Triangulierung

Professor Dr. Günther Nürnberger Referentin: Mona Nimtz

Approximationstheorie

Flächeninhalt von Dreiecken

Gegeben sind 3 nicht kollineare Punkte

Flächeninhalt mit Hilfe von Trapezen

Flächeninhalt von Dreiecken

Gegeben sind 3 nicht kollineare PunkteFlächeninhalt mit Hilfe von TrapezenAT = ½ det (M)M = [ 1 1 1 ] [ x1 x2 x3]

[ y1 y2 y3]

Wichitge BegriffeGeben ist ein Dreieck T |T| ist die Länge der Längstens KantepT die Länge des InkreisradiuskT:= |T| / pT wird als Formparameter bezeichnetFür ein gleichseitiges Dreieck: kT= 2 √ 3

TriangulationEine Zerlegung ߡ:= {T1,…,TN} einer Figur

in Dreiecke nennt man eine Triangulierung ( in der Ebene)Hierbei ist entweder eine Kante oder ein

Eckpunkt gemeinsam

Stars von DreieckenUnter dem „closed star“ stari(v)

versteht man die Menge aller Dreiecke aus ߡ mit angegrenzenden Eckpunkten v

Unter dem „closed star“ stari(T) versteht man die Vereinigung alles angrenzenden Dreicke

Euler‘sche RelationenVI := Anzahl der inneren EckpunkteVB:= Anzahl der RandeckpunkteV:= Anzahl aller EckpunkteEI := Anzahl der inneren KantenEB := Anzahl der RandkantenE := Anzahl aller KantenN:= Anzahl der Dreiecke

EB = VB

EI = 3VI + VB –3

N = 2 VI+ VB –2

Clough-Tocher Hierbei werden die Dreiecke mit Hilfe

des Schwerpunktes in 3 kleine Dreiecke zerlegt

Powell-SahinHierbei wird der Umkreismittelpunkt

sowohl mit den Ecken, als auch mit den Seitenmittelpunkten verbunden

Powell-Sahin-12Diese Methode funktioniert wie die

Powell.Sahin-Methode, wobei hier zusätzlich die Seitenmittelpunkte miteinander verbunden werden

Gleichmäßige Unterteilung

Bei dieser Methode werden die Seitenmittelpunkte verbunden

Dadurch entstehen 4 gleiche Dreiecke

Triangulierung Typ IHier werden Rechtecke durch eine

Diagonale in 2 Dreiecke unterteilt

Triangulierung Typ IIHier werden die Rechtecke durch 2

Diagonalen in 4 Dreicke zerteilt

Der Farbalgorithmus Dieser besagt, dass er möglich

ist eine Triangulierung in nur 2 Farben einzufärben

Dabei dürfen jedoch Nachbardreiecke die gleiche Farbe haben

Quellen• Lai, Schumaker: Spline Functions on Triangulations• Nürnberger, Zeilfelder: Lagrange interpolation by bivariate C-splines• http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=982481713&dok_var=d1&dok_ext=pdf&file

name=982481713.pdf• Wikipedia: dreiecksfläche• Bilder von verschiedenen Seiten• http://www.henked.de/maple/dictionary.htm