Download pptx - Zeros de funções

Transcript
Page 1: Zeros de funções

Zeros de funções

Jones Corso1o sem / 2015

DMAT – UDESC - JOINVILLE

Page 2: Zeros de funções

Definição

Um zero de uma função f: [a,b] ----> R é um número real ξ tal que f(ξ) = 0. Geometricamente ξ é a abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox.

A raiz de uma equação f(x) = 0 é um número real ξ tal que f(ξ) = 0. Se ξ é uma raiz da equação f(x) = 0 então ξ é um zero de f .

Page 3: Zeros de funções

Problema

ξ1 ξ2 ξ3

a

bx

y

f(x)

Page 4: Zeros de funções

Zeros de funções• Polinomiais:

– 1º grau: equação da reta– 2º grau: fórmula de báskara– 3º e 4º grau: Fórmulas de Cardano– Polinômio de grau n (n>4): Não existem fórmulas

• Transcedentais (não-algébricas):– Combinam funções trigonométricas (seno,

cosseno,...), exponenciais (ex, 3x2,...) ou logarítmicas (log x, ln x, …): Raramente conseguimos encontrar um zero por métodos analíticos.

Page 5: Zeros de funções

Procedimentos

• Localizar (isolar) uma raiz de f(x) num intervalo (a,b).

• Partindo de um valor inicial, aproximar-se sucessivamente do valor da raiz, até atingir uma precisão ε.

Page 6: Zeros de funções

1. Isolamento das raízes• Teorema 1Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um

ponto x = ξ entre a e b que é zero de f(x)

x

f(x)

x

f(x)

aab bξ ξ1 ξ2 ξ3

Page 7: Zeros de funções

1. Isolamento das raízes

x

f(x)

x

f(x)

• ObservaçãoSob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de f(x)

ξ ξ

b

ab

a

b][a,x>(x)f' 0,

b][a,x<(x)f' 0,

Page 8: Zeros de funções

Ex. 1)

Análise do sinal de f(x):

Como f(x) é contínua, existe ao menos um zero de f(x) em cada um dos intervalos I1=[-5,-3], I2=[0,1], I3=[2,3]. Além disso, como f(x) é um polinômio de grau 3, cada intervalo contém um único zero de f(x).

39x +x=f(x) 3

x -5

-3

-1

0

1

2

3

4

5

f(x) -

+

+

+

- -

+

+

+

1. Isolamento das raízes

Page 9: Zeros de funções

Ex. 2)

Temos que D(f)= e o sinal de f(x) fica:

Logo, f(x) tem ao menos um zero em (1,2). Para saber se este zero é único, devemos analisar o sinal de f’(x):

Assim f(x) admite um único zero em (1,2).

xex=f(x) 5

+

00,52

1 >x>e+x

=(x)f' x

x 0 1 2 3 ...

f(x) - - + + ...

1. Isolamento das raízes

Page 10: Zeros de funções

• Observação: Se f(a)f(b) > 0 então podemos ter nenhuma raiz ou um número par de raízes (Teorema de Bolzano)

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

ba b a baξ1 ξ2 ξ1=ξ2

1. Isolamento das raízes

Page 11: Zeros de funções

Procedimentos para análise gráfica:i) esboçar o gráfico de f(x) e localizar as

abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x; ou

ii) a partir de f(x), desmembrá-la numa equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) e localizar os pontos onde as curvas se interceptam, pois f(ξ) = 0 ↔ g(ξ) = h(ξ)

1. Isolamento das raízes

Page 12: Zeros de funções

• Ex. 1: (pelo método i)39x +x=f(x) 3

30

93x 2

±=x=(x)f'

=(x)f'

x

f(x)

ξ1ξ2 ξ3

)(ξ)(ξ

)(ξ

2,30,1

34,

3

2

1

1. Isolamento das raízes

Page 13: Zeros de funções

• Ex 1: (pelo método ii)

Equação equivalente

onde

39x +x=f(x) 3

x3=9x−3

39x e =h(x)x=g(x) 3

xξ1ξ2 ξ3

g(x)h(x)

)(ξ)(ξ

)(ξ

2,30,1

34,

3

2

1

1. Isolamento das raízes

Page 14: Zeros de funções

2. Refinamento da solução• É realizado através de métodos iterativos• Método iterativo: sequência de instruções

executadas passo a passo, repetidas em ciclos (iterações), que fornecem uma aproximação para a solução exata

b

a

ε

x

f(x)

x0x1x2x3ξ

Page 15: Zeros de funções

2. Refinamento da solução

• Métodos iterativos a serem estudados:– Bissecção– Posição falsa– Ponto fixo (iteração linear)– Newton-Raphson (tangente)– Secante

Page 16: Zeros de funções

Critério de parada

• A execução de um método iterativo é interrompida quando:

– Alcançou-se uma precisão desejada para a solução. Neste caso:

i) (abordagem pelo eixo-x) ou

ii) (abordagem pelo eixo-y)

ε<ξx ε<)xf(

Page 17: Zeros de funções

Teste da precisão da solução

• Nem sempre é possível satisfazer os critérios (i) e (ii) ao mesmo tempo

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

ε|<)xf(|ε|<ξx|

ε|<)xf(|ε|ξx| >>

ε|)xf(|ε|ξx|

>>

ξ ξ ξx x x

Page 18: Zeros de funções

Outro critério de parada

2. Executando-se um número máximo de iterações estipuladas.

b

a

ε

x

f(x)

x0x1x2x3ξx4x5

Page 19: Zeros de funções

Método da bissecção• Seja f(x) contínua em (a,b) e tal que f(a)f(b) < 0• Suponha que o intervalo [a,b] contenha uma única raiz

da equação f(x)=0• Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo até que (b - a)

< ε, dividindo sucessivamente o intervalo ao meio

b=b0

a =a0

=a1

x

f(x)

x0

=b1=b2=b3

x1

=a2 x2

=a3

ξ

Page 20: Zeros de funções

Método da bissecçãoExemplo: f(x)= xlog(x) – 1, tem um zero em [2,3]

Page 21: Zeros de funções

• Iterações:

Método da bissecção

Page 22: Zeros de funções

Algoritmo: Bissecção

Método da bissecção

Page 23: Zeros de funções

ESTUDO DA CONVERGÊNCIA

Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a0,b0] é possívelsaber , a priori, quantas iterações serão efetuadass pelo método dabissecção até que se tenha b0-a0 < ε. Pelo algorítmo da bissecçãopodemos concluir (ver ref [1], pág 46) que

logo o número mínimo de iterações necessárias para obter aprecisão é de k=7

kk >

Por exemplo, se desejamos encontrar ξ, o zero da função f(x) = xlog(x) – 1 que está no intervalo [2, 3] com precisão ε = , devemos ter um número de iterações k, tal que

k >

Método da bissecção

Page 24: Zeros de funções

• Considerações finais

– A vantagem do método é que as iterações não envolvem cálculos laboriosos

– A convergência é lenta, pois se b0 - a0 >> ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande

– É normalmente utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz

Método da bissecção

Page 25: Zeros de funções

Método da posição falsa• Seja f(x) contínua em (a, b). Se f(a) está mais próximo de

zero que f(b), então é provável que a raiz esteja mais próxima de a que de b (ao menos se f(x) é linear em (a, b)). O inverso também é verdadeiro (se f(b) está mais próximo de zero então a raiz deve estar mais próxima de b).

• Ou seja, podemos usar a idéia do método da bissecção, mas fazendo uma média ponderada de a e b:

|f(a)|+|f(b)||f(a)|+b|f(b)|a=x

Page 26: Zeros de funções

Método da posição falsa

• Aplicação do método:

b=b0

=b1

a = a0 x

y

x2x1

=b2

ξ x0 =a1

=a2

f(x)

Page 27: Zeros de funções

Algoritmo do Método da Posição FalsaInício Se f(a) * f(b) < 0 Então Início x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) ) Enquanto ( | f( x ) | > epsilon E | b – a | > epsilon ) Faça Início Se f(a) * f(b) < 0 Então a←x Senão b←x x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) ) Fim-Enquanto Escreva(‘A raiz do intervalo dado é ’, x ) Fim - Se Senão Escreva(‘Não há raízes no intervalo dado.’)FimVariáveis utilizadas no algoritmo:• Reais: x, a, b, epsilon.OBS: a e b são, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do intervalo, f é afunção definida e epsilon é a precisão fornecida.

Método da posição falsa

Page 28: Zeros de funções

• Ex.1 39x +x=f(x) 3

a b f(a) f(b) x_n f(x_n) |a-b| |f(x_n)|

0 1 3 -5 0,375 -0,32227 1 0,322266

0 0,375 3 -0,32227 0,338624 -0,00879 0,375 0,00879

0 0,338624 3 -0,00879 0,337635 -0,00023 0,338624 0,000226

< ε =0,001

Método da posição falsa

Page 29: Zeros de funções

Método do ponto fixo (ou iteração linear)

1. Construir uma função φ(x) a partir da equação f(x) = 0, tal que:x = φ(x)

(Obs: este passo consiste em aplicar o método gráfico (ii), visto anteriormente, com g(x) = x e h(x) = φ(x) )

2. A partir de uma aproximação inicial x0, gerar a sequência {xk}, a partir da relação:

xk+1=φ(xk)

3. A raiz ξ de f(x)=0 corresponde a um ponto fixo da relação anterior, isto é, f(x)=0 ↔ φ(ξ) = ξ

{x0, x1=φ(x0), x2=φ(x1), x3=φ(x2),..., xk=φ(xk-1), xk= φ(xk)= ξ}

4. A função φ(x) que satisfaz as condições acima é dita uma função de iteração para f(x)=0

Page 30: Zeros de funções

Método do ponto fixo

• Geometricamente

x

y

ξ

g(x) = x

h(x) = φ(x)

f(x)

Page 31: Zeros de funções

• Geometricamente

x

y

ξ

g(x) = x

h(x) = φ(x)

x0x1x2

Método do ponto fixo

Page 32: Zeros de funções

• Geometricamente

x

y

ξ

g(x) = x

h(x) = φ(x)

x2x1

x0x3

Método do ponto fixo

Page 33: Zeros de funções

• Teorema 2Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num

intervalo I centrado em ξ. Seja φ(x) uma função de iteração para f(x)=0.

Sei) ii) iii)

Então a sequência {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1=φ(xk) converge para ξ.

Ix<M|(x)'| 1,I(x)'(x) em contínuas são e

x 0∈ I

Método do ponto fixo

Page 34: Zeros de funções

• Geometricamente

x

y

ξ

g(x) = x

h(x) = φ(x)

x0x1x2

]x+ξ,x[ξ=Ix<(x)'< 000,1 convergência oscilante

Método do ponto fixo

Page 35: Zeros de funções

• Geometricamente

x

y

ξ

g(x) = x

x2x1

x0

]x+ξ,x[ξ=Ix<(x)' 001, divergência oscilante

x3

h(x) = φ(x)

Método do ponto fixo

Page 36: Zeros de funções

• Análise da primeira derivada de φ(x):

-1 < φ’(x) < 0 : convergência oscilanteφ’(x) < -1 : divergência oscilante0 < φ’(x) < 1 : convergência monotônicaφ’(x) > 1 : divergência monotônica

Método do ponto fixo

Page 37: Zeros de funções

• Ex: Possíveis funções de iteração:

Sabendo que existe uma raiz ξ1 num intervalo centrado em -3 e outra raiz ξ2 num intervalo centrado em 2, podemos estudar a convergência das funções de iteração para o intervalo centrado em 2, utilizando o Teorema 2:

(i)

(ii)

Portanto, não existe um intervalo centrado em 2 que satisfaça a condição (ii) do Teorema 2. Logo, φ1(x) gerará uma sequência divergente.

x 2 +x−6=0

x=(x) 62

21

2112x1 <x<|<||<(x)'| 1

21 6 x=(x)

R em contínuas são 2 e 1 x=(x)'(x) 1

163

x=(x)

16

4 x=(x)

Método do ponto fixo

Page 38: Zeros de funções

Método do ponto fixo• Para

(i)

(ii)

Portanto, é possível obter um intervalo centrado em 2 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ2(x) gera uma sequência convergente.

x=(x) 62

6 em contínua é 2 x|Rx=S(x)

6 em contínua é x-62

1- <x|Rx=S=(x)'2

5,7516211 <x|<

x||<(x)'| 2

Page 39: Zeros de funções

Método do ponto fixo• Para

(i)

(ii)

É possível obter um intervalo centrado em -3 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ3(x) gera uma sequência convergente para x0=-2,5, no intervalo I = [-3,5, -2,5], por exemplo.

0 em contínua é 3 x|Rx=S(x)

0 em contínua é 6-2 x|Rx=S

x=(x)'3

6ou 66161 22 >x<x>x|<

x||<(x)'| 3

163

x=(x)

Page 40: Zeros de funções

Método do ponto fixoAlgoritmo: Ponto fixoEntrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão)

Saída: xn (raiz aproximada)

Fim que até

x=x

Fimε|<xx|ou ε |<)f(x|

)(x=x repita

Início

n0

nn

n

iterações de máx. número oexcedeu se não senão

então se

0

0

Page 41: Zeros de funções

Método do ponto fixo

• Exercício:

39x Seja +x=f(x) 3

? 0,1 e 0,5 para econvergent é 9

30

3

)(ξ=x+x=(x)

Page 42: Zeros de funções

Estudo da convergência

então p é chamado ordem de convergência da sequência {xk} e Cé a constante assintótica de erro

Seja uma sequência que converge para um número ξ e seja - o erro na iteração k.

Se existir p > 1 e uma constante C > 0 tais que

Se , , então a convergência é pelo menos linear

Page 43: Zeros de funções

Estudo da convergência

A seguinte relação para k muito grande

Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo, pois de podemos escrever

Se dois processos iterativos geram sequências e , ambas convergentes para ξ, com ordem de convergência e , se > o processo que gera a sequência converge mais rapidamente que o outro

Page 44: Zeros de funções

Ordem de convergência do MPF Seja φ(x) uma função de iteração para o método do ponto fixoque satisfaz as hipóteses do teorema de convergência. Demonstra-se (ver referência [1], pag 66) que para o método do ponto fixotem-se que

pois φ(x) fornece convergência. Esta relação afirma que paragrandes valores de k o erro em qualquer iteração é proporcional aoerro na iteração anterior, sendo que o fator de proporcionalidade é

. Observamos que a convergência será mais rápida quanto∣φ'∣

Observamos que a convergência será mais rápida quanto menor for ∣φ'∣

Conforme visto anteriormente a relação limk∞

∣ek1∣

∣ek∣p = φ' ξ =C nos diz

que o método do ponto possui convergência linear ou seja a ordemde convergẽncia do método do ponto fixo é p=1

e

Page 45: Zeros de funções

Método de Newton-Raphson (ou das tangentes)

• Seja f(x) contínua em (a,b) e f’(x) ≠ 0, então:

x

y

x0

=b

ξ

f(x)

x1

α

f(x0)

x2

)(xf')f(xx=x

xx)f(x=)(xf')f´(x=tgα 0

0

01

10

000

a

)(xf')f(xx=x

n

nn+n 1 indução,Por

Page 46: Zeros de funções

Método de Newton-Raphson

• Condições de Newton-Raphson-Fourier– O método converge para a raiz contida no

intervalo (a,b) se e somente se:

f(a)f(b) < 0 (extremos com sinais contrários)

f’(a)f’(b) > 0 (função apenas crescente ou decrescente)

f’’(a)f’’(b)>0 (concavidade não muda no intervalo)

Page 47: Zeros de funções

Método de Newton-Raphson

• Condições de Newton-Raphson-Fourier

x

y

x’0

ξ

f(x)

x’1

x0

x1

Page 48: Zeros de funções

Método de Newton-RaphsonAlgoritmo: Newton-RaphsonEntrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão)

Saída: xn (raiz aproximada)

Fim que até

x=x

Fimε|<xx|ou ε |<)f(x|

)(xf')f(xx=)(x=x

repitaInício

n0

nn

0n

iterações de máx. número oexcedeu se não senão

então se

0

0

00

Page 49: Zeros de funções

Método da secante• Utiliza a mesma forma da função φ de iteração do método de

Newton, mas aproximando o valor da derivada de f(x) pelo quociente das diferenças:

onde xn e xn-1 são aproximações para a raiz. Assim, a função de iteração fica:

1

1

nn

nnn xx

)f(x)f(x)f´(x

)x(x)f(x)f(x

)f(xx

=

xx)f(x)f(x

)f(xx=)(x

nnnn

nn

nn

nn

nnn

11

1

1

Page 50: Zeros de funções

Método da secante• Geometricamente, o ponto xn+1=φ(xn) é a absissa do

ponto de intersecção do eixo x e da reta secante que passa por (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn))

x

f(x)

x0

ξx1

x2

x3

Page 51: Zeros de funções

Método da secanteAlgoritmo: SecanteEntrada: x0, x1 (aproximações iniciais), ε (precisão)

Saída: (raiz aproximada)

x

Fim que até

x=x x=x

Fimε|<xx|ou ε |<)f(x|

)x(x)f(x)f(x

)f(xx=x

repitaInício

n1

10

nn

1n

iterações de máx. número oexcedeu se não senão

então se

1

0101

1

Page 52: Zeros de funções

Observações acerca de equações polinomiais

• Regra de sinal de Descartes:

“Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos p esse polinômio, não excede o número v de variações de sinal dos coeficientes. Ainda mais, v-p é inteiro, par e não negativo”.

Page 53: Zeros de funções

Regra de sinal de Descartes

• Ex:

1432 3455 xxxxp

0,22,0

2ppvppv

v

Page 54: Zeros de funções

Regra de sinal de Descartes

• Para se determinar o número de raízes reais negativas, neg, faz-se pn(-x) e usa-se a regra de Descartes para raízes positivas:

1432)( 3455 xxxxxp

1432)( 3455 xxxxxp

1,23,0

:3negnegvnegnegv

negv

Page 55: Zeros de funções

Regra de sinal de Descartes

• Exercício: Determinar o número de raízes reais das equações:

01

014x4x7

235

=+b)x

=x+xa)

Page 56: Zeros de funções

Localização gráfica dos zeros polinomiaisExemplo: Para o polinômio f(x) = x⁶ - 5 x⁵ + 11 x⁴ - 15 x³ + 14 x² - 10 x + 4 Temos as seguintes localizações para os zeros reais e complexos;

Page 57: Zeros de funções

Localização de zeros polinomiais

Localizar as raízes reais de p(x) = 0 é determinar um intervalo (a,b) que contenha todas as raízes reais de p(x). Localizar as raízes complexas é determinar os raios interno e externo dos circulos no plano complexo que contenham as raízes complexas de p(x) = 0. Existem vários teoremas que oferem as cotas para localização de raízes complexas: Cota de Vene, cota Laguerre-Thibault, Cota de Cauchy, cota de Kojima e outras. Apresentaremos aqui neste texto apenas a cota de Kojima


Recommended