Zeros de funções
Jones Corso1o sem / 2015
DMAT – UDESC - JOINVILLE
Definição
Um zero de uma função f: [a,b] ----> R é um número real ξ tal que f(ξ) = 0. Geometricamente ξ é a abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox.
A raiz de uma equação f(x) = 0 é um número real ξ tal que f(ξ) = 0. Se ξ é uma raiz da equação f(x) = 0 então ξ é um zero de f .
Problema
ξ1 ξ2 ξ3
a
bx
y
f(x)
Zeros de funções• Polinomiais:
– 1º grau: equação da reta– 2º grau: fórmula de báskara– 3º e 4º grau: Fórmulas de Cardano– Polinômio de grau n (n>4): Não existem fórmulas
• Transcedentais (não-algébricas):– Combinam funções trigonométricas (seno,
cosseno,...), exponenciais (ex, 3x2,...) ou logarítmicas (log x, ln x, …): Raramente conseguimos encontrar um zero por métodos analíticos.
Procedimentos
• Localizar (isolar) uma raiz de f(x) num intervalo (a,b).
• Partindo de um valor inicial, aproximar-se sucessivamente do valor da raiz, até atingir uma precisão ε.
1. Isolamento das raízes• Teorema 1Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um
ponto x = ξ entre a e b que é zero de f(x)
x
f(x)
x
f(x)
aab bξ ξ1 ξ2 ξ3
1. Isolamento das raízes
x
f(x)
x
f(x)
• ObservaçãoSob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de f(x)
ξ ξ
b
ab
a
b][a,x>(x)f' 0,
b][a,x<(x)f' 0,
Ex. 1)
Análise do sinal de f(x):
Como f(x) é contínua, existe ao menos um zero de f(x) em cada um dos intervalos I1=[-5,-3], I2=[0,1], I3=[2,3]. Além disso, como f(x) é um polinômio de grau 3, cada intervalo contém um único zero de f(x).
39x +x=f(x) 3
x -5
-3
-1
0
1
2
3
4
5
f(x) -
+
+
+
- -
+
+
+
1. Isolamento das raízes
Ex. 2)
Temos que D(f)= e o sinal de f(x) fica:
Logo, f(x) tem ao menos um zero em (1,2). Para saber se este zero é único, devemos analisar o sinal de f’(x):
Assim f(x) admite um único zero em (1,2).
xex=f(x) 5
+
00,52
1 >x>e+x
=(x)f' x
x 0 1 2 3 ...
f(x) - - + + ...
1. Isolamento das raízes
• Observação: Se f(a)f(b) > 0 então podemos ter nenhuma raiz ou um número par de raízes (Teorema de Bolzano)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
ba b a baξ1 ξ2 ξ1=ξ2
1. Isolamento das raízes
Procedimentos para análise gráfica:i) esboçar o gráfico de f(x) e localizar as
abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x; ou
ii) a partir de f(x), desmembrá-la numa equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) e localizar os pontos onde as curvas se interceptam, pois f(ξ) = 0 ↔ g(ξ) = h(ξ)
1. Isolamento das raízes
• Ex. 1: (pelo método i)39x +x=f(x) 3
30
93x 2
±=x=(x)f'
=(x)f'
x
f(x)
ξ1ξ2 ξ3
)(ξ)(ξ
)(ξ
2,30,1
34,
3
2
1
∴
1. Isolamento das raízes
• Ex 1: (pelo método ii)
Equação equivalente
onde
39x +x=f(x) 3
x3=9x−3
39x e =h(x)x=g(x) 3
xξ1ξ2 ξ3
g(x)h(x)
)(ξ)(ξ
)(ξ
2,30,1
34,
3
2
1
∴
1. Isolamento das raízes
2. Refinamento da solução• É realizado através de métodos iterativos• Método iterativo: sequência de instruções
executadas passo a passo, repetidas em ciclos (iterações), que fornecem uma aproximação para a solução exata
b
a
ε
x
f(x)
x0x1x2x3ξ
2. Refinamento da solução
• Métodos iterativos a serem estudados:– Bissecção– Posição falsa– Ponto fixo (iteração linear)– Newton-Raphson (tangente)– Secante
Critério de parada
• A execução de um método iterativo é interrompida quando:
– Alcançou-se uma precisão desejada para a solução. Neste caso:
i) (abordagem pelo eixo-x) ou
ii) (abordagem pelo eixo-y)
ε<ξx ε<)xf(
Teste da precisão da solução
• Nem sempre é possível satisfazer os critérios (i) e (ii) ao mesmo tempo
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
ε|<)xf(|ε|<ξx|
ε|<)xf(|ε|ξx| >>
ε|)xf(|ε|ξx|
>>
ξ ξ ξx x x
Outro critério de parada
2. Executando-se um número máximo de iterações estipuladas.
b
a
ε
x
f(x)
x0x1x2x3ξx4x5
Método da bissecção• Seja f(x) contínua em (a,b) e tal que f(a)f(b) < 0• Suponha que o intervalo [a,b] contenha uma única raiz
da equação f(x)=0• Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo até que (b - a)
< ε, dividindo sucessivamente o intervalo ao meio
b=b0
a =a0
=a1
x
f(x)
x0
=b1=b2=b3
x1
=a2 x2
=a3
ξ
Método da bissecçãoExemplo: f(x)= xlog(x) – 1, tem um zero em [2,3]
• Iterações:
Método da bissecção
Algoritmo: Bissecção
Método da bissecção
ESTUDO DA CONVERGÊNCIA
Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a0,b0] é possívelsaber , a priori, quantas iterações serão efetuadass pelo método dabissecção até que se tenha b0-a0 < ε. Pelo algorítmo da bissecçãopodemos concluir (ver ref [1], pág 46) que
logo o número mínimo de iterações necessárias para obter aprecisão é de k=7
kk >
Por exemplo, se desejamos encontrar ξ, o zero da função f(x) = xlog(x) – 1 que está no intervalo [2, 3] com precisão ε = , devemos ter um número de iterações k, tal que
k >
Método da bissecção
• Considerações finais
– A vantagem do método é que as iterações não envolvem cálculos laboriosos
– A convergência é lenta, pois se b0 - a0 >> ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande
– É normalmente utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz
Método da bissecção
Método da posição falsa• Seja f(x) contínua em (a, b). Se f(a) está mais próximo de
zero que f(b), então é provável que a raiz esteja mais próxima de a que de b (ao menos se f(x) é linear em (a, b)). O inverso também é verdadeiro (se f(b) está mais próximo de zero então a raiz deve estar mais próxima de b).
• Ou seja, podemos usar a idéia do método da bissecção, mas fazendo uma média ponderada de a e b:
|f(a)|+|f(b)||f(a)|+b|f(b)|a=x
Método da posição falsa
• Aplicação do método:
b=b0
=b1
a = a0 x
y
x2x1
=b2
ξ x0 =a1
=a2
f(x)
Algoritmo do Método da Posição FalsaInício Se f(a) * f(b) < 0 Então Início x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) ) Enquanto ( | f( x ) | > epsilon E | b – a | > epsilon ) Faça Início Se f(a) * f(b) < 0 Então a←x Senão b←x x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) ) Fim-Enquanto Escreva(‘A raiz do intervalo dado é ’, x ) Fim - Se Senão Escreva(‘Não há raízes no intervalo dado.’)FimVariáveis utilizadas no algoritmo:• Reais: x, a, b, epsilon.OBS: a e b são, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do intervalo, f é afunção definida e epsilon é a precisão fornecida.
Método da posição falsa
• Ex.1 39x +x=f(x) 3
a b f(a) f(b) x_n f(x_n) |a-b| |f(x_n)|
0 1 3 -5 0,375 -0,32227 1 0,322266
0 0,375 3 -0,32227 0,338624 -0,00879 0,375 0,00879
0 0,338624 3 -0,00879 0,337635 -0,00023 0,338624 0,000226
< ε =0,001
Método da posição falsa
Método do ponto fixo (ou iteração linear)
1. Construir uma função φ(x) a partir da equação f(x) = 0, tal que:x = φ(x)
(Obs: este passo consiste em aplicar o método gráfico (ii), visto anteriormente, com g(x) = x e h(x) = φ(x) )
2. A partir de uma aproximação inicial x0, gerar a sequência {xk}, a partir da relação:
xk+1=φ(xk)
3. A raiz ξ de f(x)=0 corresponde a um ponto fixo da relação anterior, isto é, f(x)=0 ↔ φ(ξ) = ξ
{x0, x1=φ(x0), x2=φ(x1), x3=φ(x2),..., xk=φ(xk-1), xk= φ(xk)= ξ}
4. A função φ(x) que satisfaz as condições acima é dita uma função de iteração para f(x)=0
Método do ponto fixo
• Geometricamente
x
y
ξ
g(x) = x
h(x) = φ(x)
f(x)
• Geometricamente
x
y
ξ
g(x) = x
h(x) = φ(x)
x0x1x2
Método do ponto fixo
• Geometricamente
x
y
ξ
g(x) = x
h(x) = φ(x)
x2x1
x0x3
Método do ponto fixo
• Teorema 2Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num
intervalo I centrado em ξ. Seja φ(x) uma função de iteração para f(x)=0.
Sei) ii) iii)
Então a sequência {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1=φ(xk) converge para ξ.
Ix<M|(x)'| 1,I(x)'(x) em contínuas são e
x 0∈ I
Método do ponto fixo
• Geometricamente
x
y
ξ
g(x) = x
h(x) = φ(x)
x0x1x2
]x+ξ,x[ξ=Ix<(x)'< 000,1 convergência oscilante
Método do ponto fixo
• Geometricamente
x
y
ξ
g(x) = x
x2x1
x0
]x+ξ,x[ξ=Ix<(x)' 001, divergência oscilante
x3
h(x) = φ(x)
Método do ponto fixo
• Análise da primeira derivada de φ(x):
-1 < φ’(x) < 0 : convergência oscilanteφ’(x) < -1 : divergência oscilante0 < φ’(x) < 1 : convergência monotônicaφ’(x) > 1 : divergência monotônica
Método do ponto fixo
• Ex: Possíveis funções de iteração:
Sabendo que existe uma raiz ξ1 num intervalo centrado em -3 e outra raiz ξ2 num intervalo centrado em 2, podemos estudar a convergência das funções de iteração para o intervalo centrado em 2, utilizando o Teorema 2:
(i)
(ii)
Portanto, não existe um intervalo centrado em 2 que satisfaça a condição (ii) do Teorema 2. Logo, φ1(x) gerará uma sequência divergente.
x 2 +x−6=0
x=(x) 62
21
2112x1 <x<|<||<(x)'| 1
21 6 x=(x)
R em contínuas são 2 e 1 x=(x)'(x) 1
163
x=(x)
16
4 x=(x)
Método do ponto fixo
Método do ponto fixo• Para
(i)
(ii)
Portanto, é possível obter um intervalo centrado em 2 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ2(x) gera uma sequência convergente.
x=(x) 62
6 em contínua é 2 x|Rx=S(x)
6 em contínua é x-62
1- <x|Rx=S=(x)'2
5,7516211 <x|<
x||<(x)'| 2
Método do ponto fixo• Para
(i)
(ii)
É possível obter um intervalo centrado em -3 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ3(x) gera uma sequência convergente para x0=-2,5, no intervalo I = [-3,5, -2,5], por exemplo.
0 em contínua é 3 x|Rx=S(x)
0 em contínua é 6-2 x|Rx=S
x=(x)'3
6ou 66161 22 >x<x>x|<
x||<(x)'| 3
163
x=(x)
Método do ponto fixoAlgoritmo: Ponto fixoEntrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão)
Saída: xn (raiz aproximada)
Fim que até
x=x
Fimε|<xx|ou ε |<)f(x|
)(x=x repita
Início
n0
nn
n
iterações de máx. número oexcedeu se não senão
então se
0
0
Método do ponto fixo
• Exercício:
39x Seja +x=f(x) 3
? 0,1 e 0,5 para econvergent é 9
30
3
)(ξ=x+x=(x)
Estudo da convergência
então p é chamado ordem de convergência da sequência {xk} e Cé a constante assintótica de erro
Seja uma sequência que converge para um número ξ e seja - o erro na iteração k.
Se existir p > 1 e uma constante C > 0 tais que
Se , , então a convergência é pelo menos linear
Estudo da convergência
A seguinte relação para k muito grande
Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo, pois de podemos escrever
Se dois processos iterativos geram sequências e , ambas convergentes para ξ, com ordem de convergência e , se > o processo que gera a sequência converge mais rapidamente que o outro
Ordem de convergência do MPF Seja φ(x) uma função de iteração para o método do ponto fixoque satisfaz as hipóteses do teorema de convergência. Demonstra-se (ver referência [1], pag 66) que para o método do ponto fixotem-se que
pois φ(x) fornece convergência. Esta relação afirma que paragrandes valores de k o erro em qualquer iteração é proporcional aoerro na iteração anterior, sendo que o fator de proporcionalidade é
. Observamos que a convergência será mais rápida quanto∣φ'∣
Observamos que a convergência será mais rápida quanto menor for ∣φ'∣
Conforme visto anteriormente a relação limk∞
∣ek1∣
∣ek∣p = φ' ξ =C nos diz
que o método do ponto possui convergência linear ou seja a ordemde convergẽncia do método do ponto fixo é p=1
e
Método de Newton-Raphson (ou das tangentes)
• Seja f(x) contínua em (a,b) e f’(x) ≠ 0, então:
x
y
x0
=b
ξ
f(x)
x1
α
f(x0)
x2
)(xf')f(xx=x
xx)f(x=)(xf')f´(x=tgα 0
0
01
10
000
a
)(xf')f(xx=x
n
nn+n 1 indução,Por
Método de Newton-Raphson
• Condições de Newton-Raphson-Fourier– O método converge para a raiz contida no
intervalo (a,b) se e somente se:
f(a)f(b) < 0 (extremos com sinais contrários)
f’(a)f’(b) > 0 (função apenas crescente ou decrescente)
f’’(a)f’’(b)>0 (concavidade não muda no intervalo)
Método de Newton-Raphson
• Condições de Newton-Raphson-Fourier
x
y
x’0
ξ
f(x)
x’1
x0
x1
Método de Newton-RaphsonAlgoritmo: Newton-RaphsonEntrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão)
Saída: xn (raiz aproximada)
Fim que até
x=x
Fimε|<xx|ou ε |<)f(x|
)(xf')f(xx=)(x=x
repitaInício
n0
nn
0n
iterações de máx. número oexcedeu se não senão
então se
0
0
00
Método da secante• Utiliza a mesma forma da função φ de iteração do método de
Newton, mas aproximando o valor da derivada de f(x) pelo quociente das diferenças:
onde xn e xn-1 são aproximações para a raiz. Assim, a função de iteração fica:
1
1
nn
nnn xx
)f(x)f(x)f´(x
)x(x)f(x)f(x
)f(xx
=
xx)f(x)f(x
)f(xx=)(x
nnnn
nn
nn
nn
nnn
11
1
1
Método da secante• Geometricamente, o ponto xn+1=φ(xn) é a absissa do
ponto de intersecção do eixo x e da reta secante que passa por (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn))
x
f(x)
x0
ξx1
x2
x3
Método da secanteAlgoritmo: SecanteEntrada: x0, x1 (aproximações iniciais), ε (precisão)
Saída: (raiz aproximada)
x
Fim que até
x=x x=x
Fimε|<xx|ou ε |<)f(x|
)x(x)f(x)f(x
)f(xx=x
repitaInício
n1
10
nn
1n
iterações de máx. número oexcedeu se não senão
então se
1
0101
1
Observações acerca de equações polinomiais
• Regra de sinal de Descartes:
“Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos p esse polinômio, não excede o número v de variações de sinal dos coeficientes. Ainda mais, v-p é inteiro, par e não negativo”.
Regra de sinal de Descartes
• Ex:
1432 3455 xxxxp
0,22,0
2ppvppv
v
Regra de sinal de Descartes
• Para se determinar o número de raízes reais negativas, neg, faz-se pn(-x) e usa-se a regra de Descartes para raízes positivas:
1432)( 3455 xxxxxp
1432)( 3455 xxxxxp
1,23,0
:3negnegvnegnegv
negv
Regra de sinal de Descartes
• Exercício: Determinar o número de raízes reais das equações:
01
014x4x7
235
=+b)x
=x+xa)
Localização gráfica dos zeros polinomiaisExemplo: Para o polinômio f(x) = x⁶ - 5 x⁵ + 11 x⁴ - 15 x³ + 14 x² - 10 x + 4 Temos as seguintes localizações para os zeros reais e complexos;
Localização de zeros polinomiais
Localizar as raízes reais de p(x) = 0 é determinar um intervalo (a,b) que contenha todas as raízes reais de p(x). Localizar as raízes complexas é determinar os raios interno e externo dos circulos no plano complexo que contenham as raízes complexas de p(x) = 0. Existem vários teoremas que oferem as cotas para localização de raízes complexas: Cota de Vene, cota Laguerre-Thibault, Cota de Cauchy, cota de Kojima e outras. Apresentaremos aqui neste texto apenas a cota de Kojima