Download pdf - Standar Kompetensi - · PDF fileOperasi hitung dalam aljabar. A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR ... LKS-Mat.X-02 Masalah 3 : ... OPERASI HITUNG BENTUK AKAR

1

Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.

BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.

Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah

1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat

1.1.1. Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma. 1.1.2. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang

lainnya. 1.1.3. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen. 1.1.4. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar. 1.1.5. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.

.

Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat. 2. Operasi hitung dalam aljabar.

A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR

A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti diantara beberapa pola berikut ini:

Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104

Penyelesaian : a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243 b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = ……. c. 104 = …. x ….. x ….. x ….. = ………

Penarikan kesimpulan:

an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n

n factor a disebut bilangan pokok atau basis. n disebut pangkat atau eksponen an disebut bilangan berpangkat.

A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:

Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42 b. 24 x 25 Penyelesaian :

a. 43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4…..

3 faktor 2 faktor (3 + 2) factor

b. 24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )

= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2…..


ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + ….

…. factor …. factor ( … + …. ) factor

Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……

LKS-Mat.X-01

2

LKS-Mat.X-02

Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a. 3

5

4

4 b.

4

8

3

3

Penyelesaian : 5 faktor 3 faktor

a. 3

5

4

4 =

..........4

...............44

xx

xxxx =

..........4

..........4

xx

xx x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3

3 faktor 3 faktor 2 faktor

8 faktor 4 faktor 4 faktor

b. 4

8

3

3 =

3..........3

3..............................3

xxx

xxxxxxx =

...............3

...............3

xxx

xxx x ( 3 x ….. x ….. x….. )

4 faktor 4 faktor = 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3 ….. - …..

4 faktor 4 faktor


p faktor q faktor ( p - …. ) faktor

q

p

a

a =

xaxax

xaxxxxxax

..........

.............................. =

...............

...............

xxax

xxax . ( a x ….. x ….. x….. )

q faktor q faktor = 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - ……

( …. - …. ) faktor ( ….. - …. ) faktor

Sifat 2 : q

p

a

a = a ….. - ……

Masalah 4 : Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3 Penyelesaian : 3 faktor 3 faktor 3 faktor

( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 ….


( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b)

p factor p factor p factor = a … . b ….

Sifat 3 : ( a . b ) p = a ….. . b p

Masalah 5 : Tentukan nilai dari: ( 53 )4 Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor ( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) 3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor = 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x ….. = 5……

2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }

Sifat 4 : ( a p ) q = a … x …..

3

LKS-Mat.X-03

Masalah 6 : Tentukan nilai dari: ( 5

2 )4

Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor

( 5

2 )4 =

5

2x

5

...x ….. x

5

2 =

............5

2........2

xxx

xxx =

.....

.....

5

2

4 faktor

Sifat 5 : (b

a ) p =

....

p

b

a

A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:

Masalah 7 : Buktikan bahwa: a. ao = 1 b. a-p = pa

1

Bukti : a. Akan dibuktikan ao = 1

Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + …… , missal : p = 0 didapat:

a…. . aq = a 0 + …… = a …..

a 0 = ....a

a q

= ……. Terbukti.

Sifat 6 : a 0 = 1

b. Akan dibuktikan a-p = pa

1

Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + …… , missal : q = -p didapat:

a…. . a….. = a ….. – p = a …..

a –p = ....

....

a

a =

....

.....

a Terbukti.

Sifat 7 : a-p = pa

1

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat!

a. 4p2 x 2p3 x 23p c. 10y7 : 2y2 e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 ) b. ( -k3 )2 : k4 d. ( -m5 : m2 )4 x m7 f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2

2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative !

a. 64

1

t b.

3)(

5

ba c.

332 )(

2

cb

3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif !

a. a-6b4 x a2b-2 c. 2

7

9

27

p

p

e. 621

732

.21

9

pnm

pnm

b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2 d.

2

3

42

8

2

mn

nm f.

6

3

4

222

:3

m

p

p

nm

A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.

Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional.

Definisi: a adalah bilangan non negative sedemikian hingga a . a = a

4

LKS-Mat.X-04

Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:

a . a = a berarti ...........

.....

.....

.....

2

1

2

1

. aaaa

sehingga : a = ......

1

a

.3 a .3 a 3 a = a berarti ............

......

.....

.....

.....

.....

.....

.....

......

.....

....

1

3

1

.. aaaaaa

sehingga .....

1

3 1 aa

Sehingga dapat disimpulkan berlakunya : Sifat 8 : .....

pq p aa


1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan !

a. 4 32 qq b. mm3 c.

6 55

1

yy

2. Nyatakan dalam bentuk akar !

a. 5

2

4a b. 2

5

9

k c. 2

3

2

7

39 aa

3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !

a.

2

2

3

2

1

.3

ba b.

5

1

82

23

.3

.96

ba

ba c.

mm

m

x

y

y

x

3

3

4. Hitung nilai dari !

a. 64 3

1

b.

2

5

3

1

9

)27( c. 3

2

2

1

8.144

A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.

a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.

Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama.

Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:

a. 2 3 + 5 3 b. 4 7 - 7

Penyelesaian:

a. 2 3 + 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3 b. 4 7 - 7 = (…. - ….) 7 = …. 7

Penarikan Kesimpulan : a p b p = ( a …. ) .....

a.2. Perkalian bentuk akar.

Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:

a. 3 x 2 b. 4 3 x 2 7

Penyelesaian:

a. 3 x 2 = ...........3 x b. 4 3 x 2 7 = ( 4 x…. ) ................3 x

Penarikan Kesimpulan : ba. = ba.

a.3. Menyederhanakan bentuk akar.

Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:

a. 12 b. 8 x 12

Penyelesaian:

a. .......................3.....12 xx

b. 8 x 12 = 2.....x x 3.....x = …. ..... x …. ..... = ( …. x…. ) ......x = …. .....

5

LKS-Mat.X-05

A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.

Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini:

Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:

a. 3

6 b.

23

5

Penyelesaian:

a. 3

6 =

3

6x 1 =

3

6x

......

....= ................

.....

.....

......

..........

..........

..........

x

b.23

5

=

23

5

x 1=

23

5

x

.........

23

=

22 )...()...(

)..........(

=

..........

).........(

Di mana : 23 dan 23 disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di-

kalikan menghasilkan bilangan Real: 2)3( -

2)2( = 3 – 2 = 1

Penarikan Kesimpulan :

a. b

ax

b

a

b

a ....

....

....

b. cb

a

=

...........

)........(

........

....

abx

cb

a


1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !

a. 77375 b. )52(23 c. )335(3)354(5

2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !

a. 32

3

b.

2232

211

c.

2

3

3

5

3. Diketahui x = 2 23 dan y = 232 . Tentukan nilai dari :

a. x2 y b. x2 + 2xy + y2 c. y

x

B. BENTUK LOGARITMA.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen: ax = c

Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut: 1. a x = ……. dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen.

2. (….)x = c ......x c dikenal dengan operasi bentuk akar.

3. a (….) = c alog c = …... dikenal dengan operasi logaritma. Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat.

Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eks-

ponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0.

a log c = x ax = c

6

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini:

LKS-Mat.X-06

Masalah 12 : Tentukan nilai dari : a. 2log 8 b. 10log 10000 c. log3

1

9

Penyelesaian: a. 2log 8 = 3 , sebab 23 = 8

b. 10log 10000 = ……. , sebab 10….. = 10000

c. log3

1

9 = …….. , sebab

........

3

1= ……..

Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:

1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:

1.1. Untuk bil. Pokok a = 10 10log c biasa ditulis log c 1.2. Untuk bil. Pokok selain 10 alog c , missalnya: 2log 3

Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.

2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. ) elog c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)

Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:

Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = aca log = …..

Sehingga berlaku:

Sifat 1 : aca log = c ,

Sederhanakan: .....4 7log2

.......(.....)(.....)(....)4 2log(.....).....log27log 2222

Masalah 13 : Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp

Penyelesaian: a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat a…. = x q = alog y maka sesuai definisi didapat aq = ….. sehingga x.y = ap . a….. = a….. + ….. maka : a log (…. …..) = p + ….. Sehingga berlaku: Sifat 2 : a log x.y = alog …. + alog ….

Sederhanakan: 3 log 15 jika diketahui 3 log 5 = a

3 log 15 = 3 log (….. x …..) = 3log ….. + 3 log ….. = 1 + …….. b. alog x - alog y , dengan cara yang sama didapat:

y

x =

q

p

a

a =

......pa maka a log

y

x = …. - …..

Sehingga berlaku:

Sifat 3 : a log y

x = alog …. - alog ….

Sederhanakan: 4 log 8 jika diketahui 4 log 2 = a

4 log 8 = 3 log 2

16 = 4 log …. - 4 log …. = 4 log (….)2 – 4 log ….. = 2 4 log … - a = …. -a

p faktor

c. alog xp = a log ( x . x . x . ….. . x ) = a log x + a log x + …….. + a log x = ….. a log x

p suku Sehingga berlaku:

Sifat 4 : a log xp = ….. alog x

7

Sederhanakan: 2 log 32 = ……………

2 log 32 = 2 log (….)5 = (….) 2log ….. = …….

LKS-Mat.X-07


1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:

a. 6 log 8 – 6 log 2 + 6 log 9 c. 3 log 81 – 3 log 9 e. 5 log 100 – 2. 5 log 2

b. 3 log 38 + 3 log

3

27

1

d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 – 2log 105

2. Sederhanakanlah:

a. log x4 – 3. log x + log 1/x c. log x 3

1

+ log y 2

1

- 2

1 log x y

b. 2 log 6 - 2

1. 2 log 3 d.

2

1. 10 log 10 + 3 . 10 log 10

3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini:

a. 3 log 275 b. 16 log 8 9

7

c. 4

3

9

1log d. 25 log 21

5

e. 8 log 4-19

4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut:

a. log3

1a

8 - 4

5a log 4 – a log

16

1 = a log x b. 4 . 2 log x = 2 log 81

Masalah 14 : Buktikan bahwa: a. alog x =a

xp

p

log

log c. b

m

nb

a

nam

loglog

b. alog b . blog x = alog x

Penyelesaian: a. alog x =a

xp

p

log

log , Bukti: Missal a log x = m maka :

am = x p log a…. = p log …..

(…) p log a = …. log x

m = .....log

.....log.....

p

= a log x terbukti.

Sehingga berlaku:

Sifat 5 : alog x =a

xp

p

log

log

Sederhanakan: 4 log 7 = …… jika diketahui 2 log 7 = b

4 log 7 = .....

.....

....log2

......

log(....)

.....log222

2

b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x =...log

...log.

....log

log .....

pp

p b (dari sifat 5)

= xp

log....log

....log .....

.... , terbukti.

Sehingga berlaku: Sifat 6 : alog b . blog x = alog x

Sederhanakan: 3 log 36 .6log 9 = ……

3 log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6 .6log 9 = ....3 log ....

= …. x …. = ......

c. bm

nb

a

nam

loglog , Bukti: .....log(....)logmm ana b ( dari sifat 4 ) .... 1)

8

Missal : p = bma log (am)….. = …..

LKS-Mat.X-08

Maka a p = b m

1

.....log ......

1

..... b

pm

.....log1

......

…….2)

Dari 2) 1) didapat : .....log(....)logmm ana b = (….) .....log

1......

m

= .....log.....

...........

Sehingga berlaku:

Sifat 7 : bm

nb

a

nam

loglog

Sederhanakan: 9 log 8 = …… jika diketahui 3 log 2 = a

9 log 8 = a.....

.........log

.....

......(....)log

3

.......3......


Tunjukan bahwa: a. Jika a log x = y maka yxnan

log

b. p log q + 0log

1

qp

c. ab log x = b

xa

a

log1

log

A. Pilih satu jawaban yang paling benar !

1. Bentuk 5a3 x 2a6 dapat disederhanakan menjadi bentuk ……………. a. 10 a9 b. 10 a18 c. 10 a3 d. 5 a9 e. 5 a18 2. Bentuk (x2y)3 : (x-1y-3) dapat disederhanakan menjadi bentuk ……… a. x 6 y 7 b. x-6 y-7 c. x7y6 d. x6 y-7 e. x-6 y7

3. Nilai (27) 3

2

x (32) 5

4

sama dengan ……………

a. 32

9 b.

16

9 c.

15

9 d.

12

9 e.

10

9

4. Hasil operasi ............35 2 aa

a. 15 6a b.

15 7a c. 15 3a d.

15 4a e. 15 11a

5. Hasil dari 2 20 + 45 - 125 = ……………

a. -3 5 b. -2 5 c. 5 d. 2 5 e. 3 5

6. Jika penyebut bilangan 18

6 dirasionalkan, maka bentuknya menjadi ………

a. 2 b. 3 c. 6 d. 32 e. 62

7. Jika penyebut bilangan 234

234

dirasionalkan, maka bentuknya menjadi …………..

a. -15 + 12√2 b. -17 + 12√2 c. -19 + 12√2 d. -21 + 12√2 e. -34 +12√2

9

8. Nilai x yang memenuhi persamaan 54 – 2x = 25 adalah ……………. a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 3

LKS-Mat.X-09

9. .........8

1log2

a. -3 b. -4 c. -6 d. -9 e. -12

10. 3log 162 – 3log 2 = ……. a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 e. 4

11. Jika log 2 = 0,301, maka log 2000 = …… a. 3,01 b. 3,301 c. 4,301 d. 30,1 e. 301

12. 25log 16 identik dengan bentuk …….

a. 5log

22

b. 5log

42

c. 5log

82

d. 5log

162

e. 4

25log2

13. Jika 3log 2 = a , maka 8log 9 = …….

a. 4

3a b.

a3

4 c.

a3

8 d.

a3

2 e.

2

3a

14. Nilai a yang memenuhi 4log a = ½ adalah ……. a. 2 b. 1 c. ½ d. ¼ e. 1/16

15. Nilai .........32log.3log 32

1

a. -5 b. -4 c. -3 d. 3 e. 5

B. Jawablah dengan teepat dan benar !

01. Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini!

a. (6a5b-4)-3 . 2(a3 b-3)2 c. baababba 2222 6594

b. d

cdc 2234 )3(:

9

)4(

d. b

abab 4.

02. Jika x = 288 dan y = 224, Hitung nilai dari:

3

2

2

3

)(

)(

yx

yx

03. Sebuah balok panjang masing-masing rusuknya adalah 5 cm, 10 cm, dan 15 cm. Tentukan dalam bentuk akar paling sederhana dari:

a. panjang diagonal-diagonal bidang sisi. b. Panjang diagonal ruang balok tersebut.

04. Jika blog 2 = a dan blog 3 = c, gunakan sifat logaritma untuk menghitung nilai dari: a. blog 144 b. blog (72b2) 05. Tentukan nilai x yang memenuhi sistem di bawah ini: a. 3x -2 = 81 b. 4 2log x = 2log 81

-------ooo0000ooo------

10

Standar Kompetensi

Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.

A. PERSAMAAN KUADRAT. Kompetensi Dasar : 1.3. Mengggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat,

diskriminan, sumbu simetri, dan titik puncak dalam pemecahan masalah.


1.3.1. Menghitung akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus kuadrat. 1.3.2. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan diskriminan suatu persamaan kuadrat 1.3.3. Menurunkan rumus tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sekaligus

menggunakannya dalam soal. 1.3.4. Mendiskusikan cara menyusun persamaan kuadrat baru.

. Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP). 2. Operasi hitung dalam aljabar.

A.1. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut persamaan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di an tara beberapa pola berikut ini:

Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. x ( 2x + 3) b. (x – 2)(x + 3) c. (2x + 1)(x – 3)

Penyelesaian :

a. x ( 2x + 3) = x . 2x + x . 3 = 2 x…. + ….. x

b. (x – 2)(x + 3) = …..2 + 3 …. - ….. x + (-2) …. = ….2 + …… - ……

c. (2x + 1)(x – 3) = 2 ….2 - ….x + …… - ……


Dari beberapa bentuk hasil perhitungan di atas : pangkat tertinggi dari variabel x adalah .. dan selanjutnya disebut dengan pangkat dua atau kuadrat, sehingga bentuk-bentuk di atas dapat disebut sebagai bentuk-bentuk kuadrat. Secara umum dapat dinyatakan dalam : ax2 + bx + c

Sehingga persamaan kuadrat secara umum adalah:

ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a, b, c R

A.2. AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Suatu persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a,b,c R akan bernilai benar untuk dua nilai x tertentu yang disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dan sering dikenal dengan Himpunan Penyelesaian.

A.2.1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini:

11

Masalah 2 : Tentukan dan selesaikan bentuk : a. 2x2 + 3x = 0 b. x2 + x – 6 = 0 c. 2x2 -5x -3 = 0

LKS-Mat.X-10

LKS-Mat.X-11

Penyelesaian : Jika model pada masalah 1 dikerjakan terbalik akan didapat pola sebagai berikut: a. 2x2 + 3x = 0 b. x2 + x – 6 = 0 c. 2x2 - 5x - 3 = 0

x ( …. + 3 ) = 0 ( x + …. )( x – 2 ) = 0 (2x + …)(…. – 3) = 0

x = … v (… + 3) = 0 (x +….) = 0 v (x - …) = 0 (2x +…) = 0 v ( …-…) = 0

x = …. v x = …. x = …. V x = ….. 2x = …. V x = ….

Jadi: HP = {….. , …. } HP = {….. , …. } HP = {….. , …. }

Atau dapat juga diselesaikan:

c. 2x2 - 5x - 3 = 0 2x2 - ….x + ….x -3 = 0 2x ( x - ….) + (…. -3 ) = 0 ( 2x + ….)( …. -3 ) = 0 2x + …. = 0 v …. – 3 = 0 x = ….. ….. = 3 , HP = {….. , …. }


Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggumakan pola perkalian dengan mengubah: ax2 + bx + c = 0 menjadi (… – p)(… –q) = 0 sehingga dapat dikatakan memiliki sifat factor nol dan dapat ditarik kesimpulan bahwa: (x – p) = …. atau (x – q) = …. Pola ini dikenal dengan menyelesaikan system persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, di mana nilai p dan q merupakan salah satu pasangan factor dari bilangan c.

Masalah 3 : Tentukan dan selesaikan bentuk : x2 -8 x + 15 = 0

Penyelesaian : x2 -8 x + 15 = 0 Pasangan faktor dari ( 15 ) yang jumlahnya ( -8 ) adalah p = ( …) dan q = (.. ) maka x2 -8 x + 15 = 0 dapat difaktorkan menjadi ( x - ….) (x - …. ) = 0

( x - …. ) = 0 v ( x - ….. ) = 0 x = …. x = …. Jadi HP = { …… , …… }

Masalah 4 : Tentukan Himpunan penyelesaian dari : x2 + 6 x + 2 = 0

Penyelesaian: x2 + 6x + 2 = 0 ternyata tidak terdapat pasangan factor dari 2 yang jumlahnya sama dengan 6, sehingga bentuk ini tidak dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan.

A.2.2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dg melengkapkan kuadrat sempurna

Ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan cara memfaktorkan, sehingga perlu ada cara lain guna menentukan Himpunan penyelesaiannya. Dengan mengingat sifat pemfaktoran : ( a b )2 = a2 2. a. b + b2 diskusikan masalah berikut ini !

Masalah 5 : Tentukan Himp. Penyelesaian dari bentuk : a. x2 + 6x +2 = 0 b. 2x2 + 8x + 1 = 0 Penyelesaian : a. x2 + 6x + 2 = 0 b. 2x2 + 8x + 1 = 0 + ( -2 ) + ( - 1 ) x2 + ….x = -2 …. x2 + … x = - (….) x ( ½ ) x2 + … x = - ½ ( x +3 )2 – (...)2 = -2 + ( ….2 ) ( x + …. )2 = -2 + …. ( x + ….. )2 – (…..)2 = - ½ ( x + …. )2 = …… + (….)2

( x + ….) = .... ( x + ….)2 = - ½ + (….)2

+ ( - ….) ( x + …. )2 = ……..

x2 + 6x + 32

xx

x2 + 4x + 22

xx

12

x = - (….) .... ( x + …. ) = ....

+ ( - ….)

x = - (….) ....

LKS-Mat.X-12


Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan pola pemfaktoran (kuadrat dua) dengan mengubah:

ax2 + bx + c = 0 menjadi ( x p )2 = 0 sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0 ( semua suku dibagi dengan a )

x2 + .....

..... cx

a = 0 ( semua ruas dikurangi dengan

a

c)

x2 + xa

..... = -

a

c

( x + ½ a

b )2 – (

a

....

2

1)2 = -

a

.....

( x + ½ a

b )2 = -

a

..... + (

a

....

2

1)2 dst ………………

A.2.3. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan dari bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a,b,c R

Dengan menggunakan kaidah pada melengkapkan kuadrat sempurna, maka rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0 ( semua suku dibagi dengan a )

x2 + .....

..... cx

a = 0 ( semua ruas dikurangi dengan

a

c)

x2 + xa

..... = -

a

c

( x + ½ a

b )2 – (

a

....

2

1)2 = -

a

.....

( x + a

b

2 )2 = -

a

..... + (

a

....

2

1)2

( x +....2

..... )2 =

2

.....

4

)(....4

a

bc

( x +....2

..... ) =

......

.....

.....

....)(...4

a

c =

2

.....

4

4

a

acb

x = - (....)2

(....)4

2

.... ab

a

b atau x =

(....)2

(...)(...)4.... bb

Dan selanjutnya: acb 42 dikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D )

Masalah 6 : Tentukan Himp. Penyelesaian dari: a. x2 + 8x +2 = 0 b. 2x2 - 10x + 5 = 0

Penyelesaian : a. x2 + 8x +2 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = …….

X1,2 = a

acbb

2

42 sehingga : acb 42 = (...)(...)4....2

= ........... = ...... = 2 ......

X1,2 = (...)2

....2..... = ..........

Jadi HP = { .......... , .......... }

b. 2x2 - 10x + 5 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = …….

acb 42 = (...)(...)4....2

13

= ........... = ...... = 2 ......

X1,2 = (...)2

....2..... =

2

......... Jadi HP = {

2

......... }

LKS-Mat.X-13

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan

memfaktorkan! a. x2 – 5x + 6 = 0 b. 3x2 +8x + 4 = 0 c. ( x + 3)2 -6( x + 3) + 8 = 0

2. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan kuadrat sempurna! a. x2 -6x + 4 = 0 b. 2x2 + 8x -1 = 0 c. 9x2 + 6x – 4 = 0

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus kuadrat!

a. 4x2 - 7x + 2 = 0 b. 3x2 – 8x = 4 c. 1

12

3

2

2

1

x

x

xx

A.3. JENIS-JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Telah dijelaskan bahwa dari cara menentukan Himpunan Penyelesaian persamaan

kuadrat dengan cara rumus kuadrat, didapat bentuk: acb 42 dikenal sebagai

diskriminan persamaan kuadrat ( D ) Dan dengan melakukan identifikasi nilai D (diskriminan) nya, maka dapat disimpulkan jenis-jenis akar persamaan kuadrat (HP) nya, sebagai berikut:

1. Jika D > 0 (positif) maka bentuk D memiliki nilai ganda sbb: D dan D

sehingga: Akar-akarnya : x = a

Db

2

dan x =

a

Db

2

Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan berbeda (berlainan).

2. Jika D = 0 (positif) maka bentuk D memiliki nilai ……. sehingga:

Akar-akarnya : x1 , 2 = a

b

2

Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan sama (kembar)

3. Jika D < 0 (negatif) maka bentuk D memiliki nilai yang tidak real ( Imajiner )

sehingga akar-akarnya : tidak ada yang real

Jadi akar-akarnya Bilangan Khayal / Imajiner. Masalah 7 : Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini: a. 2x2 -5x + 1 = 0 b. 5x2 + 2x + 4 = 0

Penyelesaian : a. 2x2 -5x + 1 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = ……. Sehingga : D = b2 – 4 a c = ….2 – 4.(….).(….) = ….. - ….. = …… > 0 Akar-akarnya Real dan berbeda. b. 5x2 + 2x + 4 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = ……. Sehingga : D = b2 – 4 a c = ….2 – 4.(….).(….) = ….. - ….. = …… < 0 Akar-akarnya …………….

Masalah 8 : Tentukan nilai p jika px2 -4x + 3 = 0 mempunyaiakar-akar yang sama.

Penyelesaian : px2 -4x + 3 = 0 maka a = …. , b = ….. dan c = …… Syarat akar-akar sama/kembar adalah : D = 0 D = b2 – 4 a c = ….2 – 4.(….).(….) = 0

16 = 12 ….. p = .....

..... =

.....

.....

A.4. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Pada bagian terdahulu telah didefinisikan bentuk umum persn kuadrat: ax2 + bx + c = 0

14

Dan salah satu cara menentukan himpunan penyelesaiannya adalah memfaktorkan

sehingga didapat bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 dimana dan dikenal sebagai

akar-akar persamaan kuadrat.

LKS-Mat.X-14

Diskusikan dengan kelompok belajar anda korelasi (hubungan) antara bentuk:

ax2 + bx + c = 0 dengan ( x - ) ( x - ) = 0.

Ambil bentuk: ( x - ) ( x - ) = 0 dan ax2 + bx + c = 0

: ( a )

x…. - x – (….) x + (….)(….) = 0 x2 + ........... x +

......c = 0

(….)2 – ( …. + …. ) x + (….)(….) = 0

Jika ke dua bentuk terakhir dikorelasikan akan didapat kesepadanan sebagai berikut:

(…)2 – (…+…) x + (…)(…) = 0

x2 + ....

.... x +

.....

c = 0


1. – ( …. + …. ) = a

.... …. + …. =

a

.... ( Jumlah akar-akar persamaan kuadrat)

2. (…..)(…..) = .....

c …. ….. =

.....

c (Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat)

Masalah 9 :

Tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut ini: a. 3x2 - 4x – 6 = 0 b. -2x2 + 3x – 1 = 0

Penyelesaian : Missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q.

a. 3x2 - 4x – 6 = 0 maka a = ….. , b = …… , c = …… sehingga:

p + q = 3

.....

a

b dan p.q =

.....

6

a

c

b. -2x2 + 3x – 1 = 0 maka a = ….. , b = ….. , c = …… sehingga:

p + q = )2(

.....

a

b dan p.q =

.....

.....

a

c

Masalah 10 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 -9x + 4 = 0 adalah …………. Penyelesaian :

3x2 -9x + 4 = 0 , missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q, maka nilai: qp11

a = …… , b = ..… dan c = ….. maka p + q = ....

.... dan p.q =

....

.... sehingga:

qp11 =

)(....)(............. =

........

........


1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

a. x2 -6x + 4 = 0 b. 2x2 + 8x -1 = 0 c. 9x2 + 6x – 4 = 0

2. Tentukan nilai dari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini:

a. x2 – 5x + 6 = 0 b. 3x2 +8x + 4 = 0 c. ( x + 3)2 -6( x + 3) + 8 = 0

3. Jika p dan q akar-akar persamaan x2 -7x + 2 = 0 maka tentukan nilai dari:

a. p

q

q

p b. p2 + q2 c.

pq11

4. Persamaan x2 -8x + k = 0 mempunyai akar-akar yang memiliki perbandingan 3 : 1, maka nilai dari k adalah ……….

15

5. Persamaan kuadrat x2 + (m -3)x + m = 0 mempunyai akar-akar dan . Jika

nilai dari 211

maka nilai m yang paling tepat adalah ……….

LKS-Mat.X-15

A.5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU.

Suatu persamaan kuadrat dapat disusun berdasarkan beberapa informasi yang diberikan, dan sebelum anda mempelajari materi ini sebaiknya anda mengingat kembali beberapa cara menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat serta konsep tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

A.5.1. Menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadratnya.

Pada cara menentukan HP suatu persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan

didapat: bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 dimana dan dikenal sebagai

akar-akar persamaan kuadrat.

Masalah 11 :

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :

a. -3 dan 5 b. (1 - 3 ) dan (1 + 3 )

Penyelesaian :

a. ( x - ) ( x - ) = 0 b. ( x - ) ( x - ) = 0

( x – (- …) (x - ….) = 0 [ x – (1- …)] [(x – (1+ ….)] = 0

x2 + …. x - …. x - ….. = 0 x2 - (1 - …)x –(1 + ….)x + (1-…)(1+…) = 0

x2 + …. x - ….. = 0 x2 - ….. x + …… = 0

A.5.2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadratnya.

Bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 jika dijabarkan sebagaimana bagian terdahulu akan

didapat bentuk: x2 - )( x + . = 0 sehingga teori ini dapat digunakan

untuk menyusun persaman kuadrat baru.

Masalah 12 :

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : -3 dan 5

Penyelesaian: Jika akar-akar persamaan kuadratnya: = -3 dan = 5 maka

)( = …. + ….. = …… dan . = (….)(….) = …..

Sehingga : x2 - )( x + . = 0

x2 – (…..) x + …… = 0

Masalah 13 :

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan x2 +8x + 10 = 0 Penyelesaian : Missal akar-akar dari x2 +8x + 10 = 0 adalah p dan q maka: p + q = …… dan p.q = …… Persamaan kuadrat baru akar-akarnya : 2 p dan 2 q sehingga didapat: 2 p + 2 q = 2 ( …. + q ) = 2 (…..) dan 2 p . 2 q = (…..) p.q = (….)(…..) = ……. Sehingga PKd baru adalah : x2 – (+ akar baru) x + ( hasil kali akarbaru) = 0 x2 – (…..) x + ……. = 0


1. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya di bawah ini adalah: a. -2 dan 5 b. ½ dan -3 c. 7 dan - ¼

2. Jika akar-akar persamaan 2x2 - x + 3 = 0 adalah p dan q maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sebagaimana tersebut di bawah ini adalah:

a. 2p dan 2q b. ( p – 1 ) dan ( q – 1) c. p3

1 dan q3

1

3. Persamaan kuadrat yg akar-akarnya kebalikan dari persamaan: 2x2-3x+5=0 adalah …

16

4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2

1p

dan 2

1q

jika diketahui

bahwa p dan q akar-akar dari persamaan 2x2 – 5x + 2 = 0

5. Jika akar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 adalah x1 dan x2 , sedangkan akar-akar persamaan x2 + 10x – 16 p = 0 adalah 3x1 dan 4x2, maka nilai p adalah ........

LKS-Mat.X-16


1. Nilai x yang memenuhi persamaan: 3x2 +x -2 = 0 adalah ....... a. 2 v 1 b. 2/3 v 2 c. 2/3 v 1 d. -2/3 v 2 e. -2/3 v 1

2. Salah satu akar persamaan kuadrat 2(x +1)2 = (x +1)2 +2(2x +3) -3 adalah .......

a. 1 + 2 b. 1 - 2 c. -1 - 2 d. 1 e. 2

3. Persamaan: x2 +mx -1 = 0 akan mempunyai akar kembar jika nilai m adalah ....... a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2

4. Persamaan kuadrat x2 +4x -5 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (x – a)2 = b, maka nilai a dan b yang tepat adalah .......

a. 2 dan 9 b. -2 dan 9 c. 2 dan -9 d. 2 dan 1 e. -2 dan 1

5. Persamaan kuadrat berikut ini yang mempunyai akar kembar adalah ....... a. x2+2x +2 = 0 b. 2x2+x +2 = 0 c. 4x2+4x +1 = 0 d. x2+x +1 = 0 e. x2-4 = 0

6. Jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2 -12x -2 = 0 adalah ....... a. 12 b. 4 c. 3 d. 2/3 e. -2

7. Hasil kali akar-akar persamaan ax2-(3a +1)x + 2(a -1) = 0 adalah sama dengan jumlah akar-akarnya, maka nilai a = ..........

a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3

8. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar – ½ dan 3/2 adalah ....... a. 2x2-x +3 = 0 b. 2x2-x -3 = 0 c. 4x2+4x +3 = 0 d. 4x2-4x +3 = 0 e. 4x2-4x -3 = 0

9. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar 2 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2-7x + 3 = 0 adalah .......

a. 2x2+x +3 = 0 b. 2x2-x +3 = 0 c. 2x2+ x +3 = 0 d. 2x2-x -3 = 0 e. -2x2+x +3 = 0

10. Diketahui dua buah bilangan yang jumlahnya 3/2 dan hail kalinya ½ , maka selisih dua bilangan tersebut adalah .......

a. – ½ b. ¼ c. 1 d. 2 e. 4 11. Himpunan penyelesaian dari: x2 – 5x + 6 = 0 adalah …….

a. (-2, 3) b. (2, 3) c. (2, -3) d. (-2, -3) e. (-3, 2)

12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 1 = 4x adalah …….

a. khayal b. kompleks c. nyata dan sama d. nyata dan irasional e. nyata

13. Persamaan kuadrat x2 –ax + a = 0 mempunyai akar kembar jika nilai a = ……

a. 0 b. 4 c. 0 atau 4 d. 0 atau -4 e. -4 atau 4

14. Supaya persamaan kuadrat (p-2)x2 + 5x – 2 = 0 mempunyai akar khayal maka nilai p

adalah ……

a. p < - 89 b. p < -

38 c. p <

89 d. p <

38 e. p <

841

15. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 + (a +1)x + (3a + 2) = 0 adalah 5 maka akar

yang lainnya adalah

a. -4 b. -3 c. -2 d. 2 e. 4

16. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 25 dan -

23 adalah ………………

a. 4x2 +4x + 15 = 0 c. 4x2 -4x - 15 = 0 e. 4x2 -15x - 4 = 0

b. 4x2 +4x - 15 = 0 d. 4x2 -4x + 15 = 0

17. Dari persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0 dengan akar-akar p dan q, maka nilai p2 + q2=

17

a. 25 b. 33 c. 23 d. 17 e. 35

18. Selisih akar-akar persamaan x2 + 2x – a = 0 adalah 8 maka nilai a = …….

a. 15 b. -15 c. 15 atau -15 d. 17 e. -17

LKS-Mat.X-17

19. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 2x2 +6x -5 = 0

adalah …..

a. 2x2 – x – 5 = 0 c. 2x2 – 2x – 7 = 0 e. 2x2 – x – 7 = 0

b. 2x2 + 2x + 7 = 0 d. 2x2 + 2x – 7 = 07

20. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 kali dari akar-akar persamaan kuadrat

10x2 + 11x – 6 = 0 adalah ………………..

a. 10x2 + 22x – 12 = 0 c. 5x2 + 2

11 x – 3 = 0 e. 5x2 + 11x – 12 = 0

b. 20x2 + 44x – 48 = 0 d. 5x2 + 11x – 24 = 0

B. Jawab dengan tepat dan benar !

01. Tentukan himpunan penyelesaian dari: a. 2x2 +7x+ 6 = 0 b. –x2 +8x-6 = 0 c. x2 +6x-5 = 0 02. Tentukan nilai a jika persamaan kuadrat di bawah ini memiliki akar-akar yang Real dan

sama!

a. 2x2 + (a +1)x + a – 1 = 0 b. x2 -a

16x + 1 = 0

03. Tentukan persamaan kuadrat yang : a. akar-akarnya - ½ dan 3 b. akar-akarnya 2 kurangnya dari akar- akar persamaan: x2 -3x + 2 = 0 04. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 –x – 2 = 0 adalah p dan q.

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

a. p

1 dan

q

1 b.

q

p dan

p

q

18

LKS-Mat.X-18

B. FUNGSI KUADRAT.

Kompetensi Dasar : 1.4. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, dan fungsi kuadrat.

1.5. Merancang model matematika yang berkaitan persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.


1.4.1. mengidentifikasi komponen-komponen grafik fungsi kuadrat. 1.4.2. Melakukan manipulasi aljabar tentang akar-akar persamaan kuadrat dengan

melengkapkan bentuk kuadrat. 1.4.3. Menganalisis dan menentukan komponen fungsi kuadrat dengan menggunakan

cara melengkapkan bentuk kuadrat, serta menentukan fungsi kuadrat dengan ketentuan tertentu.

1.4.4. Mengaplikasikan konsep persamaan dan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.

. Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP). 2. Persamaan kuadrat, Diskriminan dan Jumlah / hasil kali akar-akar persa-

maan kuadrat. B.1. FUNGSI KUADRAT.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut fungsi kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Definisi: Fungsi f : R R yang didefinisikan f(x) = ax2 – bx + c, untuk a, b, c R; a 0 disebut dengan fungsi kuadrat.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini:

Masalah 14 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = x2 - x -2

Penyelesaian : f(x) = x2 + 4x - 5 biasa dinyatakan ke dalam y = x2 + 3x - 4

Sebagaimana telah anda pelajari saat SLTP , dapat anda gunakan beberapa titik menguntungkan sbb:

x ….. -3 -2 -1 0 1 2 3 …..

y ….. ….. 4 ….. -2 ….. ….. 4 …..

Pasangan titik tersebut tempatkan pada salib sumbu kartesius dan hubungkan dengan garis sehingga akan terbentuk grafik. y x -1 2 titik potong pada sumbu x (titik potong pada sumbu y) -2

( ½ , 25 ) Puncak/titik balik

Nampak bahwa grafik fungsi kuadrat merupakan bentuk kurva parabola.

Masalah 15 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai: a. f(x) = ½ x2 b. f(x) = ½ (x – 2)2 c. f(x) = ½ (x – 2)2 + 3

Penyelesaian : a. f(x) = ½ x2 b. f(x) = ½ (x – 2)2 c. f(x) = ½ (x – 2)2 + 3

19

x f(x) x f(x) x f(x)

-2 2 0 …. 0 ….

0 …. 2 …. 2 3

2 …. 4 2 4 ….

LKS-Mat.X-19

5 2 2

-2 2 0 2 4 0 2 4

Dari garfik di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik fungsi f(x) = ½ (x – 2)2 + 3 diperoleh dengan cara mengeser grafik f(x) = ½ x2 sejauh 2 ke arah kanan sehingga menjadi grafik fungsi dari f(x) = ½ (x – 2)2 dan selanjutnya mengesernya sejauh 3 keatas, dimana factor gesernya merupakan koordinat titik puncak/balik kurva yaitu: ( 2 ,3 )

Secara umum dapat disimpulkan bahwa fungsi kuadrat : f(x) = a ( x – h )2 + k dengan ( h , k ) disebut titik puncak/balik.

B.2. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT.

Grafik fungsi f(x) = a (x –h)2 +k ,a 0 memiliki koordinat titik puncak/balik adalah (.…, ….) Sehingga sumbu simetrinya x = h dan nilai balik maksimum/minimumnya f(h) = k di mana, jika a < 0 merupakan titik balik maksimum dan jika a > 0 merupakan titik balik minimum.

Masalah 16 :

Diskusikan dengan kelompok anda dapatkah bentuk y = ax2–bx +c, untuk a,b,cR ; a 0 Kita ubah menjadi bentuk: y = a ( x – h )2 + k , a 0

Penyelesaian :

y = ax2 – bx + c y - …. = ax2 – bx xa

xy ....

.....

.... .....

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna didapat bentuk:

2

2.....

2

2

4

....

4.....

....

a

bx

ax

a

by

......

2

2

(...)4.....

....

a

bx

a

by (masing-masing ruas dikurangi

2

2

4a

b)

.....

2......

4(...).....

....

a

b

a

bx

y

(masing-masing ruas dikalikan a)

.....

2

4

(...)

(...).....

a

b

a

bxay

(masing-masing ruas ditambah c)

......4

(...)

(...) .....

2......

a

b

a

bxay

a

acb

a

bxay

4

4

(...)

..........

20

Jika dibandingkan dengan bentuk y = a ( x – h )2 + k terlihat bahwa fungsi kuadrat

tersebut di atas memiliki sumbu simetri: x = a

b

2 dan titik puncak (balik) adalah

a

D

a

b

4,

2 , perlu diingat bahwa Diskriminan persamaan kuadrat D = b2 – 4ac

LKS-Mat.X-20


Berdasar pada uraian di atas maka untuk fungsi kuadrat y = ax2 – bx + c model grafik fungsi (kurva) nya dapat diidentifikasikan menurut beberapa komponen/unsur pembentuk nya, sbb:

1. Titik potong kurva dengan sumbu koordinat, yaitu: a. memotong sumbu x untuk y = ….: ax2 – bx + c = 0 (merupakan persamaan kuadrat) ,sehingga titik potongnya merupakan Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat. Dengan syarat D 0. b. memotong sumbu y untuk x = ….. sehingga didapat titik potong ( 0, ….. )

2. Persamaan sumbu imetri, yaitu: x = (....)2

....

3. Nilai titik balik atau nilai maksimum / minimum, yaitu: y = (....)4

D

4. Koordinat titik balik, yaitu :

aa 4

.....,

2

.....

5. Jenis titik balik ditentukan oleh nilai a (koefisien dari x2 ) , yaitu: a. jika a > 0, maka kurva terbuka ke ………. dan titik baliknya ……………. b. Jika a < 0, maka kurva terbuka ke bawah dan titik baliknya ……………..

6. Range, ditentukan oleh:

a. Jika a > 0 maka Range =

a

Dyy

4/

b. Jika a < 0 maka Range =

a

Dyy

4/

Masalah 17 :

Buatlah sketsa grafik fungsi y = 2x2 -x - 6

Penyelesaian : Sketsa grafik fungsi y = 2x2 -x – 6 dapat ditentukan dengan menemukan beberap unsur

pembentuknya, sebagai berikut: a) Titik potong pada sumbu koordinat: a. memotong sumbu x y = 0 didapat : 2x2 -x – 6 = 0 (2x + ….)(x - ….. ) = 0 (2x + ….) = 0 v ( x - …. ) = 0 2x = ….. x = …… x = …... didapat pasangan titik potong ( ….., 0 ) dan ( ….. , 0 ) b. memotong sumbu y x = 0 didapat : y = 2.02 - … - 6 = …… didapat pasangan titik potong ( 0 , …. )

b) Persamaan sumbu simetri: x = 4

.....

(....)2

.....

2

a

b

c) Nilai balik : D = b2 – 4ac = (….)2 – 4.2.(- ….) = …… - …… = ……

Jadi nilai baliknya adalah :

(....)4

.....

4a

Dy

....

....

d) Koordinat titik balik : ( ….. , …… ) e) Sketsa grafik/kurvanya, adalah :

21

-23 ¼ 2

837

LKS-Mat.X-21

Masalah 18 :

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = -1 dan grafiknya melalui titik (1, 4), memotong sumbu y di titik ……………………

Penyelesaian :

Bentuk kuadrat : y = a ( x – h )2 + k maka y = a ( x – ( - ….))2 + 2

Grafik melalui : (1, 4) 4 = a ( …. + …. )2 + 2 a = …..

Didapat : y = ½ ( x + 1)2 + …. Memotong sumbu y x = 0 didapat y = …..

Jadi titik potong pada sumbu y adalah ( ….. , ……)


Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

1. y = x2 -4x + 5 6. Titik balik ( 2, 1 0 dan melalui titik ( 5, 19)

2. y = -3x2 + 4x -1 7. Persamaan sumbu simetri x = -3, a = 1 melalui (-2, 8)

3. y = -x2 + 2x – 4 8. Persamaan sumbu simetri x = -1 dan melalui ( 1, -5) ,

(-2, 1)

4. y = 2x2 – 4x + 2 9. Melalui titik (2, 0) , (6, 0) dan ( 4, 5 )

5. y = -5 + 6x- x2 10. Melalui titik ( -2, 0 ) , ( 9, 0 ) dan ( 3, 7)

B.3. BEBERAPA MASLAH KEHIDUPAN SEHARI-HARI TERKAIT FUNGSI KUADRAT.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini:

Masalah 19 :

PQRS adalah suatu persegi panjang yang panjangnya x cm dan lebarnya (8 – x) cm, Jika fungsi L(x) menyatakan luas PQRS maka : a. Nyatakan arumus luas dalam fungsi L !

b. Htung luas maksimum PQRS dan ukuran-ukuran yang memenuhi !

Penyelesaian :

a. L(x) = panjang x lebar = …. ( 8 - …. ) sehingga fungsi L(x) = x ( 8 - …) = ... x - …..2

b. L(x) maksimum =(....)4

D=

....)(4

0....).(4(....2

= .......

......

......

, untuk x = ........

(....)2

.....

Jadi Luas maksimumnya = …… untuk panjang = …… dan lebar = (8 - ….. ) = …… Masalah 20 :

Tinggi suatu lemparan setelah t detik diwakili oleh fungsi h(t) yang didefinisikan :

h(t) = 30t -5t2 untuk 0 t 6 , t bilangan real.

Jika satuan tinggi dalam meter, sketsalah grafik fungsi h, berdasarkan kurva tersebut Tentukan : a. Tinggi maksimum yang ditempuh dan waktu yang diperlukan.

b. Selang waktu ketika tinggi lemparan di atas 30 meter

c. Tinggi lemparan pada saat t = 5,5 detik.

Penyelesaian :

a. h(t) = 30t -5t2

22

h maksimum = (....)4

D =

....)(4

0....).(4(....2

= .......

......

......

untuk t = ........(....)2

.....

Jadi tinggi maksimumnya adalah …… m terjadi pada saat t = ….. detik.

LKS-Mat.X-22

b. Untuk h(t) = 30 maka: 30t -5t2 = 30 5t2 - …. t + …. = 0 (dibagi 5)

t2 - ….t + …. = 0

t1 = 3 - ….. dan t2 = ….. + 3

Jadi tinggi lemparan di atas 30 meter terjadi dalam selang waktu:

3 - …… < t < ….. + 3

c. Untuk t = 5,5 detik h(5,5) = 30(…..) – 5 ( ….. )2 = ….. - …… = ……

Jadi tinggi lemparan saat t = 5,5 detik adalah ……… meter.


1. Sebuah partikel ditembakan secara vertical ke atas dengan kecepatan mula-mula Vo

meter/detik. Dalam waktu t detik jarak s meter didefinisikan s = Vo t – 16 t2 .

Jika kecepatan partikel mula-mula 12 m/det, maka tentukan :

a. jarak setelah 2, 3 dan 5 detik

b. kapan partikel berada pada 192 meter di atas titik awal.

2. Jumlah dua bilangan asli sama dengan 16, tentukan masing-masing bilangan terse-

but jika hasil kalinya maksimum !

3. Sebuah kawat yang panjangnya 40 cm dipotong menjadi dua bagian.

Masing-masing bagian kawat tersebut dibuat persegi.

Tentukan panjang potongan kawat masing-masing agar jumlah luas persegi tersebut

minimum.

4. Dua bilangan jumlahnya 30, jika salah satu bilangan itu adalah x, maka Tentukan:

a. Bilangan ke-dua dinyatakan dalam x.

b. Hasil kali ke-dua bilangan itu dinyatakan dalam x.

5. Sebuah pagar kawat panjangnya 120 m, akan dipakai untuk pagar sebuah kandang

ayam. Kandang ayam yang akan dibuat berbentuk persegi panjang dengan

memanfaatkan pagar tembok sebagai salah satu batasnya.

Tentukan luas maksimum kandang yang dapat dibuat !


01. Fungsi kuadrat f(x) = x2 +4x -12 memotong sumbu x dengan absis .......... a. -6 v 2 b. -6 v -2 c. 6 v -2 d. 6 v 2 e. 3 v 4

02. Fungsi kuadrat yang melalui titik (-1, 8) , (2, -1) dan (3, 4) adalah ....... a. y = 2x2 – x +1 c. y = 2x2 –5x +1 e. y = 2x2 –5x -1 b. y = x2 –5x +1 d. y = 2x2 +5x +1

03. Luas maksimum dari suatu persegi panjang yang kelilingnya 64 meter adalah .......... a. 256m2 b. 246m2 c. 236m2 d. 226m2 e. 216m2

23

04. Suatu taman berbentuk persegi panjang dengan panjang : lebar = 3 : 2. Jika luas taman 27 satuan luas, maka ukuran panjangnya adalah ..........

a. 22

12 b. 2

2

9 c. 2

2

4 d. 2

2

3 e. 2

2

1

05. Hasil kali dua bilangan positif adalah 140. Jika bilangan pertama satu kurangnya dari tiga kali bilangan ke-dua, maka selisih ke-dua bilangan itu adalah ................

a. 31 b. 20 c. 13 d. 10 e. 7

LKS-Mat.X-23

06. Titik balik parabola y = -3x2 -18x + 2 adalah ................ a. (-3, 19) b. (-3, 29) c. (-3, 23) d. (3, 27) e. (3, 29) 07. Fungsi kuadrat yang melalui titik (0, 2) dan (-1, 0) dengan sumbu simetri garis x = ½

adalah ................ a. y = -x2 + x +2 c. y = 2 – x –x2 e. y = -x2 +x -2 b. y = x2 +x -2 d. y = x2 -x +2 08. Fungsi f(x) = (2x + p)2 + q mempunyai titik balik minimum (-1, 3) maka nilai p + q sama

dengan ................ a. 2 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 09. Nilai minimum grafik fungsi f(x) = ax2 -2x + 8 adalah 5, maka nilai 6a = ................ a. 1 b. 2 c. 4 d. 9 e. 12 10. Sebuah batu dilempar tegak ke atas dengan kecepatan awal 30 m/det, mencapai

ketinggian (at -5t2) meter, maka waktu t yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi h maksimum berturut-turut adalah ................

a. 2 detik dan 43 meter c. 3 detik dan 42 meter e. 4 detik dan 43 meter b. 2 detik dan 45 meter d. 3 detik dan 45 meter

B. Jawab dengan tepat dan benar !

01. Tentukan hasil terbesar dari suatu perkalian dua bilangan bulat yang berjumlah 22 dan tentukan pula bilangan-bilangan tersebut!

02. Tentukan persaman fungsi kuadrat, jika diketahui titik baliknya (-3, 1) dan melalui titik (-5, 2)!

03. Tentukan persamaan fungsi kuadrat jika fungsi tersebut melalui titik (-5, 0) , (3, 0) dan (0, 5)!

04. Suatu benda bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O yang ditentukan oleh

rumus S = 4t –t2 + 12, di mana jarak S meter dan waktu t detik. Tentukan: a. Jumlah jarak yang dilalui benda itu dalam waktu 6 detik pertama. b. Jarak yang dilalui benda tersebut dalam detik yang ke-enam.

05. Gambar di samping adalah bentuk penampang sebuah Q Meja. Bangun PRST adalah persegi dan PQR adalah x m Segitiga siku-siku di Q. Jika jumlah panjang PQ dan P R QR adalah 6 meter dan L(x) mewakili fungsi luas PQRST serta QR = x meter, maka: a. Nyatakan fungsi L(x) dalam bentuk fungsi kuadrat. b. Ukuran sisi-sisi PQRST jika luasnya minimum.

T S

-------------ooooo000000ooooo------------

24

LKS-Mat.X-24

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR

Menurut anda materi belajar tentang persamaan dan fungsi kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut):

Menyenangkan 1 2 3 4 5 Membosankan

Bermanfaat 1 2 3 4 5 Tidak Bermanfaat

Menarik 1 2 3 4 5 Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari 1 2 3 4 5 Tidak perlu dipelajari

Menantang 1 2 3 4 5 Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar

luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-

hari 1 2 3 4 5

Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah

sehari-hari

Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat

siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik

minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

25

Standar Kompetensi :

Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidak samaan satu variable, logika matematika.

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR.

Kompetensi Dasar : 1.6. Menggunakan sifat dan aturan sistem persamaan linear dan kuadrat dalam pemecah- cahan masalah.

1.7. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan sistem persamaan.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat : 1.6.1. Menentukan penyelesaian tentang sistem persamaan linear dua variabel.

1.7.1. Mendikusikan dengan kelompoknya untuk menyelesaikan soal-soal dan manipulasi masalah yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variable, sistem persamaan linear-kuadrat dua variable, dan sistem persamaan kuadrat dua variabel.

Prasyarat : 1. Persamaan dan fungsi linier. 2. Operasi hitung Aljabar.

A.1. Sistem Persamaan linier dua variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear dua variable diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Bentuk Umum : Sistem persamaan linear dua variable ditulis sebagai berikut :

cybxa

cybxa

22

11

dengan a1,2 , b1,2 , c1,2 R

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Himpunan Penyelesaian sistem persamaan berikut ini:

Masalah 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari

1232

72

yx

yx

Penyelesaian:

1232

72

yx

yx

a. Titik potong pada sumbu x didapat jika y = 0

Untuk : x + 2y = 7 maka x + 2 (….) = …. x = … didapat titik ( … , … )

2x + 3y = 12 maka 2x + 3 (….) = …. 2x = …

x = … didapat titik (…. , … )

b. Titik potong pada sumbu y syarat x = 0

Untuk : x + 2y = 7 maka …. + 2 y = …. y = … didapat titik ( … , … )

2x + 3y = 12 maka 2 (…) + 3y = …. 3y = …

y = … didapat titik (…. , … )

c. Sketsa grafiknya adalah : Y (Buatlah garis yang didapat- dari penyelesaian a dan b untuk melengkapi grafik di- samping)

4 3,5 HP X

26

6 7

Penarikan Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan salah satu cara yang dikenal dengan metode grafik fungsi.

Masalah 2:


1232

72

yx

yx

LKS-Mat.X-25

LKS-Mat.X-26

Penyelesaian :

)2.........1232

)1............72

yx

yx , ambil salah satu persamaan yang paling sederhana:

1) ……… x + 2y = 7 x = 7 - …..

Masukan (substitusikan) x = 7 - ….. ke dalam persamaan 2) sehingga didapat :

2) 2x + 3y = 12

2( …. - …. ) + 3y = 12

…… - 4 (…) + … = 12

(-4 + … ) y = 12 - …. y = .....

..... = …….

Bentuk y = …… disubstitusikan pada x = 7 - ……. sehingga didapat :

x = 7 - ….. x = ……

Jadi Himpunan Penyelesaiannya , HP = { …, …}


Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode substitusi dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama.

Masalah 3:


1232

72

yx

yx

Penyelesaian:

1232

72

yx

yx , eleminasi ( hilangkan ) variabel x dengan cara menyamakan

koefisien, yakni :

1332

1442

1

2

1332

72

yx

yx

x

x

yx

yx

----------------------- - y = ……

1232

72

yx

yx , eliminasi ( hilangkan ) variabel y dengan cara menyamakan

menyamakan koefisien, yakni :

..........

...........

....

....

1332

72

yx

yx

x

x

yx

yx

----------------------- - … x = …… x = ……

Jadi HP = {(… , …)}


Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode eleminasi dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama.

Masalah 4 :


1232

72

yx

yx

27

Penyelesaian:

1232

72

yx

yx , eleminasi variabel x dengan cara menyamakan

koefisiennya, yakni: 1332

..........

1

2

1332

72

yx

yx

x

x

yx

yx

----------------------- - y = …

substitusikan y = ….... ke salah satu persamaan, missal : x + 2y = 7

x + 2 . … = 7 x = ……

Jadi HP. = {( … , …)}

LKS-Mat.X-27

Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode gabungan (eleminasi dan substitusi) dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa: A. Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan metode

grafik :

1.

82

62

yx

yx 2.

2

42

yx

yx 3.

63

0842

yx

yx

B. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode substitusi :

1.

113

72

yx

yx 2.

13

52

yx

yx 3.

02352

02443

yx

yx

C. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi :

1.

743

2052

yx

yx 2.

92

62

yx

yx 3.

265

1443

yx

yx

D. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

1.a.

123

42

yx

yx b.

432

1343

ba

ba c.

12

1

3

12

25

32

3

2

yx

yx

2. a.

02152

07311

yx

yx b.

)3(5

)1(21

yxyx

yx c.

xyyx

xyyx

749

312

3. a.

713

1232

yx

yx b.

646

134

yx

yx c.

527

956

yx

yx

PETUNJUK soal nomor 3 : misalkan ax

1dan b

y

1

A.2. Sistem Persamaan Linear tiga variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear tiga variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Bentuk umum : Sistem persamaan dengan tiga variable dinyatakan dengan :

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

, dengan a1,1,2 , b1,2,3 , c1,2,3 , dan d1,2,3 R

28

Diskusikan guna menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:

Masalah 5 :


132

62

6

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian:

)3132

)262

)16

zyx

zyx

zyx

, pilih salah satu persamaan yang paling sederhana :

LKS-Mat.X-28

persamaan 1) : x + y +z = 6 z = 6 - ……….

Masukan (substitusikan) z = …. ke dalam persamaan 2) dan 3) sehingga didapat :

2) x + 2y - ( ………….) = 6 2x + …. = …. ------------ 4)

3) 2x – 3y + ( ………….) = 1 x – …. = ….. ------------ 5)

Dari persamaan 5) x - …. = .… x = .…- .…

x = ….. disubstitusikan pada persamaan 4) sehingga didapat :

2 ( … - …) + 3y = 12 y = …

Substitusikan y = … ke 5) sehingga didapat x – 4 . … = 5 x = …..

Substitusikan x = … dan y = … ke 1) sehingga didapat ….+ …+ z = 6 z = …..

Jadi Himpunan Penyelesaiannya , HP = { (…, …, … )}

Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode substitusi.

Masalah 6 :


132

62

6

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian:

)3132

)262

)16

zyx

zyx

zyx

,ambil dua persamaan kemudian eleminasikan salah satu variable:

Dari pers. 1) dan 2) : x + y + z = 6

x +2y – z = 6 +

2x + …. = …... ----------4)

Dari pers. 2) dan 3) : x + 2y – z = 6

2x – 3y +z = 1 +

.…. – ….. = …... --------- 5)

Dari 4) dan 5) :

.........6

.........6

...

...

73

1232

x

x

x

x

yx

yx

….y = …. y = ……

substitusikan y = … ke 5) : 3x – …. = 7

x = …

substitusikan x = … , y = …. ke 1) : …. + …. + z = 6 z = ….

Jadi HP. = {(…, …, …. )}

29

Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode eleminasi dan substitusi (gabungan).


1. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode substitusi :

a.

632

82

532

zyx

zyx

zyx

b.

02

102

423

zyx

zyx

zyx

LKS-Mat.X-29

2. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode eleminasi :

a.

83

62

92

zyx

zyx

zyx

b.

4423

5634

852

zyx

zyx

zyx

c.

1024

23233

62

zyx

zyx

zyx

3. Selesaikan sistem persamaan berikut :

a.

2525

112

72

zx

zy

zyx

b.

7152

2412

3321

zyx

zyx

zyx

c.

2223

3212

7121

cba

cba

cba

A.3. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Bentuk umum :

rqxpxy

baxy2

, dengan a, b , p, q, r bilangan Real.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:

Masalah 7 :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari:

23

12 xxy

xy

Penyelesaian: Dengan menggunakan cara substitusi anda dapat menentukan himpunan penyelesaian

23

12 xxy

xy

sebagai berikut:

y = x – 1 y = x2 – 3x + 2

x - … = x2 – 2x + 2

x2 - ….. + ….. = 0

( x - …..) ( x - ….) = 0

x - …. = 0 v x - ….. = 0

x = ….. x = ……

Jadi HP = {(… , … )}

30


Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :

1.

2

32

xy

xy 3.

34

32 xxy

yx 5.

0652

12 yyxy

xy

2.

85

32 xxy

xy 4.

34

122 xxy

xy 6.

01246

016322 yxyx

yx

LKS-Mat.X-30

A.3. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan kuadrat dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Bentuk umum :

rqxpxy

cbxaxy2

2

, dengan a, b , c, p, q, r bilangan Real.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem persamaan berikut ini: Masalah 8 :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari:

xxy

xy

42 2

2

Penyelesaian:

=Dengan menggunakan cara substitusi anda dapat menentukan himpunan penyelesaian:

xxy

xy

42 2

2

sebagai berikut: y = x2 disubstitusikan pada y = 2x2 -4x sehingga didapat,

x2 = 2x2 - …….. x2 - ….. = 0 x ( …. – 4 ) = 0

x = …. v x - …. = 0 x = ……

Jadi HP = {(…. , .… )}

=Pada kondisi tertentu dapat digunakan cara eleminasi sehingga penyelesaian sebaga berikut:

xxy

xy

42 2

2

y = 2x2 - 4x

y = x2

-

0 = x2 - 4x

x2 - ….. = 0 x ( …. – 4 ) = 0

x = …. v x - …. = 0 x = …… , Jadi HP = {(… , … )}


Tentukan Himpunan Penyelesaiannya (jika ada) dari :

1.

2

2

1

1

xy

xy 3.

122

2

xxy

xy 5.

2

322

2

xxy

xxy

31

2.

232

2

xxy

xxy 4.

62

622

2

xxy

xxy


01. Himpunan penyelesaian dari system persamaan:

042

072

yx

yx adalah ……

a. {(1, 3)} b. {(3, -1)} c. {(3, 2)} d. {(4, -3)} e. {(2, -3)}

LKS-Mat.X-31

02. Himpunan penyelesaian dari system persamaan:

032

143

xy

yx adalah ……

a. {(31 ,

21 )} b. {(

31 ,

23 )} c. {(

21 ,

34 )} d. {(4 , 3)} e. {(2 , -3)}

03. Penyelesaian dari system persamaan:

01960105

0567530

yx

yx adalah x = …. dan y = …..

a. 52 dan

32 b.

51 dan

32 c.

51 dan

32 d.

52 dan

31 e.

51 dan

31

04. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

32

204

1823

zyx

zyx

zyx

a. 2, -5, -2 b. 2, 5, -2 c. -2, -5, 2 d. -2, -5, 2 e. 2, 5, 2

05. Himpunan penyelesaian system persamaan:

3

22

04

yx

zyx

zyx

, adalah ……..

a. 9, 4, -1 b. 6, -2, -1 c. 8, -2, 23 d.

23 , ½ , ½ e. 2, 2, 1

06. Diketahui sistem persamaan linier : ax + 3y = 2 dan 4x + 12y = 3 Sistem persamaan linier itu tidak mempunyai anggota dalam himpunan pnyelesaiannya, jika a = ...... a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6

07. Jika x dan y memenuhi persamaan linier :

323

52

yx

yx , maka nilai x + y = …….

a. -8 b. -6 c. 2 d. 4 e. 6 08. Absis titik potong grafik 5x – 6y = 15 dan 2x + 3y = 15 adalah ……… a. -5 b. -4 c. 0 d. 1 e. 5 09. Grafik dari x + 3y = 10 dan 2x – y = 6 berpotongan di titik (p, q). Maka pernyataan yang tepat di

bawah ini adalah ......... a. p = ½ q b. p = 2q c. p = q d. q = 2p e. p = 2-q

10. Diketahui {p, q} adalah himpunan penyelesaian dari:

ayx

yx

3

532 , Jika diketahui p + q =

3

8

dan p + 3q = 2 , maka nilai a yang tepat adalah ........

a. - 3

8 b. -

3

2 c. 0 d. 2 e. 6

B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar !

Selesaikan sistem persamaan di bawah ini:

32

a.

102

1332

yx

yx c.

75

4

2

3

25

3

2yx

yx

b.

32

132

1122

zyx

ayx

zyx

d.

311

011

311

zx

zy

yx

LKS-Mat.X-32

B. MODEL MATEMATIKA SUATU SISTEM PERSAMAAN.

Kompetensi Dasar : 1.8. Merancang model matematika yang berkaitan dengan system persamaan linier, menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat: 1.8.1. Mengaplikasikan konsep system persamaan linier dan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan model matematika yang menyangkut system persamaan linier dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang ditemui berbagai permasalahan yang pemecahannya memerlukan konsep system persamaan linier dan kuadrat . Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Penyelesaian permasalahan berikut ini:

Masalah 8 : Dua tahun yang lalu umur ayah sama dengan enam kali umur anaknya. Delapan belas tahun yang akan datang umur ayah sama dengan dua kali umur anaknya . Tentukan umur ayah dan anak saat ini !

Penyelesaian:

Missal: umur ayah sekarang = x dan umur anak sekarang = y maka dapat dibentuk model

sebagai berikut:

x - ….. = 6 ( y - …..)

x + …. = 2 ( …. + …. ) , dimana dapat diselesaikan dengan kaidah yang sama seperti

pada bagian (uraian) terdahulu, sebagai berikut:

x - ….. = 6 ( y - …..) x – (….) y = - …….

x + …. = 2 ( …. + …. ) x – (….) y = ……… - ……. = ……. y = ……. Nilai y = ……. , disubstitusikan pada salah satu persamaan missal : x – (….) y = .… x - 2 (….) = …. x = … Sehingga didapat umur ayah ( x ) = ….. dan umur anak ( y ) = …… Masalah 9 :

Diketahui tiga buah bilangan x , y , dan z . Jumlah ke-tiga bilangan itu adalah 75, bilangan pertama 5 lebihnya dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan ke-dua sama dengan ¼ dari jumlah bilangan yang lain, tentukan bilangan-bilangan yang dimaksud tersebut !

Penyelesaian:

33

Model matematikanya :

.....)(

..........

75.........

41 xy

yx

x

.........4

5..........

75.........

yx

x

x

)3...............

)2...............

)1..............

Dari pers. 1) dan 2) : x + y + z = 75

x - y – z = 5 +

2x = …. x = …….

Dari pers. 2) dan 3) : x - y – z = 5

x – 4y +z = 0 +

2x – …. = ….. ……… 4)

substitusikan x = …. ke 4) : 2(….) – …. = 0

5y = .....… y = …...

LKS-Mat.X-33

substitusikan x = …. , y = …. ke persm. 1/2/3) , missal 1) : …. + …. + z = 75

z = 75 – …. = …….

Jadi bilangan-bilangan tersebut adalah : ……. , …….. , dan ………


1. Pada suatu hari seorang ibu dan anaknya pergi ke pasar membeli mangga dan jeruk. Ibu membeli 2 Kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 10.500,- sedangkan anaknya membeli 3 Kg mangga dan 4 Kg jeruk dengan harga Rp. 23.250,-. Tentukan harga 1 kg mangga dan jeruk !

2. Keliling persegi panjang adalah 180 cm. Jika 3 kali panjangnya sama dengan 7 kali lebarnya, maka luas persegi panjang tersebut adalah …..

3. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + ax + by + c = 0 melalui titik (3, -1) , (5, 3) dan

(6, 2) Tentukan nilai a, b dan c kemudian tuliskan persamaan lingkarannya !

4. A dan B bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 12 hari. Jika A dan C bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 15 hari dan bila B dan C bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 20 hari.

Dalam berapa harikah masing-masing dapat meyelesaikan pekerjaan itu !

5. Diketahui tiga buah bilangan p, q, dan r. Rata-rata ke-tiga bilangan itu adalah 12, Bilangan p ditambah 14 sama dengan jumlah bilangan q dan r. Bilangan r sama dengan selisih bilangan q dan p. Tentukan bilangan-bilangan tersebut !

6. Ani,. Wati dan Wanda berbelanja di toko buah. Ani membeli 12 kg jeruk, 4 kg anggur dan 7 kg apel. Ani harus membayar Rp. 111.000,-. Wati membeli 5 kg jeruk, 3 kg angur dan 8 kg apel. Wati harus membayar Rp. 73.500,- sedangkan Wanda membeli 12 kg jeruk, 6 kg anggur dan 10 kg apel. Wanda harus membayar Rp. 138.000,-

a. Berapakah harga setiap kg untuk buah jeruk, anggur dan apel ?

b. Jika Anita membeli 3 kg jeruk, 4 kg anggur dan 7 kg apel, Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan ?

7. Sebuah penerbit membuat tiga buah buku yaitu Matematika X, XI dan XII sebanyak 15.000 eksemplar. Harga jual buku tersebut berturut-turut adalah Rp. 9.000,- , Rp. 10.000,- dan Rp. 9.500,- Penerimaan dari penjualan ketiga buku tersebut adalah Rp. 150.500.000,-

Jika jumlah buku Matematika XII yang dibuat sebanyak 4.000 eksemplar, maka jumlah buku yang lain masing-masing adalah ........

34


01. Suatu persegi panjang kelilingnya 60 m. Panjangnya 4 m lebih dari lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah …….. m2

a. 216 b. 221 c. 224 d. 228 e. 300

02. Jumlah dua bilangan adalah 80. Seperlima dari bilangan pertama sana dengan sepertiga dari bilangan ke dua. Bilangan-bilangan tersebut adalah ……..

a. 20 dan 60 b. 25 dan 55 c. 30 dan 50 d. 35 dan 45 e. 45 dan 55

03. Pembilang dan penyebut suatu pecahan berbanding 3 : 5 Dua kali pembilang ditambah empat kali penyebutnya sama dengan 208. Pecahan itu

adalah …..

a. 4024 b.

3024 c.

3430 d.

3440 e.

2440

04. Jumlah tiga bilangan adlah 10. Bilangan pertama 10 kurangnya dari bilangan ke dua. Dua kali jumlah bilangan pertama dan bilangan ke dua sama dengan tiga kali bilangan ke tiga.

Bilangan-bilangan tersebut adalah ………………. a. -2, 4, 8 b. 2, -8, 4 c. -2, 8, 4 d. 2, 12, 4 e. 4, 14, 4

LKS-Mat.X-34

05. Parabola y = ax2 +bx+ c melalui titik (-4, 20) ; (1, 5) dan (2, 20), Nilai a, b dan c yang memenuhi persamaan tersebut brturut-turut adalah …………

a. 3, 6, 4 b. 3, 6, -4 c. -3, -4, 6 d. 3, -6, -4 e. 6, 3, -4 06. Ibu membuat kue sebanyak 80 buah. Biaya untuk membuat kue donat sebesar Rp. 250.-

dan biaya untuk membuat kue lapis Rp. 150,-. Biaya yang dikeluarkan ibu untuk membuat kue adalah Rp. 17.000,- . Jumlah kue lapis yang dibuat ibu adalah …………

a. 20 b. 30 c. 40 d. 50 e. 60 07. Di sebuah took, Aprilia membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,-

Agus membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp. 9.500,-. Yanto juga membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga ......…………

a. Rp. 950,- b. Rp. 1.050,- c. Rp. 1.150,- d. Rp. 1.250,- e. Rp. 1.350,- 08. Sepuluh tahun yang lalu umur ayah enam kali umur adik. Lima tahun yang akan dating

jumlah umur ayah dan adik menjadi 72 tahun. Jika umur ibu empat tahun lebih muda daripada umur ayah, maka umur ibu sekarang adalah ……………

a. 32 b. 36 c. 40 d. 42 e. 48 09. Sekarang jumlah penduiduk desa A dan desa B adalah 3000 orang. Sepuluh tahun yang

lalu penduduk desa A adalah 200 kurangnya dari dua kali penduduk desa B. Selisih penduduk desa A dan B sekarang adalah …………

a. 750 b. 760 c. 800 d. 850 e. 860 10. Petugas laboratorium akan membuat 200 mililiter larutan asam berkadar 6 % dengan

mencampur jenis larutan asam dari kadar 10 % dan 4 %. Sistem persamaan linier yang dapat disusun dari informasi ini adalah …………

a.

1204

200

yx

yx c.

1204

200

yx

yx e.

12004

200

yx

yx

b.

6002

200

yx

yx d.

6002

200

yx

yx


01. Dua tahun yang lalu umur seorang ayah 6 kali umur anaknya. Dlam 18 tahun mendatang umur Ayah akan menjadi dua kali lipat umur anaknya. Berapakah umur mereka sekarang ?

02. Apabila pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 maka hasilnya

sama dengan ½ . Namun apabila pembilang ditambah 1 dan penyebutnya dikurangi 2

hailnya menjadi 5

3, Tentukan nilai pecahan tersebut?

35

03. Jumlah tiga buah bilangan adalah 45. Perbandingan jumlah bilangan pertama dan ke-dua

dengan bilangan ke-tiga 7

8, selisih bilangan pertama dan ke-dua adalah 8.

Tentukan ke-tiga bilangan tersebut !

=====oo0O0oo=====

LKS-Mat.X-35


Menurut anda materi belajar tentang persamaan dan fungsi kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut):






Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi

dengan masalah sehari-hari




36

Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.

A. PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL.

Kompetensi Dasar : 1.9. Menggunakan sifat dan aturan pertidaksamaan satu variabel dlm pemecahan masalah

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat: 1.9.1. Menentukan daerah himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan satu variabel yang memuat linier atau kuadrat dengan cara mencari informasi pada media interaktif /perpustakaan.

1.9.2. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan pertidaksamaan satu variabel yang memuat linier atau kuadrat dengan cara diskusi bersama kelompoknya.

Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat. 2. Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Definisi : Pertidak samaan adalah suatu kalimat matematika terbuka yang memuat

hubungan tanda hubung “ >, <, , atau “

A.1. Pertidaksamaan linier satu variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidaksamaan diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.


Masalah 1 : 3x – 5 > 5x – 9 untuk x R Penyelesaian: 3x – 5 > 5x – 9 +( 5 ) 3x -5 + .… > 5x - 9 + ….

3x > 5x - …..

- ( 5x ) 3x - …… > - ……

- ….. > - ……

X ( -1 ) ……. < ……..

: ( 2 ) x < ……..

Jadi HP = { x / x < …… , x R }

37

Masalah 2:

Selesaikan 22

1x

4

53 x untuk x R

Penyelesaian : 22

1x

4

53 x

X ( 4 )

2x + ….. …… + 5

- ( 8 )

……. 3x + 5 - ….

……. 3x - ….

- ( 3x )

2x -……. 3x - …. -3

- …… - 3

x ( -1 )

x ……

Jadi HP = { x / x …… , x R }

3 LKS-Mat.X-36

LKS-Mat.X-37


Teorema 1.1: Suatu pertidaksamaan tidak berubah …….………… jika ke dua ruas ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan yang nilainya …………..

Teorema 1.2: Suatu pertidaksamaan tidak berubah ….……………… jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilainya ……… Teorema 1.3: Suatu pertidaksamaan akan terbalik tandanya jika ke-dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang nilainya ……….


Tentukan daerah Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan berikut, untuk x R !

1. 2x + 7 < 6x – 5 4. 3 (-4 +x ) -2 (2x -1) > 2 (x + 1) -5x

2. 2 (3x - 1) + 6 4x – 9 5. 3

2

2

1

x

3. 5

32

x 6. 4x – 3(2x – 1) < 6(2x – 4) – 7x

A.2. Pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa

permasalahan matematika yang menyangkut pertidaksamaan kuadrat satu variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Bentuk umum : ax2 + bx + c 0 dimana : adalah “ >, <, , atau “ , a 0 Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian

Sistem pertidaksamaan berikut ini:

Masalah 3 : 2x2 – 5x > x2 + 2x +4 untuk x R

Penyelesaian: 2x2 – 5x > x2 - 2x +4

- ( x2 ) 2x2 - ….. – 5x > x2 – x2 - 2x + 4

(…)2 – 5x > -2x + ……

+ ( 2x ) x2 – 5x+ …. > -2x + ….. + …..

x2 - …… > 4

- ( 4 )

38

x2 – 3x - ….. > 0

(x - …..)(x + 1) > 0

(x - …..)(x + 1) 0 (pembuat nol)

(x - …..) = 0 v (x + …..) = 0

x = …. v x = …….

Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan :

Untuk x = 0 didapat nilai : 02 – 3 (….) – 4 > 0

…… > 0 (Pernyataan Salah)

B S B -1 0 4 x < …….. x > …….

Jadi HP = { x / x < ….. v x > …… , x R }

LKS-Mat.X-38



1. (4 – x)(2 + 2) < 0 6. x (x – 3)(x + 2) > 0

2. x2 -6x + 3 < 0 7. (x + 5)(x – 4)(6 – x) < 0

3. 21 + 4x – x2 > 0 8. x (2x + 3) – 19 (x + 1)2

4. 3x2 + 7x + 4 0 9. x (3x +4) < (x + 2)(x + 3)

5. (x – 3)2 -4 (x – 6) 10. (x2 – 4)(x2 - 6x + 9) 0

A.3. Pertidaksamaan bentuk pecahan satu variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidak samaan bentuk pecahan yang memuat linier dan kuadrat satu variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Bentuk umum : )(

)(

xg

xf 0 dimana : adalah “ >, <, , atau “

f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x dan g(x) 0


Masalah 4 :

Nilai x yang memenuhi : 2

5

x

x < 0 untuk x R dan x 2 adalah:

Penyelesaian: 2

5

x

x < 0

X (x – 2)2

2

5

x

x . (….. - …. )2 < 0 . (x – 2)2

(x + 5) (x - …. ) < 0

(x + 5) (x - 2) 0 (pembuat nol)

(x + …..) = 0 v (x - …..) = 0

x = -5 v x = …….


Untuk x = 0 didapat nilai : 2......

5.....

< 0

39

…… < 0 (Pernyataan Benar) S B S -5 0 2

Jadi HP = { x / ……. < x < …… , x R }

Masalah 5 :

Nilai x yang memenuhi : 3

862

x

xx 0 untuk x R adalah:

Penyelesaian: 3

862

x

xx 0

X (x – 3)2

3

862

x

xx . (x -3)2 0 , (x -3)2

(x2 – 6x + 8) (x – 3) 0

LKS-Mat.X-39

(x - ….) (x - ….) (x – 3) 0

(x - ….) (x - ….) (x – 3) 0 (pembuat nol)

(x - …..) 0 v (x - …..) 0 v (x - …. ) 0

x … x … x …


Untuk x = 0 didapat nilai : 3...

8(...)6....2

0

…… 0 (Pernyataan Salah) S B S B

0 2 3 4

Jadi HP = { x / ….. x < ….. v x …… , x R }


Teorema 1.4: Suatu pertidaksamaan tidak berubah ….……………… jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilainya ……….

Sehingga untuk pertidaksamaan bentuk pecahan )(

)(

xg

xf 0 nilainya tidak

Berubah jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilai-nya ………., dan terbentuk dari [ g(x) ]2 untuk semua nilai x R



1. 23

6

x

x < 0 4.

2

362

x

xx > 0

2. 2

62

x

x 0 5.

106

322

2

xx

xx < 0

3. 1

)2)(3(

x

xx > 0 6.

x

xx

10

)8(2

0

A.4. Pertidaksamaan bentuk akar linier satu variabel.

40

Bentuk umum : )(xf 0 dimana : adalah “ >, <, , atau “

f(x) fungsi dalam variabel x dan f(x) > 0


Masalah 6 :

Nilai x yang memenuhi : 2)4( x < 3 untuk x R adalah:

Penyelesaian: 2)4( x < 3

di kuadratkan (x – 4)2 < ……

x2 – (….) x + ….. < 9

- ( 9 )

x2 – (….) x + ….. - …. < 0

x2 – 8 x + ….. < 0

LKS-Mat.X-40

(x - …)(x - …. ) < 0

(x - …)(x - …..) 0 (pembuat nol)

(x - …..) = 0 v (x - …..) = 0

x = 1 v x = …….


Untuk x = 0 didapat nilai : 2)4( x < 3

…… < 3 (Pernyataan Salah) S B S 0 1 7

Jadi HP = { x / ……. < x < …… , x R }


Teorema 1.5: Sehingga untuk pertidaksamaan bentuk akar )(xf 0 nilainya tidak

berubah jika ke dua ruas ………………………...



1. 63 x < 3 3. 72( x < 4x 5. 2

202

x

xx < 0

2. 2)3( x 7 4. 322 xx 0


01. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 3x – 2 < x + 6 adalah …….. a. x < 4 b. x > 4 c. x > -4 d. x < -4 e. x > 0

02. Nilai x yang tepat untuk : 43

xx 0 adalah …….

a. x 3 b. x -4 c. x < 4 d. x < -4 atau x 3 d. x -4 atau x > 3

03. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 1 < x + 1 < 3 – x adalah …….

41

a. x < 1 b. x < 2 c. 1 < x < 2 d. x > 2 e. x > 1

04. Pertidaksamaan 3x2 + 4x > 7 mempunyai penyelesaian …………………..

a. x < - 31 atau x > 0 c. x < -1 atau x > 1 e. x < - ¼ atau x > 0

b. x < - 37 atau x > 1 d. x < - ½ atau x> 1

05. Jika (x -2)(x -3)(x -4) > 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah ……. a. x > 2 atau x > 3 c. x < 4 atau x < 2 e. 2 < x < 3 atau x > 4 b. x > 3 d. 3 < x < 4 atau x < 2

06. Pertidaksamaan 11

72

x

x dipenuhi oleh ……..

a. 0 x 1 c. -4 < x 1 e. x -4 atau x < 1

b. -8 x < 1 d. 1 < x 7

07. Diberikan pertidaksamaan 78

32

xx

x > 0 , Himpunan harga-harga x yang memenuhi

pertidaksaman ini adalah …………………….. a. x < 1 atau x > 7 c. x < 3 atau x < 7 e. x < 1 atau 3 < x < 7 b. 1 < x < 3 atau x > 7 d. 1 < x < 7

LKS-Mat.X-41

08. Agar nilai pecahan 2

1032

2

xx

xx bernilai positif, maka x anggota himpunan ………

a. x < -5 atau x > 2 c. x -5 e. -5 < x 2 b. -5 < x < 2 d. x < 2

09. 09 2

2

x

x bila ………………

a. x 0 b. 0 < I x I < 3 c. -3 < x < 3 d. 3 < x e. x 3

10. Bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan xx

x

23 adalah ……..

a. x < 0 atau 1 < x < 2 c. x < -2 atau -1 < x < 0 e. x < 0 atau 2 < x < 3 b. 0 < x < 1 atau x > 2 d. -2 < x < -1 atau x > 0


Selesaikan sistem pertidaksamaan satu varioabel di bawah ini!

1. x2 (2x2 – x) < x2 (2x +5) 4. 078

32

xx

x

2. 32 x 5. 21

23

1

2

x

x

x

x

3. 11

72

x

x

B. MODEL MATEMATIKA SUATU PERTIDAKSAMAAN. Kompetensi Dasar: 1.10. Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu

variabel, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yg diperoleh.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat :1.10.1.Mengaplikasikan konsep pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari.

Prasyarat : 1. Sistem Pertidaksamaan linier dan kuadrat.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan model matematika yang menyangkut pertidaksamaan diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang ditemui berbagai permasalahan yang pemecahannya memerlukan konsep pertidaksamaan.

42

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Penyelesaian permasalahan berikut ini:

Masalah 7 :

Umur Ali ditambah umur Anton lebih kecil dari umur Budi, jika umur Budi kurang dari 30 tahun. Tentukan model matematikanya!

Penyelesaian:

Missalkan : Umur Ali = x ,Umur Anto = …… dan Umur Budi = ….. Maka model matematikanya: x + …… < z z < …… Masalah 8 :

Tinggi h meter dari suatu benda setelah bergerak t detik, ditentukan oleh rumus: h = 40t – 5t2. Tentukan interval t agar h 60 !

LKS-Mat.X-42

Penyelesaian: h = 40t – 5t2.

h 60

Maka: 40t – 5t2 60

5t2 – 40t + ….. 0

(….) t2 – 8t + ….. 0

(t - …..) (t - ….. ) 0

t = …… v t = ……..

Jadi interval t yang memenuhi adalah : ……. t …….. Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Jumlah uang A dan uang B kurang dari Rp. 50.000,- sedang Uang A ditambah uang B kurang dari uang C ditambah Rp. 30.000,- Sedangkan uang C kurang dari Rp. 100.000,- dikurangi uang A.

Tentukan model matematikanya?

2. Suatu tes matematika memberikan skor minimal 0 dan maksimal 100. Siswa yang mendapat skor kurang dari 60 wajib mengulang. Tentukan batas-batas skor ( r) bagi siswa yang mengulang !

3. Seorang ayah membagi sejumlah uang kepada ke dua anaknya. Setengah bagian untuk anak pertama dan sepertiga bagian untuk anak ke dua. Berapa uang yang di bagi agar sisa uang minimal Rp. 500.000,-!

4. Sebuah benda ditembakan tegak lurus ke atas. Ketinggian yang dicapai pada waktu t detik, Dinyatakan dalam meter diberikan ungkapan h(t) = 30t – t2 Tentukan lama benda berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter!

43

LKS-Mat.X-43


Menurut anda materi belajar tentang pertidaksamaan linier dan kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut):






Perlu disebar luaskan 1 2 3 4 5 Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

1 2 3 4 5 Tidak Mempunyai korelasi

dengan masalah sehari-hari




44

LKS-Mat.X-44

A. Pilih salah satu jawaban yang paling tepat !

01. Nilai dari 1/9 527 = ………. a. 37/5 b. 35/7 c. 1 d. 3-5/7 e. 3-7/5 4

02. Bentuk sederhana dari: ------------ adalah :

5 + 5

a. 4/5 (5 -5) c. 4/5 (5 +5) e. 4/25 (5 +5)

b. 1/5 (5 -5) d. 1/5 (5 +5)

03. Nilai dari : 8 . (81/4) . (21/4)3 . 32 . 2 = … a. 8 b. 4 c. 3 d. 2 e. 0

04. Nilai x yang memenuhi persamaan: 35x –1 = 27x +3 adalah ………

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

05. Harga x yang memenuhi: 4x +3 = 48x +5 a. –9/5 b. 5 c. 9/5 d. –5/9 e. 2/5

06. Nilai dari: 23log 4 – ½ 3log 25 + 3log 10 – 3log 32 adalah …….

a. 1/3 b. 0 c. 1 d. 3 e. 9

07. Log 125 + log 8 = ……. a. –2 b. –1 c. 1 d. 2 e. 3

08. alog 3a . alog aa = …..

a. 3a b. a c. 1 d. ½ e. 3/2

09. Penyelesaian dari 2log x = 1 adalah: a. 0 b. 1 c. 2 d. 10 e. 1/10

10. Nilai x yang memenuhi 2log (x +2) = 3 adlh

a. 1 b. 6 c. 7 d. 8 e. 10

11. Jika salah satu akar persamaan kuadrat : 7x2 + (a -6)x + (a –5) = 0 adalah 3, maka nilai a adalah ……. a. –10 b. –5 c. 0 d. 5 e. 10

12. Akar-akar persamaan: 5x2 –10x –6 = -2x2 +6x + 9 adalah :

a. (3/7 , 5) b. (1/7 , 3) c. (3, -5/7) d. (1/5 , 3) e. (-3, 5/7)

13. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya: (1 -3) dan (1 +3) adalah………

a. x2 –2x +2 = 0 c. x2 +2x +2 = 0 e. x2 –(1 +3) = 0 b. x2 –2x -2 = 0 d. x2 +2x -2 = 0c. x2 +2x +2 = 0

14. Jika ax2 – (2a -3)x + (a + 6) = 0 mempunyai akar-akar kembar dan real maka akar kembar tersebut adalah

a. 5 b. 4 c. ¼ d. -4 e. -5

15. Persamaan kuadrat x2 + (m -3)x + m = 0 ,akar-akarnya p dan q, Jika 211

qp maka nilai m = …….

a. -3 b. -1 c. 1 d. 3 e. 6

16. p dan q akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a -4 = 0, Jika p = 3q maka nilai a yang tepat adalah … a. 1 b. 3 c. 4 d. 7 e. 8

17. Akar-akar persaman kuadrat 2x2 -6x – p = 0 adalah dan , Jika 2 - 2 = 15 maka nilai p =

a. 10 b. 8 c. 6 d. -8 e. -10

18. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – x – 5 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p + 1 dan q + 1 adalah …….. a. x2 -5x + 2 = 0 c. 2x2 -5x + 2 = 0 e. 2x2 +5x -2 = 0

45

b. 2x2 +5x + 2 = 0 d. 2x2 -5x – 2 = 0

19. Jika kar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 adalah x1 dan x2 , sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x2 +10x – 16p = 0 adalah 3x1 danm 4x2 , maka nilai p yang memenuhi adalah ……… a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 e. 16

LKS-Mat.X-45

20. Sehelai kertas panjangnya 12 cm dan lebarnya 9 cm. Sepanjang ke-empat sisi kertas itu digunting

menjadi suatu pita yang lebarnya k cm. Agar sisi luas kertas 54 cm2 , maka nilai k = …. Cm a. 2/3 b. 3/2 c. 1 d. 2 e. 3

21. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan

96

2354

yx

yx berturut-turut adalah ….

a. – 3 dan 7 b. 1 dan – 3 c. 2 dan 3 d. 3 dan 9 e. 4 dan 1

22. Suatu pecahan apabila pembilangnya ditambah 2, dan penyebut ditambah 1, pecahan tersebut menjadi 2

1.

Sedangkan jika pembilangnya di-tambah 1 dan penyebutnya dikurangi 2, pecahan itu menjadi 5

3.

Pecahan yang dimaksud adalah ...

a. 19

8 b.

15

6 c.

13

5 d.

11

4 e.

7

2

23. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

67367

41524

7435

zyx

zyx

zyx

adalah ….

a. {(4 , 5 , - 3 )} b. {( - 3 , 5 , 4 )} c. {( 5 , - 3 , 4 )} d. {( -4 , 3 , 5 )} e. {(4 , -5 , 3 )} 24. Usia dua orang anak , Anda dan Andi berselisih 6 tahun. Delapan belas tahun lagi, jumlah usia mereka

sama dengan usia ayahnya. Empat tahun yang lalu jumlah usia mereka sama dengan ½ usia ayahnya. Jadi usia Andi adalah …. tahun.

a. 52 b. 42 c. 32 d. 24 e. 23 25. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 > x + 6 adalah ….

a. {x / x < - 2 atau x > 3 , xR } d. {x / - 2 < x < 3 , xR } b. {x / x < - 3 atau x > 2 , xR } e. {x / - 3 < x < 2 , xR } c. {x / 2 < x < 3 , xR }

26. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan: (x -2)(3 -x) 4 (x –2) adalah ……….

a. {x/ 2 x 3} c. {x/ -2 x 1} e. {x/ x-1 v x 2}

b. {x/ x 2 v x 3} d. {x/ -1 x 2}

27. Himpunan Penyelesaian: 2x2 -9x – 4 : ….

a. –1/2 x < 4 c. –4 < x < ½ e. –4 x -1/2

b. –1/2 x 4 d. x -1/2 v x > 3

28. Himpunan Penyelesaian: 2x -1 < x + 1 < 3 – x adalah …….. a. x < 1 b. x < 2 c. 1 < x < 2 d. x > 2 e. x > 1

29. Jika 32 x maka ………….

a. -3 < x < 3 b. -3 x 3 c. 0 x 3 d. x 3 e. x < 3

30. Jika 078

32

xx

x, maka Himpunan penyelesaian yang tepat adalah …….

a. x < 1 atau x > 7 c. x < 3 atau x < 7 e. x < 1 atau 3 < x < 7 b. 1 < x < 3 atau x > 7 d. 1 < x < 7

II. Jawab dengan langkah yang benar !

31. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: (1/3)2 32x +1 = 27

32. Bentuk sederhana dari: alog 1/b . blog 1/c2 . clog 1/a3 33. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 1 = 0

Adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3p – 1) dan (3q – 1).

46

34. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear

xy

yx

593

1323 dengan

menggunakan matriks.