucunda oluan singlerliklersonucunda oluan singlerlikler2.Bilek singlerlikleri : Bilein hareketi 2.Bilek singlerlikleri : Bilein hareketi sonucunda oluan singlerliklersonucunda oluan singlerliklerBu ekilde yaplan ayrm Jakobyen Bu ekilde yaplan ayrm Jakobyen matrisinde singlerlik incelemelerini matrisinde singlerlik incelemelerini kolaylatrr. kolaylatrr. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-SinglerliklerSinglerlikler6dan daha az uzva sahip 6dan daha az uzva sahip maniplatrlerin Jakobyen matrisleri maniplatrlerin Jakobyen matrisleri kare deildir , bu yzden kare deildir , bu yzden determinant hesaplanamaz. Bu tip determinant hesaplanamaz. Bu tip maniplatrlerin singlerliklerinin maniplatrlerin singlerliklerinin belirlenmesi iin Jakobyen matrisinin belirlenmesi iin Jakobyen matrisinin gerekli ksmlar incelenir.gerekli ksmlar incelenir. Hz Kinematikleri-Hz Kinematikleri-SinglerliklerSinglerliklerTekrar iki uzuvlu dzlemsel Tekrar iki uzuvlu dzlemsel maniplatr ele alrsakmaniplatr ele alrsakEitlikten yola karak bu Eitlikten yola karak bu maniplatr iin maniplatr iin 2 2=0 ve =0 ve 2 2== deerli durularn singlerlikler deerli durularn singlerlikler olduunu syleyebiliriz.olduunu syleyebiliriz.2 2 112 2 12 2 1 112 2 12 2 1 112 2 12 2 1 112 2 12 2 1 11 10 00 00 0s a ac a c a c as a s a s aJc a c a c as a s a s aJ+ 11111111]1

+ ) det( DinamiklerDinamiklerRobot dinamii hareketlendiriciler Robot dinamii hareketlendiriciler veya d kuvvetler tarafndan veya d kuvvetler tarafndan uygulanan torklar sonucu hareket uygulanan torklar sonucu hareket eden maniplatrn hareket eden maniplatrn hareket denklemleri ile ilgilenir.Tersi biimde denklemleri ile ilgilenir.Tersi biimde hareket denklemleri oluturulmu bir hareket denklemleri oluturulmu bir maniplatr iin uygulanmas maniplatr iin uygulanmas gereken hareketlendirici torklarnn gereken hareketlendirici torklarnn hesab da robot dinamii yardmyla hesab da robot dinamii yardmyla yaplr.yaplr.Bu zmleme fiziksel bir sisteme Bu zmleme fiziksel bir sisteme gerek kalmadanbirmaniplatrngerek kalmadanbirmaniplatrnyapsn , hareketlendiricileri , yapsn , hareketlendiricileri , srcleri , kontrol yaklamlarn ve srcleri , kontrol yaklamlarn ve hareket plann tasarlamada nemli hareket plann tasarlamada nemli bir rol oynamaktadr.bir rol oynamaktadr. DinamiklerDinamiklerRobot dinamiini zmlemede Robot dinamiini zmlemede kullanlan iki nemli denklem takm kullanlan iki nemli denklem takm vardr :vardr :1.Lagrange Denklemleri 1.Lagrange Denklemleri 2.Newton-Euler Denklemleri2.Newton-Euler Denklemleri Dinamikler-Lagrange Dinamikler-Lagrange DenklemleriDenklemleriLagrange denklemleri mekanik Lagrange denklemleri mekanik sistemin kinetik ve potansiyel sistemin kinetik ve potansiyel enerjileri arasndaki farktan yola enerjileri arasndaki farktan yola karak oluturulur.karak oluturulur. LL=Lagrange ilevi=Lagrange ileviKK=Kinetik enerji=Kinetik enerjiV=V=Potansiyel enerjiPotansiyel enerjiii iqLqLdtdV K L Dinamikler-Lagrange Dinamikler-Lagrange DenklemleriDenklemleriLagrange denkleminde gerekli Lagrange denkleminde gerekli terimler yerine konulduunda terimler yerine konulduunda aadaki genel hareket eitlii aadaki genel hareket eitlii ortaya kar.ortaya kar.

) ( ) ( ) , ( ) ( q G q F q q q C q q M Q + + + Dinamikler-Lagrange Dinamikler-Lagrange DenklemleriDenklemleriBuradaBuradaq q q , ,Eklemlerin a , hz ve ivme vektrleriM Maniplatr eylemsizlik matrisiC Coriolis ve merkezka(centrifugal) torklarCoriolis torklar ile orantl ikenmerkezka torklar ile orantldr. 2iqj iq q F viskoz ve Coulomb srtnmeleriG yerekimi kuvvetleriQgenelletirilmi kuvvetler(kuvvet veya tork) Dinamikler-Newton Dinamikler-Newton Euler(NE) DenklemleriEuler(NE) DenklemleriNewton-Euler denklemleri ise her bir Newton-Euler denklemleri ise her bir uzuv iin Newton Yasalarna bal uzuv iin Newton Yasalarna bal olarak hareket eitliklerini tretir :olarak hareket eitliklerini tretir :1.Her etkinin eit ve zt biimde bir 1.Her etkinin eit ve zt biimde bir tepkisi vardr.Eer cisim 1 cisim 2ye tepkisi vardr.Eer cisim 1 cisim 2ye ffkuvveti ve kuvveti ve torku uygularsa cisim torku uygularsa cisim 2 cisim 1e -2 cisim 1e -f f kuvveti ve -kuvveti ve - torku torku uygular.uygular.2.Dorusal momentumdaki deime 2.Dorusal momentumdaki deime hz cisme uygulanan toplam kuvvete hz cisme uygulanan toplam kuvvete eittir.eittir.3.Asal momentumdaki deime hz 3.Asal momentumdaki deime hz cisme uygulanan toplam torka eittir.cisme uygulanan toplam torka eittir. Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemleriNewton-Euler(NE) denklemleri her bir Newton-Euler(NE) denklemleri her bir uzuv iin tek tek hesaplandndan uzuv iin tek tek hesaplandndan Yinelemeli (Recursive) NE Yinelemeli (Recursive) NE denklemleri adn alr.Yinelemeli NE denklemleri adn alr.Yinelemeli NE denklemleri iki ksmda incelenir :denklemleri iki ksmda incelenir :1.1.leri yineleme :leri yineleme : Asal hz , asal Asal hz , asal ivme , dorusal ivme gibi kinematik ivme , dorusal ivme gibi kinematik bilgiler temel ereveden sonlandrc bilgiler temel ereveden sonlandrc erevesine srayla(1den erevesine srayla(1den n n e) e) formller srasyla uygulanak formller srasyla uygulanak bulunur. bulunur. 2.2.Geri yineleme :Geri yineleme : Her bir uzuvdaki Her bir uzuvdaki kuvvetler ve momentler srayla kuvvetler ve momentler srayla sonlandrcdan temel ereveye(sonlandrcdan temel ereveye(n n den 1e) formller srasyla den 1e) formller srasyla uygulanarak tanr.uygulanarak tanr. Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemleriDinamikler iin gsterilimDinamikler iin gsterilimEklem i-1Eklem iEklem i+1Uzuvi-1Uzuvi Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemleri BuradaBuradaiiiiiiiiiiiNfnsJiUzuv indeksi , 1 den n eUzuv inin arlk merkezindeki eylemsizlik momentiUzuv inin arlk merkezinin ereve i ye bal konum vektrUzuv i nin asal hzUzuv i nin asal ivmesiereve i nin dorusal hzereve i nin dorusal ivmesiUzuv i nin arlk merkezinin dorusal hzUzuv inin arlk merkezinin dorusal ivmesiUzuv i-1 tarafndan uzuv i ye uygulanan momentUzuv i-1 tarafndan uzuv i ye uygulanan kuvvetUzuv inin arlk merkezi zerindeki toplam moment Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemleri01zpRQFiiiiiUzuv i nin arlk merkezindeki toplam kuvvetEklem i de hareketlendirici tarafndan uygulanan tork yada kuvveterevelerarasndaki dnme matrisiereve i-1den ereve i ye yerdeitirmeZ ynndeki birim vektrolmak zere Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemlerileri yineleme iinleri yineleme iinEer eksen Eer eksen ii+1 dnerse+1 dnerse{ }iiiii iii iiiiii iiiiiii iiiii iR p pR pq z q z Rq z R 111 111 1111 11010111011+++ +++ ++++ ++ +++++++ + + + + + ) () () ( Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemlerileri yineleme iinleri yineleme iinEer eksen Eer eksen ii+1 kayarsa+1 kayarsa{ }) () () ( ) () (i i i i i ii i ii i i i i i iii iiii iii iiii iii iiii iiii iiii iJ J Nm Fs spq z R p q z Rp q z RRR + + + + + + + + + ++ ++++++++++++++++++ 11 110111110111110111111 2 Dinamikler-NE Dinamikler-NE DenklemleriDenklemleriGeri yineleme Geri yineleme iiniin{ }'+ + + + + +++++ +++) ( )) ( ) () ( ) (*0 10 1111 111( z R fz R nQN F s p f p R n R nF f R fiiTiiiTiii i ii i iii iii iiiiiiEer uzuv i+1 dnerse Eer uzuv i+1 kayarsa Robotics ToolboxRobotics ToolboxRobotics Toolbox kinematikler , dinamikler Robotics Toolbox kinematikler , dinamikler ve yrnge tretme gibi robotikte geerli ve yrnge tretme gibi robotikte geerli birok ilevi oluturmada yararl bir birok ilevi oluturmada yararl bir modelleme aracdr.modelleme aracdr.Robotics Toolbox gerek robotlarla yaplan Robotics Toolbox gerek robotlarla yaplan deneyleri zmlemek kadar nemli olan deneyleri zmlemek kadar nemli olan 3D benzetimi yerine getirir.3D benzetimi yerine getirir.Peter I. Corke(CSIRO Manufacturing Peter I. Corke(CSIRO Manufacturing Science and Technology-Australia) Science and Technology-Australia) tarafndan 1996 ylnda ilk versiyonu tarafndan 1996 ylnda ilk versiyonu karlmtr. u anda kullanlan versiyon karlmtr. u anda kullanlan versiyon Release 6 dr ve yazlm tarihi 2001dir.Release 6 dr ve yazlm tarihi 2001dir. Robotics Toolboxta Robot Robotics Toolboxta Robot TanmlamaTanmlamaki ekilde olabilir :ki ekilde olabilir :Hazr robot modellerini kullanmaHazr robot modellerini kullanmaKendi modelini oluturmaKendi modelini oluturma Kendi Modelini Kendi Modelini OluturmaOluturmaDenavit-Hartenderg (DH) parametreleri Denavit-Hartenderg (DH) parametreleri yardmyla uzuvlar tanmlanr .yardmyla uzuvlar tanmlanr . L1= link([alpha1, a1, theta1, d1, sigma1])L2= link([alpha2, a2, theta2, d2, sigma2])...r=robot({L1 L2 . . . }) Hazr Robot ModelleriHazr Robot Modelleriki Uzuvlu (TwoLink)ki Uzuvlu (TwoLink) Hazr Robot ModelleriHazr Robot ModelleriPuma 560Puma 560 Hazr Robot ModelleriHazr Robot ModelleriStanford ArmStanford Arm Robotics Toolboxa Robotics Toolboxa GeiGei