Embed Size (px)
Citation preview
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
ถาให 퐴 =−1 2 1
3 4−2
567
1
0 8 ×
แลวจะไดวา 퐴 เปนเมตริกซ มีมิต ิเทากับ 3 × 4
หมายถึง 퐴 มีขนาด 3 แถว 4 หลัก
ถา 푎 ∈ 퐴 แลว
푎 หมายถึง สมาชิกของ 퐴 ที่อยูในตําแหนง แถวที่ 2 หลักที ่3
ดังนั้น 푎 = 6 , 푎 = 1 , 푎 = 0 ,
푎 = −2, 푎 = 8
ถาให 퐴 = 푎×
โดยที่ 푖 = 1,2,3 푗 = 1,2,3,4
แลวเราสามารถเขียนไดวา
퐴 =푎 푎 푎
푎 푎푎
푎푎푎
푎
푎 푎 ×
กําหนดให 퐴 = 푎푖푗 3×3
โดยที่ 푎푖푗 =2푖 + 푗, 푖 < 푗푖 + 푗, 푖 = 푗3푖 − 푗, 푖 > 푗
จงหา 퐴
ให 퐴 =
푎11
푎21
푎31
푎12
푎22
푎32
푎13
푎23
푎33
3×3
푎 = 2(1) + 2 = 4 , 푎 = 2(1) + 3 = 5
푎 = 2(2) + 3 = 7 , 푎 = 1 + 1 = 2
푎 = 2 + 2 = 4 , 푎 = 3 + 3 = 6
푎 = 3(2) − 1 = 5 , 푎 = 3(3) − 1 = 8
푎 = 3(3) − 2 = 7
ดังนั้น 퐴 = 2 5 8
4 4 7
576
×
퐴푛푠.
2.1)การทรานสโพส( 푡푟푎푛푠푝표푠푒 ) ของ 퐴 สัญญลักษณคือ 퐴
ถาให 퐴 =−1 2 1
3 4−2
567
1
0 8 ×
แลวจะไดวา 퐴푇 =
−1 2 1 3 4 −2 5 6 7 1 0 8 4×3
퐴푛푠.
∗ ถา 푎 ∈ 퐴 แล 푏 ∈ 퐴 แลวจะไดวา 푏 = 푎 = 푎
ให 퐴 = 푎푖푗 3×3โดยที่ 푎푖푗 =
푖 + 푗, 푖 < 푗푖 + 2푗, 푖 = 푗푖 − 푗, 푖 > 푗
จงหา 퐴푡
퐴 =
푎11
푎21
푎31
푎12
푎22
푎32
푎13
푎23
푎33
푎 = 1 + 2(1) = 3 , 푎 = 1 + 2 = 3
푎 = 1 + 3 = 4 , 푎 = 2 − 1 = 1
푎 = 2 + 2(2) = 6 , 푎 = 2 + 3 = 5
푎 = 3 − 1 = 2 , 푎 = 3 − 2 = 1
푎 = 3 + 2(3) = 9
ดังนั้น 퐴 =3 1 2
3 6 1
459
∴ 퐴푡 =3 3 4
1 6 5
219
3×3
퐴푛푠.
ถา 퐴 = 푎푖푗 푛×푚 , 퐵 = 푏푖푗 푛×푚
แลว 퐴 = 퐵 ก็ตอเม่ือ 푎 = 푏
2.3) การบวกลบของเมตริกซ ถา 퐴 = 푎
× , 퐵 = 푏
×
และ 퐶 = 퐴 ± 퐵 = 푎×
± 푏×
ดังนั้น 퐶 = 푎 ± 푏×
∴ 푐 = 푎 ± 푏
2.4) การคูณเมตริกซดวยจํานวนจริง 푐
ถา 퐴 = 푎×
, 퐵 = 푏×
แลว 1) 푐퐴 = 푐푎푖푗 푛×푚
2) 푐(퐴 ± 퐵) = 푐푎 ± 푐푏×
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท จงหา 퐴 + 퐵 , 퐴 − 퐵 เม่ือกําหนดให
퐴 =3 1 2
7 8−4
29
−5
5 0 −6 ×
퐵 =2
11 3
4 65
128
0
1 3 ×
퐴 + 퐵 =3 + 2
1 + 11 2 + 3
7 + 4 8 + 6−4 + 5
2 + 19 + 2
−5 + 8
5 + 0 0 + 1 −6 + 3 ×
퐴 + 퐵 =5
12 5
11 14
1
3113
5
1 −3 ×
퐴푛푠
퐴 − 퐵 =3 − 2
1 − 11 2 − 3
7 − 4 8 − 6−4 − 5
2 − 19 − 2
−5 − 8
5 − 0 0 − 1 −6 − 3 ×
퐴 − 퐵 =1
−10−1
3 2−9
17
−13
5−1 −9 ×
퐴푛푠.
กําหนดให
퐴 = 3 2−1 0 퐵 = 1 −3
−2 2
퐶 = 2 −3−2 3
จงหาเมตริกซ 푋 จากสมการตอไปนี้ 푋 + 2퐴 = 3퐵 + 퐶
푋 + 2 3 2−1 0 = 3 1 −3
−2 2 + 2 −3−2 3
푋 + 6 4−2 0 = 3 −9
−6 6 + 2 −3−2 3
푋 + 6 −24 0 = 5 −12
−8 9
푋 = 5 −12−8 9 − 6 −2
4 0 = 11 −10−12 9
푋 = 11 −12−10 9 퐴푛푠.
ให 퐵 = 푏푖푗 3×3 โดยที่ 푏푖푗 = 2푖 + 푗
ถา 푒푖푗 ∈ (2퐴 − 3퐵)
จงหา 푒 − 푒
푒 = 2푎 − 3푏
푒 = 2[2(2) − 3] − 3[2(2) + 3]
푒 = 2[1] − 3[7] = 2 − 21 = 19
푒 = 2푎 − 3푏
= 2[3(3) − 2(1)] − 3[2(3) + 1]
= 2[7] − 3[7] = 14 − 21 = −7
ดังนั้น 푒 − 푒 = 19— 7 = 26 퐴푛푠.
퐴푚×푛. 퐵푛×푘 = 퐶푚×푘
푐푖푗 ∈ 퐴퐵 แลวจะหาคาไดดังนี้
푐 = 푎 푏 = 푎 푏 + 푎 푏 + ⋯ + 푎 푏
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
กําหนดให 퐴 = 1 3 2
2 0
−1
013
3×3
퐵 = 2 0 1
3 1 0
12
−1
×
จงหา 퐴퐵 – 퐵퐴
ให 푥푖푗 ∈ 퐴퐵 แลวจะหาคาไดดังนี้
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (1)(2) + (2)(0) + (0)(1) = 2
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (3)(2) + (0)(0) + (1)(1) = 7
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (2)(2) + (−1)(0) + (3)(1) = 7
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (1)(3) + (2)(1) + (0)(0) = 5
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (3)(3) + (0)(1) + (1)(0) = 9
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (2)(3) + (−1)(1) + (3)(0) = 5
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (1)(1) + (2)(2) + (0)(−1) = 5
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (3)(1) + (0)(2) + (1)(−1) = 2
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (2)(1) + (−1)(2) + (3)(−1) = −3
ดังนั้นจะได 퐴퐵 = 2 7 7
5 9 5
52
−3
×
ให 푥푖푗 ∈ 퐵퐴 แลวจะหาคาไดดังนี้
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (2)(1) + (3)(3) + (1)(2) = 13
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (0)(1) + (1)(3) + (2)(2) = 7
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (1)(1) + (0)(3) + (−1)(2) = −1
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (2)(2) + (3)(0) + (1)(−1) = 3
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (0)(2) + (1)(0) + (2)(−1) = −2
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (1)(2) + (0)(0) + (−1)(−1) = 3
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (2)(0) + (3)(1) + (1)(3) = 6
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (0)(0) + (1)(1) + (2)(3) = 7
푥 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (1)(0) + (0)(1) + (−1)(3) = −3
ดังนั้นจะได 퐵퐴 = 13 7
−1
3 −2 3
67
−3
×
ดังนั้น 퐴퐵 − 퐵퐴
=2 7 7
5 9 5
52
−3 −
13 7
−1
3 −2 3
67
−3
=−11
0 8
2
11 2
−1−50
퐴푛푠.
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
กําหนดให 퐴 = 2 0 1
1 3 −1
012
3×3
퐵 =1 0 1
3
−1 0
−1 2−3
×
ถา 푥푖푗 ∈ 퐴퐵 และ 푦푖푗 ∈ 퐵퐴푡 แลวจงหาคาของ 푥21 + 푦23
푥 = 푎 푏 + 푎 푏 + 푎 푏
= (0)(1) + (3)(0) + (1)(1) = 1
푦 = 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= 푏 푎 + 푏 푎 + 푏 푎
= (0)(1) + (−1)(−1) + (2)(2) = 5
ดังนั้น 푥 + 푦 = 1 + 5 = 6 퐴푛푠.
โดยกําหนดให 퐴, 퐵, 퐶 เปนเมตริกซขนาด 푛푥푛 แลวจะไดวา
1) 퐴 + 2퐵 = 2퐵 + 퐴
2) 퐴 + [0] =퐴 แลว [0]เปนเอกลักษณของการบวกของเมทริกซ
3) (퐴 ) = 퐴
4) (퐴 ± 퐵) = 퐴 ± 퐵
5) 2퐴(3퐵 ± 퐶) = 6퐴퐵 ± 2퐴퐶
6) 2(퐵 ± 3퐶)퐴 = 2퐵퐴 ± 6퐶퐴
7) 퐴(퐵퐶) = (퐴퐵)퐶
8) (2퐴퐵퐶퐷) = 2퐷 퐶 퐵 퐴
9) 퐴퐼 = 퐼퐴 = 퐴 แลว 퐼 เปนเอกลักษณของการคูณของเมทริกซ
10) 퐴퐵 = 퐴퐶 แลว 퐴 = 퐵 ก็ตอเม่ือ |퐴| ≠ 0
11) 퐴 = 0 แลวไมจําเปนที่ 퐴 = [0]
12) 퐴퐵 = 0 แลวไมจําเปนที่ 퐴 = [0] หรือ 퐵 = [0]
กําหนดให 퐴 = 2 5 1
−2 0 −1 −3 4 2 3×3
퐵 = 3 4 5
−4 2 3 1 −3 −2 ×
1) ถา 푥 ∈ 퐴퐵 จงหา 푥
푥 = แถวที่ 3 ของ 퐴 คูณกับหลักที่ 2 ของ 퐵
푥 = (−3)(4) + (4)(2) + (2)(−3) = −10
2) ถา 푥 ∈ 퐵퐴 จงหา 푥
푥 = แถวที่ 1 ของ 퐵 คูณกับหลักที่ 3 ของ 퐴
푥 = (3)(1) + (4)(−1) + (5)(2) = −9
3) ถา 푥 ∈ 퐴 퐵 จงหา 푥
푥 = หลักที่ 1 ของ 퐴 คูณกับหลักที ่3 ของ 퐵
푥 = (2)(5) + (−2)(3) + (−3)(2) = −2
4) ถา 푥 ∈ 퐵퐴 จงหา 푥
푥 = แถวที่ 2 ของ 퐵 คูณกับแถวที่ 1 ของ 퐴
푥 = (−4)(2) + (2)(5) + (3)(1) = 5
5) ถา 푥 ∈ (퐴 − 퐵)퐴 จงหา 푥
푥 = แถวที่ 3 ของ (퐴 − 퐵) คูณกับหลักที ่1 ของ 퐴
푥 = (−3 − 1)(2) + (4 + 3)(−2) + (2 + 2)(−3)
푥 = −8 − 14 − 12 = −34
6) ถา 푥 ∈ (퐵 + 퐴)퐵 จงหา 푥
푥 = แถวที่ 2 ของ (퐵 + 퐴) คูณกับแถวที ่3 ของ 퐵
푥 = (−6)(1) + (0)(−3) + (2)(−2) = −10
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท จงหาเมตริกซ 퐴 จากสมการตอไปนี ้
퐴 + 1 4 2 1 = 0 1
1 2 1 3 2 2
วิธีทํา 퐴 + 1 2 4 1 = 2 2
5 7
퐴 = 2 2 5 7 − 1 2
4 1 = 1 01 6
퐴 = 1 10 6 퐴푛푠.
จงหาเมตริกซ 퐴 จากสมการตอไปนี ้
퐴 − 1 32 1 0 1
1 2 = 2 2 13 0 1 1
1 0
วิธีทํา 퐴푇 − 1 23 1
0 11 2
= 23 23 3
퐴 − 2 51 5 = 6 4
6 6
퐴 = 6 46 6 + 2 5
1 5 = 8 97 11
퐴 = 8 79 11 Ans.
กําหนดให 퐴, 퐵, 퐶, 퐷 เปนเมทริกซขนาด มิต ิ 푛푥푛
จงกระจายเมทริกซตอไปนี ้
1) (퐴 − 2퐵퐶 − 퐷퐴)퐷 2) 퐴(퐵퐶 − 퐷퐶)퐵
3) (퐴 + 퐵)(퐵 − 퐴) 4) (3퐴 − 2퐵)
5) 퐶(3퐴 퐵퐷 퐶 − 5퐵 )
วิธีทํา
1) (퐴 − 2퐵퐶 − 퐷퐴)퐷 = 퐴퐷 − 2퐵퐶퐷 − 퐷퐴퐷
2) 퐴(퐵퐶 − 퐷퐶)퐵 = 퐴퐵퐶퐵 − 퐴퐷퐶퐵
3) (퐴 + 퐵)(퐵 − 퐴) = 퐴퐵 − 퐴 + 퐵 − 퐵퐴
4) (3퐴 − 2퐵) = (3퐴 − 2퐵)(3퐴 − 2퐵)
= 9퐴 − 6퐴퐵 − 6퐵퐴 + 4퐵
5) 퐶(3퐴 퐵퐷 퐶 − 5퐵 )
= 퐶(3퐶 퐷퐵 퐴 − 5퐵)
= 3퐶퐶 퐷퐵 퐴 − 5퐶퐵) 퐴푛푠.
ให 퐴 เปนเมทริกซจตุรัสขนาด 푛푥푛 มีสมาชิกเปนจํานวนจริง
ดีเทอรมิแนนตของ 퐴 เขียนแทนดวยสัญญลักษณ 푑푒푡(퐴) , |퐴|
1) ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาด มิต ิ1푥1
ถา 퐴 = [5] เปนเมทริกซขนาดมิต ิ1푥1 ∴ |퐴| = 5
ถา 퐵 = [−2] เปนเมทริกซขนาดมิติ 1푥1 ∴ |퐵| = −2
2) วิธีหา ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาด มิต ิ2푥2
ถา 퐴 =푎 푏푐 푑
∴ |퐴| = 푎푑 − 푏푐
ถา 퐵 = 3 52 4 ∴ |퐵| = (3)(4) − (5)(2) = 2
3) วิธีหา ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาด มิต ิ3푥3
ถา 퐴 =1 2 34 3 22 1 1
∴ |퐴| =1 2 3 4 3 2 2 1 1
1 24 32 1
∴ |퐴| = (12 + 8 + 12) − (18 + 2 + 12) = 0
4) การหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ 푛푥푛 กรณี 푛 > 2
푀 (퐴) = ดีเทอรมิแนนตของ 퐴ที่ตัดแถวที ่푖 หลักที่ 푗 ออก
ถา 퐴 =2 1 33 2 22 1 1
จงหา 푀12 + 푀23
∴ 푀 + 푀 = (1) + (0) = 1 퐴푛푠.
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
퐶 (퐴) = (−1) 푀 (퐴)
ถา 퐴 =2 1 33 2 22 1 1
จงหา 퐶12 + 퐶13
퐶 (퐴) = (−1) 푀 (퐴) = (−1)(1) = −1
퐶 (퐴) = (−1) 푀 (퐴) = (1)(−1) = −1
∴ 퐶 + 퐶 = (−1) + (−1) = −2 퐴푛푠.
ให 퐴 = 4 52 3
, 퐵 = 3 34 5 จงหาคาของ
1) 푑푒푡(퐴퐵) 2) 푑푒푡(퐴 + 퐵) 3) 16 퐵 퐴
วิธีทํา
|퐴| = 4 52 3 = 12 − 10 = 2
|퐵| = 3 34 5 = 15 − 12 = 3
퐴 + 퐵 = 4 52 3 + 3 3
4 5 = 7 86 8
1) 푑푒푡(퐴퐵) = 푑푒푡(퐴) 푑푒푡(퐵) = (2)(3) = 6
2) |퐴 + 퐵| = 7 86 8 = 56 − 48 = 8
3) 16 퐵 퐴 =
16
|퐵 ||퐴 | =16
|퐵| |퐴|
∴16 퐵 퐴 =
16 (3) (2) = 12 퐴푛푠.
ให 퐴 = 푥 푦 23 1 1푦 푥 5
และ 푀32 = 4 , 퐶33 = 1
จงหาคาของ 퐶 − 푀
푀 = 4 ∴ 푥 23 1 = 4 ∴ 푥 − 6 = 4 ∴ 푥 = 10
퐶 = 1 ∴ (−1) 푥 푦3 1 = 1 ∴ 푥 − 3푦 = 1
∴ 10 − 3푦 = 1 ∴ 푦 = 3
∴ 퐴 = 10 3 23 1 13 10 5
∴ 퐶 − 푀 = (−1) 10 33 10 − 3 1
3 10
∴ 퐶 − 푀 = −(100 − 9) − (30 − 3) = −118
퐴푛푠.
ให 퐴 = 푎 푏 푐푑 푒 푓푔 ℎ 푖
และ 퐵 = 23푑 3푓 3푒2푎 2푐 2푏푔 푖 ℎ
และ 푑푒푡 (퐴) = 3 จงหา 푑푒푡 (퐵)
퐵 = 23푑 3푓 3푒2푎 2푐 2푏푔 푖 ℎ
=6푑 6푓 6푒4푎 4푐 4푏2푔 2푖 2ℎ
|퐵| = 6푑 6푓 6푒4푎 4푐 4푏2푔 2푖 2ℎ
= (6)(4)(2)푑 푓 푒푎 푐 푏푔 푖 ℎ
∴ |퐵| = 48푑 푓 푒푎 푐 푏푔 푖 ℎ
= −48푎 푐 푏푑 푓 푒푔 푖 ℎ
∴ |퐵| = (−)(−)48푎 푏 푐푑 푒 푓푔 ℎ 푖
= 48(3) = 144 퐴푛푠.
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท กําหนดให 푑푒푡(퐴 × ) = −0.5
จงหา 푑푒푡 (2퐴 × )
푑푒푡(2퐴3×35) = |2퐴3×3
5| = 23|퐴3×3|5
= 2 (−12) = −
14 퐴푛푠.
ให 퐴 = 1 −23 −4 และ 푑푒푡(2퐴 퐵 ) = 96
จงหา푑푒푡 (퐵 × )
|퐴| =1 −23 −4
= −4 − (−6) = 2
|2퐴 퐵 | = 96 ∴ 2 |퐴| |퐵| = 96
∴ 2 2 |퐵| = 96 ∴ |퐵| =38 ∴ |퐵| =
83 퐴푛푠.
ให 5 43 2 퐴 + −3 0
2 4 = 4 31 3
จงหาคาของ 푑푒푡 (3퐴 )
5 43 2
퐴 + 3 0−2 4
= 1 3−1 3
5 43 2 퐴 = 4 3
1 3 − 3 0−2 4
5 43 2 퐴 = 1 3
3 −1 ∴ 5 43 2
|퐴| = 1 33 −1
∴ (10 − 12)|퐴| = (−1 − 9)
∴ −2|퐴| = −10 ∴ |퐴| = 5
∴ |3퐴 | = 3 |퐴 | = 3 |퐴| = 3 . 5 = 225 퐴푛푠.
푎푑푗(퐴) = 푐
จงหา 푎푑푗(퐴) เม่ือ 퐴 =1 −3 22 0 12 1 3
푎푑푗(퐴) = 푐푖푗푇
=푐11 푐12 푐13푐21 푐22 푐23푐31 푐32 푐33
푇
푐 = (−1) 0 11 3 = (1)(0 − 1) = −1
푐 = (−1) 2 12 3 = (−1)(6 − 2) = −4
푐 = (−1) 2 02 1 = (1)(2 − 0) = 2
푐 = (−1) −3 21 3 = (−1)(−9 − 2) = 11
푐 = (−1) 1 22 3 = (1)(3 − 4) = −1
푐 = (−1) 1 −32 1 = (−1)(1 + 6) = −7
푐 = (−1) −3 20 1 = (1)(−3 − 0) = −3
푐 = (−1) 1 22 1 = (−1)(1 − 4) = 3
푐 = (−1) 1 −32 0 = (1)(0 − 6) = −6
푎푑푗(퐴) =−1 −4 211 −1 −7−3 3 −6
=−1 11 −3−4 −1 32 −7 −6
퐴푛푠.
|퐴| = 푎푖푘
푛
푖=1
푐푖푘 = 푎푘푗
푛
푗=1
푐푘푗 , 푘 = 1,2,3, . . , 푛
|퐴| = 푎 푐 + 푎 푐 + 푎 푐
|퐴| = (1)(−1) + (−3)(−4) + (2)(2) = 15
|퐴| = 푎 푐 + 푎 푐 + 푎 푐
|퐴| = (−3)(−4) + (0)(−1) + (1)(3) = 15
퐴−1 =1
|퐴| 푎푑푗(퐴) =1
|퐴| 푐푖푗푇
โดยที่ |퐴| ≠ 0
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
จงหา 퐴 เม่ือ 퐴 =1 −3 2 2 0 1 2 1 3
จาก 퐴−1 =1
|퐴| 푎푑푗(퐴) =1
|퐴| 푐푖푗푇
และจากขอมูล 퐸푥 18 จะได
퐴 =1
|퐴|
푐 푐 푐푐 푐 푐푐 푐 푐
=1
15
−1 11 −3−4 −1 32 −7 −6
퐴푛푠.
ถา 퐴 =푎 푏푐 푑
แลว 퐴−1
=1
푎푑 − 푏푐푑 −푏
−푐 푎
ให 퐴 = 5 81 2 จงหา 퐴
퐴−1 =1
10 − 82 −8
−1 5
퐴 =12
2 −8−1 5 = 1 −4
−0.5 2.5 퐴푛푠.
ให |퐴 × | = 2 , |퐵 × | = 3
จงหา 푑푒푡 푎푑푗(퐵) + 푑푒푡 (푎푑푗(퐴))
จาก |푎푑푗(퐵푛×푛)| − |푎푑푗(퐴푚×푚)|
= |퐵| − |퐴| = 3 − 2 = 9 − 8 = 1 퐴푛푠.
จงหา 퐴 จากสมการ 2 10 4 퐴 + 4 1
−2 1 = 1 12 3 퐴 + 1 0
3 21 10 2
2 10 4 퐴 − 1 1
2 3 퐴 = 1 03 2
1 10 2 − 4 1
−2 1
1 0−2 1 퐴 = 0 1
3 7 − 4 1−2 1 = −4 0
5 6
1 0−2 1 퐴 = −4 0
5 6
∴ 1 0−2 1 퐴퐴 = −4 0
5 6 퐴
∴ 1 0−2 1 = −4 0
5 6 퐴
∴ −4 05 6
1 0−2 1 = 퐴
∴ 1
−24 6 0−5 −4
1 0−2 1 = 퐴
∴ 퐴 =1
−246 03 −4 퐴푛푠.
กําหนดให 퐴, 퐵, 퐶, 퐷 เปนเมทริกซ มิต ิ푛푥푛
1) |퐴퐵| = |퐴||퐵| 2) |퐴 | = |퐴|
3) |퐴 | = |퐴|
4) |퐴 | =1
|퐴| , |퐴 | =1
|퐴| โดยที่ |퐴| ≠ 0
5) |푘퐴 × | = 푘 |퐴 × | , 푘 ∈ 푅
6) ถา 퐴 เปน 푛표푛푠푖푛푔푢푙푎푟 จะไดวา
6.1) |퐴| ≠ 0
6.2) 퐴 เปน 푛표푛푠푖푛푔푢푙푎푟 ดวย 6.3) |푘퐴| = |퐴|
7) |퐴 ± 퐵| ≠ |퐴| ± |퐵|
8) 2푘 3푘 4푘1 2 33 4 5
=2 3푘 41 2푘 33 4푘 5
= 푘2 3 41 2 33 4 5
9) 푘푎 푘푏 푘푐푘푑 푘푒 푘푓푘푔 푘ℎ 푘푖
= 푘푎 푏 푐푑 푒 푓푔 ℎ 푖
10) 2 3 41 2 33 4 5
= −1 2 32 3 43 4 5
=1 3 22 4 33 5 4
11) 0 0 01 2 33 4 5
=1 0 32 0 43 0 5
= 0
12) 1 2 31 2 33 4 5
=1 1 32 2 43 3 5
= 0
13) 푎 0 01 푏 03 4 푐
=푎 0 00 푏 00 0 푐
= 푎푏푐
14) (퐴퐵) = 퐵 퐴
15) |푎푑푗(퐴 × )| = |퐴|
เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrices” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท
푎 푏 푐푑 푒 푓푔 ℎ 푘
푥푦푧
=푚푛푝
∆퐴 =푎 푏 푐푑 푒 푓푔 ℎ 푘
, ∆푥 =푚 푏 푐푛 푒 푓푝 ℎ 푘
∆푦 =푎 푚 푐푑 푛 푓푔 푝 푘
, ∆푧 =푎 푏 푚푑 푒 푛푔 ℎ 푝
푥 =∆푥∆퐴 , 푦 =
∆푦∆퐴 , 푧 =
∆푧∆퐴
จงแกสมการหาคา 푥 , 푦 , 푧 โดยใช 퐶푟푎푚푒푟’푠 푅푢푙푒
จากสมการตอไปนี้ 1 − 1 2
3푥 − 2푦 − 2푧 = 1 … … (1)
2푧 − 푦 + 4푥 = 9 … … (2)
푥 + 3푧 + 3푦 = 4 … … (3)
จัดสมการใหมดังนี้
3푥 − 2푦 − 2푧 = 1 … … (1)
4푥 − 푦 + 2푧 = 9 … … (2)
푥 + 3푦 + 3푧 = 4 … … (3)
จะไดวา 3 −2 −24 −1 21 3 3
푥푦푧
=194
|퐴| =3 −2 −24 −1 21 3 3
∴ |퐴| = [−9 − 4 − 24] − [2 + 18 − 24]
∴ |퐴| = [−37] − [−4] = −33
|푋| =1 −2 −2 9 −1 2 4 3 3
∴ |푋| = [−3 − 16 − 54] − [8 + 6 − 54]
∴ |푋| = [−73] − [−40] = −33
|푌| =3 1 −2 4 9 2 1 4 3
∴ |푌| = [81 + 2 − 32] − [−18 + 24 + 12]
∴ |푌| = [51] − [18] = 33
|푍| =3 −2 1 4 −1 9 1 3 4
∴ |푍| = [−12 − 18 + 12] − [−1 + 81 − 32]
∴ |푍| = [−18] − [48] = −66
∴ 푥 = |푋||퐴| =
−33−33 = 1
∴ 푦 = |푦||퐴| =
33−33 = −1
∴ 푧 = |푧||퐴| =
−66−33 = 2 퐴푛푠.
