1 caderno do aluno 2014_2017_vol2_baixa_mat_matematica_em_1s

1a SÉRIEENSINO MÉDIOVolume 2

MATEMÁTICA

CADERNO DO ALUNO

MAT 1 SERIE MEDIO_CAA.indd 1 18/02/14 15:45

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICAENSINO MÉDIO

1a SÉRIEVOLUME 2

Nova edição

2014-2017

governo do estado de são paulo

secretaria da educação

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretária-Adjunta

Cleide Bauab Eid Bochixio

Chefe de Gabinete

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Subsecretária de Articulação Regional

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Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

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Coordenadora de Gestão da Educação Básica

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Educacional

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Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Dione Whitehurst Di Pietro

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre, você encontrou desafios que exigiram dedicação e muito estudo para construir os conhecimentos e desenvolver as habilidades compreendidas no curso. Parabéns pelo empenho!

Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco será a ideia de crescimento ou de-crescimento exponencial. Para esse estudo, você revisará as potências já apresentadas no Ensino Fun-damental, uma vez que o significado delas será consolidado com suas operações usando expoentes inteiros, racionais e reais.

Com os estudos sobre potência, você compreenderá que esse conhecimento é importante para a construção do gráfico da função exponencial e para o reconhecimento de uma função crescente ou decrescente.

Além disso, o Caderno explora as propriedades dos logaritmos e sua linguagem, ampliando as possibilidades de compreensão de uma extensa classe de fenômenos associados ao crescimento e decrescimento exponencial, e, a partir de situações contextualizadas, você poderá analisar os enunciados, utilizar a linguagem matemática para expressar as condições descritas e interpretar os resultados de acordo com as informações fornecidas pela situação-problema.

Ainda neste caderno, aprofundando os conhecimentos das relações essenciais entre a Geometria e a Trigonometria, você será convidado a explorar o estudo das regularidades na inscrição e na circunscrição de polígonos. Para finalizar, você perceberá que, por meio da Trigonometria, é possível relacionar os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e, também, conhecer duas relações importantes entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais. Será de suma importância que você se aproprie desses conhecimen-tos, pois está iniciando o seu percurso no Ensino Médio e, portanto, todos os conceitos estudados contribuirão para melhorar o seu desempenho. O objetivo é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!

Equipe Curricular de MatemáticaCoordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática – 1a série – Volume 2

5

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL

!?

Suponhamos que no país X a produção de determinado alimento foi igual a uma tone-lada no final do ano de 2000. Em virtude dos incentivos econômicos, essa produção passou a triplicar anualmente a partir daquele momento.

Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir.

Ano Produção P (em toneladas) Potência correspondente

2000 1 30

2001 3 31

2002 9 32

2003 27 33

2004 81 34

2005 243 35

2006 729 36

2007 2 187 37

2008 6 561 38

2009 19 683 39

... ... ...

2015 14 348 907 315

2000 + n 3n

A regularidade da multiplicação pelo fator 3, a cada ano, conduz naturalmente à re-presentação da produção correspondente, de modo simplificado, por meio de uma potên-cia de 3. Observe que, a cada aumento em uma unidade no ano, a produção em toneladas é multiplicada por 3. Ao acompanhar a tabela, conclui-se que n anos após o ano 2000, o valor da produção P será 3n toneladas.

Leitura e análise de texto


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VOCÊ APRENDEU?

1. Tomando a situação descrita pela tabela apresentada na seção Leitura e análise de texto, como você representaria a produção P do país X meio ano após o início da produção? E quatro anos e três meses após o início do processo?

2. Para analisar a função exponencial y = ax, ou seja, f(x) = ax, sendo a > 0 e a ≠ 1, para todo núme-ro real, construímos, a seguir, uma tabela com diversos valores de x e os valores correspondentes de f(x) para alguns valores de a. Preencha os espaços em branco da tabela.

x 2x 3x ª 1 __ 2 º x

ª 1 __ 3 º x

1 2 1 __ 2

2 22 = 4 ª 1 __ 3 º 2 = 1 __ 9

3 23 = 8 33 = 27 ª 1 __ 2 º 3 = 1 __ 8

0 30 = 1 ª 1 __ 2 º 0 = 1

–3 3–3 = 1 ___ 33 = 1 ___ 27 ª 1 __ 3 º

–3 = 33 = 27

1 __ 2 2 1 __ 2 = ®

__ 2 ≅ 1,41 ª 1 __ 2 º

1 __ 2 = ® ___

1 __ 2 = 1 ____

® __

2 0,71≅


7

3. Tendo como base os valores obtidos na tabela apresentada na atividade anterior, vamos esboçar os gráficos das funções exponenciais a seguir, observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso. Para isso, construa os gráficos das funções I e II em um mes-mo sistema de eixos. Faça o mesmo para as funções III e IV. Divida o espaço milimetrado a seguir em duas partes, uma para cada par de gráficos.

I. y = 2x II. y = ª 1 __ 2 º x III. y = 3x IV. y = ª 1 __ 3 º

x


8

PESQUISA INDIVIDUAL

Construção de gráficos com auxílio de um software

Alguns softwares livres, como o Graphmatica, o Geogebra ou o Winplot, podem ser utiliza-dos para construir gráficos de funções de vários tipos. Veja a seguir, como exemplo, o gráfico das funções exponenciais y = 5x e y = ª ®

____ 125 º

x, desenhado com o auxílio do Graphmatica.

40

30

20

10

0 1–1–2 2 4

y

50

3–3

60

– 10

5

15

25

35

45

55y = ( ®

____ 125 )x

y = 5x

Para aprofundar o estudo dos gráficos das funções exponenciais, procure “baixar” da in-ternet um software específico para a sua construção ou, se possível, utilize o espaço da sala de informática da escola. Com o auxílio de um desses softwares, desenhe os gráficos e, em seguida, responda às questões apresentadas.

Quadro-resumo

Analisando as tabelas e os gráficos que você construiu, podemos observar o seguinte:• quandox aumenta uma unidade a partir de qualquer valor, ax é multiplicado por a.

De fato, ax + 1 = ax ⋅ a, ou seja, para cada unidade a mais no valor de x, o valor de ax crescerá ou decrescerá, dependendo apenas do valor de a;

• sendoa> 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax também aumenta, ou seja, a função f(x) = ax é crescente;

• sendo0< a < 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax diminui, ou seja, a função f(x) = ax é decrescente.


9

4. Desenhe os gráficos das seguintes funções e escreva o que você observou.

I. f(x) = ª 1 __ 2 º x II. f(x) = (2)–x

5. Desenhe os gráficos das seguintes funções em um mesmo sistema de eixos na malha a seguir:

I. f(x) = 3x III. f(x) = 32x

II. f(x) = ª 1 __ 3 º x IV. f(x) = 3–0,5x


10

a) Escreva cada uma das funções na forma y = (ak)x, com a > 0 e a ≠ 1, identificando o valor de k.


11

b) Analisando os gráficos das funções, identifique quais delas são crescentes ou decrescentes.

Quadro-resumo

Verifique, com base nos itens a e b, que, de modo geral, dada uma constante k, o gráfico de uma função do tipo f(x) = akx, com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido imaginando-se o gráfico de y = (ak)

x. Dependendo do valor de k, a função poderá ser crescente ou decres-

cente. Sendo a > 1, quando k é positivo, a função é crescente; quando k é negativo, a função é decrescente.

Assim, considerando a função exponencial f(x) = ª 1 __ 2 º x, e notando que 1 __ 2 = 2–1, podemos

escrever que: f(x) = ª 1 __ 2 º x= 2(–1)x = 2–x. De modo geral, sendo 0 < a < 1, então 1 __ a > 1, ou seja,

toda função exponencial f(x) = ax decrescente pode ser representada na forma f(x) = ª 1 __ a º –x

.

Observamos o fato no gráfico a seguir:

y = 2–x y = 3–x y = 5–x y = 3xy = 5x y = 2x

3

12

6

15

21

9

18

24

– 4 –3 –2 –1 0 1 32 4 x

y

6. Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 ⋅ 3t, sendo t em horas.

a) Calcule o valor de N para os seguintes valores de t:

I) t = 2 h II) t = 0,5 h

III) t = 23

h IV) t = 1,25 h


12

b) Esboce o gráfico de N como função de t: N = f(t). (Estabeleça uma escala apropriada no eixo y.)

7. Em determinado país X, a produção de automóveis cresce em progressão geométrica, ano após ano, a partir do início do ano 2000, tendo aumentado 50% ao ano, desde então. Sabendo-se que em 2004 foram produzidos 162 000 automóveis, pergunta-se:


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a) Qual foi a quantidade produzida no ano 2000?

b) Qual é a produção estimada para o ano de 2010?

8. É possível construir o gráfico de uma função do tipo f(x) = 2kx de modo análogo ao de y = 2x, quando k é positivo, ou ao de y = 2–x, quando k é negativo. Nos dois casos, ocorrerá apenas uma mudança na escala no eixo x. Para compreender tal fato, construa o gráfico de cada par de funções a seguir no mesmo sistema de coordenadas:

a) y = 2x e y = 23x


14

b) y = 3−x e y = 3−0,5x

c) y = 5x e y = 51,5x


15

d) y = 7x e y = 7– 0,1x

LIÇÃO DE CASA

9. A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 ⋅ 100,1t, sendo t em anos. Calcule:

a) O valor de N quando o município foi fundado (t = 0).

b) O valor de N dez anos após a fundação.


16

c) O valor de N nos dias atuais.

d) Quanto tempo, após a fundação, a população atingirá a marca de 3 000 000 de habitantes, se o ritmo de crescimento continuar assim.

e) Quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingirá 600 000.


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO É A SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO

!?

A ideia de logaritmo: mais viva e importante do que nunca

Os logaritmos foram criados no início do século XVII com o objetivo de simplificar cálculos. Se comparada com o período atual, aquela era uma época com poucos recursos tecnológicos, em que os cálculos eram realizados com parcos instrumentos e eram muito tra-balhosos, sobretudo os referentes à navegação. Quando surgiram, a principal característica e a grande vantagem dos logaritmos era simplificar os cálculos de um modo facilmente compreensível.

Hoje, no entanto, existem muitos instrumentos disponíveis para efetuar os mais in-trincados cálculos: das calculadoras eletrônicas aos computadores (com preços cada vez mais acessíveis). Para que, então, estudar logaritmos?

A história da Matemática, no entanto, revela-nos uma especial surpresa quando o as-sunto é logaritmo. A despeito de seu enorme sucesso no século XVII, hoje, em pleno século XXI, os logaritmos são mais importantes do que o foram no momento de sua criação. Já não precisamos mais deles para simplificar os cálculos, mas seu significado e a força de sua linguagem tornaram-se fundamentais para a expressão e a compreensão de fenômenos em diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno século XX: nas medidas da intensida-de sonora, da energia destruidora dos terremotos, do índice de acidez de um líquido, da rapidez com que uma substância radioativa se desintegra etc. Sem dúvida, hoje, mais do que antes, aprender logaritmos é fundamental.

Para iniciar nosso percurso na aprendizagem dos logaritmos, retornaremos, no en-tanto, à problemática inicial: a simplificação dos cálculos.

Simplificação de cálculos: uma ideia brilhante do século XVII

Para compreender o significado dos logaritmos quando surgiram, imaginemos a seguinte situação: temos que calcular o valor de E indicado na expressão a seguir.

E = 381,5 ⋅ (20,87)3 ⋅ (4 182)4

(7,935)25



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Realizar as operações indicadas, sem dispor de uma calculadora, seria um trabalho braçal imenso. Uma simplificação muito interessante foi elaborada por alguns matemáticos no início do século XVII, entre os quais estavam o inglês Henry Briggs (1561-1630) e o escocês John Napier (1550-1617). Cada um propôs uma alternativa a seu modo, mas a ideia central subjacente era a seguinte:

• é possível escrever qualquer número positivo N como uma potência de 10: N = 10n;

• assim procedendo, o cálculo de umamultiplicação se transforma no cálculo de uma adição (dos expoentes); o cálculo de uma divisão se transforma no cálculo de uma subtração (dos expoentes); o cálculo de uma raiz se transforma no cálculo de uma divisão (do expoente do radicando pelo índice do radical), e assim por diante.

Assim, na expressão E apresentada anteriormente, escreveríamos:

381,5 = 10a 20,87 = 10b 4 182 = 10c 7,935 = 10d

Conhecendo os valores de a, b, c e d, e usando apenas propriedades da potenciação, podemos afirmar que o valor da expressão E será:

E = 10 (a + 3b + 4c – 2d) _______________

5

A chave da questão é a representação de qualquer número positivo N como 10n, o que é fácil quando se tem N igual a 10, 100, 1 000, 10 000 etc., mas já não parece tão simples para valores de N como 2, 17, ®

____ 537 , 30, 200 ou 1 932,5, por exemplo.

Não é simples, mas é possível, e esse é o grande mérito dos matemáticos que investiram nesse terreno: a possibilidade de escrever N como 10n é equivalente à afirmação de que é possível calcular o valor da potência 10x para qualquer número real x, e não apenas para os valores inteiros de x.

Pois bem, quando escrevemos N = 10n e nos preparamos para simplificar os cálculos envolvendo tal número, estamos entrando na seara dos logaritmos.

Se N = 10 n, então o expoente n é chamado “logaritmo de N”: n = log N.


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VOCÊ APRENDEU?

1. Para a familiarização com a linguagem, calcule os logaritmos dos números a seguir, seguindo o modelo apresentado nos itens a e f:

a) Sendo N = 100 = 102, então o logaritmo de N é 2: log 100 = 2.

b) Sendo N = 10 = 101,

c) Sendo N = 1 = 100,

d) Sendo N = ® ___

10 = 10 1 __ 2 ,

e) Sendo N = 0,01 = 10–2,

f ) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, então o logaritmo de N é um número n tal que 1 < n < 2; assim, 1 < log 13 < 2.

g) Sendo N = 3,22,

h) Sendo N = 751,

Sendo N menor ou igual a zero, então N não tem logaritmo, pois 10n é sempre positivo para todo n.

Atenção!


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Tabelas de logaritmos

Para facilitar os cálculos, tal como era sugerido pelos criadores dos logaritmos, foram elaboradas longas tabelas contendo uma lista dos valores de N e do logaritmo correspon-dente, representado por log N. Tais tabelas (tábuas de logaritmos) eram disponibilizadas para os calculadores e constituíram algo que se assemelha aos modernos softwares de hoje.

N (N = 10n) n (n = log N)

10 000 4

6 000 3,77815

3 000 3,47712

2 000 3,30103

1 000 3

600 2,77815

300 2,47712

200 2,30103

100 2

60 1,77815

30 1,47712

20 1,30103

10 1

6 0,77815

3 0,47712

2 0,30103

1 0

Os valores apresentados1 foram escolhidos como exemplos, mas são sugestivos de cer-tas regularidades existentes em uma tabela de logaritmos.

1 Os valores decimais foram aproximados, pois esses números possuem infinitas casa decimais.


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Por exemplo, como a razão 3 000 _____ 300 é igual a 10, a diferença entre seus logaritmos deve ser igual a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal, diferindo apenas na parte inteira. O mesmo acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3.

Também notamos que, como 6 = 2 ⋅ 3, então log 6 = log 2 + log 3 ≅ 0,30103 + + 0,47712 ≅ 0,77815.

Fatos assim constituem indícios de que não é necessário colocar na tabela os logaritmos de todos os números, o que seria impossível. Tabelando-se os logaritmos de alguns números, por exemplo, os naturais de 1 a 10 000, os demais podem ser calcula-dos a partir deles de forma aproximada.

Observações sobre a tabela de logaritmos (ou tábua de logaritmos)

I. Se na tabela aparecem apenas os números naturais de 1 a 10 000, não vamos encontrar nela, por exemplo, 381,5. Entretanto, sabemos que seu logaritmo situa-se entre 2 e 3 e que sua parte decimal é a mesma de 3 815. Assim, determinamos o logaritmo de 381,5.

II. A construção de uma tabela é um processo longo e trabalhoso. Os logaritmos dos números que não são potências inteiras da base são números irracionais e, na prática, são expressos em termos aproximados, com um número fixo de casas decimais.

Acompanhe os passos do exemplo a seguir:

• o logaritmo de 1 é 0;

• o logaritmo de 10 é 1;

• para preencher as lacunas entre 1 e 10, podemos extrair a raiz quadrada de 10;

• como® ___

10 = 10 1 __ 2 , segue que log ®

___ 10 = 0,5;

• extraindo a raiz quadrada da raiz quadrada de 10, temos o log 4 ® ___

10 = 0,25;

• de modo geral, sendo A e B dois números cujos logaritmos conhecemos, extraindo a raiz

quadrada de A ⋅ B, temos: log ® ___

AB = 1 __ 2 · (log A + log B);

• assim, com paciência, as lacunas entre as potências inteiras podem ser preenchidas.

As tábuas de logaritmos são um instrumento de importância histórica, mas sem interesse no presente, uma vez que dispomos de muitos outros instrumentos para calcular logaritmos.


22

VOCÊ APRENDEU?

2. Existem métodos de cálculo para os logaritmos dos números que não são potências inteiras de 10. Tais valores (aproximados, pois são números irracionais) podem ser obtidos por meio de calcula-doras (ou encontrados em tabelas de logaritmos) e estão disponíveis para o uso de todos. Como sabemos, os números entre 1 e 10 têm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calculadora científica, ob-temos: log 2 ≅ 0,3 (ou seja, 2 ≅ 100,3) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47 ). Com base nesses valores aproximados, calcule:

a) log 6 d) log 12

b) log 9 e) log 72

c) log 4 f ) log 3 600

LIÇÃO DE CASA

3. A população de certa região A cresce exponencialmente de acordo com a expressão NA = 6 000 ⋅ 100,1t (t em anos). Em outra região B, verifica-se que o crescimento da popula - ção ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 ⋅ 100,2t (t em anos). De acordo com esses modelos de crescimento, responda às questões a seguir.

a) Qual é a população inicial de cada uma das regiões?


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b) Depois de quantos anos, a partir do instante inicial, as duas regiões terão a mesma população?

c) Qual é a população de cada uma das regiões 15 anos após o instante inicial?

(Dado: 10 3 __ 2 ≅ 31,62.)

Logaritmos em qualquer base: significado e aplicações

Já vimos que é possível es-crever cada número positivo N como uma potência de 10: se N = 10n, então n = log N.

Na verdade, pode-se escrever cada número positivo N como uma potência de uma base a (a > 0 e a ≠ 1) que não necessita ser igual a 10.

De modo geral, se N = an, então dizemos que n é o logaritmo de N na base a e escrevemos: n = = loga N.

Por exemplo, como 16 = 24, dizemos que 4 é o logaritmo de 16 na base 2, e escrevemos: 4 = log2 16.


Potência Logaritmo

8 = 23 3 = log2 8

625 = 54 4 = log5 625

9 = 81 1 __ 2 1 __ 2 = log81 9

3 = 81 1 __ 4 1 __ 4 = log81 3

1 ___ 32 = 2−5 –5 = log2 ª 1 ___ 32 º

3 ® __

7 = 7 1 __ 3 1 __

3 = log7

3 ® __

7

1 ____ ®

__ 5 = 5

– 1 __ 2 – 1 __ 2 = log5 1 ____

® __

5


24

VOCÊ APRENDEU?

4. Calcule os logaritmos indicados a seguir:

a) log2 128 e) log2 ª 1 ____ 256

º

b) log3 81 f ) log3 ª 1 ____ 243

º

c) log13 169 g) log169 13

d) log5 3 125 h) log125 25

Quando a base escolhida para expressar um número N como uma potência é igual a 10, con venciona--se que ela pode ficar subentendi-da; se optarmos por outra base a, diferente de 10, somos obrigados a registrá-la. Assim, log N repre-senta o logaritmo de N na base 10, também chamado logaritmo deci-mal de N; já o logaritmo de N em qualquer outra base a, deverá ser escrito: loga N.

Potência Logaritmo

N = N1 1 = logN N

1 = 170 0 = log17 1

N = a7 7 = loga N

N = 13a a = log13 N

x = 3n n = log3 x

x = y z z = logy x


25

5. Se um número N situa-se entre an e an + 1, então loga N situa-se entre os inteiros n e n + 1. Com base nesse fato, indique dois inteiros consecutivos entre os quais se situam os logaritmos a se-guir:

a) log2 52 b) log3 300 c) log7 400 d) log5 813

(Observação: você pode indicar a resposta usando a notação dos logaritmos, sem precisar calculá-los.)

6. Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 ⋅ 3t, sendo t em horas. Indique o valor de t para o qual se tem:

a) N = 15 000 c) N = 250 000 e) N = 470 000

b) N = 25 000 d) N = 350 000


26

LIÇÃO DE CASA

7. A partir de um valor inicial igual a 1 000, certa população P1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja, P1 = 1 000 ⋅ 22t (t em horas). Simultaneamente, partindo de um valor inicial oito vezes maior, outra população P2 de bactérias cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 ⋅ 20,5t (t em horas).

Pergunta-se:

a) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor?

b) Em que instante t a população P1 será oito vezes maior que a população P2?

c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3?

(Utilize o valor aproximado 2 3 __ 2 ≅ 2,83.)


27

8. Certa substância radioativa decompõe-se de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo ⋅ 2

–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa. Partindo--se de 60 gramas da substância, pergunta-se:

a) Qual será a massa restante após 8 horas?

b) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 gramas?

(Utilize o valor aproximado 5 ≅ 22,32.)

Logaritmos: propriedades fundamentais em qualquer base

Já vimos que os logaritmos nada mais são que expoentes. Suas propriedades mais fun-damentais decorrem das correspondentes propriedades das potências.

Quando se afirma, por exemplo, que para multiplicar potências de mesma base man-tém-se a base e somam-se os expoentes, ou seja, que am ⋅ an = am + n, simultaneamente está se afirmando que o expoente a que se deve elevar a base a para se obter o produto (am ⋅ an) é igual a (m + n), o que significa dizer que o logaritmo de (am ⋅ an) é igual a (m + n). Em outras palavras, o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

Podemos observar a relação entre as propriedades das potências e dos logaritmos na tabela a seguir (a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer).



28

PropriedadePotências

M = am N = an

Logaritmos

m = loga M n = loga N

Produto M ⋅ N = am ⋅ an = am + n loga (M ⋅ N) = loga M + loga N

Quociente M __ N = am

an = am – n loga ª M ___

N º = loga M – loga N

Potência Mk = (am)k = amk loga (Mk) = k ⋅ loga M

Raiz k ® ___

M = M 1 __ k = (am)

1 __ k = a m ___ k loga (M

1 __ k ) = 1 __ k ⋅ loga M

Tais propriedades são válidas para qualquer base a em que estivermos calculando os logaritmos. As propriedades relativas a potências também podem ser estendidas para qual-quer expoente real k.

Para a determinação dos logaritmos na base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, existem tabelas construídas desde o século XVII, por meio de aproximações sucessivas. Atualmente, podemos obter os logaritmos utilizando calculadoras eletrônicas científicas.

Uma vez construída uma tabela de logaritmos para uma determinada base, por exem-plo, a base 10, podemos definir o logaritmo de um número N em qualquer outra base por meio de um procedimento simples, descrito a seguir:

• temosologaritmodeN na base 10, que é igual a n, ou seja, N = 10n;


29

VOCÊ APRENDEU?

9. Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule:

a) o logaritmo de 10 na base 2;

• queremosologaritmodeN em outra base a, ou seja, queremos saber o valor de m tal que N = am;

• comoN= 10n = am, conhecendo o logaritmo da nova base a, ou seja, sabendo o valor de k tal que a = 10k, podemos escrever:

N = 10n = am = (10k)m, de onde segue que 10n = 10km, e, então, m = nk

;

• ouseja,empalavras:

logaritmo de N na base a = logaritmo de N na base 10

_____________________ logaritmo de a na base 10

;

• emnotaçãosimbólica,temos:

loga N = log N

_____ log a

• comumprocedimentoanálogo,podemosobtera expressãoquepermiteamu-dança de uma base conhecida a para uma nova base b:

logaritmo de N na base b = logaritmo de N na base a

_____________________ logaritmo de b na base a

;

logb N = loga N ______ loga b


30

b) o logaritmo de 5 na base 10;

c) o logaritmo de 5 na base 2;

d) o logaritmo de 64 na base 5.


Logaritmos: uma linguagem sugestiva em diferentes contextos

No início do século XVII, o que motivou o desenvolvimento dos logaritmos foi a sim-plificação de cálculos. Tal significado prático não é, hoje, especialmente relevante diante dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis. No entanto, a relevância dos logaritmos permaneceu e é possível afirmar que ela aumentou. Como explicar tal fato?

A força da ideia de logaritmo provém do fato de que os logaritmos são expoentes, que podem ser utilizados para simplificar cálculos, mas que também são especialmente adequa-dos para representar de modo sugestivo grandezas de valores muito grandes, como a ener-gia liberada por ocasião dos terremotos, ou muito pequenas, como a quantidade de íons de hidrogênio livres em um líquido, que são responsáveis pela sua acidez, por exemplo. A expressão das grandezas correspondentes a esses fenômenos, por meio de potências de 10, torna os números envolvidos menores (de 0 até por volta de 9 graus na escala Richter, e de 0 a 14 na indicação do pH). Como se sabe, a água tem pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e o caráter básico, que se opõe ao ácido, significando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.


31

VOCÊ APRENDEU?

10. A energia liberada por ocasião de um terremoto pode ser muito grande, sendo frequentemente expressa por uma potência de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utili - za-se a escala Richter, que leva em consideração apenas o expoente da potência considerada em cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para medir tal magnitude: os sismógrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrência e a magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.

Local Ano de ocorrência Magnitude

Los Angeles 1994 6,6

Japão 1993 7,8

Irã 1990 7,7

São Francisco 1989 7,1

Armênia 1988 6,9

Cidade do México 1985 8,1

Grã-Bretanha 1984 5,5

Alasca 1964 8,4

Chile 1960 8,3

Ex-União Soviética 1952 8,5

São Francisco 1906 8,3

Colômbia 1906 8,6

Ilha de Krakatoa 1883 9,9

Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:

a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter é potencialmente quantas vezes mais destrutivo do que um terremoto de 4 graus?


32

b) Um caminhão muito pesado passou pela rua e produziu um pequeno tremor. Um sismó-grafo registrou 2,5 graus na escala Richter. Se 4 caminhões passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente será de 10 graus?

11. Para caracterizar a acidez de um líquido, usa-se um indicador chamado pH (potencial hidro-geniônico). O pH indica a quantidade aproximada de íons H+ que se encontram livres no líquido, indicando a concentração (quantidade por unidade de volume) de tais íons. A própria água (H2O) tem íons H+ livres: são relativamente poucos, mas existem. Há, na água, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 107 litros. Em uma limonada existem mais íons H+ livres: digamos, 1 íon-grama para cada 102 litros. Em alguns líquidos, há menos íons H+ do que na água: no leite de magnésia, por exemplo, há cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 1010 litros. Dizemos que o pH da água é 7, o pH da limonada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A escala do pH varia de 0 a 14, situando-se a água em seu ponto médio. Os líquidos com pH entre 0 e 7 têm caráter ácido; os que têm pH entre 7 e 14 têm caráter básico. Para combater a acidez estomacal, por exemplo, costuma-se ingerir uma colher de leite de magnésia. A escala de pH também é logarítmica, ou seja, os valores são expoentes. Mas como se trata de números pequenos, uma vez que a quantidade de íons H+ por litro é pequena, os expoentes encontram-se no denominador:

• aáguatem1íon-gramadeH+ para cada 107 litros, ou seja, a razão é 1 ____ 107 , e dizemos que

seu pH é 7;

• umácidotemmaisíons-gramadeH+; por exemplo, se tem 1 para cada 103 litros, ou seja, a

razão é 1 ____ 103 , e dizemos que seu pH é 3;

• jáumlíquidobásicotemmenosH+; por exemplo, se tem 1 para cada 1012 litros, ou seja, a

razão é 1 ____ 1012 , e dizemos que seu pH é 12.

A tabela a seguir apresenta os valores aproximados do pH de alguns líquidos.


33

Líquido pH

Ácido sulfúrico 0,1

Suco de laranja 3,0

Vinho 3,4

Suco de tomate 4,2

Café 5,0

Leite 6,9

Água 7,0

Sangue humano 7,4

Água do mar 8,2

Leite de magnésia 10,0

Amônia 13,0

Hidróxido de potássio 14,0

Com base nas informações apresentadas, responda às seguintes questões:

a) O que significa dizer que determinado líquido tem pH igual a 6?

b) Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para cada 100 litros, qual é o seu pH?


34

c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem mais ou menos íons de hidrogênio livres do que a água? Quantas vezes?

d) Qual é a diferença entre os valores do pH de dois líquidos, um deles com mil vezes mais íons H+ livres do que o outro?

LIÇÃO DE CASA

12. A orelha humana é muito versátil e percebe sons de uma gama de intensidade muito ampla. A intensidade sonora é a medida da energia transportada pelas ondas por segundo e por uni-dade de área (perpendicular à direção da propagação).

Entre o som de baixa intensidade, quase inaudível, e o ruído que produz dor nas orelhas, a intensidade varia em uma escala que vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sonora, utiliza-se apenas o expoente correspondente a cada intensidade. Ele corresponde ao núme-ro de béis (plural de bel, unidade escolhida em home nagem ao físico Alexandre Graham Bell). Assim, se ao som fracamente audível corresponde 0 bel, ao som que produz dor cor-responderão 12 béis. Como o bel revelou-se uma uni dade muito grande para distinguir os diversos níveis de som, em situações práticas costuma-se usar o decibel, que corresponde à décima parte do bel.

A tabela a seguir registra as intensidades sonoras correspondentes a algumas situações cotidianas.


35

Tipo de somIntensidade (watt/m2)

Números proporcionais

Medida em bel

Medida em decibel

Som fracamente audível 10–12 1 0 0

Ruído das folhas de uma árvore 10–11 10 1 10

Sussurro humano 10–10 102 2 20

Conversa comum 10–6 106 6 60

Barulho dos carros no tráfego pesado 10–5 107 7 70

Britadeira manual usada na rua 10–2 1010 10 100

Som que produz dor e dano 1 1012 12 120

Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:

a) Um som de intensidade de 90 decibéis é quantas vezes mais intenso que outro de intensi-dade de 80 decibéis?

b) Quantos decibéis correspondem a uma britadeira defeituosa, que emite som com intensi-dade 100% maior do que o normal (tabela)? (Considere log 2 ≅ 0,3.)

c) Qual fórmula relaciona o número n de béis de um som com sua intensidade sonora I?


36

d) Qual fórmula que relaciona o número n de decibéis de um som com sua intensidade sonora I?

PESQUISA INDIVIDUAL

Se você observar uma calculadora científica, identificará a tecla log. Essa tecla é utili zada para calcular o valor do logaritmo de qualquer número, só que na base 10. Com o conceito de mudança de base e com uma calculadora desse tipo, é possível calcular os logaritmos em qualquer base. Crie um procedimento para, com o uso da calculadora científica, determinar o valor de log 2,5 54. Registre, em folha avulsa, uma lista com 5 logaritmos com bases diferentes de 10 e use o procedimento apresentado para calcular seus valores.


37

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 AS FUNÇÕES COM VARIÁVEL NO EXPOENTE: A EXPONENCIAL E SUA INVERSA, A LOGARÍTMICA

!?

Potências e logaritmos: das tabelas às funções

Já sabemos que, ao calcular os valores da potência ax, se tivermos a < 0, algumas potên-cias não poderão ser calculadas: não podemos, por exemplo, calcular a potência (– 3)

1 __ 2 ,

uma vez que não existe um número real que seja a raiz quadrada de um número negativo. Também não interessa muito o caso em que a = 1, uma vez que 1x = 1 para todo x real.

Portanto, sendo a > 0 e a ≠ 1, podemos calcular a potência ax para todo x real. Isso significa que a função y = ax, ou seja, f(x) = ax está definida para todo número real x, e f(x) sempre assumirão valores positivos, já que ax > 0 para todo x real.

Sabemos ainda que, sempre que aumentamos os valores de x:

•osvaloresdeax aumentam correspondentemente quando a > 1;

•osvaloresdeax diminuem correspondentemente quando 0 < a < 1.

De modo análogo, sabemos que a igualdade y = ax equivale a afirmar que x = loga y. Observemos tal fato no gráfico da função exponencial (caso a > 1):

Portanto, a cada número positivo y corresponde um número real x, que é o seu logaritmo na base a. É possível, então, estabelecer uma correspondência entre cada número positivo e seu logaritmo em uma determinada base a, ou seja, é possível definir uma função que, a cada número positivo, associa seu logaritmo. Essa função será chamada de função logarítmica e é representada por f(x) = loga x.


x = loga y

y = ax

y

x


38

Observando o nome das variáveis:

• na função exponencial,x é a variável independente, à qual atribuímos qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo, e y = ax é a variável dependente do valor de x, que será, no caso em questão, sempre positiva;

• na função logarítmica, a variável independente é um número positivo y, que escolhemos livremente, e a variável dependente é o logaritmo x desse número, que poderá assumir qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo.

Temos, portanto, a função logarítmica x = loga y. Construindo o gráfico de x como função de y, situando o eixo y na horizontal, como fazemos para a variável independente, e representando os valores de x na vertical, temos o gráfico a seguir (caso a > 1):

y = ax

x

x = loga y

y

Naturalmente, se nomearmos a variável independente de x, como é usual, então a variável dependente y será tal que y = loga x, ou seja, a função logarítmica é representada por f(x) = loga x. Nessas condições, seu gráfico, no caso a > 1, é esboçado a seguir:

f(x) = loga x a > 1

x

y

Notamos, no caso em que a > 1, que a função exponencial f(x) = ax é crescente, bem como a correspondente função logarítmica. Representando os dois gráficos em um mesmo sistema de coordenadas, obtemos:

10

10


39

a > 1

y = ax

y = loga x

Analogamente, no caso em que 0 < a < 1, a função exponencial de base a será decres-cente, assim como a correspondente função logarítmica. Os gráficos são representados a seguir:

y = ax y = loga x

0 < a < 1

x

y

VOCÊ APRENDEU?

1. A função y = 5x – 8 estabelece que partimos de x, multiplicamos seu valor por 5 e depois subtraímos 8 de seu resultado. Para definir a função inversa de x, partimos de y, somamos 8 e

depois dividimos o resultado por 5, o que é representado por x = (y + 8) ______ 5 . Desse modo,

podemos dizer que a função y = f(x) = 5x – 8 e a função x = g(y) = (y + 8) ______ 5 são funções inversas.

Preencha com um X os parênteses cujas funções y = f(x) e x = g(y), representadas a seguir, são inversas uma da outra:

( ) y = x + 7 e x = y – 7 ( ) y = x2 (x ≥ 0) e x = ® __

y (y ≥ 0)

y

x1

1

0

1

0 1


40

( ) y = 3x e x = 1 __ 3 y ( ) y = 5x – 8 e x = y + 8 _____ 5

( ) y = 1 __ x (x ≠ 0) e x = 1 __ y (y ≠ 0) ( ) y = x3 e x = 3 ® __

y

( ) y = x –11 _____ 4 e x = 4y + 11 ( ) y = 3x – 1 ______ 7 e x = 7y + 1 ______ 3

2. Sabendo que as funções f(x) e g(x) são inversas uma da outra, associe, com um traço, cada função à sua respectiva inversa:

f(x) = x – 5 g(x) = 3 ® _____

x – 1

f(x) = x3 + 1 g(x) = log7 x

f(x) = 7x g(x) = 3x

f(x) = log3 x g(x) = x + 5

Observe, em cada exemplo, que f(g(x)) = x, ou seja, partindo-se de x, chegamos ao valor g(x); partindo-se de g(x) e calculando o valor de f(x) em g(x), obtendo x. O esquema a seguir traduz o que foi dito:

f(x)

g(x)

g(x) f(g(x)) = xx

f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra

PESQUISA INDIVIDUAL

Construção de gráficos com auxílio de um software

Do mesmo modo que utilizamos os softwares Graphmatica, o Geogebra ou Winplot para a análise das funções exponenciais, vamos usá-los aqui para observar uma interessante relação entre os gráficos de funções inversas.

Vamos construir os gráficos de cada par de funções inversas apresentadas nas atividades 1 e 2 da seção Você aprendeu? e observar que cada par (m; n) de um gráfico corresponde ao par (n; m) do gráfico de sua função inversa. Observe a figura a seguir e note que pontos como (m; n) e (n; m) são simétricos em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares:


41

(m; n)

(n; m)

m n

m

ny = x

y

x

No caso das funções exponencial e logarítmica, podemos concluir, então, que a cada ponto do gráfico de y = ax, corresponde um ponto do gráfico de y = loga x, que é simétrico ao primeiro em relação à reta y = x. Em outras palavras, os gráficos das funções y = ax e y = loga x são simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Podemos observar tal fato nos gráficos a seguir:

a > 1

y = ax

y = loga x

0 < a < 1

y = ax

y = x

y = loga x

y

x

y

x

y = x

1

1

0

1

0 1


42

De fato, se substituirmos em x = loga y o valor de y calculado em y = ax, obtemos: x = loga (a

x) = xSimetricamente, se substituirmos em y = ax, o valor x = loga y, obtemos:

y = aloga y = alogaax = ax = y

Ou seja, acontece algo similar ao que ocorre quando multiplicamos um número por k e em seguida dividimos o resultado por k: a segunda operação desfaz o que a primeira fez e retornamos ao valor inicial.

Em outras palavras, as funções f(x) = ax e g(x) = loga x são chamadas inversas uma da outra e é verdade que g(f(x)) = x e que f(g(x)) = x.

VOCÊ APRENDEU?

3. Considere as funções f(x) = 10x e g(x) = log x.

a) Esboce seus gráficos no mesmo sistema de coordenadas.


43

b) Determine os pontos A, B, C e D dos gráficos, tais que: A = (0; f(0)), B = (1; g(1)), C = (10; g(10)) e D = (1; f(1)).

c) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, utilizando o teorema de Pitágoras, e mostre que ele é um trapézio isósceles.

4. Quais das seguintes funções são crescentes? Quais são decrescentes?

a) f(x) = log11 x c) h(x) = log 1 __ 3 x e) n(x) = log

3 __ 2 x

b) g(x) = ( ® ___

11 )x d) m(x) = ª 1 __ 3 º x f ) j(x) = 5–x


44

LIÇÃO DE CASA

5. As funções exponencial e logarítmica representam padrões de crescimento/decrescimento mui-to distintos. Sendo a > 1, a função f(x) = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto a função g(x) = loga x cresce cada vez mais lentamente. É possível compreender tal fato obser-vando os gráficos das duas funções. Se comparar com o padrão de crescimento da função linear y = x, vê-se que a exponencial cresce mais depressa e a logarítmica cresce mais devagar.

g(x) = loga x

f(x) = ax

y

x

y = x

Na atividade 3 da seção Você aprendeu?, você construiu os gráficos das funções f(x) = 10x e g(x) = log x. Retome os dados do problema citado para responder às questões a seguir.

a) Quando o valor da variável independente x aumenta em 1 unidade, a partir de um valor qualquer x0, qual é o aumento E no valor da função f(x) = a?

b) Quando o valor da variável independente x aumenta em 1 unidade, a partir de um valor qualquer x0, qual é o aumento L no valor da função g(x) = loga x?


45

c) O que acontece com o valor de E quando x0 se torna cada vez maior? Explique.

d) O que acontece com o valor de L quando x0 se torna cada vez maior? Explique.


46

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4AS MÚLTIPLAS FACES DAS POTÊNCIAS E DOS LOGARITMOS: PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM DIFERENTES CONTEXTOS

!?

Desafio!

É muito conhecida a lenda do tabuleiro de xadrez: para retribuir o jovem inventor pela criação do jogo, o rei concede-lhe qualquer coisa que desejasse, e o jovem pede “apenas” 1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, e assim por diante, até chegar a 263 grãos pela sexagésima quarta casa. Assim, a soma de todos os grãos (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263) é igual a 264 – 1 grãos, e esse núme-ro, apesar de não parecer, é tão grande que seria impossível atender ao inocente pedido. Quantos algarismos tem o número 264 ? (Dado: log 2 ≅ 0,3.)

VOCÊ APRENDEU?

1. Aplicando seus conhecimentos sobre logaritmos, determine qual dos dois números é maior: 107 ou 710 ? (Dado: log 7 ≅ 0,845.)


47

2. Considere uma folha de papel comum, com espessura de aproximadamente 0,08 mm.

a) Suponha que a folha seja dobrada ao meio dez vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?

b) Suponha agora que a folha tivesse tamanho suficiente para ser dobrada ao meio 50 vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?

c) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapassaria a distância da Terra à Lua?

(Dados: a distância aproximada da Terra à Lua é de 384 000 km; log 2 ≅ 0,3; log 3 ≅ 0,48.)

d) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapas-saria a distância da Terra ao Sol?

(Dados: a distância aproximada da Terra ao Sol é de 150 000 000 km.)


48

3. Algumas estimativas sugerem que a população máxima que o planeta Terra pode acolher, de acordo com as terras cultiváveis disponíveis, seja da ordem de 45 bilhões de pessoas. Atual-mente, a população da Terra é de aproximadamente 7 bilhões e o censo revela que a população tem dobrado a cada 30 anos. Com base nessas suposições, calcule em quantos anos, a partir de agora, a população da Terra atingiria o limite suportável.

4. Um capital Co é aplicado a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. Nesse regime, os juros gerados a cada período são incorporados ao Capital para o cálculo dos juros do período seguinte. Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor, levando em conta que os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano. (Dados: log 2 ≅ 0,301 e log 7 ≅ 0,845).

LIÇÃO DE CASA

5. Um capital C0 é aplicado a uma taxa de juros de 1% ao mês (os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada mês e esse novo valor será a base para o cálculo dos juros do próximo). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial e compare com o resul-tado da atividade anterior. (Dados: log 2 ≅ 0,301 e log 101 ≅ 2,004.)


49

6. A primeira escala para a medida do brilho das estrelas foi criada por Hiparco, cerca de 150 a. C. Ele dividiu cerca de 850 estrelas então visíveis a olho nu e classificou-as em seis grupos, de acordo com a intensidade do brilho, atribuindo, quando vistas da Terra, grandeza 1 às mais brilhantes e 6 às de menor brilho. Por volta de 1850, apoiado no trabalho de Hiparco, um astrônomo inglês chamado Norman Pogson (1829-1891) propôs uma escala logarítmica para a medida do brilho de uma estrela. Considerando, na escala de Hiparco, a estrela mais brilhante como 100 vezes mais brilhante do que a visível de brilho mais fraco, Pogson atribuiu grandeza 0 à estrela mais brilhante e grandeza 5 à menos brilhante na antiga escala; como 2,55 ≅ 100, ele considerou cada nível de gran deza 2,5 vezes maior do que o nível anterior:

Grandeza 1 2 3 4 5 6 n

Brilho 1 (2,5)–1 (2,5)–2 (2,5)–3 (2,5)–4 (2,5)–5 2,5–(n – 1)

Númerosproporcionais

(maior brilho, 1a grandeza)

2,55 2,54 2,53 2,52 2,5

(menor brilho, 6a grandeza)

1 2,5–(n – 6)

Pogson ainda estendeu a escala de modo a classificar a grande quantidade de estrelas e demais corpos celestes brilhantes, na perspectiva de um observador na Terra. A escala foi estendida tanto para cima como para baixo, incluindo os logaritmos que não são inteiros:

Corpo brilhante Sol Lua Sirius Betelgeuse Antares Deneb

Grandeza –27 –11 –1,5 0,5 1 1,26

Existem outras escalas para a medida da grandeza (ou magnitude) de uma estrela, levando em consideração seu brilho em sentido absoluto e não apenas o que é percebido por um observador na Terra. A escala de Pogson fornece a grandeza aparente, ou seja, relativa a um observador na Terra. Em uma escala absoluta, que leva em consideração as distâncias entre os corpos celestes envolvidos, o Sol é uma estrela de 5a grandeza, enquanto Sirius é uma estrela de 1a grandeza.

Com base na escala de Pogson, responda às questões a seguir:

a) Betelgeuse é mais ou menos brilhante do que Antares? Quantas vezes?


50

b) Sirius é mais ou menos brilhante do que Antares? Quantas vezes?

c) Quantas vezes a Lua é menos brilhante do que o Sol?

7. Para estimar a idade de um fóssil, o químico norte-americano W. F. Libby criou o chamado Método do Carbono 14, pelo qual recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1960. O mé - to do consiste no seguinte:

• o elemento químico carbono 14 forma-se nas camadas superiores da atmosfera por efeito da radiação cósmica sobre o nitrogênio. Admite-se que sua presença na superfície da Terra ocorre em uma proporção constante em relação à do carbono 12, que é o carbono comum;

• os animais e as plantas absorvem o carbono 14 pela respiração e pela alimentação, e, en-quanto estão vivos, mantêm uma proporção fixa desse elemento. Depois de mortos, a ab-sorção da substância deixa de existir, e a quantidade que possuíam começa a se desintegrar, transformando-se em carbono comum;

• o carbono 14 desintegra-se em uma proporção constante em relação ao valor inicial: a cada 5 730 anos, a massa inicial reduz-se à metade (em outras palavras, a meia-vida do carbono 14 é igual a 5 730 anos);

• em consequência, se determinarmos a proporção do carbono 14 em relação ao carbono co-mum em um fóssil (um peixe incrustado em uma pedra, um osso, uma planta ressecada, um pedaço de madeira etc.), podemos estimar há quanto tempo ele existe.

Fóssil Idade estimada

Carvão da caverna de Lascaux, França 15 516 ± 900 anos

Carvão nos monumentos de Stonehenge, Inglaterra 3 789 ± 275 anos

Linho encontrado em uma caverna do Mar Morto 1 917 ± 200 anos

Pinturas rupestres em São Raimundo Nonato, no Piauí Cerca de 60 000 anos


51

Suponhamos, então, que um fóssil tenha sido encontrado e que desejamos estimar sua idade.

a) Se a análise laboratorial determinou que 50% do carbono 14 inicial já se desintegrou, qual seria a idade estimada do fóssil?

b) A massa m de carbono 14 varia com o tempo de acordo com a seguinte expressão:

m(t) = m0 . ª 1 __ 2 º t _____ 5 730

(cada vez que t assume valores múltiplos sucessivos de 5 730, a massa

reduz-se à metade). Se for constatada que a massa de carbono 14 restante no fóssil é apenas 10% da massa inicial, qual seria a idade estimada do fóssil? (Dado: log 2 ≅ 0,301.)

c) Se o laboratório indicar que a porcentagem do carbono 14 que se desintegrou foi de 75%, qual é a idade estimada do fóssil?

d) Se for constatada que a massa de carbono 14 restante no fóssil é apenas 1% da massa inicial, qual é a idade estimada do fóssil? (Dado: log 2 ≅ 0,301).


52


Crescimento exponencial e papéis logarítmicos

Já vimos que, para a > 1, o gráfico de y = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto que o gráfico de y = loga x cresce cada vez mais lentamente.

y = loga xy = ax

y

x

Tal fato pode dificultar, em alguns casos, a construção do gráfico, devido à grande diferença na ordem de grandeza dos valores representados nos dois eixos. Por exemplo, vamos fazer o gráfico de y = 10x com base na tabela seguinte:

x 1 2 3 4 5 6 7

y = 10x 101 102 103 104 105 106 107

A escala a ser escolhida no eixo x deve ser suficiente para representar valores de 1 a 7; já a escala no eixo y deve ser suficiente para representar valores até 10 milhões.

Uma maneira de contornar tal dificuldade prática é a seguinte: vamos “comprimir” a escala no eixo y, representando os valores dos expoentes das potências de 10, em vez de representá-los usando intervalos de mesmo tamanho para representar as variações nas potên-cias. Assim, cada unidade no eixo y significa 10 vezes a anterior, e não o sucessor da anterior, como no eixo x. Começamos na vertical com 1, depois 10, depois 100, depois 1 000; para baixo, temos 0,1; 0,01; 0,001, e assim por diante. Em outras palavras, vamos escrever no eixo y o valor da potência 10x, mas cada quadrinho representa, na verdade, uma unidade a mais no expoente. É como se estivéssemos fazendo o gráfico de y = X, com X = 10x. Assim, o gráfico obtido para y = 10x será a reta y = X. Observando o gráfico, é possível compreender o que foi dito:

52


53

y = 10x

valores de 10x

y = X

(sendo X = 10x)

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,001

–1 2–2 10 3

y

x

Existem papéis impressos com as escalas assim transformadas na vertical, para facilitar a construção de gráficos em situações como a descrita. Tais papéis são chamados de monolog.

A figura a seguir ilustra uma folha de um papel monolog:

Exemplo ilustrativo

O gráfico a seguir representa a produção industrial do Brasil, estado por estado. Em virtude da grande diferença nos níveis de produção, a escala adotada no eixo y é logarítmica. Note que na base do eixo y está assinalado “MONOLOG”. Um segmento do mesmo tamanho representa, no eixo y, tanto o intervalo de 0 a 1 quanto o intervalo de 1 a 10 e o intervalo de 10 a 100. No eixo y são representadas, portanto, as potências de 10 em segmentos proporcionais aos seus expoentes.

53


54

Produçãoindustrial por estado

Fonte: IBGE, 2000. Disponível em: <http://biblioteca.ibge.gov.br/>. Acesso em 8 abr. 2014.

Escala logarítmica no eixo x

Algo semelhante poderia ser feito para a função y = log x, se tivéssemos que fazer o grá-fico a partir de uma tabela como a apresentada a seguir:

x 101 102 103 104 105 106 107

y = log x 1 2 3 4 5 6 7

No caso, a escala a ser comprimida é a do eixo x, onde representamos as potências; mas cada unidade representa a passagem de uma potência de 10 a outra potência de 10, ou seja, representa o logaritmo de x. Assim, o gráfico de y = log x torna-se o gráfico da reta y = X, onde X = log x.

54


55

Naturalmente, poderíamos utilizar, para o gráfico anterior, o mesmo papel monolog, apenas trocando as posições dos eixos x e y.

Escalas logarítmicas nos dois eixos

É possível ainda que desejemos comprimir as escalas nos dois eixos. Isso pode ser espe-cialmente conveniente quando queremos representar funções em que tanto os valores de x quanto os de y variam em intervalos muito amplos e queremos concentrar as atenções nos expoentes de x e de y. Existem papéis que já trazem a representação de tal “contração” nos dois eixos, sendo apropriados para uma representação proporcional dos expoentes de x e de y, em vez de uma representação proporcional aos valores de x e y.

Exemplo ilustrativo

Para fazer o gráfico de y = x7, calculando os logaritmos dos dois membros da igualdade, temos: log y = 7 · log x. Usando um papel que represente o logaritmo nos dois eixos, é como se fizéssemos o gráfico de Y = 7X, onde Y = log y e X = log x. Uma folha de papel desse tipo, chamado de papel dilog, é representada a seguir:

Ao final deste caderno, encontram-se os anexos de papel monolog e dilog.


56

8. Tendo por base as informações anteriores sobre papéis monolog e dilog, pergunta-se:

a) Como fica o gráfico da função y = 5x se usarmos o papel monolog disponível ao final deste Cader-no, sendo as unidades do eixo y representativas não dos valores de x, mas dos logaritmos de x?

b) Como fica o gráfico da função y = log5 x se usarmos o papel monolog descrito anteriormente, sendo as unidades do eixo x representativas não dos valores de x, mas dos logaritmos de x?


57

c) Como fica o gráfico da função y = x5 se usarmos um papel dilog, cuja escala, tanto no eixo x quanto no eixo y, representa não os valores de x e de y, mas os seus logaritmos?

58


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 RAMPAS, CORDAS, PARSECS: RAZÕES PARA ESTUDAR TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Dizemos que uma rampa tem inclinação de 10% se nos elevarmos verticalmente 10 metros a cada 100 metros percorridos horizontalmente. Faça um desenho, em escala, de uma rampa com inclinação de 40%.

59


2. Para calcular a inclinação a de uma rua, podemos observar o ângulo b formado pelo poste (verti-cal) com o leito da rua, conforme indica a figura a seguir. Se tal ângulo for igual a 84°, qual será a inclinação da rua?

(Dica: consulte a tabela trigonométrica disponível no Anexo, no final deste Caderno.)

b

a

a

3. Ao lado de uma rua, na forma de uma rampa de inclinação de 10%, foi construída uma escada para pedestres. O trecho da rua em que ela foi construída tem 80 m de comprimento, medidos horizontalmente. Se os degraus da escada devem ser iguais, tendo uma altura de, no máximo, 16 cm, quantos degraus, no mínimo, deverá ter a escada?

60


4. Em uma circunferência de raio 1 m, podemos traçar cordas de todos os tamanhos possíveis de 0 m a 2 m. Algumas dessas cordas, de comprimento c1 a c7 , estão representadas na figura a seguir. Os quatro ângulos indicados têm medida de 60°.

c4 c5

c3

c1

c6

c2c7

a) Calcule o comprimento de cada uma das cordas.

61


b) Calcule a razão entre a semicorda e o raio em cada caso. Em seguida, faça uma tabela com os valores da semicorda e da razão anteriormente referida. Indique também na tabela os ângulos centrais correspondentes a cada corda e os ângulos dos quais tais razões são os senos.

c) Explique como você poderia utilizar a tabela que construiu para calcular o comprimento de uma corda correspondente a um ângulo central de 60° em uma circunferência de raio 5 m.

62


d) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo central de 60°.

e) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo central de 6°.

63



No triângulo retângulo de hipotenusa c, o ângulo a é oposto ao cateto a e o ângulo b é

oposto ao cateto b. Já sabemos que a razão ab

é a tangente de a, a razão ac

é o seno de a

e, analogamente, a razão ba

é a tg b e a razão bc

é o sen b.

sen a = ac

; tg a = ab

sen b = bc

; tg b = ba

ac

a

b

b

Sobre as retas secantes às circunferências, podemos dizer que o que se chama secante de a é a razão c __

b , sendo representada por sec a; analogamente, sec b = c __ a .

Assim, como se convencionou chamar o seno do complementar de a de cosseno de a,

representando-se por cos a o sen (90° – a), também se convenciona chamar:

•atangente do complementar de a de cotangente de a, representando-se por cotg a;

•asecante do complementar de a de cossecante de a, representando-se por cossec a.

LIÇÃO DE CASA

5. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, mostre que:

a) sen a = cos b

64


b) sen b = cos a

c) cossec b = sec a

d) tg a = cotg b

e) sec a = 1 _____ cos a

f ) cossec b = 1 _____ sen b

g) tg a = sen a _____ cos a

65


h) cotg a = cos a _____ sen a

i) sen2 a + cos2 a = 1

j) 1 + tg2 a = sec2 a

k) 1 + cotg2 a = cossec2 a


Distância astronômicas: das cordas ao parsec

Quando observamos um ponto P fechando os olhos alternadamente, temos uma visão um pouco diferente. Aparentemente, o ponto muda de posição, e essa mudança pode ser medida por um ângulo chamado paralaxe.

o1

o2

P

a = ângulo de paralaxe

a

Analogamente, quando olhamos para o Sol a partir de um ponto P da superfície da Terra, temos uma visão ligeiramente diferente da que teríamos se estivéssemos no centro C da Terra. Tal efeito é chamado paralaxe, e também se mede por um ângulo, conforme representado na figura a seguir:

66


PS

a = ângulo de paralaxe

a

O ângulo de paralaxe é muito utilizado em trabalhos científicos de Astronomia para a medida de distâncias entre os corpos celestes. As ideias básicas a seu respeito são:

•as observações astronômicas são comumente feitas tendo o Sol como referência. Ao se observar uma estrela E vista da Terra T e do Sol S, haverá uma diferença angular (paralaxe) entre as duas observações;

•quanto maior for o efeito de paralaxe, mais próxima estará a estrela e, quanto menor o ângulo de paralaxe, mais distante estará a estrela;

•convenciona-sequeaunidadeutilizadaparamedirdistânciasinterestelareséadistância

que corresponde a um ângulo de paralaxe de 1” ª 160 do minuto, ou seja, 13 600 do grauº;

•talunidadededistânciaéchamadaparsec (uma contração das palavras paralaxe e second ). A figura a seguir representa essa afirmação:

distância TS ≅ 150 milhões de km (distância da Terra ao Sol)se o ângulo a = 1”, então a distância SE será 1 parsec

(a figura não está em escala)S

T

aE

Para calcular 1 parsec em km, basta notar que tg a = ST ___ SE e, em consequência, SE = ST ____ tg a .

Sabemos que a distância aproximada (média anual) da Terra ao Sol é de 150 milhões de km. Obtendo-se o valor da tangente de 1” em uma tabela de tangentes ou em uma calculadora, encontramos tg 1” = 0,000004848.

Logo, SE = 150 ⋅ 106 ___________

0,000004848 ≅ 3,09 ⋅ 1013 km, ou seja, 1 parsec ≅ 3,09 ⋅ 1013 km.

Exemplo ilustrativo

QuandoobservadadaTerra,aestrelaAlfaCentauri,queéamaispróximado Sistema Solar, apresenta um ângulo de paralaxe de 0,75”. Como é menor do que 1”, tal ângulo mostra que a distância de Alfa Centauri até o Sol é maior do que 1 parsec. De fato, obtendo a tangente de 0,75” em uma calculadora, te mos tg 0,75” ≅ 0,000003636. Logo, a distância SE é igual a:

SE ≅ 150 ⋅ 106 ___________

0,000003636 ≅ 4,13 ⋅ 1013 km ≅ 1,34 parsec.

C

67


VOCÊ APRENDEU?

6. Responda às questões a seguir.

a) Se uma estrela está a 10 parsec do Sol, o ângulo de paralaxe é maior ou menor do que 1”?

b) AdistânciadaTerraaoSoléconhecidacomoUnidadeAstronômica,eérepresentadapela sigla UA. A quantas UA corresponde 1 parsec?

c) Uma unidade muito utilizada para medir grandes distâncias é o ano-luz, que é igual à dis-tância percorrida pela luz em 1 ano. A quantos anos-luz corresponde 1 parsec?

(Dica: a velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 300 000 km/s.)

7. Uma estrela vista da Terra apresenta um ângulo de paralaxe de 0,5”. Calcule:

a) a distância da estrela ao Sol em UA;

68


b) a distância da estrela à Terra em parsec.

69


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA: VAMOS DAR UMA VOLTA?

VOCÊ APRENDEU?

1. Sabemos que sen² a + cos² a = 1. Tendo como referência a circunferência de raio igual a 1 representada a seguir, calcule o valor do sen 45o e, com ele, complete a tabela com os valores do seno de cada um dos ângulos indicados.

315o

225o

135o

45o

ângulo Seno

45°

135°

225°

315°

2. Considere o hexágono regular de lado igual a 1 representado a seguir. Lembrando que sen 30° = 1 __ 2 , calcule o seno dos ângulos a, b, y e d indicados na figura.

ab

γ

δ

70


LIÇÃO DE CASA

3. Construa uma tabela com os valores das seis razões trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec e cossec) para os ângulos de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°, indicando também os sinais das razões nos intervalos compreendidos entre tais valores.

71


VOCÊ APRENDEU?

4. Construindo-se uma circunferência de raio 1 com centro no sistema de coordenadas, pode-mos representar geometricamente todas as razões trigonométricas. Já vimos que o seno e o cosseno de um ângulo a, medidos a partir do eixo x em sentido anti-horário, são, respectiva-mente, a ordenada e a abscissa do ponto A da circunferência que corresponde ao ângulo a. Identifique, na circunferência citada, o segmento orientado que representa:

a) a tangente de a b) a secante de a

5. Conhecendo os valores do sen 30° = 1 __ 2 e do cos 30° = ® __

3 ____ 2 , calcule o seno e o cosseno dos ân-gulos a indicados a seguir:

a) 120°

72


b) 150°

c) 210°

d) 240°

e) 300°

f ) 330°

LIÇÃO DE CASA

6. Em uma circunferência de raio 1 m, um ponto P percorre um arco s correspondente a um ângulo central a. Calcule os valores de s e do seno de a nos casos indicados a seguir:

360º

30º

90º45º180º

73


a) a = 360°

b) a = 180°

c) a = 90°

d) a = 45°

e) a = 30°

74


VOCÊ APRENDEU?

7. Em uma circunferência de raio R, um ângulo central de medida a em graus corresponde a um arco de comprimento s e a uma corda de comprimento c. Complete a tabela a seguir. Caso necessário, utilize uma calculadora.

a s c

180°

120°

90°

60°

30°

10°

0°

75



ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, isto é, pode ter todos os seus vértices pertencentes a uma mesma circunferência, que é chamada circunferência circunscrita ao polígono. Chamaremos de l3 o lado do triângulo regular inscrito (triângulo equilátero), de l4 o lado do quadrilátero regular (quadrado), de l6 o lado do hexágono regular, e assim por diante.

l3

l4

l6

Na figura, estão representados os três polígonos regulares citados. Observamos que o ângulo central correspondente ao lado de cada um deles é igual a 360° dividido pelo número de lados, ou seja, é de 120° para o triângulo equilátero (360° ÷ 3), de 90° para o quadrado (360° ÷ 4) e de 60° para o hexágono (360° ÷ 6).

l3

l4

l6

60º90º120º

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS: REGULARIDADES NA INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO

76


De modo geral, sendo n o número de lados do polígono regular inscrito considerado,

a medida do ângulo central correspondente a seu lado é igual a 360o

n . O ângulo central

correspondente ao lado do pentágono regular, por exemplo, é igual a 72°.

Sendo a o ângulo central correspondente ao lado de um polígono regular de n lados,

temos, então: a = 360o

n .

l3

60º

30º

30º

α = 120º

l4

l6

120º

α = 90º

90º

= 60º

45º

45º

60º

60ºα

l3

60º

30º

30º

α = 120º

l4

l6

120º

α = 90º

90º

= 60º

45º

45º

60º

60ºα

77


l3

60º

30º

30º

α = 120º

l4

l6

120º

α = 90º

90º

= 60º

45º

45º

60º

60ºα

Consideremos agora a medida do ângulo interno de cada um dos polígonos inscritos. Ela é igual a 60° no caso dos triângulos equiláteros, 90° no caso dos quadrados e 120° no caso dos hexágonos.

De modo geral, notamos que, em cada caso, a soma de duas metades do ângulo interno com o ângulo central deve ser igual a 180°, uma vez que tais ângulos constituem um triângulo.

Em consequência, sendo ai o ângulo interno de um polígono regular de n lados, temos:

2 ai __ 2 + 360o

n = 180°, ou seja, ai= 180° – 360o

n .

Comparando as expressões obtidas para a e para ai, notamos que, em cada polígono, esses ângulos são suplementares, ou seja, a + ai = 180°.

VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela a seguir, indicando o ângulo central correspondente ao lado e o ângulo in-terno de cada um dos polígonos regulares indicados.

78


Polígono regular (n lados)

ângulo central a (em graus)

ângulo interno ai (em graus)

triângulo (n = 3)

quadrado (n = 4)

pentágono (n = 5)

hexágono (n = 6)

heptágono (n = 7)

octógono(n=8)

eneágono (n = 9)

decágono (n = 10)

dodecágono (n = 12)

pentadecágono (n = 15)

icoságono (n = 20)

hectógono(n=100)

quilógono(n=1000)

79


2. Observando a tabela obtida na atividade anterior, notamos que, quanto maior o número deladosdeumpolígonoregular,menoréseuângulocentralemaispróximade180°éamedida de seu ângulo interno, o que significa que o polígono vai ficando cada vez mais arredondado. Podemos imaginar uma circunferência como se fosse um polígono com um número de lados tão grande que o ângulo central correspondente a cada lado é zero e o ângulo interno é 180°. Tente desenhar um icoságono regular de lado 1 cm e verifique como ele pode, praticamente, ser identificado com uma circunferência. Agora, imagine o que acon-teceria se você tentasse desenhar umquilógonoregular...Registresuasconclusões.

LIÇÃO DE CASA

3. Verifique se existe um polígono regular:

a) cujo ângulo externo seja igual ao ângulo interno;

b) cujo ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo;

c) cujo ângulo central seja igual ao ângulo interno.

80



Inscrevendo polígonos na circunferência

Quando inscrevemos um polígono regular em uma circunferência de raio 1, existe uma relação simples entre o lado x do polígono e o ângulo central a correspondente.

De fato, temos sen ª a __ 2 º = x __ 2 e, em consequência, x = 2 ⋅ sen ª

a __ 2 º .

l

Li

x

R

a

Li2

x2

a2

Se o raio da circunferência for igual a R, então o lado Li do polígono inscrito será pro-porcionalmente maior, e teremos: R __ 1 =

Li __ x .

Logo, temos Li = R ⋅ x, ou seja, Li = 2Rsen ª a2 º .

Exemplos ilustrativosNa tabela a seguir, estão indicados os ângulos centrais correspondentes aos lados dos

polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 lados e os comprimentos dos lados correspondentes.

Polígonos regulares ângulo central (em graus) Comprimento do ladotriângulos 120 R ®

__ 3

quadrados 90 R ® __

2 pentágonos 72 ≅ 1,176Rhexágonos 60 Rheptágonos ≅ 51,4 ≅ 0,867Roctógonos 45 ≅ 0,765R

81


Observação!

• Os valores dos senos necessários foram obtidos em uma tabela ou em uma calculadora.

• Note que, dividindo Li por 2R, obtemos o seno da metade do ângulo central, em cada caso.

• Como a medida do ângulo central a é igual a 360° _____ n , o comprimento do lado do polígono regular inscrito fica determinado pelo valor de n: para cada valor de n asso-ciamos o valor de a correspondente, e, para cada a, o valor de Li está determinado.

Analogamente, quando circunscrevemos um polígono regular a uma circunferência de raio 1, sendo Lc o lado do polígono circunscrito, temos:

• polígono inscrito: Li __ 2 = sen ª

a __ 2 º ;

• polígono circunscrito: Lc __ 2 = tg ª

a __ 2 º .

l

l

Li

Lc

a a2

sen ª

a2 º

tg ª

a2 º

Logo, concluímos que, em uma circunferência de raio 1, os valores de Li e Lc são tais que:

Li = 2sen ª a __ 2 º Lc = 2tg ª

a __ 2 º

Se a circunferência tiver raio R, analogamente ao que foi mostrado para os polígonos inscritos, o valor de Lc é ampliado na mesma proporção do raio, que passou de 1 para R. Assim:

Li = 2Rsen ª a __ 2 º Lc = 2Rtg ª

a __ 2 º

82


VOCÊ APRENDEU?

4. Calcule o lado do polígono regular de n lados inscrito e do polígono de n lados circunscrito à circunferência de raio 1 nos seguintes casos:

a) n = 3, 6, 12, 24

b) n = 4, 8, 16, 32

(Observação: obtenha valores aproximados para os lados, usando a tabela de senos disponível no final deste Caderno ou uma calculadora.)

83


5. Em uma circunferência de raio 5 cm, inscreve-se um polígono regular de 36 lados. Tendo por base o comprimento da circunferência, qual é a diferença porcentual entre o perímetro desse polígono e o comprimento da circunferência? (Dado: sen 5° ≅ 0,0872.)

84


a2

sen

ª

a2 º

6. Em uma circunferência de raio 1 dm, circunscreve-se um polígono regular de 36 lados. A área do polígono circunscrito supera em quantos por cento a área do círculo correspondente? (Dado: tg 5° ≅ 0,0875.)

l

l

Li

Lc

a

tg ª

a2 º

85


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Mostre que, se um ângulo a é inscrito em uma circunferência, sua medida é igual à metade da medida do ângulo central t correspondente.

2. Dado um triângulo qualquer de lados a, b e c, sempre podemos inscrevê-lo em uma cir-cunferência, de modo que os ângulos correspondentes a, b e y sejam ângulos inscritos na circunferência, conforme mostra a figura a seguir.

A

c

b

a

b

a

B

C

γ

86


Mostre que é válida a proporção: a _____ sen a = b _____ sen b = c _____ sen y (Lei dos Senos).

3. Um triângulo tem lados de medidas 5 m, 6 m e 10 m.

a) Esse triângulo é retângulo?

b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo terá seus ângulos alterados?

c) Seria possível reduzir o lado de 6 m ao meio, construindo um triângulo de lados 5 m, 3 m e 10 m?

87


d) Qual é a razão entre o seno do ângulo oposto ao lado de 5 m e o seno do ângulo oposto ao lado de 10 m?

LIÇÃO DE CASA

4. Um ângulo a inscrito em uma circunferência de diâmetro 10 m subentende uma corda de 5 m. Determine a medida de a em graus.

10

a

a

a

5

88


VOCÊ APRENDEU?

5. Um triângulo tem ângulos a, b e y opostos aos lados a (2 m), b (3 m) e c (4 m).

a) Esse triângulo é retângulo?

b) Calcule o cosseno do ângulo y.

c) Calcule o seno dos ângulos a e b.

89


6. Quando duas forças de intensidades F1 e F2 agem simultaneamente sobre o mesmo ponto P, a força resultante pode ser representada pela Regra do Paralelogramo e tem uma intensidade R que pode ser calculada de acordo com a Lei dos Cossenos. Sendo t o ângulo formado pelas duas forças, conforme a figura a seguir, mostre que devemos ter R2 = F1

2 + F22 + 2F1⋅ F2 ⋅ cos t.

θ

RF1

F2

F1

P

LIÇÃO DE CASA

7. Duas forças de 100 N são aplicadas a uma pequena esfera. O ângulo formado pelas suas linhas de ação é igual a t, conforme mostra a figura. Calcule a intensidade da resultante R das duas forças em N para os seguintes valores de t:

100R

100

θ

a) 0°

90


b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 90°

91


f ) 120°

g) 150°

h) 180°

92


ANEXO

TABELA TRIGONOMÉTRICA

ângulo (em graus) Seno Cosseno Tangente

1 0,017452 0,999848 0,0174552 0,034899 0,999391 0,0349213 0,052336 0,998630 0,0524084 0,069756 0,997564 0,0699275 0,087156 0,996195 0,0874896 0,104528 0,994522 0,1051047 0,121869 0,992546 0,1227858 0,139173 0,990268 0,1405419 0,156434 0,987688 0,15838410 0,173648 0,984808 0,17632711 0,190809 0,981627 0,19438012 0,207912 0,978148 0,21255713 0,224951 0,974370 0,23086814 0,241922 0,970296 0,24932815 0,258819 0,965926 0,26794916 0,275637 0,961262 0,28674517 0,292372 0,956305 0,30573118 0,309017 0,951057 0,32492019 0,325568 0,945519 0,34432820 0,342020 0,939693 0,36397021 0,358368 0,933580 0,38386422 0,374607 0,927184 0,40402623 0,390731 0,920505 0,42447524 0,406737 0,913545 0,44522925 0,422618 0,906308 0,46630826 0,438371 0,898794 0,48773327 0,453990 0,891007 0,50952528 0,469472 0,882948 0,53170929 0,484810 0,874620 0,55430930 0,5 0,866025 0,577350

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31 0,515038 0,857167 0,60086132 0,529919 0,848048 0,62486933 0,544639 0,838671 0,64940834 0,559193 0,829038 0,67450935 0,573576 0,819152 0,70020836 0,587785 0,809017 0,72654337 0,601815 0,798636 0,75355438 0,615661 0,788011 0,78128639 0,629320 0,777146 0,80978440 0,642788 0,766044 0,83910041 0,656059 0,754710 0,86928742 0,669131 0,743145 0,90040443 0,681998 0,731354 0,93251544 0,694658 0,719340 0,96568945 0,707107 0,707107 146 0,719340 0,694658 1,03553047 0,731354 0,681998 1,07236948 0,743145 0,669131 1,11061349 0,754710 0,656059 1,15036850 0,766044 0,642788 1,19175451 0,777146 0,629320 1,23489752 0,788011 0,615661 1,27994253 0,798636 0,601815 1,32704554 0,809017 0,587785 1,37638255 0,819152 0,573576 1,42814856 0,829038 0,559193 1,48256157 0,838671 0,544639 1,53986558 0,848048 0,529919 1,60033559 0,857167 0,515038 1,66427960 0,866025 0,5 1,732051

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61 0,874620 0,484810 1,80404862 0,882948 0,469472 1,88072663 0,891007 0,453990 1,96261164 0,898794 0,438371 2,05030465 0,906308 0,422618 2,14450766 0,913545 0,406737 2,24603767 0,920505 0,390731 2,35585268 0,927184 0,374607 2,47508769 0,933580 0,358368 2,60508970 0,939693 0,342020 2,74747771 0,945519 0,325568 2,90421172 0,951057 0,309017 3,07768473 0,956305 0,292372 3,27085374 0,961262 0,275637 3,48741475 0,965926 0,258819 3,73205176 0,970296 0,241922 4,01078177 0,974370 0,224951 4,33147678 0,978148 0,207912 4,70463079 0,981627 0,190809 5,14455480 0,984808 0,173648 5,67128281 0,987688 0,156434 6,31375282 0,990268 0,139173 7,11537083 0,992546 0,121869 8,14434684 0,994522 0,104528 9,51436485 0,996195 0,087156 11,4300586 0,997564 0,069756 14,3006787 0,998630 0,052336 19,0811488 0,999391 0,034899 28,6362589 0,999848 0,017452 57,2899690 1 0 -

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CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora

Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF

Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa

Roberto Liberato

Suely Cristina de Albuquerque Bomfim

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos

Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli

Ventrella.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria

Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,

Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto

Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula

de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro

e Neide Ferreira Gaspar.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria

Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos

Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,

Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli

Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,

Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio

Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira

Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth

Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e

Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,

Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e

Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos

Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata

Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da

Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e Roseli Gomes de Araujo da Silva.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoGráfica e Editora Posigraf

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Mauro de Mesquita Spínola

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. Bezerra, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Giovanna Petrólio Marcondes, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Maíra de Freitas Bechtold, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Pietro Ferrari, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Renata Regina Buset, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Dayse de Castro Novaes Bueno, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro, Vanessa Bianco e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico).

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini (coordenadora) e Ruy Berger (em memória).

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

1a SÉRIEENSINO MÉDIOVolume 2

MATEMÁTICA

CADERNO DO ALUNO

MAT 1 SERIE MEDIO_CAA.indd 1 18/02/14 15:45

Education

1 caderno do aluno 2014_2017_vol2_baixa_mat_matematica_em_1s