UNIVERSITATEA ECOLOGICA DIN BUCURESTI FACULTATE DE INGINERIE MANAGERIALA

SINTEZA CURS MECANICA

ANUL I, SEMESTRUL 2 Titular curs: Conf. dr. ing. Valentin Panduru

CUPRINS Prefata ........................................................................................................................................2 Cuprins …………………………………………………………………………………………........... 3 1. INTRODUCERE 1.1 Generalitati .............................................................................................................................6 1.2 Marimi fundamentale ale mecanicii clasice ……………………………….………………. 6 1.3 Principiile mecanicii clasice ..................................................................................................6 1.4 Diviziunile mecanicii clasice .................................................................................................8 1.5 Sisteme de vectori ..................................................................................................................8 1.6 Operatii elementare cu vectori liberi ......................................................................................9

Partea întâia – Statica

I. STATICA PUNCTULUI MATERIAL 2. Reducerea sistemelor de forte concurente………………………………………………..14 2.1 Teorema proiectiilor…………………………………………………………………….15 2.2 Cazuri de reducere a fortelor concurente ………………………………………………. 17 3. Echilibrul punctului material ……………………………………………………………. 18 3.1 Echilibrul punctului material liber (fara legaturi)……………………………………... 18 3.2 Echilibrul punctului material cu legaturi ………………………………………………. 20 3.2.1 Echilibrul punctului material cu legaturi ideale (fara frecare)………………………21 3.2.2 Echilibrul punctului material cu legaturi cu frecare………………………………... 22 3.2.2.1 Frecarea de alunecare. Legile frecarii ………………………………………………23 3.2.2.2 Unghiul de frecare…………………………………………………………………. 23

II. STATICA SOLIDULUI RIGID (RIGIDULUI) 4. Operatii cu vectori alunecatori ……………………………………………………………26 4.1 Momentul unui vector alunecator in raport cu un punct………………………………...26 4.2 Momentul unui vector alunecator in raport cu o axa …………………………………....27 5. Sisteme de vectori alunecatori ……………………………………………………………28 5.1 Operatii elementare de echivalenta pentru vectori alunecatori …………………………28 5.2 Reducerea sistemelor de vectori alunecatori…………………………………………….28 5.3 Axa centrala a unui sistem de vectori alunecatori ………………………………………30 5.4 Cazuri de reducere a sistemelor de vectori alunecatori …………………………………31 5.5 Sisteme particulare de vectori alunecatori ………………………………………………33 5.5.1 Sisteme de vectori alunecatori concurenti……………………………………………..33 5.5.2 Sisteme de vectori alunecatori coplanari ……………………………………………...34

1

5.5.3 Sisteme de cupluri …………………………………………………………………….35 5.5.4 Sisteme de vectori alunecatori paraleli ………………………………………………..35 5.5.5 Axa centrala pentru vectori paraleli …………………………………………………...36 6. Centre de greutate (masa)………………………………………………………………... 38 6.1 Formule generale pentru determinarea centrului maselor (CM) al corpurilor oarecare.. 39 6.2 Centrul maselor pentru corpuri omogene…………………………………………….. 39 6.2 Momente statice. Teorema momentelor statice……………………………………….… 44 7. Echilibrul solidului rigid...……………………………………………………………… 46 7.1 Echilibrul solidului rigid liber………………………………………………………… 46 7.2 Echilibrul solidului rigid cu legaturi fara frecare…………………………………….. 47 7.3 Echilibrul solidului rigid cu legaturi cu frecare…………………………………………. 51 7.4 Echilibrul sistemelor de corpuri (solide rigide)…………………………………………. 53

Partea a doua – Cinematica I. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

8. Cinematica punctului material…………………………………………………………… 58 8.1 Componentele vitezei si acceleratiei in diverse sisteme de coordonate………………….60 8.1.1 Componentele vitezei si acceleratiei in sistemul de coordonate cartezian (miscare in spatiu)……………………………………………………………………60 8.1.2 Componentele vitezei si acceleratiei in coordonate polare (in plan)…………………61 8.2 Miscari particulare ale punctului material……………………………………………...62 8.2.1 Miscarea rectilinie uniforma...………………………………………………………..62 8.2.2 Miscarea rectilinie uniforma………………………………………………………….63 8.2.3 Miscarea circulara…………………………………………………………………….64

II. CINEMATICA SOLIDULUI RIGID (RIGIDULUI) 9. Determinarea pozitiei, vitezei si acceleratiei rigidului…………………………………..66 9.1 Determinarea pozitiei punctului M al rigidului………………………………………...66 9.2 Determinarea vitezei punctului M al rigidului…………………………………………66 9.3 Determinarea acceleratiei punctului M al rigidului…………………………………….69 10. Miscari particulare ale solidului rigid…………………………………………………..70 10.1 Miscarea de translatie a rigidului……………………………………………………...70 10.2 Miscarea de rotatie a rigidului………………………………………………………....71 10.3 Miscarea plan-paralela a rigidului……………………………………………………..74 10.3.1 Proprietatile distributiei de viteze in miscarea plan-paralela……………………… 77 10.3.2 Proprietatile distributiei de acceleratii in miscarea plan-paralela…………………. 80 III. CINEMATICA MISCARII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL SI A RIGIDULUI 11.1 Definitii in miscarea relativa………………………………………………………... 88 11.2 Compunerea vitezelor……………………………………………………………….. 88 11.3 Compunerea acceleratiilor…………………………………………………………... 89 11.4 Miscarea relativa a rigidului…………………………………………………………. 91

Partea a treia - Dinamica

12. Introducere…………………………………………………………………………………...95 13. Dinamica punctului material……………………………………………………………95 13.1 Notiuni fundamentale ale dinamicii…………………………………………………...95 13.1.1 Impulsul unui punct material………………………………………………………..95

2

13.1.2 Momentul cinetic al unui punct material in raport cu un punct…………………….95 13.1.3 Lucru mecanic………………………………………………………………………96 13.1.4 Puterea mecanica……………………………………………………………………98 13.1.5 Energia mecanica…………………………………………………………………...98 13.2 Ecuatiile diferentiale ale miscarii punctului material…………………………………...98 13.3 Teoreme generale in dinamica punctului material……………………………………..102 13.3.1 Teorema impulsului……………………………………………………………….. 102 13.3.2 Teorema momentului cinetic……………………………………………………… 102 13.3.3 Teorema de variatie a energiei cinetic……………………………………………… 103 14. Dinamica miscarii relative a punctului material………………………………………. .104 15. Momente de inertie mecanic………………………………………………………… 105 15.1 Definitii. Proprietati………………………………………………………………….. 105 15.2 Relatii intre momentele de inertie. Raza de inertie…………………………………... 106 15.3 Variatia momentelor de inertie fata de axe paralele. Teorema lui Steiner…………… 107 15.4 Variatia momentelor de inertie fata de axe concurente………………………………. 108 15.5 Axe principale de inertie. Momente de inertie principale…………………………… 109 16. Dinamica sistemelor de puncte materiale (SPM, a rigidului si a sistemelor de corpuri .113 16.1 Notiuni fundamentale in dinamica SPM si a rigidului…………………………….....113 16.1.1 Impulsul unui SPM si al unui rigid………………………………………………...113 16.1.2 Momentul cinetic al unui SPM si al rigidului……………………………………...114 16.1.2.1 Calculul momentului cinetic pentru rigid in miscare de translatie………………115 16.1.2.2 Calculul momentului cinetic pentru rigid in miscare de rotatie…………………115 16.1.2.3 Calculul momentului cinetic pentru rigid in miscare generala a rigidului………117 16.1.2.4 Calculul momentului cinetic pentru rigid in miscare plan-paralela……………..118 16.1.3 Lucrul mecanic al unui sistem de forte care actioneaza asupra unui SPM si rigidului…118 16.1.4 Energia mecanica a SPM si a rigidului……………………………………………120 16.1.4.1 Calculul Ec pentru rigid in miscare de translatie………………………………..120 16.1.4.2 Calculul Ec pentru rigid in miscare de rotatie……………………………………..121 16.1.4.3 Calculul Ec pentru rigid in miscare plan-paralela…………………………………121 16.2 Teoremele generale in dinamica SPM si a rigidului…………………………………..123 16.2 1 Teorema impulsului…………………………………………………………………123 16.2.2 Teorema momentului cinetic………………………………………………………..124 16.2.3 Teorema energiei cinetice…………………………………………………………...124 16.2.4 Teoremele lui Koenig pentru momentul cinetic si energiei cinetice in miscarea generala a unui SPM si a unui rigid………………………………………………..126 16.2.4.1 Teorema lui Koenig pentru momentul cinetic in miscarea generala a unui SPM si a unui rigid………………………………………………………………………126 16.2.4.2 Teorema lui Koenig pentru energia cinetica in miscarea generala a unui SPM si a unui rigid………………………………………………………………………127

Partea a patra – Notiuni de mecanica analitica 17. Notiuni de mecanica analitica…………………………………………………………..136 17.1Generalitati…………………………………………………………………………….136 17.2 Clasificarea legaturilor in mecanica analitica…………………………………………136 17.3 Deplasari reale. Deplasari virtuale…………………………………………………….137 17.4 Principiul lucrului mecanic virtual……………………………………………………138 17.5 Principiul lui D’Alembert…………………………………………………………….140 17.6 Torsorul fortelor de inertie……………………………………………………………142 17.6.1 Fortele de inertie pentru punctul material in diverse miscari particulare…………..141

3

17.6.2 Torsorul fortelor de inertie pentru un SPM si pentru un rigid……………………...142 17.6.2.1 Rigid in miscare de translatie…………………………………………………….143 17.6.2.2 Rigid in miscare de rotatie………………………………………………………..143 17.6.2.3 Rigid in miscare plan-paralela………………………………………………….…144 17.6.2.4 Rigid in miscare generala…………………………………………………………145 Bibliografie…………………………………………………………………………………151

1. INTRODUCERE 1.1. Generalitati Mecanica este o stiinta fundamentala a naturii, un capitol al fizicii care studiaza forma cea mai simpla de miscare a materiei, care consta din deplasarea relativa a corpurilor, sau a unor parti din acestea, unele in raport cu altele . Miscarea este forma de existenta a materiei . Nu poate exista materie fara miscare si nici miscarea fara materie . Mecanica clasica are anumite delimitari si anume viteza corpurilor macroscopice v << viteza luminii = 3 × 108 m /s . Mecanica clasica se imparte in :

- mecanica solidului rigid ( Mecanica teoretica ); - mecanica solidului deformabil ( Rezistenta materialelor + Teoria elastica si

plastica ); - mecanica lichidelor ( Hidraulica );

Mecanica clasica opereaza cu doua categorii de marimi si anume : marimi fundamentale si marimi derivate . 1.2. Marimi fundamentale ale mecanicii clasice

Dintre marimile fundamentale utilizate frecvent in mecanica se citeaza spatiul, timpul si masa ca forme concrete de manifestare a materiei. a. Masa – m Masa reprezinta marimea fizica scalara de stare, care masoara proprietatea materiei de a fi inerta si de a produce un camp gravitational . Altfel spus masa reflecta doua din cele mai importante insusiri ale materiei :

- gravitatia (atractia reciproca a corpurilor); - inertia (opozitia fata de orice schimbare a starii de miscare sau de repaus) .

Fenomenelor gravitationale le corespunde masa gravifica (legea atractiei universale

221

rmmfF = , iar fenomenelor inertiale masa inerta ( legea fundamentala a mecanicii F = m.a

) . Experientele lui Eotvos (1848 – 1919) au demonstrat ca masa gravifica si masa inerta sunt riguros egale, ele reprezentand doar doua aspecte diferite ale aceleiasi realitati . In mecanica clasica masa este considerata constanta , in timp ce in mecanica relativista este variabila, dependenta de viteza . b. Spatiul – s Spatiul generalizeaza notiunea de distanta, marime, forma, intinderea obiectelor materiale. Are urmatoarele proprietati :

- tridimensional (3 dimensiuni);

4

- respecta postulatul lui Euclid (geometria clasica); - continuu, omogen, izotrop, absolut.

c. Timpul – t Timpul generalizeaza notiunea de durata, de succesiune a fenomenelor naturii . Are proprietatile :

- o singura dimensiune; - infinit, continuu; - monoton crescator (numai valori pozitive); - absolut.

Dintre marimile derivate se citeaza forta, viteza, acceleratia, impulsul, lucrul mecanic, energia etc. Forta este o masura a interactiunii mecanice dintre corpuri materiale. Corpurile materiale au o multitudine de proprietati, fapt pentru care in mecanica, pentru simplificarea studiului se introduc o serie de modele teoretice ale acestora si anume :

- punctul material – un punct geometric caruia i se atribuie o anumita masa . Punctul material nu exista in realitate, el este un concept care usureaza calculele matematice .

- sistemul de puncte materiale este un model definit ca o multime finita de n puncte materiale in interactiune mecanica .

- continuu material (corp) este un model care are la baza ipoteza simplificatoare ca intreg spatiul ocupat de corp este plin cu substanta, desi se cunoaste structura atomica discontinua a materiei . Avand in vedere modul sau de deformare continuu, materialul poate fi : elastic, plastic, vascos, fluid .

- corpul solid rigid (rigidul) este modelul care reprezinta un continuu material nedeformabil Ca solide rigide amintim : bara, placa, blocul, firul flexibil, inextensibil si torsionabil .

- sistemul de solide rigide este un ansamblu de corpuri rigide care interactioneaza . Orice masina sau mecanism este un sistem de solide rigide .

1.3. Principiile mecanicii clasice (Newton – 1686)

Principiul inertiei – Un corp isi pastreaza starea de repaus sau miscare rectilinie si uniforma atat timp cat nu intervine vreo actiune mecanica, care sa-i modifice aceasta stare .

Principiul actiunii fortei – Daca asupra unui punct material de masa m actioneaza o forta F (fig. 1.1), atunci acesta capata o miscare cu acceleratia a dirijata dupa suportul fortei, data de relatia:

Fig. 1.1

A(m)

a F

( )1amF =

F =0, m a =0, a =0, v =const., punctul material are o miscare rectilinie uniforma sau este in repaus.

Principiul actiunii si reactiunii – Actiunile reciproce a doua puncte materiale sunt egale si de sens contrar (fig. 1.2) .

A1(m1) A2(m2)2,1F 1,2F

5

1,22,1 FF −= (2) Fig. 1.2

Relatia (2) nu este o relatie de echilibru. Acest principiu se aplica in mecanica clasica atat in cazul contactului direct dintre corpuri , cat si in cazul interactiunii lor de la distanta.

Principiul paralelogramului – Doua forte care actioneaza simultan asupra unui punct material au acelasi efect mecanic asupra punctului ca si o forta unica avand marimea si directia diagonalei paralelogramului construit cu cele doua forte ca laturi (fig. 1.3) .

( )321 FFR +=

Regula paralelogramului – operatia de compunere a doua forte concurente R - rezultanta

1F - componente 2F

A(m)A(m)

R R1F

2F Fig. 1.3 1.4. Diviziunile mecanicii clasice

Statica – partea din mecanica care se ocupa cu studiul fortelor si echilibrul sistemului de forte .

Cinematica – partea din mecanica care se ocupa cu studiul miscarii corpurilor independent de actiunea fortelor care actioneaza asupra lor .

Dinamica – partea care se ocupa cu studiul miscarii corpurilor, tinand seama de fortele care actioneaza asupra acestora . 1.5. Sisteme de vectori Marimile scalare si vectoriale fac parte dintre marimile fizice utilizate in mecanica cu o deosebita importanta teoretica si practica . Marimile scalare sunt acele marimi pentru care este suficient sa se indice un numar . Exemplu de marimi scalare : aria unei suprafete, temperatura, turatia arborelui unui motor. Marimile vectoriale sunt caracterizate de urmatoarele trei elemente : marime (modul), directie si sens . Simbolul matematic atasat unei marimi vectoriale se numeste vector, conventional el fiind reprezentat printr-un segment de dreapta orientat (fig . 1.4) .

v – vector modul

(∆)A

O

v

v

o – origine A – extremitate → sens ∆ - suport

6

Fig. 1.4 Se defineste versor sau vector unitate vectorul al carui modul este egal cu 1 . Notand cu u versorul directiei v si prin v modulul acestuia (fig. 1.5) putem scrie :

Ou v

Fig. 1.5

( )4uvv =

( )5vvu =

Orice alt vector a avand aceeasi directie se exprima prin uaa ⋅= , unde a este marimea (modulul) acestuia .

Clasificarea vectorilor : - liberi - legati - alunecatori

- Vector liber – punctul sau de aplicatie poate fi luat in mod arbitrar . Rezulta ca vectorii liberi se pot deplasa paralel cu ei insisi, ramanand egali . - Vector legat – un vector al carui punct de aplicatie este fix . Exemplu – forta aplicata unui punct material (fig. 1.6) A(m)

Fig. 1.6

F

- Vector alunecator – vectorul caruia i se poate muta punctul de aplicatie de-a lungul suportului sau. Ex . – forta aplicata unui corp rigid, efectul ei fiind acelasi la deplasarea sa pe dreapta suport (fig.1.7) .

CB(∆)

AFF F

Fig. 1.7 O multime de vectori constituie un sistem de vectori . Deci putem vorbi de sistem de vectori alunecatori, sistem de vectori legati, sistem de vectori liberi . 1.6 Operatii elementare cu vectori liberi a) Adunarea vectorilor se face aplicand regula paralelogramului sau regula triunghiului (fig. 1.8).

7

b

b

a

a

c

ba

cb

a

ba +=c ba +=c regula paralelogramului regula triunghiului Fig. 1.8

( ) (6) b,acosab2bac 222 ++= Pentru adunarea mai multor vectori se aplica metoda poligonala (fig. 1.9) .

b

ba

a

cc

d

Fig.1.9 cba ++=d (7) Proprietati ale adunarii vectorilor :

(8) tatecomutativi - abba +=+

( ) ( ) (9) tateasociativi - cbacba ++=++

b) Diferenta a doi vectori (fig. 1.10)

( )babad −+=−= ( )10

8

b a

b−

a

b a

a

db−

regula paralelogramului regula triunghiului Fig. 1.10

c) Proiectia unui vector pe o dreapta ( scalar ) (fig. 1.11)

( )11α=∆ cosvvpr

α

(∆)

A

v

Fig. 1.11

d) Descompunerea unui vector

vx

vy

x

y

v

ij

- dupa doua directii ⊥ in plan (fig. 1.12) ( )12 jvivv yx +=

( )13 vvv 2y

2x +=

Fig. 1.12

9

- dupa 3 directii ⊥ in spatiu (fig. 1.13)

x

z

y

v

ki j

( )14 kvjvivv zyx ++=

( )15vvvv 2z

2y

2x ++=

Fig. 1.13

e) Produsul scalar a doi vectori – este o marime scalara !

α

ba

b

a

(fig. 1.14)

( ) ( )16 b,acosabba ⋅=⋅Proprietati : - produsul scalar este comutativ

( )17 abba ⋅=⋅- produsul scalar este nul daca a ⊥ b - daca α = 0 ⇒ bab ⋅=⋅a - produsul scalar este distributiv fata de adunarea vectoriala Fig. 1.14

( ) ( )18 cabacba ⋅+⋅=+⋅- expresia analitica a produsului scalar este:

( )19zzyyxx babababa ++=⋅

cu : kajaiaa zyx ++=

kbjbibb zyx ++=

tinand cont ca : 1kk0jk0ik0kj1jj0ij0ki0ji1ii

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

f) Produsul vectorial a doi vectori – prin definitie este un vector ⊥ pe planul acestora si dat de relatia :

α

b

b

a

a

d

( ) ( )20 b,asinabbad =×=Elementele de definitie (fig. 1.15):

- sens : dat de regula burghiului drept - modul : d= a b sin α, α=<(a,b) - suport : ⊥ pe planul determinat de cei doi

vectori

Fig. 1.15 Proprietati :

- ∝ = ο adica a b ⇒ 0ba =×

10

- produsul vectorial este anticomutativ abb ×−=×a sin ∝ = − sin ( −∝ ) - produsul vectorial este asociativ fata de amplificarea cu un scalar:

( ) ( ) ( ) ( ) (21) babababa λ×=λ×=×λ=×λ

- produsul vectorial este distributiv fata de adunarea vectoriala:

( ) (22) cabacba ×+×=+×

- expresia analitica a produsului vectorial al vectorilor:

(23) bbbaaakji

bxa

zyx

zyx=

unde:

kbjbibb zyx ++=kajaiaa zyx ++= Observatie. Produsul vectorial a doi vectori este tot o marime vectoriala! g) Produsul mixt – produsul mixt a trei vectori a , b , c este produsul scalar dintre unul din vectori si produsul vectorial al celorlalti doi ;

( ) ( ) ( ) ( ) (24) bacacbcbac,b,a ×⋅=×⋅=×⋅=- expresia analitica a produsului mixt al vectorilor a , b , c :

( ) (25) cccbbbaaa

cbaeste

zyx

zyx

zyx

=××kajaiaa zyx ++=

kbjbibb zyx ++=kcjcicc zyx ++=

Sistem de referinta – se intelege un reper nedeformabil fata de care se raporteaza pozitiile punctelor unui sistem material (fig. 1.16) . Pentru probleme de tehnica obisnuita consideram ca sistem de referinta fix sistemul fata de pamant.

11

12

xy

z

triedru de referinta triortogonal drept xOyz Fig. 1.16

BIBLIOGRAFIE

1. Ceausu, F., Note de curs de mecanica, 1988 – 1989. 2. Atanasiu, M., Mecanica tehnica, Edit.tehnica, Bucuresti, 1969. 3. Ceausu, V.,Enescu, N., Ceausu,F., Culegere de probleme de mecanica , Atelierul de

multiplicare al Inst. Politehnic Buc., vol. I, II, 1983. 4. Comanescu, A., Suciu, I., Weber, Fr., Comanescu, D., Manescu, T., Grecu, B.,

Mikios, I., Mecanica, rezistenta materialelor si organe de masini, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1982.

5. Rosca, I., Mecanica pentru ingineri, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 1998. 6. Voinea, R., Voiculescu, D., Ceausu, V., Mecanica, Ed. didactica si pedagogica,

Bucuresti, 1983. 7. Ripianu, A., Popescu, P., Balan, B., Mecanica tehnica, Ed. didactica si pedagogica,

Bucuresti, 1982. 8. Ceausu, V., Enescu, N., Ceausu, F., Culegere de probleme de mecanica, vol.I, Statica

si cinematica, Edit. Printech, 1999. 9. Darabont, A., Vaiteanu, D., Munteanu, M., Mecanica tehnica, culegere de probleme,

Ed. Scrisul romanesc,Craiova, 1983. 10. Stroe, I. s.a., Mecanica, mecanica analitica, culegere de probleme, Atelierul de

multiplicare al Inst. Politehnic Buc.,1997.

11. Ceausu, V., Enescu, N., Ceausu, F., Culegere de probleme de mecanica,vol.III, Dinamica si mecanica analitica, Atelierul de multiplicare al Inst. Politehnic Buc., 1983.

12. Radoi, M., Deciu, E., Mecanica, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1977. 13. Staicu, St., Introducere in mecanica teoretica, Ed. stiintifica si enciclopedica,

Bucuresti, 1983. 14. Ceausu, V., Enescu, N., Ceausu, F., Paraschivoiu, I., Culegere de probleme de

mecanica, vol.I, Statica, 1975, vol.II, Cinematica, Bucuresti, 1976. 15. Stroe, I., Mecanica, cinematica, teorie si probleme, Univ. Politehnica din Bucuresti,

1995.

13