Download pdf - Struktur Aljabar II.pdf

SAL Bagian 2

Antonius CP

Outline STRUKTUR ALJABAR LANJUT (Bagian 2)(Pengantar Teori Ring)

Antonius Cahya Prihandoko

Universitas JemberIndonesia

Prodi Pendidikan Matematika FKIPUniversity of Jember

Indonesia

Jember, 2009

SAL Bagian 2

Antonius CP

Outline

Disajikan oleh

SAL Bagian 2

Antonius CP

Outline

Outline

1 Ring Polinomial

2 Homomorfisma Ring

3 Ring Faktor

4 Ideal Maksimal dan Prima

SAL Bagian 2

Antonius CP

Outline

Outline

1 Ring Polinomial

2 Homomorfisma Ring

3 Ring Faktor


SAL Bagian 2

Antonius CP

Outline

Outline

1 Ring Polinomial

2 Homomorfisma Ring

3 Ring Faktor


SAL Bagian 2

Antonius CP

Outline

Outline

1 Ring Polinomial

2 Homomorfisma Ring

3 Ring Faktor


SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor

IdealMaksimaldan Prima

Polinomial

Definisi Polinom

Misalkan R adalah ring. Polinom f (x) dengan koefisiendalam R adalah sebuah penjumlahan formal takhingga∑∞

i=0 aix i , dimana ai ∈ R dan ai = 0 untuk semua kecualisejumlah hingga nilai i . ai adalah koefisien-koefisien darif (x). Jika untuk i > 0, ai 6= 0 maka nilai terbesar dari i yangdemikian disebut derajat dari f (x). Jika tidak ada i > 0yang demikian maka f (x) berderajat nol .

Ring Polinomial

Himpunan R[x ] dari semua polinom dalam indeterminasi xdengan koefisien dalam ring R merupakan sebuah ringdibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinom.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Polinomial

Definisi Polinom

Misalkan R adalah ring. Polinom f (x) dengan koefisiendalam R adalah sebuah penjumlahan formal takhingga∑∞

i=0 aix i , dimana ai ∈ R dan ai = 0 untuk semua kecualisejumlah hingga nilai i . ai adalah koefisien-koefisien darif (x). Jika untuk i > 0, ai 6= 0 maka nilai terbesar dari i yangdemikian disebut derajat dari f (x). Jika tidak ada i > 0yang demikian maka f (x) berderajat nol .

Ring Polinomial

Himpunan R[x ] dari semua polinom dalam indeterminasi xdengan koefisien dalam ring R merupakan sebuah ringdibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinom.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Polinomial

Ring Komutatif dengan Unity

Jika R komutatif maka demikian juga R[x ], dan jika Rmemiliki unity 1 maka 1 juga merupakan unity dalam R[x ]

Integral Domain dan Field

Pengembangan selanjutnya dari teorema ini adalah jika Dadalah sebuah integral domain maka demikian juga D[x ].Secara khusus, jika F merupakan sebuah field, maka F [x ]merupakan sebuah integral domain.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Polinomial

Ring Komutatif dengan Unity

Jika R komutatif maka demikian juga R[x ], dan jika Rmemiliki unity 1 maka 1 juga merupakan unity dalam R[x ]

Integral Domain dan Field

Pengembangan selanjutnya dari teorema ini adalah jika Dadalah sebuah integral domain maka demikian juga D[x ].Secara khusus, jika F merupakan sebuah field, maka F [x ]merupakan sebuah integral domain.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Evaluasi

Definisi Homomorfisma Evaluasi

Misalkan F adalah subfield dari field E , α adalah sebarangelemen dalam E , dan x adalah sebuah indeterminasi.Pe-metaan φα : F [x ] → E dengan

φα(a0 +a1x +a2x2 + ...+anxn) = a0 +a1α+a2α2 + ...+anα

n

merupakan sebuah homomorphisma.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Nol dari suatu Polinom

Definisi Nol dari suatu Polinom

Misalkan F adalah subfield dari field E , dan α ∈ E .Misalkan f (x) = a0 + a1x + ... + anxn ∈ F [x ], danφα : F [x ] → E merupakan sebuah homomorphismaevaluasi. Misalkan f (α) menotasikan

φα(f (x)) = a0 + a1α + ... + anαn

Jika f (α) = 0, maka α disebut nol dari f (x).

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Algoritma Pembagian dalam F[x]

Algoritma Pembagian Polinom

Misalkan

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

danf (x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm

merupakan dua polinom dalam F [x ], dengan an dan bm

keduanya adalah elemen tak nol dalam F [x ] dan m > 0.Maka ada polinom-polinom q(x) dan r(x) dalam F [x ]sedemikian hingga f (x) = g(x)q(x) + r(x), dengan derajaddari r(x) kurang dari m = derajad dari g(x).

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor



Akibat 1

Sebuah elemen a ∈ F merupakan nol dari f (x) ∈ F [x ] jikahanya jika x − a merupakan faktor dari f (x) dalam F [x ].

Akibat 2

Suatu polinom taknol f (x) ∈ F [x ] yang berderajad n dapatmemiliki paling banyak n nol dalam field F .

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor



Akibat 1

Sebuah elemen a ∈ F merupakan nol dari f (x) ∈ F [x ] jikahanya jika x − a merupakan faktor dari f (x) dalam F [x ].

Akibat 2

Suatu polinom taknol f (x) ∈ F [x ] yang berderajad n dapatmemiliki paling banyak n nol dalam field F .

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring

Definisi Homomorfisma Ring

Suatu pemetaan φ dari ring R ke ring R′ disebuthomomorphisma jika

φ(a + b) = φ(a) + φ(b)

danφ(ab) = φ(a)φ(b)

untuk semua elemen a dan b dalam R.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring

Sifat-sifat Dasar Homomorfisma

Misalkan φ adalah homomorphisma dari ring R ke ring R′,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, makaφ(0) = 0′ merupakan identitas jumlahan dalam R′;

2 ∀a ∈ R, φ(−a) = −φ(a);3 Jika S subring pada R, maka φ(S) adalah subring pada

R′;4 Jika S′ adalah subring pada R′, maka φ−1(S′) adalah

subring pada R;5 Jika R memuat unity 1 dan φ(1) 6= 0′, maka φ(1)

merupakan unity untuk R′.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring








SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring








SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring








SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring








SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Homomorfisma Ring








SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Kernel

Pengertian Kernel

Misalkan φ : R → R′ merupakan homomorphisma ring,maka kernel dari φ, dinotasikan oleh Ker(φ), didefinisikansebagai

Ker(φ) = {a ∈ R|φ(a) = 0′}

dimana 0′ adalah identitas jumlahan dalam R′.

Teorema Kernel

Jika φ : R → R′ merupakan homomorphisma ring, makaKer(φ) merupakan subring pada R.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Kernel

Pengertian Kernel

Misalkan φ : R → R′ merupakan homomorphisma ring,maka kernel dari φ, dinotasikan oleh Ker(φ), didefinisikansebagai

Ker(φ) = {a ∈ R|φ(a) = 0′}

dimana 0′ adalah identitas jumlahan dalam R′.

Teorema Kernel

Jika φ : R → R′ merupakan homomorphisma ring, makaKer(φ) merupakan subring pada R.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Kernel

Koset dari Kernel

Misalkan φ : R → R′ adalah homomorphisma ring danH = Ker(φ). Misalkan a ∈ R. Makaφ−1{φ(a)} = a + H = H + a, dimana a + H = H + a adalahkoset yang memuat a dari grup jumlahan komutatif,< H,+ >.

Akibatnya

Sebuah homomorphisma ring φ : R → R′ merupakan fungsisatu-satu jika hanya jika Ker(φ) = {0}.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Kernel

Koset dari Kernel

Misalkan φ : R → R′ adalah homomorphisma ring danH = Ker(φ). Misalkan a ∈ R. Makaφ−1{φ(a)} = a + H = H + a, dimana a + H = H + a adalahkoset yang memuat a dari grup jumlahan komutatif,< H,+ >.

Akibatnya

Sebuah homomorphisma ring φ : R → R′ merupakan fungsisatu-satu jika hanya jika Ker(φ) = {0}.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Isomorfisma

Definisi Isomorfisma

Jika φ : R → R′ adalah homomorphisma yang satu-satudan onto, maka φ disebut isomorphisma .

Ekivalensi oleh Isomorfisma

Misalkan < adalah himpunan ring-ring, dan untuk R, R′

∈ <, didefinisikan relasi R ∼ R′ jika ada isomorphismaφ : R → R′. Maka ∼ merupakan relasi ekuivalensi.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Isomorfisma

Definisi Isomorfisma

Jika φ : R → R′ adalah homomorphisma yang satu-satudan onto, maka φ disebut isomorphisma .

Ekivalensi oleh Isomorfisma

Misalkan < adalah himpunan ring-ring, dan untuk R, R′

∈ <, didefinisikan relasi R ∼ R′ jika ada isomorphismaφ : R → R′. Maka ∼ merupakan relasi ekuivalensi.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Pembentukan Ring Faktor

Pembentukan Ring Faktor dari Homomomorfisma

Misalkan φ : R → R′ adalah homomorphisma ring denganKer(φ) = H. Maka R/H = {a + H|a ∈ R} merupakan ringdengan operasi-operasi biner :

(a + H) + (b + H) = (a + b) + H

dan(a + H)(b + H) = (ab) + H

Dan pemetaan µ : R/H → φ(R) yang didefinisikan olehµ(a + H) = φ(a), merupakan sebuah isomorphisma.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Pembentukan Ring Faktor

Well-defined

Misalkan H adalah subring pada ring R. Perkaliankoset-koset jumlahan dari H, yang didefinisikan oleh(a + H)(b + H) = ab + H adalah well-defined jika hanyajika ah ∈ H dan hb ∈ H, ∀a, b ∈ R dan h ∈ H.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal

Definisi Ideal

Suatu subring N dari ring R yang bersifat aN ⊆ N danNb ⊆ N, ∀a, b ∈ R, disebut ideal .

Pembentukan Ring Faktor oleh Ideal

Misalkan N adalah ideal pada ring R. MakaR/N = {a + N|a ∈ R} merupakan ring denganoperasi-operasi biner :

(a + N) + (b + N) = (a + b) + N

dan(a + N)(b + N) = (ab) + N

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal

Definisi Ideal

Suatu subring N dari ring R yang bersifat aN ⊆ N danNb ⊆ N, ∀a, b ∈ R, disebut ideal .

Pembentukan Ring Faktor oleh Ideal

Misalkan N adalah ideal pada ring R. MakaR/N = {a + N|a ∈ R} merupakan ring denganoperasi-operasi biner :

(a + N) + (b + N) = (a + b) + N

dan(a + N)(b + N) = (ab) + N

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Teorema Homomorfisma Dasar

Teorema 1

Misalkan N adalah ideal dari ring R. Maka φ : R → R/Nyang didefinisikan oleh φ(a) = a + N, merupakanhomomorphisma ring dengan Ker(φ) = N.

Teorema Dasar Homomorfisma Ring

Misalkan φ : R → R′ adalah homomorphisma ring denganKer(φ) = N. Maka φ(R) merupakan ring, dan pemetaanµ : R/N → φ(R), yang didefinisikan oleh µ(a + N) = φ(a),merupakan isomorophisma. Jika γ : R → R/N adalah suatuhomomorphisma yang didefinisikan oleh γ(a) = a + N,maka ∀a ∈ R, φ(a) = µγ(a).

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Teorema Homomorfisma Dasar

Teorema 1

Misalkan N adalah ideal dari ring R. Maka φ : R → R/Nyang didefinisikan oleh φ(a) = a + N, merupakanhomomorphisma ring dengan Ker(φ) = N.

Teorema Dasar Homomorfisma Ring

Misalkan φ : R → R′ adalah homomorphisma ring denganKer(φ) = N. Maka φ(R) merupakan ring, dan pemetaanµ : R/N → φ(R), yang didefinisikan oleh µ(a + N) = φ(a),merupakan isomorophisma. Jika γ : R → R/N adalah suatuhomomorphisma yang didefinisikan oleh γ(a) = a + N,maka ∀a ∈ R, φ(a) = µγ(a).

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Maksimal

Teorema 1

Jika R sebuah ring dengan unity, dan N adalah ideal padaR yang memuat suatu unit, maka N = R.

Akibatnya

Sebuah field tidak memiliki ideal proper nontrivial.

Ideal Maksimal

Sebuah ideal M pada ring R disebut ideal maksimal jika Mberbeda dari R sedemikian hingga tidak ada ideal proper Npada R yang memuat M.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Maksimal

Teorema 1


Akibatnya


Ideal Maksimal


SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Maksimal

Teorema 1


Akibatnya


Ideal Maksimal


SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Maksimal

Teorema Ideal Maksimal

Misalkan R ring komutatif dengan unity. Maka M adalahideal maksimal pada R jika hanya jika R/M merupakansuatu field.

Akibatnya

Sebuah ring komutatif dengan unity R merupakan suatufield jika hanya jika R tidak memiliki ideal proper nontrivial.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Maksimal

Teorema Ideal Maksimal

Misalkan R ring komutatif dengan unity. Maka M adalahideal maksimal pada R jika hanya jika R/M merupakansuatu field.

Akibatnya

Sebuah ring komutatif dengan unity R merupakan suatufield jika hanya jika R tidak memiliki ideal proper nontrivial.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Prima

Ideal Prima

Sebuah ideal N 6= R pada sebuah ring komutatif R disebutideal prima jika ab ∈ N berimplikasi a ∈ N atau b ∈ N,untuk a, b ∈ R.

Teorema Ideal Prima

Misalkan R ring komutatif dengan unity, dan N 6= Rmerupakan sebuah ideal pada R. Maka R/N merupakanintegral domain jika hanya jika N adalah ideal prima pada R.

Akibatnya

Setiap ideal maksimal pada sebuah ring komutatif Rdengan unity merupakan sebuah ideal prima.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Prima

Ideal Prima


Teorema Ideal Prima


Akibatnya


SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Ideal Prima

Ideal Prima


Teorema Ideal Prima


Akibatnya


SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Resume Ideal Maksimal, Ideal Prima dan GrupFaktor

Resume1 Sebuah ideal M adalah maksimal jika hanya jika R/M

merupakan field;2 Sebuah ideal N merupakan prima jika hanya jika R/N

merupakan integral domain;3 Setiap ideal maksimal pada R merupakan ideal prima.

SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor






SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor






SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor






SAL Bagian 2

Antonius CP

RingPolinomial

Homomomorfisma

Ring Faktor


Terima Kasih