1

TEMEL FİNANS MATEMATİĞİ

A. 1. GİRİŞ.................................................................................................... 2

B. Gelecekteki ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ....... 6

C. Basit ve bileşik faiz kavramları ...................................................................... 8

D. Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler .................................................................. 9

E. Borcun İtfası ..............................................................................................15

F. Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı .............................................................17

G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity).........................................................19

H. Özet Ve Sonuçlar........................................................................................22

2

A. 1. GİRİŞ

Aslında temel finans matematiği karmaşık gibi görünen fakat basit bazı temel kurallar

öğrenildikten sonra hiç de zor olmayan hesaplamalar bütünü olarak tarif edilebilir. Şu an

sizlere birçok formül vermek yerine şöyle bir soru ile işe başlayalım;

100 liranızı bankaya 1 yıl vadeli olarak yıllık yüzde 25 faiz almak üzere yatırırsanız 1 yılın

sonunda paranız ne kadar olur?

Bu soruya hemen herkes hiçbir formül kullanmadan 125 Tl cevabını rahatlıkla verir.

Aslında yaptığı hesaplama basittir. 100 liranın yüzde 25’in hesaplar ve 100 liraya bunu

ekler. Çünkü bir yıl içinde 100 lirasına 25 lira kazanacaktır (100*0.25=25 lira)

Eğer kafadan basitçe yaptığımız bu hesaplamayı formüle dökecek olursak bunu şu şekilde

yazabiliriz;

100 TL + (100 TL * 0.25) = 125 TL

Anapara + Faiz miktarı (Anapara * Faiz oranı) = Gelecekteki Değer

Yani 100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 + (100*0.25) = 125 TL

Şimdi parantezin içindeki 100 rakamını dışarı çıkaralım;

100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl buluruz.

Varsayalım ki 100 lirasını %25 faizle bankaya yatıran tasarruf sahibi 1 yıl sonra 125 TL

sahibi oldu ve şimdi de bu parayı 1 yıl daha yüzde 25 faizle bankada tutmak istiyor olsun.

Bu durumda yine aynı mantıkla

125 liranın gelecekteki değeri = 125 + 125*0.25 = 125 + 31.25 = 156.25 Tl

olacaktır.

Yani ; 125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tl

olacaktır.

Varsayalım ki finans matematiği konusunda hiç bilginiz yok veya şu ana kadar belki de

okuduğunuz okullarda bir yarıyıl okutulan bu ders ile ilgili olarak aklınızda sadece

karmaşık bir sürü formülden kırık dökük parçalar kaldı. Hiçbirşey hatırlamıyorsunuz.

Ama şimdi bu formüllerin hepsini unutmanızı istiyorum. Çünkü bu formüllere hiç

ihtiyacınız yok. Önemli olan nokta finans matematiğinin çekirdek mantığını anlamaktır.

Eğer bunu anlarsanız hangi formülü hangi şartlarda uygulamanız gerektiği konusu

netleşecektir. Bu mantığı şimdi çok net bir biçimde anlayacaksınız. Çünkü finans

3

matematiğinin sadece 1 tane olan can alıcı formülünü siz yaratacak ve önünüze çıkan

neredeyse bütün sorulara sadece 1 tane formül uygulayacaksınız.

Buna aslında formül de demek istemiyorum. Çünkü, ortada ezberlemeniz gereken bir

formül yok. Sadece yukarıda sorduğum soruyu hatırlamanız bütün finans problemlerini

çözmeniz için yeterli olacaktır. Belki çok iddialı ama, gerçekten de finans matematiğinin

sadece bir denklemi vardır ve her koşulda bu denklem geçerlidir.

Şimdi yukarıdaki soruya tekrar dönelim. 100 lirasını yıllık yüzde 25 faizle 2 yıl bankada

tutan birinin parası 156.25 Tl olmuştur. Bu rakama nasıl ulaştık?

1. YIL için:

100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl

2. YIL için

125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tl

Eğer bu hesaplamayı tek tek yapmak yerine sadece bir defada yapabilir miyiz? Yukarıdaki

ikinci denklemi tekrar yazalım;

125*(1+0.25) = 156.25 şeklindeydi. Şimdi ilk rakam olan 125 yerine 100 (1+0.25)

yazalım; Çünkü bunu yukarıda hesaplamıştık.

100 * (1+0.25) * (1+0.25) = 100 * (1+0.25)2 = 156.25

Burada 100 TL başlangıçta yatırılan anaparadır (A), 0.25 rakamı faiz oranı (r) ve parantez

üzerindeki “2” rakamı da dönem sayısıdır. 156.25 rakamı da 100 liranın 2 dönem sonraki

değeri yani gelecekteki değeridir (G).

Bu soruyu formülüze edecek olursak;

G = A * (1 + r)n

Şeklinde yazabiliriz. Demek ki belirli bir miktar parayı belirli bir dönem boyunca, bu

dönem için geçerli faiz oranından bankaya yatırırsak gelecekte elde edeceğimiz değeri

(G) bu formül ile bulabiliriz. Bu formülü kimse bize öğretmedi. Basit bir soru sorarak

formülü biz çıkardık. Bundan başka öğrenmeniz gereken formül kalmadı. Finans

matematiğinin bütün konuları ve sorularını bu formülü kullanarak çözebilirsiniz.

Yukarıdaki soruyu tekrar hatırlayalım; Adam 100 lirasını yıllık yüzde 25 faiz almak üzere

2 yıllığına bankaya yatırdığında parası ne kadar olur? Cevap 156.25 Tl olur.

Şimdi soruyu şöyle sormuş olalım;

“eğer bir adam yıllık yüzde 25 faiz ile parasını bankaya yatırırsa 2 yıl sonra

156.25 Tl sahibi olacaktır. Acaba adamın şu an kaç lirası vardır?

4

Veya soruyu şu şekilde de sorabiliriz;

Yıllık yüzde 25 faiz üzerinden 2 yıl sonraki 156.25 TL’nin şimdiki değeri nedir?

Veya soru şöyle de sorulabilir;

Şu an birisi kaç lirasını bankaya yıllık yüzde 25 faiz ile 2 yıllığına yatırırsa parası

156.25 TL olur?

Dikkat ederseniz soruların soruluş biçimi farklıdır fakat, istenilen sonuç hep aynıdır.

Şimdiki değeri soruyoruz. Yukarıudaki formüle göre bizden istenilen “A” paramatresidir.

Yani Anapara’yı ulmamızı istiyorlar.

Bu durumda yukarıdaki formülde A’yı denklemin sol tarafına alırsak şimdiki değer

formülünü elde etmiş olacağız.

( )n

r

GA

+=

1 ( )100

25.01

25.1562

=+

=A

Bu formül aslında yeni bir formül değildir ve ilk bulduğumuz formülün sadece

parametrelerinin yeri değişmiş halidir. Bu formüle paranın zaman değeri veya şimdiki

değer formülü adını veriyoruz.

Yukarıda vermiş olduğumuz cevap için başka sorular da tyüretebiliriz; İşte bunlardan

bazıları;

• Yıllık mevduat faiz oranı yüzde 25 ise arkadaşınıza vermiş olduğunuz ve 2 yıl

sonra alacağınız 156.25 TL’yi bugün kaç TL olarak alırsanız, karınız ya da zararınız

olmaz (Paranızı sadece banka mevduatında değerlendirme seçeneğiniz var ve dah

ayüksek getiri elde etme imkanınız yok); Cevap 100 TL’dir, çünkü yıllık yüzde 25

faiz üzerinden 2 yıl sonra 156.25 TL şimdiki 100 TL yapmaktadır. Ya da

arkadaşımdan şu an 100 TL alsam ve 2 yıl vadeli mevduata yatırsam zaten 156.25

TL olacaktır.

Paranın bir zaman değeri vardır: Bugün alınacak 1 TL, 1 yıl sonra alınacak 1 TL'den daha

değerlidir. Bu olgu, 1 TL'nin 1 yıl sonra kesin olarak alınması durumunda ve ayrıca

paranın satın alma gücünü düşüren enflasyonun olmaması durumunda bile geçerlidir.

Paranın zaman değerini yaratan nedenler aşağıda sıralanmıştır:

Bireyler güncel tüketimi gelecek tüketime yeğlerler. Bireylere şimdiki tüketimden

vazgeçmeleri için gelecekte çok daha fazla şeyin sunulması gerekir.

Risk. Gelecekteki nakit akımlarıyla ilgili risk arttıkça bu risk nakit akımlarının değerini

düşürür.

5

Gelecekte beklenen enflasyon. Enflasyon paranın değerini düşürür. Enflasyon ne denli

yüksekse bugünkü değerle gelecek değer arasındaki fark o kadar büyür. Bu nedenle

yüksek enflasyon dönemlerinde yatırımcıların yüksek nominal getiri talep etmeleri o

kadar doğaldır.

Bu etmenleri yansıtmak için nakit akımlarının ayarlanması indirgeme olarak adlandırılır.

Yani biz 156.25 TL’yi yukarıdaki soruda bugüne indirgedik. Bu etmenlerin büyüklüğü

iskonto oranının büyüklüğü ile yansıtılır. Burada iskonto oranı dediğimiz şey aslında yüzde

25 olarak verilen faiz oranıdır. Eğer mevduat yapmaktan başka seçeneğim yoksa 156.25

TL’yi bugüne indirgerken iskonto oranı olarak yüzde 25’i kullandım.

Şimdi çok önemli bir nüansı vurgulamak istiyorum. Eğer ticaretle uğraşıyorsam ve banka

faiz oranları yüzde 25 iken, yıllık bazda yüzde 40 getiri sağlayan, yani 100 liramı

yatırdığımda bana yılda 40 lira kar sağlayan bir işim varsa; acaba 2 yıl sonra elime

geçecek 156.25 TL’yi borç verdiğim kişi bana bana 100 TL olarak ödemek istrerse kabul

etmeli miyim?

Eğer ben de banka faizi kadar getiri sağlıyor olsaydım başabaş olacaktı fakat şimdi

156.25 TL’yi yüzde 40 iskonto oranı ile indirgeyelim (Eğer yüzde 25 ile indirgersek zaten

sonucun 100 Tl olduğunu biliyoruz.)

( )72.79

4.01

25.1562

=+

=A

Burada sonuç 79.72 TL çıkmıştır. Eğer biz şimdi 79.72 Tl alırsak ve yüzde 40 getiri

sağlayarak 2 yıl değerlendirirsek 156.25 TL olacaktır. Dolayısıyla biz bırakın 100 TL’yi bize

79.72 Tl bile verse zararımız olmayacaktır. Eğer bize şu an 100 TL veriyorsa bu 100

TL’nin bizim için gelecekteki (2 yıl sonraki) değeri;

100 * (1+0.4)2 = 196 Tl olacaktır.

Dolayısıyla iskonto oranları aletrantif getiri oranını, güncel tüketimi gelecek tüketime

yeğlemeyi, nakit akımlarının riskini ve enflasyon oranlarını yansıtır.

Örnek: Şimdi 100 dolar mı almak istersiniz, yoksa yıllık dolar basit faizinin %10

olduğunu düşünürsek, 3 yıl sonra 133 dolar almak daha mı karlı olur?

Aşağıda cevap verilmiştir. Gelecekte elde edeceğimiz 133 doları (G) yıllık %10 basit dolar

faizi üzerinden bugüne indirgersek, 3 yıl sonraki 133 doların şu an kaç dolara denk

geldiğini buluruz (A). Dolayısıyla iki seçenekten birini uygulamanın farksız olduğunu

söyleyebiliriz (aşağıda yaklaşık değerler kullanılmıştır).

6

10033.1

133

)1.1(

133

)1.01(

133ADeger Şimdiki 33 ===

+==

B. Gelecekteki Değer ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

Şimdi gelecekteki değer formülünü tekrar yazalım.

G = A * (1 + r)n

Burada faiz oranı ( r ) dönemin getiri oranını yansıtmaktadır. (n) ise ilgili faiz oranının kaç

kere tekrarlandığını göstermektedir. Şimdi “bunu zaten biliyoruz” diyeceksiniz. Finans

matematiği soruları çözümlenirken, karşılaşılan en büyük zorluk bu iki parametrenin iyi

anlaşılmamasından kaynaklanmaktadır.

“n” değeri geçerli olan “r” getirisinin kaç kere tekrarlandığını göstermelidir. Bir soru

sorarak şöyle açıklayalım;

Haftalık bazda binde 5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta sonra ne

kadar olur?

Burada G = ? A= 100 TL r=0.005 n=9 şeklindedir.

Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9 = 104.6 TL olarak bulunacaktır.

Burada [(1+0.005)9=1.0459] olarak hesaplanır. Yani 1.005’in dokuzuncu kuvvetini

alıyoruz.

Peki şimdi buna çok benzer bir soruyu şöyle soralım.

ÖRNEK: Aylık bazda yüzde 1.5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta

sonra ne kadar olur? (not: bir ay 30 gün veya dört haftadır )

Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da diyebilirsiniz) aylık bazda

verilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre haftalık bazda verilmiştir.

Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) aylık bazda yazarsanız, dönem sayısını

da (n) aylık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz.

Bu soru için “r” yerine 0.015 (%1.5) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki

“r” yi aylık bazda yazarsak n değerine 9 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sanki

paramızı 9 ay işletmiş gibi oluruz. O zaman 9 haftayı aya çevireceğiz. 9 hafta = 9/4

aydır. Çünkü 4 hafta 1 ay yapıyorsa 9 hafta 9/4= 2.25 hafta yapmaktadır. Şimdi soruyu

çözelim;

Burada G = ? A= 100 TL r=0.015 n=9/4 şeklindedir.

Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9/4 = 103.41 TL olarak bulunacaktır.

7

Burada [(1+0.005)9/4=1.03406] olarak hesaplanır. Yani 1.015’in dokuzuncu 2.25nci

kuvvetini alıyoruz.

ÖRNEK:

Yıllık bazda yüzde 30 faiz getirisi alan birinin acaba 100 lirası 19 ay sonra sonra

ne kadar olur? (Not: 1 yıl 12 aydır ve kırık vade getiri mümkündür. Yani bir yıl

dolmadan paramızı çektiğimizde o ana kadar işlemiş aylık faizi de alacağız)

Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da diyebilirsiniz) yıllık bazda

verilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre aylık bazda verilmiştir.

Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) yıllık bazda yazarsanız, dönem sayısını

da (n) yıllık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz.

Bu soru için “r” yerine 0.30 (%30) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki

“r” yi aylık bazda yazarsak n değerini 19 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sanki

paramızı 19 yıl işletmiş gibi sonuç buluruz. O zaman 19 ayı yıla çevireceğiz. 19 ay =

19/12 yıldır. Çünkü 1 yıl 12 ay yapıyorsa 19 ay 19/12= 1.583 yıla eşit olmaktadır. Şimdi

soruyu çözelim;

Burada G = ? A= 100 TL r=0.3 n=19/12 şeklindedir.

Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.3)19/12 = 151.49 TL olarak bulunacaktır.

Burada [(1+0.005)9/4=1.5833] olarak hesaplanır. Yani 1.3’ün 1.583’ncü kuvvetini

alıyoruz.

ÖRNEK:

Bir yatırımcı 100 TL'sini yıllık basit % 40 ödeyen bir bankanın üç aylık mevduat

hesabına iki yıl süreyle yatırırsa, ikinci yılın sonunda hesabındaki parası ne olur?

Başka bir deyişle, bu 100 TL'nin ikinci yıl sonundaki gelecek değeri nedir?

Eğer banka yıllık basit faiz ödüyorsa, biz üç aylık döneme tekabül eden faiz oarnını

bulmalıyız. Dikkat ediniz faiz oranı yıllık bazda verilmiş, üçer aylık dönemde faiz işleyecek

ve süre 2 yıldır. Burada önemli olan nokta üç ayda bir faiz ödenmesidir. Eğer yıllık yüzde

40 faiz üzerinden parası 2 yıl sonra ne olur diye sorsaydık, cevap basitti, fakat yıllık

yüzde 40 üzerinden üç ayda bir faiz işletilerek 2 yıl sonra parası ne olur diye soruyorsak

“r” ve “n” doğru hesaplanmalıdır. Yılık faiz 0.40 ise bunu 4’e böleceğiz, çünkü 1 yıl iinde

4 tane üçer aylık dönem var. “n” değeri ise 8 olacak çünkü 2 yıl içinde 8 tane üç ay var

(24/3=8)

G = 100 * (1 +4

4.0)8 = 100 *(1+0.1)8 = 214.35 TL olarak bulunacaktır.

8

C. Basit ve bileşik faiz kavramları

Ne zaman basit faizden bahsederiz? Ne zaman bileşik faizden veya getiriden bahsediyor

oluruz? Basit faizden hareketle bileşik getiriyi nasıl buluruz veya bileşik getiriden basit

getiriyi ya da faizi nasıl elde ederiz?

Yine havalarda uçmaya gerek yok. Öğrendiğimiz tek formül bu soruya da cevap olacaktır.

Bu formül daha önce öğrendiğiniz gelecekteki değer formülüdür. Bu formülü tekrar

yazalım;

G = A * (1 + r)n

Bu formülü şöyle ifade edebiliriz;

Gelecekteki değer = Anapara + Faiz

şeklindedir. Dolayısıyla gelecekteki değer’den eğer anapara’yı çıkartırsak geriye

faiz kalır;

Faiz = geleceketeki değer(G) – Anapara (A)

Faiz = G-A

Faiz = A*(1+r)n- A

Eğer Anapara’nın 1 lira olduğunu varsayarsak Formül Şu

şekilde olacaktır;

Faiz = (1+r)n-1

Bu formül basit faizden hareektle bileşik faizi, ya da bileşik faizden hareketle basit faizi

bulmamıza yarayan formüldür. Her iki durumda da bu formülü kullanacağız. Fakat aslında

bu yeni bir formül değil. İlk ürettiğimiz formülden sadece anaparayı çıkardık.

ÖRNEK: Aylık yüzde 2 kazanan birinin yıllık bileşik getirisi nedir?

Burada r =%2 n= 12 Çünkü “r”yi aylık ifade edersek n’yi de aylık bazda yazmamız

gerekiyor; Bunları formülde yerine koyarsak;

Bileşik getiri = (1+0.02)12-1= %26.82

ÖRNEK: Parasını aylık olarak mevduat yapan birinin yıllık bileşik getirisi yüzde 36

olmuştur. Bu kişinin aylık basit getirisi ne olmuştur?

Burada r=%36 n=1/12 çünkü “r”yi yıllık bazda ifade ettik ve n değerini de yıllık bazda

ifade etmemiz gerekiyor. Bir bakıma 1 ay = 1/12 yıl’dır

9

Basit Getiri = (1+0.36)1/12-1= % 2.6

DİKKAT! Şimdi basitten bileşik faize mi yoksa bileşik faizden basiti mi hesapladığınızdan

emin olmak için n değerine bakacaksınız.

N < 1 ise bileşik faizden (getiriden) basit faizi (getiriyi) hesaplamış olursunuz.

N > 1 ise basit faizden (getiriden) bileşik faizi (getiriyi) elde etmiş olursunuz.

N = 1 ise bileşik faiz (getiri) ve basit faiz (getiri) birbirine eşittir.

ÖRNEK: Haftalık repo yapan biri 1 yıllık sürfe içinde yüzde 42 getiri elde etmiştir. Bu

kişinin haftalık (basit) getirisi ne olmuştur (Not: 1 yıl 52 haftadır)

Burada r=%42 (yıllık) n= 1/52 dir.

Basit Getiri = (1+0.42)1/52-1= % 0.68

ÖRNEK:

Vadesine 3 ay kala 100 lira nominal değerli bir bonoyu 90 liradan alan yatırımcının yıllık

bileşik getirisi ne olur?

Vadesine 3 ay kalmıştır ve bureada önce 3 ayda sağlayacağı getiriyi bulalım. Şu an 90

liraya almıştır ve 3 ayda 10 lira kazanacaktır. Bu durumda üç aylık getiri 10/90=%11.11

olarak bulunacaktır. Eğer üç ayda %11.11 getiri sağlarsa yıllık bileşik getirisi ne olur?

Burada r=%11.11 ve n= 12/3=4 şeklindedir. Çünkü bir yılın içinde 4 tane 3 ay vardır.

Getiri = (1+0.1111)4-1= % 52.41

olarak bulunacaktır.

( )000.000.2095260,0*200.995.20

8.01

1*200.995.20

4==

+=A

D. Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler

Mağazaya girdiniz ve dünya kupasını keyifle izlemek için büyük ekran bir televizyon

almak istiyorsunuz. Fakat peşin olarak satın alabilecek durumda değilsiniz.

Taksitlendirme yapılmasını istiyorsunuz. Her ay eşit ödeme yapabileceğinizi

belirtiyorsunuz. Elbetteki şu anki peşin fiyatını eşit taksitlere bölerek size bir rakam

çıkarmıyorlar. Çünkü üç ay sonra sizden alacakları 100 milyon Tl şu an için aynı değeri

ifade etmiyor. Dolayısıyla vade farkı ekleyerek, yani belirli bir faiz üzerinden hesaplama

yapılırak toplam ödemeniz gereken rakama ulaşılıyor.

Bu şekilde, belli bir süre için, her dönem sabit bir tutardan oluşan ödeme ya da nakit

akım serisine dönemsel eşit ödemeler veya anuite adı verilir. Önümüzdeki n dönem

boyunca her dönem sonunda 1000 TL kadar yapılacak olan bir dönemsel eşit ödeme

10

serisi aşağıdaki zaman çizgisi üzerinde gösterilmiştir. Anuite, yukarıda bahsedile sabit

taksit ödemeli borçtur. Fakat burada biraz daha geniş bir şekilde konuyu ele alacağız.

Dönemsel eşit ödemelerin de şimdiki değerini ve gelecekteki değerini hesaplamamız

mümkündür. Bu nakit akımlarının gelecekteki değerini hesaplarken yapılması gereken,

her nakit akışının beklenen faiz oranı ile gelecekteki değerinin, bindirgenmiş faiz formülü

ile hesaplanması ve tüm değerlerin toplanmasından ibarettir. Bu mantık çerçevesinde

Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri aşağıdaki formüle eşittir (DİKKAT! Bu

formülün pay kısmı size yukarıda gösterilen “bileşik faiz” formülüdür. Bileşik

faiz formülünü “r”ye böldüğünüzde annuitelerin gelecekteki değerini

buluyorsunuz. )

( )[ ]

−+

×≡r

rCG

n

11

G=Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri

C=Dönemsel eşit ödemeler

r=Dönem faiz oranı (iskonto oranı veya faiz beklentisi)

n=Dönem sayısı

Yukarıdaki eşitlikte {{{{...}}}} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin

gelecekteki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloya Anuite tablosu adı veriliyor.

Çeşitli n ve r değişkenleri için hesaplanan bilgiler bulunmaktadır.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 1.00000 2.05000 3.15250 4.31013 5.52563 6.80191 8.14201 9.54911 11.02656 12.57789 14.20679 15.91713 17.71298

10 1.00000 2.10000 3.31000 4.64100 6.10510 7.71561 9.48717 11.43589 13.57948 15.93742 18.53117 21.38428 24.5227115 1.00000 2.15000 3.47250 4.99338 6.74238 8.75374 11.06680 13.72682 16.78584 20.30372 24.34928 29.00167 34.3519220 1.00000 2.20000 3.64000 5.36800 7.44160 9.92992 12.91590 16.49908 20.79890 25.95868 32.15042 39.58050 48.4966025 1.00000 2.25000 3.81250 5.76563 8.20703 11.25879 15.07349 19.84186 25.80232 33.25290 42.56613 54.20766 68.7595830 1.00000 2.30000 3.99000 6.18700 9.04310 12.75603 17.58284 23.85769 32.01500 42.61950 56.40535 74.32695 97.6250435 1.00000 2.35000 4.17250 6.63288 9.95438 14.43841 20.49186 28.66401 39.69641 54.59016 74.69672 101.84057 138.4847640 1.00000 2.40000 4.36000 7.10400 10.94560 16.32384 23.85338 34.39473 49.15262 69.81366 98.73913 139.23478 195.9286945 1.00000 2.45000 4.55250 7.60113 12.02163 18.43137 27.72548 41.20195 60.74282 89.07709 130.16178 189.73458 276.1151550 1.00000 2.50000 4.75000 8.12500 13.18750 20.78125 32.17188 49.25781 74.88672 113.33008 170.99512 257.49268 387.2390155 1.00000 2.55000 4.95250 8.67638 14.44838 23.39499 37.26224 58.75647 92.07252 143.71241 223.75423 347.81906 540.1195560 1.00000 2.60000 5.16000 9.25600 15.80960 26.29536 43.07258 69.91612 112.86579 181.58527 291.53643 467.45829 748.9332765 1.00000 2.65000 5.37250 9.86463 17.27663 29.50644 49.68563 82.98129 137.91912 228.56655 378.13481 624.92244 1032.1220370 1.00000 2.70000 5.59000 10.50300 18.85510 33.05367 57.19124 98.22511 167.98268 286.57056 488.16995 830.88891 1413.5111575 1.00000 2.75000 5.81250 11.17188 20.55078 36.96387 65.68677 115.95184 203.91573 357.85252 627.24191 1098.67334 1923.6783580 1.00000 2.80000 6.04000 11.87200 22.36960 41.26528 75.27750 136.49951 246.69911 445.05840 802.10513 1444.78923 2601.6206185 1.00000 2.85000 6.27250 12.60413 24.31763 45.98762 86.07709 160.24262 297.44885 551.28037 1020.86869 1889.60708 3496.7731090 1.00000 2.90000 6.51000 13.36900 26.40110 51.16209 98.20797 187.59514 357.43078 680.11847 1293.22510 2458.12769 4671.4426195 1.00000 2.95000 6.75250 14.16738 28.62638 56.82144 111.80181 219.01354 428.07640 835.74898 1630.71051 3180.88550 6203.72672

100 1.00000 3.00000 7.00000 15.00000 31.00000 63.00000 127.00000 255.00000 511.00000 1023.00000 2047.00000 4095.00000 8191.00000

Dönem Sayısı ( n )

Fai

z O

ranı

( r

)

Örneğin; Dolar hesabınıza Aylık %1 faiz ödeyen bir bankaya önümüzdeki 5 yıl boyunca

her ay sonunda 20 dolar yatırırsak, 5. yıl bitiminde hesapta ne kadar para olur?

1. AY 1000 TL

2. AY 1000 TL

3. AY 1000 TL

0. AY (Peşinat)

11

( )[ ]$ 4163367.81*20

01.0

101.01*20

60

.G ==

−+

≡

Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değerleri de hesaplanabilir. Her bir eşit ödemenin

ıskonto faiz oranıyla bugüne indirgenmiş değerlerinin toplamı o serinin bugünkü değer

toplamını verecektir. Bu mantık çerçevesinde aşağıda belirtilen formül dönemsel eşit

ödemelerin şimdiki değerini verir.

( )[ ]( )

+

−+×≡

n

n

rr

rCD

1

11

D=Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değeri

C=Dönemsel eşit ödemeler

r=Dönem faiz oranı (Ya da piyasa faiz beklentisi)

n=Dönem sayısı

Yukarıdaki eşitlikte {{{{...}}}} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin

şimdiki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloda çeşitli n ve r değişkenleri için

hesaplanan bilgiler bulunmaktadır.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 0.95238 1.85941 2.72325 3.54595 4.32948 5.07569 5.78637 6.46321 7.10782 7.72173 8.30641 8.86325 9.39357

10 0.90909 1.73554 2.48685 3.16987 3.79079 4.35526 4.86842 5.33493 5.75902 6.14457 6.49506 6.81369 7.1033615 0.86957 1.62571 2.28323 2.85498 3.35216 3.78448 4.16042 4.48732 4.77158 5.01877 5.23371 5.42062 5.5831520 0.83333 1.52778 2.10648 2.58873 2.99061 3.32551 3.60459 3.83716 4.03097 4.19247 4.32706 4.43922 4.5326825 0.80000 1.44000 1.95200 2.36160 2.68928 2.95142 3.16114 3.32891 3.46313 3.57050 3.65640 3.72512 3.7801030 0.76923 1.36095 1.81611 2.16624 2.43557 2.64275 2.80211 2.92470 3.01900 3.09154 3.14734 3.19026 3.2232835 0.74074 1.28944 1.69588 1.99695 2.21996 2.38516 2.50752 2.59817 2.66531 2.71504 2.75188 2.77917 2.7993940 0.71429 1.22449 1.58892 1.84923 2.03516 2.16797 2.26284 2.33060 2.37900 2.41357 2.43826 2.45590 2.4685045 0.68966 1.16528 1.49330 1.71951 1.87553 1.98312 2.05733 2.10850 2.14379 2.16813 2.18492 2.19650 2.2044850 0.66667 1.11111 1.40741 1.60494 1.73663 1.82442 1.88294 1.92196 1.94798 1.96532 1.97688 1.98459 1.9897255 0.64516 1.06139 1.32993 1.50318 1.61496 1.68707 1.73359 1.76361 1.78297 1.79547 1.80353 1.80873 1.8120860 0.62500 1.01563 1.25977 1.41235 1.50772 1.56733 1.60458 1.62786 1.64241 1.65151 1.65719 1.66075 1.6629765 0.60606 0.97337 1.19598 1.33090 1.41267 1.46222 1.49226 1.51046 1.52149 1.52818 1.53223 1.53468 1.5361770 0.58824 0.93426 1.13780 1.25753 1.32796 1.36939 1.39376 1.40809 1.41652 1.42149 1.42440 1.42612 1.4271375 0.57143 0.89796 1.08455 1.19117 1.25210 1.28691 1.30681 1.31818 1.32467 1.32838 1.33051 1.33172 1.3324180 0.55556 0.86420 1.03567 1.13093 1.18385 1.21325 1.22958 1.23866 1.24370 1.24650 1.24806 1.24892 1.2494085 0.54054 0.83272 0.99066 1.07603 1.12218 1.14712 1.16061 1.16790 1.17184 1.17397 1.17512 1.17574 1.1760790 0.52632 0.80332 0.94912 1.02585 1.06624 1.08749 1.09868 1.10457 1.10767 1.10930 1.11016 1.11061 1.1108595 0.51282 0.77581 0.91067 0.97983 1.01530 1.03349 1.04281 1.04760 1.05005 1.05131 1.05195 1.05228 1.05245

100 0.50000 0.75000 0.87500 0.93750 0.96875 0.98438 0.99219 0.99609 0.99805 0.99902 0.99951 0.99976 0.99988

Dönem Sayısı ( n )

Fai

z O

ranı

( r

)

Örnek Soru :Beyaz eşya satan bir işletmede yeni bir kampanya başlamış bulunuyor. Bu

kampanyada bir televizyon almak istiyorsunuz ve önünüze iki ayrı seçenek konuyor.

- 12 ay boyunca, aylık 50 milyon Tl eşit taksit ödeme veya;

- Peşin olarak 500 milyon Tl ödemek.

Eğer aylık banka faiz oranı %5 ise ve yıl sonuna kadar bu şekilde devam edeceğini

düşünüyorsanız, rasyonel bir tüketici olarak hangi seçeneği seçerdiniz?

( )[ ]( )

582,162,4438632.8*000,000,5005.01*05.0

105.01000,000,50

12

12

==

+

−+×=D

Bu şartlar altında bir karşılaştırma yapacak olursak; şu an 500 milyon ödemek mi daha

iyidir? Yoksa gelecekte ödeyeceğimiz taksitlerin bugünkü (şimdiki değeri) 443.2 milyon

12

tutuyorsa, taksitle mi ödemek iyidir? Dolayısıyla cevap taksitli ödeme seçeneğinin

seçilmesi olmalıdır.

Anüite, belli bir zaman dönemi boyunca yapılan eşit ödeme ya da tahsilatlar dizisidir. bir

anüitenin gelecek değeri, eşit ödemelerin büyümesini olanaklı kılan bileşik faiz

uygulamasıyla bulunur. Annüiteler, ödemelerin dönem başı ya da dönem sonu

yapılmasına göre olağan ve peşin olmak üzere ikiye ayrılır. Ayrıca ödemelerin belli dönem

sonra başlayacağı bir anüite türü daha olup, bu anüite, ertelenmiş annüite olarak

adlandırılır. Burada yalnızca olağan anüiteleri ve sürekli ele alacağız:

Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönem

sonunda alınan 1 TL, iki dönem faiz kazanmaktadır, bu nedenle üçüncü dönem 1.2360

TL'ye ulaşmaktadır. İkinci dönem sonunda alınan 1 TL, 1.060 TL'ye ulaşmaktadır. Üçüncü

dönem sonunda alınan 1 TL'nin dönem sonu değeri yine 1 TL olmaktadır. Toplam anüite,

üçüncü dönemin sonunda 3.18360 TL'ya ulaşmaktadır. Bu rakam; r % 6'dan, n üç dönem

için gelecek değer anüite faktörü (GDAF i,n), olarak adlandırılır. Anüitelerin gelecek değeri

formülünü tekrar yazalım.

( )[ ]

−+

×≡r

rCSG

n

11

Burada, C, annüite tutarını (dönemsel ödemeleri), [(1+r)n-1]/i ise, r faiz oranı üzerinde n

dönemi için gelecek değer anüite faktörü'nü (GDAFi,n) temsil etmektedir. Formüldeki

değişkenler yerine ilgili değerler konursa, 3.18360 TL'ye ulaşılır.

Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yıl

sonunda 5 milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta ne kadar para olur ?

[(1 + 0.50)3 - 1]

GA = 5,000,000 ————————— 0.50

5,000,000 * 4.75 = 23,750,000 TL.

Ayrıca, artan oranlı (a) anüitelerde hesaplama yapmak için faiz oranı (ra) şöyle

hesaplanır:

ra = ((1+r)/(1+a))-1

Yukarıdaki denklemin matematik değeri, faiz oranı (r) yerine (ra) konarak anüitelerin

gelecek ve şimdiki değeri bulunur.

13

Bir Anüitenin Şimdiki Değeri. Tahvil ve benzeri araçlardan elde edilen faiz, anüiteleri

oluşturur. Bu tür finansal araçları karşılaştırmak için, bu anüitelerin şimdiki değerlerini

bilmemiz gerekir.

0 1 2 3 Zaman

÷1.06

÷1.062

÷1.063

0.9434

0.8900

0.839

PVA3 = 2.67302

1 1 1

14

Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönemin

sonunda elde edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.94340 TL, ikinci dönem sonunda elde

edilecek 1 TL'nin şimdiki değeri 0.89000 TL ve üçüncü dönem sonunda elde edilecek 1

TL'nin şimdiki değeri 0.94340 TL'ye ulaşmaktadır.Tüm anüiteleri şimdiki değeri ise

2.67302 TL olmaktadır. Buradan anüitelerin şimdiki değeri ise şöyle bulunacaktır:

( )[ ]( )

+

−+×≡

n

n

rr

rCD

1

11

Burada, A, anüitelerin herbirini, [(1+r)n-1]/(r(1+r)n) ise, şimdiki değer anüite faktörünü,

(ŞDAFi,n), temsil etmektedir. Formüldeki değişkenlerin yerine ilgili değerler konursa,

2.67302 TL'ya ulaşılır.

Dönem Sayısı. Burada, belli bir faiz kazanan ve dönem sonunda gerçekleşen olağan

anüitelerin istenen gelecek değere ulaşması için gerekli olan dönem sayısı

hesaplanmaktadır. Dönem sayısı şöyle hesaplanır:

Ln(1+((G*r)/A)) n = ——————— Ln(1+r)

Örneğin yıllık % 50 faiz veren mevduat hesabına her yıl sonunda 5 milyon TL yatırılırsa,

hesabın 23,750, 000 TL’ye ulaşması için kaç dönem geçmelidir?

Ln(1+((23.75*0.5)/5)) n = ——————— = 3 yıl Ln(1.5)

Faiz Oranı. Burada, dönem sonunda gerçekleşen olağan anüiteleri istenen şimdiki

değere eşitleyen iskonto (faiz) oranı hesaplanmaktadır. Bu amaçla anüiteler değişik faiz

oranları üzerinden iskontolanarak şimdiki değere eşitlenmeye çalışılır. Bu sureç

anüitelerin peşin değerini iskontolanan anüitelere eşitleyinceye kadar sürdürülür. Buluna

faiz oranı iç verim oranı olarak adlandırılır. Konu bölümün sonlarında ayrıntılı olarak

tartışılmaktadır.

Anüite Tutarı. Anüitelerin gelecek değeri formülünden yararlanarak anüite tutarına

ilişkin formül geliştirebiliriz:

15

[(1+r)n - 1] GA = A —————

r

Buradan,

[(1+r)n - 1]

A= GA / ————— r

Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yıl

sonunda kaç milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta 23,750,000 TL olur?

[(1.5)n - 1] A= 23.75 / ————— = 5 milyon TL 0.5

E. Borcun İtfası

Pek çok kredi aylık, üç aylık ya da yıllı dönemler itibariyle geri ödenir. Herbir dönemsel

ödeme, ödenmemiş anapara kalanı üzerinden yürütülen faiz ile anaparakalanından

düşülen bir indirimden oluşur. Ödemeler dönembaşı ya da dönem sonu olabilir. Burada

yalnızca dönemsonu ödemeler ele alınacaktır.

Dönemsonu ödemeleri belirlemek için anüitelerin şimdiki değeri yaklaşımı kullanılır.

Kredinin şimdiki değeri kendisine eşittir. Anüitenin I faiz oranı üzerinden n dönem için

şimdiki değer anüite faktörü bulunur., bu faktör verilen –krediye bölünür. Çıkan rakam

dönemsel ödemeyi gösterir. Bu tartışmaları formülle ifade etmek gerekirse:

[(1+r)n-1]

D = C —————— bilindiğine göre, r(1+r)n

r(1+r)n

C = D (—————— ) olacaktır. [(1+r)n-1]

Payda, 1 TL’lik anüitenin şimdiki değer faiz faktörü (ŞDFFi,n) olup, tablodan formüle

yerleştirilirse; dönemsel ödeme tutarı olan C kolayca hesaplanır. Ödemenin faiz bölümü

ise önceki dönemin anapara kalanına kullanılan faiz oranı uygulanmak suretiyle kolayca

bulunur.

16

Örneğin, tüketici kredilereine aylık % 7.77 (yıllık % 93.24) uygulayan A Bankası’ndan 15

milyon kredi alan tüketici borcunu 12 eşit taksitle öderse, aylık taksit tutarı ne olur?

15

C= —————— = 1,966,770 [1-(1.0777)-12] /0.0777 İlgili itfa tablosu aşağıda sunulmaktadır:

Tablo 1: İtfa Tablosu

Dönem Ödenen Faiz Ödenen Anapara Kalan Anapara

15,000,000

1 1,165,500 801,270 14,198,730

2 1,103,241 863,529 13,335,201

3 1,036,145 930,625 12,404,575

4 963,836 1,002,935 11,401,641

5 885,907 1,080,863 10,320,778

6 801,924 1,164,846 9,155,932

7 711,416 1,255,354 7,900,578

8 613,875 1,352,895 6,547,682

9 508,755 1,458,015 5,089,667

10 395,467 1,571,303 3,518,364

11 273,377 1,693,393 1,824,970

12 141,800 1,824,970 0

İtfa tablosu hesaplamalarında belli bir süre sonra ödeme başlıyorsa, önce borcun

ödemenenin başladığı dönemin başındaki gelecek değeri bulunur, daha sonra bu değer

yeni borç tutarı kabul edilir ve bu tutar üzerinden itfa tablosu oluşturulur.

Örneğin, 6,500,000 TL tutarında ve faiz oranı 0.115 olan bir borç 10 eşit taksitte dönem

sonlarında ödenecektir. İlk ödeme 4. yılın sonunda başlayacaktır. Dönemsel ödemelerin

tutarı ne olacaktır? Önce bu borcun üçüncü dönem sonundaki gelecek değeri bulunur.

Bulunan bu değer yeni borç tutarı olarak algılanır. Bu borç tutarı üzerinden dönemsel

taksitler hesaplanır. 6,500,000 TL'in üçüncü yılın sonundaki gelecek değeri şöyle

olacaktır:

G = A (1+r)n

= 6,500,000(1.115)3 = 9,010,273 TL

17

Dönemsel ödeme tutarı da şöyle bulunacaktır:

r(1+r)n

C = D (—————— ) olacaktır. [(1+r)n-1]

C = 1,562,176 TL

F. Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı

Proje değerlemede çeşitli yaklaşımlar vardır: Net şimdiki değer (NŞD), iç verim oranı

(İVO) gibi.

Net Şimdiki Değer. Net Şimdiki değer, yararların şimdiki değeri ile projenin

maliyetlerinin şimdiki değeri arasındaki farktır. Nakit akımlarını (yarar ve maliyetleri)

indirgemek için sermaye maliyeti kullanılır. Pozitif bir şimdiki değere sahip bir proje,

işletme değerine katkıda bulunacağı için kabul edilmelidir. Negatif bir NŞD'e sahip bir

proje ise reddedilmelidir.

Dönem sonlarında gerçekleşen n tane nakit akımına sahip bir yatırımın şimdiki değeri

(fiyatı) NA0, k, uygun iskonto oranı ve NAi'ler de dönemsel nakit akımları olsun.

NŞD( ) ( ) ( )n

n

2

2

1

1

o

k1

NA....

k1

NA

k1

NANA

+++

++

++=

Bu denklem, gelecekteki getirileri (NAi) firmanın finansman giderleri (sermaye maliyeti)

üzerinden iskontolayarak, gelecekteki getirilerin toplamını bugünün lirası karşılığına

dönüştürür.

Örneğin bir yatırımı sırasıyla her yılı sonunda 200, 300 ve 400 milyar TL getirdiğini, bu

yatırıma başlangıçta 500 milyar TL bağlandığını ve iskonto oranının % 13 olduğunu

varsayalım. Bu yatırımın nakit akımlarının şimdiki değeri şöyle olacaktır:

200 300 400 ŞD = ——— + ———— + ———— = 689.16 milyar TL (1+0.13)1 ( 1+0.13)2 (1+0.13)2

Bu yatırımı net şimdiki değerini şöyle hesaplarız:

NŞD = 689.16 - 500 = 189.16 milyar TL

18

Paydaşlar üçüncü yıl sonu itibariyle elde ettiği nakit akımlarının gelecek değeri (GD) ise

şöyle hesaplanır:

GD = 200(1+0.13)2 + 200(1+0.13)1 + 400

= 255.38 + 399 + 400 = 994.38

Başlangıçta yatırılan 500 milyar TL’nin gelecek değeri ise şöyle olacaktır:

GD = 500(1+0.13)3 = 721.45 milyar TL

Bu hesaplamalardan paydaşları üçüncü yıl sonu itibariyle kârı (K) şöyle olacaktır:

K = 994.38 - 721.45 = 272.93 milyar TL

Bu kârı yatırımı yapıldığı dönemdeki değere (NŞD) şöyle dönüştürebiliriz:

272.93 272.93 NŞD = ———— = ——— = 189.16 milyar TL (1+0.13)3 1.4429

Tartışmaları Tablo 3’de olduğu gibi özetleyebiliriz:

Tablo : Net Şimdiki Değer Yöntemi

Sermaye Finansman Yıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan 1 500.00 200.00 65.00 135.00 2 365.00 300.00 47.45 252.55 3 112.45 400.00 14.62 385.38 0 + 272.93 kâr

Bu yatırım 3. yıl sonunda paydaşlara 272.93 milyar TL kâr bırakmıştır. Bu kârı 0.

dönemdeki değeri daha önce tartışıldığı gibi 189.16 milyar TL düzeyindedir. Finansman

giderlerinin sermaye harcamalarının kalanı üzerinden hesaplandığını hemen belirtelim. Bu

proje paydaş servetini arttırdığı için üstlenilmelidir.

İç Verim Oranı. İç verim oranı, projenin yarar ve maliyetlerini biribirine eşitleyen

iskonto oranıdır. Başka bir deyişle, projenin NŞD'ini sıfır yapan iskonto oranıdır. İlgili

formül şöyledir:

( ) ( ) ( )0

İVO1

NA...

İVO1

NA

İVO1

NANA

n

n

2

2

1

1

o=

+++

++

++

19

Projenin İVO'ı sermayenin maliyetinden yüksekse, işletmenin değeri artacak olup, bu

proje üstlenilmelidir. IVO, sermaye maliyetine eşit ise, yine proje üstlenilmelidir. İVO,

sermayenin maliyetinden düşükse proje reddedilmelidir.

Bu yöntem bir örnekle şöyle açıklanabilir: 200 milyar TL'lik bir yatırımın birinci ve ikinci

yıllarda 90 milyar TL ve üçüncü yıl 81.4 milyar TL getirdiğini varsayalım. Kullanılan

iskonto oranı % 10 olsun. Bu verileri bir tablo ile özetleyelim:

Tablo : İç Verim Oranı Yöntemi

Sermaye Finansman Yıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan 1 200 80.0 20.0 60 2 140 80.0 14.0 66 3 74 81.4 7.4 74 0 + 0.0 kâr

Bu örnekte görüldüğü gibi, proje ne kârlı ne de zararlıdır. Yatırım kendini itfa ettiği gibi,

fon sağlayanlara % 10'luk bir getiri sağlamıştır. Bu durumda projenin ancak % 10'luk bir

finansman giderlerine eşit bir verim sağladığı söylenebilir. İşte bu % 10 iç verim

oranından başka bir şey değildir.

G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity)

Faiz oranlarını hesaplamanın birçok yolu vardır ve en önemli olanlardan biri de vadeye

kadar verim (yield to maturity) olarak adlandırılan yöntemdir. Buna gore hesaplanacak

olan faiz oranı; borç enstrümanının bugünkü değerini, bu borç enstrümanı tarafından

gelecekte yapılacak ödemelerin bugünkü değerine eşitleyen faiz oranı olacaktır.

Ekonomistler, en doğru ölçülmüş faiz oranı olarak bu faiz oranını dikkate alırlar. Şimdi,

vadeye kadar verim oranını sizlere daha once verdiğimiz 4 tür borç aracı için

hesaplamaya çalışalım. Hesaplamaların kolay ve basit olması amacıyla dolar bazında

örnekler vereceğiz.

• Basit Ödünç Verme İşlemi: 100 dolar ödünç veren birinin eline eğer vade

sonunda 110 dolar gegeçiyorsa bu durumda bugünkü 100 doları 1 yıl sonra 110

dolara eşitleyecek faiz oranı vadeye kadar olan verimi verecektir. Yani aşağıdaki

şekilde bir hesaplama yapacağız;

)1(

110100

i+=

dolayısıyla bu denklemden “i” faiz oranını denklemin sol tarafına çekecek ve gerekli

sadeleştirmeleri yapacak olursak aşağıdaki şekilde çözüme ulaşırız.

20

10%10.0100

10

100

100110i ===

−=

NOT: Basit ödünç verme işlemlerinde basit faiz oranı vadeye kadar olan verime

eşit olur. Yani eğer bankaya paranızı bir yıllığına yıllık %50 basit faizle

yatırıyorsanız, sizin vadeye kadaki veriminiz %50’dir.

• Sabit Taksit Ödemeli Borç: Hatırlayacağınız üzere, burada borcun eşit taksitlere

bölünmüş şekilde ödenmesi sözkonusuydu. Örneğin, bir banka şubesi,

kendisinden araba kredisi isteyen bir müşterisi için galeriye 5 bin dolar ödeme

yapıyor. Müşterisine de 3 yıl vadeli kredi açarak her yıl 2000 dolar ödemesini

istiyor. Bu durumda banka için vadeye kadar verimi hesaplayalım. Bir başka

deyişle tüketicinin kullandığı kredinin yıllık faiz maliyetini bulalım. Daha önce de

belirttiğimiz gibi; bugün bankanın yaptığı ödemeyi, gelecekte ödeyeceğimiz

taksitlerin toplam değerine eşitleyen faiz oranı, vadeye kadar olan verimdir.

Formül ile gösterirsek;

)1()1()1(32

2000200020000005

iii +++++=

Yukarıdaki formülde bu eşitliği sağlayan “i” değeri vadeye kadar olan verim

oranıdır. Eğer bu eşitliği çözersek i=0.097 olarak bulunur. Dolayısıyla banka için

yıllık vadeye kadar olan verim oranı %9.7 olarak bulunmuştur. Bir başka açıdan da

Arabanın bize yıllık maliyet oranıdır. Banka açısından vadeye kadar olan verim,

bizim için gerçekçi maliyettir.

• Kuponlu Tahvillerde Vadeye Kadar Verim: Aslında kupon ödemeli tahvillerde

de yukarıda sabit taksit ödemeli borç durumundaki yöntem izlenir. Tahvilin

bugünkü değerini, ileride tahvil’den elde edilecek nakit akışının tümünün şimdiki

değerine eşitleyen faiz oranı vadeye kadar olan verimi gösterecektir. Eğer bir

yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın alır, vade bitimine kadar elinde tutar

ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon faiz ödemesi ve anapara ödemesi)

alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye kadar verimdir. Gerçek piyasa faiz oranı

bu yolla hesaplanan vadeye kadar verim oranıdır. Etkin bir tahvil piyasasında

vadeye kadar verim o risk sınıfı için piyasa faiz oranıdır. Vadeye kadar verimin

yorumunu şöyle yapabiliriz. Eğer bir yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın

alır, vade bitimine kadar elinde tutar ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon

faiz ödemesi ve anapara ödemesi) alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye

kadar verimdir. Vadeye kadar verimin gerçeğe dönüşmesi , yani elde edilen getiri

ile aynı olması için bir takım koşulların sağlanması gerekmektedir. Bu koşulları

şöyle sıralayabiliriz.

21

Tahvil vade bitimine kadar elde tutulmalıdır. Vadeden önce satıldığı takdirde

piyasa koşullarına bağlı olarak satış fiyatının durumuna göre elde edilecek getiri

vadeye kadar verimden farklı olabilir.

Tüm kupon faiz ve anapara geri ödemelerin zamanında ve eksiksiz olarak

yapılması gerekmektedir. Aksi halde gerçekleşen getiri vadeye kadar verimin

altında kalır.

Vadeden önce itfası söz konusu olmamalıdır.

Yatırımcı tarafından tahsil edilen kupon faiz ödemeleri vadeye kadar eşit verime

eşit bir faiz oranından yeniden yatırıma dönüşmelidir. Yatırımcı elde ettiği kupon

gelirlerini harcamadan yatırıma yöneltmeli , üstelik bu yeni yatırımdan sağlayacağı

getiri tahvilin vadeye kadar verimine eşit olmalıdır. Yeniden yatırma getirisinin

vadeye kadar verimden düşük olması durumunda gerçekleşen getiri vadeye kadar

verimden az olacak, aksi halde ise onun üzerinde bir değere ulaşacaktır.

Tahvilin fiyatı genellikle nominal değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilmektedir.

Tahvil analizinde çoğu kez piyasa işlem fiyatı doğrudan gözlemlendiği halde

vadeye kadar verim bilinmeyeni teşkil etmektedir. Yani tahvilin birim fiyatı, kupon

ödemeleri ve anapara ödemelerinin tarih ve büyüklüğü bilindiği halde piyasa

ıskonto faiz oranının bulunması gerekebilir. Böyle bir durumda tahvil bugünkü

değer formülünde deneme yanılma yoluyla çözüme ulaşmak en kolayı olacaktır.

Tahvilin değeri eğer nominal değerden küçükse kupon ödeme faizinden daha

düşük bir ıskonto faiziyle denemeler başlatılmalı, aksi durumda ise tam tersi

uygulanarak sonuca ulaşmaya çalışılmalıdır. Vadeye kadar verimi daha kısa

yoldan, deneme yanılma yöntemine başvurmaksızın yaklaşık olarak hesaplamak

mümkündür. Bu yaklaşık hesaplama formülü şöyle ifade edilebilir.

2

VTD

N

TDVrV

i+

−+

≅

Burada : i : vadeye kadar verim r : Kupon Faizi V: Tahvilin nominal değeri TD: Tahvilin şu anki piyasa fiyatı N: Vadeye kadar olan yıl sayısı

Örneğin, üç yıl vadeli, nominal değeri 100.000 TL, %75 kupon faiz ödemeli ve şu

anki piyasa değeri 96,000 TL olan tahvilin vadeye kadar verimini bu formülle

hesaplarsak aşağıdaki rakam bulunur.

22

78,0

2

000,100000,963

000,96000,100000,75

≅+

−+

≅i

Burada ortaya çıkan %78’lik rakam aslında vadeye kadarki verimi en doğru şekilde

vermemektedir ve yaklaşık bir rakam olarak alınmalıdır. Normal şartlar altında,

yukarıdaki formül yerine aşağıdaki formülü kullansaydık ve “i” değerini bu

formülden hesaplasaydık %78.8 olarak bulmalıydık.

)1()1()1()1(332

iiii

VrVrVrVTD

+++++++=

)1()1()1()1(332

000,100000,75000,75000,75000,96

iiii +++++++= � i = %78.8

• İskontolu Bonolarda Vadeye Kadar Verim: İskontolu bonolarda kupon

bulunmaz. Dolayısıyla faiz fiyatın içindedir ve bu bonolar ilk arz edilirken,

fiyatlarında iskonto yapılmştır. Bu tür iskontolu bonolarda vadeye kadar verimi

hesaplamak kolaydır. formül ; günkalan Vadeye

360*

F

FVi

−= şeklinde verilebilir.

Örneğin; şu anki piyasa fiyatı 55000 Tl ve nominal değeri (itfa değeri) 100.000 TL

olan bir yıl vadeli bir bononun vadeye kadarki verimini hesaplayalım.

84.53%5384.0000,65

000,35

000,65

000,65000,100===

−=i ; burada vadeye kadarki

verim %53.84 seviyesindedir.

H. Özet Ve Sonuçlar

Bu bölümde bileşik faiz, anüite hesaplamaları, itfa tablosu, ödenim fonu, gelecek ve

şimdiki değer hesaplamaları, ve net şimdiki değer ve iç verim oranı konuları ele

alınmıştır. Ayrıca tahvilk ve boıno değerlemesinde kullanılan oranlar verilmiştir.

Hemen hemen tüm finans modellerinde paranın zaman değeri yaklaşımını yoğun olarak

kullanır. Bu nedenle nakit akımlarını değerlendirirken paranın zaman değeri gözönüne

alan finans matematiği ilkelerinden yoğun bir biçimde yararlanılır.

Yararlanılan Kaynaklar

23

Arman T. Tevfik, Gürman Tevfik Finans Matematiğine Giriş, T. İş Bankası Kültür

Yayınları, Istanbul, 1996.

Arman T. Tevfik, Temel Finans Matematiği , Ders Notları , Istanbul, 2001.