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IGUALDADES PROPIEDADES DE LA IGUALDADES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO DESIGUALDADES INECUACIONES DE PRIMER GRADO INECUACIONES RACIONALES INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

4. ecuaciones e inecuaciones

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Page 1: 4. ecuaciones e inecuaciones

IGUALDADES

PROPIEDADES DE LA IGUALDADES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

DESIGUALDADES

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

INECUACIONES RACIONALES

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Page 2: 4. ecuaciones e inecuaciones

IGUALDADES

Una igualdad es una comparación matemática entre dos cantidades,

separadas por el símbolo “=” una igualdad está compuesta por:

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Las igualdades cumplen con las siguientes propiedades.

Idéntica o reflexiva: Toda expresión es iguala a sí misma.

2𝑎 = 2𝑎 2 + 5 = 2 + 5 𝑦 = 𝑦

Simétrica: El orden de los miembros se puede cambiar y la igualdad

no se altera.

3 + 5 = 8 8 = 3 + 5

Transitiva: si dos igualdades tienen un miembro en común los otros

dos miembros también son iguales.

3 + 5 = 8 (4)(2) = 8

Entonces:

Miembro izquierdo Miembro derecho =

Símbolo de igualdad

Page 3: 4. ecuaciones e inecuaciones

(4)(2) = 3 + 5

Uniforme: Si se aumenta o disminuye, si se multiplica o se divide la

misma cantidad a ambos miembros se conserva la igualdad.

𝑎 = 𝑏

Se puede sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación

𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

Se puede restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación

𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐

Se puede multiplicar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación

(𝑎)( 𝑐 ) = (𝑏)( 𝑐 )

Se puede dividir la misma cantidad a ambos lados de la ecuación

𝑎

𝑐=

𝑏

𝑐

Cancelativa: Se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos

miembros y la igualdad se conserva.

𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐

(𝑎)(𝑐) = (𝑏)(𝑐)

𝑎

𝑐=

𝑏

𝑐

Estas propiedades son de mucha utilidad a la hora de resolver

ecuaciones.

Page 4: 4. ecuaciones e inecuaciones

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Es una igualdad que involucra sumas y restas de “1” o más que tienen

grado “1”, variables, y no involucra productos entre variables.

Ecuaciones lineales con una incógnita: La solución es única o puede

que no tenga solución, para resolverlas se deben tener en cuenta las

propiedades de las igualdades.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación lineal.

3𝑥 + 2𝑥 − 3 = 5 + 4𝑥 + 2

Page 5: 4. ecuaciones e inecuaciones

En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la

variable y en el miembro derecho los términos independientes.

3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑥 = 5 + 3 + 2

Se reducen términos semejantes.

𝑥 = 10

Ecuaciones con signos de agrupación: Cuando presentan signos de

agrupación como ( ), [ ] y { }, se resuelven según el siguiente orden.

1. Los paréntesis ( ).

2. Los corchetes [ ].

3. Las llaves { }.

Se tiene en cuenta si el signo de agrupación está precedido por el

signo menos (-), si es así, se alteran los signos de cada uno de los

términos que están dentro de ese signo de agrupación.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación.

2𝑥 − [𝑥 + (2𝑥 + 3)] = 𝑥 − (80 − 3𝑥)

Se eliminan los paréntesis.

2𝑥 − [𝑥 + 2𝑥 + 3] = 𝑥 − 80 + 3𝑥

Se eliminan los corchetes.

2𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 80 + 3𝑥

En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la

variable y en el miembro derecho los términos independientes.

2𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 = −80 + 3

Se reducen términos semejantes.

Page 6: 4. ecuaciones e inecuaciones

−5𝑥 = −77

5𝑥 = 77

𝑥 =77

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Ecuaciones con productos incluidos: Se resuelven los productos al

eliminar los signos de agrupación en el orden establecido.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación.

3(𝑥 − 2) − 4(𝑥 + 5) = 3(𝑥 + 3) − 2

Se resuelven los productos.

(3𝑥 − 6) − (4𝑥 + 20) = (3𝑥 + 9) − 2

Se eliminan los paréntesis.

3𝑥 − 6 − 4𝑥 − 20 = 3𝑥 + 9 − 2

En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la

variable y en el miembro derecho los términos independientes.

3𝑥 − 4𝑥 − 3𝑥 = 6 + 20 + 9 − 2

Se reducen los términos semejantes.

−4𝑥 = 33

𝑥 = −33

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Page 7: 4. ecuaciones e inecuaciones

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Es una ecuación que se puede expresar como un polinomio

cuadrático de la forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0

Estas ecuaciones pueden presentar máximo hasta dos soluciones o

también no tener, para solucionarlas se debe utilizar los casos de

factorización o la ecuación general cuadrática.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado

2𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 𝑥2 − 2𝑥 − 10

Page 8: 4. ecuaciones e inecuaciones

Se organizan todos los términos en el miembro izquierdo.

2𝑥2 + 3𝑥 − 4 − 𝑥2 + 2𝑥 + 10 = 0

Se reducen términos semejantes.

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

Se factoriza o se utiliza la ecuación cuadrática.

Por factorización Por la formula cuadrática.

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

Es un trinomio de la forma

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Factorizando queda:

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0

Se iguala cada factor a cero.

𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −3 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 Se organizan los valores de

a, b y c.

𝑎 = 1 𝑏 = 5 𝑐 = 6

Se reemplaza en la ecuación cuadrática.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−5 ± √52 − 4. (1). (6)

2. (1)

𝑥 =−5 ± √25 − 24

2=

−5 ± 1

2

Tiene dos respuestas.

𝑥1 =−5 + 1

2=

−4

2= −2

𝑥2 =−5 − 1

2=

−6

2= −3

Page 9: 4. ecuaciones e inecuaciones

DESIGUALDADES

Es una relación entre dos cantidades para determinar el orden.

< (Menor que),≤(menor igual que), ≪ (mucho menor que).

> (Mayor que), ≥ (mayor igual que), ≫ (mucho mayor que).

Sus componentes son:

Miembro izquierdo < miembro derecho

Page 10: 4. ecuaciones e inecuaciones

Las desigualdades tienen las propiedades siendo a, b y c pertenecen

R.

Transitiva:

𝑎 > 𝑏 y 𝑏 > 𝑐 entonces 𝑎 > 𝑐 .

𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐 .

𝑎 > 𝑏 y 𝑏 = 𝑐 entonces 𝑎 > 𝑐 .

𝑎 < 𝑏 y 𝑏 = 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐 .

Adición y sustracción:

𝑎 < 𝑏 Entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 .

𝑎 > 𝑏 Entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 .

Multiplicación y división:

𝑎 < 𝑏, 𝑐 > 0 Entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 .

𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 0 Entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 .

𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 0 Entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 .

𝑎 > 𝑏, 𝑐 < 0 Entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 .

Opuesto:

𝑎 < 𝑏 Entonces −𝑎 > −𝑏 .

𝑎 > 𝑏, Entonces −𝑎 < −𝑏 .

Page 11: 4. ecuaciones e inecuaciones

Recíproco:

𝑎 > 𝑏, Entonces 1

𝑎<

1

𝑏 .

𝑎 < 𝑏, Entonces 1

𝑎>

1

𝑏 .

Si tienen los signos diferentes es mayor el positivo.

Page 12: 4. ecuaciones e inecuaciones

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita

en alguna de los miembros o en ambos.

La solución de una inecuación son intervalos, los intervalos pueden

clasificarse en:

Intervalo abierto: son aquellos que representa el conjunto de

números sin tomar los extremos y se representan de la siguiente

manera:

Forma de inecuación

Forma de intervalo Forma gráfica.

𝑥 < 𝑎 (−∞, 𝑎)

𝑥 > 𝑎 (𝑎, ∞)

𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (𝑎, 𝑏)

Intervalo cerrado: son aquellos que representa el conjunto de

números tomando los extremos y se representan de la siguiente

manera:

Page 13: 4. ecuaciones e inecuaciones

Forma de inecuación

Forma de intervalo Forma gráfica.

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 [𝑎, 𝑏]

Intervalo semi-abierto: son aquellos que representa el conjunto de

números tomando solo uno de los extremos y se representan de la

siguiente manera:

Forma de inecuación

Forma de intervalo Forma gráfica.

𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 [𝑎, 𝑏)

𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 (𝑎, 𝑏]

𝑥 ≤ 𝑏 (−∞, 𝑏]

𝑥 ≥ 𝑎 [𝑎, ∞)

Para solucionar las inecuaciones de primer grado se tienen en cuenta

las propiedades de las desigualdades y ecuaciones de primer grado.

Ejemplo: encontrar el conjunto solución de:

7𝑥 − 3 < 8𝑥 + 2 − 3𝑥

En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la

variable y en el miembro derecho los términos independientes.

Page 14: 4. ecuaciones e inecuaciones

7𝑥 − 8𝑥 + 3𝑥 < 2 + 3

Se simplifican términos semejantes.

2𝑥 < 5

Se despeja la variable.

𝑥 <5

2

El conjunto solución en forma de intervalo es:

(−∞,5

2)

Page 15: 4. ecuaciones e inecuaciones

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON

DOS VARIABLES

Una inecuación lineal con dos variables tiene infinitas soluciones y

estas se representan en el plano cartesiano.

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de

2𝑦 − 3 < 10𝑥 + 1

En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la

variable “y” y en el miembro derecho los que tengan la variable “x”

y los términos independientes.

2𝑦 ≤ 10𝑥 + 1 + 3

Se simplifican términos semejantes.

2𝑦 ≤ 10𝑥 + 4

Se despeja la variable “y”.

𝑦 ≤10𝑥 + 4

2

𝑦 ≤10𝑥

2+

4

2

𝑦 ≤ 5𝑥 + 2

Y se representa la función lineal en el plano cartesiano.

Page 16: 4. ecuaciones e inecuaciones

Las soluciones son todos los puntos coordenados que están por

debajo de la función lineal.

Page 17: 4. ecuaciones e inecuaciones

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una inecuación de segundo grado es aquella que tiene forma de

polinomio cuadrático.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0

Para resolverlos se utilizan los casos de factorización o ecuación

cuadrática y el método del cementerio para identificar la variación

del signo de la función en su dominio.

EJEMPLO: Hallar el conjunto solución de:

15𝑥2 − 8𝑥 − 12 ≤ 0

Se resuelve como una ecuación de segundo grado, por factorización

o por la formula general de las cuadráticas.

(5𝑥 − 6)(3𝑥 + 2) ≤ 0

Se hallan las raíces.

5𝑥 − 6 = 0 5𝑥 = 6

𝑥 =6

5

3𝑥 + 2 = 0 3𝑥 = −2

𝑥 = −2

3

Se utiliza el método del cementerio que consiste en determinar cada

factor donde es positivo o negativo y así determinar el

comportamiento de la inecuación.

Page 18: 4. ecuaciones e inecuaciones

Se ubican los factores, se hacen dos rectas numéricas y se ubican las

raíces teniendo en cuenta que como es “≤” va cerrado.

Se determina cómo se comporta cada factor cuando se toman

valores a la derecha y la izquierda.

Se hace ley de los signos en forma vertical.

Page 19: 4. ecuaciones e inecuaciones

Y como la ecuación especifica que son los menores o iguales se toma

el intervalo donde esta negativo.

[−2

3,6

5]

Page 20: 4. ecuaciones e inecuaciones

INECUACIONES RACIONALES

Una inecuación racional es aquella que tiene la forma:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)< 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)> 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)≤ 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)≥ 0, 𝑄(𝑥) ≠ 0

Para encontrar el conjunto solución se utilizan los casos de

factorización y el método del cementerio para determinar el donde

cada factor es positivo y negativo y así determinar el conjunto

solución de la inecuación.

Ejemplo: encontrar el conjunto solución de:

𝑥2 − 1

𝑥2 + 5𝑥 + 6≤ 0

Se factorizan los polinomios si es posible.

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)≤ 0

Page 21: 4. ecuaciones e inecuaciones

Se ubican los factores, se hacen dos rectas numéricas y se ubican las

raíces teniendo en cuenta que las raíces de arriba van cerradas como

es “≤” va cerrado y las de abajo siempre van abiertas por que son

diferentes de “0”.

Page 22: 4. ecuaciones e inecuaciones

Se determina cómo se comporta cada factor cuando se toman

valores a la derecha y la izquierda y se hace ley de los signos en

forma vertical.

El conjunto solución como son “≤”.

(−3, −2) ∪ [−1,1]

Page 23: 4. ecuaciones e inecuaciones

BIBLIOGRAFÍA

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