GEOMETRIA ESPACIAL – VII Celso do Rosário Brasil Gonçalves

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(151) Um cone é circunscrito a duas esferas de raio 2 e 1. Sabendo que essas duas

esferas são tangentes exteriormente, determine o volume do sólido compreendido

entre o cone e essas duas esferas.

Solução

(152) Uma esfera de raio r circunscreve um cone equilátero. Um plano que secciona

a esfera e o cone paralelamente à base do cone determina duas secções de tal

modo que a diferença entre as áreas dessas secções é equivalente à área da base

do cone. Determine a distância da base do cone ao plano secção.

Solução

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2

(153) Um triângulo escaleno de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm gira 360° em torno do

lado de 14 cm. Determine a área e o volume do sólido obtido.

Solução

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3

(154) Seja um triângulo de base “a” e altura “h”. Giramos o triângulo em um eixo

paralelo à base e que contém o baricentro do triângulo. Qual é o volume do sólido

gerado?

Solução

(155) Um triângulo isósceles ABC gira ao redor de uma reta paralela à base BC e

passando pelo seu vértice A. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que a

base mede 3 cm e os lados congruentes medem 4 cm.

Solução

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(156) Consideremos um triângulo equilátero de lados 5 cm. Do ponto D, médio de

AB, traçamos a perpendicular DE até AC. Executando uma revolução completa em

torno de AC, calcule o volume do sólido gerado pela figura DECB.

Solução

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(157) Um paralelogramo de lados 27 cm e 12 cm e ângulo entre os lados de 60° gira

em torno de um eixo que contém o seu maior lado. Determine a área e o volume do

sólido obtido.

Solução

(158) As áreas laterais dos cilindros gerados por um mesmo retângulo que gira ao

redor de cada lado são iguais.

Solução

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(159) As diagonais de um losango de 5 cm de lado estão na razão 1:2. Ache o volume

do sólido que se obtém quando o losango dá um giro de 360° em torno de um de

seus lados.

Solução

(160) Um losango de lado 36 cm e ângulo agudo 60° gira em torno de um eixo

passando por um vértice e perpendicular à sua maior diagonal. Encontre a área e o

volume do sólido obtido.

Solução

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(161) Um trapézio ABCD retângulo em B tem por bases AB = 24 cm e CD = 13 cm e

por altura BC = 16 cm. Qual é o volume do sólido que se obtém quando este gira em

torno de AB?

Solução

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(162) Determine o volume do sólido obtido quando giramos um trapézio isósceles de

altura “h”, em torno da base maior, sendo a medida dessa base igual a “m” e 45° o

ângulo agudo do trapézio.

Solução

(163) Sabendo que OABCD é um semi-hexágono regular de

√ m de lado, calcule a

área da superfície gerada pela poligonal ABCD em rotação completa em torno do

diâmetro AOB.

Solução

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(164) Um triângulo gira 360° em torno de cada um de seus lados, gerando três

sólidos de volumes inversamente proporcionais aos lados do triângulo.

Solução

(165) Conhecendo a área A do triângulo gerador de um cone e a área B do cone,

calcule o apótema e o raio da base.

Solução

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(166) Demonstre que, fazendo girar um triângulo qualquer em torno de um de seus

lados, o volume do sólido obtido é igual ao produto da área do triângulo pelo círculo

descrito pelo ponto de interseção das medianas.

Solução

(167) Quando um triângulo retângulo isósceles gira ao redor de uma reta conduzida

pelo vértice do ângulo reto, paralelamente à hipotenusa ele gera um volume

equivalente à esfera que teria a hipotenusa por diâmetro.

Solução

(168) As áreas laterais dos cones gerados por um mesmo triângulo retângulo que

gira em torno de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos.

Solução

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(169) Os volumes dos cones gerados por um triângulo retângulo que gira em torno

de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos.

Solução

(170) Representando por os volumes dos sólidos gerados por um triângulo

retângulo a, b, c quando gira respectivamente em torno da hipotenusa “a”, dos

catetos “b” e “c”, verifique a identidade:

.

Solução

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(171) Um triângulo equilátero ABC tem lado “a”; por um ponto P da base BC traçam-

se as paralelas PR e OS, respectivamente, aos lados AB e AC, que concorrem com

AC e AB, respectivamente em R e S. Determine a distância x = PB, de modo que o

volume do sólido gerado pelo paralelogramo PRAS seja 2/3 do volume do sólido

gerado pelo triângulo ABC, quando a figura girar ao redor de BC.

Solução

(172) O volume de um cilindro circular gerado por um retângulo, de área A cm², é

de B cm³. Calcule o raio.

Solução

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(173) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que, se o fizermos girar

sucessivamente em torno de dois lados adjacentes, os volumes dos cilindros

gerados serão, respectivamente, V e V’.

Solução

(174) O volume do sólido gerado por um retângulo girando em torno de um eixo de

seu plano, paralelo a um de seus lados, e externo ao retângulo, é igual ao produto

da área do retângulo pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro do

retângulo.

Solução

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(175) Um retângulo de dimensões “a” e “b” gira em torno de uma reta de seu plano,

paralela aos lados de medida “b” e cuja distância ao centro do retângulo é d a/2.

Determine a superfície total e o volume do sólido anular gerado pelo retângulo

Solução

(176) Um trapézio isósceles está inscrito em um círculo e suas bases se encontram

em semiplanos opostos em relação ao centro do círculo. Sendo as bases 12 cm e 16

cm e o raio do círculo 10 cm, determine o volume do sólido obtido pela rotação

completa do trapézio ao redor da base maior e o volume do cilindro obtido quando

giramos ao redor de um lado um quadrado que tenha a mesma área do trapézio.

Solução

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(177) Consideremos um semicírculo ADC de centro O e de diâmetro AC = 2ª.

Prolongamos AO até um ponto B, tal que AO = AB; e pelo vértice B traçamos a

tangente MB ao semicírculo. Determine a medida BM e o ângulo M ̂C compreendido

entre a tangente e o diâmetro prolongado. Depois calcule a área e o volume do

sólido obtido quando efetuamos uma rotação em torno de BO da figura BMO.

Solução

(178) A medida do raio de um círculo é 20 cm. Por um ponto P situado a 50 cm do

centro traçam-se duas tangentes ao círculo. Sejam A e B os pontos de tangência e

AB a corda obtida. Efetuando uma rotação do triângulo PAB em torno do diâmetro

paralelo a AB, obtemos um sólido. Calcule o volume desse sólido.

Solução

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(179) Consideremos um hexágono regular inscrito em um círculo de raio R.

Efetuando uma rotação do círculo em torno de um diâmetro que passa pelos pontos

médios de dois lados paralelos do hexágono, calcule a razão entre os volumes

gerados pelo círculo e pelo hexágono.

Solução