Download pptx - Trigonometria 1 batxillerat

Transcript
Page 1: Trigonometria 1 batxillerat

UNITAT 3. TRIGONOMETRIA3.1 RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE3.2 CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT3.4. RELACIONS ENTRE LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE QUALSEVOL3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

Page 2: Trigonometria 1 batxillerat

UNITAT 3. TRIGONOMETRIA

Page 3: Trigonometria 1 batxillerat

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Podem calcular les raons trigonomètriques no sols dels angles aguts d’un triangle rectangle, sinó que ho podem fer de qualsevol angle comprès entre 0º< α < 360º

Començarem amb l’obtenció de les raons trigonomètriques d’un triangle rectangle dins del primer quadrant de la circumferència.

Page 4: Trigonometria 1 batxillerat

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

A partir de l’obtenció de les raons trigonomètriques d’un angle agut podem obtindre les de qualsevol angle situat dintre la circumferència, és a dir, que es trobe entre 0 i 360º

Dintre del segon quadrant quedaria:

Page 5: Trigonometria 1 batxillerat

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Dintre del tercer i quart quadrant quedaria:

Page 6: Trigonometria 1 batxillerat

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Page 7: Trigonometria 1 batxillerat

3.1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D´UN ANGLE

Exemple 1. En una circumferència de radi 4 cm, situem els punts P1, P2, P3 i P4. Troba els valors de les raons trigonomètriques de cadascun dels angles.

Page 8: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Si dibuixem dues circumferències concèntriques i dos angles α i β es pot comprovar que les raons trigonomètriques no depenen del radi de la circumferència.

Considerant que els triangles OPQ i OP’Q’

són semblants, ja que es troben en posició

de Tales, és fàcil comprovar que els seus

costats són proporcionals:

D´aquí podem traure:

Queda demostrat que el sin, cos i tan no depèn del radi, sinó de l´angle.

Page 9: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Amb aquesta demostració podem representar les raons trigonomètriques de qualsevol angle inscrit dintre de la circumferència trigonomètrica o goniomètrica, que és aquella que té com a radi la unitat.

Si r=1, sinα =Y/r= Y; cos α= X/r=X

D’ aquesta manera, el punt:

P(x,y)= (cos α, sin α), sempre que

la circumferència tinga radi=1

Page 10: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

De manera semblant amb com ho hem fet per al primer quadrant podrem obtenir les diferents raons trigonomètriques les angles situats als quatre quadrants.

Page 11: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Si tenim la següent circumferència trigonomètrica, de radi 1, calcula les raons trigonomètriques en els punts marcats (sense utilitzar la calculadora)

Page 12: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Si ens fixem podem traure els signe de cadascuna de les raons trigonomètriques, segons el quadrant en que és trobe l´angle:

Si 0º< α < 90 sin augmenta de 0 a 1, cos disminueix de 1 a 0 i la

Si 90< α < 180 sin disminueix de 1 a 0, cos disminuiex de 0 a -1 i

Si 180< α <270 sin disminueix de 0 a -1, cos augmenta de -1 a 0

Si 270< α < 360 sin augmenta de -1 a 0, cos augmenta de 0 a 1

Page 13: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Page 14: Trigonometria 1 batxillerat

3.2. CIRCUMFERÈNCIA TRIGONOMÈTRICA

Exercici. Troba la resta de raons trigonomètriques, si:

Page 15: Trigonometria 1 batxillerat

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

Les raons trigonomètriques de qualsevol angle dintre de la circumferència es pot expressar com les raons d’un angle del primer quadrant. D’aquesta manera:

Un angle del segon quadrant el podrem expressar com 180º- α, sent α un angle del primer quadrant.

sin (180º- α) = sin α

cos (180º- α) = -cos α

tg (180º- α) = -tg α

Exemple: sin 130 = sin 50

Page 16: Trigonometria 1 batxillerat

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

De la mateixa manera un angle del 3er quadrant el podem representar com un del 1er quadrant, si fem 180 + α

sin (180º+ α) = -sin α

cos (180º+ α) = - cos α

tg (180º+ α) = tg α

Cos (215º)= - cos (35º)

Page 17: Trigonometria 1 batxillerat

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

De la mateixa manera un angle del 4at quadrant el podem representar com un del 1er quadrant, si fem 360 – α

Sin (360 – α) = Sin (- α) = - Sin α

Cos (360 – α) = Cos (- α) = Cos α

tg (360 – α) = tg (- α) = - tg α

Tg ( 295) = tg (295-360) = tg (-65) = - tg 65

Page 18: Trigonometria 1 batxillerat

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANTSi dos angles són complementaris, α i β, tenim:• Sin α = Cos β• Cos α = Sin β

Per tant:

Sin 75 = Cos 25

Cos 35= Sin 55

La circumferència la podrem expressar també en radians (unitat de mesura d´angles al igual que els graus). Tota la circumferència mesura 2π radians.

75º= (75· 2π)/360= 0.417 π rad.

4 π/3 rad = (4/3·360)/2= 240º

Graus 90 180 270 360

Radians π/2 π 3π/2 2π

Page 19: Trigonometria 1 batxillerat

3.3. REDUCCIÓ AL PRIMER QUADRANT

Page 20: Trigonometria 1 batxillerat

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLSi coneguem qualsevol de les tres raons trigonomètriques existents (sin, cos i tg) podem calcular les altres dues raons trigonomètriques que ens falten.

Page 21: Trigonometria 1 batxillerat

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLCada valor de les raons trigonomètriques el podem posicionar en dos quadrants diferents, teniu que fixar-se en el signe de la raó que us donen i en els signes que prenen les raons trigonomètriques en cada quadrant de la circumferència.

Quadrant

1er 2on 3er 4at

Sin + + - -Cos + - - +Tg + - + -

Page 22: Trigonometria 1 batxillerat

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOL

Page 23: Trigonometria 1 batxillerat

3.4. RELACIONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOLCalcula la resta de raons trigonomètriques i els angles als que pertanyen aquestes raons trigonomètriques:

a) Cos α =0,5 0< α<90

b) Sin α = -0,75 180< α<270

c) Tg α = -1,5 270< α<360

d) Cos α = -0,65 90< α<180

e) Sin α = 0,20 90< α<180

f) Tg α = 2,3 0< α<90

Page 24: Trigonometria 1 batxillerat

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

Si ens demanen que obtinguem el sin 55º per mitjà de les raons trigonomètriques de dos angles A i B la suma dels quals siga 55º. No podem fer:

Cos (55) = Cos (30+25)= Cos 30+ Cos 25, perquè ens donarà un nombre superior a 1, i ni el sinus ni el cosinus poden ser superiors a 1 o -1.

Per aquesta raó necessitem l’utilització de les fórmules d’addició.

1. Cosinus de l´angle diferència

2. Cosinus de l´angle suma

Page 25: Trigonometria 1 batxillerat

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

3. Sinus de l´angle suma

4. Sinus de l´angle diferència

5. Tangent de l´angle suma

6. Tangent de l´angle diferència

Page 26: Trigonometria 1 batxillerat

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓ

RAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE L´ANGLE DOBLE

Page 27: Trigonometria 1 batxillerat

3.5. FÓRMULES D´ADDICIÓRAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE L´ANGLE MEITAT