Download pdf - Struktur Aljabar II

STRUKTUR ALJABAR II

“RING”

DisusunOleh:

KELOMPOK III

SRI WAHYUNI SAM (101104001)

APRISAL (101104004)

AZLAN ANDARU (101104006)

PRIMA MITRA (101104020)

MUH.ICHSAN NAWAWI (101104024)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMTIKA DAN ILMU PEMNGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2012

KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

2

PETA KONSEP


3

RING

Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya

mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-

sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua

operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan o dinamakan Ring.

1. RING

Definisi:

Suatu ring (R,+,o) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner

penjumlahan (+) dan perkalian (o) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. Tertutup,

Misalkan a dan b adalah anggota R maka a dan b tertutup bila 𝑎 + 𝑏 = ℝ

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+),

Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝmaka (a + b) + c = a + (b + c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+),

Misalkan 𝑎 ∈ ℝ maka a + e = e + a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+),

Misalkan 𝑎 ∈ ℝ maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+),

Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ maka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap penjumlahan (+),

Misalkan a dan b adalah anggota R,maka a dan b tertutup bila 𝑎 . 𝑏 ∈ ℝ

7. Assosiatif terhadap perkalian (o),

Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ maka (a . b) . c = a . (b . c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o),

Misalkan 𝑎 ∈ ℝ maka a . e = e . a = a

9. Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+),

Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ maka

a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)


4

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua

operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila :

Suatu ring (R,+,o) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan o. Yang

dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-

sifat berikut berlaku.

1. (R,+) merupakan grup komutatif

2. (R,o) merupakan semigrup

3. ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 berlaku:

a. 𝑥. 𝑦 + 𝑧 = 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑧

b. (x+y) . z = x.z+y.z

Contoh:

Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ringdengan operasi

yang diberikan

1. (Z, + , o)

2. (Q, + , o)

3. (R, + , o)

4. (C, + , o)

5. (Zn, + , o)

6. (M(2,Z), + , o)

7. (Z[√2], + , o)

8. (fR, + , 0)

9. ( RxS, + , o), dengan R dan S masing-masing merupakan ring


5

Contoh 1:

Z4 merupakan suatu Ring.

Akan ditunjukkan bah wa Z4 = {0,1,2,3} merupakan suatu Ring bila memenuhi:

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)

Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4

Misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ 𝑍4

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 = 0

Karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ 𝑍4, maka tertutup terhadap 𝑍4,

Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari 𝑍4,

Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ 𝑍4

(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

sehingga:


6

(a + b) + c = a + (b + c)

Maka 𝑍4assosiatif

Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari 𝑍4

o misalkan 0 ∈ 𝑍4

0 + e = e + 0 = 0


1 + e = e + 1 = 1


2 + e = e + 2 = 2


3 + e = e + 3 = 3

maka 𝑍4 ada unsur satuan atau identitas

Adanya unsur balikan atau invers

o Ambil sebarang nilai dari 𝑍4, misalkan 0 𝜖 𝑍4, pilih 0 𝜖 𝑍4, sehingga

0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1

= 0

o Ambil sebarang nilai dari 𝑍4, misalkan 1𝜖 𝑍4, pilih 3 𝜖 𝑍4, sehingga

1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1

= 3


2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1

= 2


3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1

= 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers

Komutatif


misalkan a = 2, b = 3 𝜖 𝑍4

(a + b) = (2 + 3) = 1

(b + a) = (3 + 2) = 1

Sehingga :


7

(a + b) = (b + a) = 1

maka Z4 komutatif

Jadi Z4 = {0,1,2,3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)

2. Semigrup terhadap perkalian (Z4, o)

Tertutup


Misalkan 0, 1, 2, 3 𝜖 𝑍4

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 𝜖 𝑍4, maka tertutup terhadap 𝑍4

Assosiatif


misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 𝜖 𝑍4

(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2

a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = 2

maka Z4 assosiatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (𝑍4, o).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan


misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 𝜖 𝑍4

a.(b + c) = 2.(1 + 3) (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

= 2.(0) = 2 + 6

= 0 = 0

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0


8

(a + b).c = (2 + 1).3 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

= (3).3 = 2 + 3

= 1 = 1

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1

Jadi, 𝑍4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadappenjumlahan.

Karena 𝑍4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

maka 𝑍4 adalah suatu Ring (𝑍4,+,o).

Contoh 2:

Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,o)

Akan dibuktikan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring.

× -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa R = {-1, 1} hanya tertutup terhadap operasi

perkalian dan tidak tertutup terhadap penjumlahan karena terdapat unsur 0 yang

bukan elemen dari R = {-1, 1}.

Jadi dapat disimpulkan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring

karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z2 = {0, 1},

(Z2,+,o)merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan

danmemenuhi sifat-sifat dari Ring.

2. RING KOMUTATIF

Definisi:

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring

(Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila :

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R,o) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif


+ -1 1

-1 0 0

1 0 0


9

Jika pada ring R, berlaku sifat a.b = b.a, ∀a,b ∈R, maka R dikatakan Ring Komutatif

(Comutative Ring).

Contoh 3:

Dari contoh 1, tunjukan bahwa Ring (Z4,+,o) merupakan suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian:

Dari contoh 1, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring.

Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.

a . b = b . a, ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑍4

Ambil sebarang nilai dari 𝑍4, misalkan 2 dan 3 𝜖 𝑍4(pada tabel sebelumnya)

2 o4 3 = 2

3 o4 2 = 2

sehingga 2 o4 3 = 3 o4 2 = 2

Karena Ring (𝑍4,+,o) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (𝑍4,+,o)

tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

Contoh 4:

Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemenbilangan

“genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.

Dari tabel 6.2.akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakansuatu Ring

Komutatif bila memenuhi :

Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan genap, ganjil ∈ P


10

genap + genap = genap

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P

Assosiatif


misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P

(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap∈P,

sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap∈ P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap

maka P ada unsur satuan atau identitas


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈P, pilih genap∈ P,

sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1

= genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈P, pilih ganjil ∈ P,

sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1

= ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers

Komutatif


misalkana = genap, b = ganjil ∈P

(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = ganjil


11

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} m merupakan Grup Komutatif terhadappenjumlahan (P,+).

2. Monoid terhadap perkalian (P,o)

Tertutup


misalkan genap dan ganjil ∈ P

genap .ganjil = genap

genap .genap = genap

ganjil .ganjil = ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil ∈P, maka tertutup terhadap P

Assosiatif


misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P

(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap

a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap .genap = genap

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = genap

maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap∈P, pilih ganjil∈ P,sehingga

genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil∈ P,sehingga

ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas

Komutatif


misalkan a = genap, b = ganjil∈ P

(a . b) = (genap . ganjil) = genap

(b . a) = (ganjil . genap) = genap

Sehingga :


12

(a . b) = (b . a) = genap

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatifterhadap perkalian (P, o).



misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈P

a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)

= genap.(ganjil)

= genap

(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)

= genap + genap

= genap

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap

(a + b).c = (genap + ganjil). genap

= (ganjil). genap

= genap

(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)

= genap + genap

= genap

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap

Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,maka P adalah

suatu Ring Komutatif (P,+,o).


13

3. RING DENGAN UNSUR KESATUAN

Definisi:

Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a o1 = 1 oa = a, ∀a ∈R,

maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan.

Suatu ring R dikatakan ring pembagi nol, jika ada anggota a,b di R dengan

𝑎 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut

sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan.

Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R

dengan 𝑎 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut

disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan

ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dengan ab=0

maka a=0 atau b=0

Suatu ring R disebut trivial jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, ab=0 (0 unsur nol di R) dan

disebut ringnol jika anggota di R hanya satu (tunggal)


14

Contoh 5:

Tunjukan bahwa Ring (𝑍4,+,o) merupakan suatu Ring (𝑍4,+,o) merupakan suatu

Ring merupakan suatu Ring dengan unsur kesatuan.

Penyelesaian :

Telah ditunjukkan pada pembahasan sebelumnya jika (𝑍4,+,o) merupakan suatu

Ring, sekarang kita tunjukkan (𝑍4,+,o) memiliki unsur kesatuan.

∀ 𝑎 ∈ 𝑍4 , 1 𝑜 𝑎 = 𝑎 𝑜 1 = 𝑎

Misal 𝑎 = 2, 𝑚𝑎𝑘𝑎 1 × 2 = 2 × 1 = 2

Jadi 1 merupakan unsur kesatuan dari(𝑍4,+,o).

Maka terbukti bahwa (𝑍4,+,o) merupakan ring dengan unsur kesatuan

Contoh 6:

Apakah 𝑀 = 𝑎 𝑏0 0

𝑎, 𝑏, 0 ∈ 𝑧 dengan sifat penjumlahan dan perkalian matriks

merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan ?

Penyelesaian:

M untuk operasi + dan obukan merupakan ring komutatif, karena (M,o)

∀ 𝑎 𝑏0 0

, 𝑐 𝑑0 0

∈ 𝑀: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 0 ∈ 𝑍

𝑎 𝑏0 0

. 𝑐 𝑑0 0

= 𝑎𝑐 𝑎𝑑0 0

≠ 𝑐 𝑑0 0

. 𝑎 𝑏0 0

M untuk operasi + dan . tidak memiliki unsur kesatuan, karena (M,.)

∀ 𝑎 𝑏0 0

∈ 𝑀 ∄ 1 00 1

∈ 𝑀, ∋. . 1 00 1

= 1 00 1

. 𝑎 𝑏0 0

= 𝑎 𝑏0 0

Maka (M,+,o) merupakan non komutatif dan tanpa elemen kesatuan

4. DAERAH INTEGRAL

Definisi

Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (IntegralDomain)

jika tidak mempunyai unsur pembagi nol.

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑅


15

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a, b, c ∈ 𝑅

maka (a + b) + c = a + (b + c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)

Misalkan 𝑎 ∈ 𝑅

maka a + e = e + a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)


maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅

maka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap perkalian (.)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila 𝑎. 𝑏 ∈ 𝑅

7. Assosiatif terhadap perkalian (o)

Misalkan a,b,c ∈ 𝑅

maka (a.b).c = a.(b.c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o)


maka a.e = e.a = a

9. Komutatif terhadap perkalian (o)


maka a . b = b . a

10. Tidak ada pembagi nol


Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0

11. Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+)

Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c)


16

Contoh 7:

Z4 bukan merupakan Integral Domain.

x 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Dari tabel tersebut, dapat kita lihat bahwa [2] merupakan pembagi nol,dimana

diperolah [2].[2] = 0, sedangkan pada syarat daerah Integral tidak memiliki

pembagi nol serta, diperoleh [2].[2] = 0

Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu

IntegralDomain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].

Contoh 8:

Dari contoh 4, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan

ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.

Penyelesaian:

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif

Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai

pembagi nol, dengan kata lain:

a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0

Misalkan :

X = {…,-3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil dan

Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak adaunsur nol,

tetapi bilangan genap ada unsur nol.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan

Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a, b ∈ P


17

Contoh 9:

Tunjukkan 𝑍3merupakandaerah integral

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa Z3 = {0,1,2,} merupakan suatu Ring bila

memenuhi:

+3 0 1 2 𝑜3 0 1 2

0 0 1 2 0 0 0 0

1 1 2 2 1 0 1 2

2 2 2 1 2 0 2 1

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z3, +)

Tertutup


Misalkan 0, 1, 2, ∈ 𝑍3

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

Karena hasilnya 0, 1, 2∈ 𝑍3, maka tertutup terhadap 𝑍3,

Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari 𝑍3,

Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0∈ 𝑍3

(a + b) + c = (2 + 1) + 0 = 3 + 0 = 0

a + (b + c) = 2 + (1 + 0) = 2 + 1 = 0

sehingga:

(a + b) + c = a + (b + c)

Maka 𝑍3assosiatif





18

0 + e = e + 0 = 0


1 + e = e + 1 = 1


2 + e = e + 2 = 2

maka 𝑍3 ada unsur satuan atau identitas


o Ambil sebarang nilai dari 𝑍3, misalkan 0 𝜖 𝑍3, pilih 0 𝜖 𝑍3, sehingga 0 + 0

= 0 = e, maka (0)-1

= 0

o Ambil sebarang nilai dari 𝑍3, misalkan 1𝜖 𝑍3, pilih 3 𝜖 𝑍3, sehingga 1 + 3 =

1 = e, maka (1)-1

= 2

o Ambil sebarang nilai dari 𝑍3, misalkan 2 𝜖 𝑍4, pilih 2 𝜖 𝑍4, sehingga 2 + 2

= 1 0 = e, maka (2)-1

= 1

Maka 𝑍3 ada unsur balikan atau invers

Komutatif


misalkan a = 2, b = 1𝜖 𝑍3

(a + b) = (2 + 1) = 0

(b + a) = (1 + 2) = 0

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = 0

maka 𝑍3 komutatif

Jadi Z4 = {0,1,2} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z3, +)

2. Semigrup terhadap perkalian (Z3, o)

Tertutup


Misalkan 0, 1, 2𝜖 𝑍4

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2


19

karena hasilnya 0, 1, 2𝜖 𝑍3, maka tertutup terhadap 𝑍3

Assosiatif


misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0𝜖 𝑍3

(a . b) . 0 = (2 . 1) . 0 = 2 . 0 = 0

a . (b . 0) = 2 . (1 . 0) = 2 . 0 = 0

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = 0

maka 𝑍3 assosiatif

Jadi, 𝑍3 = {0, 1, 2} merupakan Semigrup terhadap perkalian (𝑍3, o).



misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0𝜖 𝑍4

a.(b + c) = 2.(1 + 0) (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.0)

= 2.(1) = 2 + 0

= 2 = 2

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 2

(a + b).c = (2 + 1).0 (a.c) + (b.c) = (2.0) + (1.0)

= (3)0 = 0 + 0

= 0 = 0

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 0

Jadi, 𝑍3= {0, 1, 2} distributif perkalian terhadappenjumlahan.

Karena 𝑍3 = {0, 1, 2} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

maka 𝑍4 adalah suatu Ring (𝑍3,+,o).

4. Memiliki unsur kesatuan

∃ 𝑎 ∈ 𝑍3, ∋ 𝑎 𝑜 𝑏 = 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏, ∀𝑏 ∈ 𝑍3


20

Contoh :

Unsur kesatuan dari 𝑍3adalah 1, karena

1 𝑜 2 = 2 𝑜 1 = 2

1 𝑜 0 = 0 𝑜 1 = 0

1 𝑜 1 = 1 𝑜 1 = 1

Jadi Ring (𝑍3,o) memiliki unsur kesatuan.

5. Tanpa pembagi nol

Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R

dengan 𝑎 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut

disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan

ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dengan ab=0

maka a=0 atau b=0

Contoh :

Untuk a = 1,2 b = 1,2 , maka

1 𝑜3 1 ≠ 0

1 𝑜3 2 ≠ 0

2 𝑜3 1 ≠ 0

2 𝑜3 2 ≠ 0

Karena tidak terdapat anggota dari 𝑍3 dimana 𝑎 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 yang memenuhi

ab=0 maka 𝑍3 merupakan ring tanpa pembagi nol

Karena memenuhi semua syarat, maka (𝒁𝟑,+,𝒐) merupakan daerah integral

5. RING PEMBAGIAN

Definisi:

Suatu ring R dinamakanring pembagian (Division Ring) jika memenuhi:

1. 𝑅 ≥ 2 𝑅 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑔𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝑅

2. R memiliki unsur kesatuan

3. ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ≠ 0, ∃ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 = 1


21

Teorema:

Ring pembagian merupakan ring tanpa pembagi nol.

Contoh 10:

A={0,1,2,3,4} terhadappenjumlahandanpergandaan modulo 5 merupakan

Ringpembagian yang komutatif

Contoh 11:

Tunjukkan bahwa 𝑍5merupakan ring pembagian.

Penyelesaian :

+5 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

𝑜5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Berdasarkan tabel di atas dapat dilihat bahwa perkalian modulo 5 dan dua unsur di

dalam 𝑍5tetap merupakan unsur dalam 𝑍5 lagi. Ini berarti 𝑍5 tertutup terhadap

operasi perkalian modulo 5.Sifat assosiatif terhadap perkalian modulo 5 dapat

diselidiki satu per satu, demikian juga sifat distributif kiri dan distributif

kanannya.Hal ini mungkin dilakukan karena banyaknya elemen dari 𝑍5

berhingga.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa (𝑍5, +5, o5) merupakan ring

dengan banyaknya elemen berhingga.


22

1. Banyak anggota dari 𝑍5 ≥ 2

2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 = 𝑎

Misal a=1,b=3 𝑚𝑎𝑘𝑎 1 .5 3 = 3 .5 1 = 3

3. ∀ 𝑥 ∈ 𝑍5𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ≠ 0, ∃ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 = 1

Misal x = 2, y = 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 2 .5 3 = 3 .5 2 = 1

Misal x = 4, y = 4 𝑚𝑎𝑘𝑎 4 .5 4 = 4 .5 4 = 1, dst.

Karena (𝑍5, +5, o5) merupakan ring dengan banyaknya elemen berhingga dan

memenuhi ketiga syarat diatas maka (𝑍5, +5, o5) merupakan ring pembagian

Contoh 12:

𝑍4 bukan merupakan ring pembagian.

x 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Dari tabel diatas, terlihat bahwa tidak semua anggota 𝑍4kecuali nol (0) yang

mempunyai pasangan sehingga memenuhi ∀ 𝑥 ∈ 𝑍4𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ≠ 0, ∃ 𝑦 ∈

𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 = 1

Contoh :

Untuk x = 2, y = 1, maka 2 𝑜 1 = 1 𝑜 2 ≠ 1

6. FIELD

Definisi:

Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk

GrupKomutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah

Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian.

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu strukturaljabar dengan

dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila :

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R,o) merupakan suatu Grup Komutatif


23


Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kitabuktikan Ring

itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian. Atau

kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap penjumlahan dan

perkalian serta distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Definisi:

Ring pembagian yang komutatif disebut lapangan (field)

Contoh 13:

(1) Jika a dalam A dan a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol.

(2) Jika A field maka A daerah integral.

Bukti :

(1) Misalkan ab = 0

Karena a mempunyai invers maka dengan mengalikan kedua ruas dengan a-

1diperoleh

a-1 (ab) = a-1 0

(a-1 a)b = 0

1 . b = 0

b = 0

Dengan cara yang sama, ba = 0 mengakibatkan b = 0.Oleh karena itu, a bukan

pembagi nol.

(2) Karena setiap field merupakan ring komutatif dengan angngota satuan makatinggal

dibuktikan bahwa dalam field tidak terdapat pembagi nol. Karena setiap anggota

field yang tidak nol mempunyai invers maka dengan mengingat sifat (1) sebarang

field tidak mengandung pembagi nol. Berarti setiap field merupakan suatu daerah

integral.


24

Contoh 14:

Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akanditunjukkan

apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.

Penyelesaian:

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif

Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikanatau

invers terhadap perkalian, dengan kata lain:

∀ 𝑎 ∈ 𝑃, ∃ 𝑎−1 ∈ 𝑃sedemikian sehingga a . a-1

= a-1

. a = e

Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga

genap.ganjil = genap ≠ e

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈P, pilih genap ∈ P,sehingga

genap.genap = genap ≠ e

maka P tidak ada unsur balikan atau invers

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukanmerupakan Field.

Contoh 15:

Tunjukkan bahwa 𝑍5merupakan field?

Penyelesaian:

Telah dibuktikan bahwa 𝑍5merupakan ring pembagian,dan syarat field

adalah ring pembagian yang komutatif, maka kita hanya membuktikan

bahwa 𝑍5 memenuhi syarat komutatif.

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎

Misal a = 0,1,2,3,4 dan b = 0,1,2,3,4, maka

1𝑜52 = 2𝑜51 = 2

2𝑜54 = 4𝑜52 = 3

2𝑜53 = 3𝑜52 = 1, dst.


25

Contoh 16:

𝑍4 bukan merupakan ring pembagian.

x 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Dari tabel diatas, terlihat bahwa tidak semua anggota 𝑍4kecuali nol (0) yang

mempunyai pasangan sehingga memenuhi ∀ 𝑥 ∈ 𝑍4𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 ≠ 0, ∃ 𝑦 ∈

𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 = 1.

Karena 𝑍4bukan merupakan ring pembagian maka 𝑍4 juga bukan merupakan

field.

Contoh:

1. Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemensatuan, dan

tidak memuat pembagi nol sehingga merupakan daerahintegral. Q dan R

merupakan lapangan sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 ∈ 𝑧 dan 2−1 = ½

bukan elemen Z

2. 𝑍3,𝑍4, 𝑍5 , 𝑍9, masing-masing merupakan ring komutatif, ring denganelemen

satuan. Z3, Z5 merupakan daerah integral dan merupakan fieldsedangkan

𝑍4, 𝑍9 bukan merupakan daerah integral dan bukanlapangan


26

Rangkuman

1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuRing

(Gelanggang) bila :

(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

(R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid

Distributif perkalian terhadap penjumlahan

2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuRing

(Gelanggang) Komutatif bila :


(R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif


3. Suatu ring R dikatakan ring pembagi nol, jika ada anggota a,b di R dengan 𝑎 ≠

0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai

pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan.

Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R dengan

𝑎 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai

pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi

nol jika dan hanya jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dengan ab=0 maka a=0 atau b=0

4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuIntegral

Domain (Daerah Integral) bila :


(R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif

Tidak ada pembagi nol


5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuField

(Lapangan) bila :


(R-0,o) merupakan suatu Grup Komutatif
