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7.5 Geometría
Profa. Kyria A. Pérez
Estándares de Expectativas y
Contenido
7.G.9.1 Relaciona y aplica redes, planos para analizar y
representar figuras de tres dimensiones en términos de
figuras de dos dimensiones.
7.G.9.2 Formula enunciados generales que describen las
propiedades de los círculos, polígonos, prismas,
pirámides, conos, esferas y cilindros.
7.G.9.3 Reconoce y aplica las formulas para el área y
circunferencia de un circulo y las usa para solucionar
problemas.
Estándares de Expectativas y Contenido
7.G.10.1 Define e identifica semejanzas en figurasbidimensionales, incluidas las partes correspondientes, larazón de semejanza y las medidas de las partescorrespondientes. Determina la relación proporcionalentre las medidas de los lados correspondientes defiguras semejantes.
7.G.10.2 Interpreta y resuelve problemas de área ylongitudes mediante dibujos a escala, incluidos aquellosque se basan en rectas numéricas , dibujos, modelos,mapas y graficas para reproducir en la escala.
Objetivos particulares del
tema
El estudiante es capaz de identificar formas
geométricas, analizar sus estructuras,
características, propiedades y relaciones para
entender y descubrir el entorno físico con un
85% de exactitud.
Segmento
Rayo
Recta
Tiene principio y fin. Tiene dos extremos.
Tiene principio pero no fin. Tiene un extremo.
No tiene principio ni fin.No tiene extremos.
DEFINICIONES
Definiciones
Punto: posición en el espacio, sin longitud, ancho
ni grueso.
Plano: superficie sin torcer.
Congruente: dos figuras geométricas son
congruentes si tienen la misma forma y el mismo
tamaño.
Definiciones
Geometría: rama de las matemáticas
que se dedica al estudio de las
propiedades y de las medidas de las
figuras en el espacio.
Grado: Una unidad de medida para
ángulos. Símbolo: °
Definiciones
Figura bidimensional: Una figura que
sólo tiene dos dimensiones (como ancho
y alto) y no espesor.
Cuadrados, Círculos, Triángulos, etc.
son objetos bidimensionales.
Definiciones
Figura tridimensional: Un objeto que
tiene altura, ancho y profundidad, como
cualquier objeto en el mundo real.
Ejemplo: tu cuerpo es tridimensional
Definiciones
Transportador: Un instrumento usado para
medir o dibujar ángulos.
Definiciones
Compas: Un instrumento con dos brazos, uno afilado y el
otro con un lápiz, que puede ser usado para dibujar
círculos o arcos.
ÁNGULOS
• Ángulo es la unión de dos rayos. Donde se unen se
conoce como el vértice del ángulo.
ÁNGULOS
•Para nombrar un ángulo hay un orden a seguir.
•Se utilizan tres letras donde la segunda letra debe
ser el vértice del ángulo, un numero o solo el vértice
El ángulo se nombra a. < BOAb. < AOB c. <A d. < 1
1
Tipos de ángulos
Angulo Recto: es un Angulo que mide 90°.
Ejemplo
Tipos de Ángulos
Angulo Llano: Es un ángulo que mide 180°.
Ejemplo:
●
Tipos de Ángulos
Angulo agudo: es un Angulo que mide mas
de 0° pero menos de 90°.
Ejemplo:
Tipos de Ángulos
Angulo Obtuso: es un ángulo que mide mas
de 90° pero menos de 180°.
Ejemplo:
Tipos de ángulos
Ángulos complementarios: dos ángulos son
complementarios si suman 90°.
Ejemplo: en la figura, los ángulos a y b son complementarios.
<a
<B
a
b
Tipos de ángulos
Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios
si suman 180°.
Ejemplo: en la figura los ángulos a y b son
suplementarios.
<A
<B
ba
Tipos de ángulos
Ángulos adyacentes: ángulos que comparten un
rayo en común, esto es, quedan uno al lado de
otro. Angulo a es adyacente a ángulo b. Ambos
están uno al lado de otro y comparten el mismo
rayo.
Tipos de ángulos
Ángulos opuestos por el vértice: Cuando dos rectas
se intersectan, los pares de ángulos que no son
adyacentes se llaman opuestos por el vértice. En la
figura a continuación, los ángulos a y c son
opuestos por el vértice. Los ángulos b y d también
son opuestos por el vértice.
Tipos de ángulos
Hay una propiedad que aplica a los ángulos opuestos
por el vértice: los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes. Por eso, los ángulos a y c tienen la
misma medida, y los ángulos b y d tienen la misma
medida.
Tipos de ángulos
Tipos de ángulos
Ángulos correspondientes (5,1) (6,2), (7,4),(8,3)
Ángulos internos (7,1), (8,2)
Ángulos externos (5,4), (6,3)
Tipos de Rectas
Rectas que se intersectan: son rectas que se
tocan en un punto en común.
Ejemplos:
Tipos de Rectas
Rectas perpendiculares: Son rectas que se
intersectan formando ángulos rectos.
Ejemplos
Tipos de Rectas
Rectas paralelas: Son rectas que están en el mismo plano
y que nunca se intersectan.
Si la recta l1 es paralela a la recta l2 se escribe
l1 ║ l2.
l1l2
l1 l2
Tipos de Rectas
Recta transversal: es una recta que intersecta dos
o mas rectas que están en un mismo plano.
Ejemplos:
Un triángulo es un polígono de tres lados (segmentos) o tres puntos no alineados
llamados vértices.
Las figuras geométricas componen nuestro
alrededor. Una de las figuras más importante es
el triángulo, el cual tendremos bajo estudio.
Propiedad del triángulo
A C
B
CB
A
La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°
m < A + m < B + m < C = 180°
Clasificación de triángulo
Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de los ángulos o de los lados.
LADOS ANGULOS
EscalenoIsóscelesEquilátero
AcutánguloObtusánguloEquiánguloRectángulo
Clasificación de triángulo
Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de los ángulos o de los lados.
LADOS ANGULOS
EscalenoIsóscelesEquilátero
AcutánguloObtusánguloEquiánguloRectángulo
Triángulo Escaleno
Un triángulo con todos los lados
de diferentes longitudes.
Triángulo Isósceles
Triángulo en el que al menos dos
lados son congruentes.
Triángulo Equilátero
Un triángulo con todos sus lados
congruentes
Triángulo Acutángulo
Triángulo con todos sus ángulos
agudos
Ángulo agudo = que mide entre 0° y 90°
Triángulo Obtusángulo
Triángulo con un ángulo obtuso. Ángulo
obtuso = que mide entre 90° y 180°
Triángulo EquiánguloTriángulo con todos sus ángulos
congruentes.
m<A = m<B = m<C
Triángulo Rectángulo
Triángulo con un ángulo recto. Ángulo
recto = que mide 90°
Hipotenusa
Lado mas largo del
triángulo rectángulo.
Lado contrario al ángulo recto.
Catetos
Lados que forman el ángulo recto
Cuando nombramos los triángulos
usamos las letras que lo componen
en un orden especifico.
Triángulo
Triángulo
Este triángulo se puede llamar
ABC, BCA, CBA, ACB , BAC, CAB
SIMBOLOS
Triángulo
< Ángulo = Congruente
Triángulos congruentes
Dos triángulos son congruentes si y
sólo si sus partes correspondientes
son congruentes.
A
B C
D
E F
ABC DEF
Circulo
Definición:Curva cerrada, perfectamente
redonda, en la que todos los puntos están
equidistantes de un punto fijo dentro de la
curva, al que se llama centro.
Circulo-Partes
Definición de las partes del
circulo
Diámetro: es la línea recta que pasa por el
centro y une dos puntos opuestos.
Radio: La distancia desde el centro hasta el
borde de un círculo. Es la mitad del diámetro
del círculo.
Arco: es la parte de circunferencia
comprendida entre dos de sus puntos.
Definición de las partes del circulo
Cuerda: Una línea recta que conecta dos
puntos en una curva.
Secante: una línea que intersecta dos o
más puntos de una curva. (Viene del Latín
secare "cortar")
Tangente: Una línea que apenas toca a
una curva en un punto, sin cortarla.
Circulo-Circunferencia
Definición: La distancia alrededor del borde de un círculo (o cualquier figura curva). Es una clase de perímetro.
Formula para obtener la circunferencia:
Circunferencia = π × Diámetro
Circunferencia = 2 × π × Radio
Pi (el símbolo es π) = 3.1416
Ejemplos de circunferencia
Ejemplo1:
Si un círculo tiene un diámetro de 4 cm,
su circunferencia es
3.1416*4=12.5664cm.
• Ejemplo 2:
Si un circulo tiene un radio de 3 cm su
circunferencia es de 3.1416* 2*3 =
18.8496 cm
Área del Circulo
Definición: superficie contenida dentro
de una circunferencia.
Formula del área es A = π * r2
Pi (el símbolo es π) = 3.1416
Ejemplo de área del círculo
Ejemplo 1
Si se tiene un círculo de 10 cm
de radio ¿cuál será su área?
A = 3.1416 * (10 cm)2
A = 3.1416 * 100 cm2
A = 314.16 cm2
Circulo
Problemas de
practica de
circunferencia y
area del circulo
Polígonos Definición: son formas bidimensionales. Están
hechos con líneas rectas, y su forma es
"cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono No es un polígono
(lados rectos) (tiene una curva)
Nombre de los polígonos
Si es regular...
Nombre Lados Forma Ángulo interior
Triángulo (o
trígono)3 60°
Cuadrilátero (o tetrágono)
4 90°
Pentágono 5 108°
Hexágono 6 120°
Heptágono (o Septágono)
7 128.571°
Octágono 8 135°
Nonágono (or eneágono)
9 140°
Decágono 10 144
Cuadriláteros
Poliedros
Definición: Un sólido con lados planos (del
Griego poly- que significa "muchas" y -edron
que significa "caras"). Para ser un poliedro
no tiene que haber ninguna superficie curva.
Ejemplo: pirámides y prismas.
Cada superficie plana (o "cara") es un
polígono.
Poliedros
Ejemplos: Sólidos platónicos
Hay cinco sólidos platónicos
Debajo tienes los cinco sólidos platónicos (o
poliedros regulares).
Tetraedro
4 caras
4 vértices
6 aristas
Solidos Platónicos
(Poliedros regulares)
Cubo
6 caras
8 vértices
12 aristas
Solidos Platónicos
(Poliedros regulares)
Octaedro
8 caras
6 vértices
12 aristas
Solidos Platónicos
(Poliedros regulares)
Dodecaedro
12 caras
20 vértices
30 aristas
Solidos Platónicos
(Poliedros regulares)
Icosaedro
20 caras
12 vértices
30 aristas
Prismas
Definición: Un prisma tiene la misma
sección en toda su longitud. Una sección
es la forma que se obtiene cuando se
corta un objeto de manera recta.
Un prisma es oficialmente un poliedro
así que todas las caras tienen que ser
planas. No puede haber caras curvas.
Prismas
Prisma cuadrado: Un objeto sólido
(tridimensional) que tiene 6 caras que son
rectángulos. Es un prisma porque tiene el
mismo corte transversal en toda la longitud.
Prisma cuadrado Sección
Prismas
Cubo: un cubo es un prisma, porque es un cuadrado
en toda su longitud)
Cubo Sección
Prismas
Prisma triangular:
Prisma triangular Sección
Prismas
Prisma Pentagonal
Prisma pentagonal Sección
Transformaciones
Mover una figura para que esté en una
posición diferente, pero mantiene su
tamaño, área, ángulos y longitud de sus
líneas. Girar, voltear o deslizar son los
movimientos básicos.
Transformaciones
Los tres tipos principales de
transformaciones son:
Rotación: significa girar alrededor de un
centro, la distancia del centro a cualquier punto
de la figura es la misma. Cada punto sigue un
círculo alrededor del centro.
Transformaciones
Reflexión: Una reflexión es un volteo
con respecto a una línea
Transformaciones
Traslación: en geometría, “trasladar significa mover, sin
girar, cambiar el tamaño ni ninguna otra cosa, sólo
mover. Cada punto de la figura se mueve:
la misma distancia
en la misma dirección.
Transformaciones
Después de hacer estas transformaciones (girar, voltear o deslizar), la forma tiene el mismo tamaño, área, ángulos y longitudes.
Si una forma se puede convertir en otra usando giros, volteos y deslices, las dos
formas se llaman congruentes.
Transformaciones
La otra transformación importante es la homotecia
(también llamada dilatación, contracción,
compresión, alargamiento o expansión). La forma se
hace más grande o más pequeña:
Transformaciones
Si tienes que hacer una homotecia para hacer que
una forma se convierta en otra, no son congruentes
pero se dice que son similares.
Cuando cambias una figura de tamaño se hace
más grande o más pequeña pero es similar.
los ángulos no cambian
los tamaños relativos son los
mismos.
Transformaciones
Dilatación o expansión:
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitagoras
Definición: En un triángulo rectángulo el
cuadrado del lado más largo (la
"hipotenusa") es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (los
catetos).
Se establece en esta fórmula:
a2 + b2 = c2
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
Ejemplo: Un triángulo de lados "3,4,5" tiene
un ángulo recto, así que la fórmula debería
funcionar. Veamos si las áreas son la
misma: 32 + 42 = 52
Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25
a2 + b2 = c2
El plano Cartesiano
Rene Descartes: Nació el 31 de marzo de 1596 en La
Haye, Turena (Francia) en el seno de una familia de
funcionarios.
Hijo de un consejero del Parlamento de Bretaña. Su
madre murió un mes después de su nacimiento, de la
que heredó una fortuna que le permitió vivir con
independencia económica.
El plano Cartesiano
Con ocho años entró en la escuela jesuita
de La Flèche en Anjou, donde
permanecería hasta los 16 años. Junto a
los típicos estudios clásicos Descartes
estudió matemáticas y escolasticismo
con el propósito de orientar la razón
humana para comprender la doctrina
cristiana.
El plano Cartesiano
Estuvo influenciado por el Catolicismo. Al finalizar sus estudios en la escuela, se matriculó en Derecho en la Universidad de Poitiers, obteniendo la licenciatura en 1616. Sin embargo, nunca ejerció la profesión jurídica; en 1618 entró al servicio del príncipe Mauricio I de Nassau-Orange con la intención de seguir la carrera militar.
El plano Cartesiano
Descartes sirvió en otros
ejércitos pero su interés se
centró siempre en los problemas
de las matemáticas y la filosofía,
a los que dedicó el resto de su
vida.
El plano Cartesiano
Su contribución más importante a las
matemáticas fue la sistematización de
la geometría analítica. Fue el primero
que intentó clasificar las curvas
conforme al tipo de ecuaciones que las
producen, y contribuyó también a la
elaboración de la teoría de las
ecuaciones.
El plano Cartesiano Descartes fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. También inventó el método de los exponentes (como en x2) para indicar las potencias de los números. Además, formuló la regla, conocida como la ley cartesiana de los signos, para descifrar el número de raíces negativas y positivas de cualquier ecuación algebraica.
El plano Cartesiano
Sistema de Coordenadas Cartesianas:
Método para definir la posición de un
punto por medio de su distancia
perpendicular a dos o más líneas de
referencia. En geometría plana, dos
líneas rectas, llamadas eje x y eje y,
forman la base de un sistema de
coordenadas Cartesianas en dos
dimensiones.
El plano Cartesiano
Por lo general, el eje x es horizontal y el eje y es
perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos
ejes se le llama origen (O). Cualquier punto en este
plano se puede identificar por un par ordenado de
números que representan las distancias a los dos ejes.
Por ejemplo, el punto (4, 2) es el punto que se
encuentra alejado 4 unidades del eje y en la dirección
positiva del eje x y a 2 unidades del eje x en la
dirección positiva del eje y.
Plano Cartesiano
Un plano cartesiano se compone de dos
rectas numéricas reales que se intersecan
formando un ángulo de 90 grados en el
cero
de las dos rectas.
El plano cartesiano se utiliza como sistema
de referencia para localizar puntos en un
plano.
90
Pares Ordenados
Un par ordenado es un par de números de
la forma ( x, y ) en donde el orden en que
se escriben los números es importante. La forma
general de un par ordenado es:
(abscisa, ordenada)
Cada par ordenado representa un punto
en el plano cartesiano y viceversa.
91
El plano Cartesiano
Plano Cartesiano
93
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
I CuadranteII Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
OrigenEje de las
Abscisas
Eje de las
Ordenadas
