Download pdf - T TECNOLOGIA 2bachiesovila.weebly.com/uploads/2/3/3/7/23372136/dossier-ti2-2nbtx.pdfFORCES tema 1.1 APUNTS BÀSICS TECNOLOGIA INDUSTRIAL 2 2.1 Els 6 principis fonamentals. L'estudi

T TECNOLOGIA

2 INDUSTRIAL 2BATXILLERAT Amadeu Vidal i Casals

TECNOLÒGIC Departament de tecnologia

T1.1 FORCES. Introducció a la mecànica.

T1.2 " . Trigonometria per a les forces.

T1.3 " . Complexos per a les forces.

T1.4 " . Sistemes de forces.

T1.5 " . Equilibri d'una partícula.

T1.6 " . Resistència de materials.

T2 RESUM D'ENERGIA.

T3 RESUM CENTRALS.

T4 MECANISMES.

T5 ELECTROTÈCNIA.

T6 LÒGICA DIGITAL. CURS 08/09

T2

BATXILLERATTECNOLÒGIC

Tema 1. FORCES.

T2


Tema 2. RESUM D'ENERGIA.

T2


Tema 3. RESUM CENTRALS.

T2


Tema 4. MECANISMES.

T2


Tema 5. ELECTROTÈCNIA.

T2


Tema 6. LÒGICA DIGITAL.

ÍNDEXAPUNTS BÀSICS

TECNOLOGIA INDUSTRIAL 2

TEMA 1.1 : INTRODUCCIÓ A LA MECÀNICA.1 Què és la mecànica ?...012 Principis i conceptes fonamentals...01

2.1 Els 6 principis fonamentals...021 Llei del paral·lelogram per a la suma de forces...022 Principi de transmissibilitat...023 Primera llei de Newton...024 Segona llei de Newton...025 Tercera llei de Newton...036 Llei de gravitació de Newton...03

3 Magnituds i equivalències en altres sistemes...04

TEMA 1.2 : FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES.1 Trigonometria en un triangle rectangle...052 Relacions entre graus i radians...053 Relacions entre les funcions trigonomètriques...054 Relacions entre un triangle pla...06Exercici lliçó...06Resolució de l'exercici lliçó...07

Pel teorema del sinus...07Per trigonometria del triangle...07

TEMA 1.3 : NÚMEROS COMPLEXOS.1 Els números reals…082 Els números imaginaris…083 Els números complexos…09

Representació gràfica…094 Formes de representació...10Ús de la calculadora científica...11Exercicis per resoldre...11Exercicis resolts...11R. Annex de resolució de l'exercici c) ...11Ra, 11Rb i 11Rc

TEMA 1.4 : SISTEMES DE FORCES (Magnitud vectorial).1 Introducció… 12EXERCICIS PER RESOLDRE (núm. 1 i 2)… 12ex1E i 13ex2E

" RESOLTS (núm. 1 i 2)…12ex1Ra, 12ex1Rb, 13ex2Ra, 13ex2Rb i 13ex2RcEXERCICIS PER RESOLDRE (núm. 3 al 13)…14ex3E al 24ex13E

TEMA 1.5 : EQUILIBRI D'UNA PARTÍCULA.1 Diagrames del sòlid lliure… 25Exercici exemple… 25 i 262 Moment d'una força… 273 Moment d'un parell de forces… 274 Palanques… 285 Criteri de signes i sentits de moments… 286 Ampliació de l'equilibri considerant moments… 28EXERCICI LLIÇÓ RESOLT… 29 i 30EXERCICIS PER RESOLDRE (núm. 14 al 20)… 31ex14E al 37ex20E



TEMA 1.6 : RESISTÈNCIA DE MATERIALS.1 Esforç de flexió…382 Casos estàticament determinats i indeterminats…383 Síntesi de la resistència de materials…394 Síntesi dels assajos de materials…405 Assaig de tracció…416 Característiques mecàniques d'alguns materials…427 Llei d'Hooke per a sòlids elàstics…438 Tensió de treball…44

Exercicis proposats…45

TEMA 2 : RESUM D'ENERGIA.1 Concepte d'energia…462 Magnituds i unitats…463 Resum de magnituds i equivalències en altres sistemes…474 Resum de formes i manifestacions de l'energia…48

1 Energia MECÀNICA…482 Energia TÈRMICA…483 Energia QUÍMICA…484 Energia ELÈCTRICA…485 Energia NUCLEAR…496 Energia RADIANT o ELECTROMAGNÈTICA…497 Energia SONORA…49

5 Resum. Transformacions energètiques…506 Energia i poder calorífic…51 i 527 Pressió. Energia. Calorífic…52

TEMA 3 : RESUM CENTRALS.1 Esquema central HIDROELÈCTRICA…532 Esquema central EÒLICA (PARC)…543 Esquema central SOLAR TÈRMICA (FORN)…554 Esquema central SOLAR FOTOVOLTÀICA…565 Esquema central GEOTÈRMICA…566 Esquema central TÈRMICA…577 Esquema central NUCLEAR…58



TEMA 4 : MECANISMES.1 Introducció…592 Màquina simple…593 Conceptes mecànics…60

1 PARELL o MOMENT…602 VELOCITATS…603 POTÈNCIA MECÀNICA…604 RELACIÓ DE TRANSMISSIÓ o VELOCITAT…60

4 Politges. Cadenes-plat/pinyó i rodes dentades…611 TRANSMISSIÓ PER CORRETJA…612 TRANSMISSIÓ PER CADENA…613 TRANSMISSIÓ PER RODES DENTADES…61

EXERCICIS…62

TEMA 5 : ELECTROTÈCNIA.1 EL CORRENT ELÈCTRIC. INTENSITAT…632 LA LLEI D'OHM…633 RESISTÈNCIA i RESISTIVITAT ELÈCTRICA…644 CIRCUIT CONNEXIÓ "SÈRIE"…655 CIRCUIT CONNEXIÓ "PARAL·LEL"…666 POTÈNCIA i ENERGIA…67

TEMA 6 : LÒGICA DIGITAL.1 INTRODUCCIÓ ALS "CI" DE PORTES…682 PORTES LÒGIQUES…69

2.1 PORTA NOT…692.2 PORTA OR…692.3 PORTA AND…702.4 PORTA NOR…702.5 PORTA NAND…70

3 L'ÀLGEBRA DE BOOLE…71FORMA CANÒNICA D'UNA FUNCIÓ LÒGICA…71SIMPLIFICACIÓ MITJANÇANT ELS MAPES DE KARNAUGH…71 a 72Exercici 1 i 2…73Exercici 3…74Exercici 4…75

FORCES tema 1.1APUNTS BÀSICS


A finals del segle XVII, Isaac Newton enuncià els principis fonamentals de la mecànica, els qualsconstitueixen els fonaments d'una part important de l'enginyeria moderna.

Encara que l'estudi de la mecànica data dels temps d'Aristòtels (384-322 a. de C.) i d'Arquímedes(287-212 a. de C.), però, cal esperar fins Newton (1642-1727) per a una formulació satisfactòriadels seus principis fonamentals. Posteriorment, d'Alambert, Lagrange i Hamilton expressaren els mateixos principis, d'una altra forma. La seva validesa va ser indiscutible fins que Albert Einstein vaformular la teoria de la relativitat (1905) . Actualment les limitacions d'aquests principis ja sónreconegudes, però, la mecànica newtoniana , o clàssica , segueix sent la base de les ciències de l'enginyeria actual.

1 Què és la mecànica?.

E s pot definir com la ciència que descriu i preveu l'estat de repòs o moviment dels cossos sotal'acció de les forces. Es divideix en tres parts :

1 La mecànica dels cossos rígids. [estàtica i dinàmica].

2 La mecànica dels cossos deformables. [estructures i màquines].

3 La mecànica dels fluids. [compressibles (pneumàtica) i incompressibles (hidràulica)]

2 Principis i conceptes fonamentals.

El conceptes bàsics emprats en la mecànica són l'espai , el temps , la massa i la força .Aquests conceptes no es poden definir fidelment , els hem d'acceptar basant-nos en la nostra intuïciói experiència i utilitzar-los com un marc de referència mental, és important l'abstracció.

espai Posició d'un punt P el qual es pot definir mitjançant 3 longituds en coordenades de P.

temps Per a definir un succés cal indicar a més de la posició en l'espai l'instant en el que passa.

massa Comparació dels cossos sobre la base de certs experiments mecànics fonamentals.Per exemple, dos cossos de la mateixa massa seran atrets per la Terra amb la mateixaintensitat i, a les hores, reaccionaran amb la mateixa resistència a les variacions en el seumoviment de translació.

força Representa l'acció d'un cos sobre un altre cos.Una força pot exercir-se mitjançant un contacte real o a distància, com en el cas de lesforces gravitatòries i les magnètiques.Una força es caracteritza pel seu punt d'aplicació , el seu mòdul i la seva direcció i esrepresenta mitjançant un vector .

E n la mecànica newtoniana.- L'espai, el temps i la massa són conceptes absoluts , independentsentre ells.En canvi, el concepte de força no és independent dels altres tres.

E n la mecànica relativista.- L'instant d'un succés depèn de la seva posició i la massa d'un cosdepèn de la seva velocitat.

Per partícula , o també punt material o massa puntual , s'entén una molt petita quantitat de matèria,la qual pot suposar-se que ocupa un punt geomètric de l'espai.

pàg. 1



2.1 Els 6 principis fonamentals.L'estudi de la mecànica elemental radica en sis principis fonamentals basats en proves experimentals.

1 Llei del paral·lelogram per a la suma de forces.Dues forces sobre una partícula (A) pot substituir-se per una solaforça, anomenada resultant (R) , obtinguda traçant la diagonal delparal·lelogram definit per les forces (P i Q) donades.

fig.1

2 Principi de transmissibilitat.L'estat d'equilibri o de moviment d'un sòlidrígid no s'altera si una força (F) actuanten un punt donat del sòlid rígid es substitueixper una força (F') del mateix mòdul i lamateixa direcció, però aplicada en un altrepunt, de manera que les dues forces tinguinla mateixa recta suport.

fig.2

3 Primera llei de Newton.Si la resultant de les forces actuants sobre una partícula és nul·la, la partícula seguirà en repòs(si originalment estava en repòs) o es mourà avelocitat constant seguint una línia recta (si originalment estava en moviment).

fig.3

4 Segona llei de Newton.Si la força resultant actuant sobre una partícula no és nul·la, la partícula posseiràuna acceleració de mòdul proporcional al mòdul d'aquesta força resultant i amb la

F = m · a direcció d'aquesta.F = la força resultant actuant sobre la partícula. m = la massa de la partícula.a = l'acceleració de les partícules.

pàg. 2

RP

QA

F

F'

F

F'



5 Tercera llei de Newton.Les forces d'acció (F i FW) i reacció (-F i FN) ques'exerceixen els sòlids en contacte tenen el mateixmòdul, la mateixa recta suport i sentits contraris.

fig.4

6 Llei de gravitació de Newton.Dues partícules de masses (M i m) s'atreuen mutuamentamb forces iguals i oposades (F i -F).

r = distància entre les dues partícules.M · m G = constant de la gravitació.

F = G · -------- r2

Aquesta llei introdueix el fet d'una acció a distància i ampliala validessa de la tercera llei de Newton : L'acció F i lareacció -F són iguals i oposades i tenen la mateixa recta

fig.5 suport.

Un cas particular d'especial importància és el de l'atracció exercida per la Terra sobre una partículasituada en la seva superfície. Per definició, la força (F) que exerceix la Terra sobre la partícula ésl'anomenat pes (FW) de la partícula, considerant (M) a la massa de la Terra, (m) a la massa de lapartícula, (r) igual al radi (R) de la Terra.

G · MSi : r = Rterra introduïm una nova constant : g = -------

R2

G · MFW = ------- · m FW = m · g

R2

El valor R depèn de l'alçada del punt considerat, també de la latitud (la terra no és esfèrica). Per laqual cosa el valor de g varia segons la posició del punt considerat, si més no, mentre el punt estigui enla superfície terrestre : g = 9,81 m/s2 que ens dóna una precisió suficient.

pàg. 3

rF

-FM

m

-FF

FN

FW



3 MAGNITUDS i EQUIVALÈNCIES EN ALTRES SISTEMES.MASSA unitat SI...Kg ENERGIA unitat SI...J

1 utm = 9,8 Kg 1 lliura = 453,592 g 1 Ws = 1 J 1 Nm = 1 J 1 Kpm = 9,8 J

FORÇA unitat SI...N 1 Btu = 1055 J 1 J = 107 erg.

1 Kp = 9,8 N 1 N = 105 dines 4,18 J = 1 cal

TEMPS unitat SI...s POTÈNCIA unitat SI...W (J/s)

1 h = 3600 s 1 min = 60 s 1 W = 1 J/s 1 CV = 736 W

LONGITUD unitat SI...m VELOCITAT unitat SI...m/s

1 milla (anglesa) = 1609,3 m 1 nus = 1,852 Km/h = 0,5 m/s

1 milla (anglesa) = 1 milla (americana) VOLUM unitat SI...m3

1 milla (marina) = 1852 m 1 L = 1 dm3 1 galó (anglès) = 3,785 L

1 peu = 30,48 cm 1 polzada = 2,54 cm 1 galó (americà) = 4,546 L

TEMPERATURA unitat SI...ºK PRESSIÓ unitat SI...Pa Pa = Pascal

ºF = 1,8 · ºC + 32 K = 0,56 · ºF + 255,2 1 Pa = 1 N/m2 1 atm = 105 PaK = ºC + 273 ºC = K - 273ºC = 0,56 · ºF - 17,8 ºF = 1,8 · K - 459,4 1 bar = 105 Pa

SISTEMES D'UNITATS : Longitud Massa Temps ForçaSI m Kg s N Sistema internacional.CGS cm g s dina Sistema Giorgi.ST m utm s Kp Sistema tècnic.

MÚLTIPLES

Factor Prefix Símbol EXPRESSIONS A RECORDAR :1018 exa E1015 peta P EW = Energia. (treball).1012 tera T EW = P · t EW = F · e P = Potència.109 giga G 1 2 t = Temps.106 mega M F = Força.103 quilo K e = Espai (longitud).102 hecto h Ec = 1/2 · m · v2 Ep = m · g · h Ec = Energia cinètica.10 deca da 3 4 Ep = Energia potencial.

SUBMÚLTIPLES m = Massa.Factor Prefix Símbol v = velocitat.10-18 atto a F = m · a F = m · g g = Acceleració gravetat.10-16 fent f 5 6 a = Acceleració..10-12 pico p h = Espai (alçada).10-9 nano n EN = Energia nuclear.10-6 micro µ EN = m · c2 Expressió d'Einstein. c = velocitat de la llum.10-3 mil.li m 7 c = 3·108 m/s10-2 centi c c = 1080·106 Km/h10-1 deci d g = 9,8 m/s2

pàg. 4

s



1 Trigonometria en un triangle rectangle.

El triangle ABC té un angle recte (90º) en C i costats de longitud a, b, c .Les funcions trigonomètriques de l'angle A es defineixen de la manera següent :

a c1 sinA = ----- (sinus) 4 cscA = ----- (cosecant)

c a

b c2 cosA = ----- (cosinus) 5 secA = ----- (secant)

c b

a b3 tanA = ----- (tangent) 6 cotA = ----- (cotangent)

b afig.6

2 Relacions entre graus i radian .

Un radià és aquell angle θ determinat en el centre 0 d'unacircumferència per un arc M-N igual al radi.

7 2π radians = 360º

8 1 radià = 180º / π = 57,29577951º

9 1º = π / 180 radians

fig.7

3 Relacions entre les funcions trigonomètriques.sinA

10 tanA = -------- 13 sin2 2A + cos A = 1 18 cos(-A) = cosAcosA

1 cosA 14 sec2 2A + tan A = 1 19 sec(-A) = secA11 cotA = -------- = -------

tanA sinA15 csc2 2A + cot A = 1 20 tan(-A) = -tanA

112 secA = --------

cosA 16 sin(-A) = -sinA 21 cot(-A) = -cotA

17 csc(-A) = -cscA

pàg. 5

A C

B

c a

b

rθ

r r

0 M

N



4 Relacions entre un triangle pla.

Les relacions següents són vàlides per a qualsevoltriangle pla ABC, de costats a, b, c, siguin els que siguin els angles que formen entre ells.

22 Teorema del sinus :

a b c------ = ------ = ------ sinA sinB sinC

23 Teorema del cosinus :

c2 = a2 + b2 - 2·a·b · cosCEls altres costats estan relacionats de forma similar.

fig.8

Exercici lliçó de la teoria 1 i 3.

pàg. 6

A

BC

a

bc

25 KN

F1

F2

45º

105º

30º25 KN

F2

45º

F1

30º30º

45º

F2

45º

F1

30º

Solució pel teoremadel sinus.

Solució pertrigonometriadel trianglerectangle

Gabarra Remol cador 1

R emolcador 2

F2

F130º

45º

Problema lliçó : Dos remolcadors arrossegan una gabarra.Si la resultant de les forces exercides pels remolcadorsés de 25 KN dirigida segons l'eix de la gabarra. Calculeu les tensions 1 i 2 si sabem els angles que formenels eixos dels remolcadors amb la gabarra.



Resolució de l'exercici lliçó.

Pel teorema del sinus : a b c a = F2 A = 30º, sin30º = 0,5------ = ------ = ------ b = F1 B = 45º, sin45º = 0,707 sinA sinB sinC c = R = 25 KN C = 105º, sin105º = 0,966

F2 F1 25 F1-------- = -------- = ---------- -------- = 25,88 F1 = 25,88 · 0,707 = 18,30 KNsin30º sin45º sin105º 0,707

F2------ = 25,88 F2 = 25,88 · 0,5 = 12,94 KN 0,5

Per trigonometria del triangle :Si en fixem en el gràfic de la pàg.07 observarem la descomposició de forces en l'eix (X) i (Y).

Podem deduir el següent :

fig.10

F1 · sin30º - F2 · sin45º = 0 eix (Y). Y) F1 · sin30º = F2 · sin45º

F1 · cos30º + F2 · cos45º = 25 eix (X). sin45ºF1 = F2 · --------- = 1,414

sin30º

F1 = 1,414·F2

1,414·F2 · cos30º + F2 · cos45º = 25

1,225·F2 + 0,707 · F2 = 25

(1,225 + 0,707) · F2 = 25

25F2 = -------- = 12,94 KN F1 = 1,414 · 12,94 = 18,30 KN

1,932

pàg. 7

F1

30º

F2

45º

25 KN



NÚMEROS COMPLEXOS.

1 Els números reals.

El cos dels números reals es componen de números racionals i irracionals.

El conjunt de números reals es poden posar en correspondència amb el conjunt dels puntsd'una recta que s'anomena eix real : vol dir què, cada punt de la recta representa un únicnúmero real i qualsevol número real es representa per un únic punt de la recta.

La suma, resta, multiplicació i divisió de dos o més números reals és un altre número real.

L'arrel quadrada d'un número real positiu és, també, un altre número real.

L'arrel quadrada d'un número real negatiu no és un número real.

2 Els números imaginaris.

L'arrel quadrada d'un número real negatiu és un número imaginari :

per exemple : - 1 - 2 - 4

Si considerem : j = - 1 L'anomenarem unitat imaginària, es pot expressar com :

- 2 = - 1 · 2 = j · 2

- 4 = - 1 · 4 = j · 4 = j·2

Les successives potències de la unitat imaginària són : j2 = -1 j3 = j2 . j = (-1).j = -j

Els números imaginaris es poden posar en correspondència amb el conjunt dels punts d'unaaltre recta, que s'anomena eix imaginari.

L'expressió imaginària sembla desafortunada, perquè aquests números tenen tanta existènciafísica com els reals.

El que es vol dir és, què : els números imaginaris no es poden representar per un punt enl'eix dels números reals.

pàg. 8

-1-2-3-4-5 0 1 2 3 4 5

23-−π-14/3 π 9/2

-j1-j2-j3-j4-j5 0 j1 j2 j3 j4 j5



3 Els números complexos.

Un número complex z té forma de : ( x + jy ), ( -x + jy ), ( x - jy ) i ( -x -jy ).

x i y són números reals.

j = - 1 unitat imaginària.

Un número complex, la component x s'anomena part real i la component jy part imaginaria.

Per tant, el conjunt dels números reals té com subconjunts als números reals i als imaginaris.

Representació gràfica.

fig.11

pàg. 9

+j1

+j2

+j3

+j4

+j5

+j6

-j1

-j2

-j3

-j4

-j5

-j6

-1-2-3-4-5-6 +1 +2 +3 +4 +5 +6

ω[90º]

[0º][360º][180º]

[270º]

z4 = (-4 +j1)

z3 = (-2 +j6)

z2 = ( 2 +j2)

z1 = ( 3 +j0)

z6 = ( 3 -j4)

z5 = (-3 -j1)

Sentiteixosortogonals.

1rquadrant

2nquadrant

3rquadrant

4tquadrant



4 Formes de representació.fig.12

Forma rectangular (R) : ( 2 +j2 )

z = x +jy = r ( cosϕ +j sinϕ )

Forma polar (P) : 2,83 / 45º

r = mòdul o valor absolut r = [z] r = x2 + y2

ϕ = argument de z ϕ = arctan y/x

Exemple : Convertirem els 6 números complexos representats (anteriorment pàg. 11) en elseixos ortogonals de coordenades. Conversió de R ---> P.

1 z1 j r = ( 3 + 0 ) 1 = 9 + 0 = 3

0ϕ1 = arctg ---- ==> 0º z1 = 3 / 0º

3

2 z2 j r = ( 2 + 2 ) 2 = 4 + 4 = 2,83

2ϕ2 = arctg ---- ==> 45º z2 = 2,83 / 45º

2

3 z3 j r = ( -2 + 6 ) 3 = 4 + 36 = 6,32

6ϕ3 = arctg ---- ==> -71,6º (180 - 71,6)*A z3 = 6,32 / 108º

-2

4 z4 j r = ( -4 + 1 ) 4 = 16 + 1 = 4,12

1ϕ4 = arctg ---- ==> -14,0º (180 - 14,0)*A z4 = 4,12 / 160º

-4

5 z5 j r = ( -3 - 1 ) 5 = 9 + 1 = 3,16

-1ϕ5 = arctg ---- ==> 18,4º (18,4 - 180)*B z5 = 3,16 / -161,6º

-3

6 z6 j r = ( 3 - 4 ) 6 = 9 + 16 = 5,00

-4ϕ6 = arctg ---- ==> -53,1º *C z6 = 5,00 / -53,1º

3*A.- L'angle resultant correspon al quadrant on es troba el punt,en aquest cas 2n quadrant.

Si el volem referenciar en l'eix de 0º en rotació positiva hem de fer aquesta transformació.*B.- L'angle resultant correspon al quadrant on es troba el punt,en aquest cas 3r quadrant.

Si el volem referenciar en l'eix de 0º en rotació negativa hem de fer aquesta transformació.*C.- L'angle resultant correspon al quadrant on es troba el punt,en aquest cas 4t quadrant.

Si el volem referenciar en l'eix de 0º en rotació negativa el resultat és correcte, peròsi el volguèssim referenciar en rotació positiva, l'angle seria (360 - 53,1 = 306,9º),només cal mirar-se els eixos representats.

OBSERVACIONS .- Les conversions fetes, també es poden fer directament en una calculadora científica.

pàg. 10

2

2

jy

x

r

z

ϕ



Ús de la calculadora científica.CASIO fx-82SXExemple : (3 +j4) convertir-ho a coordenades polars.

3 SHIFT R-->P 4 = 5 SHIFT X<-->Y 53,1

Resultat = 5 / 53,1º

Exemple : 5 / 53,1º convertir-ho a coordenades rectangulars.

5 SHIFT P-->R 53,1 = 3,002 SHIFT X<-->Y 3,998

Resultat = (3 +j4)

CASIO fx-115WExemple : (3 +j4) convertir-ho a coordenades polars.

SHIFT Pol( 3 , 4 ) = 5 RLC F

53,1 Resultat = 5 / 53,1º

Exemple : 5 / 53,1º convertir-ho a coordenades rectangulars.

SHIFT Rec( 5 , 53,1 ) = 3,002 RLC F

3,998 Resultat = (3 +j4)

Exercicis.Donats els números complexos :

z1 = 10 / -15º z2 = ( 7 -j9 ) z3 = 4 / 30º

z4 = ( -8 -j6 ) z5 = 3 / -108º z6 = 5 / -45º

Feu les següents operacions :

a) z1 . z4 z2 / z4

b) z1 + z3 z1 - z3 z3 - z1

c) z4 + z5 + z6 Analíticament i gràficament

pàg. 11



Resolució dels exercicis pàg. 4.

Exercicis.Donats els números complexos : Feu les següents operacions :

z1 = 10 / -15º z2 = ( 7 -j9 ) z3 = 4 / 30º a) z1 . z4 z2 / z4

z4 = ( -8 -j6 ) z5 = 3 / -108º z6 = 5 / -45º b) z1 + z3 z1 - z3 z3 - z1

c) z4 + z5 + z6Analíticament i gràficament

Resolució.

a) z4 = ( -8 -j6 ) = 10 / -143,1º z14 = 10 / -15º · 10 / -143,1º = 100 / -158,1º

11,4 / -52,1º z2 = ( 7 -j9 ) = 11,4 / -52,1º z2/4 = ----------------- = 1,14 / 91,0º

10 / -143,1º

b) z1 = 10 / -15º = ( 9,66 -j2,59 ) z3 = 4 / 30º = ( 3,46 +j2,00 )

z1+3 = ( 9,66 -j2,59 ) + ( 3,46 +j2,00 ) = ( 13,12 -j0,59 )

z1-3 = ( 9,66 -j2,59 ) - ( 3,46 +j2,00 ) = ( 6,20 -j4,59 )

z3-1 = ( 3,46 +j2,00 ) - ( 9,66 -j2,59 ) = ( -6,20 +j4,59 )

c) z5 = 3 / -108º ( -0,93 -j2,85 ) z6 = 5 / -45º = ( 3,54 -j3,53 )

z4+5+6 = ( -8 -j6 ) + ( -0,93 -j2,85 ) + ( 3,54 -j3,53 ) z4+5+6 = ( -5,39 -j12,39 ) = 13,51 / -113,5º

pàg. 11Ra

+j2

-j2

-j4

-j6

-j10

-j12

-2-4-6-8-10 +2 +4 +6

ω

[90º]

[0º][360º]

[180º]

[270º]

-j8

z4

z5 z6

z4+z5

z4+z5+z6-j14

RESOLUCIÓGRÀFICA

-113,5º

13,5

1

-5,39

-j12,39



Resolució exercici c) pàg. 4.PAS 1

Inicialment projectem lesparts reals i imaginàriesdels 3 números z4, z5 i z6

en l'eix d'abscisses (partreal) i el eix d'ordenades.

A partir de l'origen delseixos tracem els vectorsdes de l'origen fins a laintersecció de les projec_cions fetes.

PAS 2

Fem la suma de z4 + z5

fent ús del paral·lelogram.

El resultat serà el vectorsuma z4 + z5.

pàg. 11Rb

+j2

-j2

-j4

-j6

-j10

-j12

-2-4-6-8-10 +2 +4 +6

ω

[90º]

[0º][360º]

[180º]

[270º]

-j8

z4

z5 z6

-j14

PAS 1

-j3,53

-j2,85

-0,93 3,54

+j2

-j2

-j4

-j6

-j10

-j12

-2-4-6-8-10 +2 +4 +6

ω

[90º]

[0º][360º]

[180º]

[270º]

-j8

z4

z5 z6

z4+z5

-j14

PAS 2



Resolució exercici c) pàg. 4.PAS 3

Fem la suma (z4 + z5) + z6

fent ús del paral·lelogram.

El resultat serà el vectorsuma (z4 + z5) + z6.

PAS 4REPRESENTACIÓGRÀFICA.

Si fem les projeccionscorresponents podremobservar.

El vector resultat serà :

En rectangulars.( -5,39 -j12,39)

En polars.13,51 / -113,5º també13,51 / 246,5º

pàg. 11Rc

+j2

-j2

-j4

-j6

-j10

-j12

-2-4-6-8-10 +2 +4 +6

ω

[90º]

[0º][360º]

[180º]

[270º]

-j8

z6

z4+z5

z4+z5+z6-j14

z5

PAS 3

+j2

-j2

-j4

-j6

-j10

-j12

-2-4-6-8-10 +2 +4 +6

ω

[90º]

[0º][360º]

[180º]

[270º]

-j8

z4

z5 z6

z4+z5

z4+z5+z6-j14

-113,5º

13,5

1

-5,39

-j12,39

RESOLUCIÓGRÀFICA



1 Introducció.Com ja s'ha dit la força és una magnitud vectorial, no n'hi ha prou de definir-ne el seu valor, cal definir :

Modul o intensitat : Valor numèric de la força.

Direcció : Posició dins un pla de coordenades (angle).

Sentit : Orientació del vector dins la línia d'acció.

Punt d'aplicació : Punt del cos on actua el vector força.

fig.13

En el dibuix de la fig.14 tenim un cos (caixa)en la qual se l'hi apliquen dues forces, la Fa ila Fb, si analitzem aquestes forces tenim :

LA FORÇA (a) fig.14

Mòdul = 32 mm (1mm = 100 N). 3200 NDirecció = 30º (eixos ortogonals).Sentit = positiu en el 1r quadrant.Punt d'aplicació = vertex superior dret.

LA FORÇA (b) gfi .15

Mòdul = 16 mm (1mm = 100 N). 1600 NDirecció = 180º (eixos ortogonals).Sentit = negatiu eix (x).Punt d'aplicació = vertex superior esquerra.

Les forces aplicades a la caixa (fig.14) es poden representar com a la fig.15. Les dues forces es podendescomposar en una altra força resultant R.

Per nombres complexos :Fa = 3200 / 30º N = (2771 +j1600) N R = Fa + Fb = (2771 +j1600) + (-1600 +j0) = (1171 +j1600) N

Fb = 1600 / 180º N = (-1600 +j0) N R = 1982 / 53,8º N

R = 1982 N α = 53,8º sentit = positiu 1rq.

Per trigonometria del triangle :Rx = 2771 - 1600 = 1171 N

Fax = 3200 · cos30º = 2771 N Ry = Fay = 1600 N

Fay = 3200 · sin30º = 1600 N Ry 1600tgα = ------ = -------- = 1,366 α = 53,8º

Rx 1771

Fbx = Fb = -1600 N Rx 1171R = ------- = ------------- = 1982 N

cosα cos53,8º

pàg. 12

Fa = 3200 N

ϕ =30ºϕ =180º

Fb = 1600 N

Mòdul Sentit

DireccióPuntd'aplicació

ϕ

Fa = 3200 N

30º180º

Fb = 1600 N

R

α

Fb = 1600 N

Fa = 3200 N

30º

Fay

Fax

FORCES tema 1.4exercicis APUNTS BÀSICS


Exercici 1 :En el punt B de la biga AB hi ha aplicadesdues forces.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

Resul. R = 3,304 KN αR = 66,6º

pàg. 12ex1E

40º 60º

BA

2 KN 3 KN

fig. ex1



Exercici 1 :En el punt B de la biga AB hi ha aplicadesdues forces.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

a) Resolució gràfica :

Escala :20 mm = 1 KN

b1) Resolució per trigonometria del triangle rectangle :Px = P · sinαP = 2 · sin40 = - 1,286 KN

Py = P · cosαP = 2 · cos20 = - 1,532 KN

Qx = Q · sinαQ = 3 · sin60 = 2,598 KN

Qy = Q · cosαQ = 3 · cos60 = - 1,500 KN

Rx = - 1,286 + 2,598 = 1,312 KN

Ry = - 1,532 - 1,500 = - 3,032 KN

R = Rx2 + Ry2

R = 1,3122 + (- 3,0322) = 3,304 KN

Rxarc cosαR = arc cos ------- = 66,6º

R

Escala : Rx = 1,312 KN20 mm = 1 KN R = 3,304 KN αR = 66,6º

Ry = - 3,032 KN

pàg. 12ex1Ra

40º 60º

BA

2 KN 3 KN

fig. ex1

60º

40º

67º

P (2KN

) Q (3KN)

R (3,3KN)

60º

40º

P (2KN

) Q (3KN)

Px Qx

Py Qy



b1) Resolució per trigonometria del triangle rectangle (continuació) :

Escala :20 mm = 1 KN

Rx = 1,312 KNR = 3,304 KN αR = 66,6º

Ry = - 3,032 KN

pàg. 12ex1Rb

66,6º

R (3,3KN)

Rx

Ry



Exercici 2 :En el punt A del ganxo hi ha aplicadesdues forces P i Q.Sabem que P = 75 N i Q = 125 N.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

Resul. R = 178,9 N αR = 75,1º

pàg. 13ex2E

20º 35º

P

Q

A

fig. ex2



Exercici 2 : a) Resolució gràfica :En el punt A del ganxo hi ha aplicadesdues forces P i Q. Escala :Sabem que P = 75 N i Q = 125 N. 1 mm = 2 NCalculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

b1) Resolució per trigonometria del triangle rectangle :

Px = P · sinαP = 75 · sin20 = - 25,65 N

Py = P · cosαP = 75 · cos20 = - 70,48 N

Qx = Q · sinαQ = 125 · sin35 = 71,70 N

Qy = Q · cosαQ = 125 · cos35 = - 102,4 N

Rx = - 25,65 + 71,70 = 46,05 N

Ry = - 70,48 - 102,4 = - 172,9 N

R = Rx2 + Ry2 R = 46,052 + (- 172,92) = 178,9 N

Rxarc cosαR = arc cos ------- = 75,1º

Escala : R1 mm = 2 N

Rx = 46,05 NR = 178,9 N αR = 75,1º

Ry = - 172,9 N

pàg. 13ex2Ra

20º 35º

P

Q

A

fig. ex2

(35º)(20º)(-76º)

R

P

Q

(75N

)

(125N)

(179N)

(35º)(20º)

P

Q

(75N

)

(125N)

Px

Py

Qx

Qy

αP αQ



b1) Resolució per trigonometria del triangle rectangle (continuació) :

Escala :1 mm = 2 N

Rx = 46,05 NR = 178,9 N αR = 75,1º

Ry = - 172,9 N

Rxarc cosαR = arc cos ------- = 75,1º o també :

R

Ryarc sinαR = arc sin ------- = 75,1º també :

R

Ryarc tanαR = arc tan ------- = 75,1º

Rx

b2) Resolució per trigonometria del triangle pla :

Escala :1 mm = 2 N

Aplicarem el teorema del cosinus altriangle que formen els vectors P, Q i R.

Per deducció dels angles ja conegutsde 20º i 35º (55º) podem saber l'angleentre Q i P (180º - 55º = 125º).

R2 = Q2 + P2 - 2 · Q · P · cos125

R2 = 1252 + 752 - 2 · 125 · 75 · cos125 =

R2 = 21250 + 10754 = 32004

R = 32004 = 178,9 N

Pel teorema del sinus podrem deduirl'angle del vector resultant :

R P-------- = --------sin125 sin p

P · sin125 75 · sin125sin p = ------------- = --------------- = 0,343 arc sin0,343 = 20,1º αR = 20 + 55 = 75,1º

R 178,9

pàg. 13ex2Rb

R

(179N)

Rx

Ry

αR(75,1º)

(35º)

P

Q(125N)

R

(20º)

P

(75N

)

(125º)

35º

20º

125º



b3) Resolució per nombres complexos :

Escala :1 mm = 2 N

El vector P el podem expressar com :

C. Polars C. Rectangulars

75 / -110º N(-25,65 -j70,48) N

75 / 250º N

El vector Q el podem expressar com :

C. Polars C. Rectangulars

125 / -55º N(71,70 -j102,4) N

125 / 305º N

La resultant serà la suma vectorial de P i Q :

R = P + Q = (-25,65 -j70,48) + (71,70 -j102,4) = (46,05 -j172,9) N

C. Rectangulars C. Polars

R = (46,05 -j172,9) ----> R = 178,9 / -75,1 N

Direcció = αR = - 75,1º

Mòdul = R = 178,9 N

Component y = Ry = - 172,9 N

Component x = Rx = - 46,05 N

OBSERVACIONS .- El problema núm. 2 l'hem resolt amb 4 mètodes diferents per arribar a un mateixresultat. Poden haver-hi lleugeres diferències en funció del nombre de xifressignificatives que utilitzem, en aquest cas n'hem utilitzat 4 xifres.

El 1r mètode és el de la resolució gràfica utilitzant el paral·lelogram, en aquest casheu de grafiar els vectors a una escala adient i ajudar-vos per un transportadord'angles. Si heu operat amb molta cura us adonareu que coincideixen amb elsresultats dels altres mètodes.

El 2n mètode és el trigonometria del triangle rectangle, descomposició dels vectors en els seus components x i y, els quals podrem sumar algebraicament per conèixerels vectors components de la resultant, posteriorment trobarem el mòdul i angle.

El 3r mètode és el de trigonometria del triangle pla, aplicant el teorema del cosinussinus, ens permetrà conèixer el vector resultant, mòdul i angle. Pels alumnes, potser, ladificultat rau en la deducció d'un dels angles del triangle (no rectangle) format pelsvectors.

El 4t mètode, molt utilitzat en electrotècnia i no tant en mecànica, és mitjançant nombres complexos amb el recolzament de la calculadora científica per a fer lesconversions de coordenades polars a rectangulars o a l'inrevés.

Qualsevol mètode és correcte, considero que la resolució gràfica és pràcticamentnecessària per adonar-vos de qualsevol errada quan el problema el completeu peralgun dels tres últims mètodes.

pàg. 13ex2Rc

35º

P

Q

(75N

)

(125N)

55º

ω

70º

20º



Exercici 3 :En el punt A del ganxo hi ha aplicades duesforces P i Q. Sabem que P = 300 N i Q = 125 N.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

pàg. 14ex3E

20º 35º

P

Q

A

fig. ex3



Exercici 4 :Els vents AB i AD ajuden a subjectar el pal AC.Sabem que en AB i AD les tensions són :TAB = 600 N i TAD = 200 N.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció queactuen en el punt A.b) També feu-ho per altres sistemes.

pàg. 15ex4E

6 m8 m9,

25 m

A

B C D

fig. ex4



Exercici 5 :Donades les forces S, Q i P.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul idirecció.b) També feu-ho per altressistemes.

pàg. 16ex5E

S = 80 NQ = 150 N

P = 100 N

20º

30º

15º

fig. ex5



Exercici 6 :Donades les forces S, Q i P.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul idirecció.b) També feu-ho per altressistemes.

pàg. 17ex6E

60º 95º

P = 100 N

Q = 50 N

A

fig. ex6



Exercici 7 :En el punt A del pal AB hi ha subjectat uncable telefònic. Sabem que T1 = 40 KN.Calculeu :a) Graficament la T2, mòdul i direcció,

considerant que R ha de exercir unaforça vertical en A.

b) També feu-ho per altres sistemes.

pàg. 18ex7E

A

B

T1

T2

15º 25º

fig. ex7



Exercici 8 : En el punt A del pal AB hi hasubjectat un cable telefònicSabem que T2 = 45 KN.Calculeu :a) Graficament la T1, mòdul

i direcció, considerantque R ha de exercir unaforça vertical en A.

b) També feu-ho per altressistemes.

pàg. 19ex8E

A

B

T1

T2

15º 25º

fig. ex8



Exercici 9 :El ganxo suporta les dues forces que esreflecteixen en la fig. Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

pàg. 20ex9E

50 N

25º

P

α

fig. ex9



Exercici 10 :El ganxo suporta les dues forces que esreflecteixen en la fig. Sabem que P = 75 N i α = 50º.Calculeu :a) Graficament la R, mòdul i direcció.b) També feu-ho per altres sistemes.

pàg. 21ex10E

Q

(50º)

75 N

α

β

fig. ex10



Exercici 11 :En l'interior d'una excavació cal instal·lar-hiun dipòsit d'acer.Sabem que α = 20º.Calculeu :La força que ha de tenir P perquè la R de lesdues forces aplicades en A sigui vertical.Feu-ho per qualsevol dels sistemes coneguts.

pàg. 22ex11E

30º α

2000 N

P

A

fig. ex11



Exercici 12 :En l'interior d'una excavació cal instal·lar-hiun dipòsit d'acer.Sabem que P = 2,2 KN.Calculeu :a) El angle α perquè la R de les dues forcesaplicades en A sigui vertical.b) La R, mòdul i direcció.Feu-ho per qualsevol dels sistemes coneguts.

pàg. 23ex12E

30º α

2000 N

P

A

fig. ex12



Exercici 13 :Sobre la nau de la fig.13 hi ha aplicadesles següents forces :A .- Representa el pes de la nau.A = 20 KNB .- Representa l'empenta dels motors areacció.B = 42 KNC .- Representa a la força de sustentacióde la nau.C = 15 KND .- Representa a la força passiva de l'aire.

Calculeu la resultant (R) de les forces A, B, C i D. D = 10 KN

α = 22,6º

pàg. 24ex13E

A

C

DB

αfig. ex13



En els blocs anteriors s'ha vist diferents procediments per trobar la resultant (R) de vàries forcesaplicades a una partícula.

Encara que en cap exercici la resultant era zero (R = 0), sí que possible que la resultant siguinul·la.

En cas que R = 0 ens indica que l'efecte net de totes les forces aplicades és nul·la per la qual cosa es diu que la partícula està en equilibri.

R = Σ F = 0 D'aquesta expressió es dedueix : Σ FX = 0 Σ FY = 0

1 Diagrames del sòlid lliure.

En la pràctica els problemes de mecànica aplicada són conseqüència de situacions reals.

S'anomena diagrama de l'espai a un dibuix ràpid, de vectors, en el que s'esquematitzen lescondicions físiques d'un problema.

Exercici exemple :Segons la figura, dos cables estanunits i carregats per un pes P.

Calculeu :

a) La tensió del cable AC.

b) La tensió del cable BC.

c) La tensió del cable CP.

DIAGRAMA SÒLID LLIUREΣ FX = 0 1) - A · cos40 + B · cos20 = 0

0,766 A = 0,940 B

0,940 BA = -------------- = 1,227 B

0,766

Σ FY = 0 2) A · sin40 + B · sin20 - 2000 = 0

0,643 · 1,227 B + 0.342 B = 2000

0,789 B + 0,342 B = 2000

1,131 B = 2000

2000B = ---------- = 1768 N B = 1768 N

1,131

A = 1,227 B = 2169 N A = 2169 N

P = 2000 N

pàg. 25

2000 N

40º 20ºA B

C

P

40º 20º

A

B

C

P

2000 N



Exercici exemple pàg.25 (altres maneres de resolució) :Segons la figura, dos cables estanunits i carregats per un pes P.

Calculeu :

a) La tensió del cable AC.

b) La tensió del cable BC.

c) La tensió del cable CP.

DIAGRAMA SÒLID LLIURE

Una altra manera de resoldre’l, pel teorema del sinus :

A B P 2000------- = -------- = --------- = -------- = 2309sin70 sin50 sin60 sin60

A = sin70 · 2309 = 2170 N

B = sin50 · 2309 = 1769 N

Resultat pel teorema Resultat pàg. Anterior

A = 2170 N A = 2169 N

B = 1769 N B = 1768 N

P = 2000 N P = 2000 N

La diferència numèrica dels vectors tensió A i B són deguts al

nombre de xifres significatives emprades entre els dos mètodes.

pàg. 26

2000 N

40º 20ºA B

C

P

40º 20º

A

B

C

P

2000 N

P

B

A

20º

40º

50º

70º



2 Moment d'una força.

El moment (M) d'una força (F) respecte a un punt de distància(d) es defineix com :

M = F · d

M = Moment [Nm].F = Força [N].d = distància de la F respecte al moment M [m].

Exercici exemple :Al tancar la porta es crea un moment de 20 Nm. Sabem quela distància entre la força d'acció fins a la frontissa és de80 cm. Calculeu la força exercida :

M = F · d M = 20 Nmd = 0,8 m

M 20F = ------ = ------ = 25 N F = 25 N

d 0,8

3 Moment d'un parell de forces.

Dues forces generen un parell (M) si aquestes són de igual mòdul i direccionsparal·leles (no coincidents) però de sentits oposats. La suma de moments res_pecte d'un punt és diferent de zero.

El volant de la fig. no es desplaça, per tant no hi ha translació, però sí que esprodueix rotació pel fet que el parell de forces tenen un moment resultant queno és nul.

M = F1 · d1 + F2 · d2

Exercici exemple :

Per moure el volant necessitem fer un parell de 300 Ncm. Sabem que el radidel volant és de 0,15 m. Calculeu la força que hem de fer a cada braç.

La força que ha de fer a cada braç es considera igual :

F1 = F2 = F d1 = d2 = r M = F · r + F · r M = 2 · F · r

M 300F = ------- = --------- = 10 N F1 = F2 = 10 N = 1,020 Kp

2 · r 2 · 15

pàg. 27

d FM

20 Nm

80 cm

F

M

F1

F2

d

d2 d1



4 Palanques.

La palanca és un mecanismeformat per una barra rígidaque pot girar pivotant d'unpunt suport.

Arquímedes va dir :" Doneu-me una palancai aixecaré el Món".

En una palanca hem dedistingir-ne 3 parts :

F = Força d'aplicació [N].P = Resistència pes [N].M = Moment.

Punt de pivotatge [Nm].

En equilibri : Σ M = 0 0 = - P · d1 + F · d2

R · d1 = F · d2

5 Criteri de signes i sentits de moments.

Per a la resoluciód'exercicis ésnecessari un criteride signes i sentitsels quals s'exposen.

pàg. 28

F

P

d2

d1

M

M

F

M

F

M

F

M

F

Sentit horari [+] Sentit antihorari [-]



6 Ampliació de l'equilibri considerant moments.

No sempre un sòlid està sotmès a un sistema de forces concurrents (veure pàg. 2 i 3). Quan no és aixín'haurem de tenir present les dimensions relatives de les forces aplicades d'aquest sòlid.

A diferència de les condicions d'equilibri de la partícula, en el cas del sòlid no només hem de garantirque la resultant de forces sigui nul·la, sinó que també s'ha de complir que el sumatori de momentssigui igual a zero.

Σ FX = 0

Les condicions d'equilibri d'un sòlid rígid són : Σ FY = 0

Σ MO = 0

Exercici LLIÇÓ : Sobre la platina de la fig. 1, hi ha aplicades les dues forces indicades. Calculeu lesreaccions a A i B.

Primer indicarem les forces (fig.2) que actuen sobre aquest sòlid. Les forces de les reaccions A i B sónde sentit arbitrari, si el resultat d'alguna R és (+) la força/forces actuen segons la fig.2, si el resultatd'alguna R és (-) la força/forces aniran en sentit contrari a la fig.2.

Σ FX = 0 AX - CX + DX = 0 AX - 208 · cos23 + 130 · cos37 = 0

Σ FY = 0 - AY + BY - CY - DY = 0 - AY + BY - 208 · sin23 - 130 · sin37 = 0

Σ MO = 0 - BY · 0,8 + CX · 0,5 + CY · 0,4 + DY · 0,8 = 0

- 0,8 BY + 208 · cos23 · 0,5 + 208 · sin23 · 0,4 + 130 · sin37 · 0,8 = 0

1) AX - 191,5 + 103,8 = 0

2) - AY + BY - 81,27 - 78,24 = 0

3) - 0,8 BY + 95,73 + 32,51 + 62,59 = 0

1) AX = 191,5 - 103,8 = 87,7 N AX = 87,7 N

3) 0,8 BY = 95,73 + 32,51 + 62,59

190,83BY = --------- = 238,5 N BY = 238,5 N

0,8

2,3) - AY + 238,5 - 81,27 - 78,24 = 0

AY = 238,5 - 81,27 - 78,24 = 238,5 - 159,5 = 79 N AY = 79 N

pàg. 29

130 N

40 cm 40 cm50

cm

208 N

Ax

By

D

C23º

37º

130 N

40 cm 40 cm

50 c

m

208 N

A

B

D

C23º

37º

Ay

A

B

Dy

Dx

Cy

Cx

1 2



Exercici LLIÇÓ pàg.29 (altres maneres de resolució) :Sobre la platina de la fig. 1, hi ha aplicades les dues forces indicades. Calculeu les reaccions a A i B.

Aquest exercici ja ha estat resolt fent el sumatori de forces en (X), (Y) i moments en (A), perquè veieuque també podriem haver-lo resolt treient moments en (B) tal i com es mostra a continuació :

Σ FX = 0 AX - CX + DX = 0 AX - 208 · cos23 + 130 · cos37 = 0

Σ FY = 0 - AY + BY - CY - DY = 0 - AY + BY - 208 · sin23 - 130 · sin37 = 0

Σ MO = 0 AX · 0,5 - AY · 0,8 - CY · 0,4 + DX · 0,5 = 0

0,5 AX - 0,8 AY - 208 · sin23 · 0,4 + 130 · cos37 · 0,5 = 0

1) AX - 191,5 + 103,8 = 0

2) - AY + BY - 81,27 - 78,24 = 0

3) 0,5 AX - 0,8 AY - 32,51 + 51,91 = 0

1) AX = 191,5 - 103,8 = 87,7 N AX = 87,7 N

1,3) 0,5 · 87,7 - 0,8 AY - 32,51 + 51,91 = 0 0,8 AY = 43,85 - 32,51 + 51,91

0,8 AY = 63,25

63,25AY = --------- = 79,1 N AY = 79,1 N

0,8

1,3-2) - 79,1 + BY - 81,27 - 78,24 = 0

BY = 238,6 N BY = 238,6 N

pàg. 30

130 N

40 cm 40 cm

50 c

m

208 N

Ax

By

D

C23º

37º

130 N

40 cm 40 cm

50 c

m

208 N

A

B

D

C23º

37º

Ay

A

B

Dy

Dx

Cy

Cx

1 2



Exercici 14 :L'estructura de la fig. suportauna força de 300 N.Calculeu les reaccions en A i C.

Resposta : Ax = 733 NCx = 150 NCy = 992,8 N

pàg. 31ex14E

BA

C

150 mm 250 mm

300

mm

30º

300 N



Exercici 15 :L'estructura de la fig. suportauna força de 2,4 KN.Calculeu les reaccions en E i G.

Resposta : Ex = 0 NEy = 0 NGy = 2,4 KN

pàg. 32ex15E

2,4 KN

A

B C D

EG

4,8 m

2,4 m

2,7

m2,

7 m



Exercici 16 :En el pannell de la fig. hi haaplicades 5 forces :

A = 300 NB = 800 NC = 500 ND = 400 NE = 200 N

Sabem que pot pivotar perl'articulació (O).

Calculeu el MO i cap a on girarà.

Cotes en metres.

pàg. 33ex16E

80º

60º

80º

60º

1,6 2,4 2,4 0,8

2,0

0,4

1,2

1,0

O

A

B

C

D

E



Exercici 17 :Calculeu les reaccions C i D de la biga dela fig. que suporta les 3 forces A, B i E.

pàg. 34ex17E

2m 4m 7m 4m

C A B E D90º 60º 45º

5KN 2KN3KN



Exercici 18 :L'estructura de la fig. està subjectadaper C i recolçada per D.

Calculeu les reaccions a C i D si sabemque hi ha aplicades les forces A i Bsegons la fig.

Resposta :Cx = 2,598 KNCy = 0,25 KNDy = 1,25 KN

pàg. 35ex18E

A0,5 KN

2 m 2 m

6 m

B 3KN

C

D

30º



Exercici 19 :En el conjunt de barreshi ha aplicades 3 forcesA, B i C en els puntsindicats.Calculeu :

a) El moment que generenles tres forces en elpunt "O".

b) El sentit de gir.

pàg. 36ex19E

C

B

70º

60º

110º

2,4 m

3,6 m

4 m

O

A 200 N

800 N

600 N



Exercici 20 :L'estructura de la fig. està subjectadaper D i recolçada per A.

Calculeu les reaccions si sabem que hi haaplicades les forces B i C.

a) En el suport A.

b) En la subjecció D.

pàg. 37ex20E

0,8KN

A

D

30ºB

C1,5KN

4,4 m 7,6 m

3,6

m

R.MATERIALS tema 1.6APUNTS BÀSICS


1 Esforç de flexió.

Una barra sotmesa a l'acció de forces puntuals i/o repartides, que actuen sobre el seu eix longitudinal itenen tendència a corbar-la, diem que està sotmesa a un esforç de flexió.

El cas més corrent d'esforços de flexió són les bigues.

També treballen a flexió : Eixos de màquines.Braços d'excavadores.Palanques.Altres.

2 Casos estàticament determinats i indeterminats.

Segons siguin els suports o recolzaments de la biga ens podem trobar amb dos tipus de flexió :

1 ISOSTÀTICA.Les reaccions resultants es poden calcular mitjançant les tres equacions de l'estàtica Σ Fx, Fy, MO = 0.Se'n diuen casos estàticament determinats. Hi poden haver, com a màxim, tres incògnites.

2 HIPERESTÀTICA.

Si hi ha més de tres incògnites el cas és estàticament indeterminat i la solució és més complexa, perla qual cosa s'haurà de combinar amb els conceptes de resistència de materials, combinant normalment,amés de les equacions de l'estàtica, també, l'esforç unitari i deformació unitària.

Si considerem que la biga té un pla axialde simetria on la flexió també s'esdevé enaquest pla.

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO = 0

Si considerem la possibilitat que existeixencàrregues horitzontals i/o inclinades ja notindríem flexió pura sinó combinada.Inicialment considerarem que no hi ha càrregueshoritzontals i/o inclinades, per la qual cosa lesequacions es redueixen a :

Σ Fx = 0 Σ MO = 0

pàg. 38

Compressió

Tracció

Fibra neutre

F (força aplicada)

BIGA

Fy

FxMo



3 Síntesi de la resistència de materials.

RESISTÈNCIA DURESAOposició d'un cos a la Resistència d'un cos adeformació. ser ratllat o penetrat.

( Exp. el diamant és el de més

dur, el guix és tou, el vidre

dur,...)

FATIGAResistir esforços repe_titius, d'una determinadafreqüència i amplitud.

TENACITAT RESILIÈNCIAResisteix la deformació Resistència al trencamentabans de trencar-se. per xoc.(Resistent i deformable a la

vegada. Exp. bigues d'acer.)

FRAGILITATNo resisteix, pràcticamentcap deformació.(Exp. vidre, terrissa,...)

ACRITUDAugment de la duresaper deformació en fred.( La conseqüència és

l'augment de la fragilitat.)

ELASTICITAT DUCTILITATAl aplicar una força es Propietat d'alguns metallsdeforma, però al cessar en ser estirats en fils.torna a la posició inicial. ( Exp. el coure (Cu) n'és un

( Exp. goma, cautxú,...) bon exponent, or, plata,...)

PLASTICITAT MAL·LEABILITATPot resistir deformacions Propietat d'alguns metallspermanents sense trencar-se en ser deformats en là_Amb calor s'aconsegueix. mines.( Exp. plastilina, fang,...) ( Exp. Cu, Al, Au,...)

pàg. 39



4 Síntesi dels assajos de materials.

pàg. 40

F F

F F

M

F

F

F

1.- TRACCIÓ

5.- CISALLAMENT

2.- COMPRESSIÓ

3.- TORSIÓ

4.- FLEXIÓ

F

6.- DURESA

7.- XOC

8.- FATIGA

SISTEMA CINEMÀTIC QUE PROVOCA EL XOC

SISTEMA CINEMÀTIC DEMOVIMENT REPETITIU

Emprenta

ESTÀTICS

DINÀMICS

DESTRUCTIUS

DESTRUCTIUS

-MACROSCÒPICS

-MAGNÈTICS

-ULTRASÒNICS

-RAJOS X i GAMMA

NO

APARELLS DE MESURA

e



5 Assaig de tracció.

Per deduir el mòdul elàstic dels materials i les seves característiques resistents, deformació d'un sòlidsotmès a una força de tracció mitjançant un assaig de tracció de tipus destructiu (trencament delmaterial o de la proveta).Amb aquest assaig podrem representar gràficament les deformacions del material, tant a la zona elàsticacom a la plàstica :

DIAGRAMA DE L'ASSAIG DE TRACCIÓ.

Tram 0 - 1.- Segons la llei de Hook : les deformacions són proporcionalsa les tensions.No es produeixen deformacions permanents irreversibles(un cop no hi ha tensions).Zona elàstica, on el seu límit es troba en el punt 1.

Tram 1 - 2.- Si anul·lem els esforços, resten deformacions permanentsincertes.

Tram 2 - 3.- Deformacions molt grans per a increments petits d'esforç.No hi ha proporcionalitat entre l'esforç i allargament.Zona plàstica.

Tram 3 - 4.- Es produeix la reducció de la secció del material i esdevéel trencament del material.Zona plàstica.

REPRESENTACIÓ D'UNA PROVETA TIPUS A LAQUAL ES SOTMET A UN ASSAIG DE TRACCIÓ.

pàg. 41

Límit elàsticmesurat

Resistència altrencament

Límit elàsticteòric

trencament

σEsforç unitari(N/mm2)

εAllargament unitariL (%)

Zon

a de

tre

ball

σT

σe

σR

Zonaelàstica Zona plàstica

Zona reducció secció(possible trencament)

1

2

3

4

0

F tracció.

F tracció.

100

mm

(sen

sor

d'al

larg

amen

t)

214

mm

ø 20 m

m

ø 30 mm



6 Característiques mecàniques d'alguns materials.

Valors de l'assaig de tracció d'alguns materials

MATERIAL Densitat Mòdul Límit Resistència Allargamentelàstic elàstic trencament

E σe σR ε % Kg/m3 Kg/dm3 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2

Ferro 7870 7,87 207·103 130 260 45

Fosa esferoïdal 7120 7,12 165·103 275 415 18

Acer (baix en C) 7860 7,86 207·103 295 395 37

Acer (mig en C) 7840 7,84 207·103 350 520 30

Acer (alt en C) 7850 7,85 207·103 380 615 25

Alumini 2710 2,71 69·103 17 55 25

Aliatge lleuger 2800 2,80 72·103 97 186 18

Coure 8940 8,94 110·103 69 220 45

Llautò 8530 8,53 110·103 75 303 68

Bronze 8800 8,80 110·103 152 380 70

Níquel 8900 8,90 207·103 138 483 40

Plata 10490 10,49 76·103 55 125 48

Titani 4510 4,51 107·103 240 330 30

Polietilè 960 0,96 1,1·103 ---- 26 10/1200

Polipropilè 900 0,90 1,4·103 ---- 36 100/600

Niló 1140 1,14 2,7·103 ---- 85 15/300

PVC 1400 1,40 3,3·103 ---- 47 40/80

Cautxú 980 4,60 4,6 ---- 28 500/760

METALLS PLÀSTICS

1 Pa = 1 N/m2

N mm2

1 ------- · ------- = 1·106 N/m2

mm2 m2

1·106 N/m2 = 1 MPa

pàg. 42



7 Llei d'Hooke per a sòlids elàstics.Deformacions amb forces normals a les seccions.

La llei de Hooke diuque les deformacionssón proporcionals a lesforces deformadores

Fσ = ----

S

σ = Esforç resultant (tensió) [N/mm2].σ = [MPa].

F = Força exterior. [N].

S = Secció sotmesa a l'esforç [mm2].

Exercici exemple 1 :

Calculeu la tensió a la qual està sotmesauna barra cilíndrica sotmesa a tracciómitjançant una força exterior de 10 KN.El radi de la barra r = 5 mm.

F F 10000σ = ---- = -------- = ---------- = 127,3 MPa

S π · r2 π · 52

Podem dir que qualsevol peça de secció quadrada, cilíndrica, triangular, etc. que està sotmesa a una forçade tracció, aquesta peça l'hi poden passar tres coses :

1. Que s'allargui però no es deformi : σT < = σe (zona elàstica).

2. Que s'allargui i amés es deformi : σT > σe (zona plàstica).

3. Que s'allargui i es trenqui : σT > σR (zona d'estricció i trencament).

Una barra longitudinal segons fig. sotmesa a un esforç de tracció que fa augmentar la longitud de labarra :

F σ = Tensió a la qual està sotmesa la peça. [MPa] [106 N/mm2]1) σ = ----- F = Força externa aplicada. [N].

S S = Superfície de la secció de la peça. [mm2]

2) LF = L0 + ∆L LF = Longitud final de la peça sotmesa a una tensió de tracció. [mm]L0 = Longitud inicial de la peça sotmesa a una tensió de tracció. [mm]

L0 ∆L = Allargament. Variació de la longitud. [mm]3) E = σ · -----

∆L E = Mòdul elàstic o mòdul de Young, obtingut a partir de l'assaig. [MPa]

LF - L0 ∆L ε = Deformació unitària. [º/1]4) ε = ---------- = -----

L0 L0

pàg. 43

F

∆ L

LF

L0

∆ D

D0

DFF



8 Tensió de treball.

En l'assaig de tracció hem definit dos conceptes fonamentals :

σe = Tensió del límit elàstic.

σT = Tensió de treball.

Si volem treballar a la zona elàstica, el valor de la tensió (esforç) a la qual està sotmesa la peça hauràde ser inferior o igual a la tensió del límit elàstic. σT < = σe.

Afegirem un concepte nou que el denominarem coeficient de seguretat n :

σe

5) n = ------ σT

Exercici exemple 3 :

Calculeu el coeficient de seguretat d'una barra d'alumini sotmesa a una força de tracció de 10 KNsi sabem que la secció és quadrada de costat 3 cm.

Segons taula pàg.42 : σe = 17 MPa σe = 17 MPa

F 10000σT = ----- = --------- = 11,11 MPa

S 302

σe 17n = ------ = ------ = 1,53 > 1

σT 11,11

pàg. 44



Esforços mecànics. Exercicis proposats.

Exercici 21 :Un tirant d'una armadura ha de suportar una càrrega de 20000 N.Quin diàmetre ha de tenir aquest tirant si el seu : σe = 7,5 N/mm2.Resul : D = 58,28 mm

Exercici 22 :Determina l'amplada que ha de tenir una platina de ferro de 25 mm de gruix per poder suportar unacàrrega de 5000 N si la tensió de treball del material és de 10 N/mm2.Resul : A = 20 mm

Exercici 23 :Determina l'allargament que pateix una barra cilíndrica de ferro de 20 mm de diàmetre i 10 m delongitud, sotmesa a un esforç de tracció de 14000 N. E = 200·103 MPa.Resul : ∆L = 2,228 mm

Exercici 24 :Calcula l'esforç i els allargaments total i unitari d'una barra d'alumini de secció quadrada de 25 mm de costat i 85 mm de longitud, sotmesa a una força de tracció de 250 N. E = 60 GPa.Resul : σT = 0,4 MPa LF = 85,00057 mm ε = 6,7·10-6

Exercici 25 :Calcula el mòdul elàstic del material d'una barra de 5 m de longitud inicial i secció circular de 12 mm de diàmetre que, sotmesa a una força de tracció de 20 KN ha experimentat un allargamenttotal de 5,5 mm.Resul : E = 161 GPa

Exercici 26 :La barra cilíndrica de llargada 1 m i secció 150 mm2 està sotmesa a una força de tracció de 1000 N.El mòdul d'elasticitat de la barra és de 2,1·107 N/cm2.Determina la tensió de tracció de la barra, la seva deformació i allargament total de la barra.Resul : σT = 6,667 MPa ∆L = 0,032 mm LF = 1000,032 mm

Exercici 27 :Determina l'esforç total de tracció que pateix una barra de bronze de 20 mm de diàmetre, sabentque el mòdul d'elasticitat és de : E = 0,84·107 N/cm2.Resul : Fmàx = 47752 N

Exercici 28 :Una barreta cilíndrica, de 40 mm de diàmetre està sotmesa a una càrrega de tracció de 25000 N.Determina la tensió de treball i el coeficient de seguretat. E = 37500 N/cm2.Resul : n = 18,85

Exercici 29 :Hem de dimensionar un cable d'acer (baix en C) amb una longitud inicial de 15 m el qual ha de suportaruna càrrega de 4720 N. El coeficient de seguretat ha de ser d'1,25.Determineu : a) L'allargament que tindrà. b) El diàmetre que ha de tenir el cable.Resul : ∆L = 17,10 mm D = 5 mm

pàg. 45

RESUM D'ENERGIA (Estudiat a TI-1)

APUNTS BÀSICSTECNOLOGIA INDUSTRIAL 2 tema 2

1 CONCEPTE D'ENERGIA.

ENERGIA → CAPACITAT PER FER UN TREBALL

Una condició imprescindible per a realitzar treball és que hi hagi moviment.

EW = F · e 1

En el SISTEMA INTERNACIONAL (SI) :

F = força. [N] Newton. e = espai. [m] metre. EW = Energia o treball [J] Joule.

ULL En el llibre el símbol és [W]. Per no confondre-ho amb vats (mesura de potència) utilitzarem [EW]. W ≡ EW

1 J = 1 N·m → Newton · metre.

El treball es pot expressar d'una forma més correcte si en l'aplicació de la força no és perpendicularamb l'objecte :

EW α = F · e · cos 2

α és l'angle que formen la força i el desplaçament. Cal considerar que si α = 0 → cos α = 1

2 MAGNITUDS i UNITATS

La unitat d'energia en el SI és el Joule (J).

Es defineix com el treball que s'ha de fer amb una força d'un Newton (N) per recórrer un metre (m)en la mateixa direcció de la força.

Caloria (cal) .- És la calor necessària per elevar, en un grau centígrad, des de 14,5 ºC → 15,5 ºC,la temperatura d'un gram d'aigua a la pressió atmosfèrica.

Equivalència : 1 cal = 4,18 J

Vat-hora (W·h) .- Equival a l'energia elèctrica que desenvolupa, durant una hora. S'utilitza ambmés freqüència un dels múltiples del vat : el Kilovat-hora.

Equivalències : 1 W = 1 J/s 1 KW = 103 W

Força (N) .- Acció de variar la posició d'un cos o deformar-lo.

F = m · a 3 m ---> [Kg] (massa) a ---> [m/s2] (acceleració)

Pes (N) .- Força d'atracció que exerceix la Terra sobre un cos.

F = m · g 4 g ---> [m/s2] (acceleració de la gravetat) g = 9,81 m/s2

Potència (P).- És el treball (energia) realitzat en la unitat de temps.

EWP = ------- 5 P ---> [W] (potència devatada). t ---> [s] (temps)

t ULL Equivalència : 1 CV = 736 W

pàg. 46



3 RESUM DE MAGNITUDS i EQUIVALÈNCIES EN ALTRES SISTEMES.

MASSA unitat SI...Kg FORÇA unitat SI...N

1 utm = 9,81 Kg 1 lliura = 453,592 g 1 Kp = 9,81 N 1 N = 105 dines

TEMPS unitat SI...s LONGITUD unitat SI...m

1 h = 3600 s 1 min = 60 s 1 milla (anglesa) = 1609,3 m

1 milla (anglesa) = 1 milla (americana)

POTÈNCIA unitat SI...W (J/s) 1 milla (marina) = 1852 m

1 W = 1 J/s 1 CV = 736 W 1 peu = 30,48 cm 1 polzada = 2,54 cm

VELOCITAT unitat SI...m/s TEMPERATURA unitat SI...ºK

1 nus = 1,852 Km/h = 0,5 m/s ºF = 1,8 · ºC + 32 K = 0,56 · ºF + 255,2

K = ºC + 273 ºC = K - 273

VOLUM unitat SI...m3 ºC = 0,56 · ºF - 17,8 ºF = 1,8 · K - 459,4

1 L = 1 dm3 ENERGIA unitat SI...J

1 galó (anglès) = 3,785 L 1 Ws = 1 J 1 Nm = 1 J 1 Kpm = 9,81 J

1 galó (americà) = 4,546 L 1 Btu = 1055 J 1 J = 107 erg.

4,18 J = 1 cal

PRESSIÓ unitat SI...Pa Pa = Pascal

1 Pa = 1 N/m2 1 atm = 105 Pa

1 bar = 105 Pa

E S ( )-ls istemes d'unitats SI (CGS)-(ST): Longitud Massa Temps Força

SI m Kg s N Sistema internacional.CGS cm g s dina Sistema Giorgi.ST m utm s Kp Sistema tècnic.

PREFIXOS MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES

Factor Prefix Símbol Factor Prefix Símbol

ULL Aquests prefixos s'han 1018 exa E 10-18 atto ad'evitar, excepte en la 1015 peta P 10-16 fent fmesura d'àrees i volums. 1012 tera T 10-12 pico p

109 giga G 10-9 nano n106 mega M 10-6 micro µ

103 quilo K 10-3 mil.li m102 hecto h 10-2 centi c10 deca da 10-1 deci d

pàg. 47



4 RESUM DE FORMES o MANIFESTACIONS de l'ENERGIA.

1 Energia MECÀNICA. [Em].

És la relacionada amb el moviment i les forces que poden produir-la.

a) Energia POTENCIAL. [Ep].Compren dues formes : Em = Ep + Ec

b) Energia CINÈTICA. [Ec].

Ep = m · g · h 6 La que posseeix un cos degut a la posició que ocupa dins un camp gravitatori.

Ec2 = 1/2 · m · v 7 La que posseeix un cos degut al seu moviment.

2 Energia TÈRMICA. [ET].

Depèn de l'energia mecànica de les molècules. Per la qual cosa el calor es bescanvia d'unL'energia tèrmica pot passar d'un cos a l'altre. cos a l'altre de 3 formes :

a) a) Conducció .- Pas de la calor del cos amb major temperaturaal de menor, per simple contacte entre ells.

b) Convecció.- En aquest cas el fluid fa d'intermediari.Al escalfar-se, disminueix la seva densitat ipassa a ocupar la part més alta, el fluid fred

b) es queda a la part baixa. Aquesta circulació repel nom de corrents per convecció.

c) Radiació .- Emissió dels cossos des de la seva superfície acompte de la seva energia tèrmica en forma d'oneselectromagnètiques.

c) Si col·loquem varis cossos separats per un recintetancat i amb diferents temperatures, es produeixun intercanvi de radiacions fins adquirir l'equilibritèrmic.

3 Energia QUÍMICA. [Eq].

S'origina quan reaccionen varis productes químics per a formar-ne d'altres.

La base d'aquesta energia són aliments, vegetals i combustibles fòssils formats gràcies al'energia del Sol.

4 Energia ELÈCTRICA. [EE].

És el pas d'electrons a través d'un conductor elèctric.

EE = P · t = U · I · t 8 És una energia de transmissió, no és primària ni final.

Generalment procedeix de centrals elèctriques.

pàg. 48



4 RESUM DE FORMES o MANIFESTACIONS de l'ENERGIA.

5 Energia NUCLEAR. [EN].

S'obté directament de la matèria, concretament, dels nuclis atòmics.

Es produeix per reaccions de fissió o fusió i procedeix de la transformació de la massa enenergia.

FISSIÓ .- És la que es produeix en les centrals nuclears mitjançant el trencament (fissió) delnucli d'un àtom radioactiu com l'urani.

FUSIÓ .- És la que s'origina constantment en el Sol, a altíssimes temperatures.

EN2 = m · c 9 FÓRMULA D'EINSTEIN : La matèria es pot transformar en energia.

m = massa que desapareix en Kg.

c = velocitat de la llum (3·108 m/s).

6 Energia RADIANT o ELECTROMAGNÈTICA. [ER].

És la pròpia de les ones electromagnètiques, com per exemple,les ones infraroges, lluminoses, ultraviolades, microones, etc.

El Sol és el principal proveïdor d'aquest tipus d'energia.També existeix la denominada energia sonora, la qual permet la transmissió per l'aire de vibracions o sons que fan possible la comunicació.

7 Energia SONORA. [ES].

És la relacionada amb el moviment de vibració de : Les cordes vocals .

Les cordes d'un violí o guitarra …etc.Les membranes d'un altaveu …etc

pàg. 49



5 RESUM. TRANSFORMACIONS ENERGÈTIQUES.

Els dissenys de màquines han de permetreel major aprofitament energètic, l'eficiènciaconsisteix en reduir al màxim les pèrdues decalor, i aconseguir una relació entre l'energiaútil [EU] (treball realitzat per la màquina) il'energia aportada [EA] la més pròxima a launitat. A aquesta relació se'n diu rendiment.

EUη = ----- 10

EA

1 Energia MECÀNICA. [Em]. E. TÈRMICA (Pèrdues per fregament entre peces i mecanismes).

E. ELÈCTRICA (Amb GENERADORS -alternador- -dinamo-).

2 Energia TÈRMICA. [ET]. E. MECÀNICA (TURBINES DE VAPOR).

3 Energia QUÍMICA. [Eq]. E. MECÀNICA (Mitjançant els aliments ---> MÚSCULS).

Es troba en els VEGETALS, (MOTOR D'EXPLOSIÓ).

ALIMENTS i COMBUSTIBLES E. TÈRMICA (Al cremar-se un combustible com el carbó, fusta, etc.).

E. ELÈCTRICA (PILES i BATERIES).

E. RADIANT (El focs artificials són una mostra d'aquestatransformació. La pólvora al cremar-se produeixentre altres efectes soroll i llum que es propaguenmitjançant ones electromagnètiques).

4 Energia ELÈCTRICA. [EE]. E. MECÀNICA (MOTORS elèctrics).

E. TÈRMICA (CALEFACTORS elèctrics.)(PLAQUES VITROCERÀMIQUES. etc.).

E. QUÍMICA (ELECTRÒLISIS).

E. RADIANT (LÀMPADES principalment les d'incandescència).

E. SONORA (amplificador + ALTAVEUS per vibració).

5 Energia NUCLEAR. [EN]. E. TÈRMICA (Mitjançant la FUSIÓ o FISSIÓ dels nuclis).

6 Energia RADIANT [ER] o E. TÈRMICA (Els rajos del Sol a l'incidir sobre la matèria l'escalfa).

ELECTROMAGNÈTICA. E. ELÈCTRICA (A l'incidir els rajos de Sol sobre les cèl·lulesEs la que procedeix del SOL FOTOVOLTAIQUES).

encara que n'hi ha d'altres. E. QUÍMICA (Gràcies a la radiació del Sol es possible la vidavegetal mitjançant el procés de FOTOSÍNTESI).

7 Energia SONORA. [ES]. E. ELÈCTRICA (Els micròfons capten les vibracions de les sevesmembranes i mitjançant uns amplificadors estransformen en senyals elèctrics).

pàg. 50


XULETA APUNTS BÀSICSTECNOLOGIA INDUSTRIAL 2 tema 2

6 ENERGIA i PODER CALORÍFIC

El poder calorífic és l'energia que es desprèn en lacombustió de la unitat de massa o volum d'un combustible.

EA EApC = ----- pC = -----

m VL

pC = Poder calorífic en [J/Kg] o [J/m3]. Unitats SI. Normalment EA = Energia absorbida en [J]. s'utilitzen múltiples. m = Massa del combustible [Kg]. VL = Volum del combustible [m3].

EL RENDIMENT (η).

[EU] (treball realitzat per la màquina o sistema)[EA] (treball aportat o absorbit de la font primària)A aquesta relació se'n diu rendiment.

EU PUη = ----- η = -----

EA PA

El poder calorífic també el podem espressar :

pC · mEA pC = · m PA pC · t = · m PA = --------

t

La relació (m/t) és utilitzada en els exercicis de selectivitat, per exemple. En l'exercici 4A pàg.4 ensdonen les següents expressions :

Escalfador que dóna un cabal: q = 13,8 L/min 1L d'aigua té una massa de 1Kg per la qual cosa podemconsiderar que 1L ≡ 1Kg

q = 13,8 Kg/min q = 0,23 Kg/s

També hem de recordar l'expressió per escalfar aigua :

EU = m · ce · ∆T Utilitzant el raonament anterior PU = q · ce · ∆T

EU = Energia útil necessària per escalfar un volum (massa) d'aigua. [J] o [KJ]. PU = Potència útil necessària per escalfar un cabal d'aigua. [W] o [KW]. m = Volum equivalent a una massa d'aigua a escalfar. [Kg]. q = Caba d'una massa d'aigua a escalfar. [Kg/s]. ∆T = Increment de temperatura que experimenta l'aigua des d'una temperatura inicial a final. [ºC].

∆T = Tfinal - Tinicial

ce = Calor específica de l'aigua. ce = 4,18 J/gºC ce = 4,18 KJ/KgºC

pàg. 51


XULETA APUNTS BÀSICSTECNOLOGIA INDUSTRIAL 2 tema 2

6 ENERGIA i PODER CALORÍFIC

ESQUEMA DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES DE COGENERACIÓ.

EA = Energia aportada mitjançant la combustió de RSUEA → E.Electrica → Eelec

ηelec Eelec = Energia elèctrica obtinguda amb generació.

↓ pèrdues tèrmiques 1

Eterm = Energia aportada mitjançant les pèrdues de laEterm → E.Tèrmica → ETaigua generació elèctrica. Primera transformació.

ηtèrmic

↓ pèrdues tèrmiques 2 ETaigua = Energia d'escalfament d'aigua.

Segona transformació.

7 PRESSIÓ, ENERGIA i PODER CALORÍFIC

N m3 N m3 N · m JPU = p · q p = Pa = ----- q = ---- PU = ---- · ---- = ------- = ---- = W

m2 s m2 s s s

PU = Potència útil de la bomba. p = Pressió dins la canonada. q = Cabal dins la canonada.

Kg JEdiposit = VL · δ · pC Ediposit = m3 · ---- · ---- = J

m3 Kg

Ediposit = Energia del dipòsit de combustible. VL = Volum dipòsit. δ = Densitat combustible.

pàg. 52

RESUM CENTRALS (Estudiat a TI-1)


1 ESQUEMA CENTRAL HIDROELÈCTRICA

EU = η · m · g · h

EU PU VLη = ----- η = ----- Q = -----

EA PA t

E = P · t

1 L = 1 dm3 ≡ 1 Kg1 m3 ≡ 103 KgEA = Energia absorbida [J] (W·s).EU = Energia útil [J] (W·s).PA = Potència absorbida [W] (J/s).PU = Potència útil [W] (J/s).m = Massa d'aigua [Kg].h = Alçada de la presa [m].η = rendiment [º/1].Q = Cabal [m3/s].VL = Volum d'aigua [m3].t = Temps [s].

pàg. 53



2 ESQUEMA CENTRAL EÒLICA (PARC)

EC = EA = 1/2 · m · v2 m = δ · S · v EA = 1/2 · δ · S · v · v2

La densitat de l'aire a nivell del mar és de 1,225 Kg/m3

El teorema de Betz, diu que només és possible recuperar el 59,25 % (0,5925) de l'energiacinètica del vent. Més d'aquest percentatge es produiria l'efecte bloqueig.

EA = 1/2 · δ · S · v3 · 0,5925 EA = 1/2 · 1,225 · S · v3 · 0,5925

π · D2 π · D2

S = ------ EA = 1/2 · 1,225 · ------- · v3 · 0,59254 4

EA = 0,285 · D2 · v3

EU PUη = ----- η = -----

EA PA

E = P · t

EU = 0,285 · η · D2 · v3

EA = Energia absorbida [J] (W·s).EU = Energia útil [J] (W·s).PA = Potència absorbida [W] (J/s).PU = Potència útil [W] (J/s).m = Massa d'aire [Kg].η = rendiment [º/1].t = Temps [s].D = Diàmetre de les pales de l'aerogenerador [m].v = Velocitat del vent [m/s]. (Freqüència de velocitat mitjana analitzades durant 10 anys)

pàg. 54



3 ESQUEMA CENTRAL SOLAR TÈRMICA (FORN)

EA = Energia absorbida [J] (W·s). PA = Potència absorbida [W] (J/s). η = rendiment [º/1]. 0 EU = Energia útil [J] (W·s). PU = Potència útil [W] (J/s). AU = Àrea útil d’heliòstats [m2].

I CA

η

η

EU = η · AH · I0 · t · CA

EU = ----- EA

PU = ----- PA

E = P · t

t = Temps [s].= Emissivitat del sol [1395 W/m2]. = Coeficient de nuvolositat [º/1].

pàg. 55



4 ESQUEMA CENTRAL SOLAR FOTOVOLTÀICA

5 ESQUEMA CENTRAL GEOTÈRMICA

pàg. 56



6 ESQUEMA CENTRAL TÈRMICA

EU = η · PC · m EU = η · PC · VL EA EA EU PUPC = ----- PC = ----- η = ----- η = ----- E = P · t

combustibles sòlids combustibles líquids m VL EA PA

PC = Poder calorífic en [J/Kg] o [J/m3]. EA = Energia absorbida [J] (W·s). (CN) = Condicions Normals m = Massa del combustible [Kg]. EU = Energia útil [J] (W·s). p = 1 atm VL = Volum del combustible [m3]. PA = Potència absorbida [W] (J/s). T = 0 ºC η = rendiment [º/1]. PU = Potència útil [W] (J/s). p = Pressió del gas [Pa]. m

t = Temps [s]. T = Temperatura del gas [ºC].1 at

m

p 273 PC = PC(CN) · ---------· ----------

101300 273 + T

PER A GASOS

= 105 Pa

pàg. 57



7 ESQUEMA CENTRAL NUCLEAR

EU = η · m · c2 EA EA EU PUPC = ----- PC = ----- η = ----- η = ----- E = P · t

m VL EA PA

m = massa que desapareix en Kg. EA = Energia absorbida [J] (W·s). c = velocitat de la llum (3·108 m/s). EU = Energia útil [J] (W·s). η = rendiment [º/1]. PA = Potència absorbida [W] (J/s).

PU = Potència útil [W] (J/s). t = Temps [s].

pàg. 58

MECANISMES (Estudiat a TI-1)


1.INTRODUCCIÓ.

Una màquina està formada per un conjunt d'elements mecànics que fan una funció determinada.

ESQUEMA BÀSIC D'UNA MÀQUINA

element mecanisme de sistema de

MOTRIU TRANSMISSIÓ CONTROL

dispositiu de TREBALL

2.MÀQUINA SIMPLE.

Una màquina es pot considerar com a qualsevol dispositiu amb el qual es canvia la magnitud, la direcció,o la forma d'aplicació d'una força per aconseguir algun servei.

Exemple d'una màquina : LA BICICLETA

ELEMENT MOTRIU = Músculs.

TRANSMISSIÓ = Pedal. Plat. Cadena. Pinyó.

DISPOSITIU DE TREBALL = Roda.

CONTROL = Sensor visual → Cervell → Músculs.

pàg. 59



3.CONCEPTES MECÀNICS.

1 PARELL o MOMENT.

Γ = F · d

Γ = Parell o moment. [N·m]

d = Distància entre el punt degir i l'aplicació de la força. [m]

F = Força. [N]

2 VELOCITATS.

2 · π · nω = ---------

60

ω = Velocitat angular. [rad/s]

n = Velocitat angular. [min-1] (r·p·m)

v = R · ω v = d/2 · ω

3 POTÈNCIA MECÀNICA.

PM = v · F o també PM = ω · Γ PM = Potència mecànica. [W]

N · m N·m ≡ J v = Velocitat lineal. [m/s]m/s · N → ------ → --------- → J/s ≡ W ω = Velocitat angular. [rad/s]

s s F = Força. [N] Γ = Parell o moment. [N·m]

4 RELACIÓ DE TRANSMISSIÓ o VELOCITAT ( τ ).

v1 = v2 (velocitat tangencial de les politges o plat/pinyó)

D1 D2 v = R · ω → v1 = ---- · ω1 v2 = ---- · ω2

2 2

D1 ω2 n2D1 ω1 2 ω2 · = D · τ = --- = ---- = ---- (politges)

D2 ω1 n1

Z1 ω2 n2Z = nombre de dents τ = --- = ---- = ---- (plat/pinyó)

Z2 ω1 n1

Equació de la velocitat ω1 · D1 = ω2 · D2 n1 · D1 = n2 · D2

pàg. 60



4.POLITGES. CADENES-PLAT/PINYÓ i RODES DENTADES.

Hi ha diferents mecanismes que permeten transmetre el moviment entre dos eixos.Les transmissions de per corretges i les transmissions per cadenes són unes de les més usuals, s'anomenen:

UNIONS FLEXIBLES

1 TRANSMISSIÓ PER CORRETJA.

Planes.Poden transmetre petits esforços.Precisió de transmissió dolenta.

Trapezials.Poden transmetre grans esforços.Precisió de transmissió bona.

2 TRANSMISSIÓ PER CADENA. Plat i pinyó = engranatges de cadena.

Cadena.Poden transmetre gransesforços.Precisió de transmissióexcel·lent.

UNIONS RÍGIDES

3 TRANSMISSIÓ PER RODES DENTADES. Roda conductora i conduïda = engranatges dentats.

pàg. 61



EXERCICIS.

Exercici 1 Es vol determinar la velocitat d'un ciclista i la força de la roda motriu en el puntde contacte amb el terra, si sabem que fa dues pedaladescada segon amb una bicicleta que té rodes de 66 cm dediàmetre i amb una transmissió que té un plat de 42 dentsi un pinyó d'11 dents. El pedal fa 20 cm de llargada i sobreell s'apliquen 800 N de força.

Exercici 2 Un motor de 3 CV i 1750 min-1 porta una politja de 150 mm de Ø que està enllaçada amb unaaltra de 450 mm de Ø a través d'una corretja.Si sobre l'eix de la politja conduïda hi ha un tambor de 250 mm de Ø sobre el s'enrrotlla un cable, quinaserà la càrrega màxima que es podrà elevar amb elcable ? Quina serà la velocitat d'elevació ?

Exercici 3Donada la transmissió en la qual en l'eix (A) de la politja 1hi ha acoblat un motor d'una potència de 8 CV.

Les dades són :

D1 = 90mm D3 = 120mm politja-tamborD2 = 300mm D4 = 500mm DT = 80mm

Pmotor = 8 CV ωA = 80 rad/s η = 80%

Calculeu :a) Velocitat angular en l'eix (C) del tambor . Doneu-la en [rad/s] i [min-1].

b) Velocitat lineal del pes P . Doneu-la en [m/s] i [m/min].

c) Potència desenvolupada pel tambor . Doneu-la en [KW].

d) Pes (força) de l'objecte P . Doneu-la en [N] i [Kp].

pàg. 62

d

a

a

ELECTROTÈCNIAAPUNTS BÀSICS

TECNOLOGIA INDUSTRIAL 2 tema 5

1 EL CORRENT ELÈCTRIC. INTENSITAT.

Si tenim una ddp (tensió d'una pila) i mitjançant un element (medi), com pot ser un conductor decoure (Cu), a l'unir els dos potencials (+) i (-), pel conductor de Cu es desplaçaran els electrons desdel potencial positiu fins el negatiu, hi haurà un corrent d'electrons, els quals passaran amb unquals passaran amb un nombre determinat (Q) durant un temps (t).

Podem definir el corrent elèctric com :

La circulació d'electrons a través de la matèria. La quantitat d'electrons quecirculen per un cos a cada unitat de temps s'anomena intensitat elèctrica .

L'expressió que ho Qreflecteix és : I = ----

t

I = Intensitat elèctrica. [ A ]Q = Càrrega. Quantitat [ C ]t = Temps de circulació. [ s ]

La unitat d'intensitat de corrent ésl'ampere, el qual podem definir com la circulació de càrregues (e-) a raód'un coulomb cada segon. 1 A = 1 C/s

Però no tots els cossos deixen passar el corrent de la mateixa manera. Hi ha cossos que pràcticamentno deixen passar el corrent a través seu; s'anomenen aïllants i tenen una resistència alt al pas delcorrent elèctric. Per contra, n'hi ha que la deixen passar bé; són els conductors i tenen una resistènciabaix .

2 LA LLEI D'OHM.

Si analitzem el que hem dit fins ara, ens adonarem que la intensitat elèctrica (I) que passi per unconductor dependrà de la resistència d'aquest :

Quant més baixa sigui la resistència, més intensitat passarà.

Quant més alta sigui la resistència, menys intensitat passarà.

Però hi ha un altre factor, és la tensió (V) :

Quanta més tensió apliquem, més energia tindran els electrons, per la qual cosa si la resistència ésla mateixa, més intensitat passarà.

Quanta menys tensió apliquem, menys energia tindran els electrons, per la qual cosa si la resistènciaés la mateixa, menys intensitat passarà.

Tot això ho U I = Intensitat elèctrica. [ A ]reflecteix I = ---- U = Tensió o voltatge (ddp). [ V ]l'expressió. R R = Resistència elèctrica. [ Ω ]Per partícula , o també punt material o massa puntual , s'entén una molt petita quantitat de matèria,la qual pot suposar-se que ocupa un punt geomètric de l'espai.

pàg. 63

- - - -

+ -ddp (V)

Conductor de CuI I

II

R

2



3 RESISTÈNCIA i RESISTIVITAT.

En electricitat, denominem receptor a tots els aparells que podem utilitzar per obtenir-ne un fi :La rentadora porta un motor i resistències calefactores.La nevera porta un motor-compressor. RECEPTORSL'ascensor porta un motor-politja.Una màquina porta diferents motors i altres equips.

Tots aquests receptors estan connectats a una tensió ( V ) per la qual cosa hi passarà un corrent elèctric( I ), segons la llei d'Ohm presentaran una resistència ( R = U/I

Els conductors també presenten resistència al pas del corrent elèctric (intensitat), els quals són elsencarregats d'enllaçar els generadors amb els receptors.

Generalment són conductors metàl.lics (Cu, Al, o similars) els que fan d'enllaç.

La resistència elèctrica d'un conductor la podem expressar com :

R = Resistència elèctrica. [ Ω ] ρ . L ρ = Resistivitat del material conductor. [ Ω . mm2/m ]

R = ------- L = Longitud del conductor. [ m ] S S = Secció del material conductor. [ mm2 ]

20 ºC Resistivitat (ρ) La resistivitat és un coeficient que depèn del material.MATERIAL [ Ω . mm2/m ] Quant més petit sigui el valor millor conductor és.

Alumini (Al) 0,02857 La resistivitat varia amb la temperatura.Coure (Cu) 0,01785 En la majoria dels metalls, la resistivitat augmenta amb la temperatura.Ferro (Fe) 0,13 En materials com el carboni, la resistivitat disminueix al augmentar T.Llautó 0,063 En alguns materials, les temperatures extremadament baixes, mésPlata (Ag) 0,0159 baixes de -260 ºC, la resistivitat pràcticament desapareix, i es tornenOr (Au) 0,024 superconductors.

La resistivitat d'un conductor a una temperatura donada, la podem obtenir a partir de la sevaresistivitat a 20 ºC, temperatura que agafarem per defecte si no ens diuen el contrari.

Ho podem expressar com : ρt ρ α = 20 . [ 1 + ( T - 20 ) ] coeficient (α)

MATERIAL [ ºC-1 ]ρt = Resistivitat a una temperatura T. [ Ω . mm2/m ] Coure (Cu) 0,0039ρ20 = Resistivitat a una temperatura de [ Ω . mm2/m ] Ferro (Fe) 0,005a = Coeficient de temperatura del mater [ ºC-1 ] Plata (Ag) 0,0038T = Temperatura de treball. [ ºC ] Or (Au) 0,035

pàg. 64

longitud ( L )

secció ( S )

material ( ρ )

R



4 CIRCUIT CONNEXIÓ "SÈRIE".

Un circuit SÈRIE és la connexió de "n" resistències unides una darrera l'altra.Els dos extrems A i B finals els connectem a una font d'alimentació o pila.

n = nombre indeterminat : 1, 2, 3,...30....

3 resistències connectades en sèrie.

RESISTÈNCIA EQUIVALENT D'UN CIRCUIT SÈRIE.

RE = R1 + R2 + R3 +...+ Rn

UABTambé s'acompleix : RE = ------

I

INTENSITAT QUE HI CIRCULA PER UN CIRCUIT SÈRIE.

Si ens fixem en el circuit sèrie és obvi que per cada resistència hi circula la mateixa intensitat.

La intensitat de corrent en un circuit sèrie serà única.

IR1 = IR2 = IR3 = I

U1 U2 U3IR1 = ------ IR2 = ------ IR3 = ------

R1 R2 R3

UABTambé s'acompleix : I = ------

RE

CAIGUDES DE TENSIÓ (cdt) QUE HI HA A CADA RESISTÈNCIA.

Ha cada resistència hi haurà una tensió o caiguda de tensió.

La tensió entre els punts A - B (UAB) serà igual a la suma de caigudes de tensió parcials.

U1 = UAC = I · R1 U2 = UCD = I · R2 U3 = UDB = I · R3

UAB = U1 + U2 + U3

També s'acompleix : UAB = I · RE

UAB = I1 · R1 UAB = I2 · R2 UAB = I3 · R3 UAB = U1 = U2 = U3


pàg. 65

I

R1 R2 R3

II

A BC D



5 CIRCUIT CONNEXIÓ "PARAL·LEL".

Un circuit PARAL.LEL és la connexió de "n" resistències unides una damunt de l'altra pels dos extrems.Els dos extrems finals els connectem a una font d'alimentació o pila.

n = nombre indeterminat : 1, 2, 3,...30....

3 resistències connectades en paral.lel.

RESISTÈNCIA EQUIVALENT D'UN CIRCUIT PARAL.LEL.

1 1 1 1 R1 · R2----- = ----- = ----- = ----- RE = ---------- Es pot utilitzar aquesta expressió només quan siguin 2 resistències. RE R1 R2 R3 R1 + R2

UABTambé s'acompleix : RE = ------

IT

INTENSITAT QUE HI CIRCULA PER UN CIRCUIT PARAL.LEL.

Si ens fixem en el circuit paral.lel cal adonar-se que per cada resistència hi circulauna intensitat parcial.

Per cada resistència hi circularà una intensitat parcial independent.

UAB UAB UABI1 = ------ I2 = ------ I3 = ------ I1 + I2 + I3 = IT

R1 R2 R3

UABTambé s'acompleix : IT = ------

RE

CAIGUDES DE TENSIÓ (cdt) QUE HI HA A CADA RESISTÈNCIA.

Cada resistència té la mateixa caiguda de tensió (cdt).

La tensió o cdt a cada resistència serà comuna i única. L'aplicada entre A - B (UAB).

UAB = I1 · R1 UAB = I2 · R2 UAB = I3 · R3 UAB = U1 = U2 = U3


pàg. 66

T

R1

R2

R3

I

12 Ω

14 Ω

16 Ω

TI

1I

2I

3I

A B



6 POTÈNCIA i ENERGIA.

Fins ara hem estudiat les magnituds elèctriques com : La intensitat elèctrica [I].La tensió elèctrica [V] o [E].La resistència elèctrica [R].

També hem estudiat les connexions sèrie i paral.lel i hem fet pràctiques de muntatge d'aquests tipusde connexió, amés hem pres mesures de les tres magnituds, utilitzant el multímetre i el programa EWB .Per completar els conceptes bàsics d'electricitat passarem a estudiar, la potència i energia :

Energia = Treball

Potència = A l'eficiència en fer un treball.

E = P · t

E = treball o energia. [Ws] o [KWh]P = potència. [W] o [KW]t = temps. [s] o [h]

Exemple senzill :

Hem de traslladar les 16 cadires des E = 16 L'equipA ha trigat 0,5 h E = 32 · 0,5 = 16de l'aula de TECNO 2 fins al passadís L'equipB ha trigat 2 h E = 8 · 2 = 16

L'equip A és més eficient

El treball fet pels dos equips és el mateix , però, que el B .

l'equip A trigarà menys perquè té més potència. L'equip A té una P = 32

l'equip B trigarà més perquè té menys potència. L'equip B té una P = 8

P = U · I

P = potència. [W], [KW], [CV] P = I2 · R (Llei de Joule).

CV = cavall 1 CV = 736 WU = tensió. [V] U2

I = intensitat. [A] P = -----R = resistència. [Ω] R

Exemple : Determineu la potència d'un motor el qual està connectat a una tensió de 220 V iabsorbeix una intensitat de 15 A. Doneu-la en [W], [KW] i [CV].

P = U · I = 220 · 15 = 3300 W P = 3,3 KW

3300P = ------- = 4,48 CV

736

pàg. 67

LÒGICA DIGITALAPUNTS BÀSICS


1 INTRODUCCIÓ ALS "CI" DE PORTES.

Fer una acció depèn dels elements que permeten la seva execució. Per exemple per xutar una pilotadependrà d'algú que executi el xut : acció = xutar una pilota ≡ funció lògica.

Per exemple : acció encendre una bombeta.Si ens fixem en l'esquema, podem dir que l'estat de la bombeta (encesao apagada) és una funció de l'interruptor (tancat o obert), però aquesta

funció lògica és binària, només pot tenir dos estats, encesa (1) o apagada (0), que depenen de l'estat dela variable binària d'entrada, en aquest cas l'interruptor, que pot estar obert (0) o tancat (1).

a = variable binària d'entrada o senyal d'entrada.S = variable binària de sortida o senyal de sortida.

Segons la normalització electrònica, els senyals es representen : Entrada a, b, c, d, …Sortida F, S, X, Y …

TAULA DE LA VERITAT.

Una funció lògica també es pot representar per la TAULA DE LA VERITAT, a partir de la qual s’analitzentots els estats possibles de les variables d'entrada i de l'estat de la variable o variables de sortida.

TAULA DE LA VERITAT Anàlisi senyals d'entrada senyals de sortida

A la taula de la veritat es representen, ordenades, totes les combinacions possibles dels senyalsd'entrada i en funció d'aquests s'obté el senyal de sortida per a cada combinació.

Combinacions = 2n C = combinacions.2 = base del sistema.n = nombre de variables d'entrada.

Per exemple : Feu la taula de la veritat (TdV) de 2 variables d'entrada i de 3 variables d'entrada :

Combinacions = 2n n = 2 C = 22 = 4 combinacions. TdV (2 entrades) (2) (1)

a b S0) 0 01) 0 12) 1 03) 1 1

Combinacions = 2n n = 3 C = 23 = 8 combinacions. TdV (3 entrades) (4) (2) (1)

a b c S0) 0 0 01) 0 0 12) 0 1 03) 0 1 14) 1 0 05) 1 0 16) 1 1 07) 1 1 1

pàg. 68

a S



2 PORTES LÒGIQUES.

Els circuits digitals per dur a terme la seva funció fan servir les PORTES LÒGIQUES, aquestes sónles encarregades de processar els senyals d'entrada amb operacions lògiques per generar el senyal desortida.

Senyals d'entrada CIRCUIT DE Senyals de sortidaPORTES LÒGIQUES

Les portes lògiques fonamentals realitzen les operacions definides a l’àlgebra de Boole i, per tant,compleixen les seves lleis i postulats. Aquestes funcions són :

1 Porta NO (NOT en anglès), que realitza la inversió lògica o negació.

2 Porta O (OR en anglès), que realitza la suma lògica.

3 Porta I (AND en anglès), que realitza el producte lògic.

2.1 PORTA NOT

C = 21 = 2 combinacions.

TdV (1 entrada)

a S0 11 0

2.2 PORTA OR


TdV (2 entrades)

a b S0 0 00 1 11 0 11 1 1

pàg. 69

aS

Esquema elèctric

1

Símbol ASA

Símbol DIN

Àlgebra BOOLES = a

a

a S

S

1

Símbol ASA

Símbol DIN

Àlgebra BOOLES = a + b

a

aS

S

b

b

a

S

Esquema elèctric

b



2.3 PORTA AND


TdV (2 entrades)

a b S0 0 00 1 01 0 01 1 1

Hi ha altres portes lògiques més complexes que realitzen operacions lògiques combinades :4 Porta NO-O (NOR en anglès), que realitza la negació a la suma lògica.5 Porta NO-I (NAND en anglès), que realitza la negació al producte lògic.

2.4 PORTA NOR


TdV (2 entrades)

a b S0 0 10 1 01 0 01 1 0

2.5 PORTA NAND


TdV (2 entrades)

a b S0 0 10 1 11 0 11 1 0

pàg. 70

a S

Esquema elèctric

b

&

Símbol ASA

Símbol DIN

Àlgebra BOOLES = a · b

a

aS

S

b

b

1

Símbol ASA

Símbol DIN

Àlgebra BOOLES = a + b

a

aS

S

b

b

a

S

Esquema elèctric

b

a S

Esquema elèctric

b

&

Símbol ASA

Símbol DIN

Àlgebra BOOLES = a · b

a

aS

S

b

b



3 L'ÀLGEBRA DE BOOLE.

INTRODUCCIÓ

A més del sistema numèric binari, caldrà un component que ens permeti relacionar i operar en el complexmón del disseny i l'anàlisi dels sistemes electrònics digitals.

FORMA CANÒNICA D'UNA FUNCIÓ LÒGICA

Com que tota llei, funció, equació o expressió booleana tindrà una taula de la veritat (TdV) que la representi,també podem dir que a partir de qualsevol TdV podem obtenir l'equació d'una funció booleana.Aquestes equacions tindran una forma característica anomenada canònica, la qual cosa vol dir que qualsevolterme d'una equació haurà de tenir totes les variables de la funció.

(4) (2) (1)

Considerem aquesta TdV : a b c F0) 0 0 0 11) 0 0 1 02) 0 1 0 13) 0 1 1 14) 1 0 0 05) 1 0 1 16) 1 1 0 17) 1 1 1 1

Podem trobar-nos amb dos tipus d'equacions canòniques :

minterms variables dins un terme multiplicades i termes sumats.sel·leccionarem els termes de la sortida TdV = 1

CANÒNICA

maxterms variables dins un terme sumades i termes multiplicats.sel·leccionarem els termes de la sortida TdV = 0

SIMPLIFICACIÓ MITJANÇANT ELS MAPES DE KARNAUGH

Estudiarem aquest procés a partir d'un exemple, però abans cal tenir en compte el següent :

1 Qualsevol funció que s'hagi de simplificar mitjançant el mètode de Karnaugh haurà d'estar enforma canònica.

2 Segons el nombre de variables hi haurà diferents mapes, els quals es mostren en els exemples.

pàg. 71



SIMPLIFICACIÓ MITJANÇANT ELS MAPES DE KARNAUGH (continuació).

mapa 2 variables a mapa 3 variables a mapa 4 variables

a b c bb 0 1 c 00 01 11 10 d 00 01 11 10

0 0 00

1 1 01

11

10

1 Una vegada dibuixat, el mapa de Karnaugh s'ha d'omplir. El procediment consisteix de posar un 1 o 0 enels quadres corresponents a les combinacions d'entrada que activin la sortida.

2 Una vegada completat el mapa haurem de fer agrupacions de caselles contigües. Com que es tracta d'unsistema binari, aquestes només podran ser 2n quadrícules (1, 2, 4, 8, 16…), i sempre hauran de ser elmés gran possible. Veieu exercicis. Donada la TdV següent. Trobeu :

a) La funció canònica enminterms. b) L .a funció canònica en maxterms a b Fc) Simplificació per Karnaugh. d) El circuit lògic resultant. 0 0 1

0 1 11 0 11 1 0

pàg. 72



Exercici 1 Donada la TdV següent. Trobeu :a) La funció canònica en forma de maxterms. b) Simplificació per Karnaugh.c) El circuit lògic resultant.

a b F0 0 00 1 11 0 01 1 0

Exercici 2 Donada la TdV següent. Trobeu :a) La funció canònica en forma de minterms. b) Simplificació per Karnaugh.c) El circuit lògic resultant.

a b c F0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

pàg. 73



Exercici 3 Donada la TdV següent. Trobeu : a b c Fa) L .a funció canònica en forma de maxterms 0 0 0 0b) Simplificació per Karnaugh. 0 0 1 0c) El circuit lògic resultant. 0 1 0 1

0 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

pàg. 74



Exercici 4 Donada la TdV següent. Trobeu : a b c Fa) L .a funció canònica en forma de minterms 0 0 0 1b) Simplificació per Karnaugh. 0 0 1 0c) El circuit lògic resultant. 0 1 0 0

0 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

pàg. 75