Mecánica ClásicaMovimiento en una dimensión

Francisco Alonso Espinosa Chávez

23 de Enero de 2015

Clase #2

Objetivos de clase

Propiedades de vectores

Vectores de posición, velocidad y aceleración

Cinemática unidimensional

Movimiento con aceleración constante

Cuerpos en caída libre

Cinemática: Vectores

La importancia de los vectores para la física se debe a las características de los mismos.

Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número y tiene el mismo valor para todos los observadores.

Un vector es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, su dirección y su sentido (que distingue el origen del extremo).

Representación de un vector

Forma cartesiana

Forma polar

F = (Fx, Fy)

F = Fx i + Fy j

F = (F, q )

F = FF +qq

Θ

Fx

Fy

F = (10, 4)N

d = (-3,2)m

v = (2,-1)m

s

a = (3ms, 60º )

d = (1m,3rad)

F = (40N, 0.5rev)

Vectores en forma polar y su relación con coordenadas cartesianas

Para obtener la componente en “y” sabemosque senα=CO/h, así que CO=h(senα)

Para obtener la componente en “x” sabemosque cosα=CA/h, así que CA=h(cosα)

En el caso de la figura h=r, CO=ry & CA=rx

r = (r,q)Û r = (r cosq, r sinq)

Obtén la representación del vector en forma polar y luego transforma el vector a coordenadas cartesianas. Tomen las unidades que más le agrade.

AC

TIVID

AD

Vectores en forma cartesiana y su relación con coordenadas polares

Para obtener la magnitud usamos el Teorema de Pitágoras c2=a2+b2.

Para obtener el ángulo usamos que tanα=CO/CA y así α=arctan(CO/CA)

F = (Fx, Fy)Û F = Fx

2 + Fy

2 , arctanFy

Fx

æ

èç

ö

ø÷

Obtén la representación del vector en forma cartesiana y luego transforma el vector a coordenadas polares. Tome las unidades que más le agrade.

AC

TIVID

AD

Suma de vectores: método gráfico

¿Cómo le harías para sumar 3 o más vectores?

¿Cómo deduces la resta de vectores?

¿Cómo le harías para restar 3 o más vectores?

Para 2 vectores: Método del paralelogramoPara más de 2 vectores: Método del polígono

Suma de vectores: método analítico

Podemos ver a un vector como un punto en el plano

P1(5,2)

P2(2,4)

P=P1+P2

P(5+2,2+4)=P(7,6)

y

x

Multiplicación de un vector por un escalar

𝑎=(x,y)

2 𝑎=(2x,2y)

-0.5 𝑎=(-0.5x,-0.5y)

-3 𝑎=(-3x,-3y)

Vector de posición

𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘

∆ 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1

z

x

y

∆ 𝑟

𝑟2

𝑟1

Vector de velocidad

𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆ 𝑟

∆𝑡 𝑣 = lim

∆𝑡→0

∆ 𝑟

∆𝑡 𝑣 =

𝑑 𝑟

𝑑𝑡

𝑑 𝑟

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑖 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗 +

𝑑𝑧

𝑑𝑡 𝑘

𝑣𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑣𝑧 =

𝑑𝑧

𝑑𝑡𝑣𝑥 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘

𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =( 𝑣1 + 𝑣2)

2

Vector de aceleración

𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆ 𝑣

∆𝑡

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑣

∆𝑡

𝑎 =𝑑 𝑣

𝑑𝑡

𝑎𝑦 =𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡𝑎𝑧 =

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡𝑎𝑥 =

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡

Ejemplos

Conducimos un coche por una carretera por 5.2km a 43km/hr, y en ese momentose os acaba la gasolina. En 27min caminamos 1.2km más hasta la estación máscercana. ¿Cuál es nuestra velocidad promedio desde el momento en quellegamos a la estación de gasolina?

Una partícula se desplaza en el plano xy, de modo que sus coordenadas x & yvarían con el tiempo según:

x(t)=At3+Bt

y(t)=Ct2+D

donde A=1.00m/a3, B=-32.0m/s, C=5.0m/s2 y D=12.0m. Calcular su posición,velocidad y aceleración cuando t=3s.

Ecuaciones de Movimiento

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡

𝑣0

𝑣

𝑑𝑣′ = 𝑎 0

𝑡

𝑑𝑡

𝑣 − 𝑣0 = 𝑎t

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎t

Ecuaciones de Movimiento

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 + 𝑎𝑡 𝑑𝑡

𝑥0

𝑥

𝑑𝑥′ =

0

𝑡

(𝑣𝑥 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡′ = 𝑣𝑥 0

𝑡

𝑑𝑡 + 𝑎 0

𝑡

𝑡𝑑𝑡

𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑥t + a𝑡2

2

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥t + a𝑡2

2

Cinemática Unidimensional: Sin movimiento en absoluto

x(t)=A

v(t)=0

a(t)=0

A

x(t)

t

0

v(t)

t

0

a(t)

t

Cinemática Unidimensional: Velocidad constante

x(t)= A + B t

v(t)=B A

x(t)

t

0

a(t)

t

B

v(t)

t

Cinemática Unidimensional: Movimiento aceleración constante

x(t)=A+Bt+Ct2

v(t)=B+2Ct

a(t)=2C

Tomando C>0

B

v(t)

t

A

x(t)

t

2C

a(t)

t

Cinemática Unidimensional: Movimiento acelerado varía con el tiempo

x(t)=Dcos(ωt)

v(t)=- ω Dsen(ωt)

a(t)=- ω2Dcos(ωt)

Tomando D>0

0

x(t)

t

D

-D

0

v(t)

t

ω D

- ω D

0

a(t)

t

ω2 D

-ω2 D

Cinemática Unidimensional: Combinación

Cinemática Unidimensional: Caída libre

𝑦 = −g𝑡2

2= (−9.81m/𝑠2)

𝑡2

2

𝑣 = −𝑔𝑡 = (−9.81m/𝑠2)t𝑣 = 𝑣0 + 𝑎t

𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑥t + a𝑡2

2

t

a(t)

Cinemática Unidimensional: Bola que rebota

y(t)

t

t

v(t)

x(t)=v0t-gt2/2

v(t)=v0-gt

Cuando rebota la velocidad cambia de dirección (signo) en un intervalo muy pequeño de tiempo.

-10.0

-5.0

0.0

Análisis de clase

Repaso de vectores y sus propiedades

Vectores posición, velocidad y aceleración

Movimiento en 1D:

En reposo

A velocidad constante

Acelerado

Ecuaciones de movimiento